Mit nevezünk egyenlőségnek? Egyenlőség fogalma, egyenlőségjel, kapcsolódó definíciók

EGYENLŐSÉGEK A MENNYISÉGEKKEL.

Miután a gyermek megismeri az 1-től 20-ig terjedő mennyiségkártyákat, a tanulás első szakaszához hozzáadhat egy második szakaszt - a mennyiségekkel való egyenlőséget.

Mi az egyenlőség? Ez egy aritmetikai művelet és annak eredménye.

A tanulás ezen szakaszát a „Hozzáadás” témával kezdi.

Kiegészítés.

Két mennyiségkártya-készlet megjelenítésével összeadási egyenleteket ad hozzá.

Ez a művelet nagyon könnyen megtanítható. Valójában a gyermeke már több hete készen áll erre. Hiszen minden alkalommal, amikor új kártyát mutatsz neki, azt látja, hogy egy további pont jelent meg rajta.

A baba még nem tudja, hogy hívják, de már van fogalma arról, hogy mi ez és hogyan működik.

Minden egyes kártya hátoldalán már van anyag a kiegészítési példákhoz.

Technológia az egyenlőség megjelenítésére valahogy így néz ki: Meg akarod adni a gyereknek az egyenlőséget: 1 +2 = 3. Hogyan tudod megmutatni?

A lecke megkezdése előtt tegyen három kártyát képpel lefelé az ölébe, egyiket a másikra. A felső kártya felemelése egy bütykös küllővel, mondjuk "egy", majd tedd félre és mondd "plusz", mutass mondjuk egy kártyát két dominóval "két", szó után tegye félre "akarat", mutass egy kártyát három dominóval, mondván "három".

Egy nap három órát tartasz egyenlőségekkel, és minden órán három különböző egyenlőséget mutatsz. A baba összesen kilenc különböző egyenlőséget lát naponta.

A gyermek minden magyarázat nélkül megérti, mit jelent a szó "plusz", jelentését ő maga vezeti le a szövegkörnyezetből. A műveletek végrehajtásával gyorsabban megmutatja az összeadás valódi jelentését, mint bármely magyarázat. Amikor egyenlőségről beszélünk, mindig ragaszkodjunk azonos előadásmódhoz, ugyanazokat a kifejezéseket használva. Miután azt mondta "Egy plusz kettő egyenlő három" később ne beszélj "Kettőt hozzáadva egyhez három." Amikor tényekre tanítasz egy gyereket, levonja a saját következtetéseit, és megtanulja a szabályokat. Ha megváltoztatja a feltételeket, akkor a gyermeknek minden oka megvan azt gondolni, hogy a szabályok is megváltoztak.

Előre készítse elő az adott egyenlőséghez szükséges összes kártyát. Ne gondolja, hogy gyermeke csendben fog ülni és nézni, ahogy a kártyakötegben turkál, és kiválasztja a szükséges kártyákat. Egyszerűen megszökik, és igaza lesz, mivel az ő ideje nem ér kevesebbet, mint a tied.

Ne hozzon létre olyan egyenlőségeket, amelyekben van valami közös, és lehetővé teszik a gyermek számára, hogy előre megjósolhassa azokat (az egyenlőségeket később is fel lehet használni). Íme egy példa az ilyen egyenlőségekre:

Sokkal jobb ezeket használni:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

A gyermeknek látnia kell a matematikai lényeget, fejleszti a matematikai készségeket és fogalmakat. Körülbelül két hét elteltével a baba felfedezi, hogy mi az összeadás: végül is ezalatt 126 különböző egyenletet mutattál meg neki az összeadáshoz.

Vizsgálat.

Ellenőrizze ebben a szakaszban a példák megoldását jelenti.

Miben különbözik egy példa az egyenlőségtől?
Az egyenlőség olyan cselekvés, amelynek eredménye a gyermek számára látható.

Példa erre egy végrehajtandó művelet. A mi esetünkben két választ mutatsz a gyereknek, ő pedig kiválasztja a megfelelőt, pl. megoldja a példát.

Egy szokásos lecke után feltehet egy példát három összeadási egyenlettel. Ugyanúgy mutatod be a példát, mint korábban az egyenlőséget. Vagyis átrendezed a kezedben lévő kártyákat, mindegyiket hangosan kimondva. Például: „húsz plusz tíz az harminc vagy negyvenöt?” és mutass meg a gyereknek két kártyát, amelyek közül az egyikben a helyes válasz.

A válaszokat tartalmazó kártyákat ugyanolyan távolságban kell tartani a baba szemétől, és nem szabad megengedni a felszólítást.

at a helyes választás meghozatala gyermek, te erőteljesen kifejezed örömödet, megcsókolod és dicséred.

Ha rossz választ választ, anélkül, hogy csalódottságát fejezné ki, a helyes választ tartalmazó kártyát a baba felé tolja, és felteszi a kérdést: „Harminc lesz, nem?” A gyermek általában igennel válaszol egy ilyen kérdésre. Feltétlenül dicsérje meg gyermekét ezért a helyes válaszért.

Nos, ha tíz példából a gyermeked legalább hatot helyesen old meg, akkor mindenképpen itt az ideje, hogy áttérj a kivonási egyenletekre!

Ha úgy gondolja, hogy nem szükséges ellenőrizni gyermekét (és jogosan!), akkor 10-14 nap elteltével továbbra is térjen át a kivonási egyenletekre!

Tekintsük a -Kivonást.

Abbahagyja az összeadást, és teljesen átvált a kivonásra. Tartson napi három órát, mindegyikben három különböző egyenlőséggel.

A kivonási egyenleteket így fejezze ki: – Tizenkettő mínusz hét az öt.

Ugyanakkor továbbra is naponta háromszor jelenít meg mennyiségkártyákat (két készlet, egyenként öt kártya). Összesen kilenc napi nagyon rövid leckék. Tehát legfeljebb két hétig dolgozol.

Vizsgálat

A tesztelés, csakúgy, mint az összeadás esetében, magában foglalhatja a példák megoldását úgy, hogy kettőből egy választ választunk.

Figyelembe szorzás.

A szorzás nem más, mint ismételt összeadás, ezért ez a művelet nem fog megtörténni nagy felfedezés a gyermekedért. Miközben folytatja a mennyiségkártyák tanulmányozását (két darab öt kártyakészlet), lehetőség nyílik szorzóegyenletek létrehozására.

A szorzási egyenlőségeket így fejezze ki: "Kétszer három egyenlő hat."

A gyerek meg fogja érteni a szót "szorozni" amilyen gyorsan megértette ezt a szót korábban "plusz"És "mínusz".

Még mindig három órát tanítasz naponta, amelyek mindegyike három különböző szorzóegyenletet tartalmaz. Ez a munka legfeljebb két hétig tart.

Továbbra is kerülje a kiszámítható egyenlőségeket. Például, mint például:

Szükséges, hogy gyermekét folyamatosan meglepett állapotban tartsa, és valami újat várjon. A fő kérdés a következő lenne számára: – Mi következik?és minden leckén új választ kell kapnia rá.

