Подобные документы

Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Изучение основных законов Ньютона. Особенность вращательного хода вещества вокруг неподвижной оси. Анализ определения механической работы силы. Суть законов сохранения в механике.

методичка, добавлен 06.12.2015


Рассмотрение основных законов механики: всемирного тяготения, сохранения импульса и энергии, принцип относительности Галилея. Решение задач кинематики в разных системах отсчета. Работа силы тяжести и силы упругости. Уравнение колебательного движения.

методичка, добавлен 05.11.2012


Кинематика поступательного и вращательного движения материальной точки. Инерциальные системы отсчета. Элементы механики твердого тела и жидкостей, существующие в данной сфере законы и теоремы. Механические колебания и волны, принципы распространения.

презентация, добавлен 17.11.2013


Основы кинематики. Динамика материальной точки. Классификация взаимодействий. Трение покоя, скольжения и качения. Динамика системы материальных точек (частиц). Динамика вращательного движения твёрдого тела. Гармонические колебания. Явление резонанса.

методичка, добавлен 28.09.2017


Характеристика кинематики материальной точки. Основные законы классической динамики. Механика абсолютно твердого тела. Изучение динамики поступательного и вращательного движений. Исследование основных особенностей гравитационного взаимодействия.

методичка, добавлен 21.04.2015


Кинетическая энергия и работа вращательного движения. Момент инерции твердого тела. Гармонические колебания физического маятника. Динамика поступательного движения. Распределение молекул идеального газа по скоростям. Молярная теплоемкость вещества.

курс лекций, добавлен 15.01.2016


Предмет физики и ее связь с другими науками. Единицы физических величин и некоторые сведения о векторах. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения. Кинематика вращательного движения. Законы Ньютона. Принцип относительности Галилея.

курс лекций, добавлен 08.11.2011


Движение центра тяжести твердого тела. Работа внешних сил при его вращении. Момент инерции тела относительно оси вращения. Обзор закона сохранения момента импульса. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

реферат, добавлен 22.10.2013


Механика и элементы специальной теории относительности. Кинематика поступательного и вращательного движений материальной точки. Работа и механическая энергия. Элементы специальной теории относительности. Основы молекулярной физики и термодинамики.

курс лекций, добавлен 04.09.2016


Изотропия пространства. Закон сохранения момента импульса и движение в центральном поле. Резеpфоpдовское рассеяние, решение задачи Кеплеpа. Тензор инерции и энергия вращающегося твердого тела. Момент импульса твердого тела и уравнение его движения.

Подобные документы

Кинематика и динамика материальной точки. Инерциальные системы отсчета, законы Ньютона. Кинетическая и механическая энергия системы. Момент импульса частицы. Движение искусственных спутников; космические скорости. Механика твердого тела и жидкости.

курс лекций, добавлен 28.07.2015


Система единиц измерения и отсчета. Кинематика материальной точки. Механика твердого тела. Основы равновесия тел. Законы сохранения импульса. Механические колебания и волны. Электромагнитные явления. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц.

курс лекций, добавлен 26.09.2017


Кинематика и динамика вращательного движения. Закон сохранения момента импульса. Незатухающие и затухающие гармонические колебания. Распределение молекул по скоростям. Молекулярные силы и явления переноса в жидкостях. Понятие вязкости и формула Пуазейля.

курс лекций, добавлен 23.09.2017


Движение центра масс твердого тела. Момент силы относительно точки и оси. Моменты импульса и инерции материальной точки и твердого тела, теорема Штейнера. Основное уравнение динамики вращательного движения. Работа и мощность во вращательном движении.

лекция, добавлен 08.04.2018


Законы Ньютона. Силы в природе и механике. Теорема об изменении полного импульса системы материальных точек. Динамика абсолютно твердого тела. Законы сохранения и их связь со свойствами пространства и времени. Гравитационное поле. Космические скорости.

курс лекций, добавлен 05.03.2016


Момент силы и уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Плоское движение твердого тела. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки. Закон сохранения момента импульса. Аналогии поступательного и вращательного движений.

