A legnagyobb szög a legnagyobb oldallal szemben van. N. Nikitin Geometria

HÁROMSZÖGEK.

30. § A HÁROMSZÖG OLDALAI ÉS SZÖGEI KÖZÖTTI KAPCSOLATOK.

1. tétel. Ellen nagyobb oldala egy háromszög nagyobb szöget is tartalmaz .

Beengedni /\ Az ABC oldal AB nagyobb, mint a BC oldal. Bizonyítsuk be, hogy a nagyobb AB oldallal szemben fekvő C szög nagyobb, mint a kisebb BC oldallal szemközt fekvő A szög (164. ábra).

Tegyünk az AB oldalra a B pontból egy BD szakaszt, amely egyenlő a BC oldallal, és kössük össze a D és C pontokat egy szakasszal.

A DBC háromszög egyenlő szárú. Szög BDC szöggel egyenlő BCD, mivel szemben fekszenek egyenlő oldalak háromszögben.

A BDC szög az ADC háromszög külső szöge, tehát nagyobb, mint az A szög.

Mert / ВСD = / BDC, akkor a BCD szög nagyobb, mint az A szög: / ВСD > / A. De a BCD szög csak egy része a teljes C szögnek, így a C szög még nagyobb lesz, mint az A szög.

Bizonyítsa be ugyanezt a tételt a 165. rajz segítségével, ha BD = AB.

A 18. §-ban bebizonyítottuk, hogy egy egyenlő szárú háromszögben az alapnál lévő szögek egyenlőek, vagyis egy háromszögben egyenlő szögek vannak egyenlő oldalakkal szemben. Most bizonyítsuk be a fordított tételeket.

2. tétel. A háromszög egyenlő oldalai egyenlő szögekkel ellentétesek.

Beengedni /\ ABC / A= / C (166. rajz). Bizonyítsuk be, hogy AB = BC, azaz az ABC háromszög egyenlő szárú.

Az AB és BC felek között a következő három kapcsolat közül csak egy lehet:

1) AB > BC;
2) AB< ВС;
3) AB = BC.

Ha az AB oldal nagyobb lenne, mint BC, akkor C szög nagyobb lenne, mint A szög, de ez ellentmond a tétel feltételének, ezért AB nem lehet nagyobb, mint BC.

Ugyanígy AB nem lehet kisebb, mint BC, mivel ebben az esetben C szög kisebb lenne, mint A szög.

Ebből következően csak a harmadik eset lehetséges, azaz.

Tehát bebizonyítottuk: egy háromszögben az egyenlő oldalak egyenlő szögekkel ellentétesek.

3. tétel. A háromszög nagyobbik oldala a nagyobb szöggel szemben van.

Beengedni ABC háromszög(167. rajz) / C> / B

Bizonyítsuk be, hogy AB > AC.

A következő három kapcsolat egyike is létezhet:

1) AB = AC;
2) AB< АС;
3) AB > AC.

Ha az AB oldal egyenlő lenne az AC oldallal, akkor / C egyenlő lenne / B. De ez ellentmond a tétel feltételeinek. Ez azt jelenti, hogy AB nem egyenlő AC-vel

Ugyanígy AB nem lehet kisebb, mint AC, mivel ebben az esetben C szög kisebb lenne, mint B szög, ami szintén ellentmond ennek a feltételnek.

Ezért csak egy eset lehetséges, mégpedig:

Bebizonyítottuk, hogy a háromszög nagyobbik oldala a nagyobb szöggel szemben van.

Következmény. BAN BEN derékszögű háromszög. a hypotenusa nagyobb, mint bármelyik lába.

A „Tétel a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggésekről” című videólecke bemutatja ezt a tételt, valamint annak következményeit. A megoldáshoz a tétel és következményeinek ismerete szükséges gyakorlati problémák geometriában, amelyben oldalainak és szögeinek különböző arányait használják a háromszög paramétereinek megtalálásához. A videóóra célja az anyag megértésének elősegítése, valamint a tétel és következményeinek memorizálása.

Az oktatóvideó animációs effektusokat használ, amelyek segítenek kiemelni fontos részleteket geometriai formák az anyag elsajátításakor. A színkiemelés a tétel kijelentésének és következményeinek kiemelésére is szolgál. A hangmagyarázat teljes mértékben helyettesíti a tanárt, amikor szokásosan új tananyagot mutat be a tanulóknak.

A videóóra elején a téma bemutatása után a képernyőn megjelenik a tétel szövege, amely azt mondja, hogy a nagyobb oldallal szemben tetszőleges háromszög a nagyobb szög helyezkedik el, és a nagyobb oldal mindig a nagyobb szöggel szemben helyezkedik el. Ez az állítás Az ΔABC háromszögen látható, amely a tétel szövege alatti ábrán látható. A tétel bizonyítását az előadó szóban fejti ki.

Az állítás bizonyításához figyelembe kell venni az AB, AC oldalakat és a velük szemben elhelyezkedő szögeket - ∠C és ∠B. Feltételezzük, hogy az AB>AC oldalak ellentétes szögei ∠C>∠B lesznek. Az AB oldalon egy AD szegmens van kihelyezve, amelynek mérete megegyezik az AC szegmenssel. Mivel az AC oldal kisebb, mint az AB oldal, a D szakaszpont vége az A és B háromszög csúcsai között van. Ebből következik, hogy az építés során kialakult ∠1 szög kisebb, mint a ∠C szög, és a ∠2 szög mint a ∠BDC szögen kívül egyenlő a ∠DBC és ∠DCB szögek összegével. Ez azt jelenti, hogy ∠2 nagyobb, mint a ∠DBC=∠B szög. Ennek megfelelően a ∠C szög nagyobb, mint a ∠B szög.

A fordított állítás bizonyítása az AB, AC oldalarány figyelembevételére vezet, ha a ∠C szög nagyobb, mint a ∠B szög. Ellentmondásos bizonyítást hajtanak végre. Ehhez feltételezzük, hogy ∠C>∠B esetén az AB oldal egyenlő vagy kisebb, mint az AC oldal. Figyelembe véve azonban az AB=AC oldalak egyenlőségét, a tulajdonságok ismeretében egyenlő szárú háromszög, akkor vitatható, hogy ebben az esetben a ∠C=∠B szögek is egyenlőek lesznek. Ha AB AC.

A következő oktatóvideó ennek a tételnek a következményeit tárgyalja. Azt állítják, hogy e tétel alapján a derékszögű háromszög befogója mindig nagyobb, mint a láb. Valójában, mivel a hipotenusz a derékszöggel szemben helyezkedik el, a lábak a hegyesszögekkel szemben helyezkednek el. Mivel a hegyesszögek mindig kisebbek, mint a derékszögek, a szemközti oldalak mindig kisebbek, mint az alsó szög.

A tétel második következménye egy egyenlő szárú háromszög jele. Ez a következtetés azt állítja, hogy a háromszög két szögének egyenlősége egyenlő szárú. Az ΔABC háromszög példáján két ∠C és ∠B szöget, valamint az AB és AC szemközti oldalakat tekintjük. Feltételezzük, hogy a ∠C=∠B szögek egyenlősége megfelel az AB=AC oldalak egyenlőségének. Valóban, ha az oldalak nem lennének egyenlőek, akkor a tétel szerint egy nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben, és egy kisebb szög a kisebb oldallal szemben. Így az oldalak egyenlőtlenségének feltételezése hibás. Ez a háromszög egyenlő szárú. A vizsgálat bebizonyosodott.

Tétel: Háromszögben

1. Adott: AB>AC

Bizonyítsuk be: ∠C>∠B.

Bizonyítás: Tegye félre az AD szakaszt egyenlő a szegmenssel Az AC, majd a D pont az A és B pontok között helyezkedik el. A CD sugár az ACB szöget két szögre vágja, ahol ∠1=∠2. A ΔACV ∠1 és ∠3 szögekből áll. ∠2 a CDB háromszög külső értéke, ami azt jelenti, hogy nagyobb, mint a B szög.

Rizs. 1. Tétel a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatról

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠ACB>∠B, amit bizonyítani kellett.

2. Adott: ∠C>∠B

Bizonyítsuk be: ∠AB>∠AC

Rizs. 2. Fordított tétel a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatról , de feltétel szerint ∠C>∠B, ezért csak az az eset marad, ha AB>AC, amit bizonyítani kellett.

Fogalmazzuk meg még egyszer a tételt, és terjesszük ki a háromszög minden szögére.

Tétel: Háromszögben

1. A nagyobb oldallal szemben van a nagyobb szög

2. Ezzel szemben a nagyobb oldal a nagyobb szöggel szemben helyezkedik el.

Rizs. 3. Rajz a tételhez

Ha AB>AC>BC, akkor ∠C>∠B>∠A.

Ha ∠C>∠B>∠A, akkor AB>AC>BC.

1. Következmény: Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz nagyobb, mint a láb.

Bizonyíték:

Rizs. 4. Rajz az 1. következtetéshez

∠A+∠B+90=180, ∠A+∠B=90=∠C. Ebből következik, hogy ∠A<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

2. Következmény: Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor a háromszög egyenlő szárú (egyenlőszárú háromszög tesztje).

Adott: ∠B=∠C

Bizonyítsuk be: AC=AB

Bizonyítás: Bizonyítsuk be ellentmondással.

Rizs. 5. Rajz a 2. következtetéshez

AB>AC ∠C>∠B, azaz AB=AC. A vizsgálat bebizonyosodott.

Beszéljük meg a 2. következményt. Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha két oldala egyenlő. Ebből következik a tulajdonsága: az alapnál egyenlők a szögek. És most van egy jelünk, hogy ha bármelyik oldal szögei egyenlőek, akkor a háromszög egyenlő szárú. Van egy egyenlő szárú háromszög jele.

1. példa: Hasonlítsa össze egy háromszög szögeit, és derítse ki, hogy az A szög lehet-e tompa, ha AB = AC<ВС.

Rizs. 6. Rajz például 1

AB=AC ∠C=∠B. AC<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С).

Példa: ∠B=∠C=10, majd ∠A=180-(10+10)=160.

Válasz: 1) ∠B=∠C<∠А 2) ∠А может быть тупым.

A mai órán a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatról szóló tételt néztük meg. A következő leckében a háromszög egyenlőtlenség témájával fogunk foglalkozni.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., Geometry 7. M. kiadás: Oktatás.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. és mások Geometry 7. 5. kiadás. M.: Felvilágosodás.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., szerkesztette: Sadovnichy V.A. Geometry 7. M.: Education. 2010

1. Pedagógiai ötletek fesztiválja „Nyílt lecke” ().
2. Kaknauchit.ru ().

1. 50. sz. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., szerkesztette: Sadovnichy V.A. Geometry 7. M.: Education. 2010
2. Az AK szakasz a C derékszögű ABC háromszög mediánja. Bizonyítsuk be, hogy ∠BAK<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszög befogója nagyobb, mint a láb.
4. Az ABC háromszög B és C csúcsaiban a külső szögek felezőit tartalmazó egyenesek az O pontban metszik egymást. Keresse meg a BOC szöget, ha A szög egyenlő a-val.

Ezt a tételt a tankönyvben megfogalmazta és bebizonyította L.S. , Pogorelov A.V. tankönyvében. nincs ilyen tétel. Nyilvánvalóan ez annak a ténynek köszönhető, hogy L. S. háromszög egyenlőtlenség. a fenti tétel segítségével igazoljuk. Pogorelov A.V. A háromszög-egyenlőtlenséget a ferde vetület fogalmával igazoljuk.

Mutassuk be a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatra vonatkozó tétel bizonyítását szó szerint.

Tétel: Háromszögben:

1) a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben van;

2) hátul, a nagyobb oldal a nagyobb szöggel szemben helyezkedik el.

Bizonyíték. 1) Legyen az ABC háromszög AB oldala nagyobb, mint az AC oldal. Bizonyítsuk be, hogy C szög > B szög. Ábrázoljunk az AB oldalon egy AD szakaszt, amely megegyezik az AC oldallal (1. ábra). Kr. u. óta<АВ, то тока D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, угол С >szög 1. A 2 szög a BDC háromszög külső szöge, ezért 2 szög>B szög. Az 1 és a 2 szögek egyenlőek, mint az ADC egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek. Így C szög > 1 szög, 1 szög = 2 szög, 2 szög > B szög. Ebből következik, hogy C szög > B szög.

2) Legyen az ABC háromszögben C > B szög. Bizonyítsuk be, hogy AB>AC. Tegyük fel, hogy ez nem így van. Ekkor vagy AB=AC vagy AB<АС. В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, Угол С= углу В. Во втором случае угол В>C szög (a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben van). Mindkettő ellentmond a feltételnek: C szög > B szög. Ezért a feltevésünk helytelen, tehát AB>AC. A tétel bizonyítást nyert.

A fenti bizonyításból kitűnik, hogy az ötlet egy további konstrukció végrehajtása, amely a kérdéses háromszöget két háromszögre osztja, amelyek közül az egyik egyenlő szárú. Rekonstruáljuk egy ilyen kiegészítő konstrukció gondolatát úgy, hogy a gondolatkísérlet fogalmával bizonyítjuk ezt a tételt.

A tétel bizonyítása segítségével gondolatkísérlet.

Tehát gondolatkísérletünk tárgya egy háromszög szögei és oldalai. Helyezzük őt mentálisan olyan körülmények közé (2. ábra), amelyekben különös biztonsággal feltárható a lényege (1. szakasz).

Ezek a feltételek a következők:

A háromszög összes szögének és oldalának egyenlősége (feltételek egyenlő oldalú háromszög);

A háromszög oldalainak azon képessége, hogy „összenyomjanak” és „nyúljanak”, miközben megőrzik a vonal egyenességét;

A háromszög csúcsai "csúszhatnak" a háromszög oldalait tartalmazó vonalak mentén;

Az ilyen felépített feltételek lehetővé teszik számunkra, hogy különös biztonsággal felfedjük a háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat lényegét (1. szakasz) - a nagyság függését ellentétes szög a szemközti oldal méretétől és fordítva.

Valójában az ezt követő mentális transzformációk (2. szakasz) végrehajtásával a háromszög egyik oldalának „kinyújtásával” (3. ábra) az ellenkező szög megfelelő növekedését figyelhetjük meg.

A háromszögek szögeinek és csúcsainak kijelölésével (4. ábra), amelyet egy egyenlő oldalú háromszög oldalainak „kinyújtásával” kapunk, ezzel mentálisan kialakítjuk azt a környezetet, összefüggésrendszert, amelyben gondolati tárgyunkat elhelyezzük (3. szakasz).

Ha az AC oldalt az AC1 oldalra „nyújtva” növeljük, az 1 szög növekedését és ennek megfelelő 2 szög csökkenését figyeljük meg. De megfigyeljük a BC oldal növekedését is a BC1 oldalra. Ha a BC oldal nagyobb mértékben nőtt, mint az AC oldal (BC1>AC1), akkor a tétel nem igaz. Mutassuk meg, hogy ez nem így van.

Két eset lehet: BC1=AC1 és BC1 BC1>AC1AC1. Az első esetben az ABC1 háromszög egyenlő szárú, az 1-es szög pedig egyenlő a 3-as szöggel. Ez azonban nem így van: a 3-as szög nem változott, és egyenlő 60°-kal, de az 1-es szög nőtt és > 60°-os lett. azt jelenti, hogy a BC1 és AC1 oldalak nem egyenlőek (5. ábra). A második esetben az AC1 oldal az A1C1 oldalra „nyújtással” (azaz A1C1=BC1) növelhető a BC1 oldalra (5. ábra). Az eredményül kapott A1BC1 háromszög egyenlő szárú, ezért az alapnál lévő szögeknek egyenlőnek kell lenniük. De a 3. szög csökkent (azaz lett< 60°), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.

Ha nem az oldalt, hanem a szöget növeljük, akkor ismét eldöntjük, hogy a két oldal (AC vagy BC) közül melyik nőtt jobban.

Az elvégzett gondolatkísérlet alapján megállapítható az az állítás igaza, hogy a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben van és fordítva.