Vizsgálat

A példákat ugyanúgy oldja meg, mint az „Összeadás” és „Kivonás” témakörben. Ha gyermekének tetszettek a mennyiségkártyás jelölőnégyzetek játékai, akkor továbbra is játszhat velük, újakat ismételve, nagy mennyiségben.

Az általunk javasolt sémához ragaszkodva ekkorra már elvégezheti a matematika tanulás első szakaszát - a tanulmányi mennyiségeket 100-on belül. Itt az ideje, hogy megismerkedjen azzal a kártyával, amelyet a gyerekek a legjobban kedvelnek.

Nézzük a nulla fogalmát.

Azt mondják, hogy a matematikusok ötszáz éve tanulmányozzák a nulla gondolatát. Akár igaz, akár nem, de a gyerekek, miután alig tanulták meg a mennyiség fogalmát, azonnal megértik a jelentését. teljes hiánya. Egyszerűen imádják a nullát, és az utazásod a számok világába nem lesz teljes, ha nem mutatsz meg babádnak olyan kártyát, amelyen egyáltalán nincs pont (azaz egy teljesen üres kártya lesz).

Annak érdekében, hogy gyermeke ismerkedése nulla mókával és érdekességgel járjon, a kártya felmutatását egy rejtvény kísérheti:

Otthon hét bébi mókus, A tányéron hét mézgomba. Az összes gomba megette a mókusokat. Mi marad a tányéron?

Az utolsó mondat kiejtésekor a „nulla” kártyát mutatjuk.

Szinte minden nap használni fogod. Hasznos lesz összeadáshoz, kivonáshoz és szorzáshoz.

A „nulla” kártyával egy hétig dolgozhat. A gyermek gyorsan elsajátítja ezt a témát. Mint korábban, a nap folyamán három órát tartasz. Minden leckében három különböző egyenlőséget mutat be gyermekének az összeadáshoz, kivonáshoz és nullával való szorzáshoz. Összesen kilenc egyenlőséget kapsz naponta.

Vizsgálat

A példák nullával való megoldása ismert mintát követ.

Tekintsük -Division.

Ha kitöltötte az összes mennyiségi kártyát 0-tól 100-ig, akkor minden szükséges anyag megvan a mennyiségekkel való felosztási példákhoz.

Az egyenlőségek megjelenítésének technológiája ebben a témában ugyanaz. Minden nap három órát tartasz. Minden leckén három különböző egyenlőséget mutat be gyermekének. Jó, ha az anyag áthaladása nem haladja meg a két hetet.

Vizsgálat

A teszt példák megoldásából áll, kettőből egy válasz kiválasztásával.

Ha az összes mennyiséget végigjárta, és ismeri a négy számtani szabályt, minden lehetséges módon változatossá és bonyolíthatja tanulmányait. Először mutasson meg olyan egyenlőségeket, ahol egy aritmetikai műveletet használnak: csak összeadást, kivonást, szorzást vagy osztást.

Ezután - egyenlőségek, ahol összeadás és kivonás vagy szorzás és osztás kombinálva van:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Annak érdekében, hogy ne keveredjen össze a kártyákkal, megváltoztathatja az órák lebonyolításának módját. Most nem szükséges minden kötőtűkártyát megmutatni, csak a választ mutathatja meg, és csak magukat a műveleteket ejtheti ki. Ennek eredményeként az órák rövidebbek lesznek. Egyszerűen csak azt mondod a gyereknek: "Huszonkettő osztva tizeneggyel, osztva kettővel egyenlő eggyel"- és mutasd meg neki az „egy” kártyát.

Ebben a témában olyan egyenlőségeket használhat, amelyek között van valamiféle minta.

Például:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

Ha négy aritmetikai műveletet kombinál egy egyenlőségben, ne feledje, hogy a szorzást és az osztást az egyenlőség elejére kell helyezni:

Ne félj demonstrálni az egyenlőségeket, amelyekből száznál is több van, pl.

közbenső eredmény in

42 * 3 - 36 = 90,

ahol a köztes eredmény 126 (42 * 3 = 126)

A babád remekül fog boldogulni velük!

A teszt példák megoldásából áll, kettőből egy válasz kiválasztásával. Példát mutathat úgy, hogy felmutatja az összes egyenlőségi kártyát és két kártyát a válasz kiválasztásához, vagy egyszerűen elmondhatja a teljes egyenlőséget, és csak két kártyát mutat meg gyermekének.

Emlékezz! Minél tovább tanul, annál gyorsabban kell új témákat bevezetnie. Amint észreveszi a gyermek figyelmetlenségének vagy unalmának első jeleit, térjen át egy új témára. Egy idő után vissza lehet térni az előző témához (de azért, hogy megismerkedjünk a még fel nem mutatott egyenlőségekkel).

Szekvenciák

A sorozatok ugyanazok az egyenlőségek. A szülők tapasztalatai ezzel a témával azt mutatják, hogy a gyerekek nagyon érdekesnek találják a sorozatokat.

A plusz sorozatok növekvő sorozatok. A mínuszos sorozatok csökkennek.

Minél változatosabbak a sorozatok, annál több érdekesebb a baba számára.

Íme néhány példa a sorozatokra:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Technológia sorozatok megjelenítése lehet ilyen. Három sorozatot készített elő a pluszhoz.

Mondja el a lecke témáját a gyermeknek, tegyük ki egymás után az első sorozat kártyáit a padlóra, hangoztatva őket.

Menj át gyermekeddel a szoba másik sarkába, és ugyanígy rendezd el a második sorozatot.

A szoba harmadik sarkában fektesd ki a harmadik sorozatot, miközben hangot adsz.

A szekvenciák egymás alá is helyezhetők, hézagokat hagyva köztük.

Próbáljon mindig előre haladni, az egyszerűtől a bonyolult felé haladva. Változtasd a tevékenységeket: néha mondd ki hangosan, amit mutatsz, és néha mutasd meg csendben a kártyákat. A gyerek mindenesetre maga előtt látja kibontakozva a sorozatot.

Minden sorozathoz legalább hat kártyát kell használni, néha többet is, hogy a gyermek könnyebben meghatározhassa magának a sorozatnak az elvét.

Amint meglátja a csillogást a gyermek szemében, próbáljon példát adni a három sorozathoz (tehát tesztelje tudását).

Mutatsz egy példát: először kirakod a teljes sorozatot, ahogy szoktad, a végén felveszed két kártyát (az egyik kártya a következő a sorozatban, a másik pedig véletlenszerű), és megkérdezed. a gyerek: "Melyik a következő?"

Először egymás után rakja ki a kártyákat egymás után, majd módosíthatja az elrendezési formákat: helyezze el a kártyákat körben, a szoba kerülete mentén stb.

Ahogy egyre jobb és jobb lesz, ne féljen szorzást és osztást használni sorozataiban.

Példák sorozatokra:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - ebben a sorrendben minden következő szám 2-vel nő;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - ebben a sorrendben a szorzás és az összeadás váltakozik (x 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - ebben a sorrendben minden következő szám 2-szeresére nő;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - ebben a sorrendben minden következő szám 4-gyel csökken;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - ebben a sorrendben az osztás és a kivonás váltakozik (: 2; - 2);

Jelek "nagyobb mint", "kisebb, mint"

Ezeket a kártyákat 110 szám- és jelkártya tartalmazza (az ANASTA módszer második összetevője).