контрольная работа, добавлен 13.09.2015


Предмет физики, основные методы физического исследования. Роль физики в развитии техники. Физические основы механики. Кинематика материальной точки, динамика частиц. Законы сохранения, механика твердого тела. Основы молекулярной физики и термодинамики.

курс лекций, добавлен 07.06.2016


Основы кинематики, динамика вращательного и поступательного движения. Законы термодинамики и молекулярной физики. Способы определения момента импульса, сохранение энергии. Фазовые равновесия и превращения энергии, понятие вектора скорости и ускорения.

учебное пособие, добавлен 22.04.2016


Гравитационное поле Солнца и закон всемирного тяготения. Момент импульса тела. Траектория движения тела в полярных координатах. Потенциальная энергия центробежной силы. Законы сохранения энергии и момента импульса, и ускорение свободного падения.

реферат, добавлен 17.07.2013


Решение задач по кинематике. Закон сохранения механической энергии. Кинематика поступательного и вращательного движения. Динамика и законы Ньютона. Совместное применение законов сохранения импульса и механической энергии. Динамика вращательного движения.

Физика. Практический курс для поступающих в университеты. Драбович К.Н., Макаров В.А., Чесноков С.С.

М.: Физматлит, 2006. -544с.

Пособие предназначено для учащихся выпускных классов средних школ с углубленным изучением физики и математики. Его основу составляют задачи по физике, предлагавшиеся в течение последних 20 лет абитуриентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова. Материал разбит по темам в соответствии с программой вступительных испытаний по физике для поступающих в МГУ. Каждая тема предваряется краткой сводкой базовых теоретических сведений, которые необходимы для решения задач и окажутся полезными при подготовке к вступительным экзаменам. Всего в сборник включено около 600 задач, свыше половины из них снабжены подробными решениями и методическими указаниями.

Для школьников, готовящихся к поступлению на физико-математические факультеты университетов.

Формат: djvu / zip

Размер: 4 ,5 Мб

/ Download файл

Из предисловия:

Настоящее пособие предназначено для учащихся выпускных классов средних школ с углубленным изучением физики и математики. Оно имеет целью помочь будущим абитуриентам самостоятельно подготовиться к вступительным экзаменам на естественнонаучные факультеты классических университетов, в первую очередь МГУ им. М. В. Ломоносова.

Целенаправленная подготовка к поступлению в университет должна органично сочетать как изучение теории, так и решение задач. Исходя из этого, мы сочли целесообразным дать в начале каждого раздела краткое изложение базовых теоретических сведений, представляющее собой по существу конспекты ответов на вопросы программы по физике для поступающих в МГУ. Надеемся, что предлагаемые нами конспекты помогут абитуриентам разумно структурировать изучаемый материал, подскажут, как построить план обсуждения теории по темам, предлагаемым в экзаменационных заданиях. Вместе с тем, необходимо иметь в виду, что основная цель устного вступительного экзамена состоит в выявлении глубины понимания абитуриентом сущности физических явлений и законов, умения истолковывать физический смысл величин и понятий. Поэтому приводимое здесь краткое изложение теории ни в коей мере не может заменить стабильные учебные пособия, рекомендованные в программе для поступающих в МГУ. Список этих пособий помещен в конце книги.

