Me këtë shërbim, ju mund të gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni një ndryshore f(x) me dizajnin e zgjidhjes në Word. Nëse është dhënë funksioni f(x,y), atëherë është e nevojshme të gjendet ekstremi i funksionit të dy ndryshoreve. Ju gjithashtu mund të gjeni intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit.

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni

y=

në segmentin [ ;]

Përfshi Teori

Rregullat e hyrjes në funksion:

Një kusht i domosdoshëm për një ekstrem të një funksioni të një ndryshoreje

Ekuacioni f "0 (x *) \u003d 0 është një kusht i domosdoshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje, d.m.th. në pikën x * derivati ​​i parë i funksionit duhet të zhduket. Ai zgjedh pikat stacionare x c ​​në të cilat funksioni nuk rritet dhe nuk ulet.

Një kusht i mjaftueshëm për një ekstrem të një funksioni të një ndryshoreje

Le të jetë f 0 (x) dy herë i diferencueshëm në lidhje me x që i përket bashkësisë D. Nëse në pikën x * plotësohet kushti:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atëherë pika x * është pika e minimumit lokal (global) të funksionit.

Nëse në pikën x * plotësohet kushti:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ajo pikë x * është një maksimum lokal (global).

Shembulli #1. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit: në segmentin .
Zgjidhje.

Pika kritike është një x 1 = 2 (f'(x)=0). Kjo pikë i përket segmentit. (Pika x=0 nuk është kritike, pasi 0∉).
Ne llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit dhe në pikën kritike.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Përgjigje: f min = 5 / 2 për x=2; f max =9 në x=1

Shembulli #2. Duke përdorur derivate të rendit më të lartë, gjeni ekstremin e funksionit y=x-2sin(x) .
Zgjidhje.
Gjeni derivatin e funksionit: y’=1-2cos(x) . Le të gjejmë pikat kritike: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Gjejmë y''=2sin(x), njehsojmë , pra x= π / 3 +2πk, k∈Z janë pikat minimale të funksionit; , pra x=- π / 3 +2πk, k∈Z janë pikat maksimale të funksionit.

Shembulli #3. Hulumtoni funksionin ekstrem në fqinjësi të pikës x=0.
Zgjidhje. Këtu është e nevojshme të gjesh ekstremin e funksionit. Nëse ekstremi x=0 , atëherë zbuloni llojin e tij (minimumi ose maksimumi). Nëse midis pikave të gjetura nuk ka x = 0, atëherë llogaritni vlerën e funksionit f(x=0).
Duhet të theksohet se kur derivati ​​në secilën anë të një pike të caktuar nuk ndryshon shenjën e tij, situatat e mundshme nuk shterohen as për funksionet e diferencueshme: mund të ndodhë që për një lagje të vogël arbitrarisht në njërën anë të pikës x 0 ose në të dyja anët, derivati ​​ndryshon shenjën. Në këto pika, duhet të aplikohen metoda të tjera për të studiuar funksionet në një ekstrem.

Një koncept i rëndësishëm në matematikë është një funksion. Me ndihmën e tij, ju mund të vizualizoni shumë procese që ndodhin në natyrë, të pasqyroni marrëdhëniet midis sasive të caktuara duke përdorur formula, tabela dhe imazhe në një grafik. Një shembull është varësia e presionit të një shtrese të lëngshme në një trup nga thellësia e zhytjes, nxitimi - nga veprimi i një force të caktuar në një objekt, rritja e temperaturës - nga energjia e transmetuar dhe shumë procese të tjera. Studimi i një funksioni përfshin vizatimin e një grafiku, zbulimin e vetive të tij, domenin e përkufizimit dhe vlerave, intervalet e rritjes dhe uljes. Një pikë e rëndësishme në këtë proces është gjetja e pikave ekstreme. Rreth asaj se si ta bëni atë siç duhet, dhe biseda do të vazhdojë.

Rreth vetë konceptit në një shembull specifik

Në mjekësi, ndërtimi i një grafiku funksioni mund të tregojë për rrjedhën e zhvillimit të sëmundjes në trupin e pacientit, duke pasqyruar qartë gjendjen e tij. Le të supozojmë se koha në ditë është paraqitur përgjatë boshtit OX, dhe temperatura e trupit të njeriut është paraqitur përgjatë boshtit OY. Shifra tregon qartë se si ky tregues rritet ndjeshëm, dhe më pas bie. Është gjithashtu e lehtë të vërehen pika njëjëse që pasqyrojnë momentet kur funksioni, pasi është rritur më parë, fillon të ulet dhe anasjelltas. Këto janë pikat ekstreme, domethënë vlerat kritike (maksimale dhe minimale) në këtë rast të temperaturës së pacientit, pas së cilës ndodhin ndryshime në gjendjen e tij.

Këndi i animit

Është e lehtë të përcaktohet nga figura se si ndryshon derivati ​​i funksionit. Nëse vijat e drejta të grafikut rriten me kalimin e kohës, atëherë ai është pozitiv. Dhe sa më të pjerrëta të jenë, aq më e madhe është vlera e derivatit, pasi këndi i prirjes rritet. Gjatë periudhave të rënies, kjo vlerë merr vlera negative, duke u kthyer në zero në pikat ekstreme, dhe grafiku i derivatit në rastin e fundit është tërhequr paralel me boshtin OX.

Çdo proces tjetër duhet të trajtohet në të njëjtën mënyrë. Por mënyra më e mirë për të treguar për këtë koncept është lëvizja e trupave të ndryshëm, të treguar qartë në grafikët.

Trafiku

Supozoni se një objekt lëviz në një vijë të drejtë, duke fituar shpejtësi të njëtrajtshme. Gjatë kësaj periudhe, ndryshimi i koordinatave të trupit paraqet grafikisht një kurbë të caktuar, të cilën një matematikan do ta quante degë e një parabole. Në të njëjtën kohë, funksioni po rritet vazhdimisht, pasi treguesit e koordinatave ndryshojnë më shpejt dhe më shpejt me çdo sekondë. Grafiku i shpejtësisë tregon sjelljen e derivatit, vlera e të cilit gjithashtu rritet. Kjo do të thotë se lëvizja nuk ka pika kritike.

Kjo do të vazhdonte pafundësisht. Por, çka nëse trupi papritmas vendos të ngadalësojë, të ndalojë dhe të fillojë të lëvizë në një drejtim tjetër? Në këtë rast, treguesit e koordinatave do të fillojnë të ulen. Dhe funksioni do të kalojë një vlerë kritike dhe do të kthehet nga rritja në zvogëluese.

Në këtë shembull, mund të kuptoni përsëri se pikat ekstreme në grafikun e funksionit shfaqen në momentet kur ai pushon së qeni monoton.

Kuptimi fizik i derivatit

Ajo që u përshkrua më parë tregoi qartë se derivati ​​është në thelb shkalla e ndryshimit të funksionit. Ky përsosje përmban kuptimin e tij fizik. Pikat ekstreme janë zona kritike në grafik. Është e mundur të zbulohen dhe zbulohen ato duke llogaritur vlerën e derivatit, i cili rezulton të jetë i barabartë me zero.

Ekziston edhe një shenjë tjetër, e cila është një kusht i mjaftueshëm për një ekstrem. Derivati ​​në vende të tilla të lakimit ndryshon shenjën e tij: nga "+" në "-" në rajonin e maksimumit dhe nga "-" në "+" në rajonin e minimumit.

Lëvizja nën ndikimin e gravitetit

Le të imagjinojmë një situatë tjetër. Fëmijët, duke luajtur topin, e hodhën në atë mënyrë që ai filloi të lëvizte në një kënd në horizont. Në momentin fillestar, shpejtësia e këtij objekti ishte më e madhja, por nën ndikimin e gravitetit filloi të zvogëlohej, dhe me çdo sekondë me të njëjtën vlerë, e barabartë me afërsisht 9.8 m / s 2. Kjo është vlera e nxitimit që ndodh nën ndikimin e gravitetit të tokës gjatë rënies së lirë. Në Hënë, ajo do të ishte rreth gjashtë herë më e vogël.

Grafiku që përshkruan lëvizjen e trupit është një parabolë me degë të drejtuara poshtë. Si të gjeni pika ekstreme? Në këtë rast, kjo është kulmi i funksionit, ku shpejtësia e trupit (topit) merr një vlerë zero. Derivati ​​i funksionit bëhet zero. Në këtë rast, drejtimi, dhe rrjedhimisht vlera e shpejtësisë, ndryshon në të kundërtën. Trupi fluturon poshtë çdo sekondë më shpejt dhe më shpejt dhe përshpejtohet me të njëjtën sasi - 9,8 m/s 2 .

Derivati ​​i dytë

Në rastin e mëparshëm, grafiku i modulit të shpejtësisë vizatohet si një vijë e drejtë. Kjo linjë fillimisht drejtohet poshtë, pasi vlera e kësaj sasie është vazhdimisht në rënie. Pasi të keni arritur zero në një nga pikat kohore, atëherë treguesit e kësaj vlere fillojnë të rriten, dhe drejtimi i paraqitjes grafike të modulit të shpejtësisë ndryshon në mënyrë dramatike. Tani vija po tregon lart.

Shpejtësia, duke qenë derivat i koordinatës në lidhje me kohën, ka gjithashtu një pikë kritike. Në këtë rajon, funksioni, fillimisht në rënie, fillon të rritet. Ky është vendi i pikës ekstreme të derivatit të funksionit. Në këtë rast, pjerrësia e tangjentes bëhet zero. Dhe nxitimi, duke qenë derivati ​​i dytë i koordinatës në lidhje me kohën, ndryshon shenjën nga "-" në "+". Dhe lëvizja nga njëtrajtësisht e ngadalshme përshpejtohet në mënyrë uniforme.

Grafiku i nxitimit

Tani merrni parasysh katër shifra. Secila prej tyre shfaq një grafik të ndryshimit me kalimin e kohës të një sasie të tillë fizike si nxitimi. Në rastin e "A", vlera e tij mbetet pozitive dhe konstante. Kjo do të thotë se shpejtësia e trupit, si koordinata e tij, është vazhdimisht në rritje. Nëse imagjinojmë që objekti do të lëvizë në këtë mënyrë për një kohë pafundësisht të gjatë, funksioni që pasqyron varësinë e koordinatës nga koha do të rezultojë të jetë vazhdimisht në rritje. Nga kjo rezulton se nuk ka rajone kritike. Nuk ka gjithashtu pika ekstreme në grafikun e derivatit, domethënë një shpejtësi që ndryshon në mënyrë lineare.

E njëjta gjë vlen edhe për rastin "B" me një nxitim pozitiv dhe vazhdimisht në rritje. Vërtetë, grafikët për koordinatat dhe shpejtësinë do të jenë disi më të ndërlikuara këtu.

Kur nxitimi shkon në zero

Duke parë figurën "B", mund të vërehet një pamje krejtësisht e ndryshme që karakterizon lëvizjen e trupit. Shpejtësia e saj do të përshkruhet grafikisht si një parabolë me degë të drejtuara poshtë. Nëse vazhdojmë vijën që përshkruan ndryshimin e nxitimit derisa të kryqëzohet me boshtin OX dhe më tej, atëherë mund të imagjinojmë se deri në këtë vlerë kritike, ku nxitimi rezulton të jetë i barabartë me zero, shpejtësia e objektit do të rritet. gjithnjë e më ngadalë. Pika ekstreme e derivatit të funksionit koordinativ do të jetë pikërisht në krye të parabolës, pas së cilës trupi do të ndryshojë rrënjësisht natyrën e lëvizjes dhe do të fillojë të lëvizë në një drejtim tjetër.

Në rastin e fundit, "G", natyra e lëvizjes nuk mund të përcaktohet saktësisht. Këtu dimë vetëm se nuk ka përshpejtim për një periudhë në shqyrtim. Kjo do të thotë që objekti mund të qëndrojë në vend ose lëvizja ndodh me një shpejtësi konstante.

Detyra e bashkërendimit të bashkërendimit

Le të kalojmë te detyrat që hasen shpesh gjatë studimit të algjebrës në shkollë dhe që ofrohen për t'u përgatitur për provimin. Figura më poshtë tregon grafikun e funksionit. Kërkohet të llogaritet shuma e pikave ekstreme.

Këtë do ta bëjmë për boshtin y duke përcaktuar koordinatat e rajoneve kritike ku vërehet një ndryshim në karakteristikat e funksionit. E thënë thjesht, gjejmë vlerat përgjatë boshtit x për pikat e lakimit dhe më pas vazhdojmë të shtojmë termat që rezultojnë. Sipas grafikut, është e qartë se ato marrin këto vlera: -8; -7; -5; -3; -2; një; 3. Kjo shton deri në -21, që është përgjigja.

Zgjidhje optimale

Nuk është e nevojshme të shpjegohet se sa e rëndësishme mund të jetë zgjedhja e zgjidhjes optimale në kryerjen e detyrave praktike. Në fund të fundit, ka shumë mënyra për të arritur qëllimin, dhe mënyra më e mirë për të dalë, si rregull, është vetëm një. Kjo është jashtëzakonisht e nevojshme, për shembull, kur projektohen anije, anije kozmike dhe avionë, struktura arkitekturore për të gjetur formën optimale të këtyre objekteve të krijuara nga njeriu.

Shpejtësia e automjeteve varet kryesisht nga minimizimi kompetent i rezistencës që ata përjetojnë kur lëvizin nëpër ujë dhe ajër, nga mbingarkesat që lindin nën ndikimin e forcave gravitacionale dhe shumë tregues të tjerë. Një anije në det ka nevojë për cilësi të tilla si stabiliteti gjatë një stuhie; për një anije lumi, një tërheqje minimale është e rëndësishme. Kur llogaritni modelin optimal, pikat ekstreme në grafik mund të japin vizualisht një ide për zgjidhjen më të mirë për një problem kompleks. Detyrat e një plani të tillë shpesh zgjidhen në ekonomi, në fusha ekonomike, në shumë situata të tjera jetësore.

Nga historia e lashtë

Detyrat ekstreme pushtuan edhe të urtët e lashtë. Shkencëtarët grekë zbuluan me sukses misterin e zonave dhe vëllimeve përmes llogaritjeve matematikore. Ata ishin të parët që kuptuan se në një plan me figura të ndryshme me të njëjtin perimetër, rrethi ka gjithmonë sipërfaqen më të madhe. Në mënyrë të ngjashme, një top është i pajisur me vëllimin maksimal midis objekteve të tjera në hapësirë ​​me të njëjtën sipërfaqe. Personalitete të tilla të famshme si Arkimedi, Euklidi, Aristoteli, Apollonius iu përkushtuan zgjidhjes së problemeve të tilla. Heron pati sukses shumë mirë në gjetjen e pikave ekstreme, të cilët, pasi iu drejtuan llogaritjeve, ndërtuan pajisje të zgjuara. Këto përfshinin makinat automatike që lëviznin me avull, pompa dhe turbina që funksiononin në të njëjtin parim.

Ndërtimi i Kartagjenës

Ekziston një legjendë, komploti i së cilës bazohet në zgjidhjen e një prej detyrave ekstreme. Rezultati i qasjes së biznesit të demonstruar nga princesha fenikase, e cila iu drejtua të urtëve për ndihmë, ishte ndërtimi i Kartagjenës. Parcela e tokës për këtë qytet të lashtë dhe të famshëm iu dha Didos (ky ishte emri i sundimtarit) nga udhëheqësi i një prej fiseve afrikane. Sipërfaqja e ndarjes në fillim nuk i dukej shumë e madhe, pasi sipas kontratës duhej të mbulohej me një oksid. Por princesha urdhëroi ushtarët e saj ta prisnin në shirita të hollë dhe të bënin një rrip prej tyre. Doli të ishte aq i gjatë sa mbulonte një zonë ku përshtatej i gjithë qyteti.

Origjina e llogaritjes

Dhe tani le të kalojmë nga kohërat e lashta në një epokë të mëvonshme. Është interesante se në shekullin e 17-të, Kepleri u nxit të kuptonte themelet e analizës matematikore nga një takim me një shitës vere. Tregtari ishte aq i aftë për profesionin e tij, saqë mund të përcaktonte lehtësisht vëllimin e pijes në fuçi, thjesht duke ulur një tufë hekuri në të. Duke reflektuar për një kuriozitet të tillë, shkencëtari i famshëm arriti ta zgjidhte vetë këtë dilemë. Rezulton se kooperatorët e zotë të atyre kohërave kishin marrë përsipër të bënin enët në atë mënyrë që, në një lartësi dhe rreze të caktuar të perimetrit të unazave të fiksimit, të kishin një kapacitet maksimal.

Kjo u bë për Keplerin një rast për reflektim të mëtejshëm. Bochars erdhi në zgjidhjen optimale me një kërkim të gjatë, gabime dhe përpjekje të reja, duke kaluar përvojën e tyre brez pas brezi. Por Kepler dëshironte të përshpejtonte procesin dhe të mësonte se si të bënte të njëjtën gjë në një kohë të shkurtër përmes llogaritjeve matematikore. Të gjitha zhvillimet e tij, të marra nga kolegët, u shndërruan në teoremat tashmë të njohura të Fermat dhe Njuton - Leibniz.

Problemi i gjetjes së zonës maksimale

Imagjinoni sikur kemi një tel gjatësia e të cilit është 50 cm.Si të bëjmë prej tij një drejtkëndësh që ka sipërfaqen më të madhe?

Duke filluar një vendim, duhet të vazhdohet nga të vërteta të thjeshta dhe të njohura. Është e qartë se perimetri i figurës sonë do të jetë 50 cm Ai gjithashtu përbëhet nga dyfishi i gjatësisë së të dy anëve. Kjo do të thotë që, pasi të keni caktuar njërën prej tyre si "X", tjetra mund të shprehet si (25 - X).

Nga këtu marrim një zonë të barabartë me X (25 - X). Kjo shprehje mund të paraqitet si një funksion që merr shumë vlera. Zgjidhja e problemit kërkon gjetjen e maksimumit të tyre, që do të thotë se duhet të zbuloni pikat ekstreme.

Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e parë dhe e barazojmë me zero. Rezultati është një ekuacion i thjeshtë: 25 - 2X = 0.

Prej tij mësojmë se njëra nga anët është X = 12,5.

Prandaj, një tjetër: 25 - 12.5 \u003d 12.5.

Rezulton se zgjidhja e problemit do të jetë një katror me një anë prej 12.5 cm.

Si të gjeni shpejtësinë maksimale

Le të shqyrtojmë një shembull më shumë. Imagjinoni që ekziston një trup, lëvizja drejtvizore e të cilit përshkruhet me ekuacionin S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, ku distanca e përshkuar shprehet në metra dhe koha në sekonda. Kërkohet të gjendet shpejtësia maksimale. Si ta bëjmë atë? Të shkarkuara gjeni shpejtësinë, domethënë derivatin e parë.

Marrim ekuacionin: V = - 3t 2 + 18t - 24. Tani, për të zgjidhur problemin, përsëri duhet të gjejmë pikat ekstreme. Kjo duhet të bëhet në të njëjtën mënyrë si në detyrën e mëparshme. Gjejmë derivatin e parë të shpejtësisë dhe e barazojmë me zero.

Marrim: - 6t + 18 = 0. Prandaj t = 3 s. Kjo është koha kur shpejtësia e trupit merr një vlerë kritike. Të dhënat e marra i zëvendësojmë në ekuacionin e shpejtësisë dhe marrim: V = 3 m/s.

Por si të kuptojmë që kjo është pikërisht shpejtësia maksimale, sepse pikat kritike të funksionit mund të jenë vlerat më të mëdha ose më të vogla të tij? Për të kontrolluar, duhet të gjeni derivatin e dytë të shpejtësisë. Shprehet si numri 6 me shenjën minus. Kjo do të thotë se pika e gjetur është maksimumi. Dhe në rastin e një vlere pozitive të derivatit të dytë, do të kishte një minimum. Prandaj, zgjidhja e gjetur ishte e saktë.

Detyrat e dhëna si shembull janë vetëm një pjesë e atyre që mund të zgjidhen duke qenë në gjendje të gjeni pikat ekstreme të një funksioni. Në fakt, ka shumë të tjera. Dhe një njohuri e tillë hap mundësi të pakufizuara për qytetërimin njerëzor.

Ky është një seksion mjaft interesant i matematikës me të cilin përballen absolutisht të gjithë studentët e diplomuar dhe studentët. Megjithatë, jo të gjithë e pëlqejnë matanin. Disa nuk arrijnë të kuptojnë as gjërat themelore si studimi i funksionit në dukje standard. Ky artikull synon të korrigjojë këtë shkelje. Dëshironi të mësoni më shumë rreth analizës së funksionit? Dëshironi të dini se cilat janë pikat ekstreme dhe si t'i gjeni ato? Atëherë ky artikull është për ju.

Hetimi i grafikut të një funksioni

Për të filluar, ia vlen të kuptohet pse është e nevojshme të analizohet fare grafiku. Ka funksione të thjeshta që janë të lehta për t'u vizatuar. Një shembull i mrekullueshëm i një funksioni të tillë është parabola. Nuk është e vështirë të vizatosh grafikun e saj. Gjithçka që nevojitet është, duke përdorur një transformim të thjeshtë, të gjesh numrat në të cilët funksioni merr vlerën 0. Dhe në parim, kjo është gjithçka që duhet të dini për të vizatuar një grafik parabole.

Por, çka nëse funksioni që na duhet të grafikojmë është shumë më i ndërlikuar? Meqenëse vetitë e funksioneve komplekse janë mjaft jo të dukshme, është e nevojshme të kryhet një analizë e tërë. Vetëm atëherë funksioni mund të paraqitet grafikisht. Si ta bëjmë atë? Përgjigjen për këtë pyetje mund ta gjeni në këtë artikull.

Plani i analizës së funksionit

Gjëja e parë që duhet bërë është të bëjmë një studim sipërfaqësor të funksionit, gjatë të cilit do të gjejmë domenin e përkufizimit. Pra, le të fillojmë me radhë. Fusha e përkufizimit është grupi i atyre vlerave me të cilat përcaktohet funksioni. E thënë thjesht, këta janë numrat që mund të përdoren në funksion në vend të x. Për të përcaktuar shtrirjen, thjesht duhet të shikoni rekordin. Për shembull, është e qartë se funksioni y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 ka një domen të përkufizimit - grupin e numrave realë. Epo, me një funksion si (x 2 - 2x) / x, gjithçka është pak më ndryshe. Meqenëse numri në emërues nuk duhet të jetë i barabartë me 0, atëherë domeni i këtij funksioni do të jenë të gjithë numrat realë, përveç zeros.

Tjetra, ju duhet të gjeni të ashtuquajturat zero të funksionit. Këto janë vlerat e argumentit për të cilin i gjithë funksioni merr vlerën zero. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të barazoni funksionin me zero, ta konsideroni atë në detaje dhe të kryeni disa transformime. Le të marrim funksionin tashmë të njohur y(x) = (x 2 - 2x)/x. Nga kursi i shkollës, ne e dimë se një thyesë është 0 kur numëruesi është zero. Prandaj, ne e heqim emëruesin dhe fillojmë të punojmë me numëruesin, duke e barazuar atë me zero. Marrim x 2 - 2x \u003d 0 dhe nxjerrim x nga kllapat. Prandaj x (x - 2) \u003d 0. Si rezultat, ne gjejmë se funksioni ynë është i barabartë me zero kur x është i barabartë me 0 ose 2.

Gjatë studimit të grafikut të një funksioni, shumë përballen me një problem në formën e pikave ekstreme. Dhe është e çuditshme. Në fund të fundit, ekstremet janë një temë mjaft e thjeshtë. Nuk besoj? Shihni vetë duke lexuar këtë pjesë të artikullit, në të cilin do të flasim për pikët minimale dhe maksimale.

Për të filluar, ia vlen të kuptoni se çfarë është një ekstrem. Një ekstrem është vlera kufi që arrin një funksion në një grafik. Nga kjo rezulton se ekzistojnë dy vlera ekstreme - një maksimum dhe një minimum. Për qartësi, mund të shikoni foton e mësipërme. Në zonën e hulumtuar, pika -1 është maksimumi i funksionit y (x) \u003d x 5 - 5x, dhe pika 1, përkatësisht, është minimumi.

Gjithashtu, mos i ngatërroni konceptet me njëri-tjetrin. Pikat ekstreme të një funksioni janë ato argumente në të cilat funksioni i dhënë fiton vlera ekstreme. Nga ana tjetër, ekstremi është vlera e minimumit dhe maksimumit të funksionit. Për shembull, merrni përsëri figurën e mësipërme. -1 dhe 1 janë pikat ekstreme të funksionit, dhe 4 dhe -4 janë vetë ekstremet.

Gjetja e pikave ekstreme

Por si i gjeni pikat ekstreme të një funksioni? Gjithçka është mjaft e thjeshtë. Gjëja e parë që duhet të bëni është të gjeni derivatin e ekuacionit. Le të themi se morëm detyrën: "Gjeni pikat ekstreme të funksionit y (x), x është argumenti. Për qartësi, le të marrim funksionin y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Le të dallojmë dhe merrni ekuacionin e mëposhtëm: 3x 2 + 4x + 1. Si rezultat, morëm ekuacionin standard kuadratik. Gjithçka që duhet bërë është ta barazojmë atë me zero dhe të gjejmë rrënjët. Meqenëse diskriminuesi është më i madh se zero (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), ky ekuacion përcaktohet nga dy rrënjë. Ne i gjejmë ato dhe marrim dy vlera: 1/3 dhe -1. Këto do të jenë pikat ekstreme të funksionit. Megjithatë, si mund ta përcaktoni akoma kush është kush? Cila pikë është maksimumi dhe cila është minimumi? Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni një pikë fqinje dhe të zbuloni vlerën e saj. Për shembull, le të marrim numrin -2, i cili është në të majtë përgjatë koordinatës rreshti nga -1. Ne e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacionin tonë y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Si rezultat, kemi marrë një numër pozitiv. Kjo do të thotë se në intervalin nga 1/3 në -1 funksioni rritet, që, nga ana tjetër, do të thotë se në intervalet nga min nga pafundësia në 1/3 dhe nga -1 në plus pafundësi, funksioni zvogëlohet. Kështu, mund të konkludojmë se numri 1/3 është pika minimale e funksionit në intervalin e hetuar, dhe -1 është pika maksimale.

Vlen gjithashtu të theksohet se provimi kërkon jo vetëm gjetjen e pikave ekstreme, por edhe kryerjen e një lloj operacioni me to (shtoni, shumëzoni, etj.). Është për këtë arsye që ia vlen t'i kushtohet vëmendje e veçantë kushteve të problemit. Në fund të fundit, për shkak të pavëmendjes, ju mund të humbni pikë.

Rritja, zvogëlimi dhe ekstremi i një funksioni

Gjetja e intervaleve të rritjes, uljes dhe ekstremit të një funksioni është një detyrë e pavarur dhe një pjesë e rëndësishme e detyrave të tjera, në veçanti, studim i plotë i funksionit. Informacioni fillestar për rritjen, uljen dhe ekstremin e funksionit jepet në kapitulli teorik mbi derivatin, të cilën e rekomandoj shumë për studim paraprak (ose përsëritje)- edhe për arsye se materiali i mëposhtëm bazohet në vetë thelbi i derivatit duke qenë një vazhdim harmonik i këtij artikulli. Megjithëse, nëse koha po mbaron, atëherë është gjithashtu e mundur një përpunim thjesht formal i shembujve të mësimit të sotëm.

Dhe sot ka një frymë unanimiteti të rrallë në ajër, dhe unë mund të ndjej drejtpërdrejt se të gjithë të pranishmit digjen nga dëshira Mësoni të eksploroni një funksion duke përdorur një derivat. Prandaj, terminologjia e arsyeshme e mirë e përjetshme shfaqet menjëherë në ekranet e monitorëve tuaj.

Per cfare? Një nga arsyet më praktike është: për të bërë të qartë se çfarë kërkohet në përgjithësi nga ju në një detyrë të caktuar!

Monotonia e funksionit. Pikat ekstreme dhe ekstremet e funksionit

Le të shqyrtojmë disa funksione. Në mënyrë të thjeshtë, ne supozojmë se të vazhdueshme në të gjithë vijën numerike:

Për çdo rast, ne do të shpëtojmë menjëherë nga iluzionet e mundshme, veçanërisht për ata lexues që së fundmi janë njohur me intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave të funksionit. Tani ne JO I INTERESUAR, si ndodhet grafiku i funksionit në lidhje me boshtin (sipër, poshtë, ku ai kalon boshtin). Për bindje, fshini mendërisht sëpatat dhe lini një grafik. Sepse interesi është në të.

Funksioni rritet në një interval nëse për çdo dy pika të këtij intervali të lidhur me relacionin , pabarazia është e vërtetë. Kjo do të thotë, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit, dhe grafiku i tij shkon "nga poshtë lart". Funksioni demo rritet gjatë intervalit.

Po kështu, funksioni zvogëlohet në një interval nëse për çdo dy pika të intervalit të dhënë, i tillë që , pabarazia është e vërtetë. Kjo do të thotë, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit, dhe grafiku i tij shkon "nga lart poshtë". Funksioni ynë po zvogëlohet me intervale .

Nëse një funksion rritet ose zvogëlohet gjatë një intervali, atëherë ai thirret rreptësisht monotone në këtë interval. Çfarë është monotonia? Merre fjalë për fjalë - monotoni.

Është gjithashtu e mundur të përcaktohet jo në rënie funksioni (gjendja e relaksuar në përkufizimin e parë) dhe jo në rritje funksioni (gjendja e zbutur në përkufizimin e 2-të). Një funksion jo-zvogëlues ose jo-rritës në një interval quhet funksion monoton në një interval të caktuar. (monotoniciteti i rreptë është një rast i veçantë i monotonitetit "të drejtë").

Teoria konsideron gjithashtu qasje të tjera për përcaktimin e rritjes / uljes së një funksioni, duke përfshirë në gjysmë-intervale, segmente, por për të mos derdhur vaj-vaj-vaj mbi kokën tuaj, ne pranojmë të veprojmë me intervale të hapura me përkufizime kategorike - kjo është më e qartë dhe mjafton për zgjidhjen e shumë problemeve praktike.

Në këtë mënyrë, në artikujt e mi, formulimi "monotoniciteti i një funksioni" pothuajse gjithmonë do të fshihet intervale monotoni e rreptë(rritje strikte ose ulje strikte e funksionit).

Lagjja e pikës. Fjalë pas të cilave nxënësit shpërndahen kudo që të munden dhe fshihen të tmerruar nëpër qoshe. …Edhe pse pas postimit Kufijtë cauchy ata ndoshta nuk fshihen më, por vetëm dridhen pak =) Mos u shqetëso, tani nuk do të ketë prova të teoremave të analizës matematikore - më duhej lagjja për të formuluar përkufizimet më rigorozisht pika ekstreme. Ne kujtojmë:

Pika e lagjes emërtoni intervalin që përmban pikën e dhënë, ndërsa për lehtësi shpesh supozohet se intervali është simetrik. Për shembull, një pikë dhe lagja standarde e saj:

Në thelb përkufizimet:

Pika quhet pikë maksimale strikte, nëse ekziston lagjen e saj, per te gjithe vlerat e të cilave, përveç vetë pikës, plotësohet pabarazia. Në shembullin tonë të veçantë, kjo është një pikë.

Pika quhet pikë minimale strikte, nëse ekziston lagjen e saj, per te gjithe vlerat e të cilave, përveç vetë pikës, plotësohet pabarazia. Në vizatim - pika "a".

shënim : kërkesa që lagjja të jetë simetrike nuk është aspak e nevojshme. Përveç kësaj, është e rëndësishme vetë fakti i ekzistencës lagje (edhe pse e vogël, madje mikroskopike) që plotëson kushtet e specifikuara

Pikat quhen pikat e ekstremit të rreptë ose thjesht pika ekstreme funksione. Kjo do të thotë, është një term i përgjithësuar për pikët maksimale dhe pikët minimale.

Si ta kuptoni fjalën "ekstrem"? Po, po aq drejtpërdrejt sa monotonia. Pikat ekstreme të slitës.

Ashtu si në rastin e monotonitetit, në teori ekzistojnë postulate jo strikte dhe edhe më të zakonshme (nën të cilat, natyrisht, bien rastet e rrepta të konsideruara!):

Pika quhet pikë maksimale, nëse ekziston rrethinat e tij, të tilla që per te gjithe
Pika quhet pikë minimale, nëse ekziston rrethinat e tij, të tilla që per te gjithe vlerat e kësaj lagjeje, mban pabarazia.

Vini re se sipas dy përkufizimeve të fundit, çdo pikë e një funksioni konstant (ose një "zonë e sheshtë" e ndonjë funksioni) konsiderohet si një pikë maksimale dhe një pikë minimale! Funksioni, meqë ra fjala, është edhe jo rritës edhe jozvogëlues, domethënë monoton. Megjithatë, këto argumente ua lëmë teoricienëve, pasi në praktikë ne pothuajse gjithmonë soditim "kodrat" dhe "gropat" tradicionale (shih vizatimin) me një "mbret të kodrës" ose "princeshë kënetore" unike. Si një shumëllojshmëri, ajo ndodh pikë, drejtuar lart ose poshtë, për shembull, minimumi i funksionit në pikën .

Oh, dhe duke folur për mbretërinë:
- quhet kuptimi maksimale funksione;
- quhet kuptimi minimale funksione.

Emer i perbashket - ekstremet funksione.

Ju lutemi kini kujdes me fjalët tuaja!

pika ekstreme janë vlera "x".
Ekstreme- vlerat e "lojës".

! shënim : ndonjëherë termat e renditur u referohen pikave "x-y" që shtrihen drejtpërdrejt në GRAFIKU të funksionit.

Sa ekstreme mund të ketë një funksion?

Asnjë, 1, 2, 3, ... etj. në pafundësi. Për shembull, sinusi ka një numër të pafund të minimumeve dhe maksimaleve.

E RËNDËSISHME! Termi "funksion maksimal" jo identike termi "vlera maksimale e një funksioni". Është e lehtë të shihet se vlera është maksimale vetëm në lagjen lokale, dhe ka "shokë më të papritur" në pjesën e sipërme të majtë. Po kështu, "funksioni minimal" nuk është i njëjtë me "vlera minimale e funksionit", dhe në vizatim mund të shohim se vlera është minimale vetëm në një zonë të caktuar. Në këtë drejtim quhen edhe pika ekstreme pikat ekstreme lokale, dhe ekstreme ekstremet lokale. Ata ecin dhe enden përreth dhe globale vëllezër. Pra, çdo parabolë ka në kulmin e saj minimale globale ose maksimumi global. Më tej, unë nuk do të bëj dallimin midis llojeve të ekstremeve, dhe shpjegimi shprehet më shumë për qëllime të përgjithshme arsimore - mbiemrat shtesë "lokal" / "global" nuk duhet të merren në befasi.

Le të përmbledhim digresionin tonë të shkurtër në teori me një goditje kontrolli: çfarë nënkupton detyra "gjetja e intervaleve të monotonitetit dhe pikave ekstreme të një funksioni"?

Formulimi kërkon të gjejë:

- intervalet e rritjes / uljes së funksionit (jo në rënie, jo në rritje shfaqen shumë më rrallë);

– pikët maksimale dhe/ose pikët minimale (nëse ka). Epo, është më mirë të gjesh vetë minimumin / maksimumin nga dështimi ;-)

Si të përkufizohet e gjithë kjo? Me ndihmën e një funksioni derivator!

Si të gjeni intervalet e rritjes, uljes,
pikat ekstreme dhe ekstremet e funksionit?

Shumë rregulla, në fakt, tashmë njihen dhe kuptohen prej tyre mësim për kuptimin e derivatit.

Derivati ​​tangjent sjell lajmin e mirë se funksioni po rritet gjatë gjithë kohës domenet.

Me kotangjent dhe derivatin e tij situata është pikërisht e kundërta.

Arksina rritet në interval - derivati ​​është pozitiv këtu: .
Për , funksioni është i përcaktuar por jo i diferencueshëm. Megjithatë, në pikën kritike ka një derivat të djathtë dhe një tangjente të djathtë, dhe në skajin tjetër, homologët e tyre në të majtë.

Unë mendoj se nuk do të jetë e vështirë për ju të bëni një arsyetim të ngjashëm për kosinusin e harkut dhe derivatin e tij.

Të gjitha këto raste, shumë prej të cilave janë derivatet tabelare, ju kujtoj, ndiqni direkt nga përkufizimet e derivatit.

Pse të eksploroni një funksion me një derivat?

Për të marrë një ide më të mirë se si duket grafiku i këtij funksioni: ku shkon "nga poshtë lart", ku shkon "nga lart poshtë", ku arrin të ulëtat e të lartave (nëse ka). Jo të gjitha funksionet janë kaq të thjeshta - në shumicën e rasteve, ne përgjithësisht nuk kemi idenë më të vogël për grafikun e një funksioni të caktuar.

Është koha për të kaluar në shembuj më kuptimplotë dhe për të shqyrtuar algoritmi për gjetjen e intervaleve të monotonitetit dhe ekstremeve të një funksioni:

Shembulli 1

Gjeni intervalet rritëse/zvogëluese dhe ekstremet e një funksioni

Zgjidhje:

1) Hapi i parë është të gjesh fushëveprimi i funksionit, dhe gjithashtu merrni parasysh pikat e ndërprerjes (nëse ato ekzistojnë). Në këtë rast, funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën reale dhe ky veprim është disi formal. Por në disa raste këtu ndizen pasione serioze, ndaj le ta trajtojmë paragrafin pa neglizhencë.

2) Pika e dytë e algoritmit është për shkak

Kushti i nevojshëm për një ekstrem:

Nëse ka një ekstrem në pikë, atëherë ose vlera nuk ekziston.

Të hutuar nga fundi? Ekstremumi i funksionit "modulo x" .

kushti është i nevojshëm, por jo mjaftueshem, dhe e kundërta nuk është gjithmonë e vërtetë. Pra, nga barazia nuk rezulton ende se funksioni arrin një maksimum ose minimum në pikën . Një shembull klasik tashmë është ndezur më lart - kjo është një parabolë kubike dhe pika e saj kritike.

Por sido që të jetë, kushti i nevojshëm për një ekstrem dikton nevojën për të gjetur pika të dyshimta. Për ta bërë këtë, gjeni derivatin dhe zgjidhni ekuacionin:

Në fillim të artikullit të parë rreth grafikëve të funksioneve Unë ju thashë se si të ndërtoni shpejt një parabolë duke përdorur një shembull : "... marrim derivatin e parë dhe e barazojmë me zero: ... Pra, zgjidhja e ekuacionit tonë: - pikërisht në këtë pikë ndodhet maja e parabolës ...". Tani, mendoj se të gjithë e kuptojnë pse maja e parabolës është pikërisht në këtë pikë =) Në përgjithësi, duhet të fillojmë me një shembull të ngjashëm këtu, por është shumë e thjeshtë (edhe për një çajnik). Për më tepër, ekziston një analog në fund të mësimit rreth funksioni derivator. Pra, le të ngremë nivelin:

Shembulli 2

Gjeni intervalet e monotonitetit dhe ekstremet e një funksioni

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një zgjidhje e plotë dhe një mostër e përafërt përfundimtare e problemit në fund të mësimit.

Ka ardhur momenti i shumëpritur i takimit me funksione racionale thyesore:

Shembulli 3

Eksploroni një funksion duke përdorur derivatin e parë

Kushtojini vëmendje mënyrës se si mund të riformulohet e njëjta detyrë.

Zgjidhje:

1) Funksioni pëson ndërprerje të pafundme në pikat .

2) Ne zbulojmë pika kritike. Le të gjejmë derivatin e parë dhe ta barazojmë me zero:

Le të zgjidhim ekuacionin. Një thyesë është zero kur numëruesi i saj është zero:

Kështu, marrim tre pika kritike:

3) Lini mënjanë TË GJITHA pikat e zbuluara në vijën numerike dhe metoda e intervalit Përcaktoni shenjat e DERIVATIT:

Ju kujtoj se duhet të merrni një pikë të intervalit, të llogarisni vlerën e derivatit në të dhe përcaktoni shenjën e saj. Është më e dobishme të mos numërosh, por të "vlerësosh" gojarisht. Merrni, për shembull, një pikë që i përket intervalit dhe kryeni zëvendësimin: .

Dy "plus" dhe një "minus" japin një "minus", pra, që do të thotë se derivati ​​është negativ në të gjithë intervalin.

Veprimi, siç e kuptoni, duhet të kryhet për secilën nga gjashtë intervalet. Nga rruga, vini re se faktori numërues dhe emëruesi janë rreptësisht pozitivë për çdo pikë të çdo intervali, gjë që thjeshton shumë detyrën.

Pra, derivati ​​na tha se VETË FUNKSIONI rritet me dhe zvogëlohet me. Është i përshtatshëm për të lidhur intervale të të njëjtit lloj me ikonën e bashkimit.

Në pikën që funksioni arrin maksimumin e tij:
Në pikën që funksioni arrin minimumin e tij:

Mendoni pse nuk mund të rillogaritni vlerën e dytë ;-)

Kur kalon nëpër një pikë, derivati ​​nuk ndryshon shenjë, kështu që funksioni nuk ka ASNJË EKSTREM - ai u zvogëlua dhe mbeti në rënie.

! Le të përsërisim një pikë të rëndësishme: pikat nuk konsiderohen kritike - ato kanë një funksion nuk është përcaktuar. Prandaj, këtu ekstremet nuk mund të jenë në parim(edhe nëse derivati ​​ndryshon shenjën).

Përgjigju: funksioni rritet me dhe zvogëlohet në pikën kur arrihet maksimumi i funksionit: , dhe në pikën - minimumi: .

Njohuri për intervalet dhe ekstremet e monotonitetit, shoqëruar me të vendosura asimptota tashmë jep një ide shumë të mirë për pamjen e grafikut të funksionit. Një person mesatar është në gjendje të përcaktojë verbalisht se një grafik funksioni ka dy asimptota vertikale dhe një asimptotë të zhdrejtë. Këtu është heroi ynë:

Provoni sërish të lidhni rezultatet e studimit me grafikun e këtij funksioni.
Nuk ka ekstrem në pikën kritike, por ka lakimi i kurbës(që, si rregull, ndodh në raste të ngjashme).

Shembulli 4

Gjeni ekstremet e një funksioni

Shembulli 5

Gjeni intervalet e monotonitetit, maksimumin dhe minimumin e një funksioni

... vetëm një lloj feste X-në-a-kub rezulton sot ....
Soooo, kush aty në galeri ofroi të pinte për këtë? =)

Çdo detyrë ka nuancat e veta thelbësore dhe hollësitë teknike, të cilat komentohen në fund të mësimit.

Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=(7x^2-56x+56)e^x në segmentin [-3; 2].

Trego Zgjidhjen

Zgjidhje

Gjeni derivatin e funksionit origjinal me formulën për derivatin e produktit y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\majtas(e^x\djathtas)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Le të llogarisim zerot e derivatit: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Le të vendosim shenjat e derivatit dhe të përcaktojmë intervalet e monotonitetit të funksionit origjinal në një interval të caktuar.

Nga figura shihet se në segmentin [-3; 0] funksioni origjinal rritet dhe zvogëlohet në interval. Kështu, vlera më e madhe në intervalin [-3; 2] arrihet në x=0 dhe është e barabartë me y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Përgjigju

gjendja

Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=12x-12tg x-18 në segment \majtas.

Trego Zgjidhjen

Zgjidhje

y"= (12x)"-12(tgx)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Kjo do të thotë se funksioni origjinal nuk është në rritje në intervalin në shqyrtim dhe merr vlerën më të madhe në skajin e majtë të segmentit, pra në x=0. Vlera më e lartë është y(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Gjeni pikën minimale të funksionit y=(x+8)^2e^(x+52).

Trego Zgjidhjen

Zgjidhje

Ne do të gjejmë pikën minimale të funksionit duke përdorur derivatin. Le të gjejmë derivatin e funksionit të dhënë duke përdorur formulat për derivatin e produktit, derivatin e x^\alfa dhe e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\djathtas)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\djathtas)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Le të renditim shenjat e derivatit dhe të përcaktojmë intervalet e monotonitetit të funksionit origjinal. e^(x+52)>0 për çdo x. y"=0 kur x=-8, x=-10.

Figura tregon se funksioni y=(x+8)^2e^(x+52) ka një pikë minimale të vetme x=-8.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Gjeni pikën maksimale të funksionit y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Trego Zgjidhjen

Zgjidhje

ODZ: x \geqslant 0. Gjeni derivatin e funksionit origjinal:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Le të llogarisim zerot e derivatit:

8-\sqrtx=0;

\sqrtx=8;

x=64.

Le të renditim shenjat e derivatit dhe të përcaktojmë intervalet e monotonitetit të funksionit origjinal.

Nga figura shihet se pika x=64 është e vetmja pikë maksimale e funksionit të dhënë.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y=5x^2-12x+2\n x+37 në segment \left[\frac35; \frac75\djathtas].

Trego Zgjidhjen

Zgjidhje

ODZ: x>0.

Gjeni derivatin e funksionit origjinal:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Le të përcaktojmë zerot e derivatit: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\majtas[\frac35; \frac75\djathtas],

x_2=1\në\majtas[\frac35; \frac75\djathtas].

Ne rregullojmë shenjat e derivatit dhe përcaktojmë intervalet e monotonitetit të funksionit origjinal në intervalin në shqyrtim.

Nga figura shihet se në segment \left[\frac35; 1\djathtas] funksioni origjinal është në rënie, dhe në segment \majtas rritet. Kështu, vlera më e vogël në segment \left[\frac35; \frac75\djathtas] arrihet në x=1 dhe është e barabartë me y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=(x+4)^2(x+1)+19 në segmentin [-5; -3].

Trego Zgjidhjen

Zgjidhje

Gjeni derivatin e funksionit origjinal duke përdorur formulën për derivatin e produktit.

Artikulli i mëparshëm: Anglisht detare për jahtistët Kushtet detare në anglisht Artikulli vijues: Lumenjtë që rrjedhin në Detin Kaspik: lista, përshkrimi, karakteristikat Kush kufizohet me Detin Kaspik