Szerkesszünk egy szöget, amely megegyezik az adott szöggel. Adott szög szerkesztése

ez - legrégebbi geometriai probléma.

Lépésről lépésre szóló utasítás

1. módszer. - Az „arany” vagy „egyiptomi” háromszög használata. Ennek a háromszögnek az oldalain van a képarány 3:4:5, a szög pedig pontosan 90 fok. Ezt a minőséget széles körben használták az ókori egyiptomiak és más ősi kultúrák.

Ill.1. Az Arany építése, ill Egyiptomi háromszög

• Mi gyártunk három mérés (vagy kötéliránytű - egy kötél két szegen vagy csapon) 3-as hosszúsággal; 4; 5 méter. A régiek gyakran használták a csomózás módszerét egyenlő távolságok közöttük. Hosszúság mértékegysége - " góc».
• Az O pontban egy csapot hajtunk, és rögzítjük az „R3 - 3 csomó” mértéket.
• Kifeszítjük a kötelet az ismert határ mentén - a javasolt A pont felé.
• A határvonalon - A ponton - lévő feszültség pillanatában egy csapban hajtunk.
• Ezután ismét az O pontból feszítse ki az R4 mértéket a második határ mentén. Még nem hajtjuk be a csapot.
• Ezt követően megnyújtjuk az R5 mértéket - A-tól B-ig.
• Az R2 és R3 mérések metszéspontjában csapot hajtunk. – Ez a kívánt B pont – az arany háromszög harmadik csúcsa, oldalakkal 3;4;5 és derékszöggel az O pontban.

2. módszer. Iránytű használata.

Az iránytű lehet kötél vagy lépésszámláló. cm:

Az iránytű lépésszámlálónk lépése 1 méter.

Ill.2. Iránytű lépésszámláló

Építés - Ill. 1. szerint is.

• A referenciapontból – O pontból – a szomszéd sarkából rajzoljunk egy szakaszt tetszőleges hosszúságú- de nagyobb, mint az iránytű sugara = 1m – a középponttól mindkét irányban (AB szakasz).
• Az iránytű lábát az O pontba helyezzük.
• Rajzolunk egy kört, amelynek sugara (iránytű osztásköze) = 1 m. Elegendő rövid - egyenként 10-20 centiméteres - íveket rajzolni a megjelölt szegmens metszéspontjában (az A és B pontokon keresztül). Ezzel az akcióval megtaláltuk egyenlő távolságra lévő pontok a központtól- A és B. A központtól való távolság itt nem számít. Ezeket a pontokat egyszerűen megjelölheti egy mérőszalaggal.
• Ezután olyan íveket kell rajzolni, amelyek középpontja az A és B pontban van, de R=1m-nél valamivel (tetszőlegesen) nagyobb sugárral. Az iránytűnket átkonfigurálhatja nagyobb sugárra, ha állítható hangmagasságú. De egy ilyen kis aktuális feladathoz nem szeretném "húzni". Vagy amikor nincs beállítás. Fél perc alatt elkészíthető kötéliránytű.
• Az első szöget (vagy egy 1 m-nél nagyobb sugarú iránytű lábát) felváltva helyezzük az A és B pontba. A második szöggel pedig húzzunk két ívet - a kötél feszes állapotában - úgy, hogy mindegyiket metszi. Egyéb. Két ponton lehetséges: C és D, de egy is elég - C. És ismét, a C pont metszéspontjában a rövid serifek elegendőek.
• Húzzon egyenest (szakaszt) a C és D pontokon keresztül.
• Minden! Az eredményül kapott szegmens vagy egyenes az pontos irányészakon :). Sajnálom, - derékszögben.
• Az ábra két olyan esetet mutat be, amikor a szomszéd ingatlanán határeltérés történt. A 3a. ábrán egy olyan eset látható, amikor a szomszéd kerítése eltávolodik a helyes irányt saját kárára. A 3b-n – felmászott az Ön webhelyére. A 3a szituációban két „irányító” pontot lehet létrehozni: C-t és D-t is. A 3b helyzetben csak C-t.
• Helyezzen egy csapot az O sarokba, és egy ideiglenes csapot a C pontba, és húzzon ki egy zsinórt C-ből a helyszín hátsó határáig. - Úgy, hogy a zsinór alig érinti az O csapot. Az O pontból - D irányban mérve az oldal hosszát az általános terv szerint, akkor megbízható jobb hátsó sarkot kap a helyszínre.

