Введение.

Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться в XVII веке, а проективные преобразования появились лишь в начале XIX века.

В алгебре рассматриваются различные функции. Функция f каждому числу х из области определения функции ставит в соответствие некоторое число f(x) – значение функции f в точке х. В геометрии рассматриваются функции, у которых другие области определения и множества значений. Они каждой точке ставят в соответствие точку. Эти функции называются геометрическими преобразованиями.

Геометрические преобразования имеют большое значение в геометрии. С помощью геометрических преобразований определяются такие важные геометрические понятия, как равенство и подобие фигур. Благодаря геометрическим преобразованиям, многие разрозненные факты геометрии укладываются в стройную теорию.

В реферате, в основном, речь пойдёт о преобразованиях пространства. Будут рассмотрены все движения, подобия, круговые и аффинные преобразования пространства, а также аффинные и проективные преобразования плоскости. Для каждого преобразования будут рассмотрены его свойства и примеры применения к решению геометрических задач.

Для начала обратимся к некоторым основным понятиям, которые будут необходимы нам для работы с преобразованиями. Остановимся на двух терминах: расстояние и преобразование. Итак, что мы будем понимать под этими словами:

Определение. Расстоянием между двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.

Определение. Преобразованием множества будем называть взаимно однозначное отображение этого множества на себя.

Теперь перейдём к рассмотрению отдельных видов геометрических преобразований.

Часть I. Движения пространства.

Общие свойства движений.

Определение. Преобразование пространства называется движением , если оно сохраняет расстояния между точками.

Свойства движений.

Преобразование, обратное к движению, – движение.
Композиция движений – движение.
При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость – в плоскость, полуплоскость – в полуплоскость.
Образом плоского угла при движении является плоский угол той же величины.
Движение сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Движение сохраняет параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения движения.

Пусть точки А, Х и В лежат на одной прямой, причём точка Х лежит между А и В. Тогда АХ+ХВ=АВ. Пусть точки А´, Х´, В´ – образы точек А, Х, В при движении. Тогда А´Х´+Х´В´=А´В´ (из определения движения). А отсюда следует, что точки A´, X´, B´ лежат на одной прямой, причём Х´ лежит между А´ и В´.
Из доказанного утверждения сразу следует, что при движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Для плоскости доказательство можно провести так. Пусть a, b – две пересекающиеся прямые нашей плоскости α, a´, b´ – их образы. Очевидно, a´ и b´ пересекаются. Пусть α´ – плоскость, содержащая прямые a´, b´. Докажем, что α´ – образ плоскости α. Пусть М – произвольная точка плоскости α, не лежащая на прямых a и b. Проведём через M прямую c, пересекающую прямые a и b в различных точках. Образом этой прямой является прямая с´, пересекающая прямые a´, b´ в различных точках. Значит, и М´, образ точки М, лежит в плоскости α´. Итак, образ любой точки плоскости α лежит в плоскости α´. Аналогично доказывается, что прообраз любой точки плоскости α´ лежит в плоскости α. Отсюда α´ – образ плоскости α.

Теперь уже несложно доказать утверждение и для полуплоскости. Надо лишь дополнить полуплоскость до плоскости, рассмотреть прямую а, ограничивающую полуплоскость, и её образ а´, а затем доказать от противного, что образы любых двух точек полуплоскости лежат по одну сторону от а´.

Следует из свойства 3.
Следует из свойства 4 и определения угла между прямыми (прямой и плоскостью, двумя плоскостями) в пространстве.
Предположим противное, т.е. пусть образы наших параллельных прямых (прямой и плоскости, плоскостей) пересекаются (в случае параллельных прямых ещё надо показать, что их образы не могут быть скрещивающимися прямыми, но это сразу следует из того, что плоскость, содержащая эти прямые, перейдёт в плоскость). Тогда рассмотрим их общую точку. У неё будет два прообраза, что невозможно по определению преобразования.

Определение. Фигура Ф называется равной фигуре Ф´, если существует движение, переводящее Ф в Ф´.

Виды движений.

3.1. Тождественное преобразование.

Определение. Тождественным преобразованием Е пространства называется преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

Очевидно, тождественное преобразование является движением.

3.2. Параллельный перенос.

Определение. Пусть в пространстве задан вектор . Параллельным переносом пространства на вектор называется преобразование, при котором каждая точка М отображается в такую точку М´, что .

Теорема 3.2. Параллельный перенос – движение.

Доказательство. Пусть А´, В´ – образы точек А, В при параллельном переносе на вектор . Достаточно показать, что АВ=А´В´, что следует из равенства:

Свойство переноса. Параллельный перенос переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.2, мы доказали, что при параллельном переносе сохраняются вектора. Значит, сохраняются направляющие вектора прямых и векторы нормали плоскостей. Отсюда и следует наше утверждение.

Центральная симметрия.

Определение. Симметрией относительно точки О (центральной симметрией ) пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М´, что точка О является серединой отрезка ММ´. Точка О называется центром симметрии .

Теорема 3.4. Центральная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть А, В – две произвольные точки, А´, В´ – их образы, О – центр симметрии. Тогда .

Свойство центральной симметрии. Центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.4, мы доказали, что при параллельном переносе вектора меняются на противоположные. Значит, у направляющих векторов прямых и векторов нормали плоскостей при центральной симметрии лишь меняются направления. Отсюда и следует наше утверждение.

Теорема о задании движения.

Теорема 5.1. (теорема о задании движения) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.

Доказательство.

I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия S α переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 .

Теперь, если В 1 совпала с В´, С 1 – с С´, D 1 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В 1 не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B 1 и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В 1 и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия S β переводит тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 в тетраэдр A´B´C 2 D 2 .

Теперь, если С 2 совпала с С´, а D 2 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С 2 не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С 2 и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С 2 и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия S γ переводит тетраэдр A´B´C 2 D 2 в тетраэдр A´B´C´D 3 .

Теперь, если D 3 совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D 3 и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D 3 и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия S δ переводит тетраэдр A´B´C´D 3 в тетраэдр A´B´C´D´.

Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).

II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.

При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и

Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.

Гомотетия пространства.

Вначале рассмотрим важный частный случай подобия – гомотетию.

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором образом каждой точки Х является точка Х´ такая, что .

Свойства гомотетии.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения гомотетии.

3. Доказывается аналогично соответствующей теореме на плоскости. Действительно, если мы рассмотрим произвольную точку Х пространства, нам будет достаточно доказать нашу теорему для плоскости (АХВ).

4. Доказывается от противного.

Следует из свойства 1.

Свойства подобия.

Теорема 2.1. Подобие пространства можно представить композицией гомотетии и движения f:

Доказательство. Произведём гомотетию с центром в произвольной точке. Рассмотрим преобразование f такое, что (существование такого преобразования следует из определения преобразования). Преобразование f будет движением по определению движения.

Заметим, что, выбрав за f движение , мы сможем получить представление нашего подобия и в таком виде .

Свойства подобия.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следствия из теоремы 2.1.

3. Следует из определения подобия.

4. Для куба теорема, очевидно, верна. Для тела, состоящего из кубов, естественно, тоже.

Произвольный многогранник М можно наложить на кубическую решётку. Будем измельчать эту решётку. При стремлении стороны одного кубика нашей решётки к нулю объёмы двух тел: тела I, состоящего из кубиков лежащих полностью внутри М, и тела S, состоящего из кубиков, имеющих общие точки с М, – стремятся к объёму многогранника М (это следует из того, что для каждой грани нашего многогранника М к нулю будет стремиться объём кубиков, пересекающих эту грань). При этом для образа М´ многогранника М при нашем подобии объёмы тел I´, S´ (образов тел I, S) стремятся к объёму многогранника М´. Для тел I и S наша теорема верна, значит, она верна и для многогранника М.

Объём произвольного тела определяется через объёмы соответствующих многогранников, поэтому теорема верна и для произвольного тела.

Теорема 2.2. (о задании подобия пространства) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ такие, что , то существует ровно одно подобие пространства, при котором А→А´, В→В´, С→С´, D→D´.

Доказательство. То, что такое подобие существует, следует из теоремы 2.1 и теоремы о задании движения пространства (часть I, теорема 5.1). Пусть таких преобразований два: P и Р´. Тогда преобразование – движение, имеющие неподвижные точки A, B, C, D, т.е. f – тождественное преобразование. Отсюда Р=Р´.

Задача 1.

Точки M, N, P расположены на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Точки M´, N´, P´ симметричны точкам M, N, P относительно сторон АВ, ВС, АС. Доказать, что площади треугольников MNP и M´N´P´ равны.

Решение.

Для правильного треугольника утверждение очевидно.

Точно так же любую трапецию можно аффинным преобразованием перевести в равнобедренную, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для равнобедренной трапеции.

Задача 2.

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ АС в точке Р, а через точку С – прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

Решение.

Для равнобедренной трапеции утверждение очевидно.

Сжатие к прямой.

Определение. Сжатием к прямой ℓ с коэффициентом k () называется преобразование, переводящее произвольную точку М в такую точку М´, что и , где .

Теорема 2.1. Сжатие к прямой – аффинное преобразование.

Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая переходит в прямую. Можно даже заметить, что сжатие к прямой – частный случай параллельного проектирования (когда направление проектирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей).

Теорема 2.2. Для любого аффинного преобразования существует квадратная решётка, которая при этом преобразовании переходит в прямоугольную решётку.

Доказательство. Возьмём произвольную квадратную решётку и рассмотрим один из её квадратиков ОАВС. Он при нашем преобразовании перейдёт в параллелограмм О´А´В´С´. Если О´А´В´С´ – прямоугольник, то наше доказательство закончено. В противном случае положим для определённости, что угол А´О´В´ – острый. Будем поворачивать квадрат ОАВС и всю нашу решётку вокруг точки О. Когда квадрат ОАВС повернётся на (так что точка А перешла в точку В), точка А´ перейдёт в точку В´, а В´ в вершину параллелограмма, смежного с О´А´В´С´. Т.е. угол А´О´В´ станет тупым. По принципу непрерывности, в какой-то момент он был прямым. В этот момент квадрат ОАВС переходил в прямоугольник, а наша решётка – в прямоугольную решётку, ч.т.д.

Теорема 2.3. Аффинное преобразование можно представить композицией сжатия к прямой и подобия.

Доказательство. Следует из теоремы 2.2.

Теорема 2.4. Аффинное преобразование, переводящее некоторую окружность в окружность, является подобием.

Доказательство. Опишем около нашей окружности квадрат и повернём его так, чтобы он переходил при нашем преобразовании в прямоугольник (теорема 2.2.). Наша окружность перейдёт в окружность, вписанную в этот прямоугольник, поэтому этот прямоугольник является квадратом. Теперь мы можем указать квадратную решётку, переходящую при нашем преобразовании в квадратную решётку. Очевидно, наше преобразование – подобие.

3. Аффинные преобразования пространства.

Определение. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость.

Свойства.

При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые.
Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на её образ.
При аффинном преобразовании параллельные плоскости (прямые) переходят в параллельные плоскости (прямые).

Доказательства свойств.

Следует из того, что прямая есть пересечение двух плоскостей, и из определения аффинного преобразования.
Следует из определения аффинного преобразования и свойства 1.
Для плоскостей доказывается от противного, для прямых – через свойство 2 и свойство аффинного преобразования плоскости.

Теорема 3.1. (о задании аффинного преобразования пространства) Для любых данных тетраэдров АВСD и А´В´С´D´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Доказательство. Доказывается аналогично теореме 1.1. (строятся решётки параллелепипедов).

