Что такое касательная плоскость в сфере. Касательная плоскость к шару

««Сфера и шар» 11 класс» - Координаты центра. Сфера. Площадь поверхности сферы. Исторические сведения о сфере и шаре. Уравнение сферы. Шар. Физкультминутка. Определение сферы. Сфера и плоскость. Взаимное расположение сферы и плоскости. Окружность и круг. Как изобразить сферу. Радиус сечения. Определение сферы, шара. Площадь сферы.

«Касательная плоскость к сфере» - Уравнение сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Сфера и шар. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере. Взаимное расположение прямой и плоскости.

«Задачи на шар и сферу» - Шар вписан в цилиндр. Решение задач по готовым чертежам. Устный тест: «Тела вращения». Конус. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Шар и сфера. Работа у доски. Площадь сферы. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Установите соответствие. Цели и задачи.

«Чем отличается сфера от шара» - Координаты центра. Представление о сфере. Уравнение сферы радиуса R. Сфера и шар. Шар. Понятие сферы. Окружность. Предметы окружающей обстановки. Сфера. Определение сферы. Круг. Вывести уравнение сферы. Центр сферы. Уравнение сферы.

«Сфера и шар» - Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Сечение шара плоскостью. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники. Касательная плоскость к сфере. Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

«Шар» - Повторение теоретических положений. В своей работе мы: В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар. Организация исследовательской деятельности учащихся во внеурочное время. Конус. Найти объем призмы. Исследовательская деятельность во внеурочное время. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.

Всего в теме 12 презентаций

На этом уроке мы более подробно рассмотрим случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Сформулируем и докажем свойство и признак касательной плоскости к сфере. А также поговорим о прямой касательной к сфере.

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое сфера.

Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Также вы уже знаете, что в зависимости от соотношения расстояния от центра сферы до плоскости и радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.

Сфера и плоскость могут :

1) пересекаться по окружности. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.

Тогда сечение сферы плоскостью есть окружность;

2) не пересекаться. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.

Тогда сфера и плоскость не имеют общих точек.

3) и иметь только одну общую точку. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы.

Давайте более подробно остановимся на последнем случае, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Определение:

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере , а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

На экране вы видите сферу с центром в точке О и плоскость . Эта плоскость является касательной плоскостью к сфере, а точка А – есть точка касания.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Вообще касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Это свойство выражается в следующей теореме :

Итак, теорема или свойство касательной плоскости к сфере : радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости .

Доказательство: плоскость касается сферы с центром в точке . Докажем, что .

По определению касательной плоскости точка А будет единственной общей точкой плоскости и сферы. Другие точки плоскости лежат вне сферы. Следовательно, они расположены дальше от центра сферы.

Тогда ОА – это кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Напомним, что кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра. Значит, перпендикуляр .

Следовательно, радиус . Теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема (признак касательной плоскости к сфере ).

Сформулируем и докажем её.

Итак, обратная теорема или признак касательной плоскости к сферы : если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере .

Доказательство: из условия теоремы вытекает, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости.

Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы , и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. По определению такая плоскость является касательной к сфере. Значит, плоскость – есть касательная плоскость к сфере. Что и требовалось доказать.

Задача: диаметр шара равен см. На каком расстоянии от центра шара находится плоскость, касающаяся его?

Решение: напомним, что касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

По свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости .

Радиус нашего шара и будет расстоянием от центра шара до точки касания с плоскостью .

Так как по условию задачи диаметр шара равен 18 см, то радиус равен (см). Запишем ответ.

Задача: сфера касается плоскости равностороннего треугольника с высотой см в его центре. Расстояние от центра сферы до стороны треугольника равно см. Найдите радиус сферы.

Решение: так как по условию задачи треугольник равносторонний, то его центр будет находиться в центре вписанной и описанной окружностей.

Напомним, что в равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой. А по свойству медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Так как по условию задачи высота треугольника равна 12 см, а она же является и медианой, значит, расстояние (см).

Рассмотрим . Он прямоугольный, так как . А по свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Применим теорему Пифагора и найдем чему равен катет . Получаем, что (см). Не забудем записать ответ.

Определение:

Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.

По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

На экране вы видите сферу с центром в точке О и прямые , и , лежащие в плоскости . Прямые , и являются касательными прямыми к сфере, а точка А – есть точка касания.

Для касательной прямой в сфере также справедливы следующие утверждения:

Радиус, проведённый в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой.

Прямая, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.

А теперь давайте рассмотрим две касательные прямые к сфере с центром О, проходящие через точку А и касающиеся сферы в точках В и С.

Отрезки и – отрезки касательных , проведёнными из точки .

Урок 10. Касательная плоскость к сфере.

Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.

Ход урока

Актуализация опорных знаний.

Повторение сведений из планиметрии.

Определение касательной.

Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:

а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:

б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Объяснение новой темы. (Слайд 26 – 32)

Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.

Рассмотрим последний случай подробнее.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.

К
асательная плоскость обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказать: OA а .

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .

Докажем обратную теорему.

Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.

Формирование умений и навыков учащихся.

Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).

Решение: CN 2 = h (h + 2 R ) (см. выше п. I урока)

Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м , R земли 6400 км.

Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.

Работа по таблице 33.

АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)

AM = АО-ОМ=9.

Итог урока.

Домашнее задание: п. 61, № 591, 592.

Сказка о возникновении шара

Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою.

«Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?».

Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.

Из истории возникновения

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, то есть шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш .

В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

Определение

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
• Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Общие понятия

• Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.
• Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
• Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.

Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Сечение шара плоскостью

• Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
• Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

Задача на тему шар (д/з)

На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. (1.7 см, 2.15 см, 3.12 см, 4.20 см)