A „több és kevesebb” fogalmának megismertetésére szolgáló leckék nagyon rövidek lesznek. Mindössze három kártyát kell felmutatnia.

Kijelző technológia

Ülj le a földre, és tedd ki a kártyákat a gyermek elé, hogy egyszerre lássa mindhárom kártyát. Minden kártyát megnevez.

Ezt így mondhatod: "hat több mint három" vagy "hat több mint három."

Minden órán mutass meg a gyermekednek hármat különböző lehetőségeket egyenlőtlenségeket

kártyák „több” - „kevesebb”. egyenlőtlenségek naponta.

Tehát kilenc különbözőt mutat be

Mint korábban, minden egyenlőtlenséget csak egyszer mutat meg.

Néhány nap múlva példát is adhat a három műsorhoz. Már megvan vizsgálat,és ez így megy:

Helyezzen a padlóra előre elkészített kártyákat, például egy „68”-as kártyát és egy „több” jelű kártyát. Kérdezd meg a babádat: – A hatvannyolc hány számnál nagyobb? vagy „A hatvannyolc több mint ötven vagy kilencvenöt?” Kérd meg gyermekedet, hogy két kártya közül válassza ki a számára megfelelőt. Ön (vagy ő maga) helyezze el a gyermek által jelzett megfelelő kártyát a „több” jel után.

Két darab mennyiséget tartalmazó kártyát tehet a gyermek elé, és lehetőséget ad neki, hogy kiválassza a megfelelő jelet, azaz > ill.<.

Egyenlőségek és egyenlőtlenségek

Az egyenlőségeket és az egyenlőtlenségeket ugyanolyan könnyű tanítani, mint a „több” és a „kevesebb” fogalmát.

Hat számtani szimbólumkártyára lesz szüksége. 110 szám- és jelkártya részeként is megtalálod őket (az ANASTA módszer második összetevője).

Kijelző technológia

Úgy döntött, hogy megmutatja gyermekének a következő két egyenlőtlenséget és egy egyenlőséget:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Sorrendben helyezze őket a padlóra, hogy a gyermek egyszerre láthassa őket. Ugyanakkor mindent elmondasz, például: "Nyolc mínusz hat nem egyenlő tíz mínusz héttel."

Ugyanígy a fennmaradó egyenlőséget és egyenlőtlenséget is kiejtjük kirakás közben.

A téma tanításának kezdeti szakaszában az összes kártya le van rakva.

Ekkor csak "egyenlő" és "nem egyenlő" kártyákat mutathat fel.

Egy nap lehetőséget ad gyermekének, hogy megmutassa tudását. Kiosztod a mennyiségeket tartalmazó kártyákat, és megkéred, hogy válassza ki, melyik kártyát melyik jellel kell elhelyezni: „egyenlő” vagy „nem egyenlő”.

Mielőtt elkezdené az algebra tanulását gyermekével, meg kell ismertetnie vele a betűvel ábrázolt változó fogalmát.

Az x betűt gyakran használják a matematikában, de mivel könnyen összetéveszthető a szorzójellel, az y használata javasolt.

Először egy öt dominógyöngyöt tartalmazó kártyát teszel, majd egy pluszjelet (+), majd egy y-jelet, majd egy egyenlőségjelet, végül egy hét dominógyöngyöt tartalmazó kártyát. Aztán felteszed a kérdést: – Mit értesz itt?

És te magad válaszolsz rá: "Ebben az egyenletben ez kettőt jelent."

Vizsgálat:

Ebben a szakaszban körülbelül egy-másfél hetes órák után megadhatja gyermekének a lehetőséget, hogy választ válasszon.

AZ EGYENLŐSÉG NEGYEDIK SZAKASZA SZÁMOKKAL ÉS MENNYISÉGEKKEL

Ha végigmented az 1-től 20-ig terjedő számokat, itt az ideje, hogy „hidakat építs” a számok és mennyiségek között. Ennek számos módja van. Az egyik legegyszerűbb az egyenlőségek és egyenlőtlenségek használata, a „több” és a „kevesebb” kapcsolata, amelyet számokkal és dominókkal ellátott kártyákkal mutatunk be.

Kijelző technológia.

Vegyünk egy 12-es kártyát, tegyük a földre, majd tegyünk mellé egy „nagyobb, mint” táblát, majd egy 10-es kártyát, miközben azt mondjuk: „Tizenkettő több mint tíz”.

Az egyenlőtlenségek (egyenlőségek) így nézhetnek ki:

Minden (egyenlőség) nap három leckéből áll, és minden lecke három mennyiségi és számbeli egyenlőtlenségből áll. A napi egyenlőségek száma összesen kilenc lesz. Ugyanakkor továbbra is tanulmányozhatja a számokat két, egyenként öt kártyakészlettel, szintén naponta háromszor.

Vizsgálat.

Lehetőséget adhat gyermekének, hogy „több, mint”, „kevesebb, mint”, „egyenlő” kártyákat válasszon, vagy példát készítsen úgy, hogy a gyermek maga is befejezze. Például teszünk egy 7-es számkártyát, majd egy „nagyobb, mint” jelet, és lehetőséget adunk a gyereknek, hogy kiegészítse a példát, azaz válasszon számkártyát, például 9-et, vagy számkártyát, például 5-öt.

Miután a gyermek megértette a mennyiségek és a számok közötti kapcsolatot, elkezdheti az egyenlőségek megoldását számokat és mennyiségeket tartalmazó kártyák segítségével.

Egyenlõségek számokkal és mennyiségekkel.

A számokat és mennyiségeket tartalmazó kártyák segítségével ismerős témákon megy keresztül: összeadás, kivonás, szorzás, osztás, sorozatok, egyenlőségek és egyenlőtlenségek, törtek, egyenletek, egyenlőségek két vagy több műveletben.

Ha figyelmesen megnézi a hozzávetőleges matematika tanítási sémát (20. o.), látni fogja, hogy az óráknak nincs vége. Találjatok ki saját példákat a gyermek mentális számolásának fejlesztésére, kössétek össze a mennyiségeket valódi tárgyakkal (diófélék, kanál vendégek, apróra vágott banándarabok, kenyér stb.) - egyszóval merjetek, alkossatok, találjatok ki, próbáljatok ki! És sikerülni fog!

50. Az egyenletek megoldásának alapját képező egyenlőségek tulajdonságai. Vegyünk egy nem túl bonyolult egyenletet, például:

7x – 24 = 15 – 3x

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

Minden egyenletben egy egyenlőségjelet látunk: mindent, ami az egyenlőségjeltől balra írunk, az egyenlet bal vagy első részének nevezzük (az első egyenletben a 7x – 24 a bal vagy az első rész, a másodikban pedig x /2 – (x – 3)/ 3 – (x – 5)/6 az első vagy bal oldali rész); mindazt, ami az egyenlőségjeltől jobbra van írva, az egyenlet jobb oldalának vagy második részének nevezzük (15 – 3x az első egyenlet jobb oldala, 1 a 2. egyenlet jobb oldala vagy második része).