Из доказательства теоремы 3.1 следует, что если у нас есть некоторая косоугольная система координат W, а W´ – её образ при аффинном преобразовании, то координаты произвольной точки пространства в системе координат W равны координатам её образа в системе координат W´.

Отсюда сразу вытекают ещё некоторые свойства аффинного преобразования.

Преобразование, обратное аффинному, является аффинным.
Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.

Теперь пусть в пространстве задана система координат (О, , , ) и аффинное преобразование f переводит О в О´ , а базисные вектора в вектора , , соответственно. Найдём координаты x´, y´, z´ образа M´(x´,y´,z´) точки M(x,y,z) при преобразовании f.

Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка М´ в системе координат (О´, , , ). Отсюда

Поэтому имеем равенства (*):

Стоит ещё заметить, что , т.к. векторы , , линейно независимы.

Этот определитель называется определителем аффинного преобразования .

Теорема 3.2. Преобразование, заданное равенствами (*), при является аффинным.

Доказательство. Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аx´+Вy´+Сz´+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:

Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система

с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.

Теорема 3.3. Для объёмов V и V´ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость .

Доказательство. Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы , и . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим:

Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов:

где V 0 – объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах.

Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма V´ образа параллелепипеда объёма V имеем:

где – объём параллелепипеда, построенного на векторах , как на рёбрах.

Отсюда получаем: . Далее , поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий (часть II, §2).

Задача.

Вершина параллелепипеда соединена с центрами трёх не содержащих её граней. Найдите отношение объёма полученного тетраэдра к объёму данного параллелепипеда.

Решение.

Посчитаем данное отношение для куба и, переведя аффинным преобразованием куб в параллелепипед, воспользуемся тем, что аффинное преобразование сохраняет отношение объёмов. Для куба отношение легко считается. Оно равно 1:12.

Ответ: 1:12.

Родство пространства.

Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ (родством ), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства . Соответственные при родстве элементы называются родственными .

Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства .

Свойства родства.

Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.
(Корректность определения направления родства) Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.
Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.
Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.

Доказательства свойств.

1. Доказательство аналогично доказательству свойства зеркальной симметрии (часть I, §3.5).

2. Пусть А, В – две различные точки; А´, В´ – их образы при родстве, α – плоскость родства. Пусть . Тогда (свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.

3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2.

Определение. Поверхность, представляемая уравнением , называется эллипсоидом . Частным случаем эллипсоида является сфера.

Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится:

Теорема 4.1. Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид.

Теорема 4.2. Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства.

Доказательство. Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´, – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда – искомое представление.

Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3:

Теорема 4.3. Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием.

Часть IV. Проективные преобразования.

1. Проективные преобразования плоскости.

Определение. Проективная плоскость – обычная (евклидова)плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами . При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой.

Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным .

Следствие. Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую.

Определение. Центральным проектированием плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β.

При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными .

Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β).

Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции :

Центральное проектирование – проективное преобразование.
Обратное к центральному проектированию преобразование – центральное проектирование с тем же центром.
Прямые, параллельные выделенным, переходят в параллельные.

Определение. Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением (АВ; СD) этих точек называется величина . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.

Теорема 1.1. Центральная проекция сохраняет двойные отношения.

Доказательство. Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы.

Аналогично .

Поделив одно равенство на другое, получим .

Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим .

Отсюда , т.е. .

Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными.

Теорема 1.2. Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q.

Доказательство.

Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники.

Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X 1 X 2 (K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y 1 Y 2 (T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х 1 , Х 2 следует, что прямая Х 1 Х 2 – выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y 1 ´ такую, что , . На прямой C´D´ отметим точку Y 2 ´ такую, что Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y 1 ´ и Y 2 ´ следует, что прямая Y 1 ´Y 2 ´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С 0 ´ прямой С´D´.

Докажем, что С 0 совпадает с С´. Из того, что Х 2 при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y 2 ´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что , откуда . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что . Отсюда будет следовать, что точки С 0 и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D 0 – образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.

Теорема 1.3. Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Существование такого преобразования следует из теоремы 1.1.

Единственность можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись п

Движения плоскости и их свойства. Примеры движений. Классификация движений. Группа движений. Применение движений к решению задач

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Движение – это биективное преобразование φ плоскости π, при котором для любых различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY  φ(X)φ(Y).

Свойства движений:

1.Композиция φ ◦ ψ двух движений ψ , φ является движением.

Док-во: Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F ’, а фигура F ’ переводится движением φ в фигуру F ’’. Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X ’ фигуры F ’ , а при втором движении точка X ’ фигуры F ’ переходит в точку X ’’ фигуры F ’’. Тогда преобразование фигуры F в фигуру F ’’, при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X ’’ фигуры F ’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в соответствие исходному: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Если φ – движение, то преобразование φ -1 также является движением.

Док-во: Пусть преобразование фигуры F в фигуру F ’ переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F ’. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X ’ фигуры F ’.

Преобразование фигуры F ’ в фигуру F , при котором точка X ’ переходит в точку X , называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ -1 .

Т.о., преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование φ -1 удовлетворяет равенствам: f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , где ε – тождественное отображение.

3. Ассоциативность композиций: Пусть φ 1 , φ 2 , φ 3 – произвольные движения. Тогда φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет определить степень φ с натуральным показателем n .

Положим φ 1 = φ и φ n +1 = φ n ◦ φ , если n ≥ 1 . Таким образом, движение φ n получается путём n -кратного последовательного применения движения φ .

4. Сохранение прямолинейности: Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Это значит, что если точки A , B , C , лежащие на одной прямой (такие точки называют коллинеарными), переходят в точки A 1 , B 1 , C 1 , то эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C , то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Док-во. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C . Докажем, что точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой.

Если точки A 1 , B 1 , C 1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольника A 1 B 1 C 1 . Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 .

