Definíció: Kvadratikus forma, amely egy szimmetrikus bilineáris alaknak felel meg a lineáris térben V , egy vektor argumentum függvényének nevezzük .

Legyen adott egy másodfokú alak, és legyen a megfelelő szimmetrikus bilineáris alak. Akkor

amiből az következik, hogy adott másodfokú alakot a megfelelő szimmetrikus bilineáris forma is egyértelműen meghatározott. Tehát a szimmetrikus bilineáris és másodfokú formák között a lineáris térben V egy-egy megfeleltetés jön létre, így a másodfokú formák szimmetrikus bilineáris formák segítségével tanulmányozhatók.

Mérlegeljük n-dimenziós lineáris tér. Másodfokú mátrix in for ezen az alapon A lineáris tér a hozzá tartozó szimmetrikus bilineáris alak mátrixa ugyanazon az alapon. A másodfokú mátrix mindig szimmetrikus.

Jelöljünk egy másodfokú alakú mátrixot a tér valamely bázisában. Ha szokás szerint kijelöljük x a vektor koordinátaoszlopát ugyanazon az alapon, akkor az 5.5 egyenlőségből megkapjuk a másodfokú alak felírásának mátrix alakját:

5.4. Tétel. Legyen két bázis adott lineáris térben

(5.10)

, (5.11)

és legyen és legyen másodfokú alakú mátrixok (5.10) és (5.11) bázisokban. Akkor hol T– átmeneti mátrix (5.10)-ből (5.11)-be.

A bizonyítás az 5.2. Tételből és a másodfokú mátrix definíciójából következik.

Annak a ténynek köszönhetően, hogy az átmeneti mátrix T nem degenerált, akkor új bázisra lépve a másodfokú mátrix rangja nem változik. Ezért a következő definíciót fogalmazhatjuk meg.

Meghatározás. Rang egy lineáris térben meghatározott másodfokú alakzat mátrixának rangja a tér valamely, tehát bármely bázisában (jellel jelöljük).

Most írjuk fel a másodfokú formát koordináta alakban. Ehhez a vektort kiterjesztjük bázisra (5.10): . Ha egy másodfokú mátrix ugyanazon az alapon, akkor az (5.4) egyenlőségnek megfelelően

– (5.12)

másodfokú forma koordináta jelölése. Írjuk le részletesen (5.12) for n= 3, tekintettel arra

Tehát, ha adott egy bázis, akkor a koordináta-jelölésű másodfokú alak egy másodfokú homogén polinomnak tűnik n változók – vektorkoordináták adott bázison. Ezt a polinomot ún Kilátás másodfokú forma adott alapon. De az alkalmazásokban az ilyen polinomok gyakran önállóan merülnek fel, látható kapcsolat nélkül lineáris terek(például a függvények második differenciáljai), ezért a másodfokú alak egy másik definícióját fogjuk megfogalmazni.

Meghatározás. Másodfokú forma -tól n változók ezekben a változókban másodfokú homogén polinomnak nevezzük, azaz az (5.12) forma függvényének. A másodfokú mátrix (5.12) szimmetrikus mátrix.

Példa másodfokú mátrix összeállítása. Hadd

Az (5.12) és (5.13) alapján világos, hogy a at együttható egybeesik -vel, azaz. A másodfokú mátrix átlós elemei a négyzetek együtthatói. Ugyanígy azt látjuk, hogy - a szorzat együtthatójának fele. Így az (5.14) másodfokú mátrix így néz ki:

Válasszunk most ismét két bázist (5.10) és (5.11) a térben, és jelöljük, mint általában, a vektor koordináta oszlopai (5.10) és (5.11) bázisokban. Bázisról (5.10) bázisra (5.11) haladva a vektor koordinátái a törvény szerint változnak:

ahol az (5.10) és (5.11) közötti átmenet mátrixa. Vegye figyelembe, hogy a mátrix nem degenerált. Írjuk fel az (5.15) egyenlőséget koordináta alakban:

vagy részletesen:

(5.17)

Az (5.17) egyenlőség (vagy (5.16) használatával, ami ugyanaz), a változóktól a változók felé haladunk.

Meghatározás. Változók lineáris nem degenerált transzformációja változók transzformációjának nevezzük, a rendszer adta egyenlőségek (5.16) vagy (5.17), vagy egy mátrixegyenlőség (5.15), feltéve, hogy az egy nem szinguláris mátrix. Mátrix T a változók ezen transzformációjának mátrixának nevezzük.

Ha az (5.12)-ben változók helyett az (5.17) képlet szerinti változókkal helyettesítjük a kifejezéseiket, nyissuk ki a zárójeleket és hozzunk hasonlókat, akkor egy másik, másodfokú homogén polinomot kapunk:

Ebben az esetben a változók (5.17) lineáris nem degenerált transzformációja a másodfokú formát másodfokú formává alakítja. Az (5.15) relációval (vagy az (5.16) vagy (5.17) relációval összefüggő változók értékeit hívjuk. ide vonatkozó változók adott lineáris nem degenerált transzformációjához.

Meghatározás. A változók halmazát ún nem triviális , ha legalább az egyik változó értéke nullától eltérő. BAN BEN másképp változók halmazát nevezzük jelentéktelen .