Bármely egyenlet minden része egy számot jelöl. Az egyenlet bal és jobb oldala által kifejezett számoknak egyenlőnek kell lenniük egymással. Számunkra egyértelmű: ha ezekhez a számokhoz ugyanazt a számot adjuk, vagy ugyanazt a számot kivonjuk belőlük, vagy mindegyiket ugyanazzal a számmal megszorozzuk, vagy végül elosztjuk ugyanazzal a számmal, akkor a ezeknek a cselekvéseknek is egyenlőnek kell lenniük egymással. Más szóval: ha a = b, akkor a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc és a/c = b/c. Az osztásnál azonban szem előtt kell tartani, hogy az aritmetikában nincs nullával való osztás - például az 5-öt nem oszthatjuk nullával. Ezért az a/c = b/c egyenlőségben a c szám nem lehet egyenlő nullával.

1. Ugyanaz a szám hozzáadható vagy kivonható az egyenlet mindkét oldaláról.
2. Az egyenlet mindkét oldala szorozható vagy osztható ugyanazzal a számmal, hacsak a szám nem nulla.

Az egyenlet ezen tulajdonságait felhasználva kényelmes megoldást találhatunk az egyenletek megoldására. Tisztázzuk ezt az esetet példákkal.

1. példa Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenletet

5x – 7 = 4x + 15.

Látjuk, hogy az egyenlet első része két tagot tartalmaz; ezek közül az egyik 5x, amely az ismeretlen x tényezőt tartalmazza, ismeretlen tagnak nevezhető, a másik -7 - ismert. Az egyenlet második részében is 2 tag van: ismeretlen 4x és ismert +15. Ügyeljünk arra, hogy az egyenlet bal oldalán csak ismeretlen tagok legyenek (és az ismert –7 tag megsemmisül), a jobb oldalon pedig csak ismert tagok legyenek (és az ismeretlen +4x tag megsemmisül) . Ebből a célból ugyanazokat a számokat adjuk az egyenlet mindkét oldalához: 1) adjunk hozzá +7-et (hogy a –7 tag megsemmisül) és 2) adjunk hozzá egyenként –4x-et (hogy a +4x tag megsemmisüljön). Akkor kapjuk:

5x - 7 + 7 - 4x = 4x + 15 + 7 - 4x

Ha az egyenlet minden részében hasonló tagokat redukáltunk, azt kapjuk

Ez az egyenlőség az egyenlet megoldása, mivel azt jelzi, hogy x-hez a 22-es számot kell vennünk.

2. példa Oldja meg az egyenletet:

8x + 11 = 7 - 4x

Ismét hozzáadunk –11-et és +4x-et az egyenlet mindkét oldalához, így kapjuk:

8x + 11 - 11 + 4x = 7 - 4x - 11 + 4x

A hasonló kifejezéseket csökkentve a következőket kapjuk:

Most osszuk el az egyenlet mindkét oldalát +12-vel, így kapjuk:

x = –4/12 vagy x = –1/3

(a 12x egyenlet első részét 12-vel osztva - 12x/12-t vagy csak x-et kapunk; a -4 egyenlet második részét +12-vel osztva - -4/12 vagy -1/3).

Az utolsó egyenlőség az egyenlet megoldása, mivel azt jelzi, hogy x-hez a –1/3 számot kell vennünk.

3. példa Megoldás egyenlettel

x – 23 = 3 (2x – 3)

Először nyissuk meg a zárójeleket, és kapjuk meg:
x – 23 = 6x – 9

Adjunk hozzá +23-at és –6x-ot az egyenlet mindkét oldalához, így kapjuk:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

Most az egyenlet megoldásának utólagos felgyorsítása érdekében nem fogjuk azonnal végrehajtani az összes hasonló tag redukcióját, hanem csak azt jegyezzük meg, hogy az egyenlet bal oldalán lévő –23 és +23 tagok kioltják egymást, és az első részben szereplő +6x és –6x kifejezések kölcsönösen megsemmisülnek - kapjuk:

x – 6x = –9 + 23.

Hasonlítsuk össze ezt az egyenletet a kezdővel: az elején volt egy egyenlet:

x – 23 = 6x – 9

Most megvan az egyenlet:

x – 6x = –9 + 23.

Látjuk, hogy a végén kiderült, hogy a –23 tag, amely kezdetben az egyenlet bal oldalán volt, most mintha az egyenlet jobb oldalára került volna, és az előjele megváltozott (volt egy –23 tag a kezdeti egyenlet bal oldalán, de most nincs ott , hanem az egyenlet jobb oldalán van egy + 23 tag, ami korábban nem volt). Hasonlóan az egyenlet jobb oldalán volt egy +6x tag, most nincs ott, de az egyenlet bal oldalán megjelent egy –6x tag, ami korábban nem volt. Az 1. és 2. példát ebből a szempontból tekintve általános következtetésre jutunk:

Az egyenlet bármely tagját átviheti egyik részből a másikba a tag előjelének megváltoztatásával(a további példákban ezt fogjuk használni).

Tehát, visszatérve a példánkhoz, megvan az egyenlet

x – 6x = –9 + 23

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát –5-tel. Akkor kapjuk:

[–5x: (–5) x-et kapunk] – ez az egyenletünk megoldása.

4. példa Oldja meg az egyenletet:

Győződjön meg arról, hogy az egyenletben nincsenek törtek. Ehhez keressük a törteink közös nevezőjét - a közös nevező a 24-es szám -, és megszorozzuk vele az egyenletünk mindkét oldalát (lehetséges, hogy az egyenlőség ne sérüljön, csak mindkét oldalt szorozzuk meg az egyenlet azonos számmal). Az első rész 3 tagból áll, és minden tag egy tört - ezért minden törtet meg kell szorozni 24-gyel: az egyenlet második része 0, és a nullát megszorozzuk 24-gyel - nullát kapunk. Így,

Látjuk, hogy mindhárom törtünk, mivel megszorozzuk e törtek nevezőinek közös legkisebb többszörösével, lecsökken, és egész kifejezéssé válik, nevezetesen a következőt kapjuk:

(3x – 8) 4 – (2x – 1) 6 + (x – 7) 3 = 0

Természetesen célszerű mindezt gondolatban megtenni: el kell képzelnünk, hogy például az első tört számlálóját zárójelbe tesszük és megszorozzuk 24-gyel, ami után a képzeletünk segít meglátni ennek a csökkenését. tört (6-tal) és a végeredmény, azaz (3x – 8) · 4. Ugyanez vonatkozik a többi törtre is. Most nyissuk meg a zárójeleket a kapott egyenletben (a bal oldalán):

12x - 32 - 12x + 6 + 3x - 21 = 0

(kérjük, vegye figyelembe, hogy itt meg kellett szorozni a binomiális 2x – 1-et 6-tal, és a kapott 12x – 6 szorzatot ki kellett vonni az előzőből, ami miatt ennek a szorzatnak a feltételeinek előjelei változniuk kell - fölötte –12x van írva + 6). Vigyük át az ismert tagokat (azaz –32, +6 és –21) az egyenlet bal oldaláról a jobb oldalára, és (mint azt már tudjuk) ezeknek a tagoknak az előjeleinek meg kell változniuk - kapjuk:

12x - 12x + 3x = 32 - 6 + 21.

Vegyünk hasonló kifejezéseket:

(ügyességgel azonnal át kell vinni a szükséges kifejezéseket az egyenlet egyik részéből a másikba, és hasonló kifejezéseket kell hozni), végül osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 3-mal - kapjuk:

x = 15(2/3) - ez az egyenlet megoldása.

5. példa Oldja meg az egyenletet:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

Itt két tört van, közös nevezőjük 35. Az egyenlet törtektől való megszabadításához az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a 35 közös nevezővel. Egyenletünk minden részében 2 tag van. Ha minden részt megszorozunk 35-tel, minden tagot meg kell szorozni 35-tel - kapjuk:

A törteket csökkentjük, és a következőt kapjuk:

175 – (3x + 1) 5 = 35x + (2x - 3) 7

(persze, ha volt hozzá készséged, azonnal felírhatnád ezt az egyenletet).

Tegyük meg az összes lépést:

175 - 15x - 5 = 35x + 14x - 21.

Vigyük át az összes ismeretlen kifejezést a jobb oldalról (azaz a +35x és +14x kifejezéseket) balra, és az összes ismert kifejezést a bal oldalról (azaz a +175 és -5 kifejezéseket) jobbra - ne felejtsük el az áthelyezést tagváltás jele:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(a –15x kifejezés, ahogy korábban a bal oldalon volt, most is benne maradt - ezért egyáltalán ne változtasson előjelén; hasonló a –21 kifejezésre is). A hasonló kifejezéseket csökkentve a következőket kapjuk:

–64x = –191.

[Lehetőség van arra, hogy az egyenlet mindkét oldalán ne legyen mínuszjel; Ehhez megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát (–1-gyel), így 64x = 191-et kapunk, de ezt nem kell tennünk.]
Ezután elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát (–64) és megkapjuk az egyenletünk megoldását.

[Ha az egyenlet mindkét oldalát megszoroztuk (–1)-gyel, és a 64x = 191 egyenletet kaptuk, akkor most az egyenlet mindkét oldalát el kell osztanunk 64-gyel.]

A 4. és 5. példában tett teendők alapján megállapíthatjuk: meg lehet szabadítani az egyenletet a törtekből - ehhez meg kell találnunk a közös nevezőt az egyenletben szereplő összes törthez (vagy a legkevésbé gyakorihoz). minden tört nevezőjének többszöröse), és szorozd meg vele mindkét egyenlet részét - akkor a törteknek el kell tűnniük.

6. példa Oldja meg az egyenletet:

A 4x-es tagot az egyenlet jobb oldaláról balra mozgatva kapjuk:

5x – 4x = 0 vagy x = 0.

Tehát a megoldást megtaláltuk: x-hez a nullát kell vennünk. Ha ebben az egyenletben x-et nullára cseréljük, akkor 5 0 = 4 0 vagy 0 = 0 lesz, ami azt jelzi, hogy az egyenlet által kifejezett követelmény teljesül: keressünk olyan számot x-re, hogy az 5x monomiális egyenlő legyen ugyanazzal a számmal. monomiálisként 4x.

Ha már az elején észreveszi, hogy az 5x = 4x egyenlet mindkét oldala osztható x-szel, és végrehajtja ezt az osztást, az eredmény egyértelmű következetlenség: 5 = 4! Ennek az az oka, hogy ebben az esetben nem lehet 5x/x-et osztani, hiszen, mint fentebb láttuk, az egyenletünkkel megfogalmazott kérdéshez x = 0 szükséges, a nullával való osztás pedig nem lehetséges.

Vegyük észre azt is, hogy a nullával való szorzás némi körültekintést igényel: nullával és két nem egyenlő számmal szorozva e szorzások eredményeként egyenlő szorzatokat kapunk, mégpedig nullákat.

Ha például megvan az egyenlet

x – 3 = 7 – x (megoldása: x = 5)

és ha valaki rá akarja alkalmazni az „az egyenlet mindkét oldala szorozható ugyanazzal a számmal” tulajdonságot, és mindkét oldalát megszorozza x-szel, akkor a következőt kapja:

x 2 – 3x = 7x – x 2.

Ezek után észreveheti, hogy az egyenlet minden tagja tartalmaz egy x tényezőt, amiből arra következtethetünk, hogy ennek az egyenletnek a megoldásához vehetjük a nulla számot, azaz feltesszük x = 0-t. És valóban, akkor kapjuk:
0 2 – 3 0 = 7 0 – 0 2 vagy 0 = 0.

Ez az x = 0 megoldás azonban nyilvánvalóan nem alkalmas az adott x – 3 = 7 – x egyenletre; lecserélve benne x-et nullára, nyilvánvaló inkonzisztenciát kapunk: 3 = 7!

Az „egyenlőség” olyan téma, amelyet már általános iskolában tanítanak a diákoknak. Ez kéz a kézben jár az „egyenlőtlenségekkel” is. Ez a két fogalom szorosan összefügg egymással. Ezenkívül olyan kifejezésekhez kapcsolódnak, mint az egyenletek és az azonosságok. Tehát mi az egyenlőség?

Az egyenlőség fogalma

Ez a kifejezés azokra az állításokra vonatkozik, amelyek „=” jelet tartalmaznak. Az egyenlőségeket igazra és hamisra osztják. Ha a bejegyzésben = helyett ott van<, >, akkor egyenlőtlenségekről beszélünk. Egyébként az egyenlőség első jele azt jelzi, hogy a kifejezés mindkét része eredményében vagy rekordjában azonos.

Az egyenlőség fogalma mellett az iskola a „Numerikus egyenlőség” témával is foglalkozik. Ez az állítás két numerikus kifejezésre vonatkozik, amelyek az = jel két oldalán állnak. Például 2*5+7=17. A lemez mindkét része egyenlő egymással.

Az ilyen típusú numerikus kifejezések zárójeleket használhatnak, amelyek befolyásolják a műveletek sorrendjét. Tehát van 4 szabály, amelyet figyelembe kell venni a numerikus kifejezések eredményeinek kiszámításakor.

1. Ha nincs zárójel a bejegyzésben, akkor a műveleteket a legmagasabb szintről hajtják végre: III→II→I. Ha több azonos kategóriájú művelet van, akkor azokat balról jobbra kell végrehajtani.
2. Ha a bejegyzésben zárójelek vannak, akkor a művelet zárójelben, majd lépésenként történik. A zárójelben több művelet is szerepelhet.
3. Ha a kifejezést törtként jelenítjük meg, akkor először a számlálót kell kiszámítani, majd a nevezőt, majd el kell osztani a számlálót a nevezővel.
4. Ha egy rekord beágyazott zárójeleket tartalmaz, akkor először a belső zárójelben lévő kifejezés kerül kiértékelésre.

Tehát most már világos, mi az egyenlőség. A jövőben figyelembe veszik az egyenletek fogalmait, az azonosságokat és a számítási módszereket.

A számszerű egyenlőségek tulajdonságai

Mi az egyenlőség? Ennek a fogalomnak a tanulmányozása megköveteli a numerikus azonosságok tulajdonságainak ismeretét. Az alábbi szöveges képletek lehetővé teszik a téma jobb tanulmányozását. Természetesen ezek a tulajdonságok alkalmasabbak a középiskolai matematika tanulására.

1. A numerikus egyenlőség nem sérül, ha a meglévő kifejezés mindkét részéhez ugyanazt a számot adjuk.

A = B↔ A + 5 = B + 5

2. Az egyenlet nem sérül, ha mindkét részét ugyanazzal a nullától eltérő számmal vagy kifejezéssel szorozzuk vagy osztjuk.

P = O↔ P ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ P: 5 = O: 5

3. Ha az azonosság mindkét oldalához hozzáadjuk ugyanazt a függvényt, amely a változó bármely megengedett értékénél értelmet nyer, új egyenlőséget kapunk, amely ekvivalens az eredetivel.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Bármely kifejezés vagy kifejezés áthelyezhető az egyenlőségjel másik oldalára, de a jeleket meg kell fordítani.

X + 5 = Y - 20 ↔ X = Y - 20 - 5 ↔ X = Y - 25

5. Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a függvénnyel, amely különbözik a nullától, és az ODZ-ből származó X minden egyes értékére vonatkozik, egy új egyenletet kapunk, amely ekvivalens az eredetivel.

F(X) = Ψ(X)↔ F(X)∙R(X) = Ψ(X)∙R(X)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : G(X)

A fenti szabályok egyértelműen jelzik az egyenlőség elvét, amely bizonyos feltételek mellett fennáll.

Az arány fogalma

A matematikában van olyan, hogy a kapcsolatok egyenlősége. Ebben az esetben az arány meghatározása magában foglalja. Ha elosztja A-t B-vel, az eredmény az A szám és a B aránya lesz. Az arány két arány egyenlősége:

Néha az arányt a következőképpen írják fel: V:B=C:D. Ez magában foglalja az arányosság alapvető tulajdonságát: A*D=D*C, ahol A és D az arány szélső tagja, B és C pedig az átlag.

Identitások

Az azonosság egy egyenlőség, amely igaz lesz a feladatban szereplő változók összes megengedett értékére. Az identitásokat szó szerinti vagy numerikus egyenlőségként ábrázolhatjuk.

Azokat a kifejezéseket, amelyek az egyenlőség két oldalán olyan ismeretlen változót tartalmaznak, amely egy egész két részével egyenlő, azonosan egyenlőnek nevezzük.

Ha egy kifejezést lecserélünk egy másikra, amely egyenlő lesz vele, akkor azonos transzformációról beszélünk. Ebben az esetben használhatja a rövidített szorzási képleteket, az aritmetikai törvényeket és más azonosságokat.

A töredék csökkentéséhez azonos átalakításokat kell végrehajtania. Például adott egy tört. Az eredmény eléréséhez rövidített szorzási képleteket, faktorizálást, kifejezések egyszerűsítését és törtek csökkentését kell használnia.

Érdemes megfontolni, hogy ez a kifejezés akkor lesz azonos, ha a nevező nem egyenlő 3-mal.

5 módszer a személyazonosság bizonyítására

Az azonosságegyenlőség bizonyításához át kell alakítani a kifejezéseket.

I. módszer

A bal oldalon egyenértékű átalakításokat kell végrehajtani. Az eredmény a jobb oldal, és elmondhatjuk, hogy az azonosság beigazolódott.

II módszer

Minden kifejezés-átalakítási művelet a jobb oldalon történik. Az elvégzett manipulációk eredménye a bal oldal. Ha mindkét rész azonos, akkor az azonosság bizonyított.

III módszer

A kifejezés mindkét részében „transzformációk” fordulnak elő. Ha az eredmény két azonos rész, akkor az azonosság igazolt.

IV módszer

A jobb oldalt kivonjuk a bal oldalból. Az ekvivalens transzformációk eredményeként az eredmény nulla legyen. Ezután beszélhetünk a kifejezés azonosságáról.

V módszer

A bal oldalt levonjuk a jobb oldalról. Minden ekvivalens transzformációt úgy redukálunk, hogy biztosítsuk, hogy a válasz nullát tartalmazzon. Csak ebben az esetben beszélhetünk az egyenlőség azonosságáról.

Az identitások alapvető tulajdonságai

A matematikában az egyenlőségek tulajdonságait gyakran használják a számítási folyamat felgyorsítására. Az alapvető algebrai identitásoknak köszönhetően egyes kifejezések kiszámításának folyamata hosszú órák helyett perceket vesz igénybe.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X∙ (Y + C) = X∙Y + X∙C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X∙C + X∙E + Y∙C + Y∙E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) = X + Y - C
• X - (Y + C) = X - Y - C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1, ahol X ≠ 0

Rövidített szorzóképletek

A rövidített szorzóképletek lényegében egyenlőségek. Egyszerűségüknek és könnyű kezelhetőségüknek köszönhetően számos matematikai probléma megoldásában segítenek.

• (A + B) 2 = A 2 + 2∙A∙B + B 2 - egy számpár összegének négyzete;

• (A - B) 2 = A 2 - 2∙A∙B + B 2 - egy számpár négyzetes különbsége;

• (C + B) ∙ (C - B) = C 2 - B 2 - négyzetek különbsége;

• (A + B) 3 = A 3 + 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 + B 3 - az összeg kocka;

• (A - B) 3 = A 3 - 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 - B 3 - a különbség kocka;

• (P + B) ∙ (P 2 - P∙B + B 2) = P 3 + B 3 - kockák összege;

• (P - B) ∙ (P 2 + P∙B + B 2) = P 3 - B 3 - a kockák különbsége.

A rövidített szorzóképleteket gyakran használják, ha egy polinomot a szokásos formájába kell hozni, minden lehetséges módon egyszerűsítve azt. A bemutatott képleteket könnyű bizonyítani: csak nyissa ki a zárójeleket, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket.

Egyenletek

Az egyenlőség kérdésének tanulmányozása után továbbléphet a következő pontra: Az egyenlet olyan egyenlőség, amelyben ismeretlen mennyiségek vannak jelen. Az egyenlet megoldása egy változó összes értékének megtalálása úgy, hogy a teljes kifejezés mindkét oldala egyenlő legyen. Vannak olyan feladatok is, amelyekben lehetetlen megoldást találni egy egyenletre. Ebben az esetben azt mondják, hogy nincsenek gyökerek.

Általános szabály, hogy az ismeretlenekkel való egyenlőségek egész számokat adnak megoldásként. Előfordulhatnak azonban olyan esetek, amikor a gyökér vektor, függvény vagy más objektum.

Az egyenlet a matematika egyik legfontosabb fogalma. A legtöbb tudományos és gyakorlati probléma nem teszi lehetővé bármely mennyiség mérését vagy kiszámítását. Ezért olyan arányszámot kell felállítani, amely kielégíti a feladat összes feltételét. Egy ilyen összefüggés összeállítása során megjelenik egy egyenlet vagy egyenletrendszer.