По определению движения следует, что AC < AB + BC .

Однако по свойству измерения отрезков AC = AB + BC .

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 , и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB + AC = BC . Но это противоречит равенству AB + BC = AC .

Т.о., точка A 1 нележит между точками B 1 , и C 1 .

Аналогично доказывается, что точка C 1 не можетлежать между точками A 1 и B 1 . Т.к. из трёх точек A 1 , B 1 , C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

Следствие . При движении прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник.

Если через Х обозначить множество точек плоскости, а через φ(Х) - образ множества Х при движении φ, т.е. множество всех точек вида φ(х), где х є Х, то можно дать более корректную формулировку данного свойства:

Пусть φ – движение, А, В, С – три различные коллинеарные точки.

Тогда точки φ(А), φ(В), φ(С) также коллинеарны.

Если l – прямая, то φ(l) также прямая.

Если множество Х является лучом (отрезком, полуплоскостью), то множество φ(Х) также является лучом (отрезком, полуплоскостью).

5. При движении сохраняются углы между лучами.

Док-во. Пусть AB и AC – два луча, исходящие, из точки A , не лежащие на одной прямой. При движении эти лучи переходят в некоторые полупрямые (лучи) A 1 B 1 и A 1 C 1 . Т.к. движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны).Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

6. Всякое движение сохраняет сонаправленность лучей и одинаковую ориентированность флагов.

Лучи l А и l В называются сонаправленными (одинаково ориентированными, обозначение: l А l В ), если один из них содержится в другом, или если они совмещаются параллельным переносом. Флаг F = (π l , l o) – это объединение полуплоскости π l и луча l o .

Точка О – начало флага, луч l o с началом в точке О – древко флага, π l – полуплоскость с границей l .

Док-во. Пусть φ – произвольное движение, l А l В –сонаправленные лучи с началами в точках А и В соответственно. Введём обозначения: l А1 = φ (l А ), А 1 = φ (А ), l В1 = φ (l В ), В 1 = φ (А ).Если лучи l А и l В лежат на одной прямой, то в силу сонаправленности один из них содержится в другом. Считая, что l А  l В , получаем φ (l А )  φ (l В ), т.е. l А1 l В1 (символом  обозначается включение или равенство подмножества элементов множеству элементов).Если же l А, l В лежат на разных прямых, то пусть n = (AB ).Тогда существует такая полуплоскость π n , что l А, l В  π n . Отсюда φ (l А ),φ (l В ) φ (π n ). Поскольку φ (π n ) – полуплоскость, причем ее граница содержит точки А 1 и В 1 , мы опять получаем, что l А, l В сонаправлены.

Применим теперь движение φ к одинаково ориентированным флагам F = (π l ,l А ), G = (π m ,m B ).Рассмотрим случай, когда точки A и B совпадают. Если прямые l и m различны, то одинаковая ориентированность флагов означает, что либо (1) l А  π m , m А  π’ l , либо (2) l А  π’ m , m А  π l . Без ограничения общности можно считать, что выполняется условие (1). Тогда φ (l А )  φ (π m ), φ (m А )  φ (π’ l ). Отсюда вытекает одинаковая ориентированность флагов φ (F ) и φ (G ).Если же прямые l , m совпадают, то либо F = G, либо F = G’. Отсюда следует, что флаги φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.

Пусть теперь точки A и B различны. Обозначим через n прямую (AB ). Понятно, что найдутся сонаправленные лучи n A и n B и полуплоскость π n такие, что флаг F 1 = (π n, n A ) сонаправлен с F , а флаг G 1 = (π n , n B , ) сонаправлен с G. Значит φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.Теорема доказана.

Примеры движений:

1)параллельный перенос - такое преобразование фигуры, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

2)симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия). Преобразование σ фигуры F в фигуру F’ ,при котором каждая её точка X переходит в точку X’ , симметричную относительно данной прямой l , называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой l .

3)поворот вокруг точки. Поворотом плоскости ρ вокруг данной точки O называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол α в одном и том же направлении

«Исследование движений плоскости и некоторых их свойств». стр. 21 из 21

Исследование движений плоскости

и некоторых их свойств

Cодержание

Из истории развития теории движений.

Определение и свойства движений.

Конгруэнтность фигур.

Виды движений.

4.1. Параллельный перенос.

4.2. Поворот.

4.3. Симметрия относительно прямой.

4.4. Скользящая симметрия.

5. Исследование особых свойств осевой симметрии.

6. Исследование возможности существования других видов движений.

7. Теорема подвижности. Два рода движений.

8. Классификация движений. Теорема Шаля.

Движения как группа геометрических преобразований.

Применение движений в решении задач.

Литература.

История развития теории движений.

Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.). Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало!

Каким же образом проводил Фалес свои доказательства? Для этой цели он использовал движения.

Именно таким путём Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть как твёрдое целое вокруг некоторой точки О на 180 о, луч ОА перейдёт в его продолжение ОА ’ . При таком повороте (его ещё называют центральной симметрией с центром О ) каждая точка А перемещается в такую точку А ’ , что О является серединой отрезка АА ’ (рис.1).

Рис.1 Рис.2

Пусть О – общая вершина вертикальных углов АОВ и А ’ ОВ ’ . Но тогда ясно, что при повороте на 180 о стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т.е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны (рис.2).

Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией : две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине (рис.3). Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.

Рис.3 Рис.4

Применял Фалес и ещё одно движение – параллельный перенос , при котором все точки фигуры смещаются в определённом направлении на одно и то же расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя:

если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки (рис.4).

Во времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый Евклид , автор «Начал» – книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея I , правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 г. до н.э.

Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклида при доказательстве признаков равенства треугольников: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом». По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть «совмещены» всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твёрдое целое, можно точно наложить её на вторую фигуру. Для Евклида движение не было ещё математическим понятием. Впервые изложенная им в «Началах» система аксиом стала основой геометрической теории, получившей название Евклидовой геометрии .

