Az azonos jelentésű kettős egyenlőtlenségek felosztásánál. Numerikus egyenlőtlenségek és tulajdonságaik
Az Ön személyes adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy a vele való kapcsolat.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és Közelgő események.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik fél számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
1 . Ha a>b, Azt b< a ; ellenkezőleg, ha A< b , Azt b > a.
Példa. Ha 5x – 1 > 2x + 1, Azt 2x +1< 5x — 1 .
2 . Ha a>bÉs b > c, Azt a > c. Hasonló, A< b És b< с , Azt a< с .
Példa. Az egyenlőtlenségektől x > 2у, 2 év > 10 ezt követi x >10.
3
. Ha a > b, Hogy a + c > b + cÉs a – c > b – c. Ha A< b
, Azt a + c
1. példa. Adott egyenlőtlenség x + 8>3. Az egyenlőtlenség mindkét oldaláról levonva a 8-as számot, azt kapjuk x > - 5.
2. példa. Adott egyenlőtlenség x-6< — 2 . Mindkét oldalhoz hozzáadva 6-ot, azt találjuk x< 4 .
4 . Ha a>bÉs c > d, Hogy a + c >b + d; pontosan ugyanaz, ha A< b És Val vel< d , Azt a + c< b + d , azaz két egyenlőtlenség azonos jelentés) kifejezésenként hozzáadható. Ez tetszőleges számú egyenlőtlenségre igaz, például ha a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, Azt a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.
1. példa. Egyenlőtlenségek — 8 > — 10 És 5 > 2 igazak. Ha szóról szóra összeadjuk őket, akkor megtaláljuk a valódi egyenlőtlenséget — 3 > — 8 .
2. példa. Adott egy egyenlőtlenségi rendszer ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Összeadva őket kifejezésenként, azt találjuk x< 22 .
Megjegyzés. Két azonos jelentésű egyenlőtlenséget nem lehet tagonként levonni egymástól, hiszen az eredmény lehet igaz, de lehet hibás is. Például ha az egyenlőtlenségtől 10 > 8 2 > 1 , akkor megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget 8 > 7 de ha ugyanabból az egyenlőtlenségből 10 > 8 tagonként vonjuk ki az egyenlőtlenséget 6 > 1 , akkor abszurditást kapunk. Hasonlítsa össze a következő pontot.
5 . Ha a>bÉs c< d , Azt a – c > b – d; Ha A< b És c - d, Azt a - c< b — d , azaz az egyik egyenlőtlenségből szóról tagra ki lehet vonni egy másik, ellenkező értelmű egyenlőtlenséget), meghagyva annak az egyenlőtlenségnek a jelét, amelyből a másikat kivontuk.
1. példa. Egyenlőtlenségek 12 < 20 És 15 > 7 igazak. Ha a második tagot tagonként kivonjuk az elsőből, és elhagyjuk az első előjelét, megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget — 3 < 13 . Ha tagonként kivonjuk az elsőt a második tagból, és elhagyjuk a második előjelét, megtaláljuk a helyes egyenlőtlenséget 3 > — 13 .
2. példa. Adott egy egyenlőtlenségi rendszer (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Az első egyenlőtlenségből kivonva a másodikat, azt találjuk y< 10 .
6 . Ha a > bÉs m akkor egy pozitív szám ma > mbÉs a/n > b/n, azaz az egyenlőtlenség mindkét oldala osztható vagy szorozható ugyanazzal a pozitív számmal (az egyenlőtlenség előjele ugyanaz marad). a>bÉs n — negatív szám, Azt na< nb És a/n< b/n , azaz az egyenlőtlenség mindkét oldala szorozható vagy osztható ugyanazzal a negatív számmal, de az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére kell változtatni.
1. példa. A valódi egyenlőtlenség mindkét oldalának felosztása 25 > 20 tovább 5 , megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget 5 > 4 . Ha felosztjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát 25 > 20 tovább — 5 , akkor meg kell változtatnia a jelet > tovább < , és akkor megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget — 5 < — 4 .
2. példa. Az egyenlőtlenségtől 2x< 12 ezt követi x< 6 .
3. példa. Az egyenlőtlenségtől -(1/3)х – (1/3)х > 4 ezt követi x< — 12 .
4. példa. Adott egyenlőtlenség x/k > y/l; abból az következik lx > ky, ha a számok jelei lÉs k ugyanazok, akkor mi van lx< ky , ha a számok jelei lÉs k szemben.
Az egyenlőtlenségek kiemelkedő szerepet játszanak a matematikában. Az iskolában főleg azzal foglalkozunk számszerű egyenlőtlenségek, amelynek meghatározásával kezdjük ezt a cikket. És akkor felsoroljuk és megindokoljuk a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai, amelyen az egyenlőtlenségekkel való munka minden elve alapul.
Rögtön megjegyezzük, hogy a numerikus egyenlőtlenségek sok tulajdonsága hasonló. Ezért az anyagot ugyanazon séma szerint mutatjuk be: megfogalmazunk egy tulajdonságot, megadjuk annak indoklását és példáit, majd áttérünk a következő tulajdonságra.
Oldalnavigáció.
Numerikus egyenlőtlenségek: definíció, példák
Amikor bemutattuk az egyenlőtlenség fogalmát, észrevettük, hogy az egyenlőtlenségeket gyakran az írásmód határozza meg. Tehát értelmes egyenlőtlenségnek neveztük algebrai kifejezések olyan jeleket tartalmaz, amelyek nem egyenlők ≠, kisebb, mint<, больше >, kisebb vagy egyenlő, mint ≤ vagy nagyobb vagy egyenlő, mint ≥. A fenti definíció alapján célszerű egy numerikus egyenlőtlenség definícióját megadni:
A numerikus egyenlőtlenségekkel való találkozás az első osztályos matematika órán közvetlenül az 1-től 9-ig terjedő első természetes számok megismerése és az összehasonlítási művelet megismerése után következik be. Igaz, ott egyszerűen egyenlőtlenségeknek nevezik őket, kihagyva a „numerikus” definícióját. Az érthetőség kedvéért nem ártana néhány példát hoznunk a legegyszerűbb numerikus egyenlőtlenségekre a vizsgálatnak abban a szakaszában: 1<2 , 5+2>3 .
És távolabb is természetes számok a tudás más típusú számokra is kiterjed (egész számokra, racionális számokra, valós számok), az összehasonlításuk szabályait tanulmányozzuk, és ez jelentősen bővíti a numerikus egyenlőtlenségek fajdiverzitását: −5>−72, 3>−0,275·(7−5,6) , .
A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai
A gyakorlatban az egyenlőtlenségekkel való munka számos lehetőséget tesz lehetővé a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai. Az általunk bevezetett egyenlőtlenség fogalmából következnek. A számokkal kapcsolatban ez a fogalom adott a következő kijelentést, amely a „kisebb, mint” és a „több, mint” összefüggések definíciójának tekinthető egy számhalmazon (ezt gyakran nevezik az egyenlőtlenség differenciadefiníciójának):
Meghatározás.
- szám a több szám b akkor és csak akkor, ha az a−b különbség van pozitív szám;
- szám a kevesebb szám b akkor és csak akkor, ha az a−b különbség negatív szám;
- az a szám akkor és csak akkor egyenlő a b számmal, ha az a−b különbség nulla.
Ez a definíció átdolgozható a „kisebb vagy egyenlő” és a „nagyobb vagy egyenlő, mint” relációk definíciójává. Íme a megfogalmazása:
Meghatározás.
- szám a akkor és csak akkor nagyobb vagy egyenlő b-vel, ha a-b – nem negatív szám;
- a kisebb vagy egyenlő b-vel, akkor és csak akkor, ha a-b egy nem pozitív szám.
Ezeket a definíciókat fogjuk használni a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságainak bizonyításakor, amelyek áttekintésével folytatjuk.
Alaptulajdonságok
Az áttekintést az egyenlőtlenségek három fő tulajdonságával kezdjük. Miért alapvetőek? Mivel ezek az egyenlőtlenségek tulajdonságait tükrözik általános értelemben, és nem csak a numerikus egyenlőtlenségekkel kapcsolatban.
Előjelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségek< и >, jellemző:
Az előjelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségekről nem szigorú egyenlőtlenségek a ≤ és ≥, akkor reflexivitás (és nem antireflexivitás) tulajdonsággal rendelkeznek, mivel az a≤a és a≥a egyenlőtlenségekbe beletartozik az a=a egyenlőség esete is. Jellemzőjük az antiszimmetria és a tranzitivitás is.
Tehát a ≤ és ≥ jelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
- reflexivitás a≥a és a≤a – valódi egyenlőtlenségek;
- antiszimmetria, ha a≤b, akkor b≥a, és ha a≥b, akkor b≤a.
- tranzitivitás, ha a≤b és b≤c, akkor a≤c, továbbá, ha a≥b és b≥c, akkor a≥c.
Bizonyításuk nagyon hasonló a már megadottakhoz, ezért nem fogunk rajtuk kitérni, hanem áttérünk a numerikus egyenlőtlenségek egyéb fontos tulajdonságaira.
A numerikus egyenlőtlenségek további fontos tulajdonságai
Tegyük hozzá alapvető tulajdonságait számszerű egyenlőtlenségeket egy másik eredménysorral, amelynek nagy gyakorlati jelentősége. A kifejezések értékének becslési módszerei ezeken alapulnak megoldások az egyenlőtlenségekre stb. Ezért ajánlatos jól megérteni őket.
Ebben a részben csak egy jelre fogjuk megfogalmazni az egyenlőtlenségek tulajdonságait szigorú egyenlőtlenség, de érdemes szem előtt tartani, hogy a hasonló tulajdonságok érvényesek lesznek az ellenkező előjelre, valamint a nem szigorú egyenlőtlenségek előjeleire is. Magyarázzuk meg ezt egy példával. Az alábbiakban megfogalmazzuk és igazoljuk az egyenlőtlenségek következő tulajdonságát: ha a
A kényelem kedvéért a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait lista formájában mutatjuk be, miközben megadjuk a megfelelő állítást, formálisan írjuk le betűkkel, bizonyítunk, majd használati példákat mutatunk be. A cikk végén pedig egy táblázatban foglaljuk össze a numerikus egyenlőtlenségek összes tulajdonságát. Megy!
Következmény. Az a forma azonos igaz egyenlőtlenségeinek termikus szorzása
Ha bármilyen számot hozzáadunk (vagy kivonunk) egy valódi numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalához, akkor az igazat kapja numerikus egyenlőtlenség. Más szóval, ha az a és b számok olyanok, hogy a
Ennek bizonyítására tegyük ki a különbséget az utolsó numerikus egyenlőtlenség bal és jobb oldala között, és mutassuk meg, hogy az a feltétel mellett negatív. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Mivel feltétellel a
Nem foglalkozunk a numerikus egyenlőtlenségek ezen tulajdonságának bizonyításával egy c szám kivonásánál, mivel a valós számok halmazán a kivonás helyettesíthető -c összeadásával.
Például, ha a 7>3 helyes numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a 15-ös számot, akkor a helyes 7+15>3+15 numerikus egyenlőtlenséget kapjuk, ami ugyanaz, 22>18.
Ha egy érvényes numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk (vagy elosztjuk) ugyanazzal a pozitív c számmal, akkor érvényes numerikus egyenlőtlenséget kapunk. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk (vagy elosztjuk) egy negatív c számmal, és az egyenlőtlenség előjelét megfordítjuk, akkor az egyenlőtlenség igaz lesz. Szó szerinti formában: ha az a és b számok kielégítik az a egyenlőtlenséget időszámításunk előtt.
Bizonyíték. Kezdjük azzal az esettel, amikor c>0. Tegyük fel a különbséget a bizonyítandó numerikus egyenlőtlenség bal és jobb oldala között: a·c−b·c=(a−b)·c . Mivel feltétellel a 0 , akkor az (a−b)·c szorzat negatív szám lesz egy negatív a−b szám és egy pozitív c szám szorzataként (ami -ből következik). Ezért a·c−b·c<0
, откуда a·c Nem foglalkozunk azzal a bizonyítással, hogy egy valódi numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a c-vel osztjuk, mivel az osztást mindig helyettesíthetjük 1/c-vel való szorzással. Mutassunk példát az elemzett tulajdonság használatára adott számokon. Például rendelkezhet a helyes 4-es numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalával<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Abból az imént tárgyalt tulajdonságból, hogy a numerikus egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk egy számmal, két gyakorlatilag értékes eredmény következik. Tehát következmények formájában fogalmazzuk meg őket. Az összes fentebb ebben a bekezdésben tárgyalt tulajdonságot egyesíti az a tény, hogy először egy helyes numerikus egyenlőtlenséget adunk meg, majd abból az egyenlőtlenség részeivel és az előjellel végzett manipulációkkal egy másik helyes numerikus egyenlőtlenséget kapunk. Most egy olyan tulajdonságblokkot mutatunk be, amelyben kezdetben nem egy, hanem több helyes numerikus egyenlőtlenséget adunk meg, és ezek együttes használatából a részeik összeadása vagy szorzása után kapunk új eredményt. Ha az a, b, c és d számok kielégítik az a egyenlőtlenségeket
Bizonyítsuk be, hogy (a+c)−(b+d) negatív szám, ezzel bebizonyítjuk, hogy a+c Az indukció révén ez a tulajdonság három, négy és általában tetszőleges számú numerikus egyenlőtlenség tagról tagra történő összeadására terjed ki. Tehát, ha az a 1, a 2, …, a n és b 1, b 2, …, b n számokra igazak a következő egyenlőtlenségek: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Például kapunk három helyes –5 előjelű numerikus egyenlőtlenséget<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Az azonos előjelű numerikus egyenlőtlenségeket tagonként szorozhatja, amelyek mindkét oldalát pozitív számok ábrázolják. Különösen két egyenlőtlenség esetén a
Ennek bizonyítására megszorozhatja az a egyenlőtlenség mindkét oldalát
Ez a tulajdonság igaz tetszőleges véges számú valódi numerikus egyenlőtlenség pozitív részekkel való szorzására is. Vagyis ha a 1, a 2, ..., a n és b 1, b 2, ..., b n pozitív számok, és a 1 a 1 a 2…a n . Külön érdemes megjegyezni, hogy ha a numerikus egyenlőtlenségek jelölése nem pozitív számokat tartalmaz, akkor ezek tagonkénti szorzása hibás numerikus egyenlőtlenségekhez vezethet. Például a numerikus egyenlőtlenségek 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
A cikk végén, ahogy ígértük, összegyűjtjük az összes vizsgált ingatlant numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságainak táblázata:
Bibliográfia.
- Moro M.I.. Matematika. Tankönyv 1 osztályra. kezdet iskola 2 részben 1. rész (I. félév) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6th ed. - M.: Oktatás, 2006. - 112 p.: ill.+Kieg. (2 külön l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
A valós számok mezője a rendezettség tulajdonságával rendelkezik (6. szakasz, 35. o.): bármely a, b számra egy, és a három reláció közül csak az egyik teljesül: vagy . Ebben az esetben az a > b bejegyzés azt jelenti, hogy a különbség pozitív, a bejegyzési különbség pedig negatív. Ellentétben a valós számok mezőjével, a komplex számok mezője nincs rendezve: a komplex számok esetében a „több” és a „kevesebb” fogalma nincs meghatározva; Ezért ez a fejezet csak valós számokkal foglalkozik.
A relációkat egyenlőtlenségnek nevezzük, az a és b számok az egyenlőtlenség tagjai (vagy részei), a > (nagyobb, mint) előjeleket és az a > b és c > d egyenlőtlenségeket ugyanazon (vagy egy és ugyanazon) egyenlőtlenségeknek nevezzük. jelentése; egyenlőtlenségek a > b és c Az egyenlőtlenség definíciójából rögtön az következik
1) bármely nullánál nagyobb pozitív szám;
2) bármely negatív szám kisebb, mint nulla;
3) bármely pozitív szám nagyobb bármely negatív számnál;
4) két negatív szám közül az, amelyik abszolút értéke kisebb, nagyobb.
Mindezek az állítások egyszerű geometriai értelmezést tesznek lehetővé. Legyen a számtengely pozitív iránya a kezdőponttól jobbra; akkor bármilyen előjele is legyen a számoknak, a nagyobbat a kisebb számot jelző ponttól jobbra eső pont ábrázolja.
Az egyenlőtlenségek a következő alapvető tulajdonságokkal rendelkeznek.
1. Aszimmetria (irreverzibilitás): ha , akkor , és fordítva.
Valójában, ha a különbség pozitív, akkor a különbség negatív. Azt mondják, hogy egy egyenlőtlenség feltételeinek átrendezése során az egyenlőtlenség jelentését az ellenkezőjére kell változtatni.
2. Tranzitivitás: ha , akkor . A különbségek pozitivitásából valóban az következik
Az egyenlőtlenségjelek mellett az egyenlőtlenségjeleket és a következőképpen definiálják: a bejegyzés azt jelenti, hogy vagy vagy Ezért például írhat, és azt is. Jellemzően a jelekkel írt egyenlőtlenségeket szigorú egyenlőtlenségeknek, a jelekkel írt egyenlőtlenségeket pedig nem szigorú egyenlőtlenségeknek nevezzük. Ennek megfelelően magukat a jeleket a szigorú vagy nem szigorú egyenlőtlenség jeleinek nevezzük. A fent tárgyalt 1. és 2. tulajdonság a nem szigorú egyenlőtlenségekre is igaz.
Tekintsük most azokat a cselekvéseket, amelyeket egy vagy több egyenlőtlenséggel végezhetünk.
3. Ugyanazon szám hozzáadása egy egyenlőtlenség feltételeihez nem változtatja meg az egyenlőtlenség jelentését.
Bizonyíték. Legyen megadva egy egyenlőtlenség és egy tetszőleges szám. Értelemszerűen a különbség pozitív. Ehhez a számhoz adjunk hozzá két ellentétes számot, ami nem változtat rajta, pl.
Ez az egyenlőség a következőképpen írható át:
Ebből az következik, hogy a különbség pozitív, vagyis az
és ezt kellett bizonyítani.
Ez az alapja annak a lehetőségnek, hogy az egyenlőtlenség bármely tagja ellentétes előjellel egyik részről a másikra torzuljon. Például az egyenlőtlenségtől
ezt követi
4. Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a pozitív számmal, az egyenlőtlenség jelentése nem változik; Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal, az egyenlőtlenség jelentése az ellenkezőjére változik.
Bizonyíték. Legyen akkor Ha akkor, mivel a pozitív számok szorzata pozitív. Az utolsó egyenlőtlenség bal oldalán lévő zárójeleket megnyitva megkapjuk, azaz . Az esetet hasonló módon vizsgálják.
Pontosan ugyanezt a következtetést vonhatjuk le az egyenlőtlenség részeinek nullától eltérő számmal való osztásakor, mivel a számmal való osztás egyenértékű a számmal való szorzással, és a számok előjele megegyezik.
5. Legyenek pozitívak az egyenlőtlenség feltételei. Ekkor, ha a feltételeit ugyanarra a pozitív hatványra emeljük, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.
Bizonyíték. Legyen ebben az esetben a tranzitív tulajdonság által, és . Ekkor a for és a pozitív hatványfüggvény monoton növekedése miatt meglesz
Különösen, ha hol van természetes szám, akkor azt kapjuk
vagyis ha egy egyenlőtlenség mindkét oldaláról kinyerjük a gyökét pozitív kifejezésekkel, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.
Legyenek az egyenlőtlenség feltételei negatívak. Ekkor nem nehéz bebizonyítani, hogy ha a kifejezéseit páratlan természetes hatványra emeljük, az egyenlőtlenség jelentése nem változik, de ha páros természetes hatványra emeljük, akkor az ellenkezőjére változik. A negatív tagú egyenlőtlenségekből kivonható a páratlan fok gyöke is.
Ezenkívül az egyenlőtlenség feltételeinek különböző előjelei vannak. Ekkor páratlan hatványra emelve az egyenlőtlenség jelentése nem változik, páros hatványra emelve viszont általános esetben semmi határozottat nem lehet mondani a keletkező egyenlőtlenség jelentéséről. Valójában, ha egy számot páratlan hatványra emelünk, a szám előjele megmarad, és ezért az egyenlőtlenség jelentése nem változik. Ha egy egyenlőtlenséget egyenletes hatványra emelünk, akkor egy pozitív feltételű egyenlőtlenség jön létre, és annak jelentése az eredeti egyenlőtlenséggel azonos jelentésű egyenlőtlenség abszolút értékétől függ ellenkező értelmű, és akár egyenlőség is elérhető!
Hasznos az alábbi példa segítségével ellenőrizni mindazt, amit a hatalmi egyenlőtlenségek emeléséről mondtak.
Példa 1. Emelje fel a következő egyenlőtlenségeket a megadott hatványra, ha szükséges, változtassa az egyenlőtlenség jelét ellentétes vagy egyenlőségjelre.
a) 3 > 2 4 hatványára; b) a 3. fokozatig;
c) 3. fokozatra; d) 2. fokozatra;
e) 5 hatványára; e) 4. fokozatra;
g) 2 > -3 2 hatványára; h) 2 hatványára,
6. Egy egyenlőtlenségből továbbléphetünk a közötti egyenlőtlenségre, ha az egyenlőtlenség mindkét tagja pozitív vagy negatív, akkor a reciprok között ellentétes jelentésű egyenlőtlenség van:
Bizonyíték. Ha a és b azonos előjelű, akkor a szorzatuk pozitív. Oszd egyenlőtlenséggel
vagyis amit meg kellett szerezni.
Ha egy egyenlőtlenség tagjainak ellentétes előjelei vannak, akkor a reciprok közötti egyenlőtlenség ugyanazt jelenti, mivel a reciprok előjelei megegyeznek maguknak a mennyiségeknek az előjeleivel.
2. példa Ellenőrizze az utolsó 6. tulajdonságot a következő egyenlőtlenségek segítségével:
7. Az egyenlőtlenségek logaritmusa csak abban az esetben végezhető el, ha az egyenlőtlenségek tagjai pozitívak (negatív számok és nulla logaritmusok nem rendelkeznek).
Hadd . Aztán lesz
és mikor lesz
Ezen állítások helyessége a logaritmikus függvény monotonitásán alapul, amely növekszik, ha az alap, és csökken
Tehát, ha egy pozitív tagokból álló egyenlőtlenség logaritmusát egynél nagyobb bázisra visszük, akkor a megadottal megegyező jelentésű egyenlőtlenség jön létre, ha pedig a logaritmust egynél kisebb pozitív bázisra visszük, akkor az egyenlőtlenség egyenlőtlensége. ellentétes jelentés alakul ki.
8. Ha, akkor ha, de, akkor.
Ez azonnal következik az exponenciális függvény monotonitási tulajdonságaiból (42. szakasz), amely növekszik abban az esetben, és csökken, ha
Ha azonos jelentésű terminusonkénti egyenlőtlenségeket adunk hozzá, az adatokkal azonos jelentésű egyenlőtlenség jön létre.
Bizonyíték. Bizonyítsuk be ezt az állítást két egyenlőtlenségre, bár bármennyi hozzáadott egyenlőtlenségre igaz. Legyenek adottak az egyenlőtlenségek
Értelemszerűen a számok pozitívak lesznek; akkor az összegük is pozitívnak bizonyul, i.e.
A kifejezéseket eltérően csoportosítva azt kapjuk
és ezért
és ezt kellett bizonyítani.
Egy két vagy több különböző jelentésű egyenlőtlenség összeadásával kapott egyenlőtlenség jelentéséről általános esetben nem lehet semmi határozottat mondani.
10. Ha az egyik egyenlőtlenségből tagonként kivonunk egy másik, ellenkező értelmű egyenlőtlenséget, akkor az elsővel azonos értelmű egyenlőtlenség jön létre.
Bizonyíték. Legyen két eltérő jelentésű egyenlőtlenség adott. Közülük a második az irreverzibilitás tulajdonsága szerint a következőképpen írható át: d > c. Adjunk hozzá két azonos jelentésű egyenlőtlenséget, és kapjuk meg az egyenlőtlenséget
ugyanaz a jelentés. Ez utóbbiból azt találjuk
és ezt kellett bizonyítani.
Lehetetlen általános esetben semmi határozottat mondani egy olyan egyenlőtlenség jelentéséről, amelyet úgy kapunk, hogy az egyik egyenlőtlenségből kivonunk egy másik azonos jelentésű egyenlőtlenséget.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete