Brinjët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çifte. N.Nikitin Gjeometria

KATËRËNDËSH.

§43. PARALELOGRAM.

1. Përkufizimi i një paralelogrami.

Nëse kryqëzojmë një palë drejtëza paralele me një palë tjetër drejtëza paralele, marrim një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift.

Në katërkëndëshat ABDC dhe EFNM (Fig. 224) BD || AC dhe AB || CD;
EF || MN dhe EM || F.N.

Një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift quhet paralelogram.

2. Vetitë e paralelogramit.

Teorema. Diagonalja e një paralelogrami e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë.

Le të jetë një paralelogram ABDC (Fig. 225) në të cilin AB || CD dhe AC || BD.

Kërkohet të vërtetohet se diagonalja e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë.

Vizatoni një CB diagonale në një paralelogram ABDC. Le ta vërtetojmë këtë /\ CAB= /\ CDB.

Ana veriperëndimore është e përbashkët për këta trekëndësha; / ABC = / BCD, si kënde të shtrira të brendshme të kryqëzuara me AB dhe CD paralele dhe CB sekante; / DIA = / CBD, gjithashtu si kënde të brendshme të kryqëzuara me AC dhe BD paralele dhe CB sekante (§ 38).

Nga këtu /\ CAB = /\ CDB.

Në të njëjtën mënyrë, mund të vërtetohet se diagonalja AD e ndan paralelogramin në dy trekëndësha të barabartë ACD dhe ABD.

Pasojat. 1 . Këndet e kundërta të një paralelogrami janë të barabartë.

/ A = / D, kjo rrjedh nga barazia e trekëndëshave CAB dhe CDB.
Në mënyrë të ngjashme, / C = / AT.

2. Brinjët e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta.

AB \u003d CD dhe AC \u003d BD, pasi këto janë anët e trekëndëshave të barabartë dhe shtrihen përballë këndeve të barabarta.

Teorema 2. Diagonalet e një paralelogrami përgjysmohen në pikën e prerjes së tyre.

Le të jenë BC dhe AD diagonalet e paralelogramit ABDC (Fig. 226). Le të vërtetojmë se AO = OD dhe CO = OB.

Për ta bërë këtë, krahasoni disa palë trekëndësha të kundërt, për shembull /\ AOB dhe /\ COD.

Në këta trekëndësha AB = CD, si brinjë të kundërta të një paralelogrami;
/ 1 = / 2, si kënde të brendshme në mënyrë tërthore të shtrira në paralele AB dhe CD dhe sekanti AD;
/ 3 = / 4 për të njëjtën arsye, pasi AB || CD dhe CB janë sekanti i tyre (§ 38).

Prandaj rrjedh se /\ AOB = /\ COD. Dhe në trekëndësha të barabartë, këndet e kundërta të barabarta janë brinjë të barabarta. Prandaj, AO = OD dhe CO = OB.

Teorema 3. Shuma e këndeve ngjitur me njërën anë të paralelogramit është e barabartë me 2 d .

Provoni veten.

3. Shenjat e një paralelogrami.

Teorema. Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çift, atëherë katërkëndëshi është një paralelogram.

Lëreni në katërkëndëshin ABDC (Fig. 227) AB = CD dhe AC = BD. Le të vërtetojmë se në këtë kusht AB || CD dhe AC || BD, d.m.th., katërkëndëshi ABDC është një paralelogram.
Le të lidhim me një segment disa dy kulme të kundërta të këtij katërkëndëshi, për shembull, C dhe B. Katërkëndëshi ABDC ndahet në dy trekëndësha të barabartë: /\ CAB dhe /\ CDB. Në të vërtetë, ata kanë një anë të përbashkët CB, AB \u003d CD dhe AC \u003d BD sipas kushteve. Kështu, tre brinjët e një trekëndëshi janë përkatësisht të barabarta me tre brinjët e tjetrit, pra /\ CAB = /\ CDB.

Trekëndëshat e barabartë kanë kënde të barabarta përballë brinjëve të barabarta, pra
/ 1 = / 2 dhe / 3 = / 4.

Këndet 1 dhe 2 janë kënde të brendshme të kryqëzuara në kryqëzimin e drejtëzave AB dhe CD me vijën CB. Prandaj, AB || CD.

Në mënyrë të ngjashme, këndet 3 dhe 4 janë kënde të brendshme të kryqëzuara në kryqëzimin e drejtëzave CA dhe BD me vijën CB, prandaj, CA || BD (§ 35).

Kështu, anët e kundërta të katërkëndëshit ABDC janë paralele çift, prandaj është një paralelogram, i cili kërkohej të vërtetohej.

Teorema 2. Nëse dy brinjë të kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta dhe paralele, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Lëreni katërkëndëshin ABDC AB = CD dhe AB || CD. Le të vërtetojmë se në këto kushte katërkëndëshi ABDC është paralelogram (Fig. 228).

Ne lidhim kulmet C dhe B me një segment CB. Për shkak të paralelizmit të drejtëzave AB dhe CD, këndet 1 dhe 2, si këndet e brendshme të shtrira, janë të barabarta (§ 38).
Atëherë trekëndëshi CAB është i barabartë me trekëndëshin CDB, pasi ato kanë një anë të përbashkët CB,
AB \u003d CD nga kushti i teoremës dhe / 1 = / 2 siç është vërtetuar. Nga barazia e këtyre trekëndëshave rrjedh barazia e këndeve 3 dhe 4, pasi ato shtrihen përballë brinjëve të barabarta në trekëndësha të barabartë.

Por këndet 3 dhe 4 janë kënde të brendshme të kryqëzuara të formuara në kryqëzimin e vijave AC dhe BD nga linja CB, prandaj, AC || BD (§ 35), pra katërkëndësh
ABDC është një paralelogram.

Ushtrime.

1. Vërtetoni se nëse diagonalet e një katërkëndëshi në pikën e kryqëzimit të tyre të ndërsjellë ndahen përgjysmë, atëherë ky katërkëndësh është paralelogram.

2. Vërtetoni se një katërkëndësh shuma e këndeve të brendshme të të cilit ngjitur me secilën prej dy brinjëve ngjitur është e barabartë me 2 d, është një paralelogram.

3. Ndërtoni një paralelogram në dy anët dhe një kënd midis tyre:

a) duke përdorur paralelizmin e brinjëve të kundërta të paralelogramit;
b) duke përdorur barazinë e brinjëve të kundërta të paralelogramit.

4. Ndërtoni një paralelogram përgjatë dy brinjëve ngjitur dhe një diagonale.

5. Ndërtoni një paralelogram nga dy diagonalet e tij dhe këndi ndërmjet tyre.

6. Ndërtoni një paralelogram përgjatë anës së tij dhe dy diagonale.

Teorema 1. Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çift, atëherë katërkëndëshi është një paralelogram.

Lëreni në katërkëndëshin ABDC (Fig. 227) AB = CD dhe AC = BD. Le të vërtetojmë se në këtë kusht AB || CD dhe AC || BD, d.m.th., katërkëndëshi ABDC është një paralelogram.

Le të lidhim me një segment disa dy kulme të kundërta të këtij katërkëndëshi, për shembull C dhe B. Katërkëndëshi ABDC ndahet në dy trekëndësha të barabartë: \(\Delta\)CAB dhe \(\Delta\)CDB. Në të vërtetë, ata kanë një anë të përbashkët CB, AB = CD dhe AC = BD sipas kushteve. Kështu, tre brinjët e një trekëndëshi janë përkatësisht të barabarta me tre brinjët e tjetrit, pra \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)CDB.

Trekëndëshat e barabartë kanë kënde të barabarta përballë brinjëve të barabarta, pra

∠1 = ∠2 dhe ∠3 = ∠4.

Këndet 1 dhe 2 janë kënde të brendshme të kryqëzuara në kryqëzimin e drejtëzave AB dhe CD me vijën CB. Prandaj, AB || CD.

Në mënyrë të ngjashme, këndet 3 dhe 4 janë kënde të brendshme të kryqëzuara në kryqëzimin e drejtëzave CA dhe BD me vijën CB, prandaj, CA || BD.

Kështu, anët e kundërta të katërkëndëshit ABDC janë paralele çift, prandaj është një paralelogram, i cili kërkohej të vërtetohej.

Teorema 2. Nëse dy brinjë të kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta dhe paralele, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Lëreni katërkëndëshin ABDC AB = CD dhe AB || CD. Le të vërtetojmë se në këto kushte katërkëndëshi ABDC është paralelogram (Fig. 228).

Lidhni kulmet C dhe B me një segment CB. Për shkak të paralelizmit të drejtëzave AB dhe CD, këndet 1 dhe 2, si këndet e brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore, janë të barabartë.

Atëherë trekëndëshi CAB është i barabartë me trekëndëshin CDB, pasi ato kanë një anë të përbashkët CB,

AB = СD nga hipoteza e teoremës dhe ∠1 = ∠2 nga ajo që u vërtetua.

Nga barazia e këtyre trekëndëshave rrjedh barazia e këndeve 3 dhe 4, pasi ato shtrihen përballë brinjëve të barabarta në trekëndësha të barabartë.

Por këndet 3 dhe 4 janë kënde të brendshme të kryqëzuara të formuara në kryqëzimin e vijave AC dhe BD nga linja CB, prandaj, AC || BD, d.m.th. katërkëndësh ABDC - paralelogram.

Teorema 3. Nëse në një katërkëndësh diagonalet priten dhe pika e kryqëzimit është dygjysmuar, atëherë ky katërkëndësh do të jetë një paralelogram.

Konsideroni katërkëndëshin ABCD. Le të vizatojmë në të dy diagonale AC dhe BD, të cilat do të kryqëzohen në pikën O dhe do ta përgjysmojnë këtë pikë.

Trekëndëshat \(\Delta\)AOB dhe \(\Delta\)COD do të jenë të barabartë me njëri-tjetrin sipas shenjës së parë të barazisë së trekëndëshave (AO = OC, BO = OD sipas kushtit, ∠AOB = ∠COD - si vertikale kënde.)

Prandaj, AB = CD dhe ∠1 = ∠2. Nga barazia e këndeve 1 dhe 2 kemi se AB || CD.

Atëherë kemi që në katërkëndëshin ABCD brinjët AB = CD dhe AB || CD, dhe nga atributi i parë i një paralelogrami, katërkëndëshi ABCD do të jetë një paralelogram.

Karakteristikat e paralelogramit shkurtimisht:

1. Anët e kundërta janë të barabarta në çift

2. Brinjët e kundërta janë të barabarta dhe paralele

3. Diagonalet priten dhe përgjysmohen në pikën e prerjes