Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Приближенные решения дифференциальных уравнений

Современные профессии для девушек и мужчин не сильно отличаются друг от друга в современном мире: сейчас уже не принято делить работу по гендерному принципу. Однако престижные женские профессии могут отличаться своеобразными уникальными требованиями к кандидаткам: есть функции, которые женщине легче выполнить. Работа для девушек может быть интеллектуальной или прикладной (например, парикмахер).

Какие есть профессии для девушек

Множество прибыльных профессий отличается своеобразным набором требований, но они могут обеспечить стабильный карьерный рост и высокую зарплату. Следующий список направлений и специальностей подойдет как интересная работа для женщин:

Визаж. Работа визажистом может потребовать только окончания специальных курсов, однако для успешной карьеры пригодится знание иностранных языков (для ознакомления с новыми трендами) и постоянное повышение квалификации.
Консультирование, бухгалтерский учет. Неопытным подойдет работа секретаря, которая является классическим примером женской профессии. Получившие высшее образование могут работать как экономисты, юристы, менеджеры по туризму.
Журналистика. Эта сфера деятельности подойдет для молодых девушек, имеющих хорошие навыки общения. Является популярным направлением во многих ВУЗах страны.
Технические специальности. Работа бывает сопряжена с тяжелым физическим трудом, несвойственным профессиям для женщин, или может потребовать большой усидчивости, умения работать руками, сосредотачиваться. Сюда можно отнести вакансии швеи, оператора станка. Высокую должность здесь не предложат, но постоянная занятость гарантирована.

Высокооплачиваемые

Специальности с высокой оплатой отличаются и высокими требованиями к соискателям. Такая работа может быть сопряжена с большим количеством стрессовых ситуаций, тяжелыми условиями трудовой деятельности. К высокооплачиваемым профессиям для девушек относятся:

IT-специалист;
старший менеджер магазина, торговой точки;
юрист-консульт;
аудитор качества обслуживания;
врач узкой специализации;
эксперт по логистике;
косметолог.

Перспективные

Открытые возможности карьерного роста представлены не на всех работах. Такие вакансии отличаются большим конкурсом, высокими требованиями, имеют множество направлений подъема по карьерной лестнице. Перспективными считаются специальности:

провизор;
су-шеф ресторана;
фотограф;
хореограф;
оператор станка, линии производства.

Престижные

Многие специальности для девушек нередко отличаются престижностью. На такие вакансии может идти жесткий отбор, туда трудно пробиться, но результат того стоит. Список профессий для девушек, ищущих высокооплачиваемую интересную престижную работу, широк:

юрист;
экономист;
медпредставитель;
дизайнер интерьера;
дизайнер одежды;
теле- или радиоведущая;
стюардесса;
тренер по фитнесу;
диетолог.

Модные

Многие курсы для девушек помогут устроиться на самые модные специальности. Ключевой их особенностью являются низкие требования к образованию, но повышенные к навыкам общения с клиентами. Интересные профессии для женщин и модные направления могут потребовать и получения полного высшего образования. Среди них:

танцовщица;
певица;
HR-менеджер;
арт-консультант;
художник;
стилист;
бренд-менеджер.

Востребованные

Существуют специализации, предназначенные только для женщин, или лучше всего соответствующие их психологии. На эти вакансии не бывает большого конкурса. Востребованные женские профессии имеют узкую направленность, специфические условия работы. Например:

медсестра;
официантка;
секретарь;
проводница;
диспетчер компании-перевозчика;
оператор контактного центра;
учитель, воспитатель.

Профессии будущего для девушек

В будущем возможно изменение списка популярных профессий для женщин. Это значит, что работать бухгалтером станет невыгодно, а должность менеджера в какой-либо сфере перестанет быть такой востребованной. Изменения происходят в силу неизбежности технического прогресса, потери актуальности многими специальностями, которые будут заменены компьютерными программами. Исходя из этого, можно составить список видов трудовой занятости, актуальных в недалеком будущем:

сиделка;
эксперт по альтернативным видам энергии;
селекционер;
урбанист;
эксперт в сфере урегулирования религиозных противоречий.

Лучшие профессии для девушек

В силу некоторых психологических особенностей и предрасположенностей, женщинам и мужчинам свойственны разные специализации. Лучшими сферами деятельности для дам считаются все, связанные с творчеством, и некоторые отрасли технических специальностей, не сопряженные с тяжким физическим трудом. В эту категорию можно отнести гуманитарные и творческие сферы деятельности, работу в офисе с бумагами, все виды консультирования, требующие прямого общения с клиентами.

Творческие

Специализации, тесно связанные с творчеством, лучше подходят девушкам в связи с их большей предрасположенностью к эмоциональному сопереживанию, умению правильно передать собственные эмоции. Среди этих профессий найдется много перспективных направлений для женщин, обладающих хорошим вкусом в сфере модельного бизнеса, искусства. Прекрасные пол не останется равнодушным и к актерскому делу. Следующие творческие специализации могут стать отличным выбором для женщины:

актриса;
певица;
модельер;
художник;
арт-директор;
дизайнер интерьера.

