Azonos számsorok. Hogyan épül fel a számsorozat? Példák véges számhoz konvergáló sorozatokra

A numerikus sorozat definíciója adott. Példákat veszünk a végtelenül növekvő, konvergens és divergens sorozatokra. Az összes racionális számot tartalmazó sorozatot tekintjük.

Meghatározás .
Numerikus sorozat (xn) törvény (szabály), amely szerint minden természetes számra n = 1, 2, 3, . . . egy bizonyos x n szám van hozzárendelve.
Az x n elemet nevezzük n-edik tag vagy egy sorozat eleme.

A sorozatot az n-edik tagként jelöljük, kapcsos kapcsos zárójelek között: . A következő megnevezések is lehetségesek: . Kifejezetten jelzik, hogy az n index a halmazhoz tartozik természetes számokés magának a sorozatnak is van végtelen szám tagjai. Íme néhány példa sorozat:
, , .

Más szavakkal, a számsorozat olyan függvény, amelynek definíciós tartománya a természetes számok halmaza. A sorozat elemeinek száma végtelen. Az elemek között lehetnek azonos jelentésű tagok is. A sorozatot úgy is tekinthetjük, mint egy számozott számhalmazt, amely végtelen számú tagból áll.

Minket elsősorban az a kérdés fog érdekelni, hogy hogyan viselkednek a sorozatok, amikor n a végtelenbe hajlik: . Ezt az anyagot a Sorozat határértéke - alapvető tételek és tulajdonságok című részben mutatjuk be. Itt megnézünk néhány példát a sorozatokra.

Példák sorozatra

Példák végtelenül növekvő sorozatokra

Fontolja meg a sorrendet. Ennek a sorozatnak a közös tagja. Jegyezzük fel az első néhány kifejezést:
.
Látható, hogy az n szám növekedésével az elemek korlátlanul növekednek felé pozitív értékeket. Azt mondhatjuk, hogy ez a sorozat hajlamos: for .

Most vegyünk egy sorozatot egy közös kifejezéssel. Íme az első néhány tagja:
.
Az n szám növekedésével ennek a sorozatnak az elemei korlátlanul növekednek abszolút érték, de nincs állandó jel. Vagyis ez a sorozat hajlamos: at .

Példák véges számhoz konvergáló sorozatokra

Fontolja meg a sorrendet. Közös tagja. Az első kifejezések formája a következő:
.
Látható, hogy az n szám növekedésével ennek a sorozatnak az elemei megközelítik a határértéküket a = 0 : nál nél . Tehát minden következő tag közelebb van a nullához, mint az előző. Bizonyos értelemben úgy tekinthetjük, hogy az a számnak van hozzávetőleges értéke = 0 hibával. Jól látható, hogy n növekedésével ez a hiba nullára hajlik, vagyis az n kiválasztásával a hiba tetszőlegesen kicsinyíthető. Sőt, bármely adott hibához ε > 0 megadhat egy N számot úgy, hogy minden N:-nél nagyobb számú elemnél a szám eltérése az a határértéktől ne haladja meg az ε: hibát.

Ezután fontolja meg a sorrendet. Közös tagja. Íme néhány első tagja:
.
Ebben a sorozatban a páros számokkal rendelkező tagok nullával egyenlőek. A páratlan n-nel rendelkező tagok egyenlőek. Ezért, ahogy n növekszik, értékük megközelíti az a határértéket = 0 . Ez abból is következik, hogy
.
Az előző példához hasonlóan itt is megadhatunk tetszőlegesen kis ε hibát > 0 , amelyre meg lehet találni olyan N számot, hogy az N-nél nagyobb számú elemek eltérnek az a határértéktől = 0 a megadott hibát meg nem haladó összeggel. Ezért ez a sorozat az a értékhez konvergál = 0 : nál nél .

Példák divergens sorozatokra

Tekintsünk egy sorozatot a következő gyakori kifejezéssel:

Íme az első tagjai:


.
Látható, hogy a páros számokkal rendelkező kifejezések:
,
konvergál az a értékhez 1 = 0 . Páratlan számú tagok:
,
konvergál az a értékhez 2 = 2 . Maga a sorozat, ahogy n növekszik, nem konvergál semmilyen értékhez.

Sorozat a (0;1) intervallumban elosztott kifejezésekkel

Most nézzünk egy érdekesebb sorozatot. Vegyünk egy szakaszt a számegyenesen. Osszuk ketté. Két szegmenst kapunk. Hadd
.
Osszuk el újra az egyes szakaszokat. Négy szegmenst kapunk. Hadd
.
Osszuk újra az egyes szakaszokat felére. Vessünk


.
Stb.

Ennek eredményeként olyan sorozatot kapunk, amelynek elemei egy nyitott intervallumban oszlanak el (0; 1) . Bármilyen pontot is vegyünk ki a zárt intervallumból , mindig megtalálhatjuk a sorozat tagjait, amelyek tetszőlegesen közel állnak ehhez a ponthoz, vagy egybeesnek vele.

Ezután az eredeti sorozatból kiválaszthatunk egy olyan részsorozatot, amely az intervallum egy tetszőleges pontjához fog konvergálni . Vagyis az n szám növekedésével a részsorozat tagjai egyre közelebb kerülnek az előre kiválasztott ponthoz.

Például az a ponthoz = 0 a következő alsorozatot választhatja:
.
= 0 .

Az a) ponthoz = 1 Válasszuk ki a következő alsorozatot:
.
Ennek a részsorozatnak a feltételei az a értékhez konvergálnak = 1 .

Mivel vannak olyan részszekvenciák, amelyekhez konvergálnak különböző jelentések, akkor maga az eredeti sorozat nem konvergál egyetlen számhoz sem.

Az összes racionális számot tartalmazó sorozat

Most készítsünk egy sorozatot, amely az összes racionális számot tartalmazza. Ráadásul minden racionális szám végtelen számú alkalommal fog megjelenni egy ilyen sorozatban.

Egy r racionális szám ábrázolható a következő űrlapot:
,
ahol egy egész szám; - természetes.
Minden n természetes számot p és q számpárhoz kell társítanunk, hogy a sorozatunkban bármely p és q pár szerepeljen.

Ehhez rajzoljuk a p és q tengelyt a síkra. P és q egész értékein keresztül rácsvonalakat rajzolunk. Ekkor ennek a rácsnak minden csomópontja megfelelni fog racionális szám. A racionális számok teljes halmazát csomópontok halmaza fogja képviselni. Meg kell találnunk a módot az összes csomópont számozására, hogy egyetlen csomópontot se hagyjunk ki. Ez könnyen megtehető, ha a csomópontokat négyzetekkel számozza meg, amelyek középpontja a pontban található (0; 0) (Lásd a képen). Ebben az esetben a négyzetek alsó részei q-val < 1 nincs rá szükségünk. Ezért az ábrán nem láthatók.

Tehát az első négyzet felső oldala:
.
Ezután számozzuk felső rész a következő négyzet:

.
Számozzuk meg a következő négyzet felső részét:

.
Stb.

Ily módon az összes racionális számot tartalmazó sorozatot kapunk. Észreveheti, hogy ebben a sorozatban bármely racionális szám végtelen számú alkalommal szerepel. Valójában a csomóponttal együtt ez a sorozat a csomópontokat is tartalmazza, ahol egy természetes szám. De mindezek a csomópontok ugyanannak a racionális számnak felelnek meg.

Ezután az általunk megszerkesztett sorozatból kiválaszthatunk egy (végtelen számú elemű) részsorozatot, amelynek minden eleme egyenlő egy előre meghatározott racionális számmal. Mivel az általunk felépített sorozatnak vannak olyan részsorozatai, amelyek különböző számokhoz konvergálnak, a sorozat nem konvergál egyetlen számhoz sem.

Következtetés

Itt adtuk meg a számsorozat pontos definícióját. Felvetettük a konvergenciájának kérdését is, intuitív elképzelések alapján. Pontos meghatározás a konvergenciáról a Sorozat határának meghatározása oldalon van szó. A kapcsolódó tulajdonságok és tételek az oldalon találhatók

Az n (n=1; 2; 3; 4;...) természetes argumentum a n =f (n) függvényét számsorozatnak nevezzük.

Számok a 1; a 2; a 3; a sorozatot alkotó 4 ;… egy numerikus sorozat tagjainak nevezzük. Tehát a 1 =f (1); a2=f(2); a 3 = f(3); a 4 =f(4);…

Tehát a sorozat tagjait indexeket jelző betűk jelölik - sorozatszámok tagjaik: a 1 ; a 2; a 3; a 4 ;… tehát a 1 a sorozat első tagja;

a 2 a sorozat második tagja;

a 3 a sorozat harmadik tagja;

a 4 a sorozat negyedik tagja stb.

Röviden a numerikus sorozatot a következőképpen írjuk fel: a n =f (n) vagy (a n).

Létezik következő módszereket számsor hozzárendelések:

1) Verbális módszer. A sorozat tagjainak szavakkal leírt mintáját vagy szabályát képviseli.

1. példa Írj egy sorozatot az összesről nem negatív számok, 5 többszörösei.

Megoldás. Mivel minden 0-ra vagy 5-re végződő szám osztható 5-tel, a sorozat a következőképpen lesz felírva:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

2. példa Adott a sorrend: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Kérdezd meg szóban.

Megoldás. Észrevesszük, hogy 1=1 2 ; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; ... Következtetés: adott egy természetes számok négyzeteiből álló sorozat.

2) Analitikai módszer. A sorozatot az n-edik tag képlete adja meg: a n =f (n). Ezzel a képlettel a sorozat bármely tagját megtalálhatja.

3. példa Egy számsorozat k-edik tagjának kifejezése ismert: a k = 3+2·(k+1). Számítsa ki ennek a sorozatnak az első négy tagját!

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

4. példa Határozza meg a numerikus sorozat összeállításának szabályát az első néhány tag felhasználásával, és fejezze ki a sorozat általános tagját egy egyszerűbb képlettel: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Megoldás. Észrevesszük, hogy páratlan számsorozatot kapunk. Bármi páratlan szám formában írható fel: 2k-1, ahol k természetes szám, azaz. k=1; 2; 3; 4; ... . Válasz: a k =2k-1.

3) Ismétlődő módszer. A sorozatot szintén egy képlet adja meg, de nem egy általános tagképlet, amely csak a tag számától függ. Meg van adva egy képlet, amellyel minden következő tag megtalálható az előző kifejezéseken keresztül. Egy függvény megadásának ismétlődő módszere esetén a sorozat egy vagy több első tagja mindig járulékosan kerül megadásra.

5. példa Írja ki a sorozat első négy tagját (a n ),

ha a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a2=5+a1=5+7=12;

a3=5+a2=5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Válasz: 7; 12; 17; 22; ... .

6. példa Írja ki a sorozat első öt tagját (b n),

ha b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n+b n+1.

b3 = 2∙b1 + b2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b4 = 2∙b2 + b3 = 2∙3 +(-1) = 6-1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Válasz: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Grafikus módszer. Számsorozat egy gráfot adunk meg, amely izolált pontokat ábrázol. Ezen pontok abszcisszái természetes számok: n=1; 2; 3; 4; ... . Az ordináták a sorozattagok értékei: a 1 ; a 2; a 3; a 4;….

7. példa Írja fel a grafikusan megadott numerikus sorozat mind az öt tagját.

Ennek minden pontja Koordináta sík koordinátái vannak (n; a n). Írjuk fel a megjelölt pontok koordinátáit az n abszcissza növekvő sorrendjében.

A következőt kapjuk: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Ezért a 1 = -3; a 2=1; a 3=4; a 4=6; a 5 =7.

Válasz: -3; 1; 4; 6; 7.

A függvénynek tekintett numerikus sorozat (a 7. példában) az első öt természetes szám halmazán van megadva (n=1; 2; 3; 4; 5), ezért véges számsorozat(öt tagból áll).

Ha a természetes számok teljes halmazán adott egy számsor mint függvény, akkor ilyen sorozat lesz végtelen számsorozat.

A számsort hívják növekvő, ha tagjai növekvőek (a n+1 >a n) és csökkenőek, ha tagjai csökkennek(a n+1

Növekvő vagy csökkenő számsorozatot nevezünk monoton.

Néha nem a teljes sorozatot veszik figyelembe, ami egy aritmetikai sorozat, hanem csak annak első néhány tagját. Ebben az esetben a döntőről beszélünk aritmetikai progresszió.

Az aritmetikai progressziónak három tulajdonsága van.

1. Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete:

a n = a 1 + d(n – 1)

2. Képletek egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegére:

a) S n = ((a 1 + a n)/2) ∙ n;

b) S n = ((2a 1 + d(n – 1))/2) ∙ n.

Itt S 1 = a 1, S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n.

3. Jellegzetes tulajdonság aritmetikai progresszió: a sorrend az számtani sorozat akkor és csak akkor, ha minden tagja, kivéve az elsőt (és az utolsót véges számtani sorozat esetén), egyenlő az előző és az azt követő tagok számtani átlagával:

a n = (a n -1 + a n +1) / 2.

Ha a sorozat (b n) első tagja nem nulla, és a másodiktól kezdve minden tag egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a nem nulla q számmal, akkor egy ilyen sorozatot geometriai progressziónak nevezünk. A q számot a progresszió nevezőjének nevezzük.

Így a geometriai progressziót a b n +1 = b n ∙ q egyenlőség adja . Például b 7 = b 6 ∙ q.

A 100, 30, 9, 27/10, ... sorozat egy geometriai progresszió, ahol b 1 = 100, q = 3/10.

A geometriai progressziót három tulajdonság jellemzi

1. Az n-edik tag képlete geometriai progresszió:

b n = b 1 ∙ q n -1.

2. Képletek egy geometriai folyamat első n tagjának összegére:

a) S n = (b n q – b 1) / (q – 1);

b) S n = (b 1 (q n – 1)) / (q – 1).

3. A geometriai progresszió jellemző tulajdonsága: a sorrend az geometriai sorrend akkor és csak akkor, ha minden tagja, kivéve az elsőt (és véges geometriai haladás esetén az utolsót), az előző és az azt követő tagokhoz kapcsolódik a következő képlettel:

b n 2 = b n -1 ∙ b n +1 .

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.