Lemma 5.2. A változók lineáris, nem degenerált transzformációjával egy triviális változóhalmaz felel meg egy triviális halmaznak.

Az (5.15) egyenlőségből nyilvánvalóan következik: ha , akkor . Másrészt a mátrix nem-degeneráltságát felhasználva T, ismét az (5.15)-ből kapjuk, amiből egyértelmű, hogy -re is .◄

Következmény. A változók lineáris, nem degenerált transzformációjával a változók nem triviális halmaza egy nem triviális halmaznak felel meg.

5.5. Tétel. Ha a lineáris nem degenerált transzformáció (5.15) másodfokú formát ölt mátrixszal A másodfokú formába mátrixszal A", akkor (az 5.4. Tétel másik megfogalmazása).

Következmény. A változók lineáris, nem degenerált transzformációjával a másodfokú mátrix determinánsa nem változtat előjelet.

Megjegyzés. Az átmeneti mátrixtól és a lineáris operátor mátrixától eltérően a változók lineáris nem degenerált transzformációjának mátrixát nem oszlopokba, hanem sorokba írjuk.

Adjuk meg a változók két lineáris nem degenerált transzformációját:

Alkalmazzuk őket egymás után:

Változók lineáris nem degenerált transzformációinak összetétele Az (5.18) és (5.19) szekvenciális alkalmazásukat, azaz a változók transzformációját nevezzük. Az (5.20)-ból jól látható, hogy a változók két lineáris nem degenerált transzformációjának összetétele is a változók lineáris nem degenerált transzformációja.

Meghatározás. Kvadratikus alakzatok hívják egyenértékű , ha van a változók lineáris, nem degenerált transzformációja, amely átviszi az egyiket a másikba.

Kvadratikus alakzatok

Kvadratikus forma n változó f(x 1, x 2,...,x n) olyan összeg, amelynek minden tagja vagy az egyik változó négyzete, vagy két különböző változó szorzata, egy bizonyos együtthatóval: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Az ezekből az együtthatókból álló A mátrixot másodfokú mátrixnak nevezzük. Mindig szimmetrikus mátrix (azaz a főátlóra szimmetrikus mátrix, a ij = a ji).

Mátrix jelölésben a másodfokú alak f(X) = X T AX, ahol

Valóban

Például írjuk fel a másodfokú formát mátrix alakban.

Ehhez találunk egy másodfokú mátrixot. Átlóelemei egyenlők a négyzetes változók együtthatóival, a többi eleme pedig a másodfokú forma megfelelő együtthatóinak felével. Ezért

Legyen az X változók mátrixoszlopa az Y mátrixoszlop nem degenerált lineáris transzformációjával, azaz. X = CY, ahol C egy n-edrendű nem szinguláris mátrix. Ezután a másodfokú forma
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Így egy nem degenerált C lineáris transzformációval a másodfokú mátrix a következő alakot veszi fel: A * = C T AC.

Például keressük meg az f(y 1, y 2) másodfokú alakot, amelyet az f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodfokú alakból kapunk lineáris transzformációval.

A másodfokú formát ún kánoni(Van kanonikus nézet), ha minden együtthatója a ij = 0 i ≠ j esetén, azaz.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Mátrixa átlós.

Tétel(itt nincs bizonyíték). Bármilyen másodfokú forma redukálható kanonikus forma nem degenerált lineáris transzformáció segítségével.

Például redukáljuk le a másodfokú formát kanonikus formára
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3.

Ehhez először kiválasztjuk tökéletes négyzet x 1 változóval:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Most kiválasztunk egy teljes négyzetet az x 2 változóval:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 – (1/20) x 3 2.

Ekkor az y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 és y 3 = x 3 nem degenerált lineáris transzformáció ezt a másodfokú formát hozza az f(y 1, y 2) kanonikus alakba. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Megjegyzendő, hogy a másodfokú formák kanonikus formája kétértelműen van meghatározva (ugyanaz a másodfokú forma redukálható kanonikus formára különböző utak). Azonban a kapott különböző utak a kanonikus formáknak számos általános tulajdonságok. Különösen a másodfokú alak pozitív (negatív) együtthatóival rendelkező tagok száma nem függ attól, hogy milyen módszerrel redukálják a formát erre a formára (például a vizsgált példában mindig két negatív és egy pozitív együttható lesz). Ezt a tulajdonságot ún másodfokú formák tehetetlenségi törvénye.

Ellenőrizzük ezt úgy, hogy ugyanazt a másodfokú formát más módon hozzuk a kanonikus formába. Kezdjük az átalakítást az x 2 változóval:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 – (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, ahol y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 és y 3 = x 1. Itt van egy pozitív együttható 2 az y 3 és két negatív együttható (-3) az y 1 és y 2 (és egy másik módszerrel pozitív együtthatót kaptunk y 1-nél és két negatív együtthatót - (-5) y 2 és (-1 /20) y 3-nál).

Azt is meg kell jegyezni, hogy egy másodfokú mátrix rangja, ún másodfokú forma rangja, számával egyenlő a kanonikus forma nullától eltérő együtthatói, és nem változik a lineáris transzformációk során.