Az ismeretlennel való egyenlőség megoldása általában egy összetett egyenlet átalakításával és egyszerű formákká való redukálásával jár. Emlékeztetni kell arra, hogy az átalakításokat mindkét oldalon el kell végezni, különben a kimenet helytelen lesz.

4 módszer az egyenlet megoldására

Egy egyenlet megoldása alatt azt értjük, hogy egy adott egyenlőséget egy másikkal helyettesítünk, amely ekvivalens az elsővel. Az ilyen helyettesítést identitástranszformációnak nevezik. Az egyenlet megoldásához az egyik módszert kell használnia.

1. Az egyik kifejezést egy másikkal helyettesítjük, amely szükségszerűen azonos lesz az elsővel. Példa: (3∙x+3) 2 =15∙x+10. Ez a kifejezés 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10-re konvertálható.

2. Az ismeretlennel való egyenlőség feltételeinek egyik oldalról a másikra átvitele. Ebben az esetben a táblákat helyesen kell megváltoztatni. A legkisebb hiba tönkreteszi az összes elvégzett munkát. Vegyük példának az előző „mintát”.

9∙x 2 + 12∙x + 4 = 15∙x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Egy egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk egyenlő számmal vagy kifejezéssel, amely nem egyenlő 0-val. Érdemes azonban emlékezni arra, hogy ha az új egyenlet nem ekvivalens a transzformációk előtti egyenlőséggel, akkor a gyökök száma jelentősen megváltozhat.

4. Az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelése. Ez a módszer egyszerűen csodálatos, különösen akkor, ha az egyenlőségben, vagyis az alatta lévő kifejezésben irracionális kifejezések vannak. Itt van egy árnyalat: ha az egyenletet egyenletes hatványra emeli, akkor megjelenhetnek olyan idegen gyökerek, amelyek eltorzítják a feladat lényegét. És ha helytelenül vonja ki a gyökeret, akkor a kérdésben szereplő kérdés jelentése homályos lesz. Példa: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 és 2) - 7∙х = 35 → az egyenlet helyesen lesz megoldva.

Tehát ebben a cikkben olyan kifejezéseket említünk, mint az egyenletek és az azonosságok. Mindegyik az „egyenlőség” fogalmából származik. A különféle ekvivalens kifejezéseknek köszönhetően egyes problémák megoldása nagyban megkönnyíthető.

Ez a cikk olyan információkat gyűjt össze, amelyek az egyenlőség eszméjét formálják a matematika összefüggésében. Itt megtudjuk, mit jelent az egyenlőség matematikai szempontból, és mik azok. Beszéljünk az egyenlőségek írásáról és az egyenlőségjelről is. Végül felsoroljuk az egyenlőségek főbb tulajdonságait, és példákat adunk az érthetőség kedvéért.

Oldalnavigáció.

Mi az egyenlőség?

Az egyenlőség fogalma elválaszthatatlanul kapcsolódik az összehasonlításhoz – a tulajdonságok és jellemzők összehasonlításához hasonló jellemzők azonosítása érdekében. Az összehasonlítás pedig két tárgy vagy tárgy jelenlétét feltételezi, amelyek közül az egyiket összehasonlítják a másikkal. Kivéve persze, ha egy tárgyat önmagával hasonlít össze, és akkor ez két objektum összehasonlításának speciális esetének tekinthető: maga az objektum és annak „pontos másolata”.

A fenti érvelésből világosan látszik, hogy az egyenlőség nem létezhet legalább két tárgy jelenléte nélkül, különben egyszerűen nem lesz összehasonlítanivalónk. Nyilvánvaló, hogy három, négy vagy több tárgyat is vehet az összehasonlításhoz. De természetesen az ezekből az objektumokból álló összes lehetséges pár összehasonlítása következik. Más szóval, két objektum összehasonlításáról van szó. Tehát az egyenlőséghez két tárgyra van szükség.

A legáltalánosabb értelemben vett egyenlőség fogalmának lényegét az „azonos” szó közvetíti a legvilágosabban. Ha két egyforma tárgyat veszünk, akkor azt mondhatjuk róluk, hogy azok egyenlő. Példaként adunk meg két egyenlő négyzetet és . A különböző objektumok pedig ún egyenlőtlen.

Az egyenlőség fogalma vonatkozhat mind a tárgyak egészére, mind azok egyedi tulajdonságaira és jellemzőire. Az objektumok összességében akkor egyenlőek, ha minden rájuk jellemző vonatkozásban egyenlőek. Az előző példában általánosságban beszéltünk az objektumok egyenlőségéről - mindkét objektum négyzet, azonos méretűek, azonos színűek, és általában teljesen azonosak. Másrészt az objektumok összességében egyenlőtlenek lehetnek, de lehetnek azonos jellemzőkkel. Példaként vegyünk ilyen objektumokat és . Nyilvánvalóan egyenlő alakúak – mindkettő kör. Színben és méretben pedig egyenlőtlenek, az egyik kék, a másik piros, az egyik kicsi, a másik nagy.

Az előző példából megjegyezzük magunknak, hogy előre tudnunk kell, hogy pontosan miről is beszélünk egyenlőségről.

A fenti érvek mindegyike vonatkozik a matematikai egyenlőségekre, csak itt az egyenlőség matematikai objektumokra vonatkozik. Vagyis a matematika tanulmányozása során beszélni fogunk a számok egyenlőségéről, a kifejezési értékek egyenlőségéről, bármely mennyiség egyenlőségéről, például hosszúságról, területről, hőmérsékletről, munkatermelékenységről stb.

Egyenlőségek írása, =

Ideje megnézni az egyenlőségek írásának szabályait. Erre a célra használják egyenlőségjel(ezt egyenlőségjelnek is nevezik), amelynek = alakja van, azaz két azonos vonalat jelöl, amelyek vízszintesen helyezkednek el egymás felett. Az = egyenlőségjel általánosan elfogadottnak tekinthető.

Az egyenlőségek írásakor írjon egyenlő objektumokat, és tegye közéjük egyenlőségjelet. Például az egyenlő számok 4 és 4 írása úgy néz ki, mint 4=4, és úgy is olvasható, hogy „négy egyenlő négy”. Egy másik példa: az ABC háromszög S ABC területének hét négyzetméterrel való egyenlőségét a következőképpen írjuk fel: S ABC = 7 m 2. Hasonlóan más példákat is hozhatunk az egyenlőségek írására.

Érdemes megjegyezni, hogy a matematikában az egyenlőségek figyelembe vett jelöléseit gyakran használják az egyenlőség definíciójaként.

Meghatározás.

Azokat a rekordokat, amelyek egyenlőségjellel választanak el két matematikai objektumot (két szám, kifejezés stb.) ún. egyenlőségek.

Ha írásban kell jeleznie két objektum egyenlőtlenségét, akkor használja nem egyenlőségjel≠. Látjuk, hogy áthúzott egyenlőségjelet jelöl. Példaként vegyük az 1+2≠7 bejegyzést. Így olvasható: „Egy és kettő összege nem egyenlő héttel.” Egy másik példa az |AB|≠5 cm – az AB szakasz hossza nem egyenlő öt centiméterrel.