Технические

Сфера деятельности многих девушек тесно связана с производством техники, работой на заводе, настройкой аппаратуры, отвечающей за стабильную штамповку однотипных деталей. Сюда можно отнести работу оператора производства, системного администратора на крупном предприятии, руководителя бригады рабочих, научного сотрудника:

оператора башенного крана;
оператора станка;
сотрудник НИИ;
помощник машиниста;
архитектор;
IT-специалист.

Гуманитарные

Работа с документацией, менеджмент, оперирование законами, перевод текстов или прямой речи, проведение юридических консультаций требует соответствующих знаний, высшего гуманитарного образования и занимает очень много сил и времени. Однако значительная часть профессий, тесно связанных с юридическими услугами, занята девушками. Эта работа требует сосредоточенности, может отличаться жестким графиком работы, но взамен предлагает перспективы карьерного роста вплоть до региональных руководителей, директора предприятия, фирмы, корпорации. Это могут быть:

адвокат;
нотариус;
юрист-консультант;
специалист по синхронному переводу.

Рабочие специальности для женщин

Женщины-рабочие - не такая уж большая редкость. Список специализаций, связанных с физическим трудом, но подходящих для представительниц прекрасного пола, не отличается большим выбором. Такие сферы занятости предложат работу сразу после окончания школы или прохождения специализированных курсов, окончания техникумов, колледжей с сокращенной программой. Стандартный рабочий день в этой сфере составляет 12 часов с графиком 2\2 за редким исключением. Девушки-рабочие могут пригодиться в следующих сферах деятельности:

повар;
швея;
парикмахер;
горничная;
водитель на общественном транспорте;
бригадир.

Офисные профессии

Офисная сфера деятельности считается одной из самых подходящих для женщин, так как предоставляет удобный график работы, достойную оплату труда, большие возможности карьерного роста, общение с коллегами, по большей части разделяющими интересы друг друга. Эта работа может не приносить удовольствия, но и не требовать специальных навыков (на стартовых должностях учат на месте). Для более серьезной работы нужно специальное образование:

секретарь;
бухгалтер;
финансовый директор;
HR-менеджер;
специалист по маркетингу.

Предрасположенность представительниц прекрасного пола к общению при работе с людьми и тяга к самовыражению делают их прекрасными работниками в сфере маркетинга, искусства, консультрирования, синхронного перевода, журналистики. Самыми интересными считаются следующие сферы занятости:

Журналистика. Обработка и сбор информации, предоставление ее широкой аудитории, общение с интересными людьми - все это делает данную специализацию идеально подходящей для девушек, жаждущих общения, стремящихся к саморазвитию.
Психология. Подавляющему большинству женщин свойственная явная эмпатия, сопереживание, сочувствие. Такие качества присущи хорошему психологу, способному поставить себя на место другого человека, чтобы разобраться в его эмоциях, помочь пережить трудности, справиться с навалившимися проблемами.
Стилист, косметолог, диетолог. Умение следить за собой и чувствовать красоту развито у девушек значительно лучше, чем у мужчин, поэтому можно окончить курсы парикмахеров. Дамы бывают отличными стилистами, работниками салонов красоты, модельерами, дизайнерами интерьера.

Какую профессию выбрать девушке

Выбор специализации зависит от множества субъективных факторов, присущих любому человеку. Для женщин ключевыми особенностями при выборе направления деятельности являются:

Возраст. В этом случае большое влияние оказывает закон: несовершеннолетним сложнее найти работу даже при наличии официального разрешения от родителей. Совсем юных девушек берут неохотно, потому что у них нет опыта трудовой деятельности. До определенного возраста (до 22-25 лет) стоит рассмотреть должность официантки, проводницы, секретаря.
Склад характера, образ мышления. Не все представительницы прекрасного пола являются яркими эмпатами. Это означает, что работа внутри большого коллективы может быть им в тягость. Замкнутым девушкам подойдут должности швеи, инженера-оператора, IT-специалиста. Более открытым - профессии актрисы, певицы, теле- или радиоведущей, стилиста, менеджера по туризму.
Опыт работы, наличие образования. Человеку с большим стажем не составит труда сменить одну должность на другую: работодатели всегда готовы принять человека, хорошо разбирающегося в своей работе. Человек без опыта - другое дело. Сразу после школы, без опыта, образования девушка может устроиться моделью, горничной, официанткой, секретарем, сиделкой.

После 11 класса

Полное среднее образование даст продолжить обучение в максимально возможном количестве учебных заведений и выбрать самую интересную будущую специальность:

Медицинские вузы. Московский Государственный медицинский университет (МГМУ) им. И.М. Сеченова, Российский национальный медицинский исследовательский университет (РНИМУ) им. Н.И. Пирогова – медсестра, врач, фармацевт.
Технические вузы. Московский инженерно-физический институт (МИФИ), Российский химико-технологический университет (РХТУ) им. Д.И. Менделеева, Московский автодорожный институт (МАДИ) – оператор станка, машинист, химик-технолог, инженер-конструктор.
Гуманитарные, юридические вузы.Московский государственный институт международных отношений (МГИМО), Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ), Московский независимый эколого-политологический университет (МНЭПУ) – юрист-консультант, адвокат, бухгалтер, экономист.

О типах профессий написано много скучных, местами интересных, но, на мой взгляд, абсолютно бесполезных публикаций. Я с ними, конечно же, ознакомился. В основном рассматривают две типологии профессий. Первая принадлежит профессору Климову Евгению Александровичу, а вторая – Дж. Холланду. Я вам о них вкратце расскажу, но основной упор сделаю на третий вариант.

Да, да, теперь в Сети появится ещё одна, на мой взгляд, наиболее удачная классификация профессий, которая акцентирует внимание на стратегически важных аспектах. Но давайте начнём с Климова и Холланда.

Классификация профессий по Климову Е. А.

Итак, профессор Климов структурировал профессии в связке:

Человек + объект труда.

Человек – это субъект труда (тот, кто работает), а объект труда – это то, с чем или с кем работает этот человек. Евгений Александрович выделил пять объектов труда:

1. Человек.
2. Природа.
3. Техника.
4. Знак.
5. Художественный образ.

В результате получились следующие типы профессий:

Человек – человек. Эти профессии направлены на работу с людьми. К ним относятся: учителя, врачи, журналисты, парикмахеры и др.
Человек – природа. Здесь речь идёт о тех профессиях, представители которых связаны с природой. Это могут быть егеря, садовники, агрономы, экологи и др.
Человек – техника. Представители данного типа профессий имеют непосредственное отношение к технике. Например, механики, технологи, инженеры, сантехники, мастера по ремонту стиральных машин и др.
Человек – знак. Речь идёт о людях, работающих со знаковыми системами (цифрами, кодами, буквами и прочими символами). В данную категорию входят программисты, бухгалтера, финансисты, аналитики и др.
Человек – художественный образ. Сюда входят различные творческие профессии, такие как художник, актёр, певец, композитор, режиссер и др.

Вот так выглядит классификация профессий по Климову. На мой взгляд, она является несовершенной хотя бы потому, что в реальной жизни одна профессия может содержать в себе признаки нескольких типов. Например, торговый представитель в процессе работы сталкивается с техникой (водит автомобиль), работает со знаковыми системами (составляет отчёты в Excel), много общается с людьми (своими поставщиками и клиентами), а также часто проводит корпоративные мероприятия на природе, где во всю глотку горлопанит песни под гитару (певец доморощенный). Вот такой «винегрет» нам предлагают современные реалии. Куда этого пациента будем записывать?

Думаю, все согласятся, что данная типология является слабоватой. Переходим к варианту Дж. Холланда.

Психологическая классификация профессий по типам личности

В своей теории Дж. Холланд пытается донести одну интересную мысль. Вот она:

Эффективность и успешность человека зависит от того, насколько подходит профессия его типу личности.

Данная мысль, на мой взгляд, достаточно интересная, но абсолютно бесполезная. Чуть позже объясню почему. Ну, а сейчас подробнее о психологической классификации Холланда.

1. Реалистический тип – это люди действия. Они не эмоциональны, не боятся рисковать и принимать решения, разбираются в технике – в общем, типичные представители мужских профессий.
2. Интеллектуальный (исследовательский) тип – это люди умственного труда. Они склонны к самообучению, аналитике, наблюдениям, а также к различным исследованиям. Им будет комфортно работать в аналитических центрах, научно-исследовательских институтах, маркетинговых компаниях и т.д.
3. Социальный тип – это люди, ориентированные на общение. Они легко налаживают контакты, умеют договариваться, способны убеждать, любят работать в команде. Наиболее подходящие направления для них – общественная деятельность, преподавание, медицина, работа в сфере обслуживания.
4. Стандартный (конвенциональный) тип – это люди, ориентированные на чётко структурированную деятельность. Они придерживаются общепринятых норм и традиций, сосредоточены на выполнении конкретных задач, усидчивы, исполнительны, любят работать со знаковыми системами, зачастую малообщительны и некоммуникабельны. Как правило, их профессии связаны с расчётами и документацией: бухгалтера, финансисты, нотариусы, программисты, библиотекари и т.д.
5. Художественный (артистический) тип – это творческие люди. Они редко ориентируются на социальные нормы, достаточно эмоциональны и чувствительны, любят находиться в центре внимания, имеют собственные (зачастую сложные) взгляды на жизнь, а также обострённую интуицию и богатое воображение. Работают в сфере искусства (актёры, художники, музыканты и т.д.), также могут быть хорошими блогерами, ораторами, успешно проводят презентации.
6. Предпринимательский тип – это прирождённые управленцы и бизнесмены. Больше узнать о них вы можете из публикации: . Такие люди идут в бизнес, политику, адвокатуру, журналистику и т.д.

Вот так выглядит психологическая классификация профессий Дж. Холланда. В целом она интересна – даёт определённую пищу для размышлений и анализа, но я считаю, что в практическом плане она не несёт никакой пользы. Дело в том, что:

Человек подсознательно сам ориентируется на профессии, соответствующие его типу личности.