Az f(X) másodfokú alakot nevezzük pozitívan (negatív) bizonyos, ha a változók összes olyan értékére, amely nem egyenlő egyidejűleg nullával, akkor pozitív, pl. f(X) > 0 (negatív, pl.
f(X)< 0).

Például az f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 másodfokú alak pozitív határozott, mert négyzetek összege, és az f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 másodfokú alak negatív határozott, mert azt jelenti, hogy az f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 alakban ábrázolható.

A legtöbb gyakorlati helyzetben valamivel nehezebb egy másodfokú alak határozott előjelét megállapítani, ezért ehhez a következő tételek valamelyikét használjuk (bizonyítás nélkül fogjuk megfogalmazni).

Tétel. A másodfokú forma akkor és csak akkor pozitív (negatív) határozott sajátértékek mátrixai pozitívak (negatívak).

Tétel (Sylvester-kritérium). Egy másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha ennek az alaknak a mátrixának minden vezető mollja pozitív.

Fő (sarok) moll Az n-edrendű A k-edrendű mátrixot a mátrix determinánsának nevezzük, amely az A () mátrix első k sorából és oszlopából áll.

Megjegyzendő, hogy a negatív határozott másodfokú alakoknál a főmollok előjelei váltakoznak, az elsőrendű mollnak pedig negatívnak kell lennie.

Vizsgáljuk meg például az f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 másodfokú alakot az előjel-határozottság szempontjából.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Ezért a másodfokú forma pozitív határozott.

2. módszer. Az A mátrix első rendű főmollja D 1 = a 11 = 2 > 0. Másodrendű főmoll D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Ezért a Sylvester-kritérium szerint a másodfokú alak pozitív határozott.

Megvizsgálunk egy másik másodfokú alakot az előjel-határozottságra, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. módszer. Készítsünk egy A = másodfokú mátrixot. Karakterisztikus egyenletúgy fog kinézni = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Ezért a másodfokú alak negatív határozott.

Meghatározás. A másodfokú formát pozitív határozottnak nevezzük, ha minden értéke a valódi értékeket Azok a változók, amelyek egyidejűleg nem nullák, pozitívak. Nyilvánvaló, hogy a másodfokú forma pozitív határozott.

Meghatározás. A másodfokú formát negatív határozottnak nevezzük, ha minden értéke negatív, kivéve a változók nullától eltérő értékeinek nullától eltérő értéket.

Meghatározás. A másodfokú formát pozitív (negatív) félig meghatározottnak nevezzük, ha nem vesz fel negatív (pozitív) értékeket.

A pozitív és negatív értékeket egyaránt felvevő másodfokú formákat határozatlannak nevezzük.

Nál nél n=1, a másodfokú alak vagy pozitív határozott (at ), vagy negatív határozott (at ). Határozatlan formák címen jelennek meg.

Tétel(Sylvester-teszt egy másodfokú forma pozitív határozottságára). A másodfokú forma érdekében

pozitívan határozták meg, szükséges és elegendő a következő feltételek teljesítése:

Bizonyíték. Az indukciót a -ban szereplő változók számára használjuk. Egy változótól függő másodfokú alak esetén és a tétel kijelentése nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy a tétel igaz a másodfokú alakra attól függően n-1 változó.

1. A szükségesség igazolása. Hadd

pozitív határozott. Ezután a másodfokú forma

pozitív határozott lesz, hiszen ha , akkor at .

Az indukciós hipotézis szerint a forma minden nagyobb mollja pozitív, azaz.

Ezt kell bebizonyítani.

Pozitív határozott másodfokú forma nem degenerált lineáris transzformációval X=BY kanonikus formára redukált

Megfelel a másodfokú alaknak átlós mátrix

determinánssal.

Lineáris transzformáció megadva nem szinguláris mátrix BAN BEN, átalakítja a mátrixot VAL VEL másodfokú formát mátrixmá alakítani. De azóta Az .

2. A megfelelőség igazolása. Tegyük fel, hogy a másodfokú alak összes vezető mollja pozitív: .

Bizonyítsuk be, hogy a másodfokú alak pozitív határozott. Az indukciós feltevés a másodfokú forma pozitív meghatározottságát jelenti . Ezért egy nem degenerált lineáris transzformációval normál formára redukálódik. A változók megfelelő módosítását végrehajtva és a -t elhelyezve kapjuk

Ahol - néhány új együttható.

Változóváltást végrehajtva azt kapjuk

Ennek a másodfokú alaknak a mátrixának determinánsa egyenlő, és mivel az előjele egybeesik az előjellel, akkor , és ezért a másodfokú alak - pozitív határozott. A tétel bizonyítást nyert.

Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy

pozitív határozott volt, ami azt jelenti, hogy a mátrix összes fő minorja

pozitívak voltak. De ez azt jelenti

azok. hogy a mátrix fő kiskorúinak jelei C váltakozva, a mínusz jellel kezdve.

Példa. Számítsa ki, hogy egy másodfokú alak pozitív (negatív) határozott vagy határozatlan.

Megoldás. A másodfokú mátrix alakja a következő:

Számítsuk ki a mátrix fő minorjait VAL VEL:

A másodfokú alak pozitív határozott.

Megoldás. Számítsuk ki a mátrix fő minorjait

A másodfokú forma határozatlan.

Befejezésül megfogalmazzuk a következő tételt.