Igaz és hamis egyenlőség

Az írott egyenlőségek megfelelhetnek az egyenlőség fogalmának jelentésének, vagy ellentmondhatnak annak. Ennek függvényében az egyenlőségeket felosztják valódi egyenlőségekÉs hamis egyenlőségek. Értsük meg ezt példákkal.

Írjuk fel az 5=5 egyenlőséget. Az 5-ös és az 5-ös szám kétségtelenül egyenlő, tehát 5=5 valódi egyenlőség. De az 5=2 egyenlőség helytelen, mivel az 5 és a 2 nem egyenlő.

Az egyenlőségek tulajdonságai

Abból, ahogyan az egyenlőség fogalmát bemutatjuk, annak jellemző eredményei – az egyenlőség tulajdonságai – természetesen következnek. Három fő van az egyenlőségek tulajdonságai:

• A reflexivitás tulajdonsága, amely kimondja, hogy egy tárgy önmagával egyenlő.
• A szimmetria tulajdonsága, amely kimondja, hogy ha az első objektum egyenlő a másodikkal, akkor a második egyenlő az elsővel.
• És végül a tranzitivitás tulajdonsága, amely kimondja, hogy ha az első tárgy egyenlő a másodikkal, és a második egyenlő a harmadikkal, akkor az első egyenlő a harmadikkal.

Írjuk fel a hangos tulajdonságokat a matematika nyelvén betűkkel:

• a=a ;
• ha a=b, akkor b=a ;
• ha a=b és b=c, akkor a=c .

Külön érdemes megjegyezni az egyenlőségek második és harmadik tulajdonságának - a szimmetria és a tranzitivitás tulajdonságainak - érdemét abban, hogy páronkénti egyenlőségükön keresztül lehetővé teszik, hogy három vagy több objektum egyenlőségéről beszéljünk.

Dupla, hármas egyenlőség stb.

Az egyenlőségeknél szokásos jelölésekkel, amelyekre az előző bekezdésekben példákat adtunk, az ún kettős egyenlőség, hármas egyenlőségekés így tovább, mintegy az egyenlőség láncait képviselve. Például az 1+1+1=2+1=3 jelölés kettős egyenlőség, és |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF|

- egy példa a négyszeres egyenlőségre.

Dupla, tripla, stb. Egyenlőségeknél célszerű a három, négy stb. egyenlőségét felírni. ennek megfelelően tárgyakat. Ezek a rekordok eredendően jelölik az egyenlőség eredeti láncát alkotó két objektum egyenlőségét. Például a fenti kettős egyenlőség 1+1+1=2+1=3 lényegében az 1+1+1=2+1, és a 2+1=3 és az 1+1+1=3 egyenlőséget jelenti. a 2+1=1+1+1, valamint a 3=2+1, valamint a 3=1+1+1 egyenlőségek szimmetria tulajdonsága miatt.

Az ilyen egyenlőségláncok formájában célszerű lépésről lépésre megoldást megfogalmazni a példákra és a problémákra, miközben a megoldás rövidnek tűnik, és láthatóak az eredeti kifejezés átalakításának közbenső szakaszai.

• Hivatkozások. Moro M.I.
• . Matematika. Tankönyv 1 osztályra. kezdet iskola 2 részben 1. rész (I. félév) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6th ed. - M.: Oktatás, 2006. - 112 p.: ill.+Kieg. (2 külön l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.: tankönyv 5. osztály számára. általános műveltség intézmények / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

- (egyenlőség elavult), egyenlőség, vö. (könyv). 1. csak egységek zaklatott főnév egyenlőségre, azonosságra, teljes hasonlóságra (méretben, minőségben, méltóságban stb.). „A kolhozok nélkül egyenlőtlenség van, a kolhozokban jogegyenlőség van.” Sztálin. A hatalom egyenlősége. Egyenjogúság...... Ushakov magyarázó szótára

- (egyenlőség) A személyek egyenlő kompetenciájának vagy egyenlő státusának tényszerű és/vagy normatív érvényesítése, amely a méltányos elosztáshoz való jogot eredményezi (elosztási igazságosság). Az egyének kvázi-empirikus egyenlősége tisztán fizikai... ... Politológia. Szótár.

Minden ember szabadnak és egyenlőnek születik méltóságában és jogaiban. Az Emberi Jogok Egyetemes Nyilatkozata (1948) Minden ember egyenlőnek születik, és haláláig harcol ez ellen. Leszek Kumor Az emberek szabadnak és egyenlőtlennek születnek. Grant Allen...... Aforizmák összevont enciklopédiája

A társadalomfilozófia és maga a társadalmi élet egyik alapfogalma. Az R. minden típusának alapja a formális R., amely az alkalmazási körtől és a kiegyenlítés értékalapjának megválasztásától függően különféle tartalmi... ... Filozófiai Enciklopédia

Társadalmi, egy bizonyos társadalmi állapot jellemzője, számos társadalmi eszmény szerves része. A politikai és társadalmi egyenlőség iránti igények aktív, gyakran forradalmi szerepet játszottak a történelmi folyamatban. Kialakult a sztoicizmus...... Modern enciklopédia

Egy bizonyos társadalmi állapot társadalmi jellemzője, számos társadalmi eszmény szerves része. A politikai és társadalmi egyenlőség iránti igények aktív, gyakran forradalmi szerepet játszottak a történelmi folyamatban. Kialakult a sztoicizmus......

- (egyenlőség) Ugyanaz az érték. Az egyenlőségjel (=) jelzi, és számokra vagy algebrai kifejezésekre alkalmazható. Ha x és y valós számok, akkor x=y azt jelenti, hogy x és y azonos. Ha x és y összetett...... Közgazdasági szótár

Egyenlőség- Egyenlőség ♦ Égalité Két lény akkor egyenlő, ha egyforma méretű, vagy ugyanannyi valamiben van. Így a fogalom csak viszonylagosan nyer értelmet, és feltételezi egy bizonyos referenciaérték jelenlétét. Szóval azt mondjuk... Sponville filozófiai szótára

cm… Szinonimák szótára

egyenlőség- 1. Teljes hasonlóság, hasonlatosság (méretben, minőségben, méltóságban). 2. A közgazdaságtanban a „jövedelmi egyenlőség”, a „tulajdon egyenlősége”, az „esélyegyenlőség” értelemben használt kvalitatív fogalom, hogy... ... Műszaki fordítói útmutató

A logikában és a matematikában az objektumok kölcsönös helyettesíthetőségének viszonya, amelyek éppen e helyettesíthetőség miatt tekinthetők egyenlőnek (a = b). Az egyenlőségi reláció a reflexivitás (minden objektum önmagával egyenlő), a szimmetria (ha egy ... Nagy enciklopédikus szótár

Könyvek

• Egyenlőség, Danny Dorling. Danny Dorling "Equality" című könyve nagyon érdekes ötletekben gazdag. A nagyobb egyenlőség javítja a lakosság túlnyomó többségének tényleges életminőségét. Javítja a minőséget...

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete