Átlagtétel. Ha f(x) folytonos a szakaszon, akkor létezik olyan pont, amelyre . Doc. Egy szegmensen folytonos függvény a legkisebb m és a legnagyobb M értékét ezen a szakaszon veszi fel. Akkor . Szám a szegmens függvényének minimális és maximális értéke között van. Az intervallumon folytonos függvények egyik tulajdonsága, hogy ez a függvény bármilyen értéket felvesz m és M között. Így van egy pont, . Ennek a tulajdonságnak egyszerű geometriai értelmezése van: ha folytonos a szakaszon, akkor van olyan pont, hogy az ABCD görbe vonalú trapéz területe megegyezik az f(c) magasságú téglalap területével ( ábrán kiemelve).

7. Integrál változó felső határral. Folytonossága és differenciálhatósága.

Tekintsünk egy f (x) függvényt, amely Riemann által integrálható az intervallumon. Mivel integrálható -ra, így ∀x ∈-re is integrálható. Ekkor minden x ∈ esetén van értelme a kifejezésnek, és minden x esetén valamilyen számmal egyenlő.

Így minden x ∈ valamilyen számhoz kapcsolódik,

azok. a függvény adott:

(3.1)

Meghatározás:

A (3.1)-ben megadott F (x) függvényt, valamint magát a kifejezést hívjuk

változó felső határú integrál. A teljes szegmensen van meghatározva

az f (x) függvény integrálhatósága.

Feltétel: f (t) folytonos -on, és az F (x) függvényt a (3.1) képlet adja meg.

Állítás: Az F(x) függvény differenciálható -on, és F (x) = f (x).

(A-nál jobbra, b-nél pedig balra differenciálható.)

Bizonyíték:

Mivel egy F (x) változó függvényére a differenciálhatóság ekvivalens egy derivált minden pontban (jobb oldalon az a pontban, bal oldalon a b pontban), így megtaláljuk az F (x) deriváltot. . Fontolja meg a különbséget

Ily módon

ráadásul a ξ pont a szakaszon fekszik (vagy ha ∆x< 0).

Emlékezzünk most arra, hogy az F(x) függvény deriváltja egy adott x ∈ pontban egyenlő a differenciareláció határával: . Az egyenlőségből a következőket kaptuk:

,

Ha most ∆x → 0, ennek az egyenlőségnek a bal oldalán megkapjuk az F’(x)-et, a jobb oldalon pedig

Idézzük fel az f (t) függvény folytonosságának definícióját az x pontban:

Legyen x1 egyenlő ξ-vel ebben a definícióban. Mivel ξ ∈ (ξ ∈ ) és

∆x → 0, akkor |x − ξ| → 0, és a folytonosság definíciója szerint f (ξ) → f (x). Ezért rendelkezünk:

F'(x) = f(x).

Következmény:

Feltétel: f (x) folyamatos bekapcsolva.

Állítás: Az f (x) függvény bármely antideriváltja alakja

ahol C ∈ R valamilyen állandó.

Bizonyíték. A 3.1. tétel szerint a függvény számára készült prototípus f(x). Tegyük fel, hogy G(x) egy másik f(x) antiderivatív. Ekkor G'(x) = f(x) és az F(x) − G(x) függvényre a következőt kapjuk: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Tehát az F (x)−G függvény deriváltja (x)

egyenlő nullával, ezért ez a függvény egy állandó: F(x) − G(x) = állandó.

8. Newton-Leibniz formula határozott integrálhoz.

Tétel:

Állapot: f(t) folytonos -on, F(x) pedig bármely antideriváltja.

Nyilatkozat:

Bizonyíték: Tekintsük az f (x) függvény F (x) antideriváltját. A „Változó felső határértékkel rendelkező integrál differenciálhatóságáról” tétel (lásd az előző kérdést) következménye szerint az alakja . Innen

=> c= F(a) , és

Vigyük át az F(a)-t az utolsó egyenlőségben a bal oldalra, jelöljük újra az integrációs változót x-re, és kapjuk meg a Newton-Leibniz képletet:

Tétel. Ha a funkció f(x) integrálható a [ a, b], ahol a< b , és mindenkinek x ∈ az egyenlőtlenséget

A tételből származó egyenlőtlenségek felhasználásával meg lehet becsülni a határozott integrált, azaz. jelölje meg azokat a határokat, amelyek közé a jelentése bezárul. Ezek az egyenlőtlenségek egy meghatározott integrál becslését fejezik ki.