Необходимым условием успешной сдачи вступительного экзамена является также умение решать задачи по всем разделам программы. В связи с этим в книгу включены избранные задачи по физике из числа предлагавшихся абитуриентам факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ им. М.В. Ломоносова на протяжении последних 20 лет. Всего в сборник включено около 600 задач различной сложности, которые сгруппированы по темам в полном соответствии с программой по физике для поступающих в МГУ. Задачи, предлагавшиеся в 2003 - 2005 годах, помещены в отдельные разделы в конце книги. На примере этих задач читатель сможет составить представление о возросшем в последние годы уровне требований к поступающим в МГУ. Для облегчения самостоятельной работы по подготовке к вступи-
вступительным экзаменам свыше половины задач из этого сборника снабжены подробными решениями.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Механика
1.1. Кинематика
1.2. Динамика
1.3. Законы сохранения в механике
1.4. Статика твердого тела
1.5. Механика жидкостей и газов
1.6. Механические колебания и волны. Звук
Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика
2.1. Основы молекулярно-кинетической теории
2.2. Элементы термодинамики
2.3. Изменение агрегатного состояния вещества
2.4. Поверхностное натяжение в жидкостях
2.5. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
Глава 3. Электродинамика
3.1. Электростатика
3.2. Постоянный ток
3.3. Магнетизм
3.4. Электромагнитная индукция
3.5. Электромагнитные колебания и волны
Глава 4. Оптика
4.1. Геометрическая оптика
4.2. Элементы физической оптики
Глава 5. Атом и атомное ядро
Глава 6. Комбинированные задачи
Глава 7. Задачи 2003 года
7.1. Механика
7.2. Молекулярная физика и термодинамика
7.3. Электродинамика
7.4. Оптика
Глава 8. Задачи 2004 года
8.1. Механика
8.2. Молекулярная физика и термодинамика
8.3. Электродинамика
8.4. Оптика
Глава 9. Задачи 2005 года
9.1. Механика
9.2. Молекулярная физика и термодинамика
9.3. Электродинамика
9.4. Оптика
Ответы
Глава 10. Решения задач 2003 - 2005 годов
Литература

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ АССОЦИАЦИЯ КАФЕДР ФИЗИКИ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗов РОССИИ
В.М.Анисимов, ОН. Третьякова Практический курс физики МЕХАНИКА Под редакцией проф.
Г.Г. Спирина Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебныхзаведений , обучающихся по техническим направлениями специальностям Москва 2008 1

УДК 53 (075)
ББК 16.4.1 А Рецензенты Кафедра физики РГУ нефти и газа им. ни.
Губкина, завкафедрой доктор техн. наук, профессор Б.В. Нагаев, канд. физмат. наук, доцент А.В. Цыбульнuков, канд. физмат. наук, доцент В.К Зародов
Анисимов В.М., Третьякова ОН. Практический курс физики. Мехаиика / под. г.г.
Спирина е изд, испр. - М ВВИА им. НЕ. Жуковского,
2008. - 168 Сил. ред проф
А67
ISBN 978-5-903111-31-2 Учебное пособие написано в соответствин с программой курса физики для технических уинверснтетов. В пособии кратко изложена теория, приведены задачи с решениями и задачи для самостоятельного решения с ответами по всем разделам механики, изучаемым в курсе общей физики. Для студентов техинческих вузов.
УДК 53 (075)
ББК 16.4.1
\
© В.М. Анисимов,
ISBN 978-5-903111-31-2 ОН. Третьякова, 2008 Учебное пособие
Анисимов Владимир Михайлович
Третьякова Ольга Николаевна Практический курс физики Механика Редактор О.В. Бессонова Подписано в печать 03.07.2008 г. Формат 60 84/ 10,625 Пл УСЛ.П.л. Тираж 200 ЭКЗ. Заказ N 959
Orпечатано в типографин
ВВИА имени профессора НЕ. Жуковского
125190, г. Москва, ул. Планетная, Д.
3 тел.lфакс: 251-23-88, 614-29-90 2

Предисловие Предлагаемое читателю учебное пособие предназначено для студентов технических вузов. Оно является первой частью единого в учебно-методическом плане Практического курса физики под редакцией профессора Г.Г. Спирина, создаваемого в рамках работы Ассоциации кафедр физики технических вузов России. Каждый раздел пособия начинается с краткого изложения теории. Целью теоретической части раздела является не дублирование лекционного курса и даже не изложение основных концепций курса физики, а только напоминание основных понятий, определений, законов и формул, которые необходимы для решения задач. Далее приводится несколько типовых задач с подробным их решением. Это даст возможность студентам ознакомиться самостоятельно с методами решения основных типов задач. Затем в каждом разделе приведены задачи для самостоятельного решения, которые могут использоваться для проведения практических занятий, выполнения расчетных работ (РР), проведения зачетов и экзаменов, и даны ответы к задачам. В завершении пособия предложены варианты РР для всех студентов, а также методические рекомендации по проведению дополнительных занятий для студентов с недостаточно высоким предварительным уровнем подготовки. Это предполагает использование пособия при двухуровневой методике обучения. Поэтому пособию проводятся занятия на кафедре физики Московского авиационного института (государственного технического университета) со студентами всех специальностей технического профиля. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам д.т.н. профессору В.Б. Нагаеву, к.ф-м.н. доценту А.В. Цыбульникову и к.ф-м.н. доценту В.К. Зародову за внимательное прочтение пособия.
Авторы с благодарностью примут замечания и пожелания читателей, направленные на улучшение содержания книги, по адресу
125871, Москва, Волоколамское шоссе, д, МАИ, кафедра физики, по электронному адресу [email protected] или по телефону
8-499- 158-86-98.
3

Введение. Основные понятия и определения механики В каждом разделе курса общей физики для описания физического объекта или явления вводят некоторые абстрактные понятия, позволяющие перейти от реального процесса или явления к его физической модели. В механике такими понятиями являются материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальная точка – это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи, те. размеры тела малы по сравнению с расстояниями, которые оно проходит. Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется в процессе движения. Движение тела можно описать относительно выбранной системы отсчета. Система отсчета – это тело отсчета, связанная с ним система координат и способ измерения времени.
Траектория – это линия, которую описывает точка (тело) в процессе движения.
Произвольное сложное движение твердого тела можно изучить, рассмотрев два основных типа движения – поступательное и вращение вокруг закрепленной оси. Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, остается параллельной самой себе в процессе движения. Это означает, что все точки тела движутся одинаково. Поэтому для описания поступательного движения твердого тела достаточно рассмотрения кинематики и динамики точки. Вращение твердого тела вокруг закрепленной оси – это такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Механическая система – это совокупность материальных точек и твердых тел. Поскольку твердое тело можно рассматривать как совокупность составляющих его точек, механическую систему называют также системой материальных точек. Число степеней свободы механической системы i - это число независимых переменных, которые необходимо ввести , чтобы задать ее положение в пространстве. Для материальной точки i = 3, для твердого тела в общем случае i = 6.
4

Кинематика
1.1. Основные понятия и законы В кинематике движение точки (тела) описывают без рассмотрения вызвавших это движение причин. Существуют три способа описания движения точки – векторный, координатный и естественный. Последний используется в том случае, когда траектория движения точки известна. Для описания движения первыми вторым способом часто используют прямоугольную декартову систему координат (рис. 1.1).
1
z
2
z
1
y
1
2
x
2
x Рис Положение точки в выбранной системе отсчета задают радиус- вектором, проведенным в данную точку изначала отсчета
k
z
j
y
i
x
r
r r
r r
+
+
=
k
j
i
r r
r
,
,
, где
- единичные векторы (орты, задающие направления осей
z
y
x Закон движения – это уравнение или система уравнений, позволяющее определить положение точки в любой момент времени.
t
r
r
r r В векторной форме он имеет вид При координатном способе закон движения – это система скалярных уравнений вида
()
(При движении вдоль заданной кривой на траектории выбирается начало отсчета, выбирается направление движения, принятое за положительное, и положение точки на кривой определяется дуговой координатой s , которая может быть как положительной, таки отрицательной. При естественном способе закон движения точки вдоль заданной траектории имеет вид
(Существуют три основные кинематические характеристики движения – перемещение, скорость и ускорение. Пусть за промежуток времени
1 2
t
t
t
−
=
Δ
точка переместилась из положения 1 в положение 2 (см. рис. 1.1). Обозначим
1 1
t
r
r
r r =
,
2 2
t
r
r
r r =
5

Перемещение – это вектор соединяющий начальное и конечное положение точки) ()
k
z
j
y
i
x
t
r
t
r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
Δ
+
Δ
+
Δ
=
−
=
−
=
Δ
1 2
1 2
, где
1 2
1 2
1 Вектор средней скорости – это отношение вектора перемещения точки к промежутку времени, за который оно было совершено
t
r
v
Δ
Δ
=
r r
r r
Δ
v r
. Направление совпадает с Скорость (мгновенная скорость – это векторная величина, равная производной перемещения повремени, где
- проекции вектора скорости на оси координат. Вектор направлен по касательной к траектории.
2 2
2
z
y
x
v
v
v
v
v
+
+
=
= Модуль вектора скорости Поскольку модуль элементарного перемещения равен соответствующей длине дуги траектории
,
dt
ds
v
v
=
=
r
ds
s
Δ
Путь – это скалярная величина
, равная расстоянию, пройденному точкой вдоль траектории, 0
≥
Δ
s
,
∫
=
Δ
2 Средняя путевая скорость при неравномерном (
const
v
≠
) движении на данном участке
s
Δ - это скалярная величина, равная численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается тоже время
t
Δ , что и при заданном неравномерном движении
t
s
v
ср
Δ
Δ
=
v
v
ср
r
≠
2 В общем случае
, т.к. Вектор среднего ускорения – это отношение приращения вектора скорости
1 2
t
v
t
v
v
r r
r
−
=
Δ
к промежутку времени, за который это изменение произошло
t
v
a
Δ
Δ
=
r r
a r
v r
Δ
совпадает с направлением Направление Ускорение (мгновенное ускорение – векторная величина
, равная производной от скорости повремени, где Модуль вектора ускорения
τ
r
n r
τ
a r
y
a r
2 Рис

2 2
2
z
y
x
a
a
a
a
a
+
+
=
= В частном случае плоского движения по криволинейной траектории в плоскости
ХОУ
можно ввести прямоугольную декартову сопутствующую систему координат, начало отсчета которой совпадает с движущейся точкой, а оси задаются единичными векторами нормали и касательной
n r
τ
r
(рис. 1.2). Тогда ускорение можно представить в виде
τ
τ
τ
τ
r r
r r
r r
r r
dt
v
d
n
R
v
a
n
a
a
a
a
n
n
+
=
+
=
+
=
2
, где
R
– радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение
n
a r характеризует изменение направления скорости, а тангенциальное касательное)
τ
a r характеризует изменение величины скорости. Модуль ускорения в данном случае равен
2 2
2 При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси основные кинематические характеристики движения – угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение, которые вводятся аналогично соответствующим характеристикам поступательного движения. Положение твердого тела при вращении вокруг фиксированной оси определяется углом поворота или угловым перемещением. Бесконечно малому углу поворота
ϕ
r
d
ϕ
d
соответствует вектор Направление вращения и направление вектора связаны правилом правого винта (рис. Угловая скорость (мгновенная угловая скорость – это производная от угла поворота повремени Направление совпадает с направлением Угловое ускорение – это производная от угловой скорости повремени Направление совпадает с направлением
. Если вращение происходит против часовой стрелки при увеличении угловой скорости (
εr
ωr
d
v r
0 Рис r
) вектор углового ускорения направлен вверх, а приуменьшении вниз (см. рис. Связь между угловыми и линейными величинами,
7

характеризующими вращение твердого тела вокруг закрепленной оси или движение материальной точки по окружности радиуса
R
(см. рис. Длина дуги окружности

,
,
R
v
r
v
ω
=
ω
=
r Скорость

,
,
R
a
r
a
ε
=
ε
=
τ
τ
r Тангенциальное ускорение Нормальное ускорение
,
2 2
R
a
n
R
a
n
n
ω
=
ω
−
=
r Равномерное вращение Равномерное движение вдоль ОХ
0 0
=
=
+
=
a
const
v
vt
x
x
0 Равноускоренное движение Равноускоренное вращение
const
a
at
v
v
at
t
v
x
x
=
+
=
+
+
=
0 2
0 0
2
const
t
t
t
=
ε
ε
+
ω
=
ω
ε
+
ω
+
ϕ
=
ϕ
0 2
0 0
2 8