Если вы непоседа, то вряд ли вас заинтересует профессия – бухгалтер. Интеллектуал не горит желанием быть спецназовцем, прирождённый актёр мечтает исключительно о сцене. В общем, я думаю, что теория Дж. Холланда непригодна для практической профориентации.

Друзья, слышите, где-то вдали звучит барабанная дробь? Да, да, сейчас начнётся самое интересное! Я расскажу вам о стратегически важных типах профессий. Вы готовы? Тогда я начинаю!

Типы профессий по квалификационным признакам

О данной классификации вскользь упоминается в различных учебниках и публикациях. Странно, но почему-то никто не акцентирует на ней внимание. На мой взгляд, именно эта классификация является наиболее важной и практически полезной. Именно потому я решил исправить ситуацию и детально вам о ней рассказать.

Итак, хотел бы получать от своей профессии, как минимум, достойную зарплату и уважение со стороны руководства. Теперь важный момент:

Кадровый состав любой компании можно разделить на три группы: ценные сотрудники, специалисты среднего уровня и «бананы».

Именно по этим критериям, я считаю, и надо классифицировать профессии, друзья! Запомните:

Размер вашей зарплаты и степень вашей значимости зависят только от одного – насколько ценным специалистом вы являетесь.

Вся эта лирика о типах личности и объектах труда, по своей сути является аналитической информационной пылью.

Давайте детальнее рассмотрим вышеперечисленные группы.

1. Ценные сотрудники – это кадры, на подготовку которых требуются годы и приличные финансовые вложения. Например, продвинутый программист. Ну, невозможно хорошо научиться программировать за три месяца. Аналогичная ситуация с хирургами, стоматологами, юристами, главными бухгалтерами (прошу не путать с рядовыми бухгалтерами), ювелирами, дизайнерами и т.д.
Понимаете, о ком речь?
Речь идёт о специалистах, которым сложно найти замену!
Таких ценят и уважают. Им хорошо платят. Их берегут и стараются удержать. И самое главное:
Они не боятся увольнения, потому что всегда востребованы!
2. Специалисты среднего уровня – это кадры, на подготовку которых уходит немного времени. Например, продавец, менеджер по продажам, водитель, каменщик, сантехник, швея, директор. Да, да, директора входят именно в эту группу.
Речь идёт о профессиях, которые можно быстро освоить.
Естественно, здесь у работодателя есть «пространство для манёвра». Можно относительно быстро найти нового продавца или водителя. Однако без крайней необходимости этого делать никто не будет, так как данные специалисты хоть и не ценные, но всё же квалифицированные.
3. «Бананы» – это неквалифицированные кадры. Например, дворники, грузчики, курьеры, подсобные рабочие и, конечное же, «бананы». Как вы думаете, насколько сложно найти человека, который в костюме «банана» будет на улице раздавать листовки прохожим? Ответ на этот вопрос подталкивает к выводу:
Люди этих профессий имеют самую низкую ценность на рынке труда.
Да, грузчик может неплохо зарабатывать, но эти деньги ему даются тяжёлым трудом. Ну и, при необходимости, работодатель сможет быстро найти ему замену.

Итак, друзья, вы познакомились с тремя типологиями профессий. Осталось их вдумчиво проанализировать и сделать свой выбор. Кстати, о выборе! Вы знаете, что существует проблема выбора профессии? Наверняка многие из вас сейчас ломают голову над вопросами: «Кем быть? Чем заниматься? Как зарабатывать на жизнь?» Давайте рассмотрим

Сегодня я начал работу над списком всех существующих интернет-профессий, о которых в дальнейшем собираюсь рассказывать более подробно в отдельных статьях.

Я уже не могу представить свою жизнь без . За удалёнкой будущее! Ни одна успешная компания сегодня не обходится без своего сайта, а многие современные проекты полностью ведут свою деятельность онлайн.

Поэтому появляется всё больше различных вакансий, не требующих привязки к какому-то месту и офису.

Список всех интернет-профессий

На данном этапе список ещё не совсем правильно и логично сформирован. Мы каждый день работаем, чтобы сделать его максимально точным и разбитым по определённым категориям.

Работа с написанием и обработкой текста

SEO-рерайтер
Специалист по e-mail рассылке

Профессии, связанные с дизайном и рисованием

Дизайнер компьютерных игр
Дизайнер интерьера
Ландшафтный дизайнер
Дизайнер одежды и аксессуаров
Ретушер, коллажист
Иллюстратор
Визуализатор
Архитектор

Программирование и создание сайтов

Прикладной программист
Верстальщик сайтов
Разработчик мобильных приложений
Flash-программист
Web-аналитик
Тестировщик

Работа с переводами с иностранных языков

Управление и работа с персоналом

Менеджер по персоналу (рекрутер)
Менеджер проектов

Самые простые профессии для заработка

(такси, эвакуаторы)
(сотрудник интернет-магазина)
Специалист технической поддержки

Другие профессии со специальными навыками

Менеджер по продажам
Видеомонтажёр
Консультант-специалист (врач, психолог, юрист)
Финансовый консультант
Ведущий вебинаров, коучер, наставник

Какие профессии в интернете самые востребованные?