Tétel(másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A pozitív és a negatív négyzetek száma normál alakban, amelyre a másodfokú alakot nem degenerált lineáris transzformációkkal redukálják, nem függ ezen transzformációk megválasztásától.

7.5. Feladatok a önálló munkavégzés a 7. fejezetről

7.1. Bizonyítsuk be, hogy ha egy másodfokú forma mátrixszal A pozitív határozott, akkor a másodfokú alak -val inverz mátrix pozitív határozott.

7.2. Keresse meg a normál alakot a valós számok tartományában

7.3. Keresse meg a normál alakot a valós számok tartományában

A másodfokú forma fogalma. Másodfokú mátrix. Másodfokú forma kanonikus formája. Lagrange módszer. Normál nézet másodfokú forma. A másodfokú alak rangja, indexe és aláírása. Pozitív határozott másodfokú forma. Kvadrikus.

A másodfokú forma fogalma: függvény egy vektortéren, amelyet a vektor koordinátáiban egy másodfokú homogén polinom határoz meg.

Másodfokú forma -tól n ismeretlen Egy összeget nevezünk, amelynek minden tagja vagy az egyik ismeretlen négyzete, vagy két különböző ismeretlen szorzata.

Kvadratikus mátrix: A mátrixot egy adott alapon másodfokú mátrixnak nevezik. Ha a térkarakterisztika nem egyenlő 2-vel, akkor feltételezhetjük, hogy a másodfokú mátrix szimmetrikus, azaz.

Írj fel egy másodfokú mátrixot:

Ennélfogva,

Vektormátrix formában a másodfokú alak a következő:

A, hol

A másodfokú forma kanonikus formája: A másodfokú formát kanonikusnak nevezzük azaz

Bármilyen másodfokú forma visszavezethető kanonikus formává lineáris transzformációk. A gyakorlatban általában a következő módszereket alkalmazzák.

Lagrange módszer : teljes négyzetek szekvenciális kiválasztása. Például ha

Ezután hasonló eljárást hajtunk végre a másodfokú formával stb. Ha másodfokú formában minden de majd az előzetes átalakítás után a vizsgált eljárásra kerül a dolog. Tehát, ha például akkor feltételezzük

A másodfokú forma normál formája: A normál másodfokú forma egy kanonikus másodfokú forma, amelyben minden együttható +1 vagy -1.

Másodfokú alak rangsora, indexe és aláírása: A másodfokú forma rangja A a mátrix rangjának nevezzük A. A másodfokú alakok rangja nem változik az ismeretlenek nem degenerált transzformációi során.

A negatív együtthatók számát negatív formaindexnek nevezzük.

A kanonikus formában lévő pozitív tagok számát a másodfokú forma pozitív tehetetlenségi indexének, a negatív tagok számát negatív indexnek nevezzük. A pozitív és negatív indexek közötti különbséget a másodfokú forma aláírásának nevezzük

Pozitív határozott másodfokú forma: Valódi kvadratikus forma pozitív határozottnak (negatív határozottnak) nevezzük, ha a változók bármely valós értékére, amely egyidejűleg nem nulla,

. (36)

Ebben az esetben a mátrixot pozitív határozottnak (negatív határozottnak) is nevezik.

A pozitív határozott (negatív határozott) formák osztálya a nem negatív (illetve nem pozitív) formák osztályának része.

Négyszögek: négyes - n-dimenziós hiperfelület be n+1-dimenziós tér, egy másodfokú polinom nullák halmazaként definiálva. Ha megadja a koordinátákat ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (euklideszi ill affin tér), általános egyenlet a négyszög alakja

Ez az egyenlet tömörebben átírható mátrixjelöléssel:

ahol x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) – sorvektor, x T egy transzponált vektor, K- méretmátrix ( n+1)×( n+1) (feltételezzük, hogy legalább egy eleme nem nulla), P egy sorvektor, és R- állandó. Leggyakrabban a valódikkal szembeni négyszögeket veszik figyelembe komplex számok. A definíció kiterjeszthető a projektív térben lévő négyzetekre, lásd alább.

Általánosabban, a polinomiális egyenletrendszer nullák halmazát algebrai változatnak nevezzük. Így a quadric egy (affin vagy projektív) algebrai másodfokú és 1-es kóddimenziós változat.

A sík és a tér átalakulásai.

A síktranszformáció definíciója. Mozgásérzékelés. a mozgás tulajdonságai. Kétféle mozgás: az első típusú mozgás és a második típusú mozgás. Példák mozgásokra. Analitikus kifejezés mozgások. Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns egyenesek meglététől függően). Síkmozgások csoportja.

A síktranszformáció definíciója: Definíció. A pontok közötti távolságot megőrző síktranszformációt nevezzük mozgalom(vagy mozgása) a sík. A síktranszformációt ún affin, ha bármely három, ugyanazon az egyenesen fekvő pontot három, szintén ugyanazon az egyenesen fekvő ponttá alakít át, ugyanakkor megőrzi a három pont egyszerű összefüggését.

Mozgás meghatározása: Ezek alaktranszformációk, amelyek megőrzik a pontok közötti távolságokat. Ha két figura a mozgás révén pontosan egymáshoz igazodik, akkor ezek a figurák azonosak, egyenlőek.

A mozgás tulajdonságai: Egy sík minden orientációt megőrző mozgása vagy párhuzamos elmozdulás, vagy egy sík minden orientációt megváltoztató mozgása vagy tengelyirányú szimmetria, vagy csúszó szimmetria. Mozgáskor az egyenesen fekvő pontok egyenesen fekvő pontokká alakulnak, és sorrendjük megmarad relatív pozíció. Mozgáskor a félvonalak közötti szögek megmaradnak.

Kétféle mozgás: az első típusú mozgás és a második típusú mozgás: Az első típusú mozgások azok a mozdulatok, amelyek megőrzik egy bizonyos alakzat alapjainak tájolását. Folyamatos mozgásokkal valósíthatók meg.

A második típusú mozgások azok a mozgások, amelyek az alapok irányát az ellenkezőjére változtatják. Folyamatos mozgással nem valósíthatók meg.

Az első típusú mozgások példái az egyenes vonal körüli elfordítás és forgatás, a második típusú mozgások pedig a központi és tükörszimmetriák.

Az első típusú mozgás tetszőleges számú összetétele az első típusú mozgás.

A második típusú páros számú mozgás összetétele az 1. típusú mozgás, a páratlan számú 2. típusú mozgás összetétele pedig a 2. típusú mozgás.

Példák a mozgásokra:Párhuzamos átvitel . Legyen a az adott vektor. Az a vektorra való párhuzamos átvitel a sík önmagára való leképezését jelenti, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve, amely az MM 1 vektor. egyenlő a vektorral A.

A párhuzamos fordítás mozgás, mert a síkot önmagára leképezi, megőrzi a távolságokat. Ez a mozgás vizuálisan ábrázolható a teljes sík irányeltolásaként adott vektor hanem a hosszában.

Forog. Jelöljük az O pontot a síkon ( forgóközpont) és állítsa be az α szöget ( forgásszög). A sík O pont körüli elforgatása α szöggel a sík önmagára való leképezése, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve úgy, hogy OM = OM 1 és a MOM 1 szög egyenlő α-val. Ebben az esetben az O pont a helyén marad, azaz önmagára van leképezve, és az összes többi pont az O pont körül ugyanabba az irányba - az óramutató járásával megegyezően vagy azzal ellentétes irányba - forog (az ábra az óramutató járásával ellentétes forgást mutat).

A forgatás mozgás, mert a sík önmagára való leképezését jelenti, amelyben a távolságok megmaradnak.

A mozgás analitikus kifejezése: az előkép koordinátái és a pont képe közötti analitikus kapcsolat alakja (1).

Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns vonalak jelenlététől függően): Definíció:

A síkon egy pont akkor invariáns (rögzített), ha egy adott transzformáció során önmagává alakul.

Példa: Mikor központi szimmetria a szimmetriaközéppont invariáns. Forduláskor a forgásközéppont invariáns. Nál nél axiális szimmetria egy egyenes invariáns - a szimmetriatengely invariáns pontok egyenese.

Tétel: Ha egy mozgásnak nincs egyetlen invariáns pontja, akkor legalább egy invariáns iránya van.

Példa: Párhuzamos átvitel. Valójában az ezzel az iránnyal párhuzamos egyenesek egész alakban változatlanok, bár nem invariáns pontokból áll.

Tétel: Ha valamelyik sugár elmozdul, a sugár önmagába fordítódik, akkor ez a mozgás vagy identitás-átalakítás, vagy szimmetria az adott sugarat tartalmazó egyeneshez képest.

Ezért az invariáns pontok vagy ábrák jelenléte alapján lehetséges a mozgások osztályozása.

Mozgás neve	Invariáns pontok	Változatlan vonalak
Az első típusú mozgás.
1. - fordul	(középen) - 0	Nem
2. Identitás transzformáció	a sík összes pontja	mind egyenesen
3. Központi szimmetria	pont 0 - középpont	a 0 ponton átmenő összes egyenes
4. Párhuzamos átvitel	Nem	mind egyenesen
A második típusú mozgás.
5. Tengelyszimmetria.	pontok halmaza	szimmetriatengely (egyenes) minden egyenes

Síkmozgás csoport: A geometriában fontos szerepönkombináló figurák csoportjai játszanak. Ha egy alak egy síkon (vagy térben) van, akkor a sík (vagy tér) mindazon mozgásainak halmazát tekinthetjük, amelyek során az alak önmagába fordul.

Ez a készlet egy csoport. Például azért egyenlő oldalú háromszög a háromszöget önmagává alakító sík mozgáscsoportja 6 elemből áll: egy pont körüli szögelforgatásokból és három egyenes körüli szimmetriából.

ábrán láthatók. 1 piros vonal. Egy önkombinációs csoport elemei szabályos háromszög eltérően is megadható. Ennek magyarázatára számozzuk meg egy szabályos háromszög csúcsait 1, 2, 3 számokkal. A háromszög bármilyen önbeállítása az 1, 2, 3 pontokat ugyanabba a pontba viszi, de más sorrendben, azaz. feltételesen felírható a következő zárójelek egyikébe:

stb.

ahol az 1, 2, 3 számok azoknak a csúcsoknak a számát jelölik, amelyekbe a vizsgált mozgás eredményeként az 1, 2, 3 csúcsok kerülnek.