1.2. Примеры решения задач
Задача
1.1. Лодка, имеющая скорость
, спускает парус в момент времени и продолжает двигаться так, что скорость лодки обратно пропорциональна времени
t.
Показать, что ускорение лодки
а
на этом участке движения пропорционально квадрату ее скорости.
0
v
0
t
t
t
v
v
0 Решение. В соответствии с условиями задачи
(при этом начало отсчета t и одно и тоже. Тогда мгновенное значение ускорения
0
t
0 0
2
t
v
v
a
−
=
v
t
v
t
0 0
=
2 0
0 0
0
t
t
v
t
t
v
dt
d
dt
dv
a
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
. Так как
, то
(при
). Задача 1.2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид
3
Ct
Bt
A
x
+
+
=
, где
3
c мм м. Для момента времени c
2 определить 1) координату точки, 2) мгновенную скорость,
1
x
1
v
3) мгновенное ускорение. Решение. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо заданное значение времени: м 3
1 1
1
=
+
+
=
Ct
Bt
A
x
2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату повремени Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость см 3
2 Знак минус указывает на то, что в момент времени c
2 точка движется в отрицательном направлении координатной оси.
3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты
x
повремени Мгновенное ускорение в заданный момент времени равно
2 см Знак минус указывает на то, что вектор направлен в сторону, противоположную координатной оси х, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени. Задача 1.3. Две частицы (1 и
2) движутся со скоростями ирис) по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент они находились на расстояниях и от точки
О
Через сколько времени расстояние между частицами станет минимальным Чему оно равно Решение. Начальное расстояние между частицами равно
2 2
2 1
0
l
l
l
+
=
. Через промежуток времени частицы пройдут расстояние и
, и расстояние между частицами станет равным
t
v
1
t
v
2
()
(
)
2 2
2 2
1 1
2 2
2 Минимальным расстояние между частицами будет тогда, когда подкоренное выражение минимально. Обозначим
) (
2 2
2 2
1 Исследуем функцию на экстремум
)
,
0 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1 2
1
=
+
−
+
−
=
+
−
+
+
−
=
t
v
v
l
t
v
v
l
t
v
t
v
l
l
t
v
t
v
l
l
dt
d
dt
dz
)
,
2 2
2 1
2 2
1 1
min
2 2
2 1
2 2
1 Тогда минимальное расстояние между частицами будет
)
)
)
)
=
+
−
−
+
+
+
−
−
+
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1 1
min
v
v
v
v
l
v
l
v
l
v
l
v
v
v
v
l
v
l
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
l
l
)
)
)
)
)
)
=
+
+
−
=
+
−
+
−
=
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2
v
v
v
v
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
v
l
v
l
v
2
l
1
v r
0
l
1
l
(Рис

(
2 2
2 1
1 2
2 Задача 1.4. Частица перемещается в пространстве так, что ее радиус-вектор изменяется по закону
)
[ м 2
k
t
j
i
t
r
r r
r Найти вектор средней скорости частицы соответствующий интервалу времени (
t
,
2t
). Решение. По определению, вектор средней скорости перемещения
t
r
v
Δ
Δ
=
r r
t
t
t
t
=
−
=
Δ
2
,
, где
(
(
[ мс м r
r Тогда Задача 1.5. Две материальные точки одновременно начали движение по законам
)
[ мм, Определить угол между ускорениями точек в момент после начала движения. Решение. По определению скорости найдем законы изменения скоростей материальных точек
)
[ см см Дифференцируя полученные зависимости, также по определению получаем ускорения материальных точек в любой момент времени
)

2 1
c мм Обозначим
- углы, которые составляют векторы ускорения с осью ОХ. Очевидно, что
2 1
,
ϕ
ϕ
2 1
, a
a r r
2 2
6 12
tg
,
3 3
2 2
6
tg
1 2
2 2
2 1
1 Угол между ускорениями
2
arctg
3
arctg
1 1
2 Задача 1.6. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону
)
[ м r
b
r
, где
- постоянный вектор,
α
-
11

v r
a r положительная постоянная. Найти а) скорость и ускорение как функцию времени б) промежуток времени
t
Δ
, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь
s
, который она пройдет при этом.
)
[ см Решение. Вектор скорости вектор ускорения
[ см те. движение равнозамедленное. Возвращение частицы к моменту времени в исходную точку означает
(

c
1
;
0 Для нахождения пройденного пути определим время остановки частицы
)