Ill.3. Építkezés derékszög– a szomszéd sarkából, lépésszámláló és kötéliránytű segítségével

Ha van iránytűd-lépésszámlálód, akkor teljesen megteheti kötél nélkül. Az előző példában a kötéllel nagyobb sugarú íveket rajzoltunk, mint a lépésszámlálóé. Inkább azért, mert ezeknek az íveknek valahol keresztezniük kell. Annak érdekében, hogy az íveket azonos sugarú - 1 m -es lépésszámlálóval lehessen megrajzolni, metszéspontjuk biztosításával, szükséges, hogy az A és B pontok az R = 1m körön belül legyenek.

• Ezután mérje meg ezeket az egyenlő távolságra lévő pontokat rulett- V különböző oldalak a központtól, de mindig az AB vonal mentén (szomszéd kerítésvonala). Minél közelebb vannak az A és B pontok a középponthoz, annál távolabb vannak tőle a vezetőpontok: C és D, és annál több pontosabb mérések. Az ábrán ez a távolság a lépésszámláló sugarának körülbelül egynegyede = 260 mm.

Ill.4. Derékszög felépítése lépésszámláló és mérőszalag segítségével

• Ez a cselekvési séma nem kevésbé releváns bármely téglalap, különösen egy téglalap alakú alap kontúrjának megalkotásakor. Tökéletesen fogod kapni. Az átlóit persze ellenőrizni kell, de nem csökken az erőfeszítés? – Összehasonlítva azzal, amikor az alapkontúr átlóit, sarkait és oldalait előre-hátra mozgatják, amíg a sarkok találkoznak.

Tulajdonképpen úgy döntöttünk geometriai probléma földön. Annak érdekében, hogy a webhelyen végzett tevékenységei magabiztosabbak legyenek, gyakoroljon papíron - normál iránytű segítségével. Ami alapvetően nem más.

Gyakran olyan szöget kell berajzolni („konstruálni”), amely egy adott szöggel egyenlő lenne, és az építést szögmérő segítsége nélkül, csak körző és vonalzó segítségével kell elvégezni. Meg tudjuk oldani ezt a problémát, ha tudjuk, hogyan kell háromszöget felépíteni három oldalról. Legyen egyenes vonalon MN(60. és 61. ábra) ponton kell építeni K szög egyenlő a szöggel B. Ez azt jelenti, hogy a lényegtől kezdve szükséges K húzz egy egyenest egy összetevővel MN szög egyenlő B.

Ehhez jelölje meg mindkét oldalon adott szög pont szerint például AÉs VAL VEL, és csatlakoztassa AÉs VAL VEL egyenes. Kapunk egy háromszöget ABC. Építsünk most egy egyenesen MN ezt a háromszöget úgy, hogy annak csúcsa BAN BEN ponton volt NAK NEK: akkor ezen a ponton a szöggel egyenlő szöget hozunk létre BAN BEN. Szerkesszünk háromszöget három oldal felhasználásával VS, VAÉs AC tudjuk, hogyan: elhalasztjuk (62. kép) a ponttól NAK NEK vonalszakasz KL, egyenlő Nap; pontot kapunk L; körül K, a középpont közelében egy sugarú kört írunk le VA, és környékén L – sugár SA. Pont R-val összekötjük a körök metszéspontjait NAK NEKés Z, kapunk egy háromszöget KPL, egyenlő egy háromszöggel ABC; van benne egy sarok NAK NEK= ug. BAN BEN.

Ezt a konstrukciót felülről gyorsabban és kényelmesebben hajtják végre BAN BEN fektesse le egyenlő szegmenseket (az iránytű egyszeri feloldásával), és anélkül, hogy a lábait elmozdítaná, írjon le egy kört a pont körül azonos sugarú NAK NEK, mint a központ közelében.

Hogyan lehet kettéosztani egy sarkot

Tegyük fel, hogy el kell osztanunk egy szöget A(63. ábra) két egyenlő részre egy körző és vonalzó segítségével, szögmérő nélkül. Megmutatjuk, hogyan kell csinálni.

A tetejéről A tedd félre a sarok oldalain egyenlő szegmensek ABÉs AC(64. diagram; ez az iránytű egyszerű feloldásával történik). Ezután helyezzük az iránytű hegyét a pontokra BAN BENÉs VAL VELés írja le a pontban metsző, egyenlő sugarú íveket D. Egyenes csatlakozás Aés D osztja a szöget A félbe.

Magyarázzuk meg, miért van ez. Ha a lényeg D csatlakoztasd BAN BENés C (65. ábra), akkor két háromszöget kapunk ADCÉs ADB, y amelyekből vannak közös oldal HIRDETÉS; oldal AB oldallal egyenlő AC, A ВD egyenlő CD. A háromszögek három oldala egyenlő, ami azt jelenti, hogy a szögek egyenlőek. ROSSZÉs DAC, ellen fekve egyenlő oldalak ВDÉs CD. Ezért az egyenes HIRDETÉS osztja a szöget TE félbe.

Alkalmazások

12. Szerkesszünk 45°-os szöget szögmérő nélkül! 22°30'-on. 67°30'-on.

Megoldás: A derékszöget kettéosztva 45°-os szöget kapunk. A 45°-os szöget kettéosztva 22°30’-os szöget kapunk. A 45° + 22°30’ szögek összegét megszerkesztve 67°30’ szöget kapunk.

Hogyan készítsünk háromszöget két oldal és a köztük lévő szög felhasználásával

Tegyük fel, hogy meg kell találnia a földön a távolságot két mérföldkő között AÉs BAN BEN(66. ördög), átjárhatatlan mocsár választja el.

Hogyan kell csinálni?

Ezt megtehetjük: válasszunk egy pontot a mocsártól távolabb VAL VEL, ahonnan mindkét mérföldkő látható, és a távolságok is mérhetők ACÉs Nap. Sarok VAL VEL speciális goniometrikus eszközzel (úgynevezett str o l b i e) mérünk. Ezen adatok szerint, azaz a mért oldalak szerint A.C.És Napés sarok VAL VEL közöttük, építsünk háromszöget ABC valahol egy kényelmes helyen a következő módon. Például egy ismert oldalt egy egyenesben mérve (67. ábra). AC, építs vele a ponton VAL VEL sarok VAL VEL; ennek a szögnek a másik oldalán az ismert oldalt mérjük Nap. véget ér ismert felek, azaz pontok AÉs BAN BEN egyenes vonallal összekötve. Az eredmény egy háromszög, amelynek két oldala és a közöttük lévő szög az előre meghatározott méretekkel rendelkezik.

Az építési módból világosan látszik, hogy két oldal és a közöttük lévő szög felhasználásával csak egy háromszög készíthető. ezért, ha egy háromszög két oldala egyenlő a másik két oldalával, és az ezen oldalak közötti szögek azonosak, akkor az ilyen háromszögeket minden pont egymásra vetheti, azaz a harmadik oldaluknak és a többi szögnek is egyenlőnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a háromszögek két oldalának egyenlősége és a köztük lévő szög a háromszögek teljes egyenlőségének jeleként szolgálhat. Röviden:

A háromszögek mindkét oldalán és a köztük lévő szögben egyenlőek.

Lakástervezési projektek építése vagy fejlesztése során gyakran egy meglévő szöget kell beépíteni. A sablonok segítenek iskolai tudás geometria.

Utasítás

• Szöget alkot két egyenes, amely egy pontból indul ki. Ezt a pontot a szög csúcsának nevezzük, a vonalak pedig a szög oldalai.
• Használjon három betűt a sarkok jelölésére: egyet felül, kettőt az oldalakon. A szög megnevezése az egyik oldalon álló betűvel kezdődik, majd a csúcson álló betűt, majd a másik oldalon lévő betűt. Használjon más módokat a szögek jelzésére, ha másként kívánja. Néha csak egy betűt neveznek meg, amely a tetején található. Meg tudod jelölni a szögeket? Görög betűk például α, β, γ.
• Vannak helyzetek, amikor úgy kell szöget rajzolni, hogy az egyenlő legyen egy már megadott szöggel. Ha a rajz elkészítésekor nem lehet szögmérőt használni, akkor csak vonalzóval és körzővel lehet boldogulni. Tegyük fel, hogy a rajzon MN betűkkel jelölt egyenesen egy szöget kell beállítani a K pontban, hogy az egyenlő legyen B szöggel. Vagyis a K pontból egy egyenest kell húzni, amely egy szög az MN egyenessel, amely egyenlő lesz a B szöggel.
• Először jelöljön meg egy pontot egy adott szög mindkét oldalán, például az A és C pontot, majd kösse össze a C és A pontot egy egyenessel. Kap ABC háromszög.
• Most készítse el ugyanazt a háromszöget az MN egyenesen úgy, hogy a B csúcsa a K pontban lévő egyenesen legyen. Használja a szabályt a háromszög három oldalára. Tegye le a KL szakaszt a K pontból. Biztosan ő egyenlő a szegmenssel Nap. Szerezd meg az L pontot.
• A K pontból rajzoljunk egy kört, amelynek sugara megegyezik a BA szakasszal. L-ből rajzoljunk CA sugarú kört. Kösd össze két kör metszéspontját (P) a K-vel. Szerezd meg a KPL háromszöget, amely egyenlő lesz az ABC háromszöggel. Így kapja a K szöget. Ez egyenlő lesz a B szöggel. A konstrukció kényelmesebbé és gyorsabbá tétele érdekében a B csúcsból egyenlő szegmenseket állítson el, egyetlen iránytűnyílással, a lábak mozgatása nélkül írjon le egy azonos sugarú kört a K pontból.

Az óra céljai:

• A tanult anyag elemzési képességének és problémamegoldó alkalmazásának készségeinek kialakítása;
• Mutassa be a tanulmányozott fogalmak jelentőségét;
• Fejlesztés kognitív tevékenységés függetlenség az ismeretek megszerzésében;
• A téma iránti érdeklődés és a szépérzék ápolása.

Az óra céljai:

• Fejleszti az adott szöggel egyenlő szög megalkotásának készségeit skálavonalzó, iránytű, szögmérő és háromszög rajzolásával.
• Tesztelje a tanulók problémamegoldó képességeit.

Tanterv:

1. Ismétlés.
2. Adott szög szerkesztése.
3. Elemzés.
4. Építési példa először.
5. Második építési példa.

Ismétlés.

Sarok.

Lapos szög- korlátlan geometriai alakzat, amelyet egy pontból (szög csúcsából) kilépő két sugár (szög oldala) alkot.

Szögnek nevezzük azt az alakzatot is, amelyet a sík e sugarak közé zárt összes pontja alkot (Általánosságban elmondható, hogy két ilyen sugár két szögnek felel meg, mivel két részre osztják a síkot. Az egyik szöget hagyományosan belsőnek nevezzük, és a egyéb - külső.
Néha a rövidség kedvéért a szöget szögmértéknek nevezik.

Van egy általánosan elfogadott szimbólum a szög jelzésére: 1634-ben javasolták francia matematikus Pierre Erigon.

Sarok egy geometriai alakzat (1. ábra), amelyet két OA és OB (a szög oldalai) sugár alkot, amelyek egy O pontból (a szög csúcsából) erednek.