Когда я начинал работу в интернете, думал, какую профессию выбрать, тоже задавался этим вопросом и пытался понять какие профессии популярные, востребованные и высокооплачиваемые? Несколько раз пробовал менять направление с мыслями, что вот в той профессии можно больше заработать.

Каждый, кто сейчас хорошо зарабатывает, проходил такой этап. Давайте подумаем, а кто хорошо зарабатывает, чем он занимается? Спустя несколько месяцев смены видов деятельности, я понял, что хорошо зарабатывают профессионалы, которым нравится то, чем они занимаются и не важно в какой профессии.

В любой профессии можно стать очень востребованным и высокооплачиваемым специалистом, не важно дизайнер вы, программист или копирайтер.

Я даже знаю администраторов групп ВКонтакте, которые зарабатывают от 1 000 долларов в месяц и круглый год путешествуют на эти деньги.

Чтобы выбрать свою интернет-профессию, нужно исходить из того, чем вам больше нравится заниматься, что приносит вам удовольствие. Если выберете профессию, в которой, вы считаете, больше заработаете, но она не будет в кайф, то сами понимаете, у вас будет меньше желания, вдохновения и мотивации, а ведь именно это и является главным фактором успеха.

Если вы только делаете первые шаги по переходу на удалённую работу, не знаете с чего начать и много вопросов, то приходите на наше экспресс-обучение .

Чаты по профессиям

Друзья, мы подумали и решили, что будет полезно сделать отдельные чаты в Telegram по разным специальностям. Чтобы вы могли обмениваться опытом, делиться полезной информацией, искать работодателей и так далее.

Присоединяйтесь и будьте полезны друг другу.

Чат копирайтеров
Чат дизайнеров
Чат личных помощников
Чат директологов
Чат SMM-специалистов
Чат маркетологов
Чат программистов
Чат верстальщиков
YouTube-специалисты
Администраторы сообществ ВКонтакте
Instagram-менеджеры

Заключение

Скачать книгу можно бесплатно по ЭТОЙ ССЫЛКЕ!

В наш информационный век все профессии можно освоить абсолютно бесплатно за счёт интернета. Но есть и специальные курсы, обучения, поговорим о них чуть позже, в следующей статье.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x)

F(x,y,y 1 ,…,y (n)) = 0, где x-независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется функция , которая после её подстановки в уравнение превращает его в торжество.

Некоторые методы решения известны по курсу дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка (с разделяющимися переменных однородных, линейных и др) удается получить решение в виде формул путем аналитических преобразований.

В большинстве случаев для решения дифференциальных уравнений используются приближенные методы, которые можно разделить на две группы:

1)аналитические методы, дающие решение в виде аналитического выражения;

2)численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Рассмотрим перечисленные методы в виде следующих примеров.

8.1 Метод последовательного дифференцирования.

Рассмотрим уравнение:

с начальными условиями , где – заданные числа.

Предположим, что искомое решение y=f(x) может быть решено в ряд Тейлора по степеням разности (x-x 0):

2 n +….

Начальные условия (8.2) дают нам значения y (k) (x 0) при k=0,1,2,...,(n-1). Значения y (n) (x 0) найдем из уравнения (8.1), подставляя (x-x 0) и используя начальные условия (8.2):

y (n) (x 0) = f(x 0 ,y 0 ,y " 0 ,...,y 0 (n-1))

Значения y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... последовательно определяются дифференцированием уравнение (8.1) и подстановкой x=x 0 , y (k) (x 0)=y 0k (k – 0,1,2).

ПРИМЕР: Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения y=y(x) уравнения y "" +0,1(y ") 2 +(1+0,1x)y=0 с начальными условиями y(0)=1; y " (0)=2.

РЕШЕНИЕ: Решение уравнения ищем в виде ряда:

y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...

Из начальных условий имеем y(0)=1, y " (0)=2. Для определения y "" (0) разрешим данное уравнение относительно y"":

y""(0)= – 0,1(y ") 2 – (1+0,1x)y (8.3)

Используя начальные условия, получим

y""(0)= –0,1*4 – 1*1= –1,4

Дифференцируя по x левую и правую части уравнения (8.3)

y"""= – 0,2y"y"" – 0,1(xy"+y) – y",

y (4) = – 0,2(y"y"""+y"" 2) – 0,1(xy""+2y") – y"",

y (5) = – 0,2(y"y (4) +3y""y""") – 0,1(xy"""+3y"") – y""",

y (6) = – 0,2(y"y (5) +4y""y (4) +3y""" 2) – 0,1(xy (4) +4y""" – y (4))

Подставляя начальные условия и значение y""(0), находим y"""(0)= – 1,54;

y (4) (0)= – 1,224; y (5) (0)=0,1768; y (6) (0)= – 0,7308. Таким образом, искомое приближенное решение запишется в виде: y(x) ≈ 1 + 2x – 0,7x 2 – 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 – 0,00101x 6 .

8.2 Метод эйлера

Простейшими из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера, который основан на замене искомой функции многочленом первой степени, т.е. линейной экстраполяцией. Речь идет о нахождении значений функции в соседних точках аргумента x не между ними.

Выберем шаг h малым, чтобы для всех x между x 0 и x 1 =x 0 +h значение функции y мало отличалось от линейной функции. Тогда на указанном интервале y = y 0 + (x – x 0)y" = y 0 + (x –

Продолжая таким же способом определять значения функции, убеждаемся, что метод Эйлера представляется в виде последовательного выполнения формул:

∆y k = y" k h

y k+1 = y k + ∆y k

ПРИМЕР

Решим методом Эйлера уравнения y" = x – y с начальным условием х 0 =0, у 0 =0 на отрезке с шагом h=0,1.

Вычисления приведены в таблице.

Первая строка в столбцах 1 и 2 заполнена по начальным данным. Затем вычисляется у" по заданному уравнению (в столбце 4), затем ∆y = y"h – в столбце (4).

Столбец (5) содержит таблицу значений точного решения заданного уравнения.

Из таблицы видно что при х=1 относительная ошибка метода Эйлера составляет

δ=0,37 - 0,35/0,37*100%≈5,4%

УТОЧНЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА

При том же объеме вычислительной работы дает более высокую точность.

Ранее мы считали подынтегральную функцию постоянной, равной её значению f(x k ,y k) на левом конце участка. Более точное значение получится если полагать f(x,y(x)) равной значению в центре участка. Для этого надо брать двойной участок (x k-1 ,x k+1), заменив формулу

y k+1 =y k +∆y k на y k+1 =y k-1 +2hy" k (8.5)

Эта формула и выражает уточненный метод Эйлера. Но в этом случае надо придерживать следующей последовательности действий:

ПРИМЕР Для сравнения рассмотрим то же уравнение y" = x – y с начальными условиями x 0 =0, y 0 =0. Уточненный метод, как видно из таблицы дает более высокую точность относительная погрешность при х=1, у=0,370, а у точн 0,368.

В первую очередь рассмотрим функциональные методы решения простейших дифференциальных уравнений, применение которых дает решение в виде функции, представленной аналитически.

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Рассмотрим этот метод в общем случае для дифференциального уравнения n-го порядка

при начальных условиях:

Предположим, что правая часть уравнения (1) является аналитической функцией в начальной точке, т. е. в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд вида:

где - целые неотрицательные числа и - некоторые постоянные коэффициенты.

Тогда интеграл уравнения (1), отвечающий начальным условиям (2), является аналитическим в точке и, пользуясь рядом Тейлора, можно положить

Первые n+1 коэффициентов ряда (3) определяются непосредственно из начальных условий (2) и дифференциального уравнения (1). Для нахождения следующего (n+2)-го коэффициента продифференцируем уравнение (1) по правилу дифференцирования сложной функции. В результате получим

где для удобства принято.

где значок "0" означает, что значения соответствующих производных берутся в точке (). Повторяя этот прием шаг за шагом, можно найти и дальнейшие производные,….

Пример: Написать несколько членов разложения в степенной ряд решения уравнения

удовлетворяющего начальным условиям; .

Решение: Полагаем

Из уравнения (4) получаем

Отсюда. Дифференцируя последовательно уравнение (5), будем иметь

Из этих равенств вытекает, что

Следовательно,

Написать общий член ряда не представляет больших затруднений.

Метод разложения решения дифференциального уравнения в степенные ряды часто используется как элемент более практичных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. В частности, для некоторых численных методов интегрирования дифференциальных уравнений требуется определить значение искомых функций в нескольких точках. Эти значения при соблюдении известных условий гладкости данного уравнения могут быть с любой степенью точности подсчитаны с помощью степенных рядов.

Метод Пикара (последовательных приближений).

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения в виде функции, представленной аналитически. Метод Пикара возник в связи с доказательством теоремы существования и единственности решения уравнения и является, по сути, одним из применений принципа сжимающих отображений.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения с начальным условием. Проинтегрируем обе части уравнения от до:

Очевидно, решение этого интегрального уравнения будет удовлетворять дифференциальному уравнению и начальному условию. Действительно, при получим:

Вместе с тем интегральное уравнение (1) позволяет применить метод последовательных приближений. Положим и получим из (1) первое приближение:

Интеграл в правой части содержит только переменную; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражения приближения как функции переменной. Заменим теперь в уравнении (1) у найденным значением и получим второе приближение:

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид:

(n=1, 2,…). (2)

Циклическое применение этой формулы дает последовательность функций,…,….

Так как функция непрерывна в области, то она ограничена в некоторой области, содержащей точку, т.е. .

Применяя к уравнению (2) в условиях теоремы существования принцип сжимающих отображений, нетрудно показать, что последовательность (3) сходится (имеется в виду сходимость по метрике

в пространстве непрерывных функций, определенных на сегменте, таких, что). Ее предел является решением интегрального уравнения (2), а следовательно, и дифференциального уравнения с начальными условиями. Это означает, что k-й член последовательности (3) является приближением к точному решению уравнения с определенной степенью точности.

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой:

где - константа Липшица, - верхняя грань модуля функции из неравенства (4), а величина для определения окрестности вычисляется по формуле

Геометрически последовательные приближения представляют собой кривые (n=1, 2, …), проходящие через общую точку.

Пример: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Запишем для данного случая формулу вида (2):

Аналогично:

Оценим погрешность третьего приближения. Для определения области, заданной как

примем, например, . В прямоугольнике функция определена и непрерывна, причем:

По формуле (6) находим. Используя оценочную формулу (5), получаем: .

Метод Эйлера.

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение с начальным условием. Выбрав достаточно малый шаг, построим, начиная с точки, систему равностоящих точек (i=0, 1, 2,…). Вместо искомой интегральной кривой на отрезке рассмотрим отрезок касательной к ней в точке (обозначим ее) с уравнением

При из уравнения касательной получаем: , откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид: .

Аналогично, проводя касательную к некоторой интегральной кривой семейства в точке, получим:

что при дает

т.е. получается из добавлением приращения

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

K=0, 1, 2,….

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага, вообще говоря, систематически возрастает. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае способ двойного счета - с шагом h и с шагом h/2. Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными.

Если правая часть уравнения непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при на достаточно малом отрезке равномерно стремиться к искомой интегральной кривой.

Пример: Применяя метод Эйлера, составить на отрезке таблицу значений интеграла дифференциального уравнения

удовлетворяющего начальному условию, выбрав шаг h=0,1.

Результаты вычислений приведены в таблице. Для сравнения в последнем столбце помещены значения точного решения

Точное значение
		1,005 1,0151 1,0303 1,0509 1,0772 1,1095 1,1483 1,1942 1,2479	0,1005 0,1523 0,2067 0,2627 0,3232 0,3883 0,4593 0,5374	0,005 0,0101 0,0152 0,0206 0,0263 0,0323 0,0388 0,0459 0,0537	1,0025 1,0100 1,0227 1,0408 1,0645 1,0942 1,1303 1,1735 1,2244 1,2840

Из приведенной таблицы видно, что абсолютная погрешность значения составляет. Отсюда относительная погрешность примерно равна 3%.

Модификации метода Эйлера (метод Эйлера - Коши).

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки в точку.

Рассмотрим снова дифференциальное уравнение с начальным условием.

Выбрав шаг h, положим

(i=0, 1, 2,…).

Согласно методу Эйлера последовательные значения искомого решения вычисляются по приближенной формуле

где. Более точным является усовершенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения

и находят значение направления поля интегральных кривых в средней точке, т.е.

а затем полагают

Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод Эйлера - Коши, при котором сначала определяется "грубое приближение" решения

исходя из которого находится направление поля интегральных кривых

Затем приближенно полагают

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке (xi, yi) и во вспомогательной точке (xi+1, y*i+1), а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

Пример: Первым и вторым усовершенствованными методами Эйлера проинтегрировать уравнение

на отрезке .

Примем шаг h=0,2 и.

Приближенные значения искомого решения, определенные с помощью усовершенствованного метода ломаных, помещены в таблице 1.

В таблице 2 приведены результаты вычислений интеграла усовершенствованным методом Эйлера - Коши, причем шаг сохранен прежний h=0,2.

Таблица 1

1,1836
1,3426
1,4850
1,6152
1,7362

0,0846
0,0747
0,0677
0,0625

1,2682
1,4173
1,5527
1,6777

0,1836
0,1590
0,1424
0,1302
0,1210

Для сравнения приводим точное решение, откуда …

Таблица 2

1,1867
1,3484
1,4938
1,6279
1,7542

0,0850
0,0755
0,0690
0,0645

1,3566
1,4993
1,618
1,7569

0,0867
0,0767
0,0699
0,0651
0,0618

0,1867
0,1617
0,1454
0,1341
0,1263

Метод Эйлера и его модификации являются простейшими представителями конечно-разностных методов (шаговых методов) для приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений вида (k=1, 2,…, n) при заданных начальных условиях (k=1, 2,…, n).

При применении конечно-разностного метода искомое решение yk=yk(x) (k=1, 2,…, n) последовательно строится на системе точек (узлов) xi=x0+ih (I=0, 1, 2,…), где h - выбранный шаг. Процесс вычислений расчленяется на однообразно повторяющиеся циклы, каждый из которых обеспечивает переход от значения yk(xi) к значению yk(xi+1), начиная с начального y(0)k. Поэтому схема вычислений, вообще говоря, легко программируется и удобна для реализации на ЭВМ.

Метод Рунге-Кутта

Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Рунге-Кутта, имеющих следующий вид. Фиксируем некоторые числа:

последовательно вычисляем:

k2(h)=hf(x+2h,y+21k1(h)),

kq(h)=hf(x+qh,y+q1k1(h)+…+qq-1kq-1(h))

и полагаем:

Рассмотрим вопрос о выборе параметров i, pi, ij. Обозначим

(h)=y(x+h)-z(h).

Будем предполагать, что

(0)="(0)=…=(s)(0)=0

при любых функциях f(x,y), а (s+1)(0)0 для некоторой функции f(x,y). По формуле Тейлора справедливо равенство

где 01. Величина (h) называется погрешностью метода на шаге, а s - порядком погрешности метода.

