Képletek a trigonometrikus függvények bizonyításához. csoport II

Folytatjuk beszélgetésünket a trigonometriában leggyakrabban használt képletekről. Közülük a legfontosabbak az összeadási képletek.

1. definíció

Az összeadási képletek segítségével két szög különbségének vagy összegének függvényeit fejezheti ki trigonometrikus függvények ezeket a szögeket.

Kezdésként adunk teljes listaösszeadási képleteket, akkor azokat bebizonyítjuk, és több szemléltető példát elemezünk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Alapvető összeadási képletek a trigonometriában

Nyolc van alapképletek: két szög összegének és különbségének szinusza, az összeg és a különbség koszinusza, az összeg és a különbség érintői és kotangensei. Az alábbiakban bemutatjuk szabványos formuláikat és számításaikat.

1. Megadható két szög összegének szinusza alábbiak szerint:

Kiszámoljuk az első szög szinuszának és a második koszinuszának szorzatát;

Szorozzuk meg az első szög koszinuszát az első szög szinuszával;

Adja össze a kapott értékeket.

A képlet grafikus írása így néz ki: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. A különbség szinuszát szinte ugyanúgy számítjuk, csak a kapott szorzatokat nem összeadni, hanem kivonni kell egymástól. Így az első szög szinuszának szorzatát a második koszinuszával, az első szög koszinuszának szorzatát a második szinuszával számítjuk ki, és megtaláljuk a különbségüket. A képlet így van felírva: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Az összeg koszinusza. Ehhez megtaláljuk az első szög koszinuszának a második koszinuszával, az első szög szinuszának a második koszinuszával, és megtaláljuk a különbségüket: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. A különbség koszinusza: számítsa ki e szögek szinuszainak és koszinuszainak szorzatát, mint korábban, és adja össze. Képlet: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Az összeg érintője. Ezt a képletet törtként fejezzük ki, melynek számlálója a szükséges szögek érintőinek összege, nevezője pedig olyan egység, amelyből kivonjuk a kívánt szögek érintőinek szorzatát. Grafikus jelöléséből minden világos: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. A különbség érintője. Kiszámoljuk ezen szögek érintőinek különbségének és szorzatának értékét, és hasonló módon járunk el velük. A nevezőben összeadunk egyet, és nem fordítva: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Az összeg kotangense. A képlet segítségével történő kiszámításhoz szükségünk lesz e szögek szorzatára és kotangenseinek összegére, amit a következőképpen járunk el: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. A különbség kotangense . A képlet hasonló az előzőhöz, de a számláló és a nevező mínusz, nem plusz c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Valószínűleg észrevette, hogy ezek a képletek párban hasonlóak. A ± (plusz-mínusz) és ∓ (mínusz-plusz) jelek segítségével csoportosíthatjuk őket a rögzítés megkönnyítése érdekében:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± 1 t g β t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Ennek megfelelően az egyes értékek összegére és különbségére egy rögzítési képletünk van, csak az egyik esetben a felső, a másikban az alsó előjelre figyelünk.

2. definíció

Bármilyen α és β szöget felvehetünk, és a koszinusz és a szinusz összeadási képlete működik rájuk. Ha helyesen tudjuk meghatározni ezen szögek érintőinek és kotangenseinek értékét, akkor az érintő és a kotangens összeadási képlete is érvényes lesz rájuk.

Az algebra legtöbb fogalmához hasonlóan az összeadási képletek is bizonyíthatóak. Az első képlet, amelyet bizonyítunk, a különbségi koszinusz képlet. Ebből aztán könnyen kikövetkeztetheti a többi bizonyítékot.

Tisztázzuk az alapfogalmakat. Szükségünk lesz egységkör. Akkor fog működni, ha veszünk egy bizonyos A pontot, és elforgatjuk az α és β szögeket a középpont (O pont) körül. Ekkor az O A 1 → és O A → 2 vektorok közötti szög egyenlő lesz (α - β) + 2 π · z vagy 2 π - (α - β) + 2 π · z (z bármely egész szám). A kapott vektorok egy szöget alkotnak, amely egyenlő α - β vagy 2 π - (α - β), vagy egy egész számmal eltérhet ezektől az értékektől teljes forradalmak. Vessen egy pillantást a képre:

A redukciós képleteket használtuk, és a következő eredményeket kaptuk:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Eredmény: az O A 1 → és O A 2 → vektorok közötti szög koszinusza megegyezik az α - β szög koszinuszával, ezért cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Emlékezzünk vissza a szinusz és a koszinusz definíciójára: a szinusz a szög függvénye, egyenlő az aránnyal láb ellentétes szög a hypotenushoz a koszinusz szinusz további szög. Ezért a pontok A 1És A 2 koordinátái vannak (cos α, sin α) és (cos β, sin β).

A következőket kapjuk:

O A 1 → = (cos α, sin α) és O A 2 → = (cos β, sin β)

Ha nem világos, nézze meg a vektorok elején és végén található pontok koordinátáit.

A vektorok hossza 1, mert Van egy egységkörünk.

Most nézzük meg pont termék O A 1 → és O A 2 → vektorok. Koordinátákban így néz ki:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Ebből levezethetjük az egyenlőséget:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Így a különbségi koszinusz képlet bebizonyosodott.

Most bebizonyítjuk a következő képletet - az összeg koszinuszát. Ez egyszerűbb, mert használhatjuk az előző számításokat. Vegyük az α + β = α - (- β) ábrázolást. Nálunk:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Ez a koszinuszösszeg képlet bizonyítéka. Az utolsó sor a szinusz és a koszinusz tulajdonságát használja ellentétes sarkok.

Az összeg szinuszának képlete levezethető a különbség koszinuszának képletéből. Vegyük ehhez a redukciós képletet:

a sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) formájú. Így
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

És itt a bizonyíték a különbség szinusz képletére:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Figyeljük meg az ellentétes szögek szinusz és koszinusz tulajdonságainak használatát az utolsó számításban.

Ezután szükségünk van az érintő és a kotangens összeadási képleteinek bizonyítására. Emlékezzünk az alapdefiníciókra (az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, a kotangens pedig fordítva), és vegyük a már előre levezetett képleteket. Ezt kaptuk:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Megcsináltuk összetett tört. Ezután el kell osztanunk a számlálóját és a nevezőjét cos α · cos β-val, mivel cos α ≠ 0 és cos β ≠ 0, így kapjuk:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Most csökkentjük a törteket, és megkapjuk a képletet a következő típus: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Azt kaptuk, hogy t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ez a tangens összeadási képlet bizonyítéka.

A következő képlet, amelyet bizonyítunk, a különbségi képlet érintője. A számításokban minden egyértelműen látható:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

A kotangens képletei hasonló módon bizonyítottak:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Következő:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t g t

Nem próbállak meggyőzni, hogy ne írj csalólapot. Írj! Beleértve a trigonometria csalólapjait. Később azt tervezem, hogy elmagyarázom, miért van szükség a csalólapokra, és miért hasznosak a csalólapok. És itt van információ arról, hogyan ne tanuljunk, de emlékezzünk néhányra trigonometrikus képletek. Tehát - trigonometria csalólap nélkül A memorizáláshoz asszociációkat használunk!

1. Összeadási képletek:

A koszinusz mindig „párban jön”: koszinusz-koszinusz, szinusz-szinusz. És még valami: a koszinusz „nem megfelelő”. Számukra „minden nincs rendben”, ezért a „-” jeleket „+”-ra cserélik, és fordítva.

Szinuszok – „keverék”: szinusz-koszinusz, koszinusz-szinusz.

2. Összeg és különbség képletek:

a koszinuszok mindig „párban jönnek”. Két koszinusz - „kolobok” hozzáadásával egy koszinuszpárt kapunk - „koloboks”. És kivonva biztosan nem kapunk kolobokot. Kapunk pár szinust. Szintén mínuszos előrébb.

Szinuszok – „keverék” :

3. Képletek egy szorzat összeggé és különbözetté alakításához.

Mikor kapunk koszinusz párt? Amikor koszinuszokat adunk hozzá. azért

Mikor kapunk pár szinust? A koszinusz kivonásánál. Innen:

A „keverést” a szinuszok összeadásakor és kivonásakor is megkapjuk. Mi a szórakoztatóbb: összeadás vagy kivonás? Így van, hajtsd össze. És a képlethez hozzáadják:

Az első és a harmadik képletben az összeg zárójelben van. A kifejezések helyeinek átrendezése az összegen nem változtat. A sorrend csak a második képletnél fontos. De hogy ne tévedjünk össze, az emlékezés megkönnyítése érdekében mindhárom képletben az első zárójelben a különbséget vesszük

és másodszor - az összeget

A zsebedben lévő csalólapok nyugalmat adnak: ha elfelejted a képletet, lemásolhatod. És önbizalmat adnak: ha nem használja a csalólapot, könnyen megjegyezheti a képleteket.