В Новое время продолжается развитие математических дисциплин. В XI веке создаётся аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издаёт сочинение «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного». Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или «следов», которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично даётся представление о телах: они образуются при движении плоскостей.

Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837 г. он выпускает труд «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». В процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему:

всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо

параллельным переносом, либо поворотом,

всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой

симметрией, либо скользящей симметрией.

Доказательство теоремы Шаля полностью проводится в п.8 данного реферата.

Важным обогащением, которым геометрия обязана XIX веку, является создание теории геометрических преобразований, в частности, математической теории движений (перемещений). К этому времени назрела необходимость дать классификацию всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн (1849-1925).

В 1872 г., вступая в должность профессора Эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название «Эрлангенская программа» .

По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства.

В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделены самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943). Его система из двадцати аксиом, разделённых на пять групп, была впервые опубликована в 1899 г в книге «Основания геометрии» .

В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии – основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности Гильберта предлагается группа из трёх аксиом движения .

Виды и некоторые важные свойства движений подробно рассматриваются в данном реферате, коротко же их можно выразить следующим образом: движения образуют группу, которая задаёт и определяет евклидову геометрию.

Определение и свойства движений.

При смещении каждой точки данной фигуры каким-либо образом получается новая фигура. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X ’ и Y ’ другой фигуры так, что XY = X ’Y ’.

Определение. Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние

между точками, называется движением этой фигуры.

! Замечание: понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное (образ) положения фигуры. Этим геометрический подход отличается от физического.

При движении разным точкам соответствуют разные образы, причём каждой точке Х одной фигуры ставится в соответствие единственная точка Х ’ другой фигуры. Такое преобразование фигур называют взаимно однозначным или биективным .

Применительно к движениям вместо термина «равенство» фигур (прямых, отрезков, плоскостей и т.д.) употребляется термин «конгруэнтность» и используется символ  . Для обозначения принадлежности используется символ є.С учётом сказанного можно дать более корректное определение движению:

Движение – это биективное преобразование φ плоскости π, при котором для любых

различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY  φ (X ) φ (Y ).

Результат последовательного выполнения двух движений называется композицией . Если сначала выполняется движение φ , а следом за ним движение ψ , то композиция этих движений обозначается через ψ ◦ φ .

Самым простым примером движения является тождественное отображение (принято обозначать - ε ), при котором каждой точке Х , принадлежащей плоскости, сопоставляется сама эта точка, т.е. ε (X ) = X .

Рассмотрим несколько важных свойств движений.

C войство 1.

Лемма 2. 1. Композиция φ ◦ ψ двух движений ψ , φ является движением.

Доказательство.

Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F ’, а фигура F ’ переводится движением φ в фигуру F ’’. Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X ’ фигуры F ’ , а при втором движении точка X ’ фигуры F ’ переходит в точку X ’’ фигуры F ’’. Тогда преобразование фигуры F в фигуру F ’’, при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X ’’ фигуры F ’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Заметим, что запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в соответствие исходному:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C войство 2.

Лемма 2.2 . Если φ – движение, то преобразование φ -1 также является движением.

Доказательство.

Пусть преобразование фигуры F в фигуру F ’ переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F ’. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X ’ фигуры F ’.

Преобразование фигуры F ’ в фигуру F , при котором точка X ’ переходит в точку X , называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ -1 .

Рассуждая аналогично доказательству свойства 1, можно убедиться, что преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование φ -1 удовлетворяет равенствам:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , где ε – тождественное отображение.

Свойство 3 (ассоциативность композиций).

Лемма 2.3. Пусть φ 1 , φ 2 , φ 3 – произвольные движения. Тогда φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Положим φ 1 = φ и φ n+1 = φ n ◦ φ , если n ≥ 1 . Таким образом, движение φ n получается путём n -кратного последовательного применения движения φ .

C войство 4 (сохранение прямолинейности) .

Теорема 2. 1. Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки,

Движение тела под действием силы тяжести

Курсовая работа >> Физика

Вида траекторий их движения подтверждает возросшее... аэро- и гидродинамики является исследование движения твёрдых тел в газе и... трение) – это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление... ствола и плоскость горизонта оружия составляли некоторый угол, ...

Исследование распределения электропроводности в пересжатых детонационных волнах в конденсированных взрывчатых веществах

Дипломная работа >> Химия

... исследования электрофизических свойств ... результаты и их анализ 2.1 ... продуктов детонации в плоскости Чепмена-Жуге... позволяет считать движение электрона квазиклассическим. ... Карташов А. М., Свих В. Г. О некоторых систематических ошибках при измерении проводимости...

Свойства машиностроительных материалов (2)

Практическая работа >> Промышленность, производство

I РАЗДЕЛ Конструкционные стали и сплавы Конструкционными называются стали, предназначенные для изготовления деталей машин (машиностроительные стали), конструкций и сооружений (строительные стали). Углеродистые конструкционные стали Углеродистые...

Лекция 10 . Свойства движения общего вида. Основная теорема движений. Равенство геометрических фигур.

Литература. § 41.

Теорема 1. Движения плоскости образуют группу преобразований.

Доказательство. Нам достаточно проверить, что произведение любых двух движений является движением, и обратное преобразование к движению также представляет собой движение плоскости. Рассмотрим два произвольных движения g и h . Тогда для любых двух точек A и B плоскости справедливы соотношения: и. Так как и, то произведение сохраняет расстояние между точками, т.е. является движением.

Пусть f - произвольное движение плоскости. Рассмотрим две точки A и B и обозначим через A" и B" их образы при обратном преобразовании: Тогда. Так как f движение плоскости, то: . Поэтому. Преобразование обратное к движению также является движением. Теорема доказана.

Параллельный перенос и вращение являются частными видами движений. Можно доказать, что множества всех параллельных переносов, а также множество всех вращений с фиксированным центром, образуют подгруппы в группе движений плоскости . Не трудно показать, что множество всех движений, переводящих фигуру F в себя, образует подгруппу в группе движений. Если такое движение отлично от тождественного, то оно называется симметрией фигуры F , а указанная подгруппа - группой её симметрий . Доказательство этих утверждений проведите самостоятельно.

Выясним, какие множества служат образами прямых, отрезков, лучей, углов и окружностей при движении.

Свойство 1. Пусть f - движение плоскости, A", B" и C"- образы точек А,В и С при движении f. Тогда точки A", B" и C" лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда точки А,В и С коллинеарны.

Доказательство. Как известно из школьного курса геометрии, три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда для одной из них, например B , выполнено условие: . В этом случае точка В лежит между A и С (рис. 130, а). Предположим, что, A, B и С - коллинеарны и В лежит между A и C . Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то:

". Поэтому точки A ", B " и C " коллинеарные.

Пусть точки A, В и С не лежат на одной прямой. Тогда они расположены в вершинах треугольника (рис. 130, б). Поэтому расстояния между ними удовлетворяют неравенствам: . В силу того, что f сохраняет расстояния между точками, то: . Поэтому точки А", B" и C" также лежат в вершинах треугольника. Таким образом, если точки А", B" и C" коллинеарны, то их прообразы не могут лежать в вершинах треугольника. Свойство доказано.

При движении коллинеарные точки преобразуются в коллинеарные, а точки, не лежащие на одной прямой, в точки, не лежащие на одной прямой.

Свойство 2. При движении образом прямой является прямая линия.

Доказательство . Пусть l - прямая линия, A и B две её произвольные точки, некоторое движение, . Обозначим через l" прямую А"В" . В соответствии со свойством 1, точки, принадлежащие прямой АВ , преобразуются в точки, которые лежат на прямой А"В" . Поэтому. Покажем, что прообраз любой точки C" прямой l" лежит на прямой l . Тем самым будет доказано, что. Пусть. При доказательстве теоремы 1 мы проверили, что преобразование также является движением. Так как, a точки А", В" и C" - коллинеарные, то A, В и С также лежат на одной прямой. Свойство доказано.

Для того, чтобы найти образы отрезков, лучей и углов при движении, нам следует воспользоваться свойствами простого отношения точек прямой. Напомним это понятие. Пусть А, В и С различные точки, принадлежащие одной прямой. Число  называется их простым отношением ( = (AB,C)), если. При этом, точки A и В называются базисными, a точка С делящей. Точка С в том и только в том случае лежит на отрезке АВ , когда. Точка С в том и только в том случае лежит на луче прямой AB с началом в точке B , не содержащем A , когда. И, наконец, точка С лежит на луче прямой AB с началом в точке A , не содержащем точку В , тогда и только тогда, когда (рис. 131).

Свойство 3. При движении сохраняется простое отношение точек.

Доказательство. Пусть точка С принадлежит отрезку АВ . Тогда. Так как в силу своего определения простое отношение задается отношением векторов и, то в данном случае оно равно отношению длин отрезков: . Рассмотрим произвольное движение f , обозначим через A", B" и C " образы точек A , В и С при этом движении. Точка С принадлежит отрезку АВ , поэтому лежит между этими точками, следовательно. Так как движение сохраняет расстояния между точками, то. Отсюда вытекает, что точка С  лежит между A  и В  , и

Предположим теперь, что точка В лежит между A и С (см. рис 131). Тогда, и, как следует из определения простого отношения, . В силу того, что f - движение, . Поэтому точка B" лежит между A" и C" и Для рассматриваемого случая свойство доказано. Аналогично проводится доказательство для точек А , В и C , при условии, что точка A лежит между С и B . Доказательство проведите самостоятельно.

Свойство 4. При движении отрезок преобразуется в равный ему отрезок .

Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок. Пусть f некоторое движение, . Точка С в том и только в том случае принадлежит отрезку, когда эти точки коллинеарные и. Обозначим через C" образ точки С при движении f . Из свойств 1 и 3 следует, что точки и коллинеарные и. Поэтому точка С" принадлежит отрезку. Таким образом, . Легко видеть, что прообраз любой точки C" отрезка также принадлежит. Действительно, обратное преобразование также является движением, отсюда следует, что лежит на отрезке. Поэтому. Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то отрезки и равны друг другу. Свойство доказано.

Свойство 5. При движении луч преобразуется в луч.

Доказательство. Доказательство этого свойства аналогично предыдущему. Рассмотрим луч l с началом в точке A . Обозначим через В точку луча l , отличную от A . Пусть f - произвольное движение, . Пусть луч с началом в точке, проходящий через. Если С некоторая точка луча l , то она либо лежит на отрезке, либо на его продолжении. Если, то в соответствии со свойством 4, её образ лежит на отрезке. Пусть С принадлежит продолжению отрезка. Тогда. Так как при движении сохраняется простое отношение точек, то. Отсюда следует, что точка C" принадлежит продолжению отрезка луча. Таким образом, . Для доказательства утверждения осталось проверить, что прообраз любой точки C" луча l" принадлежит лучу l . Рассуждения проведите самостоятельно, воспользуйтесь при этом, что обратное преобразование также является движением.

Как известно из школьного курса геометрии, под углом понимаются два луча, имеющие общее начало.

Свойство 6. При движении угол преобразуется в равный ему угол.

Доказательство. Рассмотрим лучи m и n , имеющие общее начало в точке A . При движении f они преобразуются в лучи m" и n" с началом в точке. Поэтому угол преобразуется в угол. Выберем на лучах m и n точки В и C : . Обозначим через B" и C" их образы при движении f . Тогда (рис. 131). Так как то треугольник АВС равен треугольнику А"В"С" . Поэтому  ABC =  A"B"C" . Свойство доказано.

Выясним, что представляет собой при движении образ окружности.

Свойство 7 . Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Тогда при движении она преобразуется в окружность того же радиуса, с центром в точке, совпадающей с образом центра O.

Доказательство. Пусть f произвольное движение, образ центра О при этом движении окружности  , радиус которой равен. Обозначим через  " окружность с центром в точке O" радиуса r . Возьмем точку C , принадлежащую  . Пусть. Так как, то точка C" принадлежит окружности  ". Обратно, пусть C" - произвольная точка окружности  ", ее прообраз при движении. Так как обратное преобразование является движением, то, т.е. точка С принадлежит окружности  . Таким образом, ". Свойство доказано.

Ведем необходимое нам понятие репера.

Определение 2 . Под аффинным репером плоскости будем понимать упорядоченную тройку неколлинеарных точек.

В дальнейшем аффинный репер R будем обозначать следующим образом, где и - соответственно его первая, вторая и третья точки. Часто слово "аффинный" будем опускать, понимая под репером аффинный репер. Если точки репера удовлетворяют условию: , а угол - прямой, то репер будем называть ортонормированным.

Свяжем с каждым репером аффинную систему координат. Если нам дан репер, то поставим ему в соответствие систему: , где (рис. 133, a). И наоборот, каждой аффинной системе координат поставим соответствие репер, удовлетворяющий указанным условиям. Очевидно, что ортонормированному реперу соответствует прямоугольная декартовая система координат (рис. 133, б), а прямоугольной декартовой системе координат соответствует ортонормированный репер. В дальнейшем под координатами точки относительно репера будем понимать её координаты в соответствующей системе координат.

Легко видеть, что справедливо еще одно свойство движения.

Свойство 7 . При движении репер преобразуется в репер, а ортонормированный репер в ортонормированный репер.

Утверждение непосредственно следует из свойств 4 и 6 движения.

Справедливо следующее основное свойство, из которого следует, что любое движение полностью определяется с помощью двух ортонормированных реперов.

Теорема 2 (основное свойство движений). Пусть на плоскости даны ортонормированные реперы и. Тогда существует единственное движение g, переводящее репер R в R": .

Доказательство. Покажем, что такое движение существует. Рассмотрим две прямоугольные декартовые системы координат, соответствующие данным ортонормированным реперам. Первая система образована точкой и векторами: и вторая. Как было принято в первой части курса геометрии, координаты точек в этих системах будем снабжать индексами 1 и 2: . Поставим в соответствие каждой точке M плоскости с координатами x и y относительно первой системы точку M" с теми же координатами x и y относительно второй системы координат. Ясно, что такое соответствие g является взаимно однозначным отображением плоскости на себя. Покажем, что g - движение точек плоскости. Рассмотрим произвольные точки M и N , координаты которых в первой системе равны: , .Так как система координат прямоугольная декартовая, то расстояние между данными точками вычисляется по формуле: Если M " и N" образы M и N при преобразовании g , то эти точки имеют те же координаты относительно второй системы: , . Вторая система координат также прямоугольная декартовая. Поэтому: Таким образом, g движение точек плоскости. Так как при этом преобразовании сохраняются координаты точек, то ( i =1,2,3). Существование движения, переводящего репер R в R" доказано.

Докажем его единственность. Предположим, что существуют два движения f и g , переводящие репер R в R ": , такие, что для некоторой точки M плоскости. Так как f движение плоскости, то. С другой стороны, g также движение, поэтому: . Следовательно, точка равноудалена от точек и, т.е. принадлежит серединному перпендикуляру от

резка (рис. 134). Аналогично показывается, что и также лежат на этом перпендикуляре. Мы пришли к противоречию, так как из определения 2 следует, что точки и репера R" не могут принадлежать одной прямой. Предположение о существовании двух различных движений, переводящих репер R в R" , - ложно. Теорема доказана.

Следствие. Если f движение плоскости: переводящее ортонормированный репер R в ортонормированный репер R", то каждой точке M плоскости с координатами x и у относительно репера R соответствует точка M"= f(M) с теми же координатами x и у относительно репера R".

Действительно, при доказательстве теоремы 1 мы построили движении g, удовлетворяющее указанному свойству. Так как существует единственное движение, переводящее репер R в R", то движения f и g совпадают. Введём следующее определение.

Определение 3. Под флагом плоскости будем понимать точку, луч с началом в этой точке и полуплоскость, граница которой содержит этот луч.

Обозначать флаг будем следующим образом: , где М точка, l луч, a полуплоскость флага. Каждому флагу однозначно соответствует ортонормированный репер, где М - точка флага, лежит на его луче, a принадлежит полуплоскости флага (рис 135). Ясно, что каждому флагу соответствует ортонормированный репер и наоборот, каждому такому реперу по указанному правилу однозначно соответствует флаг.

Теорема 3 . Пусть даны два флага и. Тогда существует единственное движение g, переводящее флаг F во флаг F": , .

Доказательство. Рассмотрим ортонормированные реперы R и R" , соответствующие флагам F и F" . Координаты x и у точки M , точек луча l и полуплоскости флага F в репере R соответственно удовлетворяют условиям: , и. Таким же условиям подчиняются координаты точки M ", точек луча l" и полуплоскости " флага F" в репере R" . Из теоремы 2 и её следствия вытекает, что существует единственное движение g , переводящее R в R ", при котором сохраняются координаты точек относительно этих реперов. Отсюда следует, что существует единственное движение, переводящее флаг F во флаг F" . Теорема доказана.

Ведем следующее определение.

Определение 4. Две фигуры плоскости назовем геометрически равными (или просто равными) если существует движение плоскости, переводящее первую фигуру во вторую.

Ясно, что равные фигуры обладают такими свойствами, которые не меняются (инвариантны) при преобразованиях из группы движений. Введенное определение полностью согласуется с понятием равенства геометрических фигур, изложенным в большинстве школьных курсов геометрии.

Замечание. Зачастую геометрически равные фигуры называются конгруэнтными

В элементарной геометрии основополагающее значение имеет понятие равенства треугольников, признаки которого используются при доказательстве большого числа планиметрических и стереометрических теорем. Применяя основное свойство движений, покажем, что два треугольника равны в том и только в том случае, когда выполнен первый признак равенства треугольников.

Теорема 4. Два треугольника равны между собой в том и только в том случае, когда равны их соответственные стороны и углы между ними.

Доказательство. Из определения равенства геометрических фигур непосредственно следует, что два равных треугольника переводятся друг в друга некоторым движением точек плоскости. Это же движение переводит друг в друга все соответствующие элементы треугольников. Поэтому соответственные стороны и углы равных треугольников равны между собой.

Обратно. Пусть даны два треугольника АВС и А"B"C" , стороны и углы которых удовлетворяют условию: , . Докажем, что существует такое движение g плоскости, при котором: . Присоединим к треугольнику АВС флаг, таким образом, чтобы точка флага совпадала с вершиной A , луч l содержал вершину B , a вершина С принадлежала полуплоскости. Аналогичным образом присоединим флаг к треугольнику A"B"C" (рис. 136). Пусть R и R" - ортонормированные реперы, соответствующие флагам F и F" . Тогда координаты вершин первого треугольника относительно репера R имеют вид: , где, - ориентированный угол BAC треугольника АВС . Так как по условию, и, то в репере R  вершины А", В" и C" второго треугольника имеют те же координаты. Из теоремы 3 и вытекает, что существует движение g , переводящее репер R в R" , при котором, при котором, как следует из следствия к теореме 2, сохраняются координаты точек. Поэтому. Теорема доказана.

Можно также показать, что для любых двух равных многоугольников справедливо утверждение: два многоугольника равны в том и только в том случае, когда равны их соответствующие стороны и углы .

Движения сохраняют расстояния и потому сохраняют все геометрические свойства фигур, поскольку они определяются расстояниями. В этом пункте мы получим наиболее общие свойства движений, приводя доказательства в тех случаях, когда они не очевидны.

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, - в три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит соответственно точки в точки Тогда выполняются равенства

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из них, например, точка В лежит между двумя другими. В этом случае и из равенств (1) следует, что . А это равенство означает, что точка В лежит между точками А и С. Первое утверждение доказано. Второе вытекает из первого и обратимости движения (способом от противного).

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Пусть концам отрезка АВ движение f сопоставляет точки А и В. Возьмем любую точку X отрезка АВ. Тогда, как и в доказательстве свойства 1, можно установить, что ее образ - точка лежит на отрезке АВ между точками А и В. Далее, каждая точка

Y отрезка А В является образом некоторой точки Y отрезка АВ. А именно, той точки Y, которая удалена от точки А на расстояние A Y. Следовательно, отрезок АВ движением переводится в отрезок АВ.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая - в прямую.

Эти утверждения докажите самостоятельно. Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник, полуплоскость - в полуплоскость, плоскость - в плоскость, параллельные плоскости - в параллельные плоскости.

Треугольник ABC заполняется отрезками, соединяющими вершину А с точками X противоположной стороны ВС (рис. 26.1). Движение сопоставит отрезку ВС некоторый отрезок В С и точке А - точку А, не лежащую на прямой ВС. Каждому отрезку АХ это движение сопоставит отрезок АХ, где точка X лежит на ВС. Все эти отрезки АХ заполнят треугольник АВС.

В него и переходит треугольник

Полуплоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников, у которых одна сторона лежит на границе полуплоскости

(рис. 26.2). Поэтому полуплоскость перейдет при движении в полуплоскость.

Аналогично, плоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников (рис. 26.3). Поэтому при движении плоскость отображается на плоскость.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то при движении расстояния между фигурами не изменяются. Отсюда следует, в частности, что при движениях параллельные плоскости перейдут в параллельные.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом полупространства - полупространство, образом пространства - все пространство.

Тетраэдр ABCD представляет собой объединение отрезков, соединяющих точку D со всевозможными точками X треугольника ABC (рис. 26.4). При движении отрезки отображаются на отрезки, а потому тетраэдр перейдет в тетраэдр.

Полупространство можно представить как объединение расширяющихся тетраэдров, у которых основания лежат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при движении образом полупространства будет полупространство.

Пространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров. Поэтому при движении пространство отображается на все пространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

При движении полуплоскость отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пересечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол и двугранный угол есть объединение полуплоскостей, то при движении выпуклый угол переходит в выпуклый угол, а невыпуклый

угол и двугранный угол соответственно - в невыпуклый и двугранный угол.

Пусть лучи а и b, исходящие из точки О, отобразились на лучи а и b, исходящие из точки О. Возьмем треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b (рис. 26.5). Он отобразится на равный треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b. Значит, углы между лучами а, b и а, b равны. Поэтому при движении величины углов сохраняются.

Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых, а значит - прямой и плоскости. Вспомнив определения угла между прямой и плоскостью и величины двугранного угла, получим, что величины этих углов сохраняются.

Свойство 7. Движения сохраняют площади поверхностей и объемы тел.

Действительно, поскольку движение сохраняет перпендикулярность, то движение высоты (треугольников, тетраэдров, призм и т. п.) переводит в высоты (образы этих треугольников, тетраэдров, призм и т. п.). При этом длины этих высот будут сохраняться. Поэтому площади треугольников и объемы тетраэдров при движениях сохраняются. А значит, сохранятся и площади многоугольников, и объемы многогранников. Площади же криволинейных поверхностей и объемы тел, ограниченных такими поверхностями, получаются предельными переходами от площадей многогранных поверхностей и объемов многогранных тел. Поэтому и они при движениях сохраняются.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства