Teorema e Pitagorës është e drejtpërdrejtë. Nga historia e çështjes

Sigurohuni që trekëndëshi që ju jepet të jetë një trekëndësh kënddrejtë, pasi teorema e Pitagorës zbatohet vetëm për trekëndëshat kënddrejtë. Në trekëndëshat kënddrejtë, njëri nga tre këndet është gjithmonë 90 gradë.

• Një kënd i drejtë në një trekëndësh kënddrejtë tregohet nga një katror në vend të një kurbë, e cila përfaqëson kënde jo të drejta.

Etiketoni anët e trekëndëshit. Përcaktoni këmbët si "a" dhe "b" (këmbët janë anët që kryqëzohen në kënde të drejta), dhe hipotenuzën si "c" (hipotenuza është ana më e madhe e një trekëndëshi kënddrejtë që shtrihet përballë këndit të drejtë).

Teorema e Pitagorës është një teoremë themelore e gjeometrisë Euklidiane, e cila postulon raportin e këmbëve dhe hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë. Kjo është ndoshta teorema më e njohur në botë, e njohur për të gjithë nga shkolla.

Historia e teoremës

Në fakt, teoria e raportit të brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë ishte e njohur shumë përpara Pitagorës nga ishulli i Samos. Kështu, problemet në raportin e anëve gjenden në tekstet e lashta nga periudha e mbretërimit të mbretit babilonas Hamurabi, domethënë 1500 vjet para lindjes së matematikanit Samian. Shënimet në anët e trekëndëshit janë regjistruar jo vetëm në Babiloni, por edhe në Egjiptin e Lashtë dhe Kinën. Një nga raportet më të famshme të numrave të plotë të këmbëve dhe hipotenuzës duket si 3, 4 dhe 5. Këta numra janë përdorur nga anketuesit dhe arkitektët e lashtë për të ndërtuar kënde të drejta.

Pra, Pitagora nuk shpiku teoremën për raportin e këmbëve dhe hipotenuzës. Ai ishte i pari në histori që e vërtetoi këtë. Megjithatë, ka dyshime për këtë, pasi prova e matematikanit Samian, nëse është regjistruar, ka humbur me shekuj. Ekziston një mendim se vërtetimi i teoremës së dhënë në Elementet e Euklidit i përket pikërisht Pitagorës. Megjithatë, historianët e matematikës kanë dyshime serioze për këtë.

Pitagora ishte i pari, por pas tij teorema në anët e një trekëndëshi kënddrejtë u vërtetua rreth 400 herë, duke përdorur një sërë metodash: nga gjeometria klasike te llogaritja diferenciale. Teorema e Pitagorës ka pushtuar gjithmonë mendjet kureshtare, kështu që midis autorëve të provave mund të kujtohet presidenti amerikan James Garfield.

Dëshmi e

Të paktën katërqind prova të teoremës së Pitagorës janë regjistruar në literaturën matematikore. Një numër i tillë befasues shpjegohet me rëndësinë themelore të teoremës për shkencën dhe natyrën elementare të rezultatit. Në thelb, teorema e Pitagorës vërtetohet me metoda gjeometrike, më të njohurat prej të cilave janë metoda e zonave dhe metoda e ngjashmërive.

Metoda më e thjeshtë e vërtetimit të një teoreme, e cila nuk kërkon ndërtime të detyrueshme gjeometrike, është metoda e sipërfaqes. Pitagora deklaroi se katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve:

Le të përpiqemi ta vërtetojmë këtë deklaratë të guximshme. Ne e dimë se sipërfaqja e çdo figure përcaktohet nga katrori i një segmenti të vijës. Segmenti i linjës mund të jetë çdo gjë, por më shpesh është ana e formës ose rrezja e saj. Në varësi të zgjedhjes së segmentit dhe llojit të figurës gjeometrike, katrori do të ketë koeficientë të ndryshëm:

• njësi në rastin e një katrori - S \u003d a 2;
• afërsisht 0,43 në rastin e një trekëndëshi barabrinjës - S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
• Pi në rastin e një rrethi - S \u003d pi × R 2.

Kështu, ne mund të shprehim sipërfaqen e çdo trekëndëshi si S = F × a 2, ku F është një koeficient.

Një trekëndësh kënddrejtë është një figurë e mahnitshme që mund të ndahet lehtësisht në dy trekëndësha të ngjashëm kënddrejtë thjesht duke hedhur një pingul nga çdo kulm. Kjo ndarje e kthen një trekëndësh kënddrejtë në shumën e dy trekëndëshave kënddrejtë më të vegjël. Meqenëse trekëndëshat janë të ngjashëm, sipërfaqet e tyre llogariten duke përdorur të njëjtën formulë, e cila duket si kjo:

S = F × hipotenuzë 2

Si rezultat i ndarjes së një trekëndëshi të madh me brinjët a, b dhe c (hipotenuzë), u përftuan tre trekëndësha, dhe për figurat më të vogla, brinjët e trekëndëshit origjinal a dhe b rezultuan të ishin hipotenuse. Kështu, sipërfaqet e trekëndëshave të ngjashëm llogariten si:

• S1 = F × c 2 është trekëndëshi origjinal;
• S2 = F × a 2 është trekëndëshi i parë i ngjashëm;
• S3 = F × b 2 është trekëndëshi i dytë i ngjashëm.

Natyrisht, zona e një trekëndëshi të madh është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të atyre të ngjashme:

F × c 2 = F × a2 + F × b 2

Faktori F është i lehtë për t'u reduktuar. Si rezultat, marrim:

c 2 \u003d a 2 + b 2,

Q.E.D.

Trinjakët e Pitagorës

Raporti popullor i këmbëve dhe hipotenuseve si 3, 4 dhe 5 është përmendur tashmë më lart. Treshe të Pitagorës janë një grup prej tre numrash relativisht të thjeshtë që plotësojnë kushtin a 2 + b 2 \u003d c 2. Ka një numër të pafund kombinimesh të tilla, dhe të parat prej tyre u përdorën në antikitet për të ndërtuar kënde të drejta. Duke lidhur një numër të caktuar nyjesh në një varg në intervale të rregullta dhe duke e palosur atë në formën e një trekëndëshi, shkencëtarët e lashtë morën një kënd të drejtë. Për ta bërë këtë, në secilën anë të trekëndëshit kërkohej të lidheshin nyje, në një sasi që korrespondonte me treshe të Pitagorës:

• 3, 4 dhe 5;
• 5, 12 dhe 13;
• 7, 24 dhe 25;
• 8, 15 dhe 17.

Për më tepër, çdo treshe e Pitagorës mund të rritet me një numër të plotë herë dhe të marrë një marrëdhënie proporcionale që korrespondon me kushtin e teoremës së Pitagorës. Për shembull, nga trefishi 5, 12, 13, mund të merrni vlerat e anëve 10, 24, 26 thjesht duke shumëzuar me 2. Sot, trefishat e Pitagorës përdoren për të zgjidhur shpejt problemet gjeometrike.

Zbatimi i teoremës së Pitagorës

Teorema e matematikanit Samian përdoret jo vetëm në gjeometrinë e shkollës. Teorema e Pitagorës gjen zbatim në arkitekturë, astronomi, fizikë, letërsi, teknologji informacioni, madje edhe në vlerësimin e efektivitetit të rrjeteve sociale. Teorema vlen edhe në jetën reale.

përzgjedhja e picave

Në piceri, klientët shpesh përballen me pyetjen: a duhet të marr një picë të madhe apo dy më të vogla? Le të themi se mund të blini një pica me diametër 50 cm ose dy pica më të vogla me diametër 30 cm. Në pamje të parë, dy pica më të vogla janë më të mëdha dhe më fitimprurëse, por nuk ishte kështu. Si të krahasoni shpejt zonën e picave që ju pëlqejnë?

Kujtojmë teoremën e matematikanit Samian dhe të treshave të Pitagorës. Sipërfaqja e një rrethi është katrori i diametrit me një faktor F = pi/4. Dhe trefishi i parë i Pitagorës është 3, 4 dhe 5, të cilin mund ta kthejmë lehtësisht në një treshe 30, 40, 50. Prandaj 50 2 = 30 2 + 40 2. Natyrisht, sipërfaqja e një pice me diametër 50 cm do të jetë më e madhe se shuma e picave me diametër 30 cm. Duket se teorema është e zbatueshme vetëm në gjeometri dhe vetëm për trekëndëshat, por ky shembull tregon se lidhja c 2 = a 2 + b 2 mund të përdoret edhe për të krahasuar figurat e tjera dhe karakteristikat e tyre.

Llogaritësi ynë online ju lejon të llogaritni çdo vlerë që plotëson ekuacionin themelor të shumës së katrorëve. Për të llogaritur, mjafton të futni 2 çdo vlerë, pas së cilës programi do të llogarisë koeficientin që mungon. Llogaritësi funksionon jo vetëm me numra të plotë, por edhe me vlera thyesore, prandaj, lejohet të përdoret çdo numër për llogaritjet, dhe jo vetëm treshe Pitagora.

konkluzioni

Teorema e Pitagorës është një gjë themelore që përdoret gjerësisht në shumë aplikime shkencore. Përdorni kalkulatorin tonë në internet për të llogaritur madhësinë e vlerave që lidhen me shprehjen c 2 = a 2 + b 2.

Potenciali për kreativitet zakonisht i atribuohet shkencave humane, duke lënë analizën natyrore shkencore, qasjen praktike dhe gjuhën e thatë të formulave dhe numrave. Matematika nuk mund të klasifikohet si lëndë e shkencave humane. Por pa kreativitet në "mbretëreshën e të gjitha shkencave" nuk do të shkoni larg - njerëzit e kanë ditur për këtë për një kohë të gjatë. Që nga koha e Pitagorës, për shembull.

Tekstet shkollore, për fat të keq, zakonisht nuk shpjegojnë se në matematikë është e rëndësishme jo vetëm të grumbullohen teorema, aksioma dhe formula. Është e rëndësishme të kuptoni dhe ndjeni parimet e tij themelore. Dhe në të njëjtën kohë, përpiquni të çlironi mendjen tuaj nga klishetë dhe të vërtetat elementare - vetëm në kushte të tilla lindin të gjitha zbulimet e mëdha.

Zbulime të tilla përfshijnë atë që sot e njohim si teorema e Pitagorës. Me ndihmën e saj, ne do të përpiqemi të tregojmë se matematika jo vetëm që mundet, por duhet të jetë argëtuese. Dhe se kjo aventurë është e përshtatshme jo vetëm për budallenj me gota të trasha, por për të gjithë ata që janë të fortë në mendje dhe të fortë në shpirt.

Nga historia e çështjes

Në mënyrë të rreptë, megjithëse teorema quhet "teorema e Pitagorës", vetë Pitagora nuk e zbuloi atë. Trekëndëshi kënddrejtë dhe vetitë e tij të veçanta janë studiuar shumë përpara tij. Ekzistojnë dy këndvështrime polare për këtë çështje. Sipas një versioni, Pitagora ishte i pari që gjeti një provë të plotë të teoremës. Sipas një tjetri, prova nuk i përket autorësisë së Pitagorës.

Sot nuk mund të kontrolloni më se kush ka të drejtë dhe kush e ka gabim. Dihet vetëm se prova e Pitagorës, nëse ka ekzistuar ndonjëherë, nuk ka mbijetuar. Sidoqoftë, ka sugjerime se prova e famshme nga Elementet e Euklidit mund t'i përkasë Pitagorës dhe Euklidi vetëm e regjistroi atë.

Dihet gjithashtu sot se problemet rreth një trekëndëshi kënddrejtë gjenden në burimet egjiptiane nga koha e faraonit Amenemhet I, në pllakat e baltës babilonase nga mbretërimi i mbretit Hamurabi, në traktatin e lashtë indian Sulva Sutra dhe veprën e lashtë kineze Zhou. -bi suan jin.

Siç mund ta shihni, teorema e Pitagorës ka pushtuar mendjet e matematikanëve që nga kohërat e lashta. Përafërsisht 367 prova të ndryshme që ekzistojnë sot shërbejnë si konfirmim. Asnjë teoremë tjetër nuk mund të konkurrojë me të në këtë drejtim. Autorë të dukshëm të provave përfshijnë Leonardo da Vinci dhe Presidentin e 20-të të Shteteve të Bashkuara, James Garfield. E gjithë kjo flet për rëndësinë ekstreme të kësaj teoreme për matematikën: shumica e teoremave të gjeometrisë rrjedhin prej saj ose, në një mënyrë ose në një tjetër, lidhen me të.

Provat e Teoremës së Pitagorës

Tekstet shkollore japin kryesisht prova algjebrike. Por thelbi i teoremës është në gjeometri, prandaj le të shqyrtojmë para së gjithash ato prova të teoremës së famshme që bazohen në këtë shkencë.

Prova 1

Për provën më të thjeshtë të teoremës së Pitagorës për një trekëndësh kënddrejtë, duhet të vendosni kushte ideale: le të jetë trekëndëshi jo vetëm kënddrejtë, por edhe dykëndësh. Ka arsye për të besuar se ishte një trekëndësh i tillë që fillimisht u konsiderua nga matematikanët e lashtë.

Deklaratë "Një katror i ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me shumën e katrorëve të ndërtuar në këmbët e tij" mund të ilustrohet me vizatimin e mëposhtëm:

Shikoni trekëndëshin kënddrejtë dykëndësh ABC: Në hipotenuzën AC, mund të ndërtoni një katror të përbërë nga katër trekëndësha të barabartë me ABC origjinal. Dhe në këmbët AB dhe BC të ndërtuara në një katror, ​​secila prej të cilave përmban dy trekëndësha të ngjashëm.

Nga rruga, ky vizatim formoi bazën e anekdotave dhe karikaturave të shumta kushtuar teoremës së Pitagorës. Ndoshta më i famshmi është "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet":

Prova 2

Kjo metodë kombinon algjebrën dhe gjeometrinë dhe mund të shihet si një variant i provës së lashtë indiane të matematikanit Bhaskari.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë me brinjë a, b dhe c(Fig. 1). Pastaj ndërtoni dy katrorë me brinjë të barabartë me shumën e gjatësive të dy këmbëve - (a+b). Në secilin prej katrorëve bëni konstruksione, si në figurat 2 dhe 3.

Në katrorin e parë ndërtoni katër trekëndësha të njëjtë si në figurën 1. Si rezultat, fitohen dy katrorë: njëri me brinjën a, i dyti me brinjë b.

Në katrorin e dytë, katër trekëndësha të ngjashëm të ndërtuar formojnë një katror me brinjë të barabartë me hipotenuzën c.

Shuma e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në figurën 2 është e barabartë me sipërfaqen e katrorit që kemi ndërtuar me anën c në figurën 3. Kjo mund të verifikohet lehtësisht duke llogaritur sipërfaqet e katrorëve në Fig. 2 sipas formulës. Dhe sipërfaqja e katrorit të gdhendur në figurën 3. duke zbritur sipërfaqet e katër trekëndëshave të barabartë kënddrejtë të gdhendur në katror nga sipërfaqja e një sheshi të madh me një anë. (a+b).

Duke i vënë të gjitha këto poshtë, ne kemi: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Zgjeroni kllapat, bëni të gjitha llogaritjet e nevojshme algjebrike dhe merrni atë a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Në të njëjtën kohë, zona e mbishkruar në Fig.3. katrori mund të llogaritet edhe duke përdorur formulën tradicionale S=c2. Ato. a2+b2=c2 Ju keni vërtetuar teoremën e Pitagorës.

Prova 3

E njëjta provë e lashtë indiane përshkruhet në shekullin e 12-të në traktatin "Kurora e dijes" ("Siddhanta Shiromani"), dhe si argument kryesor autori përdor një apel drejtuar talenteve matematikore dhe fuqive të vëzhgimit të studentëve dhe ndjekësit: "Shiko!".

Por ne do ta analizojmë këtë provë më në detaje:

Brenda katrorit ndërtoni katër trekëndësha kënddrejtë siç tregohet në vizatim. Shënohet ana e katrorit të madh, që është edhe hipotenuza Me. Le t'i quajmë këmbët e trekëndëshit a dhe b. Sipas vizatimit, ana e katrorit të brendshëm është (a-b).

Përdorni formulën e sipërfaqes katrore S=c2 për të llogaritur sipërfaqen e katrorit të jashtëm. Dhe në të njëjtën kohë llogaritni të njëjtën vlerë duke shtuar sipërfaqen e katrorit të brendshëm dhe sipërfaqen e katër trekëndëshave kënddrejtë: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ju mund të përdorni të dy opsionet për të llogaritur sipërfaqen e një katrori për t'u siguruar që ato japin të njëjtin rezultat. Dhe kjo ju jep të drejtën ta shkruani atë c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Si rezultat i zgjidhjes, do të merrni formulën e teoremës së Pitagorës c2=a2+b2. Teorema është vërtetuar.

Prova 4

Kjo dëshmi kurioze e lashtë kineze u quajt "Karrika e nuses" - për shkak të figurës si karrige që rezulton nga të gjitha ndërtimet:

Ai përdor vizatimin që kemi parë tashmë në Figurën 3 në provën e dytë. Dhe katrori i brendshëm me anën c është ndërtuar në të njëjtën mënyrë si në provën e lashtë indiane të dhënë më sipër.

Nëse i preni mendërisht dy trekëndësha kënddrejtë të gjelbër nga vizatimi në figurën 1, i zhvendosni në anët e kundërta të katrorit me anën c dhe i lidhni hipotenuset në hipotenusat e trekëndëshave jargavan, do të merrni një figurë të quajtur "karrige e nuses". ” (Fig. 2). Për qartësi, mund të bëni të njëjtën gjë me katrorë dhe trekëndësha letre. Do të shihni që “karrigia e nuses” është formuar nga dy katrorë: të vegjël me anë b dhe i madh me një anë a.

Këto ndërtime i lejuan matematikanët e lashtë kinezë dhe ne që i ndiqnim të dilnim në përfundimin se c2=a2+b2.

Prova 5

Kjo është një mënyrë tjetër për të gjetur një zgjidhje për teoremën e Pitagorës bazuar në gjeometri. Quhet Metoda Garfield.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë ABC. Ne duhet ta vërtetojmë këtë BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Për ta bërë këtë, vazhdoni këmbën AC dhe ndërtoni një segment CD, e cila është e barabartë me këmbën AB. Perpendikular i poshtëm pas Krishtit segmenti i linjës ED. Segmentet ED dhe AC janë të barabartë. lidhni pikat E dhe AT, si dhe E dhe NGA dhe merrni një vizatim si në foton më poshtë:

Për të vërtetuar kullën, ne përsëri i drejtohemi metodës që kemi testuar tashmë: gjejmë sipërfaqen e figurës që rezulton në dy mënyra dhe barazojmë shprehjet me njëra-tjetrën.

Gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi NJË KREVAT mund të bëhet duke shtuar sipërfaqet e tre trekëndëshave që e formojnë atë. Dhe një prej tyre ERU, nuk është vetëm drejtkëndëshe, por edhe dykëndëshe. Le të mos e harrojmë gjithashtu AB=CD, AC=ED dhe BC=E.S- kjo do të na lejojë të thjeshtojmë regjistrimin dhe të mos e mbingarkojmë atë. Kështu që, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Në të njëjtën kohë, është e qartë se NJË KREVATështë një trapez. Prandaj, ne llogarisim zonën e saj duke përdorur formulën: SABED=(DE+AB)*1/2 pas Krishtit. Për llogaritjet tona, është më e përshtatshme dhe më e qartë të përfaqësohet segmenti pas Krishtit si shuma e segmenteve AC dhe CD.

Le të shkruajmë të dyja mënyrat për të llogaritur sipërfaqen e një figure duke vendosur një shenjë të barabartë midis tyre: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ne përdorim barazinë e segmenteve tashmë të njohura për ne dhe të përshkruara më sipër për të thjeshtuar anën e djathtë të shënimit: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Dhe tani hapim kllapat dhe transformojmë barazinë: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Pasi të kemi përfunduar të gjitha transformimet, marrim pikërisht atë që na nevojitet: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Ne kemi vërtetuar teoremën.

Sigurisht, kjo listë e provave është larg të qenit e plotë. Teorema e Pitagorës mund të vërtetohet edhe duke përdorur vektorë, numra kompleksë, ekuacione diferenciale, stereometri, etj. Dhe madje edhe fizikanët: nëse, për shembull, lëngu derdhet në vëllime katrore dhe trekëndore të ngjashme me ato të treguara në vizatime. Duke derdhur lëng, është e mundur të vërtetohet barazia e zonave dhe si rezultat vetë teorema.

Disa fjalë për trenjakët e Pitagorës

Kjo çështje është pak ose aspak e studiuar në kurrikulën shkollore. Ndërkohë, është shumë interesant dhe ka një rëndësi të madhe në gjeometri. Treshe të Pitagorës përdoren për të zgjidhur shumë probleme matematikore. Ideja e tyre mund të jetë e dobishme për ju në edukimin e mëtejshëm.

Pra, çfarë janë trenjakët e Pitagorës? Të ashtuquajturat numra natyrorë, të mbledhur në treshe, shuma e katrorëve të dy prej të cilëve është e barabartë me numrin e tretë në katror.

Treshe të Pitagorës mund të jenë:

• primitiv (të tre numrat janë relativisht të thjeshtë);
• jo-primitive (nëse çdo numër i një treshe shumëzohet me të njëjtin numër, ju merrni një treshe të re që nuk është primitiv).

Edhe para epokës sonë, egjiptianët e lashtë ishin të magjepsur nga mania për numrin e treshave të Pitagorës: në detyra ata konsideronin një trekëndësh kënddrejtë me brinjë 3.4 dhe 5 njësi. Nga rruga, çdo trekëndësh, anët e të cilit janë të barabarta me numrat nga trefishi i Pitagorës, është si parazgjedhje drejtkëndëshe.

Shembuj të treshave të Pitagorës: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) etj.

Zbatimi praktik i teoremës

Teorema e Pitagorës gjen zbatim jo vetëm në matematikë, por edhe në arkitekturë dhe ndërtim, astronomi, madje edhe në letërsi.

Së pari, në lidhje me ndërtimin: teorema e Pitagorës përdoret gjerësisht në të në probleme të niveleve të ndryshme të kompleksitetit. Për shembull, shikoni dritaren romane:

Le të shënojmë gjerësinë e dritares si b, atëherë rrezja e gjysmërrethit të madh mund të shënohet si R dhe shprehin përmes b: R=b/2. Rrezja e gjysmërretheve më të vogla mund të shprehet edhe në terma të b: r=b/4. Në këtë problem, ne jemi të interesuar për rrezen e rrethit të brendshëm të dritares (le ta quajmë atë fq).

Teorema e Pitagorës thjesht vjen në ndihmë për të llogaritur R. Për ta bërë këtë, ne përdorim një trekëndësh kënddrejtë, i cili tregohet nga një vijë me pika në figurë. Hipotenuza e një trekëndëshi përbëhet nga dy rreze: b/4+p. Njëra këmbë është një rreze b/4, një tjetër b/2-p. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, ne shkruajmë: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Më pas, hapim kllapat dhe marrim b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Le ta shndërrojmë këtë shprehje në bp/2=b 2 /4-bp. Dhe pastaj ne i ndajmë të gjitha termat në b, japim të ngjashme për të marrë 3/2*p=b/4. Dhe në fund e gjejmë atë p=b/6- kjo është ajo që na duhej.

Duke përdorur teoremën, mund të llogarisni gjatësinë e mahijeve për një çati gable. Përcaktoni se sa e lartë nevojitet një kullë e lëvizshme që sinjali të arrijë një vendbanim të caktuar. Dhe madje instaloni në mënyrë të qëndrueshme një pemë të Krishtlindjes në sheshin e qytetit. Siç mund ta shihni, kjo teoremë jeton jo vetëm në faqet e teksteve shkollore, por shpesh është e dobishme në jetën reale.

Për sa i përket letërsisë, teorema e Pitagorës ka frymëzuar shkrimtarët që nga lashtësia dhe vazhdon të frymëzojë edhe sot. Për shembull, shkrimtari gjerman i shekullit të nëntëmbëdhjetë Adelbert von Chamisso u frymëzua prej saj për të shkruar një sonet:

Drita e së vërtetës nuk do të zhduket shpejt,
Por, pasi shkëlqeu, nuk ka gjasa të shpërndahet
Dhe, si mijëra vjet më parë,
Nuk do të shkaktojë dyshime dhe mosmarrëveshje.

Më e mençura kur prek syrin
Drita e së vërtetës, falënderoj perënditë;
Dhe njëqind dema, të therur me thikë, gënjejnë -
Dhurata e kthimit e Pitagorës me fat.

Që atëherë, demat kanë ulëritur në mënyrë të dëshpëruar:
Përgjithmonë zgjoi fisin e demave
ngjarje e përmendur këtu.

Ata mendojnë se ka ardhur koha
Dhe përsëri ata do të sakrifikohen
Një teoremë e madhe.

(përkthyer nga Viktor Toporov)

Dhe në shekullin e njëzetë, shkrimtari sovjetik Yevgeny Veltistov në librin e tij "Aventurat e Elektronikës" i kushtoi një kapitull të tërë provave të teoremës së Pitagorës. Dhe gjysmë kapitulli i tregimit për botën dydimensionale që mund të ekzistonte nëse teorema e Pitagorës do të bëhej ligji themelor dhe madje feja për një botë të vetme. Do të ishte shumë më e lehtë për të jetuar në të, por edhe shumë më e mërzitshme: për shembull, askush atje nuk e kupton kuptimin e fjalëve "të rrumbullakët" dhe "me gëzof".

Dhe në librin "Aventurat e Elektronikës", autori, me gojën e mësuesit të matematikës Taratara, thotë: "Gjëja kryesore në matematikë është lëvizja e mendimit, idetë e reja". Është ky fluturim krijues i mendimit që gjeneron teoremën e Pitagorës - jo më kot ajo ka kaq shumë prova të ndryshme. Ndihmon për të shkuar përtej të zakonshmes dhe për të parë gjërat e njohura në një mënyrë të re.

konkluzioni

Ky artikull u krijua në mënyrë që të mund të shikoni përtej kurrikulës shkollore në matematikë dhe të mësoni jo vetëm ato prova të teoremës së Pitagorës që jepen në tekstet "Gjeometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dhe "Gjeometria 7 -11". ” (A.V. Pogorelov), por edhe mënyra të tjera kurioze për të vërtetuar teoremën e famshme. Dhe gjithashtu shihni shembuj se si mund të zbatohet teorema e Pitagorës në jetën e përditshme.

Së pari, ky informacion do t'ju lejojë të kërkoni rezultate më të larta në klasat e matematikës - informacioni mbi këtë temë nga burime shtesë vlerësohet gjithmonë shumë.

Së dyti, ne donim t'ju ndihmonim të kuptoni se sa interesante është matematika. Të binden me shembuj konkretë se në të ka gjithmonë vend për kreativitet. Shpresojmë që teorema e Pitagorës dhe ky artikull do t'ju frymëzojnë të bëni kërkimet tuaja dhe zbulimet emocionuese në matematikë dhe shkenca të tjera.

Na tregoni në komente nëse ju gjetën interesante provat e paraqitura në artikull. A ju duk i dobishëm ky informacion në studimet tuaja? Na tregoni se çfarë mendoni për teoremën e Pitagorës dhe këtë artikull - ne do të jemi të lumtur t'i diskutojmë të gjitha këto me ju.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Teorema e Pitagorës- një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, që vendos relacionin

ndërmjet brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Besohet se është vërtetuar nga matematikani grek Pitagora, pas të cilit është emëruar.

Formulimi gjeometrik i teoremës së Pitagorës.

Teorema fillimisht u formulua si më poshtë:

Në një trekëndësh kënddrejtë, sipërfaqja e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve,

ndërtuar mbi kateter.

Formulimi algjebrik i teoremës së Pitagorës.

Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve.

Kjo është, duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit përmes c, dhe gjatësitë e këmbëve nëpër a dhe b:

Të dyja formulimet teoremat e Pitagorës janë ekuivalente, por formulimi i dytë është më elementar, nuk ka

kërkon konceptin e zonës. Kjo do të thotë, deklarata e dytë mund të verifikohet pa ditur asgjë për zonën dhe

duke matur vetëm gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Teorema e anasjelltë e Pitagorës.

Nëse katrori i njërës anë të trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera, atëherë

trekëndëshi është drejtkëndor.

Ose, me fjalë të tjera:

Për çdo trefish të numrave pozitivë a, b dhe c, sikurse

ka një trekëndësh kënddrejtë me këmbë a dhe b dhe hipotenuzë c.

Teorema e Pitagorës për një trekëndësh izoscelular.

Teorema e Pitagorës për një trekëndësh barabrinjës.

Vërtetime të teoremës së Pitagorës.

Për momentin, 367 prova të kësaj teoreme janë regjistruar në literaturën shkencore. Ndoshta teorema

Pitagora është e vetmja teoremë me një numër kaq mbresëlënës provash. Një diversitet i tillë

mund të shpjegohet vetëm me rëndësinë themelore të teoremës për gjeometrinë.

Sigurisht, konceptualisht, të gjitha ato mund të ndahen në një numër të vogël klasash. Më të famshmit prej tyre:

dëshmi e metoda e zonës, aksiomatike dhe dëshmi ekzotike(për shembull,

duke përdorur ekuacionet diferenciale).

1. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës në terma të trekëndëshave të ngjashëm.

Vërtetimi i mëposhtëm i formulimit algjebrik është më i thjeshti nga provat e ndërtuara

direkt nga aksiomat. Në veçanti, ai nuk përdor konceptin e zonës së një figure.

Le ABC ka një trekëndësh kënddrejtë C. Le të nxjerrim një lartësi nga C dhe shënojnë

themeli i saj nëpërmjet H.

Trekëndëshi ACH të ngjashme me një trekëndësh AB C në dy qoshe. Po kështu, trekëndëshi CBH i ngjashëm ABC.

Duke futur shënimin:

marrim:

,

që përputhet -

Duke u palosur a 2 dhe b 2, marrim:

ose , që duhej vërtetuar.

2. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës me metodën e zonës.

Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Të gjithë ata

përdorni vetitë e zonës, vërtetimi i së cilës është më i ndërlikuar se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës.

• Vërtetimi përmes barazplotësimit.

Organizoni katër drejtkëndëshe të barabarta

trekëndësh siç tregohet në foto

në të djathtë.

Katërkëndësh me brinjë c- katror,

meqenëse shuma e dy këndeve akute është 90°, dhe

këndi i zhvilluar është 180°.

Sipërfaqja e të gjithë figurës është, nga njëra anë,

sipërfaqja e një katrori me anë ( a+b), dhe nga ana tjetër, shuma e sipërfaqeve të katër trekëndëshave dhe

Q.E.D.

3. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës me metodën infinitezimale.

​

Duke marrë parasysh vizatimin e paraqitur në figurë, dhe

duke parë ndryshimin e anësa, ne mundemi

shkruani relacionin e mëposhtëm për pafundësinë

i vogël rritje anësoreMe dhe a(duke përdorur ngjashmëri

trekëndëshat):

Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, gjejmë:

Një shprehje më e përgjithshme për ndryshimin e hipotenuzës në rastin e rritjeve të të dy këmbëve:

Duke integruar këtë ekuacion dhe duke përdorur kushtet fillestare, marrim:

Kështu, arrijmë në përgjigjen e dëshiruar:

Siç mund të shihet lehtë, varësia kuadratike në formulën përfundimtare shfaqet për shkak të lineares

proporcionaliteti ndërmjet brinjëve të trekëndëshit dhe rritjeve, ndërsa shuma lidhet me të pavarurin

kontributet nga rritja e këmbëve të ndryshme.

Një provë më e thjeshtë mund të merret nëse supozojmë se njëra nga këmbët nuk përjeton një rritje

(në këtë rast, këmba b). Pastaj për konstantën e integrimit marrim:

Në një gjë, mund të jeni njëqind për qind i sigurt se kur pyetet se cili është katrori i hipotenuzës, çdo i rritur do të përgjigjet me guxim: "Shuma e katrorëve të këmbëve". Kjo teoremë është e ngulitur fort në mendjen e çdo personi të arsimuar, por mjafton vetëm të kërkosh dikë që ta vërtetojë dhe atëherë mund të shfaqen vështirësi. Prandaj, le të kujtojmë dhe shqyrtojmë mënyra të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës.

Pasqyrë e shkurtër e biografisë

Teorema e Pitagorës është e njohur për pothuajse të gjithë, por për disa arsye biografia e personit që e ka prodhuar atë nuk është aq e njohur. Do ta rregullojmë. Prandaj, përpara se të studioni mënyrat e ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, duhet të njiheni shkurtimisht me personalitetin e tij.

Pitagora - një filozof, matematikan, mendimtar, me origjinë nga Sot është shumë e vështirë të dallosh biografinë e tij nga legjendat që janë zhvilluar në kujtim të këtij njeriu të madh. Por siç del nga shkrimet e ndjekësve të tij, Pitagora e Samosit lindi në ishullin Samos. Babai i tij ishte një gurprerës i zakonshëm, por nëna e tij vinte nga një familje fisnike.

Sipas legjendës, lindja e Pitagorës u parashikua nga një grua e quajtur Pythia, për nder të së cilës djali u emërua. Sipas parashikimit të saj, një djalë i lindur do të sillte shumë përfitime dhe të mira për njerëzimin. Kjo është ajo që ai bëri në të vërtetë.

Lindja e një teoreme

Në rininë e tij, Pitagora u zhvendos në Egjipt për të takuar të urtët e famshëm egjiptianë atje. Pas takimit me ta, ai u pranua për të studiuar, ku mësoi të gjitha arritjet e mëdha të filozofisë, matematikës dhe mjekësisë egjiptiane.

Ndoshta, ishte në Egjipt që Pitagora u frymëzua nga madhështia dhe bukuria e piramidave dhe krijoi teorinë e tij të madhe. Kjo mund të tronditë lexuesit, por historianët modernë besojnë se Pitagora nuk e vërtetoi teorinë e tij. Por ai ua përcolli njohuritë e tij vetëm ndjekësve të tij, të cilët më vonë përfunduan të gjitha llogaritjet e nevojshme matematikore.

Sido që të jetë, sot nuk dihet një teknikë për vërtetimin e kësaj teoreme, por disa njëherësh. Sot ne vetëm mund të hamendësojmë se si saktësisht grekët e lashtë i bënë llogaritjet e tyre, kështu që këtu do të shqyrtojmë mënyra të ndryshme për të vërtetuar teoremën e Pitagorës.

Teorema e Pitagorës

Para se të filloni ndonjë llogaritje, duhet të kuptoni se cilën teori të provoni. Teorema e Pitagorës tingëllon kështu: "Në një trekëndësh në të cilin njëri prej këndeve është 90 o, shuma e katrorëve të këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës".

Ka 15 mënyra të ndryshme për të vërtetuar Teoremën e Pitagorës në total. Ky është një numër mjaft i madh, kështu që le t'i kushtojmë vëmendje më të njohurve prej tyre.

Metoda e parë

Le të përcaktojmë fillimisht se çfarë kemi. Këto të dhëna do të zbatohen gjithashtu për mënyra të tjera të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, kështu që duhet të mbani mend menjëherë të gjithë shënimin e disponueshëm.

Supozoni se është dhënë një trekëndësh kënddrejtë, me këmbët a, b dhe hipotenuzë të barabartë me c. Metoda e parë e vërtetimit bazohet në faktin se një katror duhet të nxirret nga një trekëndësh kënddrejtë.

Për ta bërë këtë, duhet të vizatoni një segment të barabartë me këmbën në gjatësinë e këmbës a, dhe anasjelltas. Pra, duhet të dalin dy anë të barabarta të sheshit. Mbetet vetëm për të nxjerrë dy vija paralele, dhe sheshi është gati.

Brenda figurës që rezulton, duhet të vizatoni një katror tjetër me një anë të barabartë me hipotenuzën e trekëndëshit origjinal. Për ta bërë këtë, nga kulmet ac dhe sv, duhet të vizatoni dy segmente paralele të barabarta me c. Kështu, marrim tre anët e katrorit, njëra prej të cilave është hipotenuza e trekëndëshit origjinal kënddrejtë. Mbetet vetëm për të nxjerrë segmentin e katërt.

Bazuar në figurën që rezulton, mund të konkludojmë se sipërfaqja e katrorit të jashtëm është (a + b) 2. Nëse shikoni brenda figurës, mund të shihni se përveç katrorit të brendshëm, ajo ka katër trekëndësha kënddrejtë. Sipërfaqja e secilit është 0.5 av.

Prandaj, zona është: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Prandaj (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Dhe, prandaj, me 2 \u003d një 2 + në 2

Teorema është vërtetuar.

Metoda e dytë: trekëndësha të ngjashëm

Kjo formulë për vërtetimin e teoremës së Pitagorës është nxjerrë në bazë të një deklarate nga seksioni i gjeometrisë për trekëndësha të ngjashëm. Ai thotë se kema e një trekëndëshi kënddrejtë është mesatarja proporcionale me hipotenuzën e tij dhe segmentin e hipotenuzës që buron nga kulmi i një këndi 90 o.

Të dhënat fillestare mbeten të njëjta, kështu që le të fillojmë menjëherë me provat. Le të vizatojmë një segment CD pingul me anën AB. Bazuar në deklaratën e mësipërme, këmbët e trekëndëshave janë të barabarta:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të vërtetohet teorema e Pitagorës, prova duhet të bëhet duke i vendosur në katror të dy pabarazitë.

AC 2 \u003d AB * HELL dhe SV 2 \u003d AB * DV

Tani duhet të shtojmë pabarazitë që rezultojnë.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), ku AD + DV \u003d AB

Rezulton se:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Dhe për këtë arsye:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Vërtetimi i teoremës së Pitagorës dhe mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së saj kërkojnë një qasje të gjithanshme ndaj këtij problemi. Sidoqoftë, ky opsion është një nga më të thjeshtët.

Një metodë tjetër llogaritjeje

Përshkrimi i mënyrave të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës mund të mos thotë asgjë, derisa të filloni të praktikoni vetë. Shumë metoda përfshijnë jo vetëm llogaritjet matematikore, por edhe ndërtimin e figurave të reja nga trekëndëshi origjinal.

Në këtë rast, është e nevojshme të plotësoni një tjetër trekëndësh me kënd të drejtë VSD nga këmbët e avionit. Kështu, tani ka dy trekëndësha me një këmbë të përbashkët BC.

Duke ditur që sipërfaqet e figurave të ngjashme kanë një raport si katrorët e dimensioneve të tyre të ngjashme lineare, atëherë:

S avs * s 2 - S avd * në 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (nga 2 në 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

nga 2 në 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + në 2

Meqenëse ky opsion nuk është i përshtatshëm nga metoda të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës për klasën 8, mund të përdorni teknikën e mëposhtme.

Mënyra më e lehtë për të vërtetuar teoremën e Pitagorës. Shqyrtime

Historianët besojnë se kjo metodë u përdor për herë të parë për të vërtetuar një teoremë në Greqinë e lashtë. Është më e thjeshta, pasi nuk kërkon absolutisht asnjë llogaritje. Nëse vizatoni saktë një figurë, atëherë prova e deklaratës se a 2 + b 2 \u003d c 2 do të jetë qartë e dukshme.

Kushtet për këtë metodë do të jenë paksa të ndryshme nga ajo e mëparshme. Për të vërtetuar teoremën, supozojmë se trekëndëshi kënddrejtë ABC është dykëndësh.

Marrim hipotenuzën AC si brinjë të katrorit dhe vizatojmë tri brinjët e tij. Përveç kësaj, është e nevojshme të vizatoni dy vija diagonale në sheshin që rezulton. Kështu që brenda saj të merrni katër trekëndësha dykëndësh.

Tek këmbët AB dhe CB, gjithashtu duhet të vizatoni një katror dhe të vizatoni një vijë diagonale në secilën prej tyre. Ne tërheqim vijën e parë nga kulmi A, i dyti - nga C.

Tani ju duhet të shikoni me kujdes foton që rezulton. Meqenëse ka katër trekëndësha në hipotenuzën AC, të barabartë me atë origjinal, dhe dy në këmbë, kjo tregon vërtetësinë e kësaj teoreme.

Nga rruga, falë kësaj metode të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, lindi fraza e famshme: "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet".

Dëshmi nga J. Garfield

James Garfield është Presidenti i 20-të i Shteteve të Bashkuara të Amerikës. Përveçse la gjurmë në histori si sundimtar i Shteteve të Bashkuara, ai ishte edhe një autodidakt i talentuar.

Në fillim të karrierës së tij, ai ishte mësues i zakonshëm në një shkollë popullore, por shpejt u bë drejtor i një prej institucioneve të arsimit të lartë. Dëshira për vetë-zhvillim dhe e lejoi atë të ofronte një teori të re të vërtetimit të teoremës së Pitagorës. Teorema dhe një shembull i zgjidhjes së saj janë si më poshtë.

Së pari ju duhet të vizatoni dy trekëndësha kënddrejtë në një copë letre në mënyrë që këmba e njërit prej tyre të jetë vazhdim i së dytës. Kulmet e këtyre trekëndëshave duhet të lidhen për të përfunduar me një trapez.

Siç e dini, sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë së tij.

S=a+b/2 * (a+b)

Nëse e konsiderojmë trapezin që rezulton si një figurë e përbërë nga tre trekëndësha, atëherë zona e tij mund të gjendet si më poshtë:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Tani duhet të barazojmë dy shprehjet origjinale

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + në 2

Më shumë se një vëllim i një libri shkollor mund të shkruhet për teoremën e Pitagorës dhe si ta vërtetojmë atë. Por a ka kuptim kur kjo njohuri nuk mund të vihet në praktikë?

Zbatimi praktik i teoremës së Pitagorës

Fatkeqësisht, kurrikula moderne shkollore parashikon përdorimin e kësaj teoreme vetëm në problemet gjeometrike. Maturantët së shpejti do të largohen nga muret e shkollës pa e ditur se si mund t'i zbatojnë njohuritë dhe aftësitë e tyre në praktikë.

Në fakt, të gjithë mund të përdorin teoremën e Pitagorës në jetën e tyre të përditshme. Dhe jo vetëm në aktivitetet profesionale, por edhe në punët e zakonshme të shtëpisë. Le të shqyrtojmë disa raste kur teorema e Pitagorës dhe metodat e vërtetimit të saj mund të jenë jashtëzakonisht të nevojshme.

Lidhja e teoremës dhe astronomisë

Duket se si yjet dhe trekëndëshat mund të lidhen në letër. Në fakt, astronomia është një fushë shkencore në të cilën përdoret gjerësisht teorema e Pitagorës.

Për shembull, merrni parasysh lëvizjen e një rreze drite në hapësirë. Ne e dimë se drita udhëton në të dy drejtimet me të njëjtën shpejtësi. Trajektoren e quajmë AB përgjatë së cilës lëviz rrezja e dritës l. Dhe gjysma e kohës që duhet që drita të kalojë nga pika A në pikën B, le ta thërrasim t. Dhe shpejtësia e rrezes - c. Rezulton se: c*t=l

Nëse shikoni të njëjtën rreze nga një aeroplan tjetër, për shembull, nga një rreshtim hapësinor që lëviz me një shpejtësi v, atëherë me një vëzhgim të tillë të trupave, shpejtësia e tyre do të ndryshojë. Në këtë rast, edhe elementët e palëvizshëm do të lëvizin me një shpejtësi v në drejtim të kundërt.

Le të themi se linja e linjës komike po lundron djathtas. Pastaj pikat A dhe B, midis të cilave rrezja nxiton, do të lëvizin në të majtë. Për më tepër, kur rrezja lëviz nga pika A në pikën B, pika A ka kohë për të lëvizur dhe, në përputhje me rrethanat, drita tashmë do të arrijë në një pikë të re C. Për të gjetur gjysmën e distancës që pika A ka zhvendosur, ju duhet të shumëzoni shpejtësia e linjës me gjysmën e kohës së udhëtimit të rrezes (t ").

Dhe për të gjetur se sa larg mund të udhëtojë një rreze drite gjatë kësaj kohe, duhet të caktoni gjysmën e rrugës së ahut të ri dhe të merrni shprehjen e mëposhtme:

Nëse imagjinojmë se pikat e dritës C dhe B, si dhe rreshtimi hapësinor, janë kulmet e një trekëndëshi dykëndësh, atëherë segmenti nga pika A në rreshtim do ta ndajë atë në dy trekëndësha kënddrejtë. Prandaj, falë teoremës së Pitagorës, ju mund të gjeni distancën që mund të përshkojë një rreze drite.

Ky shembull, natyrisht, nuk është më i suksesshmi, pasi vetëm disa mund të kenë fatin ta provojnë në praktikë. Prandaj, ne konsiderojmë aplikime më të zakonshme të kësaj teoreme.

Gama e transmetimit të sinjalit celular

Jeta moderne nuk mund të imagjinohet më pa ekzistencën e telefonave inteligjentë. Por sa do të ishin të dobishme nëse nuk mund të lidhnin abonentët përmes komunikimeve celulare?!

Cilësia e komunikimeve celulare varet drejtpërdrejt nga lartësia në të cilën ndodhet antena e operatorit celular. Për të llogaritur se sa larg nga një kullë celulare mund të marrë një sinjal një telefon, mund të aplikoni teoremën e Pitagorës.

Le të themi se ju duhet të gjeni lartësinë e përafërt të një kulle të palëvizshme në mënyrë që ajo të mund të përhapë një sinjal brenda një rrezeje prej 200 kilometrash.

AB (lartësia e kullës) = x;

BC (rrezja e transmetimit të sinjalit) = 200 km;

OS (rrezja e globit) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Duke zbatuar teoremën e Pitagorës, zbulojmë se lartësia minimale e kullës duhet të jetë 2.3 kilometra.

Teorema e Pitagorës në jetën e përditshme

Mjaft e çuditshme, teorema e Pitagorës mund të jetë e dobishme edhe në çështjet e përditshme, të tilla si përcaktimi i lartësisë së një dollapi, për shembull. Në shikim të parë, nuk ka nevojë të përdorni llogaritje të tilla komplekse, sepse thjesht mund të bëni matje me një masë shirit. Por shumë janë të habitur pse lindin disa probleme gjatë procesit të montimit nëse të gjitha matjet janë marrë më shumë se saktë.

Fakti është se gardëroba është mbledhur në një pozicion horizontal dhe vetëm atëherë ngrihet dhe është instaluar kundër murit. Prandaj, muri anësor i kabinetit në procesin e ngritjes së strukturës duhet të kalojë lirshëm si përgjatë lartësisë ashtu edhe diagonalisht të dhomës.

Supozoni se ka një gardërobë me një thellësi prej 800 mm. Distanca nga dyshemeja në tavan - 2600 mm. Një prodhues me përvojë mobiljesh do të thotë se lartësia e kabinetit duhet të jetë 126 mm më pak se lartësia e dhomës. Por pse pikërisht 126 mm? Le të shohim një shembull.

Me dimensionet ideale të kabinetit, le të kontrollojmë funksionimin e teoremës së Pitagorës:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - gjithçka konvergon.

Le të themi se lartësia e kabinetit nuk është 2474 mm, por 2505 mm. Pastaj:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Prandaj, ky kabinet nuk është i përshtatshëm për instalim në këtë dhomë. Meqenëse gjatë ngritjes së tij në pozicion vertikal mund të shkaktohet dëmtim i trupit të tij.

Ndoshta, duke shqyrtuar mënyra të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës nga shkencëtarë të ndryshëm, mund të konkludojmë se ajo është më se e vërtetë. Tani mund të përdorni informacionin e marrë në jetën tuaj të përditshme dhe të jeni plotësisht të sigurt se të gjitha llogaritjet do të jenë jo vetëm të dobishme, por edhe të sakta.