Пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности решение. Объяснение нового материала

««Уравнение окружности» 9 класс» - Построить по полученным данным окружности в тетради. Заполните таблицу. Уравнение окружности. Координаты точки окружности. Координаты центра. Запишите формулу. Окружность. Работа в группах. Найдите координаты центра и радиус. Постройте в тетради окружности, заданные уравнениями. Начало координат. Составить уравнение окружности.

«Окружность 8 класс» - В любой треугольник можно вписать окружность. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Теорема. Следствия: Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам?АВС. Вписанная окружность.

«Построение касательной к окружности» - Окружность и прямая имеют одну общую точку. Общие точки. Взаимное расположение прямой и окружности. Окружность и прямая. Окружность. Решение. Теорема об отрезках касательных. Повторение. Хорда. Касательная к окружности. Диаметр.

«Как найти длину окружности» - Какие неравенства выполняются для числа. Как изменится длина окружности. Как относятся периметры двух правильных n-угольников. Теорема. Как относятся длины двух окружностей. Найдите периметр правильного n-угольника. Найдите радианную меру углов. Каково приближенное значение числа. Найдите длину дуги окружности радиуса единица.

«Касательная к окружности» - Свойство + признак: если K – точка окружности, то KM – касательная? KM ? OK. Доказательство. Признак касательной. Тогда. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки AK и AM называются отрезками касательных, проведенными из A. Пусть d – расстояние от центра O до прямой KM.

«Эллипс» - Прикрепим концы нити к фокусам. Что же такое эллипс. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. Точки F1, F2 называются фокусами эллипса. Постройка эллипса. Общая точка называется точкой касания. Касательная. Эллипс. Интересные факты. Кратеры на Луне также имеют форму эллипса.

Всего в теме 21 презентация

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Ход занятия

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность - это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр - точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius - “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

• Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
• Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
• Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.

Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

2. Практикум по решению задач

а) Пересекающиеся хорды

1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

Решение:

2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

Решение:

3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

Решение:

4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Решение:

б) Касательная и секущая

5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

Решение:

6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

Решение:

7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

Решение:

8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

Решение:

9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

Решение:

в) Две секущие

10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Решение:

11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

Решение:

12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

Решение:

13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

Решение:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Закрепление знаний

Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

• Соображай-ка!
• Решай-ка!
• Отвечай-ка!

На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

Командам вручаются маршрутные листы:

Маршрутный лист

Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

Решение:

Данный урок является уроком обобщения и систематизации знаний по изученной теме.В ходе урока учащиеся имеют возможность проверить свои знания по темам "Вписанный угол" и "Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности", решить задачи открытого банка ОГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Тема урока "Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности" 9 класс»

Урок № ____ (геометрия 9 класс)

Пропорциональность отрезков, хорд и секущих

Цель урока : закрепить свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства секущих отрезков и показать, как они используются при решении задач.

Задачи урока:

образовательная: проверить знания теоретического материала по темам «Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков, хорд и секущих»

развивающая: развитие познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы;

воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, активности.

Ход урока

Орг.момент (1 мин)

Проверка домашнего задания (фронтально) (3 мин.)

Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальная работа с классом. (7 мин.)

Тренировочные упражнения. Решение задач (14 мин.)

Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ: КА = 3: 4.

Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Самостоятельная работа с взаимопроверкой (12 мин).

Вариант 1	Вариант 2
Центральный угол на 59 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.	Центральный угол на 52 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
В окружности с центром O AC и BD AOD равен 138 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.	2) В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 146 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.
Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=6 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ.	Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=12 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ.
Дано: ВС=12 см. ВЕ=4 см. ВА=16 см.	Дано: ВС=12 см. ВЕ=5 см. ВА=15 см.

Подведение итогов урока (2 мин). Рефлексия.

Сообщение домашнего задания (2 мин)

Домашнее задание по карточке.

Решить задачи:

1. Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если KL в два раза меньше MN.

2. Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. Найдите длину хорды АВ, если СМ=4 см, DМ=9 см, АМ:МВ=4.

V. Итог урока

У. Назоваите все получившиеся вписанные углы (рис. 30).

Д. САВ; АВС; ВС.

У. Назовите все углы между касательной и хордами.

Д. NAB; NBA; KBC; KCB; MCA; MAC.

У. Какие из них будут равны и почему?

Д. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. У каждой пары этих углов между касательной и хордой заключена одна и таже дуга, поэтому они численно равны половине, то есть равны между собой.

У. Какой их углов треугольника равен каждой из этих трех пар и почему?

Д. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Так как угол между касательной и хордой равен вписанном углу,опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

У. Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?

Д. они равнобедренные, так как в каждом из этих треугольников есть по два равных угла.

V I. Домашнее задание

№656, 663 по учебнику Атанасян.

Выучить теорию (подготовка к тесту).

Урок 6 – 7

Тема. Пропорциональность отрезков хорд и секущих.

Цели урока. Проверить знания учащихся и понимание темы: «Вписанный угол»; рассмотреть теоретический материал (о хордах и секущих); закрепить навыки решения задач.

I. Вопросы по домашнему заданию

II. Проверка знаний

Проверка теории, проверка знаний учащихся по теме «Вписанный угол» носит характер теста. Тест проверяет не только фактическое зна­ние определений, свойств, но и понимание связей между понятиями. Поэтому некоторые вопросы сформированы не строго в соответствии с учебником. На выполнение отводится 5-7 минут. Работы необходимо оценить. Если ученик не справился, то рекомендуется проверить его на знание формулировок из учебника.

Тест проводится в конце темы, так как необходимо отработать все связи между дугой, центральным и вписанным углами.

Учащимся при выполнении теста нужно написать только соответству­ющие номера. Мы экономим время и заставляем учащихся размышлять.

После проведения теста можно ответить на вопрос, вызвавший инте­рес у большинства учащихся.

Тест (по учебнику Л. С. Атанасян)

Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.

Вариант 1

Вариант 2

Ответы: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.

Вариант 1

Ответы: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Вариант 2

Ответы. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Объяснение нового материала

У. Запишем тему урока и раз­берем задачу по готовому черте­жу устно,(рис. 31)

У. В окружности проведены ди­аметр АС , хорды BD , СВ и AD и касательная CN , которая образует с продолжением хорды AD угол 30°.

Найти DBC .

Рассуждения по задаче:

1) Как называется угол DBC , на какую дугу он опирается?

2) Что можно сказать об угле CAN ?

3) Свойство касательной CN.

4) Как можно вычеслить величину угла CAN и почему?

Вывод: DBC = 60°

Во время рассуждений отмечаем на чертеже равные углы, а также ACN = 90 °. Далее предлагаем рассмотреть треугольники ВСМ и AMD. Эти треугольники подобны (можно подсказать, если не увидят сами).

Для доказательства подобия треугольников надо вспомнить призна­ки подобия.

На чертеже уже отмечены равные углы CBM = CAD (опираются на одну дугу). Остается только заметить вертикальные углы:

ВМС = AMD , ВСМ ~ ∆ AMD (по двум углам).

Что нужно сказать про соответственные стороны подобных треугольников? Составьте пропорцию:

BMAM = CMDM = BCAD.

У. . Чем являются в окружности отрезки, которые вошли в пропорцию?

Д. Части хорд и диаметра.

У. То есть можно предположить, что есть связь между пере­секающимися хордами в окружности.

Сформулируем теорему: если две хорды окружности пересе­каются, то произведение отрезков одной хорды равно произве­дению отрезков другой хорды.

Доказательство проводится по учебнику Атанасян, учащиеся подготов­лены к восприятию теоремы, и ее запись не должна занять много времени.

Считаем, что необходимо рассмотреть теорему о секущих.

Готовим чертеж для теоремы и выясняем, что понимаем под секу­щей к окружности: прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Записываем формулировку теоремы : если из точки, лежащей

вне окруж­ности, проведены две секущие, то произведения секущей на свои внешние части равны. (Или: если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно,

то АР BP = = CP - DP .)

Дано: BP и DP - секущие (рис. 32).

Доказать: BP АР = PD PC.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное постро­ение: ВС nAD .

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Продолжим рассмотрение взаимного рас­положения секущих и окружности. Если из­менить данный чертеж таим образом, что секущая РВ займет положение касательной, то наша теорема будет формулироваться так: если из одной точки вне окружности проведены секущая и касательная к этой окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

P Итак, надо доказать, что BP 2 = PD PC.

Проведем хорды ВС и BD.

BDC = ½ u ВС (как вписанный);

СВР = ½ u ВС (угол между касательной и хордой), следовательно

BDC = CBP .

∆BPD ~ ∆ CPB по двум углам.

Запишем пропорцию:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, значит BP 2= PC PD.

Можно, записав формулировку теоремы, решить задачу № 670 (Ата- насян) и таким образом провести доказательство теоремы. Так как прин­цип доказательства повторяется, во всех трех теоремах он основан на подобии, то можно попросить провести доказательство у доски одного из учащихся.

Задача 1

KL и MN- секущие (рис. №34). Какое свойство можно сформулировать? (Обсуждаем и готовим чертеж, решаем задачу по этому чертежу.)

Хорды MN и КL пересекаются в точке С. Определите длину отрезка CL , если KC = 3см, МС = 3 см; Сн = 9 см. теме "Центральные и вписанные углы ". Обобщить и... . Сегодня у нас заключительный урок по теме : "Центральные и вписанные углы ". Повторяем, обобщаем, приводим...