Shuma e logaritmeve me baza të ndryshme. Logaritmi natyror, ln x funksion

1.1. Përcaktimi i shkallës për një eksponent numër të plotë

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N herë

1.2. Shkallë zero.

Sipas përkufizimit, është zakon të supozohet se fuqia zero e çdo numri është e barabartë me 1:

1.3. shkallë negative.

X-N = 1/XN

1.4. Eksponent thyesor, rrënjë.

X 1/N = rrënja N-të e X.

Për shembull: X 1/2 = √X.

1.5. Formula për shtimin e fuqive.

X (N+M) = X N * X M

1.6 Formula për zbritjen e shkallëve.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Formula e shumëzimit të fuqisë.

XN*M = (XN)M

1.8. Formula për ngritjen e një thyese në një fuqi.

(X/Y)N = XN /YN

2. Numri e.

Vlera e numrit e është e barabartë me kufirin e mëposhtëm:

E = lim(1+1/N), si N → ∞.

Me një saktësi prej 17 shifrash, numri e është 2.71828182845904512.

3. Barazia e Euler-it.

Kjo barazi lidh pesë numra që luajnë një rol të veçantë në matematikë: 0, 1, numri e, numri pi, njësia imagjinare.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Funksioni eksponencial exp (x)

exp(x) = e x

5. Derivati ​​i funksionit eksponencial

Një funksion eksponencial ka një veti të jashtëzakonshme: derivati ​​i një funksioni është i barabartë me vetë funksionin eksponencial:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritmi.

6.1. Përkufizimi i funksionit të logaritmit

Nëse x = b y, atëherë logaritmi është funksioni

Y = Logb(x).

Logaritmi tregon se deri në çfarë shkalle është e nevojshme të ngrihet një numër - baza e logaritmit (b) për të marrë një numër të caktuar (X). Funksioni i logaritmit është përcaktuar për X më të madh se zero.

Për shembull: Regjistri 10 (100) = 2.

6.2. Logaritmi dhjetor

Ky është logaritmi për bazën 10:

Y = Regjistri 10 (x) .

Shënuar Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Një shembull i përdorimit të logaritmit dhjetor është decibel.

6.3. Decibel

Artikulli është theksuar në një faqe të veçantë Decibel

6.4. logaritmi binar

Ky është logaritmi bazë 2:

Y = Log2 (x).

Shënuar me Lg(x): Lg(x) = Regjistri 2 (X)

6.5. logaritmi natyror

Ky është logaritmi për bazën e:

Y = loge(x) .

Shënuar me Ln(x): Ln(x) = Regjistri e (X)
Logaritmi natyror është inversi i funksionit eksponencial exp(X).

6.6. pikat karakteristike

Loga (1) = 0
Regjistri a(a) = 1

6.7. Formula për logaritmin e produktit

Regjistro a (x*y) = Regjistro a (x)+ Regjistro a (y)

6.8. Formula për logaritmin e herësit

Regjistro a (x/y) = Regjistro a (x) - Regjistro a (y)

6.9. Formula e logaritmit të fuqisë

Regjistri a (x y) = y*Regjistrohu a (x)

6.10. Formula për konvertimin në një logaritëm me një bazë të ndryshme

Regjistri b (x) = (Regjistri a (x)) / Regjistri a (b)

Shembull:

Regjistri 2 (8) = Regjistri 10 (8) / Regjistri 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formula të dobishme në jetë

Shpesh ka probleme të konvertimit të vëllimit në sipërfaqe ose gjatësi, dhe problemi i kundërt është shndërrimi i zonës në vëllim. Për shembull, dërrasat shiten në kube (metra kub), dhe ne duhet të llogarisim se sa sipërfaqe muri mund të mbulohet me dërrasa të përfshira në një vëllim të caktuar, shikoni llogaritjen e dërrasave, sa dërrasa janë në një kub. Ose, dimensionet e murit dihen, është e nevojshme të llogaritet numri i tullave, shikoni llogaritjen e tullave.

Lejohet përdorimi i materialeve të faqes me kusht që të vendoset një lidhje aktive me burimin.

\(a^(b)=c\) \(\Shigjeta majtas\) \(\log_(a)(c)=b\)

Le ta shpjegojmë më lehtë. Për shembull, \(\log_(2)(8)\) është e barabartë me fuqinë që duhet të rritet \(2\) për të marrë \(8\). Nga kjo është e qartë se \(\log_(2)(8)=3\).

Shembuj:		\(\log_(5)(25)=2\)		sepse \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		sepse \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		sepse \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumenti dhe baza e logaritmit

Çdo logaritëm ka "anatominë" e mëposhtme:

Argumenti i logaritmit zakonisht shkruhet në nivelin e tij, dhe baza shkruhet në nënshkrim më afër shenjës së logaritmit. Dhe kjo hyrje lexohet kështu: "logaritmi i njëzet e pesë në bazën e pesë".

Si të llogarisni logaritmin?

Për të llogaritur logaritmin, duhet t'i përgjigjeni pyetjes: deri në çfarë shkalle duhet të ngrihet baza për të marrë argumentin?