При q=1 будем иметь:

(h)=y(x+h)-y(x)-p1hf(x,y),
(0)=0,

"(0)=(y"(x+h)-p1f(x,y))h=0=f(x,y)(1-p1),

”(h)=y”(x+h).

Ясно, что равенство "(0)=0 выполняется для любых функций f(x,y) лишь при условии, что р1=1. Легко видеть, что при этом значении р1 из формулы (1) получается формула

yk+1=yk+yk, k=0, 1, 2,…,

т.е. в этом случае мы получаем метод Эйлера. Для погрешности этого метода на шаге согласно (2) будем иметь:

Рассмотрим случай q=2, тогда

(h)=y(x+h)-y(x)-p1hf(x,y)-p2hf(x*,y*),

x*=x+2h, y*=y+21hf(x,y).

Согласно исходному дифференциальному уравнению

y=f, y”=fx+fyf, y"""=fxx+2fxyf+fyyf2+fyy”. (3)

(Здесь для краткости через y и f обозначены y(x) и f(x,y) соответственно.)

Вычисляя производные функции (h) и подставляя в выражения для (h), "(h) и ”(h) значение h=0, получим (с учетом соотношений (3)):

"(0)=(1-p1-p2)f,

”(0)=(1-2p22)fx+(1-2p221)fyf.

Хорошо видно, что требование

(0)="(0)=”(0)=0

будет выполняться для всех f(x,y) лишь в том случае, если одновременно будут справедливы следующие три равенства относительно четырех параметров:

1-p1-p2=0,
1-2p22=0, (4)
1-2p221=0.

Произвольно задавая значение одного из параметров, и определяя значения остальных из системы (4), мы будем получать различные методы Рунге-Кутта с порядком погрешности s=2. Например, при р1= из (4) получаем: р2=, 2=1, 21=1. Для этих значений параметров формула (1) принимает вид:

(Здесь yi+1 записано вместо y(x+h), yi - вместо y(x), а через y*i+1 обозначено выражение yi+hf(xi,yi).) Таким образом, в рассматриваемом случае мы приходим к расчетным формулам

y*i+1=yi+hfi, f*i+1=f(xi+1, y*i+1,

соответствующим методу Эйлера-Коши. Из (2) следует, что при этом главная часть погрешности на шаге есть, т.е. пропорциональна третьей степени шага h.

В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта с q=4 и s=4.

Приведем без вывода один из вариантов соответствующих расчетных формул:

k2=hf(x+h/2, y+k1/2),

k3=hf(x+h/2, y+k2/2), (5)

k4=hf(x+h, y+k3),

y=z(h)-y(x)=(k1+2k2+2k3+k4).

Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорциональна пятой степени шага (h5). Отсюда, в частности, следует, что при достаточно малом h и малых погрешностях вычислений решение уравнения y"=f(x,y), полученное методом Рунге-Кутта по формулам (5), будет близким к точному.

Эффективная оценка погрешности метода Рунге-Кутта затруднительна. Поэтому для определения правильности выбора шага h на практике обычно на каждом этапе из двух шагов применяют двойной пересчет. А именно, исходя из текущего верного значения y(xi), вычисляют величину y(xi+2h) двумя способами: один раз с шагом h, а другой раз с двойным шагом H=2h. Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг h для данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за y(xi+2h). В противном случае шаг уменьшают в два раза.

Такого рода вычислительную схему легко запрограммировать для работы на ЭВМ.

Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетными формулами (5) состоит в следующем. Из точки (xi, yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом 1, для которого tg1=f(xi,yi). На этом направлении выбирается точка с координатами (xi+, yi+). Затем из точки (xi, yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом 2, для которого

tg2=f(xi+, yi+),

и на этом направлении выбирается точка с координатами (xi+, yi+). Наконец, из точки (xi, yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом 3, для которого

и на этом направлении выбирается точка с координатами (xi+h, yi+k3). Этим задается еще одно направление, определяемое углом 4, для которого tg4=f(xi+h,yi+k3). Четыре полученные направления усредняются в соответствии с последней из формул (5). На этом окончательном направлении и выбирается очередная точка (xi+1, yi+1)= (xi+h, yi+y).

Для вычисления по формулам (5) удобно пользоваться схемой, приведенной в таблице 1.

Таблица 1.

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. Кроме того, важным преимуществом этого метода является возможность применения "переменного шага".

Пример: Методом Рунге-Кутта вычислить на отрезке интеграл дифференциального уравнения y"=x+y, y(0)=1, приняв шаг h=0,1.

Покажем начало процесса. Вычисление у1. Последовательно имеем:

k1=(0+1)0,1=0,1;

k2=0,05+(1+0,05)0,1=0,11;

k3=0,05+(1+0,055)0,1=0,1105;

k4=0,1+(1+0,1105)0,1=0,12105.

Отсюда у0=(0,1+20,11+20,1105+0,12105)=0,1103 и, следовательно,

дифференциальный уравнение пикар эйлер

у1=у0+у0=1+0,1103=1,1103.

Аналогично вычисляются дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице 2.

Таким образом, у(0,5)=1,7974.

Для сравнения приводим точное решение:

откуда у(0,5)=2е1/2-1,5=1,79744…