A szöget egy szimbólum és három betű jelöli, amelyek a sugarak végeit és a szög csúcsát jelzik: AOB (és a csúcs betűje a középső). A szögeket az OA sugár O csúcs körüli elforgatásának mértéke méri, amíg az OA sugár OB pozícióba nem kerül. A szögek mérésére két széles körben használt mértékegység létezik: a radián és a fok. A szögek radiános mérését lásd alább az „Ívhossz” szakaszban, valamint a „Trigonometria” fejezetben.

Fokozatrendszer a szögek mérésére.

Itt a mértékegység egy fok (jelölése °) - ez a sugár elfordulása a teljes fordulat 1/360-ával. És így, teljes fordulat nyaláb egyenlő 360 o-val. Egy fok 60 percre oszlik (' szimbólum); egy percig – 60 másodpercig (" megjelölés). A 90°-os szöget (2. ábra) jobbra nevezzük; a 90°-nál kisebb szöget (3. ábra) hegyesnek nevezzük; a 90°-nál nagyobb szöget (4. ábra) tompaszögnek nevezzük.

A derékszöget bezáró egyeneseket egymásra merőlegesnek nevezzük. Ha az AB és MK egyenesek merőlegesek, akkor ezt jelöljük: AB MK.

Adott szög szerkesztése.

Mielőtt elkezdené az építkezést vagy bármilyen probléma megoldását, a tárgytól függetlenül el kell végeznie elemzés. Értsd meg, mit mond a feladat, olvasd el figyelmesen és lassan. Ha az első alkalom után kétségei vannak, vagy valami nem volt világos vagy nem világos, de nem teljesen, javasoljuk, hogy olvassa el újra. Ha feladatot végez az órán, megkérdezheti a tanárt. BAN BEN másképp a félreértett feladatod esetleg nem oldódik meg helyesen, vagy találsz valamit, ami nem az, amit elvártak tőled, és hibásnak tekintik, és újra kell csinálnod. Ami engem illet - Jobb, ha egy kicsit több időt tölt a feladat tanulmányozásával, mintsem újra megismételni a feladatot.

Elemzés.

Legyen a az adott A csúcsú sugár, és az (ab) a kívánt szög. Válasszunk B és C pontot az a és b sugarakon. A B és C pontokat összekötve kapjuk ABC háromszög. BAN BEN egyenlő háromszögek a megfelelő szögek egyenlőek, ezért az építési mód a következő. Ha egy adott szög oldalain valamilyen kényelmes módon kiválasztjuk a C és B pontokat, akkor egy adott sugárból AB 1 C 1 háromszöget készítsünk egy adott félsíkra, egyenlő az ABC-vel(és ez megtehető, ha ismeri a háromszög összes oldalát), akkor a probléma megoldódik.

Bármelyik végrehajtásakor építkezések Legyen rendkívül óvatos, és igyekezzen minden építkezést gondosan elvégezni. Mivel minden következetlenség valamilyen hibát, eltérést eredményezhet, ami helytelen válaszhoz vezethet. És ha a feladat ebből a típusból első alkalommal hajtják végre, a hibát nagyon nehéz lesz megtalálni és kijavítani.

Építési példa először.

Rajzoljunk egy kört, amelynek középpontja ennek a szögnek a csúcsában van. Legyen B és C a kör metszéspontja a szög oldalaival. AB sugarú kört rajzolunk, amelynek középpontja az A 1 pontban van. kiindulópont ebből a gerendából. Jelöljük ennek a körnek a metszéspontját ezzel a sugárral B 1 -gyel. Írjunk le egy kört, amelynek középpontja B 1 és sugara BC. A megszerkesztett körök C 1 metszéspontja a jelzett félsíkban a kívánt szög oldalán van.

Az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek három oldala egyenlő. Az A és A 1 szögek ezeknek a háromszögeknek a megfelelő szögei. Ezért ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

A nagyobb áttekinthetőség érdekében ugyanazokat a konstrukciókat részletesebben is megvizsgálhatja.

Második építési példa.

A feladat továbbra is az, hogy egy adott félegyenesből egy adott félsíkba egy adott szöggel egyenlő szöget is félretessünk.

Építkezés.

1. lépés. Rajzoljunk egy tetszőleges sugarú kört, amelynek középpontja egy adott szög A csúcsában van. Legyen B és C a kör metszéspontja a szög oldalaival. És rajzoljuk meg a BC szakaszt.

2. lépés. Rajzoljunk egy AB sugarú kört, amelynek középpontja az O pontban van - ennek a félegyenesnek a kezdőpontjában. A kör sugárral való metszéspontját jelöljük B 1 -el.

3. lépés Most egy B 1 középpontú és BC sugarú kört írunk le. Legyen C 1 pont a megszerkesztett körök metszéspontja a jelzett félsíkban.

4. lépés. Rajzoljunk egy sugarat az O pontból a C 1 pontba. C 1 OB 1 szög lesz a kívánt.

Bizonyíték.

Az ABC és OB 1 C 1 háromszögek egybevágó háromszögek, amelyeknek megfelelő oldalaik vannak. Ezért a CAB és a C 1 OB 1 szögek egyenlőek.

Érdekes tény:

Számokban.

A környező világ tárgyaiban mindenekelőtt egyéni tulajdonságaikat veszi észre, amelyek megkülönböztetik az egyik tárgyat a másiktól.

Rengeteg privát egyéni tulajdonságok eltakarja az abszolút minden objektumban rejlő általános tulajdonságokat, és ezért mindig nehezebb ilyen tulajdonságokat észlelni.

Az objektumok egyik legfontosabb általános tulajdonsága, hogy minden objektum megszámolható és mérhető. Ezt tükrözzük általános tulajdon tárgyak a szám fogalmában.

Az emberek nagyon lassan, évszázadok alatt sajátították el a számolás folyamatát, vagyis a szám fogalmát, kitartó küzdelemben létükért.

A számláláshoz nemcsak megszámolható tárgyakkal kell rendelkezni, hanem már képesnek kell lennie arra, hogy elvonatkoztasson ezeknek a tárgyaknak a számon kívül minden egyéb tulajdonságától, és ez a képesség egy hosszú, tapasztalaton alapuló történelmi fejlődés eredménye. .

A számok segítségével ma már mindenki észrevétlenül tanul meg számolni gyerekkorában, szinte a beszédkezdéssel egy időben, de ez a számunkra ismerős számolás hosszú fejlődési utat járt be, és különböző formákat öltött.

Volt idő, amikor csak két számjegyet használtak a tárgyak megszámlálására: egyet és kettőt. A számrendszer további bővítésének folyamatában részeket vontak be emberi testés mindenekelőtt az ujjak, és ha ez a fajta „szám” nem lenne elég, akkor a botok, kövek és egyéb dolgok is.

N. N. Miklouho-Maclay könyvében "Utazások" egy vicces számolási módszerről beszél, amelyet Új-Guinea bennszülöttei használnak:

Kérdések:

1. Határozza meg a szöget?
2. Milyen típusú szögek léteznek?
3. Mi a különbség az átmérő és a sugár között?

A felhasznált források listája:

1. Mazur K. I. „A M. I. Skanavi által szerkesztett gyűjtemény matematikai versenyfeladatainak megoldása”
2. Matematikai hozzáértés. B.A. Kordemszkij. Moszkva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometria, 7–9: tankönyv oktatási intézmények számára”

A leckén dolgozott:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Tegyen fel kérdést a következővel kapcsolatban modern oktatás, kifejezhet egy ötletet vagy megoldhat egy sürgető problémát Oktatási fórum, ahol a friss gondolatok és cselekvések oktatási tanácsa találkozik nemzetközi szinten. Miután létrehozta blog, Nemcsak hozzáértő tanári státuszát javítja, hanem jelentős mértékben hozzájárul a jövő iskolájának fejlődéséhez is. Nevelési Vezetők Céhe ajtókat nyit a szakemberek előtt legmagasabb rangúés meghívja Önt, hogy működjön együtt a világ legjobb iskoláinak létrehozásában.