c
2 1
;
0 2
1
;
0
α
α
=
=
−
=
ост
ост
t
t
v
Смещение частицы к моменту остановки будет
)
α
α
α
α
α
4 2
1 1
2 1
1
b
b
t
bt
r
ост
ост
ост
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
=
Δr
, а весь пройденный путь будет
() ()
[ м 2
0
α
b
r
t
r
t
r
r
t
r
s
ост
ост
ост
=
Δ
=
−
Δ
+
−
=
r r
r Задача 1.7. Материальная точка движется по закону
. Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки.
()
j
t
i
t
r
r Решение. Находим компоненты радиус-вектора
() ()
()
[
]
2
10
cos
1 Определяем компоненты вектора скорости
() ()
t
t
v
t
t
v
y
x
10
sin
5
,
5
cos
5
β
−
=
α
=
и вектора ускорения
() ()
(Для получения уравнения траектории исключим время t из системы уравнений и
t
x
t
y
. Материальная точка движется по параболе
4 3
3 Задача 1.8. Частица движется в плоскости
ХОУ
со скоростью
, где
- орты осей Хи У
j
x
i
v
r r
r
β
+
α
=
j
i
r r
,
β
α
, - постоянные. В начальный момент частица находилась в точке
0
=
= y
x
. Найти
1) уравнение траектории частицы ух 2) радиус кривизны траектории в зависимости от
х
Решение. 1. Найдем уравнение движения частицы в декартовых координатах и исключим из них время
j
x
i
v
r r
r
β
+
α
=
. По условию
t
, откуда
12

,
2 2
2 2
2
x
v
v
v
x
v
v
y
x
y
x
β
+
α
=
+
=
⎭
⎬
⎫
β
=
α
=
dt
r
d
v
r r По определению,
, или в декартовых координатах
;
dt
dy
v
dt
dx
v
y
x
=
=
∫
∫
+
α
=
α
=
=
1
C
t
dt
dt
v
x
x
Т.к.
, Константу интегрирования найдем, используя начальные условия
Следовательно,
1
C
0 0
0 0
0 1
1
=
⇒
+
=
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
C
C
x
t
t
x
α
=
∫
∫
∫
+
αβ
=
αβ
=
β
=
=
2 2
2 Так как
, то Константу интегрирования найдем аналогично предыдущему
0 0
0 0
0 2
2
=
⇒
+
=
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
C
C
y
t
2 2
1
t
y
αβ
=
Следовательно, Найдем уравнение траектории ух)
2 2
2 2
2
x
x
y
x
t
α
β
=
α
αβ
=
α
=
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
αβ
=
α
=
2 Траектория частицы представляет собой параболу. График траектории изображен на рис. 1.5.
2. Чтобы определить радиус кривизны траектории Рис, надо воспользоваться выражением для нормального ускорения
R
v
2
=
, откуда
a
n
n
a
v
R
2
=
Нормальное ускорение можно найти из следующих соотношений
n
a
dt
dv
a
dt
dv
a
a
a
a
dt
dv
a
a
a
a
y
y
x
x
y
x
n
=
=
+
=
=
+
=
,
,
,
,
2 2
2 2
τ
τ
βα
=
=
=
=
α
=
dt
dx
dx
dv
a
a
const
v
y
y
x
x
,
0
,
, то Так как Так как
, то тангенциальное ускорение
2 2
2 2
x
x
dt
dx
dx
dv
a
β
+
α
β
α
=
=
τ
, анормальное ускорение
13

2 2
2 2
2 2
x
a
a
a
n
β
+
α
β
α
=
−
=
τ
2 3
2 2
2 Радиус кривизны
. Отметим, что для определения нормального ускорения можно использовать формулу
, где
ϕ
- угол между векторами
a r
n
a r
ϕ
= и.
v
v
x
=
ϕ
cos
2 2
2
cos
x
β
+
α
α
=
ϕ
, те. Как следует из рис 2
2 Используя
, получаем
, что совпадает с ранее полученной формулой. Задача 1.9. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости
v
по закону
v
a
α
=
, где
α
- положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна
. Какой путь
s
0
v
она пройдет до остановки За какое время
τ
этот путь будет пройден
(Решение. Для решения задачи надо знать зависимости и Зависимость найдем, используя выражения
t
s
(Знак минус соответствует тому, что скорость точки убывает со временем (
0
,
0
> dv
dt
). Приравнивая правые части, получим дифференциальное уравнение
dt
dv
v
−
=
α
dt
v
dv
α
−
=
, разделяя переменные, имеем Проинтегрируем с учетом начальных условий (
0
,
0
v
v
t
=
=
)
0 0
0 0
2 1
,
2
,
0 Возводя в квадрат, окончательно получим
0 0
2 2
4 1
v
t
v
t
t
v
+
−
=
α
α
(Зависимость пути от времени найдем с помощью формулы для модуля скорости
dt
ds
v
=
, из которой следует
t
v
t
v
t
t
s
dt
v
t
v
t
vdt
s
t
t
0 2
0 3
2 0
0 0
2 2
0 2
12
,
4 Исходя из того, что при
0
=
= v
t
τ
, имеем
14