Projektív terek és modelljeik.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modellje. A projektív geometria alapjai. Az O pont középpontjában álló vonalcsokor a projektív sík modellje. Projektív pontok. A kiterjesztett sík a projektív sík modellje. A kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér a projektív tér modellje. Lapos és térbeli alakzatok képei párhuzamos kivitelben.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modellje:

A mező feletti projektív tér egy adott mező feletti lineáris tér vonalaiból (egydimenziós altereiből) álló tér. A közvetlen tereket nevezzük pontok projektív tér. Ez a meghatározás tetszőleges testre általánosítható

Ha dimenziója van, akkor a projektív tér dimenzióját számnak nevezzük, magát a projektív teret pedig jelöljük és társítva nevezzük (ennek jelzésére a jelölést veszik át).

A dimenziós vektortérből a megfelelő projektív térbe való átmenetet ún projektivizálás hely.

A pontok homogén koordinátákkal írhatók le.

A projektív geometria alapjai: A projektív geometria a geometriának egy olyan ága, amely a projektív síkokat és tereket vizsgálja. fő jellemzője A projektív geometria a kettősség elvén alapul, amely kecses szimmetriát kölcsönöz sok tervnek. A projektív geometria tisztán mindkettőt tanulmányozhatja geometriai pont analitikus (homogén koordinátákat használva) és salgebrai szempontból egyaránt, a projektív síkot egy mező feletti szerkezetnek tekintve. Gyakran és történelmileg az igazi projektív síkot az euklideszi síknak tekintik, a "végtelen vonallal" kiegészítve.

Míg az euklideszi geometriával foglalkozó ábrák tulajdonságai metrikus (meghatározott mennyiségek szögek, szakaszok, területek), és az ábrák egyenértékűsége megegyezik azokkal egyezést(azaz amikor az ábrákat mozgással egymásba lehet fordítani a metrikus tulajdonságok megőrzése mellett), vannak több „mélyen fekvő” tulajdonság geometriai formák, amelyek átalakítások során több mint általános típus mint a mozgás. A projektív geometria az osztály alatt invariáns alakzatok tulajdonságainak tanulmányozásával foglalkozik projektív transzformációk , valamint maguk ezek az átalakulások.

A projektív geometria kiegészíti az euklideszi, gyönyörű és egyszerű megoldások számos probléma esetén, amelyet a párhuzamos vonalak jelenléte bonyolít. A kúpszelvények projektív elmélete különösen egyszerű és elegáns.

A projektív geometriának három fő megközelítése létezik: a független axiomatizálás, az euklideszi geometria kiegészítése és a mező feletti struktúra.

Axiomatizálás

A projektív tér a segítségével definiálható különböző készlet alapigazság.

A Coxeter a következőket nyújtja:

1. Van egy egyenes és egy pont, amely nincs rajta.

2. Minden vonalnak legalább három pontja van.

3. Két ponton keresztül pontosan egy egyenest húzhatunk.

4. Ha A, B, C, És D — különféle pontokatÉs ABÉs CD akkor metszik egymást A.C.És BD metszik egymást.

5. Ha ABC egy sík, akkor legalább egy pont nincs a síkban ABC.

6. Két különböző sík legalább két pontot metsz.

7. Egy teljes négyszög három átlós pontja nem kollineáris.

8. Ha három pont van egy egyenesen x x

A projektív síkot (a harmadik dimenzió nélkül) kissé eltérő axiómák határozzák meg:

1. Két ponton keresztül pontosan egy egyenest húzhatunk.

2. Bármely két egyenes metszi egymást.

3. Négy pont van, ebből három nem egyvonalas.

4. Három átlós pont teljes négyszögek nem kollineáris.

5. Ha három pont van egy egyenesen x invariánsak a φ projekttivitásához képest, akkor minden pont on x invariáns φ-hez képest.

6. Desargues-tétel: Ha két háromszög egy ponton keresztül perspektivikus, akkor egy egyenesen keresztül perspektivikus.

Egy harmadik dimenzió jelenlétében a Desargues-tétel ideális pont és egyenes bevezetése nélkül igazolható.

Kiterjesztett sík - projektív sík modell: Az A3 affin térben veszünk egy S(O) egyenesköteget, amelynek középpontja az O pontban van, és egy Π síkot, amely nem megy át a köteg középpontján: O 6∈ Π. Az affin térben lévő vonalköteg a projektív sík modellje. Határozzuk meg a Π sík pontjainak leképezését az S összekötő egyenesek halmazára (Baszki, imádkozz, ha megkaptad ezt a kérdést, bocsáss meg)

Kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér – a projektív tér modellje:

Annak érdekében, hogy a leképezés szürjektív legyen, megismételjük a Π affin sík formális kiterjesztésének folyamatát a Π projektív síkra, kiegészítve a Π síkot nem megfelelő pontok halmazával (M∞), így: ((M∞)) = P0(O). Mivel a térképen az S(O) síkköteg minden síkjának inverz képe egy egyenes a d síkon, nyilvánvaló, hogy a kiterjesztett sík összes helytelen pontjának halmaza: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), a kiterjesztett sík egy nem megfelelő d∞ egyenesét jelenti, amely a Π0 szinguláris sík inverz képe: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Egyezzünk meg abban, hogy itt és a továbbiakban az utolsó P0(O) = Π0 egyenlőséget ponthalmazok egyenlősége értelmében fogjuk érteni, de más szerkezettel felruházva. Az affin síkot egy nem megfelelő vonallal kiegészítve biztosítottuk, hogy a leképezés (I.21) bijektív legyen a kiterjesztett sík összes pontjának halmazán:

Lapos és térbeli alakzatok képei párhuzamos tervezés során:

A sztereometriában a térbeli alakzatokat tanulmányozzák, de a rajzon úgy ábrázolják őket lapos figurák. Hogyan kell ábrázolni térbeli alak a felszínen? A geometriában jellemzően párhuzamos tervezést alkalmaznak erre. Legyen p valami sík, l- azt metsző egyenes (1. ábra). Egy tetszőleges ponton keresztül A, nem tartozik a vonalhoz l, rajzoljon a vonallal párhuzamos egyenest l. Ennek az egyenesnek a p síkkal való metszéspontját a pont párhuzamos vetületének nevezzük A az egyenes irányába eső p síkra l. Jelöljük A". Ha a lényeg A sorhoz tartozik l, majd párhuzamos vetítéssel A az egyenes metszéspontját a p síkon lévőnek tekintjük l síkkal p.

Így minden pont A tér vetületét összehasonlítjuk A" a síkra p. Ezt a megfelelést hívják párhuzamos kialakítás az egyenes irányába eső p síkra l.

Projektív transzformációk csoportja. Alkalmazás problémamegoldásra.

A sík projektív transzformációjának fogalma. Példák a sík projektív transzformációira. Projektív transzformációk tulajdonságai. Homológia, a homológia tulajdonságai. Projektív transzformációk csoportja.

A sík projektív transzformációjának fogalma: A projektív transzformáció fogalma általánosítja a központi vetület fogalmát. Ha végrehajtjuk az α sík központi vetületét valamilyen α 1 síkra, akkor α 1 vetítését α 2-re, α 2 vetítését α 3-ra, ... és végül valamilyen α síkra. n ismét α 1-en, akkor ezeknek a vetületeknek az összetétele az α sík projektív transzformációja; Egy ilyen láncban párhuzamos vetületek is szerepelhetnek.

Példák projektív sík transzformációra: Egy kész sík projektív transzformációja annak egy az egyhez leképezése önmagára, amelyben megmarad a pontok kollinearitása, vagy más szóval bármely vonal képe egyenes. Bármely projektív transzformáció központi és párhuzamos vetületek láncolatának összetétele. Affin transzformáció- Ezt különleges eset projektív, amelyben a végtelenül távoli egyenes önmagába fordul.

A projektív transzformációk tulajdonságai:

A projektív transzformáció során három, egy egyenesen nem fekvő pont három nem egy egyenesen fekvő ponttá alakul.

A projektív transzformáció során a keretből keret lesz.

A projektív transzformáció során az egyenes egyenessé válik, a ceruza pedig a ceruzává.

Homológia, a homológia tulajdonságai:

Egy olyan sík projektív transzformációját, amelyben invariáns pontokból álló vonal van, tehát invariáns vonalakból álló ceruza, homológiának nevezzük.

1. A nem egybeeső megfelelő homológiapontokon átmenő egyenes invariáns egyenes;

2. A nem egybeeső megfelelő homológiapontokon átmenő egyenesek ugyanahhoz a ceruzához tartoznak, amelynek középpontja egy invariáns pont.

3. A pont, a képe és a homológia középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik.

Projektív transzformációk csoportja: tekintsük a P 2 projektív sík önmagára való projektív leképezését, vagyis ennek a síknak a projektív transzformációját (P 2 ’ = P 2).

Mint korábban, a P 2 projektív sík f 1 és f 2 projektív transzformációinak f összetétele az f 1 és f 2 transzformációk szekvenciális végrehajtásának eredménye: f = f 2 °f 1 .

1. Tétel: a P 2 projektív sík összes projektív transzformációjának H halmaza a projektív transzformációk összetétele szempontjából egy csoport.

Az ezekből az együtthatókból álló A mátrixot másodfokú mátrixnak nevezzük. Mindig szimmetrikus mátrix (azaz a főátlóra szimmetrikus mátrix, a ij =a ji).

Mátrix jelölésben a másodfokú alak f(X) = X T AX, ahol

Valóban

Például írjuk fel a másodfokú formát mátrix alakban.

Ehhez találunk egy másodfokú mátrixot. Átlóelemei egyenlők a négyzetes változók együtthatóival, a többi eleme pedig a másodfokú forma megfelelő együtthatóinak felével. Ezért

Legyen az X változók mátrixoszlopa az Y mátrixoszlop nem degenerált lineáris transzformációjával, azaz. X = CY, ahol C egy n-edrendű nem szinguláris mátrix. Ekkor az f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y másodfokú alak.

Így egy nem degenerált C lineáris transzformációval a másodfokú mátrix a következő alakot ölti: A * =C T AC.

Például keressük meg az f(y 1, y 2) másodfokú alakot, amelyet az f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodfokú alakból kapunk lineáris transzformációval.

A másodfokú formát ún kánoni(Van kanonikus nézet), ha minden együtthatója a ij = 0 i≠j esetén, azaz f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Mátrixa átlós.

Tétel(itt nincs bizonyíték). Nem degenerált lineáris transzformációval bármely másodfokú forma kanonikus formává redukálható.

Például hozzuk kanonikus formába az f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 másodfokú alakot.

Ehhez először válasszon ki egy teljes négyzetet az x 1 változóval:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Most kiválasztunk egy teljes négyzetet az x 2 változóval:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Ekkor az y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 és y 3 = x 3 nem degenerált lineáris transzformáció ezt a másodfokú formát hozza a kanonikus formf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Megjegyzendő, hogy a másodfokú formák kanonikus formája kétértelműen van meghatározva (ugyanaz a másodfokú forma többféleképpen redukálható kanonikus formává 1). A különféle módszerekkel kapott kanonikus formák azonban számos közös tulajdonsággal rendelkeznek. Különösen a másodfokú alak pozitív (negatív) együtthatóival rendelkező tagok száma nem függ attól, hogy milyen módszerrel redukálják a formát erre a formára (például a vizsgált példában mindig két negatív és egy pozitív együttható lesz). Ezt a tulajdonságot ún másodfokú formák tehetetlenségi törvénye.

Ellenőrizzük ezt úgy, hogy ugyanazt a másodfokú formát más módon hozzuk a kanonikus formába. Kezdjük a transzformációt az x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + változóval. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, ahol y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 és y 3 = x 1. Itt van egy pozitív együttható y 3-ra és két negatív együttható (-3) y 1-re és y 2-re (és egy másik módszerrel 2-es pozitív együtthatót kaptunk y 1-re és két negatív együtthatót - (-5) y 2 esetén és (-1/20) y 3 esetén).

Azt is meg kell jegyezni, hogy egy másodfokú mátrix rangja, ún másodfokú forma rangja, egyenlő a kanonikus forma nullától eltérő együtthatóinak számával, és nem változik a lineáris transzformációk során.

Az f(X) másodfokú alakot nevezzük pozitívan(negatív)bizonyos, ha a változók összes olyan értékére, amely nem egyidejűleg nulla, akkor pozitív, azaz f(X) > 0 (negatív, azaz f(X)< 0).

Például az f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 másodfokú alak pozitív határozott, mert négyzetek összege, és az f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 másodfokú alak negatív határozott, mert reprezentálja, az f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 formában ábrázolható.

Tétel. Egy másodfokú forma akkor és csak akkor pozitív (negatív) határozott, ha mátrixának minden sajátértéke pozitív (negatív).

Tétel (Sylvester-kritérium). Egy másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha ennek az alaknak a mátrixának minden vezető mollja pozitív.

Fő (sarok) moll Az An-edik rendű k-edik mátrixokat az A () mátrix első k sorából és oszlopából álló mátrix determinánsának nevezzük.

Megjegyzendő, hogy a negatív határozott másodfokú alakoknál a főmollok előjelei váltakoznak, az elsőrendű mollnak pedig negatívnak kell lennie.

Vizsgáljuk meg például az f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 másodfokú alakot az előjel-határozottság szempontjából.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 – 2- 3+ 2) – 4 = 2 – 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Ezért a másodfokú forma pozitív határozott.

2. módszer. Az A mátrix elsőrendű főmollja A  1 =a 11 = 2 > 0. Másodrendű főmoll  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Ezért a Sylvester-kritérium szerint a másodfokú forma pozitív határozott.

Megvizsgálunk egy másik másodfokú alakot az előjel-határozottságra, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. módszer. Készítsünk egy A = másodfokú mátrixot. A karakterisztikus egyenlet alakja lesz = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Ezért a másodfokú alak negatív határozott.

2. módszer. Az A mátrix első rendű főmollja A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Ezért Sylvester kritériuma szerint a másodfokú alak negatív határozott (a főmollok előjelei váltakoznak, mínusztól kezdve).

Egy másik példaként pedig az f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 előjel-meghatározott másodfokú alakot vizsgáljuk.

1. módszer. Készítsünk egy A = másodfokú mátrixot. A karakterisztikus egyenlet alakja lesz = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Ezen számok egyike negatív, a másik pozitív. A sajátértékek előjelei eltérőek. Ebből következően a másodfokú forma nem lehet sem negatívan, sem pozitívan határozott, i.e. ez a másodfokú forma nem előjel-határozott (bármilyen előjel értékét veheti fel).

2. módszer. Az A mátrix első rendű főmollja  1 =a 11 = 2 > 0. Másodrendű főmoll 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1A másodfokú formák kanonikus formává való redukálásának megfontolt módszere kényelmesen használható, ha nem nulla együtthatókkal találkozunk a változók négyzeteivel. Ha nincsenek ott, akkor is lehetséges az átalakítás, de más technikákat kell alkalmazni. Például legyen f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 – x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, ahol y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: A szénelemek jellemzői és kémiai tulajdonságai

A másodfokú forma meghatározása. Pozitív határozott másodfokú formák

Kvadratikus alakzatok

A sík és a tér átalakulásai.

Projektív terek és modelljeik.

Projektív transzformációk csoportja. Alkalmazás problémamegoldásra.