Произведение трех измерений прямоугольного параллелепипеда. Как найти объем параллелепипеда

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

С пятого класса нам известна формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы вспомним эту формулу и докажем теорему «Объем прямоугольного параллелепипеда»

Докажем теорему: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Дано: параллелепипед

а, b, c — его измерения.

V - объем параллелепипеда.

Доказать: V = abc.

Доказательство:

1. Пусть а, b, c - конечные десятичные дроби, где число знаков после запятой не больше n (n > 1).

Тогда Числа а. 10n , b . 10n, c . 10n - целые.

Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные отрезки длиной и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные ребрам.

Параллелепипед разобьется на abc.103n равных кубиков с ребром. Найдем объем каждого маленького кубика будет равен равно единица, деленная на десять в n-ой степени, возведенная в куб. Возведя числитель и знаменатель в куб, получаем (единица в кубе равна единице, а 10 в n-ой степени в кубе равно 10 в степени 3n) частное единицы и 10 в степени 3n.

Т.к. объем каждого такого кубика равен, а количество этих кубиков аbс умноженное на, то объем прямоугольного параллелепипеда находим умножением количества кубиков на объем маленького кубика Тогда получаем выражение: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению аbс, умноженное на 10 в степени 3n частное единицы и 10 в степени 3n.

Сократим на 10 в степени 3n, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен abc или произведению трех его измерений.

Итак, V = abc.

2.Докажем, если хотя бы одно из измерений a, b, c - бесконечная десятичная дробь, то объем параллелепипеда также равен произведению трех его измерений.

Пусть аn, bn, cn - конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1). Тогда а больше или равно а с индексом и меньше или равно а с индексом n штрих

an < a < an",

где а энное штрих равно сумме а энное и единицы, деленной на десять в n-ой степени =

для b и c, запишем аналогичные неравенства и запишем их друг под другом

an < a < an"

bn < b < bn"

cn < c < cn",

Перемножим эти три неравенства, мы получим: произведение abc больше или равно произведению а энного на b энное и на c энное и меньше или равно а энному штрих на b энное штрих и на c энное штрих:

anbncn abc < an"bn"cn". (1)

По доказанному в п. 1., левая часть - объем параллелепипеда со сторонами anbncn , то есть Vn, а правая — объем параллелепипеда со сторонами an"bn"cn", то есть Vn".

Т.к. параллелепипед Р, то есть параллелепипед с измерениями a, b, c содержит в себе параллелепипед Рn, то есть параллелепипед со сторонами an, bn, cn, а сам содержится в параллелепипеде Pn", то есть в параллелепипеде со сторонами an", bn", cn" то объем V параллелепипеда Р заключен между Vn = anbncn и Vn "= an"bn"cn",

т.е. anbncn < V < an"bn"cn". (2)

При неограниченном увеличении n число частное единицы и 10 в степени 3n будет становиться сколь угодно малым, и потому числа anbncn и an"bn"cn" будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны:

V = abc. Теорема доказана.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Пусть длина прямоугольника равна а и ширина равна b, высоту обозначим h=c. Тогда площадь прямоугольника ищем по формуле. Подставим в формулу для нахождения объема V = abc вместо произведения пишем. Получаем формулу

Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Дана прямоугольная призма, угол А в основании является прямым. Достроим прямоугольную призму до прямоугольного параллелепипеда (смотрите чертеж). Прямоугольный параллелепипед состоит из двух прямоугольных призм, которые равны, так как имеют равные основания и высоты. Соответственно, площадь прямоугольника равна двум площадям прямоугольных треугольников АВС Следовательно, объем прямоугольной призмы равен половине объема прямоугольного параллелепипеда (при умножении) или произведению основания прямоугольного треугольника на высоту.

Задача 1.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем прямоугольного параллелепипеда ищем по формуле:

Данная фигура состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.

Пусть — это объем полного параллелепипеда с измерениями 4, 3, 3. Тогда это объем малого «вырезанного» параллелепипеда с измерениями 3, 1, 1.

Чтобы найти объем многогранника, необходимо найти разность объемов V1 и V2

Находим объем V1 как произведение его измерений обозначим их а1, b1, c1, получаем объем его равен

Для малого «вырезанного» параллелепипеда объем V2 равен произведению его измерений, их обозначим как а2, b2, c2 , тогда получим

Теперь найдем объем многогранника V как разность V1 и V2, получим V=

Ответ: V многогранника равен 33

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ

82. Основные допущения в объёмах. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом этого тела.