Për shembull, njehsoni logaritmin: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(4\) për të marrë \(16\)? Natyrisht e dyta. Kjo është arsyeja pse:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(5)\) për të marrë \(1\)? Dhe cila shkallë e bën çdo numër njësi? Zero, sigurisht!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(7)\) për të marrë \(\sqrt(7)\)? Në të parën - çdo numër në shkallën e parë është i barabartë me vetveten.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(3\) për të marrë \(\sqrt(3)\)? Nga ne e dimë se është një fuqi thyesore, dhe për këtë arsye rrënja katrore është fuqia e \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Shembull : Llogaritni logaritmin \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Zgjidhje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Duhet të gjejmë vlerën e logaritmit, le ta shënojmë si x. Tani le të përdorim përkufizimin e logaritmit: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Shigjeta majtas\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Cilat lidhje \(4\sqrt(2)\) dhe \(8\)? Dy, sepse të dy numrat mund të përfaqësohen me dy: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Në të majtë, ne përdorim vetitë e shkallës: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dhe \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazat janë të barabarta, kalojmë në barazinë e treguesve
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me \(\frac(2)(5)\)
		Rrënja që rezulton është vlera e logaritmit

Përgjigju : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pse u shpik logaritmi?

Për ta kuptuar këtë, le të zgjidhim ekuacionin: \(3^(x)=9\). Thjesht përputhni \(x\) për të funksionuar barazinë. Sigurisht, \(x=2\).

Tani zgjidhni ekuacionin: \(3^(x)=8\) Me çfarë është x? Kjo është pika.

Më i zgjuari do të thotë: "X është pak më pak se dy". Si duhet të shkruhet saktësisht ky numër? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, ata dolën me logaritmin. Falë tij, përgjigja këtu mund të shkruhet si \(x=\log_(3)(8)\).

Dua të theksoj se \(\log_(3)(8)\), si dhe çdo logaritëm është vetëm një numër. Po, duket e pazakontë, por është e shkurtër. Sepse nëse do të donim ta shkruanim si dhjetore, do të dukej kështu: \(1.892789260714.....\)

Shembull : Zgjidh ekuacionin \(4^(5x-4)=10\)

Zgjidhje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dhe \(10\) nuk mund të reduktohen në të njëjtën bazë. Pra, këtu nuk mund të bëni pa logaritmin. Le të përdorim përkufizimin e logaritmit: \(a^(b)=c\) \(\Shigjeta majtas\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Kthejeni ekuacionin që x të jetë në të majtë
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Para nesh. Lëvizni \(4\) në të djathtë. Dhe mos kini frikë nga logaritmi, trajtojeni atë si një numër normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Pjestojeni ekuacionin me 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Këtu është rrënja jonë. Po, duket e pazakontë, por përgjigja nuk është zgjedhur.

Përgjigju : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmet dhjetore dhe natyrore

Siç thuhet në përkufizimin e logaritmit, baza e tij mund të jetë çdo numër pozitiv përveç një \((a>0, a\neq1)\). Dhe midis të gjitha bazave të mundshme, ka dy që ndodhin aq shpesh sa u shpik një shënim i veçantë i shkurtër për logaritmet me to:

Logaritmi natyror: një logaritëm baza e të cilit është numri i Euler-it \(e\) (i barabartë me afërsisht \(2.7182818…\)), dhe logaritmi shkruhet si \(\ln(a)\).

Kjo eshte, \(\ln(a)\) është e njëjtë me \(\log_(e)(a)\)

Logaritmi dhjetor: Një logaritëm baza e të cilit është 10 shkruhet \(\lg(a)\).

Kjo eshte, \(\lg(a)\) është i njëjtë me \(\log_(10)(a)\), ku \(a\) është një numër.

Identiteti bazë logaritmik

Logaritmet kanë shumë veti. Njëri prej tyre quhet "Identiteti bazë logaritmik" dhe duket kështu:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi. Le të shohim se si u shfaq saktësisht kjo formulë.

Kujtoni përkufizimin e shkurtër të logaritmit:

nëse \(a^(b)=c\), atëherë \(\log_(a)(c)=b\)

Kjo do të thotë, \(b\) është e njëjtë me \(\log_(a)(c)\). Atëherë mund të shkruajmë \(\log_(a)(c)\) në vend të \(b\) në formulën \(a^(b)=c\) . Doli \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiteti kryesor logaritmik.

Ju mund të gjeni pjesën tjetër të vetive të logaritmeve. Me ndihmën e tyre, ju mund të thjeshtoni dhe llogaritni vlerat e shprehjeve me logaritme, të cilat janë të vështira për t'u llogaritur drejtpërdrejt.

Shembull : Gjeni vlerën e shprehjes \(36^(\log_(6)(5))\)

Zgjidhje :

Përgjigju : \(25\)

Si të shkruani një numër si logaritëm?

Siç u përmend më lart, çdo logaritëm është vetëm një numër. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo numër mund të shkruhet si logaritëm. Për shembull, ne e dimë se \(\log_(2)(4)\) është e barabartë me dy. Pastaj mund të shkruani \(\log_(2)(4)\) në vend të dy.

Por \(\log_(3)(9)\) është gjithashtu e barabartë me \(2\), kështu që mund të shkruani gjithashtu \(2=\log_(3)(9)\) . Në mënyrë të ngjashme me \(\log_(5)(25)\), dhe me \(\log_(9)(81)\), etj. Kjo është, rezulton

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Kështu, nëse kemi nevojë, ne mund t'i shkruajmë të dy si një logaritëm me çdo bazë kudo (edhe në një ekuacion, edhe në një shprehje, madje edhe në një pabarazi) - thjesht shkruajmë bazën në katror si argument.

Është e njëjta gjë me një treshe - mund të shkruhet si \(\log_(2)(8)\), ose si \(\log_(3)(27)\), ose si \(\log_(4)( 64) \) ... Këtu shkruajmë bazën në kub si argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dhe me katër:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dhe me minus një:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dhe me një të tretën:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Çdo numër \(a\) mund të përfaqësohet si një logaritëm me bazën \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Shembull : Gjeni vlerën e një shprehjeje \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Zgjidhje :

Përgjigju : \(1\)

Ne lidhje me

mund të vendoset detyra për të gjetur cilindo nga tre numrat nga dy të tjerët, të dhënë. Jepet a dhe pastaj N gjendet me fuqizim. Nëse jepen N dhe atëherë a gjendet duke nxjerrë rrënjën e fuqisë x (ose fuqisë). Tani merrni parasysh rastin kur, duke pasur parasysh a dhe N, kërkohet të gjendet x.

Le të jetë numri N pozitiv: numri a është pozitiv dhe jo i barabartë me një: .

Përkufizimi. Logaritmi i numrit N në bazën a është eksponenti në të cilin duhet të ngrini a për të marrë numrin N; logaritmi shënohet me

Kështu, në barazinë (26.1), eksponenti gjendet si logaritëm i N ndaj bazës a. Regjistrimet

kanë të njëjtin kuptim. Barazia (26.1) nganjëherë quhet identiteti bazë i teorisë së logaritmeve; në fakt, ai shpreh përkufizimin e konceptit të logaritmit. Sipas këtij përkufizimi, baza e logaritmit a është gjithmonë pozitive dhe e ndryshme nga uniteti; numri i logaritmit N është pozitiv. Numrat negativë dhe zeroja nuk kanë logaritme. Mund të vërtetohet se çdo numër me një bazë të caktuar ka një logaritëm të mirëpërcaktuar. Prandaj barazia përfshin. Vini re se kushti është thelbësor këtu, përndryshe përfundimi nuk do të justifikohej, pasi barazia është e vërtetë për çdo vlerë të x dhe y.

Shembulli 1. Gjeni

Zgjidhje. Për të marrë numrin, duhet të ngrini bazën 2 në fuqi Prandaj.

Ju mund të regjistroni kur zgjidhni shembuj të tillë në formën e mëposhtme:

Shembulli 2. Gjeni .

Zgjidhje. Ne kemi

Në shembujt 1 dhe 2, ne gjetëm lehtësisht logaritmin e dëshiruar duke paraqitur numrin e logarithmueshëm si një shkallë të bazës me një eksponent racional. Në rastin e përgjithshëm, për shembull, për etj., kjo nuk mund të bëhet, pasi logaritmi ka një vlerë irracionale. Le t'i kushtojmë vëmendje një pyetjeje në lidhje me këtë deklaratë. Në § 12 ne dhamë konceptin e mundësisë së përcaktimit të çdo fuqie reale të një numri të dhënë pozitiv. Kjo ishte e nevojshme për futjen e logaritmeve, të cilat, në përgjithësi, mund të jenë numra irracionalë.

Shqyrtoni disa veti të logaritmeve.

Vetia 1. Nëse numri dhe baza janë të barabarta, atëherë logaritmi është i barabartë me një dhe, anasjelltas, nëse logaritmi është i barabartë me një, atëherë numri dhe baza janë të barabarta.

Dëshmi. Le Nga përkufizimi i logaritmit, kemi dhe nga

Anasjelltas, le Pastaj sipas përkufizimit

Vetia 2. Logaritmi i njësisë për çdo bazë është i barabartë me zero.

Dëshmi. Sipas përkufizimit të logaritmit (fuqia zero e çdo baze pozitive është e barabartë me një, shih (10.1)). Nga këtu

Q.E.D.

Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse , atëherë N = 1. Në të vërtetë, ne kemi .

Përpara se të shprehim vetinë e mëposhtme të logaritmeve, le të pranojmë të themi se dy numra a dhe b qëndrojnë në të njëjtën anë të një numri të tretë c, nëse të dy janë më të mëdhenj se c ose më të vegjël se c. Nëse njëri prej këtyre numrave është më i madh se c dhe tjetri më i vogël se c, atëherë themi se ata shtrihen në anët e kundërta të c.

Vetia 3. Nëse numri dhe baza qëndrojnë në të njëjtën anë të unitetit, atëherë logaritmi është pozitiv; nëse numri dhe baza qëndrojnë në anët e kundërta të unitetit, atëherë logaritmi është negativ.

Vërtetimi i vetive 3 bazohet në faktin se shkalla e a është më e madhe se një nëse baza është më e madhe se një dhe eksponenti është pozitiv, ose baza është më e vogël se një dhe eksponenti është negativ. Shkalla është më e vogël se një nëse baza është më e madhe se një dhe eksponenti është negativ, ose baza është më e vogël se një dhe eksponenti është pozitiv.

Janë katër raste që duhen marrë parasysh:

Ne kufizohemi në analizën e të parës prej tyre, pjesa tjetër lexuesi do t'i shqyrtojë vetë.

Le të jetë atëherë eksponenti në barazi as negativ dhe as i barabartë me zero, pra, ai është pozitiv, d.m.th., që kërkohej të vërtetohej.

Shembulli 3. Gjeni se cilët nga logaritmat e mëposhtëm janë pozitivë dhe cilët negativë:

Zgjidhja, a) meqenëse numri 15 dhe baza 12 janë të vendosura në të njëjtën anë të njësisë;

b) , pasi 1000 dhe 2 ndodhen në të njëjtën anë të njësisë; në të njëjtën kohë, nuk është thelbësore që baza të jetë më e madhe se numri logaritmik;

c), pasi 3.1 dhe 0.8 shtrihen në anët e kundërta të unitetit;

G) ; pse?

e) ; pse?

Vetitë e mëposhtme 4-6 quhen shpesh rregulla të logaritmit: ato lejojnë, duke ditur logaritmet e disa numrave, të gjejmë logaritmet e prodhimit të tyre, herësin, shkallën e secilit prej tyre.

Vetia 4 (rregulli për logaritmin e produktit). Logaritmi i prodhimit të disa numrave pozitivë në një bazë të caktuar është i barabartë me shumën e logaritmeve të këtyre numrave në të njëjtën bazë.

Dëshmi. Le të jepen numra pozitivë.

Për logaritmin e produktit të tyre, shkruajmë barazinë (26.1) duke përcaktuar logaritmin:

Nga këtu gjejmë

Duke krahasuar eksponentët e shprehjes së parë dhe të fundit, marrim barazinë e kërkuar:

Vini re se kushti është thelbësor; logaritmi i prodhimit të dy numrave negativ ka kuptim, por në këtë rast marrim

Në përgjithësi, nëse prodhimi i disa faktorëve është pozitiv, atëherë logaritmi i tij është i barabartë me shumën e logaritmeve të moduleve të këtyre faktorëve.

Vetia 5 (rregulli i logaritmit të herësit). Logaritmi i një herësi numrash pozitivë është i barabartë me diferencën midis logaritmeve të dividendit dhe pjesëtuesit, të marra në të njëjtën bazë. Dëshmi. Gjeni vazhdimisht

Q.E.D.

Vetia 6 (rregulli i logaritmit të shkallës). Logaritmi i fuqisë së çdo numri pozitiv është i barabartë me logaritmin e atij numri shumëfish i eksponentit.

Dëshmi. Ne shkruajmë përsëri identitetin kryesor (26.1) për numrin:

Q.E.D.

Pasoja. Logaritmi i rrënjës së një numri pozitiv është i barabartë me logaritmin e numrit të rrënjës të pjesëtuar me eksponentin e rrënjës:

Ne mund të vërtetojmë vlefshmërinë e kësaj përfundimi duke paraqitur mënyrën dhe përdorimin e vetisë 6.

Shembulli 4. Logaritmi për bazën a:

a) (supozohet se të gjitha vlerat b, c, d, e janë pozitive);

b) (supozohet se ).

Zgjidhja, a) Është e përshtatshme të kalohet në këtë shprehje te fuqitë thyesore:

Bazuar në barazitë (26.5)-(26.7) tani mund të shkruajmë:

Vëmë re se në logaritmet e numrave kryhen veprime më të thjeshta se sa në vetë numrat: gjatë shumëzimit të numrave shtohen logaritmet e tyre, kur ndahen zbriten etj.

Kjo është arsyeja pse logaritmet janë përdorur në praktikën llogaritëse (shih seksionin 29).

Veprimi i kundërt ndaj logaritmit quhet fuqizim, përkatësisht: fuqizim është veprimi me të cilin vetë ky numër gjendet me logaritmin e dhënë të një numri. Në thelb, fuqizimi nuk është ndonjë veprim i veçantë: vjen deri te ngritja e bazës në një fuqi (të barabartë me logaritmin e numrit). Termi "potenciim" mund të konsiderohet sinonim me termin "përforcim".

Gjatë fuqizimit, është e nevojshme të përdoren rregullat që janë të kundërta me rregullat e logaritmit: zëvendësoni shumën e logaritmeve me logaritmin e produktit, diferencën e logaritmeve me logaritmin e herësit, etj. Në veçanti, nëse ka çdo faktor përballë shenjës së logaritmit, atëherë gjatë fuqizimit duhet të bartet në shkallët e treguesit nën shenjën e logaritmit.

Shembulli 5. Gjeni N nëse dihet se

Zgjidhje. Në lidhje me rregullin e fuqizimit që sapo u tha, faktorët 2/3 dhe 1/3, të cilët janë përballë shenjave të logaritmeve në anën e djathtë të kësaj barazie, do të transferohen te eksponentët nën shenjat e këtyre logaritmeve; marrim

Tani ndryshimin e logaritmeve e zëvendësojmë me logaritmin e herësit:

për të marrë thyesën e fundit në këtë zinxhir barazish, ne e çliruam thyesën e mëparshme nga irracionaliteti në emërues (seksioni 25).

Vetia 7. Nëse baza është më e madhe se një, atëherë numri më i madh ka një logaritëm më të madh (dhe më i vogli ka një më të vogël), nëse baza është më e vogël se një, atëherë numri më i madh ka një logaritëm më të vogël (dhe më i vogël njëri ka një më të madh).

Kjo veti formulohet gjithashtu si rregull për logaritmin e pabarazive, të dyja pjesët e së cilës janë pozitive:

Kur merret logaritmi i pabarazive me bazë më të madhe se një, ruhet shenja e pabarazisë, dhe kur merret logaritmi me bazë më të vogël se një, shenja e pabarazisë kthehet mbrapsht (shih edhe pikën 80).

Vërtetimi bazohet në vetitë 5 dhe 3. Shqyrtoni rastin kur Nëse , atëherë dhe, duke marrë logaritmin, marrim

(a dhe N/M shtrihen në të njëjtën anë të unitetit). Nga këtu

Në rastin a vijon, lexuesi do ta kuptojë vetë.

Me zhvillimin e shoqërisë, kompleksitetin e prodhimit, u zhvillua edhe matematika. Lëvizja nga e thjeshta në komplekse. Nga metoda e zakonshme e kontabilitetit të mbledhjes dhe zbritjes, me përsëritjen e tyre të përsëritur, ata arritën në konceptin e shumëzimit dhe pjesëtimit. Reduktimi i operacionit të shumëfishuar u bë koncepti i fuqizimit. Tabelat e para të varësisë së numrave nga baza dhe numri i fuqisë u përpiluan në shekullin e 8-të nga matematikani indian Varasena. Prej tyre mund të numëroni kohën e shfaqjes së logaritmeve.

Skicë historike

Ringjallja e Evropës në shekullin e 16-të stimuloi gjithashtu zhvillimin e mekanikës. T kërkonte një sasi të madhe llogaritjeje lidhur me shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave shumëshifrorë. Tavolinat e lashta bënë një shërbim të madh. Ata bënë të mundur zëvendësimin e operacioneve komplekse me ato më të thjeshta - mbledhje dhe zbritje. Një hap i madh përpara ishte puna e matematikanit Michael Stiefel, e botuar në 1544, në të cilën ai realizoi idenë e shumë matematikanëve. Kjo bëri të mundur përdorimin e tabelave jo vetëm për shkallët në formën e numrave të thjeshtë, por edhe për ato racionale arbitrare.

Në 1614, skocezi John Napier, duke zhvilluar këto ide, prezantoi për herë të parë termin e ri "logaritmi i një numri". U përpiluan tabela të reja komplekse për llogaritjen e logaritmeve të sinuseve dhe kosinuseve, si dhe tangjentet. Kjo reduktoi shumë punën e astronomëve.

Filluan të shfaqen tabela të reja, të cilat u përdorën me sukses nga shkencëtarët për tre shekuj. Kaloi shumë kohë përpara se operacioni i ri në algjebër të merrte formën e tij të përfunduar. Është përcaktuar logaritmi dhe janë studiuar vetitë e tij.

Vetëm në shekullin e 20-të, me ardhjen e makinës llogaritëse dhe kompjuterit, njerëzimi braktisi tavolinat e lashta që kishin funksionuar me sukses gjatë shekujve të 13-të.

Sot e quajmë logaritmin e b për të bazuar a numrin x, që është fuqia e a, për të marrë numrin b. Kjo shkruhet si formulë: x = log a(b).

Për shembull, log 3(9) do të jetë i barabartë me 2. Kjo është e qartë nëse ndiqni përkufizimin. Nëse ngremë 3 në fuqinë e 2, marrim 9.

Kështu, përkufizimi i formuluar vendos vetëm një kufizim, numrat a dhe b duhet të jenë real.

Varietetet e logaritmeve

Përkufizimi klasik quhet logaritmi real dhe në fakt është një zgjidhje e ekuacionit a x = b. Opsioni a = 1 është kufitar dhe nuk është me interes. Shënim: 1 për çdo fuqi është 1.

Vlera reale e logaritmit definohet vetëm nëse baza dhe argumenti është më i madh se 0, dhe baza nuk duhet të jetë e barabartë me 1.

Vend të veçantë në fushën e matematikës luani logaritme, të cilat do të emërtohen në varësi të vlerës së bazës së tyre:

Rregullat dhe kufizimet

Vetia themelore e logaritmeve është rregulli: logaritmi i një produkti është i barabartë me shumën logaritmike. log abp = log a(b) + log a(p).

Si një variant i kësaj deklarate, do të jetë: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funksioni koeficient është i barabartë me ndryshimin e funksioneve.

Është e lehtë të shihet nga dy rregullat e mëparshme se: log a(b p) = p * log a(b).

Prona të tjera përfshijnë:

Koment. Mos bëni një gabim të zakonshëm - logaritmi i shumës nuk është i barabartë me shumën e logaritmeve.

Për shumë shekuj, operacioni i gjetjes së logaritmit ishte një detyrë mjaft e gjatë. Matematikanët përdorën formulën e njohur të teorisë logaritmike të zgjerimit në një polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), ku n është një numër natyror më i madh se 1, i cili përcakton saktësinë e llogaritjes.

Logaritmet me baza të tjera janë llogaritur duke përdorur teoremën mbi kalimin nga një bazë në tjetrën dhe vetinë e logaritmit të produktit.

Meqenëse kjo metodë është shumë e mundimshme dhe gjatë zgjidhjes së problemeve praktike vështirë për t'u zbatuar, ata përdorën tabela të përpiluara paraprakisht të logaritmeve, të cilat e përshpejtuan shumë të gjithë punën.

Në disa raste, u përdorën grafikë të përpiluar posaçërisht të logaritmeve, të cilat dhanë më pak saktësi, por shpejtuan ndjeshëm kërkimin për vlerën e dëshiruar. Kurba e funksionit y = log a(x), e ndërtuar në disa pika, lejon përdorimin e vizores së zakonshme për të gjetur vlerat e funksionit në çdo pikë tjetër. Për një kohë të gjatë, inxhinierët përdorën të ashtuquajturën letër grafike për këto qëllime.

Në shekullin e 17-të, u shfaqën kushtet e para ndihmëse të llogaritjes analoge, të cilat deri në shekullin e 19-të kishin marrë një formë të përfunduar. Pajisja më e suksesshme u quajt rregulli i rrëshqitjes. Megjithë thjeshtësinë e pajisjes, pamja e saj përshpejtoi ndjeshëm procesin e të gjitha llogaritjeve inxhinierike, dhe kjo është e vështirë të mbivlerësohet. Aktualisht, pak njerëz janë të njohur me këtë pajisje.

Ardhja e kalkulatorëve dhe kompjuterëve e bëri të pakuptimtë përdorimin e çdo pajisjeje tjetër.

Ekuacionet dhe pabarazitë

Formulat e mëposhtme përdoren për të zgjidhur ekuacione dhe pabarazi të ndryshme duke përdorur logaritme:

• Kalimi nga një bazë në tjetrën: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Si pasojë e versionit të mëparshëm: log a(b) = 1 / log b(a).

Për të zgjidhur pabarazitë, është e dobishme të dini:

• Vlera e logaritmit do të jetë pozitive vetëm nëse baza dhe argumenti janë të dyja më të mëdha ose më të vogla se një; nëse shkelet të paktën një kusht, vlera e logaritmit do të jetë negative.
• Nëse funksioni i logaritmit zbatohet në anën e djathtë dhe të majtë të mosbarazimit, dhe baza e logaritmit është më e madhe se një, atëherë shenja e mosbarazimit ruhet; përndryshe, ndryshon.

Shembuj detyrash

Konsideroni disa opsione për përdorimin e logaritmeve dhe vetive të tyre. Shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve:

Merrni parasysh opsionin e vendosjes së logaritmit në shkallë:

• Detyra 3. Llogarit 25^log 5(3). Zgjidhja: në kushtet e problemit, shënimi është i ngjashëm me sa vijon (5^2)^log5(3) ose 5^(2 * log 5(3)). Le ta shkruajmë ndryshe: 5^log 5(3*2), ose katrori i një numri si argument funksioni mund të shkruhet si katrori i vetë funksionit (5^log 5(3))^2. Duke përdorur vetitë e logaritmeve, kjo shprehje është 3^2. Përgjigje: si rezultat i llogaritjes marrim 9.

Përdorimi praktik

Duke qenë një mjet thjesht matematikor, duket shumë larg jetës reale që logaritmi ka marrë befas një rëndësi të madhe në përshkrimin e objekteve në botën reale. Është e vështirë të gjesh një shkencë ku nuk përdoret. Kjo vlen plotësisht jo vetëm për fushat e dijes natyrore, por edhe për shkencat humane.

Varësitë logaritmike

Këtu janë disa shembuj të varësive numerike:

Mekanika dhe fizika

Historikisht, mekanika dhe fizika janë zhvilluar gjithmonë duke përdorur metoda kërkimore matematikore dhe në të njëjtën kohë kanë shërbyer si një nxitje për zhvillimin e matematikës, duke përfshirë logaritmet. Teoria e shumicës së ligjeve të fizikës është shkruar në gjuhën e matematikës. Ne japim vetëm dy shembuj të përshkrimit të ligjeve fizike duke përdorur logaritmin.

Është e mundur të zgjidhet problemi i llogaritjes së një sasie kaq komplekse si shpejtësia e një rakete duke përdorur formulën Tsiolkovsky, e cila hodhi themelet për teorinë e eksplorimit të hapësirës:

V = I * ln(M1/M2), ku

• V është shpejtësia përfundimtare e avionit.
• Unë jam impulsi specifik i motorit.
• M 1 është masa fillestare e raketës.
• M 2 - masa përfundimtare.

Një shembull tjetër i rëndësishëm- ky është përdorimi në formulën e një tjetër shkencëtari të madh, Max Planck, i cili shërben për të vlerësuar gjendjen e ekuilibrit në termodinamikë.

S = k * ln (Ω), ku

• S është një veti termodinamike.
• k është konstanta e Boltzmann-it.
• Ω është pesha statistikore e gjendjeve të ndryshme.

Kimia

Më pak e dukshme do të ishte përdorimi i formulave në kimi që përmbajnë raportin e logaritmeve. Këtu janë vetëm dy shembuj:

• Ekuacioni Nernst, gjendja e potencialit redoks të mediumit në lidhje me aktivitetin e substancave dhe konstanten e ekuilibrit.
• Llogaritja e konstantave të tilla si indeksi i autoprolizës dhe aciditeti i tretësirës gjithashtu nuk është i plotë pa funksionin tonë.

Psikologjia dhe biologjia

Dhe është krejtësisht e pakuptueshme se çfarë ka të bëjë psikologjia me të. Rezulton se forca e ndjeshmërisë përshkruhet mirë nga ky funksion si raport i kundërt i vlerës së intensitetit të stimulit me vlerën e intensitetit më të ulët.

Pas shembujve të mësipërm, nuk është më për t'u habitur që tema e logaritmeve përdoret gjerësisht edhe në biologji. Vëllime të tëra mund të shkruhen për forma biologjike që korrespondojnë me spirale logaritmike.

Zona të tjera

Duket se ekzistenca e botës është e pamundur pa lidhje me këtë funksion, dhe ajo rregullon të gjitha ligjet. Sidomos kur ligjet e natyrës lidhen me një progresion gjeometrik. Ia vlen t'i referohemi faqes së internetit MatProfi dhe ka shumë shembuj të tillë në fushat e mëposhtme të aktivitetit:

Lista mund të jetë e pafundme. Pasi të keni zotëruar ligjet themelore të këtij funksioni, mund të zhyteni në botën e mençurisë së pafund.

Logaritmi i një numri N nga arsyeja a quhet eksponent X , për të cilën ju duhet të ngrini a për të marrë numrin N

Me kusht që
,
,

Nga përkufizimi i logaritmit del se
, d.m.th.
- kjo barazi është identiteti bazë logaritmik.

Logaritmet me bazën 10 quhen logaritme dhjetore. Në vend të
shkruaj
.

logaritmet bazë e quhen natyrore dhe shënohen
.

Vetitë themelore të logaritmeve.

Logaritmi i unitetit për çdo bazë është zero

Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve.

3) Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve

Faktori
quhet moduli i kalimit nga logaritmet në bazë a te logaritmet në bazë b .

Duke përdorur vetitë 2-5, shpesh është e mundur të reduktohet logaritmi i një shprehjeje komplekse në rezultatin e veprimeve të thjeshta aritmetike në logaritme.

Për shembull,

Shndërrime të tilla të logaritmit quhen logaritme. Shndërrimet reciproke të logaritmeve quhen fuqizim.

Kapitulli 2. Elementet e matematikës së lartë.

1. Kufijtë

kufiri i funksionit
është një numër i kufizuar A nëse, kur përpiqemi xx 0 për çdo të paracaktuar
, ka një numër
që sapo
, pastaj
.

Një funksion që ka një kufi ndryshon prej tij me një sasi infinite të vogël:
, ku - b.m.w., d.m.th.
.

Shembull. Merrni parasysh funksionin
.

Kur përpiqet
, funksion y shkon në zero:

1.1. Teorema themelore rreth kufijve.

Kufiri i një vlere konstante është i barabartë me këtë vlerë konstante

.

Kufiri i shumës (diferencës) i një numri të fundëm funksionesh është i barabartë me shumën (diferencën) e kufijve të këtyre funksioneve.

Kufiri i një produkti të një numri të kufizuar funksionesh është i barabartë me produktin e kufijve të këtyre funksioneve.

Kufiri i herësit të dy funksioneve është i barabartë me herësin e kufijve të këtyre funksioneve nëse kufiri i emëruesit nuk është i barabartë me zero.

Kufij të shquar

,
, ku

1.2. Shembuj të llogaritjes së kufirit

Sidoqoftë, jo të gjitha kufijtë llogariten kaq lehtë. Më shpesh, llogaritja e kufirit reduktohet në zbulimin e pasigurisë së llojit: ose .

.

2. Derivat i një funksioni

Le të kemi një funksion
, e vazhdueshme në segment
.

Argumenti mori një nxitje
. Pastaj funksioni do të rritet
.

Vlera e argumentit korrespondon me vlerën e funksionit
.

Vlera e argumentit
korrespondon me vlerën e funksionit.

Rrjedhimisht,.

Le të gjejmë kufirin e kësaj lidhjeje në
. Nëse ky kufi ekziston, atëherë ai quhet derivat i funksionit të dhënë.

Përkufizimi i 3 derivatit të një funksioni të caktuar
me argument quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, kur rritja e argumentit tenton në mënyrë arbitrare në zero.

Derivati ​​i funksionit
mund të shënohet si më poshtë:

; ; ; .

Përkufizimi 4Veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni quhet diferencimi.

2.1. Kuptimi mekanik i derivatit.

Merrni parasysh lëvizjen drejtvizore të një trupi të ngurtë ose një pike materiale.

Lëreni në një moment në kohë pikë lëvizëse
ishte në distancë nga pozicioni i fillimit
.

Pas një periudhe kohe
ajo lëvizi një distancë
. Qëndrimi =- shpejtësia mesatare e një pike materiale
. Le të gjejmë kufirin e këtij raporti, duke marrë parasysh atë
.

Rrjedhimisht, përcaktimi i shpejtësisë së menjëhershme të një pike materiale reduktohet në gjetjen e derivatit të shtegut në lidhje me kohën.

2.2. Vlera gjeometrike e derivatit

Supozoni se kemi një funksion të përcaktuar grafikisht
.

Oriz. 1. Kuptimi gjeometrik i derivatit

Nese nje
, pastaj pika
, do të lëvizë përgjatë kurbës, duke iu afruar pikës
.

Rrjedhimisht
, d.m.th. vlera e derivatit duke pasur parasysh vlerën e argumentit numerikisht është e barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja në një pikë të caktuar me drejtimin pozitiv të boshtit
.

2.3. Tabela e formulave bazë të diferencimit.

Funksioni i fuqisë

Funksioni eksponencial

funksioni logaritmik

funksioni trigonometrik

Funksioni trigonometrik i anasjelltë

2.4. Rregullat e diferencimit.

Derivat i

Derivati ​​i shumës (diferencës) së funksioneve

Derivat i prodhimit të dy funksioneve

Derivati ​​i herësit të dy funksioneve

2.5. Derivat i një funksioni kompleks.

Lëreni funksionin
e tillë që mund të përfaqësohet si

dhe
, ku ndryshorja është një argument i ndërmjetëm, pra

Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të dhënë në lidhje me argumentin e ndërmjetëm nga derivati ​​i argumentit të ndërmjetëm në lidhje me x.

Shembull 1.

Shembulli 2.

3. Diferenciali i funksionit.

Le të ketë
, i diferencueshëm në një interval
le të shkojë në ky funksion ka një derivat

,

atëherë mund të shkruani

(1),

ku - një sasi infinite e vogël,

sepse në

Duke shumëzuar të gjitha kushtet e barazisë (1) me
ne kemi:

Ku
- b.m.v. rendit më të lartë.

Vlera
quhet diferencial i funksionit
dhe shënohet

.

3.1. Vlera gjeometrike e diferencialit.

Lëreni funksionin
.

Fig.2. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

.

Natyrisht, diferenciali i funksionit
është e barabartë me shtimin e ordinatës së tangjentes në pikën e dhënë.

3.2. Derivatet dhe diferencialet e rendeve te ndryshme.

Nëse ka
, pastaj
quhet derivati ​​i parë.

Derivati ​​i derivatit të parë quhet derivat i rendit të dytë dhe shkruhet
.

Derivat i rendit të n-të të funksionit
quhet derivat i rendit (n-1) dhe shkruhet:

.

Diferenciali i diferencialit të një funksioni quhet diferencial i dytë ose diferencial i rendit të dytë.

.

.

3.3 Zgjidhja e problemeve biologjike duke përdorur diferencimin.

Detyra 1. Studimet kanë treguar se rritja e një kolonie mikroorganizmash i bindet ligjit
, ku N - numri i mikroorganizmave (në mijëra), t – koha (ditë).

b) A do të rritet apo ulet popullsia e kolonisë gjatë kësaj periudhe?

Përgjigju. Kolonia do të rritet në madhësi.

Detyra 2. Uji në liqen testohet periodikisht për të kontrolluar përmbajtjen e baktereve patogjene. Nëpërmjet t ditë pas testimit, përqendrimi i baktereve përcaktohet nga raporti

.

Kur do të vijë përqendrimi minimal i baktereve në liqen dhe do të jetë e mundur të notosh në të?

Zgjidhje Një funksion arrin max ose min kur derivati ​​i tij është zero.

,

Le të përcaktojmë se maksimumi ose min do të jetë në 6 ditë. Për ta bërë këtë, marrim derivatin e dytë.

Përgjigje: Pas 6 ditësh do të ketë një përqendrim minimal të baktereve.

Artikulli i mëparshëm: Anglisht detare për jahtistët Kushtet detare në anglisht Artikulli vijues: Lumenjtë që rrjedhin në Detin Kaspik: lista, përshkrimi, karakteristikat Kush kufizohet me Detin Kaspik