Vetitë e mosbarazimeve numerike thyesa e zakonshme. Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Ne kemi hasur në pabarazi në shkollë, ku përdorim pabarazi numerike. Në këtë artikull, ne shqyrtojmë vetitë e pabarazive numerike, disa prej të cilave janë parime të ndërtuara për të punuar me to.

Vetitë e pabarazive janë të ngjashme me vetitë e pabarazive numerike. Vetitë, arsyetimet e tij do të merren parasysh, ne do të japim shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Me rastin e prezantimit të konceptit të pabarazisë, kemi se përcaktimi i tyre bëhet sipas llojit të regjistrimit. Ka shprehje algjebrike që kanë shenja ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Le të japim një përkufizim.

Përkufizimi 1

Pabarazia numerike quhet pabarazi në të cilën të dyja palët kanë numra dhe shprehje numerike.

Pabarazitë numerike konsiderohen në shkollë pas studimit të numrave natyrorë. Operacione të tilla krahasimi studiohen hap pas hapi. Pamja fillestare si 1< 5 , 5 + 7 >3 . Pas kësaj, rregullat plotësohen dhe pabarazitë bëhen më të ndërlikuara, atëherë fitojmë pabarazi të formës 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Për të punuar saktë me pabarazitë, duhet të përdorni vetitë e pabarazive numerike. Ato vijnë nga koncepti i pabarazisë. Një koncept i tillë specifikohet duke përdorur një deklaratë, e cila shënohet si "më e madhe se" ose "më pak se".

Përkufizimi 2

numri a është më i madh se b kur ndryshimi a - b është numër pozitiv;
numri a është më i vogël se b kur diferenca a - b është numër negativ;
numri a është i barabartë me b kur diferenca a - b është e barabartë me zero.

Përkufizimi përdoret kur zgjidhen pabarazitë me marrëdhëniet "më pak se ose e barabartë", "më e madhe se ose e barabartë". Ne e kuptojmë atë

Përkufizimi 3

a është më i madh ose i barabartë me b kur a - b është një numër jo negativ;
a është më e vogël ose e barabartë me b kur a - b është një numër jo pozitiv.

Përkufizimet do të përdoren në vërtetimin e vetive të pabarazive numerike.

Vetitë themelore

Konsideroni 3 pabarazi kryesore. Përdorimi i shenjave< и >karakteristikë me vetitë:

Përkufizimi 4

anti-refleksiviteti, që thotë se çdo numër a nga pabarazitë a< a и a >a konsiderohet e pavlefshme. Dihet se për çdo a vlen barazia a − a = 0, pra marrim se a = a. Pra a< a и a >a është e pasaktë. Për shembull, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 janë të pasakta.
asimetri. Kur numrat a dhe b janë të tillë që aa , dhe nëse a > b , atëherë b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a a. Pjesa e dytë vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Shembulli 1

Për shembull, duke pasur parasysh pabarazinë 5< 11 имеем, что 11 >5 , atëherë pabarazia e saj numerike − 0 , 27 > − 1 , 3 do të rishkruhet në formën − 1 , 3< − 0 , 27 .

Përpara se të kalojmë te vetia tjetër, vërejmë se me ndihmën e asimetrisë, mund të lexohet pabarazia nga e djathta në të majtë dhe anasjelltas. Kështu, pabarazia numerike mund të ndryshohet dhe të ndërrohet.

Përkufizimi 5

kalimtare. Kur numrat a , b , c plotësojnë kushtin ab dhe b > c , pastaj a > c .

Prova 1

Pohimi i parë mund të vërtetohet. Kushti a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Në mënyrë të ngjashme vërtetohet pjesa e dytë me vetinë kalimtare.

Shembulli 2

Vetia e analizuar konsiderohet në shembullin e pabarazive − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dhe 1 8 > 1 32 rezulton se 1 2 > 1 32 .

Pabarazitë numerike, të cilat shkruhen duke përdorur shenja jo të rrepta të pabarazisë, kanë vetinë e refleksivitetit, sepse a ≤ a dhe a ≥ a mund të kenë rastin e barazisë a = a. ato karakterizohen nga asimetria dhe kalueshmëria.

Përkufizimi 6

Pabarazitë që kanë shenjat ≤ dhe ≥ në shënim kanë këto veti:

refleksiviteti a ≥ a dhe a ≤ a konsiderohen pabarazi të vërteta;
antisimetri kur a ≤ b , atëherë b ≥ a , dhe nëse a ≥ b , atëherë b ≤ a .
kalueshmëria kur a ≤ b dhe b ≤ c , atëherë a ≤ c , dhe gjithashtu, nëse a ≥ b dhe b ≥ c , atëherë a ≥ c .

Prova kryhet në të njëjtën mënyrë.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Për të plotësuar vetitë themelore të pabarazive, përdoren rezultate që kanë rëndësi praktike. Zbatohet parimi i metodës së vlerësimit të vlerave të shprehjeve, mbi të cilin bazohen parimet e zgjidhjes së pabarazive.

Ky seksion zbulon vetitë e pabarazive për një shenjë të pabarazisë strikte. E njëjta gjë bëhet për ato jostriktet. Shqyrtoni një shembull, duke formuluar pabarazinë nëse a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

nëse a > b , atëherë a + c > b + c ;
nëse a ≤ b , atëherë a + c ≤ b + c ;
nëse a ≥ b , atëherë a + c ≥ b + c .

Për një prezantim të përshtatshëm, ne japim deklaratën përkatëse, e cila shkruhet dhe jepen provat, tregohen shembuj të përdorimit.

Përkufizimi 7

Shtimi ose llogaritja e një numri në të dy anët. Me fjalë të tjera, kur a dhe b korrespondojnë me pabarazinë a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Prova 2

Për ta vërtetuar këtë, është e nevojshme që ekuacioni të plotësojë kushtin a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Shembulli 3

Për shembull, nëse të dyja pjesët e pabarazisë 7 > 3 rriten me 15 , atëherë marrim se 7 + 15 > 3 + 15 . Kjo është e barabartë me 22 > 18 .

Përkufizimi 8

Kur të dy pjesët e inekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër c, marrim pabarazinë e saktë. Nëse marrim numrin c negativ, atëherë shenja do të ndryshojë në të kundërtën. Përndryshe, duket kështu: për a dhe b, pabarazia vlen kur ap.e.s.

Prova 3

Kur ka një rast c > 0, është e nevojshme të bëhet dallimi midis pjesës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë. Atëherë marrim se a · c − b · c = (a − b) · c . Nga kushti a0 , atëherë prodhimi (a − b) · c do të jetë negativ. Kjo nënkupton që a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Në vërtetim, pjesëtimi me një numër të plotë mund të zëvendësohet me shumëzim me inversin e atij të dhënë, domethënë 1 c. Konsideroni një shembull të një vetie në numra të caktuar.

Shembulli 4

Të dyja pjesët e pabarazisë lejohen 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Tani formulojmë dy rezultatet e mëposhtme që përdoren në zgjidhjen e pabarazive:

Pasoja 1. Kur ndryshon shenjat e pjesëve të një pabarazie numerike, vetë shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën, si një−b. Kjo korrespondon me rregullin e shumëzimit të të dy pjesëve me - 1 . Është e aplikueshme për tranzicion. Për shembull − 6< − 2 , то 6 > 2 .
Pasoja 2. Kur pjesët e një pabarazie numerike zëvendësohen me reciproke, edhe shenja e saj ndryshon dhe pabarazia mbetet e vërtetë. Prandaj kemi që a dhe b janë numra pozitivë, a1b.

Kur pjesëtohen të dyja pjesët e pabarazisë a3 2 kemi atë 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1 b mund të jetë i pasaktë.

Shembulli 5

Për shembull, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 janë një barazi e pavlefshme.

Të gjitha pikat bashkohen nga fakti se veprimet në pjesë të pabarazisë japin pabarazinë e saktë në dalje. Konsideroni vetitë ku fillimisht ka disa pabarazi numerike dhe rezultati i tij do të merret duke shtuar ose shumëzuar pjesët e tij.

Përkufizimi 9

Kur numrat a , b , c , d janë të vlefshëm për mosbarazimet a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Prova 4

Vërtetojmë se (a + c) − (b + d) është një numër negativ, atëherë marrim se a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Vetia përdoret për mbledhjen term pas termi të tre, katër ose më shumë pabarazive numerike. Numrat a 1 , a 2 , … , a n dhe b 1 , b 2 , … , b n u nënshtrohen pabarazive a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Shembulli 6

Për shembull, jepen tre pabarazi numerike të së njëjtës shenjë − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Përkufizimi 10

Shumëzimi termik i të dy pjesëve rezulton në një numër pozitiv. Per nje< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Prova 5

Për ta vërtetuar këtë, na duhen të dyja anët e pabarazisë a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Kjo veti konsiderohet e vlefshme për numrin e numrave me të cilët duhet të shumëzohen të dyja anët e pabarazisë. Pastaj a 1, a 2, …, a n dhe b 1 , b 2 , … , b n janë numra pozitivë, ku një 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Vini re se kur shkruani pabarazi ka numra jo pozitivë, atëherë shumëzimi i tyre term pas termi çon në pabarazi të pasakta.

Shembulli 7

Për shembull, pabarazia 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Pasoja: Shumëzimi termik i pabarazive a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Shqyrtoni vetitë e mëposhtme të pabarazive numerike.

a< a , a >a - pabarazitë e rreme,
a ≤ a , a ≥ a janë pabarazi të sakta.
Nese njea - antisimetria.
Nese nje< b и b < c то a < c - транзитивность.
Nese nje< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
Nese njep.e.s.

Përfundimi 1: nese nje-b.

Pasoja 2: nëse a dhe b janë numra pozitivë dhe a1b.

Nëse një 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
Nëse një 1, një 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n janë numra pozitivë dhe a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Përfundimi 1: nëse a< b , a dhe b janë numra pozitivë, atëherë a n< b n .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

§ 1 Mënyra universale e krahasimit të numrave

Le të njihemi me vetitë themelore të pabarazive numerike, dhe gjithashtu të shqyrtojmë një mënyrë universale për të krahasuar numrat.

Rezultati i krahasimit të numrave mund të shkruhet duke përdorur barazi ose pabarazi. Pabarazia mund të jetë e rreptë ose jo e rreptë. Për shembull, a>3 është një pabarazi strikte; a≥3 është një pabarazi jo e rreptë. Mënyra se si krahasohen numrat varet nga lloji i numrave që krahasohen. Për shembull, nëse duhet të krahasojmë thyesat dhjetore, atëherë i krahasojmë ato pak nga pak; Nëse keni nevojë të krahasoni thyesat e zakonshme me emërues të ndryshëm, atëherë duhet t'i zvogëloni ato në një emërues të përbashkët dhe të krahasoni numëruesit. Por ekziston një mënyrë universale për të krahasuar numrat. Ai konsiston në sa vijon: gjeni ndryshimin midis numrave a dhe b; nëse a - b > 0, pra një numër pozitiv, atëherë a > b; nëse a - b< 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:

2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)

Le të përdorim metodën universale të krahasimit. Gjeni ndryshimin midis shprehjeve 2b2 - 6b + 1 dhe 2b(b - 3);

2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; mbledhim terma të ngjashëm dhe marrim 1. Meqenëse 1 është më e madhe se zero, një numër pozitiv, atëherë 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).

§ 2 Vetitë e mosbarazimeve numerike

Vetia 1. Nëse a > b, b > c, atëherë a > c.

Dëshmi. Nëse a > b, atëherë ndryshimi a - b > 0, domethënë një numër pozitiv. Nëse b >c, atëherë diferenca b - c > 0 është një numër pozitiv. Le të mbledhim numrat pozitivë a - b dhe b - c, të hapim kllapat dhe të japim terma të ngjashëm, marrim (a - b) + (b - c) = a - b + b - c= a - c. Meqenëse shuma e numrave pozitivë është një numër pozitiv, kështu që a - c është një numër pozitiv. Prandaj, a > c, që duhej vërtetuar.

Pasuria 2. Nëse a< b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».

Dëshmi. Le të gjejmë ndryshimin midis shprehjeve a + c dhe b + c, hapim kllapat dhe japim terma të ngjashëm, marrim (a + c) - (b + c) \u003d a + c - b - c \u003d a - b . Sipas kushtit a< b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.

Pasuria 3. Nëse a< b, c - положительное число, то aс < bс.

Nese nje< b, c- отрицательное число, то aс >p.e.s.

Dëshmi. Le të gjejmë ndryshimin midis shprehjeve ac dhe bc, vendosim c jashtë kllapave, atëherë kemi ac-bc = c(a-b). Por që nga një

Nëse shumëzojmë një numër negativ a-b me një numër pozitiv c, atëherë prodhimi c (a-b) është negativ, pra diferenca ac-bc është negative, që do të thotë se ac

Nëse një numër negativ a-b shumëzohet me një numër negativ c, atëherë prodhimi c(a-b) do të jetë pozitiv, pra diferenca ac-bc do të jetë pozitive, që do të thotë ac>bc. Q.E.D.

Për shembull, a -7b.

Meqenëse pjesëtimi mund të zëvendësohet me shumëzim me reciprokun, = n∙, vetia e vërtetuar mund të zbatohet edhe për pjesëtimin. Pra, kuptimi i kësaj vetie është si vijon: “Të dyja pjesët e mosbarazimit mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër pozitiv, ndërsa shenja e mosbarazimit nuk ndryshon. Të dy pjesët e pabarazisë mund të shumëzohen ose pjesëtohen me një numër negativ, dhe është e nevojshme të ndryshohet shenja e pabarazisë në shenjën e kundërt.

Merrni parasysh konkluzionin e veçorisë 3.

Pasoja. Nese nje

Dëshmi. Ndajmë të dyja anët e pabarazisë a

zvogëloni thyesat dhe merrni

Pohimi është vërtetuar.

Në të vërtetë, për shembull, 2< 3, но

Vetia 4. Nëse a > b dhe c > d, atëherë a + c > b + d.

Dëshmi. Meqenëse a>b dhe c>d, ndryshimet a-b dhe c-d janë numra pozitivë. Atëherë shuma e këtyre numrave është gjithashtu një numër pozitiv (a-b)+(c-d). Zgjeroni kllapat dhe grupin (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Në funksion të kësaj barazie, shprehja që rezulton (a + c) - (b + d) do të jetë një numër pozitiv. Prandaj, a+ c> b+ d.

Pabarazitë e formës a>b, c>d ose a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c
Vetia 5. Nëse a > b, c > d, atëherë ac > bd, ku a, b, c, d janë numra pozitivë.

Dëshmi. Meqenëse a>b dhe c janë një numër pozitiv, atëherë, duke përdorur vetinë 3, marrim ac > bc. Meqenëse c >d dhe b është një numër pozitiv, atëherë bc > bd. Prandaj, nga vetia e parë ac > bd. Kuptimi i vetive të vërtetuara është si më poshtë: "Nëse shumëzojmë pabarazitë term me term me të njëjtin kuptim, në të cilat pjesa e majtë dhe e djathtë janë numra pozitivë, atëherë marrim një pabarazi me të njëjtin kuptim"

Për shembull, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Pasuria 6. Nëse a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Dëshmi. Nëse i shumëzojmë term me term këto n pabarazi a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Zbatimi i pronave
Konsideroni një shembull të zbatimit të vetive që kemi shqyrtuar.

Le 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Vlerësoni shumën a + b. Duke përdorur pronën 4, marrim 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Vlerësoni ndryshimin a - b. Meqenëse nuk ka veti për zbritje, atëherë ndryshimi a - b do të zëvendësohet me shumën a + (-b). Le të vlerësojmë (- b) së pari. Për ta bërë këtë, duke përdorur vetinë 3, të dyja pjesët e pabarazisë 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Ne marrim -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Vlerësoni produktin a ∙ b. Me vetinë 5, ne shumëzojmë pabarazitë e së njëjtës shenjë

Për çdo shprehje numerike, vetitë e mëposhtme janë të vërteta.

Prona 1. Nëse shtojmë të njëjtën shprehje numerike në të dy pjesët e mosbarazimit të saktë numerik, atëherë marrim mosbarazimin e saktë numerik, domethënë është e vërtetë: ; .

Dëshmi. Nese nje . Duke përdorur vetitë komutative, asociative dhe distributive të veprimit të mbledhjes, kemi: .

Prandaj, sipas përkufizimit të relacionit "më i madh se" .

Prona 2. Nëse i zbritet e njëjta shprehje numerike nga të dyja pjesët e mosbarazimit të saktë numerik, atëherë fitojmë mosbarazimin e saktë numerik, domethënë është e vërtetë: ;

Dëshmi. Sipas kushteve . Duke përdorur vetinë e mëparshme, ne të dy pjesët e kësaj pabarazie shtojmë një shprehje numerike , marrim: .

Duke përdorur vetinë asociative të veprimit të mbledhjes, kemi: , pra , Rrjedhimisht.

Pasoja.Çdo term mund të transferohet nga një pjesë e pabarazisë numerike në një tjetër me shenjën e kundërt.

Prona 3. Nëse shtojmë pabarazitë e sakta numerike term pas termi, atëherë marrim pabarazinë numerike të saktë, domethënë është e vërtetë:

Dëshmi. Nga vetia 1, kemi: dhe , duke përdorur vetinë kalimtare të relacionit "më e madhe se", marrim: .

Prona 4. Pabarazitë numerike të vërteta me kuptim të kundërt mund të zbriten term pas termi, duke ruajtur shenjën e pabarazisë nga e cila zbresim, pra: ;

Dëshmi. Me përcaktimin e mosbarazimeve numerike të vërteta . Sipas pronës 3, nëse . Si pasojë e vetive 2 të kësaj teoreme, çdo term mund të transferohet nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën me shenjën e kundërt. Rrjedhimisht, . Kështu, nëse.

Prona është vërtetuar në mënyrë të ngjashme.

Prona 5. Nëse të dyja pjesët e pabarazisë së saktë numerike shumëzohen me të njëjtën shprehje numerike që merr një vlerë pozitive pa ndryshuar shenjën e mosbarazimit, atëherë marrim pabarazinë numerike të saktë, domethënë:

Dëshmi. Nga çfarë . Ne kemi: pastaj . Duke përdorur shpërndarjen e veprimit të shumëzimit në lidhje me zbritjen, kemi: .

Pastaj me përcaktimin e relacionit “më i madh se”.

Prona është vërtetuar në mënyrë të ngjashme.

Prona 6. Nëse të dyja pjesët e pabarazisë së saktë numerike shumëzohen me të njëjtën shprehje numerike që merr një vlerë negative, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën, atëherë marrim mosbarazimin e saktë numerik, domethënë: ;

Prona 7. Nëse të dyja pjesët e një pabarazie të vërtetë numerike ndahen me të njëjtën shprehje numerike që merr një vlerë pozitive pa ndryshuar shenjën e pabarazisë, atëherë marrim një pabarazi numerike të vërtetë, domethënë:

Dëshmi. Ne kemi: . Nga vetia 5, marrim: . Duke përdorur asociativitetin e operacionit të shumëzimit, kemi: Rrjedhimisht.

Prona është vërtetuar në mënyrë të ngjashme.

pronë 8. Nëse të dyja pjesët e mosbarazimit të saktë numerik ndahen me të njëjtën shprehje numerike, e cila merr një vlerë negative, duke ndryshuar shenjën e mosbarazimit në të kundërtën, atëherë marrim mosbarazimin e saktë numerik, pra: ;

Ne e harrojmë vërtetimin e kësaj prone.

Prona 9. Nëse i shumëzojmë term për term jobarazimet e sakta numerike të të njëjtit kuptim me pjesë negative, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën, atëherë marrim pabarazinë numerike të saktë, domethënë:

Ne e harrojmë vërtetimin e kësaj prone.

Prona 10. Nëse jobarazimet e sakta numerike të të njëjtit kuptim i shumëzojmë term për term me pjesë pozitive, pa ndryshuar shenjën e mosbarazimit, atëherë marrim mosbarazimin e saktë numerik, domethënë:

Ne e harrojmë vërtetimin e kësaj prone.

Prona 11. Nëse pabarazinë numerike të saktë të kuptimit të kundërt e ndajmë term për term me pjesë pozitive, duke ruajtur shenjën e mosbarazimit të parë, atëherë marrim pabarazinë numerike të saktë, domethënë:

;

.

Ne e harrojmë vërtetimin e kësaj prone.

Shembulli 1 Janë pabarazitë dhe ekuivalente?

Zgjidhje. Mosbarazimi i dytë fitohet nga mosbarazimi i parë duke u shtuar të dy pjesëve të tij të njëjtën shprehje , e cila nuk është përcaktuar për . Kjo do të thotë se numri nuk mund të jetë zgjidhja e pabarazisë së parë. Megjithatë, është një zgjidhje për pabarazinë e dytë. Pra, ka një zgjidhje për pabarazinë e dytë, e cila nuk është një zgjidhje për pabarazinë e parë. Prandaj, këto pabarazi nuk janë ekuivalente. Pabarazia e dytë është pasojë e pabarazisë së parë, pasi çdo zgjidhje e pabarazisë së parë është zgjidhje e së dytës.

Pabarazitë numerike dhe vetitë e tyre

Prezantimi detajon përmbajtjen e temave PABARAZIZIMET NUMERIKE dhe VETITË E PABARAZIMEVE NUMERIKE, jepen shembuj për të vërtetuar mosbarazimet numerike. (Klasa 8 e Algjebrës, autor Makarychev Yu.N.)

Shikoni përmbajtjen e dokumentit
"Pabarazitë numerike dhe vetitë e tyre"

Pabarazitë numerike
dhe vetitë e tyre
Mësues i matematikës, MOU "Upshinskaya OOSh"
Rrethi Orsha i Republikës së Mari El
(Tek libri shkollor Algjebra 8 i Yu.A. Makarychev

Pabarazitë numerike
Rezultati i krahasimit të dy ose më shumë numrave shkruhet si pabarazi duke përdorur shenjat  ,  , =
Krahasojmë numrat duke përdorur të ndryshme rregullat (metodat). Është e përshtatshme të kesh një të përgjithësuar metodë krahasimi që mbulon të gjitha rastet.

Përkufizimi:
Numri a më e madhe se b nëse diferenca ( a – b) është një numër pozitiv.
Numri a më pak se b nëse diferenca ( a – b) është numër negativ.
Numri a është e barabartë me b nëse diferenca ( a – b) – e barabartë me zero

Mënyra e përgjithësuar për të krahasuar numrat
Shembulli 1

Zbatimi i një mënyre të përgjithësuar të krahasimit të numrave për të vërtetuar pabarazitë
Shembulli 2. Vërtetoni se mesatarja aritmetike e dy numrave pozitivë nuk është më e vogël se mesatarja gjeometrike e këtyre numrave.

Nëse të dyja pjesët e një pabarazie të vërtetë shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër pozitiv, atëherë fitohet një pabarazi e vërtetë.
Nëse të dy pjesët e një pabarazie të vërtetë shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër negativ dhe shenja e pabarazisë është e kundërt, atëherë fitohet pabarazia e saktë.

P = 3a
Shumëzoni me 3 të dyja anët e secilës prej pabarazive
54.2 ∙ 3 a ∙ 3
162,6
Zbatimi i vetive të mosbarazimeve numerike

EKUACIONET LINEARE DHE PABARAZIZIMET I

§ 10 Vetitë themelore të inekuacioneve numerike

1. Nëse a > b, pastaj b< а , dhe anasjelltas, nëse a< b , pastaj b > a.

Dëshmi. Le a > b . Sipas përkufizimit, kjo do të thotë se numri ( a - b ) është pozitive. Nëse vendosim një shenjë minus përpara saj, atëherë numri që rezulton është - ( a - b ) padyshim do të jetë negativ. Kjo është arsyeja pse - ( a - b ) < 0, или b - a < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Ftojmë studentët të provojnë vetë pohimin e kundërt.

Vetia e vërtetuar e pabarazive lejon një interpretim të thjeshtë gjeometrik: nëse pika A shtrihet në vijën reale në të djathtë të pikës B, atëherë pika B shtrihet në të majtë të pikës A dhe anasjelltas (shih Fig. 20).

2. Nëse a > b, a b > c, pastaj a > c.

Gjeometrikisht, kjo pronë është si më poshtë. Le të themi pikën A (që korrespondon me numrin a ) shtrihet në të djathtë të pikës B (që korrespondon me numrin b ), dhe pika B, nga ana tjetër, shtrihet në të djathtë të pikës C (që korrespondon me numrin Me ). Atëherë pika A do të shtrihet edhe më shumë në të djathtë të pikës C (Fig. 21).

Le të japim një provë algjebrike të kësaj vetie të pabarazive.

Le a > b , a b > c . Kjo do të thotë se numrat ( a - b ) dhe ( b-c ) janë pozitive. Shuma e dy numrave pozitivë është padyshim pozitive. prandaj ( a - b ) + (b-c ) > 0, ose a - c > 0. Por kjo do të thotë se a > Me .

3. Nëse a > b, pastaj për çdo numër Me a + c > b + c, a - c > b - c.

Me fjalë të tjera, nëse i njëjti numër i shtohet ose i zbritet të dy pjesëve të një pabarazie numerike, atëherë pabarazia nuk do të cenohet.

Dëshmi. Le a > b . Do të thotë se a - b > 0. Por a - b = (a + c ) - (b + c ). prandaj ( a + c ) - (b + c ) > 0. Dhe sipas përkufizimit, kjo do të thotë se a + c > b + c . Në mënyrë të ngjashme, tregohet se a - c > b - c .

Për shembull, nëse shtojmë 1 1 / 2 në të dy pjesët e pabarazisë 5 > 4, atëherë marrim
6 1/2 > 5 1/2 . Duke zbritur numrin 5 nga të dy pjesët e kësaj pabarazie, marrim 0 > - 1.

Pasoja.Çdo term i një pjese të pabarazisë numerike mund të transferohet në pjesën tjetër të pabarazisë duke ndryshuar shenjën e këtij termi në të kundërtën.

Le të, për shembull, a + b > c . Kërkohet të vërtetohet se a > c - b . Për të vërtetuar nga të dyja pjesët e kësaj pabarazie, mjafton të zbritet numri b .

4. Le a > b. Nese nje c > 0, pastaj ac > bc . Nëse Me< 0 , pastaj asi< bс .

Me fjale te tjera, nëse të dyja pjesët e pabarazisë numerike shumëzohen me një numër pozitiv, atëherë pabarazia nuk do të cenohet;
Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen me një numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën.

Shkurtimisht, kjo pronë është formuluar si më poshtë:

Pabarazia ruhet në shumëzimin term-pas-term me një numër pozitiv dhe anulon shenjën në shumëzimin term-pas-term me një numër negativ.

Për shembull, duke shumëzuar pabarazinë 5 > 1 term me term me 7, marrim 35 > 7. Shumëzimi term pas termi i të njëjtës pabarazi me - 7 jep - 35< - 7.

Vërtetim i pasurisë së 4-të.

Le a > b. Kjo do të thotë se numri a - b pozitivisht. Prodhimi i dy numrave pozitivë a - b dhe Me është padyshim gjithashtu pozitive, d.m.th. a - b ) Me > 0, ose
ac - bc > 0. Prandaj ac > bc .

Në mënyrë të ngjashme, ne e konsiderojmë rastin kur numri Me negativ. Prodhimi i një numri pozitiv a - b në një numër negativ Me është padyshim negativ, d.m.th.
(a - b) c< 0; prandaj ac - p.e.s< 0, prej nga asi< bс .

Pasoja. Shenja e pabarazisë ruhet kur pjesëtohet term për term me një numër pozitiv dhe anulohet kur pjesëtohet me term me një numër negativ.

Kjo rrjedh nga fakti se pjesëtimi me një numër Me =/= 0 është ekuivalente me shumëzimin me numrin 1 / c .

Ushtrime

81. A mund të shumëzohet pabarazia 2 > 1 term me term me

a) a 2+1; b) | a | në) a ; d) 1 - 2a + a 2

në mënyrë që të ruhet shenja e pabarazisë?

82. A është gjithmonë 5 X mbi 4 X , a - në më pak në ?

83. Çfarë mund të jetë një numër X nëse dihet se - X > 7?

84. Rendit në rritje të numrit: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 a , 2a ; në) a , a 2 , a 3 . 85. Radhiti në rend zbritës të numrit

a - b , a - 2b , a - 3b .

86. Jepni një interpretim gjeometrik të vetive të tretë të mosbarazimeve numerike.

Artikulli i mëparshëm: Anglisht detare për jahtistët Kushtet detare në anglisht Artikulli vijues: Lumenjtë që rrjedhin në Detin Kaspik: lista, përshkrimi, karakteristikat Kush kufizohet me Detin Kaspik

Vetitë e mosbarazimeve numerike thyesa e zakonshme. Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Vetitë themelore

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Shikoni përmbajtjen e dokumentit "Pabarazitë numerike dhe vetitë e tyre"

Shikoni përmbajtjen e dokumentit
"Pabarazitë numerike dhe vetitë e tyre"