Урок 10. Касательная плоскость к сфере.
Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.
Ход урока
Актуализация опорных знаний.
Повторение сведений из планиметрии.
Определение касательной.
Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.
Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:
а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:
б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.
Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Взаимное расположение сферы и плоскости.
Объяснение новой темы. (Слайд 26 – 32)
Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.
Рассмотрим последний случай подробнее.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.
К
асательная
плоскость обладает свойством, аналогичным
свойству касательной к окружности.
Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.
Доказать: OA а .
Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .
Докажем обратную теорему.
Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .
Доказать: а – касательная плоскость.
Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.
Формирование умений и навыков учащихся.
Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).
Решение: CN 2 = h (h + 2 R ) (см. выше п. I урока)
Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м , R земли 6400 км.
Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.
Работа по таблице 33.
АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)
AM = АО-ОМ=9.
Итог урока.
Домашнее задание: п. 61, № 591, 592.
Дата: 02.02.2016
Тема: Касательная к сфере (шару) плоскости.
Цель урока: Сформировывать знания и умения, учащихся по теме, рассмотреть теоремы
о , научить решать задачи по данной теме.
Воспитывать внимательность, добросовестное отношение к учебе, аккуратность
Развивать память, мышление, пространственное воображение, речь
Структура урока
Организационный момент
Постановка цели урока
Проверка домашнего задания
Защита презентаций учащимися
Индивидуальная самостоятельная работа
Решение задач в паре
Решение задач в группе
Игра на развитие внимательности
Выдача домашнего задания
Итог урока
Ход урока
В начале урока проводится устная работа. Повторение основных понятий связанных с шаром и сферой.
Домашние задания №26 (стр 61), № 34
Дежурные на доске (на перемене) выполняют чертежи к домашним заданиям. На уроке учитель к доске вызывает двух учеников для проверки домашнего задания. После ответа у доски ученики ставят себе оценки на оценочных листах.
Защита презентаций:
І группа: История возникновения шара
ІІ группа: Взаимное расположение сферы и плоскости
ІІІ группа: Шар и сфера в живой природе
Самостоятельная работа
1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:
1 вариант
(х-2) 2 +(у+3) 2 + z 2 = 25
2 вариант
(х+3) 2 + у 2 + (z -1) 2 = 16
2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром окружности в точке А, если:
1 вариант
А (2; 0; -1), R = 7
2 вариант
A (-2; 1; 0) , R = 6
3. Проверти, лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением:
1 вариант
(х + 2) 2 + (у – 1) 2 + (z – 3) 2 = 1, если А (-2; 1; 4)
2 вариант
(х - 3) 2 + (у + 1) 2 + (z - 4) 2 = 4, если А (5; - 1; 4)
4. Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы:
1 вариант
х 2 +у 2 + z 2 + 2 z - 2у= 2
Работа в паре
2 вариант
х 2 + у 2 + z 2 – 2х + 2 z = 7
Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
Работа в группе
Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см
Игра на внимательность
На цветных бумагах записаны основные формулы площадей поверхностей многогранников и тел вращения. Эти карточки прикреплены на магнитную доску. Учитель просит внимательно посмотреть на формулы и запомнить их. Естественно ученики начинают запоминать сами формулы. Закрыв доску, учитель задает вопросы следующего содержания: «Какого цвета карточка, на которой записана формула площади боковой поверхности пирамиды?» и т.д. Естественно ученики не ожидали такого вопроса. Учитель дает еще одну возможность, но на этот раз ученики стараются запомнить и цвет карточки.
Итог урока.
Шкала оценок
«5» за 8-9 баллов
«4» - за 6-7 баллов
«3» - за 4-5 баллов
Домашнее задание: № 28 (стр 61), № 29 (стр 62)
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Доказательство: Пусть - диаметральная плоскость и Х - произвольная точка шара. Построим точку Х", симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ" и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ" следует, что ОХ" =ОХ.
Так как ОХ?R, то и ОХ"?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь Х"" - точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ"" = ОХ?R, т.е. точка Х"" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Доказательство: Пусть б - плоскость касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Сказка о возникновении шара
Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою.
«Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?».
Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.
Из истории возникновения
Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, то есть шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш .
В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.
Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.
Определение
Общие понятия
Касательная плоскость к сфере
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Сечение шара плоскостью
Задача на тему шар (д/з)
На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. (1.7 см, 2.15 см, 3.12 см, 4.20 см)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Касательной
плоскостью
к поверхности
в точке
называется плоскость, содержащая в себе
все касательные к кривым, проведенным
на поверхности через эту точку.Нормалью
называется прямая, перпендикулярная к
касательной плоскости и проходящая
через точку касания.
Покажем, что
направлен по нормали к поверхности
в точке
.
Рассмотрим кривую
,
лежащую на поверхности и проходящую
через точку
(рис. 15). Пусть она задана параметрическими
уравнениями
.
Если
– радиус-вектор точки
,
движущейся при изменениивдоль,
то,
а
– радиус-вектор точки
.
Так как лежит на поверхности, то. Продифференцируем это тождество по:
. (6.6)
По определению
,
а.
Поэтому (6.6) означает, что скалярное
произведение
во всех точках кривой.
Равенство нулю
скалярного произведения векторов –
необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности. Значит, в точке
.
Но вектор
– вектор скорости – направлен по
касательной к траектории точки
,
то есть по касательной к кривой(рис. 15). Так каквыбрана произвольно, то
перпендикулярен всевозможным касательным,
проведенным к линиям, лежащим на
и проходящим через точку
.
А это по определению означает, что
перпендикулярен касательной плоскости,
то есть является ее нормалью.
Отсюда уравнение касательной плоскости к данной поверхности имеет вид (см. гл. 3):
Уравнение нормали (см. гл. 3):
. (6.8)
В частности, если
поверхность задана явным уравнением
,
получим:– уравнение касательной
плоскости, и
– уравнение нормали.
ПРИМЕР
.
Написать уравнения касательной плоскости
и нормали к сфере
в точке
.
Очевидно
Уравнение касательной плоскости (6.7):
Уравнения нормали (6.8):
.
Заметим, что эта прямая проходит через начало координат, то есть центр сферы.
ПРИМЕР
.
Написать уравнение касательной плоскости
к эллиптическому параболоиду
в точке
.
Эта поверхность
задана явным уравнением и
.
Поэтому уравнение касательной плоскости в данной точке имеет вид: или.
Пусть функция
определена во всех точках некоторой
области
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует её окрестность
,
всюду в пределах которой.
Из определения
следует, что если
– точка максимума, то
;
если
– точка минимума, то
ТЕОРЕМА
(необходимое условие экстремума
дифференцируемой функции двух
переменных). Пусть функция
имеет в точке
экстремум. Если в этой точке существуют
производные первого порядка, то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
.
Зафиксируем значение
.
Тогда
– функция одной переменной.
Она имеет экстремум при
и по необходимому условию экстремума
дифференцируемой функции одной переменной
(см. гл. 5)
.
Аналогично,
зафиксировав значение
,
получим, что
.
Что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Стационарной
точкой
функции
называется точка
,
в которой обе частные производные
первого порядка равны нулю:
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Сформулированное необходимое условие не является достаточным условием экстремума.
Пусть
.
Значит,
– стационарная точка этой функции.
Рассмотрим произвольную-
окрестность начала координат.
В пределах этой
окрестности
имеет, очевидно, разные знаки (рис. 16).
А это означает, что точка
точкой экстремума по определению не
является.
Таким образом, не всякая стационарная точка – точка экстремума .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Непрерывная функция может иметь экстремум, но не иметь стационарной точки.
Рассмотрим функцию
.
Её графиком является верхняя
половина конуса, и, очевидно,
– точка минимума (рис. 17).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точки, в которых частные производные
первого порядка функции
равны нулю или не существуют, называются
еекритическими
точками.
ТЕОРЕМА
(достаточное
условие экстремума функции
).
Пусть функция
имеет частные производные второго
порядка в некоторой окрестностистационарной
точки
.
Пусть, кроме того,
.
Тогда, если
1)
,
то
– точка экстремума, именно: точка
максимума, если
,
или точка минимума, если
;
2)
,
то экстремума в точке
нет;
3)
,
то требуются дополнительные исследования
для выяснения характера точки
.
(Без доказательства).
ПРИМЕР
.
Исследовать на экстремум функцию
.
Найдем стационарные
точки:
.
Стационарных точек нет, значит, функция
не имеет экстремума.
ПРИМЕР . Исследовать на экстремум функцию .
Чтобы найти стационарные точки, надо решить систему уравнений:
То есть данная функция имеет четыре стационарные точки.
Проверим достаточное условие экстремума для каждой из них:
.
Так как
,
то в точках
экстремума нет.
и
,
значит,
– точка минимума и
;
и
,
значит,
– точка максимума и
.