0 4
1 0
0 2
2
=
+
α
−
α
v
t
v
t
, Рис откуда Пройденный путь будет равен
α
=
3 2
0 На рис изображен график зависимости
t
v
, представляющий собой параболу. Искомый путь численно равен площади заштрихованной фигуры. Задача 1.10. При движении автомобиля его колесо радиуса движется по окружности радиуса Рис 2
ωr
1
ωr
O
O ′
ωr
v r
r
A
B
R
α
R в горизонтальной плоскости. При этом центр колеса точка
А
перемещается с постоянной скоростью
v
. Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса, а также угол, который составляет вектор угловой скорости с вертикалью. Решение. Движение колеса (рис) представим как сумму вращательных движений с угловой скоростью вокруг горизонтальной оси
АВ
и с угловой скоростью
2
ωr
1
ωr вместе с осью
АВ вокруг вертикальной оси
O
O Результирующий вектор угловой скорости
2 1
ω
+
ω
=
ω
r r
r
2 2
2 1
ω
+
ω
=
ω
, а его модуль Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с автомобилем. Тогда колесо будет вращаться вокруг неподвижной оси
АВ
, а точки дороги, соприкасающиеся с колесом, будут иметь скорость
. Так как скольжение колеса отсутствует, то его наружные точки будут иметь скорость
v
v
−
=
′
v ′ , равную по модулю
v
. Тогда выражение для
ω
примет вид
2 2
2 Угол между вектором
ω и вертикалью r
r
R
arctg arctg
1 2
=
ω
ω
=
α
εr есть скорость изменения угловой скорости Угловое ускорение
ω
r
, при этом модуль вектора не меняется.
15

Конец вектора
ωr описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса за время, равное периоду вращения колеса вокруг оси
. Поэтому
1
T
2
ω
rR
v
T
2 2
1 1
2 2
=
ω
ω
=
πω
=
ε
O
O Задача 1.11. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость
ω
зависит от угла поворота по закону
, где и положительные постоянные. В момент времени
0
ϕ
b
ϕ
−
ω
=
ω
b
0 0
ω
0
=
ϕ
=
t
угол поворота
. Найти зависимость от времени: 1) угла поворота 2) угловой скорости. Решение. Угол поворота вращающегося твердого тела за время t
()
∫
ω
=
ϕ
t
dt
t
t
0
(где
- зависимость от времени угловой скорости. Для нахождения
t
ω
ϕ
ω
воспользуемся зависимостью Продифференцируем ее повремени, oткуда получим дифференциальное уравнение вида. Решим его, разделив переменные Интегрируя обе части уравнения, найдем его решение в виде Обозначим
bt
C
bt
C
C
C
−
=
ω
−
=
−
ω
=
ln
;
ln ln
,
ln
1
. Откуда Постоянную интегрирования
C
найдем изначального условия. Так как при
t
= 0
bt
e
t
−
ω
=
ω
0 0
=
ϕ
, то, откуда
0
ω
=
ω
ϕ
=
ω
d
dt
dt
d
ϕ
=
ω
, то Поскольку, по определению,
, интегрируя это выражение получим
()
∫
∫
−
ω
=
ω
=
ϕ
t
bt
t
dt
e
dt
t
t
0 Окончательно, зависимость угла поворота от времени имеет вид
(
bt
e
b
t
−
−
ω
=
ϕ
1 0
16