\(a^(b)=c\) \(\balra jobbra nyíl\) \(\log_(a)(c)=b\)
Magyarázzuk meg egyszerűbben. Például \(\log_(2)(8)\) egyenlő a hatalommal, amelyre a \(2\) értéket fel kell emelni, hogy megkapjuk a \(8\). Ebből világosan látszik, hogy \(\log_(2)(8)=3\).
Példák: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
mert \(5^(2)=25\) |
||
\(\log_(3)(81)=4\) |
mert \(3^(4)=81\) |
|||
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
mert \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Bármely logaritmusnak a következő „anatómiája” van:
A logaritmus argumentumát általában a szintjén írják, az alapot pedig a logaritmusjelhez közelebbi alsó indexben írják. Ez a bejegyzés pedig így hangzik: „huszonöt logaritmusa az alapöthöz”.
Például, számítsa ki a logaritmust: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Milyen hatványra kell emelni a \(4\)-t, hogy \(16\) legyen? Nyilván a második. Ezért:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Milyen hatványra kell emelni a \(\sqrt(5)\) értéket, hogy \(1\) legyen? Milyen erő teszi az első számút? Nulla, persze!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Milyen hatványra kell emelni a \(\sqrt(7)\) értéket, hogy megkapjuk a \(\sqrt(7)\) értéket? Először is, bármely szám az első hatványhoz egyenlő önmagával.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Milyen hatványra kell emelni a \(3\)-t, hogy \(\sqrt(3)\)-t kapjunk? Abból, hogy tudjuk, mi az tört hatvány, és az azt jelenti Négyzetgyök a \(\frac(1)(2)\) hatványa.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Példa : A logaritmus kiszámítása \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Megoldás :
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Meg kell találnunk a logaritmus értékét, jelöljük x-el. Most használjuk a logaritmus definícióját: |
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Mi köti össze a \(4\sqrt(2)\)-t és a \(8\)-t? Kettő, mert mindkét szám kettesével ábrázolható: |
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
A bal oldalon a fokozat tulajdonságait használjuk: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) és \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Az alapok egyenlőek, áttérünk a mutatók egyenlőségére |
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Szorozd meg az egyenlet mindkét oldalát \(\frac(2)(5)\-vel |
|
A kapott gyök a logaritmus értéke |
Válasz : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Ennek megértéséhez oldjuk meg az egyenletet: \(3^(x)=9\). Csak párosítsa az \(x\)-t az egyenlet működéséhez. Természetesen \(x=2\).
Most oldja meg az egyenletet: \(3^(x)=8\).Miért egyenlő x-szel? Ez a lényeg.
A legokosabbak azt mondják: "X valamivel kevesebb, mint kettő." Hogyan kell pontosan írni ezt a számot? A kérdés megválaszolására találták ki a logaritmust. Neki köszönhetően itt a válasz így írható fel: \(x=\log_(3)(8)\).
Szeretném hangsúlyozni, hogy \(\log_(3)(8)\), tetszik minden logaritmus csak egy szám. Igen, szokatlannak tűnik, de rövid. Mert ha formába akartuk volna írni decimális, akkor így nézne ki: \(1,892789260714.....\)
Példa : Oldja meg a \(4^(5x-4)=10\) egyenletet
Megoldás :
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) és \(10\) nem hozható ugyanarra a bázisra. Ez azt jelenti, hogy nem nélkülözheti a logaritmust. Használjuk a logaritmus definícióját: |
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Fordítsuk meg az egyenletet úgy, hogy X legyen a bal oldalon |
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Előttünk. Mozgassuk a \(4\) jelet jobbra. És ne félj a logaritmustól, kezeld úgy, mint egy közönséges számot. |
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Osszuk el az egyenletet 5-tel |
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ez a mi gyökerünk. Igen, szokatlannak tűnik, de nem választják a választ. |
Válasz : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
A logaritmus definíciójának megfelelően az alapja bármely pozitív szám lehet, kivéve egy \((a>0, a\neq1)\). És az összes lehetséges alap között van két olyan gyakran előforduló, hogy egy speciális rövid jelölést találtak ki a logaritmusokhoz:
vagyis \(\ln(a)\) ugyanaz, mint \(\log_(e)(a)\)
vagyis \(\lg(a)\) ugyanaz, mint \(\log_(10)(a)\), ahol \(a\) valamilyen szám.
A logaritmusoknak számos tulajdonsága van. Az egyiket „alaplogaritmikus identitásnak” hívják, és így néz ki:
\(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ez a tulajdonság közvetlenül következik a definícióból. Lássuk, pontosan hogyan is jött létre ez a képlet.
Emlékezzünk rövid jegyzet a logaritmus definíciói:
ha \(a^(b)=c\), akkor \(\log_(a)(c)=b\)
Vagyis a \(b\) megegyezik a \(\log_(a)(c)\-vel. Ekkor az \(a^(b)=c\) képletbe \(\log_(a)(c)\)-t írhatunk \(b\) helyett. Kiderült, hogy \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a fő logaritmikus azonosság.
A logaritmusok egyéb tulajdonságait is megtalálhatja. Segítségükkel egyszerűsítheti és kiszámíthatja a kifejezések értékeit logaritmusokkal, amelyeket nehéz közvetlenül kiszámítani.
Példa : Keresse meg a \(36^(\log_(6)(5)\) kifejezés értékét
Megoldás :
Válasz : \(25\)
Mint fentebb említettük, minden logaritmus csak egy szám. Ennek a fordítottja is igaz: tetszőleges szám felírható logaritmusként. Például tudjuk, hogy \(\log_(2)(4)\) egyenlő kettővel. Ekkor kettő helyett \(\log_(2)(4)\)-t írhat.
De a \(\log_(3)(9)\) egyenlő a \(2\-vel), ami azt jelenti, hogy a \(2=\log_(3)(9)\) -t is írhatjuk. Hasonlóképpen a \(\log_(5)(25)\), és a \(\log_(9)(81)\), stb. Vagyis kiderül
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Így ha kell, felírhatunk kettőt logaritmusként tetszőleges bázissal bárhol (legyen az egyenletben, kifejezésben vagy egyenlőtlenségben) - az alapot egyszerűen négyzetbe írjuk argumentumként.
Ugyanez a helyzet a triplával – írható \(\log_(2)(8)\), vagy \(\log_(3)(27)\), vagy \(\log_(4)( 64) \)... Ide írjuk be argumentumként az alapot a kockába:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
És néggyel:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
És mínusz 1-gyel:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)
És egyharmaddal:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Példa : Keresse meg a kifejezés jelentését \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Megoldás :
Válasz : \(1\)
Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy a vele való kapcsolat.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
(görögül λόγος - „szó”, „kapcsolat” és ἀριθμός – „szám”) számok b alapján a(log α b) ilyen számnak nevezzük c, És b= a c, azaz log α-t rögzít b=cÉs b=ac egyenértékűek. A logaritmus akkor értelmezhető, ha a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Más szavakkal logaritmus számok b alapján A kitevőként fogalmazzák meg, amelyre egy számot kell emelni a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).
Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x= log α b, ekvivalens az a x =b egyenlet megoldásával.
Például:
log 2 8 = 3, mert 8 = 2 3 .
Hangsúlyozzuk, hogy a logaritmus jelzett megfogalmazása azonnali meghatározást tesz lehetővé logaritmus érték, amikor a logaritmusjel alatti szám az alap valamely hatványaként működik. Valójában a logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa b alapján a egyenlő Val vel. Az is jól látható, hogy a logaritmusok témaköre szorosan kapcsolódik a témához egy szám hatványai.
A logaritmus kiszámítását ún logaritmus. A logaritmus az matematikai művelet figyelembe véve a logaritmust. A logaritmusok felvételekor a tényezők szorzatai tagok összegévé alakulnak.
Potencírozás a logaritmusra fordított matematikai művelet. A potencírozás során egy adott bázist arra az expressziós fokra emelnek, amely felett a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegei faktorok szorzatává alakulnak.
A 2-es (bináris) valós logaritmusokat gyakran használják, e Euler-szám e ≈ 2,718 ( természetes logaritmus) és 10 (tizedes).
Tovább ezen a ponton célszerű megfontolni logaritmus minták napló 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Az lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 bejegyzéseknek pedig nincs értelme, mivel az elsőben negatív szám kerül a logaritmus jele alá, a másodikban - negatív szám az alapban, a harmadikban pedig egy negatív szám a logaritmusjel alatt és egy egység az alapban.
Külön érdemes figyelembe venni azokat a feltételeket, amelyek a > 0, a ≠ 1, b > 0. a logaritmus meghatározása. Nézzük meg, miért került sor ezekre a korlátozásokra. Ebben segítségünkre lesz egy x = log α alakú egyenlőség b, az úgynevezett alapvető logaritmikus azonosság, ami közvetlenül következik a logaritmus fenti definíciójából.
Vegyük a feltételt a≠1. Mivel egy bármely hatványhoz egyenlő eggyel, az x=log α egyenlőség b csak akkor létezhet b=1, de log 1 1 bármilyen valós szám lesz. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére vesszük a≠1.
Bizonyítsuk be a feltétel szükségességét a>0. Nál nél a=0 a logaritmus megfogalmazása szerint csak akkor létezhet b=0. És ennek megfelelően akkor log 0 0 bármely nullától eltérő valós szám lehet, mivel nullától bármely nem-nulla hatvány nulla. Ez a kétértelműség kiküszöbölhető a feltétellel a≠0. És mikor a<0 el kell vetnünk a logaritmus racionális és irracionális értékeinek elemzését, mivel a racionális és irracionális kitevővel rendelkező fokot csak nem negatív bázisokra határozzuk meg. Ez az oka annak, hogy a feltétel ki van kötve a>0.
ÉS utolsó feltétel b>0 egyenlőtlenségből következik a>0, mivel x=log α b, és a fokozat értéke pozitív bázissal a mindig pozitív.
Logaritmusok jellegzetessége jellemzi jellemzők, ami széleskörű használatukhoz vezetett, hogy jelentősen megkönnyítsék a gondos számításokat. Amikor „a logaritmusok világába” lépünk, a szorzás sokkal többel átalakul könnyen összecsukható, az osztás kivonás, a hatványozás és a gyökkivonás pedig a kitevővel való szorzássá és osztássá alakul.
A logaritmusok megfogalmazása és értékeinek táblázata (for trigonometrikus függvények) John Napier skót matematikus adta ki először 1614-ben. A más tudósok által felnagyított és részletezett logaritmikus táblázatokat széles körben használták tudományos és mérnöki számításokban, és az elektronikus számológépek és számítógépek használatáig relevánsak maradtak.