Tétel [átlagérték tétel]. Ha a funkció f(x) integrálható a [ a, b] és mindenkinek x ∈ az egyenlőtlenségeket m ≤ f(x) ≤ M, akkor

ahol m ≤ μ ≤ M.

Megjegyzés. Abban az esetben, ha a függvény f(x) folyamatos a szakaszon [ a, b], a tételből származó egyenlőség alakot ölt

ahol c ∈. Szám μ=f(c) e képlettel meghatározott ún átlagos funkciókat f(x) a szegmensen [ a, b]. Ez az egyenlőség a következőkkel rendelkezik geometriai jelentése: egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet egy folytonos vonal határol y=f(x) (f(x) ≤ 0) egyenlő egy ugyanolyan alappal rendelkező téglalap területével, amelynek magassága megegyezik ezen egyenes valamely pontjának ordinátájával.

Antiderivált léte folyamatos funkcióhoz

Először bemutatjuk a változó felső határú integrál fogalmát.

Legyen a függvény f(x) integrálható a [ a, b]. Akkor akármi is a szám x tól től [ a, b], függvény f(x) integrálható a [ a, b]. Ezért az intervallumon [ a, b] függvény definiálva

amelyet változó felső határú integrálnak nevezünk.

Tétel. Ha az integrandus folytonos a [ a, b], akkor létezik egy változó felső határú határozott integrál deriváltja, és egyenlő az ehhez a határértékhez tartozó integrandus értékével, azaz.

Következmény. A változó felső határú határozott integrál a folytonos integrandus egyik antideriváltja. Más szóval, minden függvénynek, amely egy intervallumon folytonos, létezik egy antiderivált.

Megjegyzés 1. Vegye figyelembe, hogy ha a függvény f(x) integrálható a [ a, b], akkor a változó felső határú integrál ezen az intervallumon a felső határ folytonos függvénye. Valóban, a St. 2-ből és az átlagérték tételből

2. megjegyzés. A változó felső integrációs határú integrált számos új függvény definíciójában használjuk, pl. . Ezek a funkciók nem elemiek; mint már említettük, a jelzett integrandusok antideriváltjai nem fejezhetők ki elemi függvényekkel.

Alapvető integrációs szabályok

Newton-Leibniz képlet

Mivel bármely két antiderivatív funkció f(x) konstanssal különböznek, akkor az előző tétel szerint vitatható, hogy bármely antiderivált Φ(x) folyamatos a szakaszon [ a, b] funkciókat f(x) van formája

ahol C valami állandó.

Beletéve ezt a képletet x=aés x=b, St.1 határozott integrálokat használva azt találjuk

Ezekből az egyenlőségekből következik az összefüggés

amelyet úgy hívnak Newton-Leibniz képlet.

Ezzel bebizonyítottuk a következő tételt:

Tétel. A folytonos függvény határozott integrálja megegyezik bármely antiderivált értékének különbségével a felső és alsó integrációs határértékek között.

A Newton-Leibniz képlet átírható így

Változó változása egy meghatározott integrálban

Tétel. Ha egy

• funkció f(x) folyamatos a szakaszon [ a, b];
• vonalszakasz [ a, b] a függvényértékek halmaza φ(t) a szegmensen meghatározott α ≤ t ≤ βés folytonos derivált van rajta;
• φ(α)=a, φ(β)=b

akkor a képlet érvényes

Integrálás alkatrész képlet szerint

Tétel. Ha funkciókat u=u(x), v=v(x) folytonos deriváltjai vannak a [ a, b], majd a képlet

Alkalmazott érték középérték tételek abban rejlik, hogy minőségi becslést kaphatunk egy bizonyos integrál értékéről annak kiszámítása nélkül. megfogalmazzuk : ha a függvény folytonos az intervallumon, akkor ezen az intervallumon belül van egy olyan pont, hogy .

Ez a képlet nagyon alkalmas egy összetett vagy nehézkes függvény integráljának durva becslésére. Az egyetlen pillanat, ami a képletet alkotja hozzávetőleges , szükségszerű önkiválasztás pontok . Ha a legegyszerűbb utat választjuk - az integrációs intervallum közepét (ahogyan számos tankönyv javasolja), akkor a hiba meglehetősen jelentős lehet. A pontosabb eredményekért ajánlani végezze el a számítást a következő sorrendben:

Szerkesszünk függvénygráfot a ;

Rajzolja meg a téglalap felső határát úgy, hogy a függvény grafikonjának levágott részei nagyjából egyenlő területű (a fenti ábrán pontosan így látható - két görbe háromszög majdnem egyforma);

Határozza meg az ábrából ;

Használja az átlagérték tételt.

Példaként számítsunk ki egy egyszerű integrált:

Pontos érték ;

Az intervallum közepére hozzávetőleges értéket is kapunk, pl. egyértelműen pontatlan eredmény;

A téglalap felső oldalának megrajzolásával az ajánlásoknak megfelelően grafikont készítve megkapjuk a , honnan és a hozzávetőleges értékét. Egészen kielégítő eredmény, a hiba 0,75%.

Trapéz alakú képlet

Az átlagérték tételt használó számítások pontossága alapvetően attól függ, amint látható volt vizuális célja pontdiagram. Valóban, ha ugyanabban a példában a vagy pontokat választja, megkaphatja az integrál más értékeit is, és a hiba növekedhet. A szubjektív tényezők, a grafikon léptéke és a rajzolás minősége nagyban befolyásolja az eredményt. azt elfogadhatatlanul kritikus számításoknál, így az átlagtétel csak a gyorsra vonatkozik minőség integrál becslések.

Ebben a részben megvizsgáljuk a közelítő integráció egyik legnépszerűbb módszerét - trapéz képlet . A képlet megalkotásának alapötlete abból a tényből származik, hogy a görbe megközelítőleg szaggatott vonallal helyettesíthető, amint az az ábrán látható.

Tegyük fel a határozottság kedvéért (és az ábrának megfelelően), hogy az integrációs intervallum fel van osztva egyenlő (ez opcionális, de nagyon kényelmes) alkatrészeket. Ezen részek hosszát a képlet számítja ki és hívja lépés . A felosztási pontok abszcisszáját, ha , a képlet határozza meg, ahol . Az ismert abszcisszákból könnyen kiszámítható ordináták. Ily módon

Ez az eset trapézképlete. Vegye figyelembe, hogy a zárójelben lévő első tag a kezdő és a végső ordináták fele összege, amelyhez hozzáadódik az összes köztes ordináta. Az integrációs intervallum tetszőleges számú partíciójához trapézok általános képlete úgy néz ki, mint a: kvadratúra képletek: téglalapok, simpson, gauss stb. Ugyanazon az elgondoláson alapulnak, hogy egy görbe vonalú trapézt különféle formájú elemi területeken ábrázolnak, ezért a trapézképlet elsajátítása után nem lesz nehéz megérteni a hasonló képleteket. Sok képlet nem olyan egyszerű, mint a trapézképlet, de lehetővé teszik, hogy kis számú partícióval nagy pontosságú eredményt kapjon.

A trapézképlet (vagy hasonlók) segítségével a gyakorlatban megkívánt pontossággal kiszámítható mind a "nem vevő" integrálok, mind az összetett vagy nehézkes függvények integráljai.

Határozott integrál. Megoldási példák

Szia ismét. Ebben a leckében egy olyan csodálatos dolgot fogunk részletesen elemezni, mint a határozott integrál. A bemutatkozás ezúttal rövid lesz. Minden. Mert hóvihar az ablakon kívül.

Ahhoz, hogy megtanuljon bizonyos integrálokat megoldani, a következőket kell tennie:

1) képes legyen megtalálja határozatlan integrálok.

2) képes legyen kiszámítja határozott integrál.

Amint látja, a határozott integrál elsajátításához elég jól ismernie kell a "közönséges" határozatlan integrálokat. Ezért, ha most kezd belemerülni az integrálszámításba, és a vízforraló még egyáltalán nem forrt fel, akkor jobb a leckével kezdeni Határozatlan integrál. Megoldási példák.

Általában a határozott integrált így írjuk:

Mi adódott hozzá a határozatlan integrálhoz képest? tette hozzá integrációs korlátok.

Az integráció alsó határa
Az integráció felső határa szabványos betűvel jelölve.
A szegmenst ún integráció szegmense.

Mielőtt a gyakorlati példákra térnénk, egy kis gyakori kérdés a határozott integrálról.

Mit jelent egy határozott integrál megoldása? Határozott integrál megoldása egy szám megtalálását jelenti.

Hogyan lehet megoldani egy határozott integrált? Az iskolából ismert Newton-Leibniz formula segítségével:

Jobb, ha a képletet átírod egy külön papírra, a szemed előtt kell lennie a leckében.

A határozott integrál megoldásának lépései a következők:

1) Először megtaláljuk az antiderivatív függvényt (határozatlan integrál). Vegye figyelembe, hogy a határozott integrálban lévő állandó nincs hozzá. A megjelölés tisztán technikai jellegű, a függőleges pálca nem hordoz matematikai jelentést, valójában csak áthúzás. Miért van szükség a rekordra? Felkészülés a Newton-Leibniz formula alkalmazására.

2) Az antiderivatív függvényben behelyettesítjük a felső határ értékét: .

3) Az alsó határ értékét behelyettesítjük az antiderivatív függvénybe: .

4) Kiszámoljuk (hibák nélkül!) a különbséget, vagyis megkeressük a számot.

Mindig létezik határozott integrál? Nem mindig.

Például az integrál nem létezik, mert az integrációs intervallum nem szerepel az integrandus tartományában (a négyzetgyök alatti értékek nem lehetnek negatívak). Íme egy kevésbé nyilvánvaló példa: . Ilyen integrál szintén nem létezik, mivel a szakasz pontjaiban nincs érintő. Egyébként aki még nem olvasta a módszertani anyagot Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai- Itt az ideje, hogy megtegye. Nagyszerű segítség lesz a felsőbb matematika során.

Mert ahhoz, hogy a határozott integrál egyáltalán létezzen, elegendő, ha az integrandus folytonos az integráció intervallumán.

A fentiekből következik az első fontos javaslat: mielőtt BÁRMELY határozott integrál megoldásával folytatnánk, meg kell győződni arról, hogy az integrand folyamatos az integrációs intervallumon. Diákként többször is volt olyan esetem, amikor sokáig szenvedtem egy nehéz primitív megtalálásával, és amikor végre megtaláltam, még egy kérdés előtt elgondolkodtam: „miféle hülyeség lett belőle?”. Egyszerűsített változatban a helyzet valahogy így néz ki:

???! A gyökér alatt negatív számokat nem lehet helyettesíteni! Mi a fene?! kezdeti figyelmetlenség.

Ha egy megoldáshoz (tesztben, tesztben, vizsgán) egy nem létező integrált ajánlanak, mint például , akkor azt a választ kell adni, hogy az integrál nem létezik, és meg kell indokolnia, hogy miért.

Egyenlő lehet-e a határozott integrál negatív számmal? Talán. És egy negatív szám. És nulla. Még az is lehet, hogy a végtelenség, de máris az lesz helytelen integrál, amely külön előadást tart.

Lehet-e nagyobb az integráció alsó határa, mint az integráció felső határa? Valószínűleg a gyakorlatban is előfordul ilyen helyzet.

- az integrált nyugodtan kiszámítjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével.

Mi nélkül nem megy a felsőbb matematika? Természetesen mindenféle tulajdonság nélkül. Ezért figyelembe vesszük a határozott integrál néhány tulajdonságát.

Határozott integrálban az előjel megváltoztatása mellett átrendezheti a felső és alsó határt:

Például egy határozott integrálnál az integráció előtt célszerű az integráció határait a „szokásos” sorrendre módosítani:

- ebben a formában sokkal kényelmesebb az integráció.

- ez nem csak kettőre igaz, hanem tetszőleges számú funkcióra is.

Határozott integrálban végrehajtható integrációs változó változása, azonban a határozatlan integrálhoz képest ennek megvannak a maga sajátosságai, amelyekről később még szó lesz.

Egy határozott integrálhoz, részenkénti integráció képlete:

1. példa

Megoldás:

(1) Az integráljelből kivesszük a konstanst.

(2) A legnépszerűbb képlet segítségével integráljuk a táblázatot . A megjelenő állandót célszerű elkülöníteni a zárójelből és kitenni. Nem szükséges ezt megtenni, de kívánatos - miért kell extra számításokat végezni?

. Először a felső, majd az alsó határban helyettesítjük. További számításokat végzünk, és megkapjuk a végső választ.

2. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

Ez egy példa az önálló megoldásra, megoldásra és válaszadásra a lecke végén.

Nehezítsük meg egy kicsit:

3. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

Megoldás:

(1) A határozott integrál linearitási tulajdonságait használjuk.

(2) A táblázat fölött integrálunk, miközben az összes állandót kivesszük - ezek nem vesznek részt a felső és alsó határok helyettesítésében.

(3) Mindhárom kifejezésre a Newton-Leibniz képletet alkalmazzuk:

A GYENGE LINK egy határozott integrálban a számítási hibák és egy gyakori JELZEVÁS. Légy óvatos! A harmadik kifejezésre koncentrálok: - a figyelmetlenségből fakadó hibák slágerparádéjában az első hely, nagyon sokszor automatikusan írnak (különösen, ha a felső és alsó határok helyettesítése szóban történik, és nincs aláírva ilyen részletesen). Még egyszer figyelmesen tanulmányozza a fenti példát.

Megjegyzendő, hogy a határozott integrál megoldásának megfontolt módja nem az egyetlen. Némi tapasztalat birtokában a megoldás jelentősen csökkenthető. Én magam például ilyen integrálokat szoktam megoldani:

Itt szóban a linearitás szabályait alkalmaztam, szóban a táblázat fölé integrálva. Végül csak egy zárójelet kaptam a felvázolt határokkal: (szemben az első módszer három zárójelével). És az "egész" antiderivatív funkcióban először 4-et cseréltem, majd -2-t, és ismét minden műveletet végrehajtottam a fejemben.

Melyek a rövid megoldási módszer hátrányai? Itt minden nem túl jó a számítások racionalitása szempontjából, de személy szerint nem érdekel - a közönséges törteket számolom a számológépen.
Ráadásul a számításoknál megnövekszik a tévedés veszélye, ezért jobb, ha egy diák-baba az első módszert használja, az „én” megoldási módszerrel a jel biztosan elveszik valahol.

A második módszer kétségtelen előnye azonban a megoldás gyorsasága, a jelölés tömörsége, valamint az, hogy az antiderivált egy zárójelben van.

Tipp: a Newton-Leibniz képlet használata előtt célszerű ellenőrizni: helyesen találták-e meg magát az antiderivátumot?

Tehát a vizsgált példával kapcsolatban: mielőtt a felső és alsó határt behelyettesítjük az antiderivatív függvénybe, célszerű egy piszkozaton ellenőrizni, hogy a határozatlan integrált egyáltalán helyesen találtuk-e meg? Megkülönböztetni:

Az eredeti integrált megkaptuk, ami azt jelenti, hogy a határozatlan integrált helyesen találtuk meg. Most már alkalmazhatja a Newton-Leibniz képletet.

Egy ilyen ellenőrzés nem lesz felesleges bármely határozott integrál kiszámításakor.

4. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

Ez egy példa az önmegoldásra. Próbálja meg röviden és részletesen megoldani.

Változó változása egy meghatározott integrálban

A határozott integrálra minden típusú helyettesítés érvényes, akárcsak a határozatlan integrálra. Ezért, ha nem vagy túl jó a helyettesítésekben, figyelmesen olvassa el a leckét. Cseremódszer határozatlan integrálban.

Ebben a bekezdésben nincs semmi ijesztő vagy bonyolult. Az újdonság a kérdésben rejlik hogyan lehet megváltoztatni az integráció határait csere során.

A példákban megpróbálok olyan típusú cseréket adni, amilyeneket még sehol nem láttak az oldalon.

5. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

A fő kérdés itt egyáltalán nem egy határozott integrálban van, hanem az, hogyan kell helyesen végrehajtani a cserét. Benézünk integrált táblázatés kitaláljuk, hogyan is néz ki az integránsunk? Nyilvánvalóan a hosszú logaritmuson: . De van egy következetlenség, a gyökér alatti táblázatos integrálban, a miénkben pedig az "x" a negyedik fokig. A csere gondolata az érvelésből következik - jó lenne a negyedik erőnket valahogy négyzetté alakítani. Ez valódi.

Először előkészítjük az integrálunkat a cserére:

A fenti megfontolások alapján a csere természetesen önmagát sugallja:
Így minden rendben lesz a nevezőben: .
Megtudjuk, mivé válik az integrandus többi része, ehhez megtaláljuk a differenciált:

A határozatlan integrálban történő cseréhez képest egy további lépést adunk hozzá.

Az integráció új korlátainak megtalálása.

Elég egyszerű. Megvizsgáljuk cserénket és az integráció régi korlátait, .

Először behelyettesítjük az integráció alsó határát, azaz a nullát a helyettesítő kifejezésbe:

Ezután behelyettesítjük a helyettesítő kifejezésbe az integráció felső határát, vagyis a három gyökét:

Kész. És csak valami…

Folytassuk a megoldással.

(1) Csere szerint írjon új integrált új integrációs korlátokkal.

(2) Ez a legegyszerűbb táblaintegrál, a táblázaton keresztül integráljuk. Jobb, ha az állandót a zárójeleken kívül hagyja (ezt nem teheti meg), hogy ne zavarja a további számításokat. A jobb oldalon egy vonalat húzunk, amely az integráció új határait jelzi - ez a Newton-Leibniz képlet alkalmazásának előkészítése.

(3) A Newton-Leibniz képletet használjuk .

Arra törekszünk, hogy a választ minél tömörebb formában írjuk meg, itt a logaritmus tulajdonságait használtam.

Egy másik különbség a határozatlan integrálhoz képest az, hogy miután elvégeztük a helyettesítést, nincs szükség cserére.

És most néhány példa egy független megoldásra. Milyen cseréket kell végrehajtani - próbálja kitalálni egyedül.

6. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

7. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

Ezek önsegítő példák. Megoldások és válaszok az óra végén.

A bekezdés végén pedig egy-két fontos pont, melyek elemzése az oldal látogatóinak köszönhetően megjelent. Az első érinti a csere jogossága. Bizonyos esetekben ezt nem lehet megtenni! Tehát úgy tűnik, hogy a 6. példa megoldható univerzális trigonometrikus helyettesítés, hanem az integráció felső határa ("pi") nem szerepel benne tartomány ez az érintő és ezért ez a helyettesítés illegális! Ily módon a „csere” funkciónak folyamatosnak kell lennie mindenben az integrációs szegmens pontjai.

Egy másik e-mailben a következő kérdés érkezett: „Meg kell-e változtatni az integráció határait, ha a függvényt differenciáljel alá hozzuk?”. Először szerettem volna „vállat vonni a hülyeségeket”, és automatikusan azt válaszolni, hogy „természetesen nem”, de aztán elgondolkodtam egy ilyen kérdés okán, és hirtelen rájöttem, hogy az információ hiányzik. De ez, bár nyilvánvaló, de nagyon fontos:

Ha a függvényt a differenciál jele alá visszük, akkor az integráció határain nem kell változtatni! Miért? Mert ebben az esetben nincs tényleges átállás új változóra. Például:

És itt az összegzés sokkal kényelmesebb, mint az akadémiai helyettesítés az integráció új korlátainak későbbi „megfestésével”. Ily módon ha a határozott integrál nem túl bonyolult, akkor mindig próbáljuk a függvényt a differenciál jele alá vinni! Gyorsabb, kompaktabb és elterjedt – mint azt tucatszor látni fogod!

Nagyon szépen köszönöm leveleiteket!

A részek szerinti integrálás módja egy határozott integrálban

Itt még kevesebb az újdonság. A cikk összes bejegyzése Integrálás részenként a határozatlan integrálban határozott integrálra is teljes mértékben érvényesek.
Ráadásul csak egy részlet van, az alkatrészek szerinti integráció képletében az integráció korlátai hozzáadódnak:

Itt kétszer kell alkalmazni a Newton-Leibniz formulát: a szorzatra, és miután az integrált vesszük.

Például ismét az integrál típusát választottam, ami még nem volt sehol az oldalon. A példa nem a legegyszerűbb, de nagyon-nagyon informatív.

8. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

Mi döntünk.

Integrálás részenként:

Akinek nehézségei voltak az integrállal, nézze meg a leckét Trigonometrikus függvények integráljai, ahol részletesen tárgyalják.

(1) A megoldást a részenkénti integrálás képlete szerint írjuk fel.

(2) A termékhez a Newton-Leibniz képletet használjuk. A maradék integrálhoz a linearitás tulajdonságait használjuk, két integrálra osztva. Ne tévesszen meg a jelek miatt!

(4) A két talált antideriváltra a Newton-Leibniz formulát alkalmazzuk.

Őszintén szólva nem szeretem a formulát és ha lehet, ... nélkülözze egyáltalán! Tekintsük a második megoldási módot, az én szempontomból ez racionálisabb.

Számítsunk ki egy határozott integrált!

Első lépésben megkeresem a határozatlan integrált:

Integrálás részenként:

Antiderivatív funkciót találtak. Ebben az esetben nincs értelme állandót hozzáadni.

Mi az előnye egy ilyen utazásnak? Nem kell „húzni” az integráció határait, sőt, tucatszor is meg lehet gyötörni az integráció határainak kis ikonjait.

A második lépésben ellenőrzöm(általában tervezetben).

Ez logikus is. Ha rosszul találtam meg az antiderivatív függvényt, akkor a határozott integrált is rosszul fogom megoldani. Jobb, ha azonnal megtudja, megkülönbözteti a választ:

Az eredeti integrandumot megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az antiderivatív függvényt helyesen találtuk meg.

A harmadik szakasz a Newton-Leibniz formula alkalmazása:

És itt van egy jelentős előny! Az „én” megoldási módban sokkal kisebb a kockázata annak, hogy a helyettesítésekben és a számításokban összezavarodok – a Newton-Leibniz képletet csak egyszer alkalmazzuk. Ha a vízforraló a képlet segítségével old meg egy hasonló integrált (az első út), akkor a stopudovo valahol hibát követ el.

A vizsgált megoldási algoritmus bármely határozott integrálra alkalmazható.

Kedves diák, nyomtasd ki és mentsd el:

Mi a teendő, ha bonyolultnak tűnő határozott integrált adunk, vagy nem egyértelmű a megoldása?

1) Először megtaláljuk a határozatlan integrált (antiderivatív függvény). Ha az első szakaszban zűrzavar volt, értelmetlen Newtonnal és Leibnizzel ringatni a hajót. Csak egy mód van - növelni tudását és készségeit a megoldásban határozatlan integrálok.

2) Differenciálással ellenőrizzük a talált antiderivatív függvényt. Ha helytelenül találja meg, a harmadik lépés időpocsékolás lesz.

3) A Newton-Leibniz képletet használjuk. Minden számítást RENDKÍVÜL ÓVATOSAN végzünk - itt van a feladat leggyengébb láncszeme.

Uzsonnaként pedig a független megoldás szerves része.

9. példa

Számítsunk ki egy határozott integrált!

A megoldás és a válasz valahol a közelben van.

A következő ajánlott oktatóanyag a témában a − Hogyan számítsuk ki egy ábra területét a határozott integrál segítségével?
Integrálás részenként:

Biztosan megoldottad őket, és ilyen válaszokat kaptál? ;-) És pornó van az öregasszonyról.

Trapéz módszer

Fő cikk:Trapéz módszer

Ha az egyes részszakaszokon a függvényt a végső értékeken átmenő egyenessel közelítjük, akkor a trapéz módszert kapjuk.

A trapéz területe minden szakaszon:

Közelítő hiba minden szegmensben:

ahol

A trapézok teljes képlete abban az esetben, ha a teljes integrációs intervallumot azonos hosszúságú szegmensekre osztják:

ahol

Trapézforma hiba:

ahol

Simpson módszer.

Integrand f(x) helyébe egy másodfokú interpolációs polinom kerül P(x)– például három csomóponton áthaladó parabola, amint az az ábrán látható ((1) függvény, (2) polinom).

Vegye figyelembe az integráció két lépését ( h= const = x i+1 – x i), azaz három csomópont x0, x1, x2, amelyen keresztül a Newton-egyenlet segítségével parabolát rajzolunk:

Hadd z = x - x0,
akkor

Most a kapott összefüggés segítségével kiszámítjuk az integrált ezen az intervallumon:

.
Mert egységes rácsés páros számú lépés n Simpson képlete a következő:

Itt , a feltéve, hogy az integrandus negyedik deriváltja folytonos.

[szerkesztés] Pontosság növelése

Egy függvénynek egy polinommal való közelítése a teljes integrációs intervallumban általában nagy hibához vezet az integrál értékének becslésében.

A hiba csökkentése érdekében az integrációs szegmenst részekre osztjuk, és egy numerikus módszerrel értékeljük ki az integrált mindegyiken.

Mivel a partíciók száma a végtelenbe hajlik, az integrál becslése minden numerikus módszernél az analitikai függvények valós értékéhez igazodik.

A fenti módszerek lehetővé teszik a lépés felezésének egyszerű eljárását, míg minden lépésnél csak az újonnan hozzáadott csomópontoknál kell a függvényértékeket kiszámítani. A Runge szabály a számítási hiba becslésére szolgál.

Runge-szabály alkalmazása

szerkesztés] Határozott integrál számításának pontosságának becslése

Az integrál kiszámítása a választott képlettel (téglalapok, trapézok, Simpson-parabolák) n lépésszámmal, majd 2n lépésszámmal történik. A 2n lépésszámú integrál értékének kiszámításának hibáját a Runge-képlet határozza meg:
, a téglalapok és trapézok képleteire, valamint a Simpson-képletre.
Így az integrált a lépések számának egymást követő értékeire számítjuk ki, ahol n 0 a lépések kezdeti száma. A számítási folyamat akkor ér véget, amikor a következő N érték teljesíti a feltételt, ahol ε a megadott pontosság.

A hiba viselkedésének jellemzői.

Úgy tűnik, minek elemezni a különböző integrációs módszereket, ha az integrációs lépés értékének egyszerű csökkentésével nagy pontosságot érhetünk el. Tekintsük azonban az a posteriori hiba viselkedésének grafikonját R numerikus számítás eredményei attól függően és a számból n intervallum partíciók (azaz a lépésnél. Az (1) szakaszban a hiba csökken a h lépés csökkenése miatt. A (2) szakaszban azonban a számítási hiba kezd dominálni, amely számos aritmetikai művelet eredményeként halmozódik fel. Így , minden módszernek megvan a sajátja Rmin, ami sok tényezőtől, de elsősorban a módszer hibájának a priori értékétől függ R.

Romberg finomítási képlete.

A Romberg-módszer az integrál értékének egymást követő finomításából áll, a partíciók számának többszörös növelésével. Az egységes lépcsős trapézok képlete vehető alapul h.
Jelölje az integrált a partíciók számával n= 1 as .
A lépést felére csökkentve azt kapjuk .
Ha a lépést egymás után 2 n-szeresre csökkentjük, akkor rekurzív relációt kapunk a kiszámításához.

Előző cikk: Ha a szorzatot elosztjuk az egyik tényezővel, akkor egy másik tényezőt kapunk Következő cikk: Az üdvözlés alapvető formái (Nihao fordítása)