Мы ставим, задачу - найти для этой величины выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1) Равные тела имеют равные объёмы .

2) Объём какого-нибудь тела (например, каждого параллелепипеда, изображённого на черт. 87), состоящего из частей (Р и Q), равен сумме объёмов этих частей .

Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.

83. Единица объёма. За единицу объёмов при измерении их берут объём такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (м 3), кубические сантиметры (см 3) и т. д.

Объём параллелепипеда

84. Теорема. Объём прямоугольного параллелепипедa равен произведению трёх его измерений.

В таком кратком выражения теорему эту надо понимать так: число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т. е. в единице, являющейся ребром куба, объём которого принят за кубическую единицу. Так, если х есть число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и а, b и с -числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc .

При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая:

1) Измерения выражаются целыми числами .

Пусть, например, измерения будут (черт. 88): АВ = а , ВС = b и BD = c ,
где а, b и с - какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на чертеже: а = 4, b = 2 и с = 5). Тогда основание параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу. На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображённый на чертеже), состоящий из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит с таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить с таких слоев. Следовательно, объём этого параллелепипеда равен abc кубических единиц.

2) Измерения выражаются дробными числами . Пусть измерения параллелепипеда будут:

m / n , p / q , r / s

. (некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Примем 1 / nqs долю линейной единицы за новую (вспомогательную) единицу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно: mqs, pns и rnq , и потому по доказанному (в случае 1) объём параллелепипеда равен произведению (mqs ) (pns ) (rnq ), если измерять этот объём новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических единиц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной единице, содержится (nqs ) 3 ; значит, новая кубическая единица составляет 1 /(nqs ) 3 прежней. Поэтому объём параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен:

3) Измерения выражаются иррациональными числами . Пусть у данного параллелепипеда (черт. 89), который для краткости мы, обозначим одной буквой Q, измерения будут:

АВ = α ; AС = β; AD = γ,

где все числа α , β и γ или только некоторые из них иррациональные.

Каждое из чисел α , β и γ может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмём приближённые значения этих дробей с п десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим α n , β n , γ n , значения с избытком α" n , β" n , γ" n . Отложим на ребре АВ, начиная от точки А, два отрезка AB 1 = α n и АВ 2 = α" n .
На ребре АС от той же точки А отложим отрезки АС 1 = β n и AС 2 = β" n и на ребре AD от той же точки-отрезки АD 1 = γ n и AD 2 = γ" n .

При этом мы будем иметь:

AB 1 < АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда; один (обозначим его Q 1) с измерениями АВ 1 , АС 1 и AD 1 и другой (обозначим его Q 2) с измерениями АВ 2 , АС 2 и AD 2 . Параллелепипед Q 1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q 2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q.

По доказанному (в случае 2) будем иметь:

объём Q 1 = α n β n γ n (1)

объём Q 2 = α" n β" n γ" n (2)

Оричём объём Q 1 < объёма Q 2 .

Начнём теперь увеличивать число п . Это значит, что мы берём приближённые значения чисел α , β , γ всё с большей и большей степенью точности.

Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q 1 и Q 2 .

При неограниченном возрастании п объём Q 1 , очевидно, увеличивается и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n имеет споим пределом предел произведения (α n β n γ n ). Объём Q 2 , очевидно, уменьшается и в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения (α" n β" n γ" n ). Но из алгебры известно, что оба произведения
α n β n γ n и α" n β" n γ" n при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел αβγ.

Этот предел мы и принимаем за меру объёма параллелепипеда Q: объём Q = αβγ.

Можно доказать, что определённый таким образом объём удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объёма (§ 82). В самом деле, при таком определении объёма равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объёмы. Следовательно, первое условие (§ 82) выполняется. Разобьём теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q 1 и Q 2 (черт. 90).

Тогда будем иметь:

объём Q = АВ АС АD,
объём Q 1 = АВ АА 1 АD,
объём Q 2 = А 1 В 1 А 1 С А 1 D 1 .

Складывая почленно два последних равенства и замечая, что А 1 В 1 = АВ и А 1 D 1 =АD, получим:

объём Q 1 +объём Q 2 = АВ АА 1 АD+АВ А 1 С АD = АВ АD (АА 1 + А 1 С) = АВ АD АC, отсюда получаем:

объём Q 1 +объём Q 2 = объёму Q.

Следовательно, и второе условие § 82 тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.

85. Следствие. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, служащие сторонами его основания, выражаются числами а и b , а третье измерение (высота)-числом с . Тогда, обозначая объём его в соответствующих кубических единицах буквой V, можем написать:

V = аbс .

Так как произведение аb выражает площадь основания, то можнo сказать, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .

Замечание. Отношение двух кубических единиц разных названий равно третьей степени отношения тех линейных единиц, которые служат рёбрами для этих кубических единиц. Так, отношение кубического метра к кубическому дециметру равно 10 3 , т. е. 1000. Поэтому, например, если мы имеем куб с ребром длиной а линейных единиц и другой куб с ребром длиной 3а линейных единиц, то отношение их объёмов будет равно 3 3 , т. е. 27, что ясно видно из чертежа 91.

86. Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - её боковому ребру.

Пусть дана наклонная призма ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (черт. 92).

Продолжим все её боковые рёбра и боковые грани в одном направлении.

Возьмём на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную точку а и проведём через неё перпендикулярное сечение abcde . Затем, отложив аа 1 = АА 1 , проведём через а 1 перпендикулярное сечение a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 . Так как плоскости обоих сечений параллельны, то bb 1 = сс 1 = dd 1 = ее 1 = аа 1 = АА 1 (§17). Вследствие этого многогранник a 1 d , у которого за основания приняты проведённые нами сечения, есть прямая призма, о которой говорится в теореме.

Докажем, что данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники a D и a 1 D 1 равны. Основания их abcde и a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 равны как основания призмы a 1 d ; с другой стороны, прибавив к обеим частям равенства А 1 А = а 1 а по одному и тому же отрезку прямой А 1 а , получим: а А = а 1 А 1 ; подобно этому b В = b 1 В 1 , с С = с 1 С 1 и т. д. Вообразим теперь, что многогранник a D вложен в многогранник a 1 D 1 так, что основания их совпали; тогда боковые рёбра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут; поэтому многогранник a D совместится с многогранником a 1 D 1 ; значит, эти тела равны. Теперь заметим, что если к прямой призме a 1 d добавим многогранник a D, а к наклонной призме A 1 D добавим многогранник a 1 D 1 , равный a D, то получим один и тот же многогранник a 1 D. Из этого следует, что две призмы A 1 D и a 1 d равновелики.

87. Теорема. Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда п р я м о у г о л ь н о г о, теперь докажем её для параллелепипеда п р я м о г о, а потом и н а к л о н н о г о.

1). Пусть (черт. 93) АС 1 - прямой параллелепипед, т. е. такой, у которого основание ABCD - какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.

Возьмём в нём за основание боковую грань АА 1 В 1 В; тогда параллелепипед будет
н а к л о н н ы й. Рассматривая его как частный случай наклонной п р и з м ы, мы на основании леммы предыдущего параграфа можем утверждать, что этот параллелепипед равновелик такому прямому параллелепипеду, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота ВС. Четырёхугольник MNPQ- прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов; поэтому прямой параллелепипед, имеющий основанием прямоугольник MNPQ, должен быть прямоугольным и, следовательно, его объём равен произведению трёх его измерений, за которые можно принять отрезки МN, МQ и ВС. Таким образом,

объём AС 1 = МN МQ ВС = МN (МQ ВС).

Но произведение МQ ВС выражает площадь параллелограмма АВСD, поэтому

объём АСХ = (площади АВСD) МN = (площади АВСD) ВВ 1 .

2) Пусть (черт. 94) АС 1 - наклонный параллелепипед.

Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение МNРQ (т. е. перпендикулярное к рёбрам АD, ВС, . . .), а высотой - ребро ВС. Но, по доказанному, объём прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; значит,

объём АС 1 = (площади МNРQ) ВС.

Если RS есть высота сечения МNРQ, то площадь МNРQ = МQ RS, поэтому

объём АС 1 = МQ RS ВС = (ВС MQ) RS.

Произведение ВС MQ выражает площадь параллелограмма АВСD; следовательно, объём АС 1 = (площади АВСОD) RS.

Остаётся теперь доказать, что отрезок RS представляет собой высоту параллелепипеда. Действительно, сечение МNРQ, будучи перпендикулярно к рёбрам ВС, В 1 С 1 , .. . , должно быть перпендикулярно к граням АВСD, ВВ 1 С 1 С, .... проходящим через эти рёбра (§ 43). Поэтому если мы из точки S восставим перпендикуляр к плоскости АВСD, то он должен лежать весь в плоскости МNРQ (§ 44) и, следовательно, должен слиться с прямой RS, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к МQ. Значит, отрезок SR есть высота параллелепипеда. Таким образом, объем и наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие. Если V, В и H суть числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту параллелепипеда, то можно написать.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства