Допустимые значения переменной в выражении. Сбор и использование персональной информации

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1: а, если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Определение 1

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Определение 2

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Определение 3

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Пример 1

Для примера рассмотрим выражение вида 1 x - y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид (0 , 1 , 2) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что (1 , 1 , 2) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Определение 4

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Пример 2

Если имеем выражение вида 5 z - 3 , тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 3) ∪ (3 , + ∞) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

Если имеется выражения вида z x - y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.

Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f (x) .

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

• если имеется деление на ноль;
• извлечение корня из отрицательного числа;
• наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
• вычисление логарифма отрицательного числа;
• область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
• нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ - 1 ; 1 ] .

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Пример 3

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Пример 4

Найти ОДЗ выражения 1 3 - x + 1 0 .

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅ .

Пример 5

Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 - 5 · x .

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Пример 6

Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 - 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Ответ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Тождественные преобразования:

• могут не влиять на ОДЗ;
• могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
• могут сузить ОДЗ.

Рассмотрим на примере.

Пример 7

Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Пример 8

Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Пример 9

Если имеется x - 1 · x - 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После преобразования x - 1 · x - 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим пример выражения x - 1 · x - 3 , когда х = - 1 . При подстановке получим, что - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x - 1 · x - 3 , тогда при вычислении получим, что 2 - 1 · 2 - 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

Пример 11

Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

Пример 12

Если имеется выражение вида ln x + ln (x + 3) , его заменяют на ln (x · (x + 3)) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Поэтому для определения ОДЗ ln (x · (x + 3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (0 , + ∞) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

\(\frac{x}{x-1}\) значение переменной будет равно 1, нарушается правило: на ноль делить нельзя . Поэтому здесь \(x\) не может быть единицей и ОДЗ записывается так: \(x\neq1\);

Если в выражении \(\sqrt{x-2}\) значение переменной равно \(0\), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно . Значит, здесь \(x\) не может быть \(0\), а также \(1, -3, -52,7\) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: \(x\geq2\);

А вот в выражение \(4x+1\) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь - вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают , потому что оно не несет в себе полезной информации.

Все правила, которые должны соблюдаться вы можете найти .

ОДЗ в уравнениях

Про область допустимых значений важно помнить при решении и , т.к. там мы как раз ищем значения переменных и можем случайно найти такие, которые нарушают правила математики.

Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.

Пример : Решить уравнение
Решение :

Без ОДЗ:		С ОДЗ:
\(\frac{x^2-x}{x+3}=\frac{12}{x+3}\)		\(\frac{x^2-x}{x+3}=\frac{12}{x+3}\)
		ОДЗ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\)\(\frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2·1}\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\)\(\frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2·1}\) \(=-3\) - не подходит под ОДЗ
Ответ : \(4; -3\)		Ответ : \(4\)

Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний ! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.

\(\frac{(-3)^2-(-3)}{(-3)+3}\) \(=\)\(\frac{12}{(-3)+3}\)
\(\frac{12}{0}\) \(=\)\(\frac{12}{0}\)

Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения - не существуют. Таким образом, "\(-3\)" – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.

Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!

Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.

Пример : Найдите область определения выражения \(\sqrt{5-2x}+\)\(\frac{1}{\sqrt{14+5x-x^{2}}}\)

Решение : В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот . Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым - больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?

Ответ : \((-2;2,5]\)

Допустимые значения переменных,
входящих в дробное выражение

Цели: формировать умение находить допустимые значения переменных, входящих в дробные выражения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Подставьте вместо * какое-нибудь число и назовите полученную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала происходит в т р и э т а п а:

1. Актуализация знаний учащихся.

2. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рациональная дробь имеет смысл.

3. Вывод правила нахождения допустимых значений переменных, входящих в рациональную дробь.

При актуализации знаний учащимся можно задать следующие
в о п р о с ы:

– Какую дробь называют рациональной?

– Всякая ли дробь является дробным выражением?

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Для выяснения вопроса о допустимых значениях переменных, входящих в рациональную дробь, можно предложить учащимся выполнить задание.

З а д а н и е. Найдите значение дроби при указанных значениях переменной:

При х = 4; 0; 1.

Выполняя данное задание, учащиеся понимают, что при х = 1 невозможно найти значение дроби. Это позволяет им сделать следующий в ы в о д: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль (этот вывод должен быть сформулирован и произнесён вслух самими учащимися).

После этого учитель сообщает учащимися, что все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

1) Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми.

2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 10, № 11.

Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в дробное выражение, может звучать по-разному. Например, рассматривая рациональную дробь , можно сказать, что допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме х = 4, или что в допустимые значения переменной не входит число 4, то есть х ≠ 4.

И та и другая формулировки являются верными, главное – следить за правильностью оформления.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:

4х (х + 1) = 0

О т в е т: х ≠ 0 и х ≠ 1 (или все числа, кроме 0 и –1).

3. № 14 (а, в), № 15.

При выполнении этих заданий следует обратить внимание учащихся на необходимость учёта допустимых значений переменных.

г)

О т в е т: х = 0.

Следить за обоснованием всех рассуждений.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 18 и № 20.

Р е ш е н и е

Из всех дробей с одинаковым положительным числителем большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим. То есть необходимо найти, при каком значении а выражение а 2 + 5 принимает наименьшее значение.

Поскольку выражение а 2 не может быть отрицательным ни при каких значениях а , то выражение а 2 + 5 будет принимать наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: а = 0.

Рассуждая аналогично, получим, что необходимо найти то значение а , при котором выражение (а – 3) 2 + 1 принимает наименьшее значение.

О т в е т: а = 3.

Р е ш е н и е

.

Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать выражение, стоящее в знаменателе дроби.

Дробь будет принимать наибольшее значение, если выражение (2х +
+ у ) 2 + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку (2х + у ) 2 не может принимать отрицательные значения, то наименьшее значение выражения (2х + у ) 2 + 9 равно 9.

Тогда значение исходной дроби равно = 2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение?

– Каковы допустимые значения переменных целого выражения?

– Как найти допустимые значения переменных дробного выражения?

– Существуют ли рациональные дроби, для которых все значения переменных являются допустимыми? Приведите примеры таких дробей.

Домашнее задание: № 12, № 14 (б, г), № 212.

48. Виды алгебраических выражений.

Из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок составляются алгебраические выражения.

Примеры алгебраических выражений:

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в частности, возведения в степень с дробным показателем), то оно называется целым. Из написанных выше целыми являются выражения 1, 2 и 6.

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражения с переменными, то оно называется дробным. Так, из написанных выше дробными являются выражения 3 и 4.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Так, из написанных выше рациональными выражениями являются выражения 1, 2, 3, 4 и 6.

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то такое алгебраическое выражение называется иррациональным. Так, из написанных выше иррациональными являются выражения 5 и 7.

Итак, алгебраические выражения могут быть рациональными и иррациональными. Рациональные выражения, в свою очередь, разделяются на целые и дробные.

49. Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения.

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Так, при любых значениях переменных имеют смысл целые выражения 1, 2, 6 из п. 48.

Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Так, дробное выражение 3 из п. 48 имеет смысл при всех о, кроме , а дробное выражение 4 имеет смысл при всех а, b, с, кроме значений а

Иррациональное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональное выражение 5 имеет смысл только при тех а, b, при которых а иррациональное выражение 7 имеет смысл только при и (см. п. 48).

Если в алгебраическом выражении переменным придать допустимые значения, то получится числовое выражение; его значение называется значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.

Пример. Найти значение выражения при

Решение. Имеем

50. Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество.

Рассмотрим два выражения При имеем . Числа 0 и 3 называются соответственными значениями. выражений при Найдем соответственные значения тех же выражений при

Соответственные значения двух выражений могут быть равными друг другу (так, в рассмотренном примере выполняется равенство ), а могут и отличаться друг от друга (так, в рассмотренном примере ).

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Чему равна скорость света