Vija e dytë mesatare e trapezit të pronës. Detyrë për të përsëritur

Koncepti i vijës së mesme të trapezit

Së pari, le të kujtojmë se cila figurë quhet një trapezoid.

Përkufizimi 1

Një trapez është një katërkëndësh në të cilin dy anët janë paralele dhe dy të tjerat nuk janë paralele.

Në këtë rast, anët paralele quhen bazat e trapezit, dhe jo paralele - anët e trapezit.

Përkufizimi 2

Vija e mesme e një trapezi është një segment vije që lidh mesin e anëve të trapezit.

Teorema e vijës së mesme të trapezit

Tani prezantojmë teoremën në vijën e mesme të një trapezi dhe e vërtetojmë atë me metodën vektoriale.

Teorema 1

Vija mesatare e trapezit është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.

Dëshmi.

Le të na jepet një trapez $ABCD$ me baza $AD\ dhe\ BC$. Dhe le të jetë $MN$ vija e mesme e këtij trapezi (Fig. 1).

Figura 1. Vija e mesme e trapezit

Le të vërtetojmë se $MN||AD\ dhe\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Merrni parasysh vektorin $\overrightarrow(MN)$. Më pas, ne përdorim rregullin e shumëkëndëshit për mbledhjen e vektorit. Nga njëra anë, ne e kuptojmë atë

Ne anen tjeter

Duke shtuar dy barazitë e fundit, marrim

Meqenëse $M$ dhe $N$ janë pikat e mesit të anëve të trapezit, ne kemi

Ne marrim:

Rrjedhimisht

Nga e njëjta barazi (pasi $\overrightarrow(BC)$ dhe $\overrightarrow(AD)$ janë me drejtim të përbashkët dhe, për rrjedhojë, kolinear), marrim atë $MN||AD$.

Teorema është vërtetuar.

Shembuj detyrash mbi konceptin e vijës së mesme të një trapezi

Shembulli 1

Anët e trapezit janë përkatësisht $15\cm$ dhe $17\cm$. Perimetri i trapezit është 52$\cm$. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të trapezit.

Zgjidhje.

Shënoni vijën e mesit të trapezit me $n$.

Shuma e anëve është

Prandaj, meqenëse perimetri është $52\ cm$, shuma e bazave është

Kështu, nga teorema 1, ne marrim

Përgjigje:$10\cm$.

Shembulli 2

Skajet e diametrit të rrethit janë përkatësisht $9$cm dhe $5$cm nga tangjentja e tij.Gjeni diametrin e këtij rrethi.

Zgjidhje.

Le të na jepet një rreth me qendër $O$ dhe diametër $AB$. Vizatoni tangjenten $l$ dhe ndërtoni distancat $AD=9\ cm$ dhe $BC=5\ cm$. Le të vizatojmë rrezen $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Meqenëse $AD$ dhe $BC$ janë distancat me tangjenten, atëherë $AD\bot l$ dhe $BC\bot l$ dhe meqenëse $OH$ është rrezja, atëherë $OH\bot l$, pra $OH | \majtas|AD\djathtas||BC$. Nga e gjithë kjo marrim se $ABCD$ është një trapezoid, dhe $OH$ është vija e mesme e tij. Nga teorema 1, marrim

Objektivat e mësimit:

1) prezantoni studentët me konceptin e vijës së mesme të një trapezi, merrni parasysh vetitë e tij dhe provoni ato;

2) mësoni se si të ndërtoni vijën e mesme të trapezit;

3) të zhvillojë aftësinë e studentëve për të përdorur përkufizimin e vijës së mesme të trapezit dhe vetitë e vijës së mesme të trapezit gjatë zgjidhjes së problemeve;

4) të vazhdojë të zhvillojë aftësinë e nxënësve për të folur drejt, duke përdorur termat e nevojshëm matematikor; vërtetoni këndvështrimin tuaj;

5) zhvilloni të menduarit logjik, kujtesën, vëmendjen.

Gjatë orëve të mësimit

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë bëhet gjatë orës së mësimit. Detyrat e shtëpisë ishin me gojë, mbani mend:

a) përkufizimi i një trapezi; llojet e trapezit;

b) përcaktimi i vijës së mesit të trekëndëshit;

c) vetia e vijës së mesit të një trekëndëshi;

d) një shenjë e mesit të trekëndëshit.

2. Mësimi i materialit të ri.

a) Trapezi ABCD paraqitet në tabelë.

b) Mësuesi ofron të kujtojë përkufizimin e një trapezi. Çdo tavolinë ka një diagram këshillues që ndihmon për të kujtuar konceptet bazë në temën "Trapezoid" (shih Shtojcën 1). Shtojca 1 lëshohet për çdo tavolinë.

Nxënësit vizatojnë në fletoren e tyre trapezin ABCD.

c) Mësuesi sugjeron të kujtoni se në cilën temë është ndeshur koncepti i vijës së mesme (“Vija e mesme e trekëndëshit”). Nxënësit kujtojnë përkufizimin e mesit të trekëndëshit dhe vetitë e tij.

e) Shkruani përkufizimin e vijës së mesit të trapezit, duke e paraqitur atë në një fletore.

vija e mesme Një trapez quhet një segment që lidh mesin e anëve të tij.

Vetia e vijës mesatare të trapezit në këtë fazë mbetet e paprovuar, kështu që faza tjetër e mësimit përfshin punën për vërtetimin e vetive të vijës mesatare të trapezit.

Teorema. Vija e mesme e një trapezi është paralele me bazat e saj dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.

E dhënë: ABCD - trapezoid,

MN - vija e mesme ABCD

Provoj, çfarë:

1. para Krishtit || MN || pas Krishtit.

2. MN = (AD + BC).

Mund të shkruajmë disa përfundime që vijojnë nga kushtet e teoremës:

AM=MB, CN=ND, BC || pas Krishtit.

Është e pamundur të vërtetohet se çfarë kërkohet vetëm në bazë të pronave të listuara. Sistemi i pyetjeve dhe i ushtrimeve duhet t'i çojë nxënësit në dëshirën për të lidhur mesin e një trapezi me vijën e mesme të ndonjë trekëndëshi, vetitë e të cilit ata tashmë i dinë. Nëse nuk ka propozime, atëherë mund të shtrojmë pyetjen: si të ndërtohet një trekëndësh për të cilin segmenti MN do të ishte vija e mesit?

Le të shkruajmë një ndërtim shtesë për një nga rastet.

Le të vizatojmë një vijë BN që pret shtrirjen e anës AD në pikën K.

Shfaqen elemente shtesë - trekëndëshat: ABD, BNM, DNK, BCN. Nëse vërtetojmë se BN = NK, atëherë kjo do të thotë se MN është mesi i ABD, dhe atëherë mund të përdorim vetinë e vijës së mesit të një trekëndëshi dhe të vërtetojmë të nevojshmen.

Dëshmi:

1. Konsideroni BNC dhe DNK, në to:

a) CNB =DNK (vetia e këndeve vertikale);

b) BCN = NDK (vetia e këndeve të shtrira të brendshme të kryqëzuara);

c) CN = ND (nga përfundimi i hipotezës së teoremës).

Pra, BNC = DNK (në anën dhe dy qoshet ngjitur me të).

Q.E.D.

Prova mund të kryhet gojarisht në mësim, dhe të restaurohet dhe të shkruhet në një fletore në shtëpi (sipas gjykimit të mësuesit).

Është e nevojshme të përmenden mënyra të tjera të mundshme për të vërtetuar këtë teoremë:

1. Vizatoni një nga diagonalet e trapezit dhe përdorni shenjën dhe vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit.

2. Drejto CF || BA dhe merrni parasysh paralelogramin ABCF dhe DCF.

3. Ekzekutoni EF || BA dhe merrni parasysh barazinë e FND dhe ENC.

g) Në këtë fazë jepen detyrat e shtëpisë: f.84, teksti mësimor, bot. Atanasyan L.S. (vërtetimi i vetive të vijës së mesit të një trapezi në mënyrë vektoriale), shkruani në një fletore.

h) Ne zgjidhim problema për përdorimin e përkufizimit dhe vetive të vijës së mesme të trapezit sipas vizatimeve të përfunduara (shih Shtojcën 2). Shtojca 2 i jepet çdo nxënësi dhe zgjidhja e problemave hartohet në të njëjtën fletë në një formë të shkurtër.

Në këtë artikull, ne do të përpiqemi të pasqyrojmë vetitë e trapezoidit sa më plotësisht të jetë e mundur. Në veçanti, do të flasim për shenjat dhe vetitë e përgjithshme të një trapezi, si dhe për vetitë e një trapezi të gdhendur dhe për një rreth të gdhendur në një trapezoid. Do të prekim edhe vetitë e një trapezi izoscelor dhe drejtkëndor.

Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur vetitë e konsideruara do t'ju ndihmojë të zgjidhni gjërat në kokën tuaj dhe të mbani mend më mirë materialin.

Trapez dhe të gjithë-të gjithë-të gjithë

Për të filluar, le të kujtojmë shkurtimisht se çfarë është një trapezoid dhe cilat koncepte të tjera lidhen me të.

Pra, një trapez është një figurë katërkëndëshe, dy nga anët e së cilës janë paralele me njëra-tjetrën (këto janë bazat). Dhe dy nuk janë paralele - këto janë anët.

Në një trapezoid, lartësia mund të hiqet - pingul me bazat. Vizatohen vija e mesme dhe diagonalet. Dhe gjithashtu nga çdo kënd i trapezit është e mundur të vizatoni një përgjysmues.

Tani do të flasim për vetitë e ndryshme që lidhen me të gjithë këta elementë dhe kombinimet e tyre.

Vetitë e diagonaleve të një trapezi

Për ta bërë më të qartë, gjatë leximit, skiconi trapezin ACME në një copë letër dhe vizatoni diagonale në të.

1. Nëse gjeni mesin e secilës prej diagonaleve (le t'i quajmë këto pika X dhe T) dhe i lidhni ato, ju merrni një segment. Një nga vetitë e diagonaleve të një trapezi është se segmenti XT shtrihet në vijën e mesit. Dhe gjatësia e saj mund të merret duke e ndarë ndryshimin e bazave me dy: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Para nesh është i njëjti trapez ACME. Diagonalet kryqëzohen në pikën O. Le të shqyrtojmë trekëndëshat AOE dhe IOC të formuar nga segmentet e diagonaleve së bashku me bazat e trapezit. Këta trekëndësha janë të ngjashëm. Koeficienti i ngjashmërisë së k trekëndëshave shprehet në raportin e bazave të trapezit: k = AE/KM.
   Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave AOE dhe IOC përshkruhet me koeficientin k 2 .
3. Të gjithë i njëjti trapez, të njëjtat diagonale që kryqëzohen në pikën O. Vetëm këtë herë do të shqyrtojmë trekëndëshat që segmentet diagonale formuan së bashku me brinjët e trapezit. Zonat e trekëndëshave AKO dhe EMO janë të barabarta - sipërfaqet e tyre janë të njëjta.
4. Një tjetër veti e një trapezi përfshin ndërtimin e diagonaleve. Pra, nëse vazhdojmë anët e AK dhe ME në drejtim të bazës më të vogël, atëherë herët a vonë ato do të kryqëzohen deri në një pikë. Më pas, vizatoni një vijë të drejtë përmes mesit të bazave të trapezit. Ai kryqëzon bazat në pikat X dhe T.
   Nëse tani e zgjerojmë drejtëzën XT, atëherë ajo do të bashkojë pikën e prerjes së diagonaleve të trapezit O, pika në të cilën kryqëzohen zgjatimet e brinjëve dhe mespikat e bazave të X dhe T.
5. Përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve, vizatojmë një segment që do të lidhë bazat e trapezit (T shtrihet në bazën më të vogël të KM, X - në AE më të madhe). Pika e kryqëzimit të diagonaleve e ndan këtë segment në raportin e mëposhtëm: TO/OH = KM/AE.
6. Dhe tani përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve tërheqim një segment paralel me bazat e trapezit (a dhe b). Pika e kryqëzimit do ta ndajë atë në dy pjesë të barabarta. Ju mund të gjeni gjatësinë e një segmenti duke përdorur formulën 2ab/(a + b).

Vetitë e vijës së mesme të një trapezi

Vizatoni vijën e mesme në trapez paralel me bazat e tij.

1. Gjatësia e vijës së mesme të një trapezi mund të llogaritet duke shtuar gjatësitë e bazave dhe duke i ndarë ato në gjysmë: m = (a + b)/2.
2. Nëse vizatoni ndonjë segment (lartësi, për shembull) përmes të dy bazave të trapezit, vija e mesme do ta ndajë atë në dy pjesë të barabarta.

Vetia e përgjysmuesit të një trapezi

Zgjidhni çdo kënd të trapezit dhe vizatoni një përgjysmues. Merrni, për shembull, këndin KAE të ACME tonë trapezoid. Pasi të keni përfunduar vetë ndërtimin, mund të shihni lehtësisht se përgjysmuesi shkëput nga baza (ose vazhdimi i tij në një vijë të drejtë jashtë vetë figurës) një segment me të njëjtën gjatësi me anën.

Vetitë e këndit të trapezit

1. Cilido nga dy çiftet e këndeve ngjitur me brinjën që zgjidhni, shuma e këndeve në një çift është gjithmonë 180 0: α + β = 180 0 dhe γ + δ = 180 0 .
2. Lidhni mesin e bazave të trapezit me një segment TX. Tani le të shohim këndet në bazat e trapezit. Nëse shuma e këndeve për cilindo prej tyre është 90 0, gjatësia e segmentit TX është e lehtë për t'u llogaritur bazuar në ndryshimin në gjatësitë e bazave, të ndarë në gjysmë: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Nëse vijat paralele vizatohen nëpër anët e këndit të një trapezi, ato do t'i ndajnë anët e këndit në segmente proporcionale.

Vetitë e një trapezi izoscelor (izoscelor).

1. Në një trapezoid izoscelular, këndet në secilën prej bazave janë të barabarta.
2. Tani ndërtoni përsëri një trapezoid për ta bërë më të lehtë të imagjinoni se për çfarë bëhet fjalë. Shikoni me kujdes bazën e AE - kulmi i bazës së kundërt të M është projektuar në një pikë të caktuar të vijës që përmban AE. Distanca nga kulmi A deri në pikën e projeksionit të kulmit M dhe vija e mesme e një trapezi izoscelular janë të barabarta.
3. Disa fjalë për vetinë e diagonaleve të një trapezi izosceles - gjatësitë e tyre janë të barabarta. Dhe gjithashtu këndet e prirjes së këtyre diagonaleve në bazën e trapezit janë të njëjta.
4. Një rreth mund të përshkruhet vetëm afër një trapezi dykëndësh, pasi shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi 180 0 është një parakusht për këtë.
5. Vetia e një trapezi izosceles rrjedh nga paragrafi i mëparshëm - nëse një rreth mund të përshkruhet pranë një trapezi, ai është i njëtrajtshëm.
6. Nga veçoritë e një trapezi izoscelular, vijon vetia e lartësisë së një trapezi: nëse diagonalet e tij kryqëzohen në kënde të drejta, atëherë gjatësia e lartësisë është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave: h = (a + b)/2.
7. Vizatoni përsëri vijën TX nëpër mes pikave të bazave të trapezit - në një trapezoid izosceles është pingul me bazat. Dhe në të njëjtën kohë, TX është boshti i simetrisë së një trapezoidi izosceles.
8. Këtë herë uleni në bazën më të madhe (le ta quajmë a) lartësinë nga kulmi i kundërt i trapezit. Do të merrni dy prerje. Gjatësia e një mund të gjendet nëse gjatësitë e bazave shtohen dhe ndahen në gjysmë: (a+b)/2. E marrim të dytën kur zbresim më të voglin nga baza më e madhe dhe e ndajmë ndryshimin që rezulton me dy: (a – b)/2.

Vetitë e një trapezi të gdhendur në një rreth

Meqenëse tashmë po flasim për një trapezoid të gdhendur në një rreth, le të ndalemi në këtë çështje më në detaje. Në veçanti, ku është qendra e rrethit në lidhje me trapezin. Këtu, gjithashtu, rekomandohet të mos jeni shumë dembel për të marrë një laps dhe për të nxjerrë atë që do të diskutohet më poshtë. Kështu do të kuptoni më shpejt dhe do të mbani mend më mirë.

1. Vendndodhja e qendrës së rrethit përcaktohet nga këndi i prirjes së diagonales së trapezit në anën e saj. Për shembull, një diagonale mund të dalë nga maja e një trapezi në kënde të drejta në anën. Në këtë rast, baza më e madhe kryqëzon qendrën e rrethit të rrethuar pikërisht në mes (R = ½AE).
2. Diagonalja dhe ana mund të takohen gjithashtu në një kënd të mprehtë - atëherë qendra e rrethit është brenda trapezoidit.
3. Qendra e rrethit të rrethuar mund të jetë jashtë trapezit, përtej bazës së tij të madhe, nëse ka një kënd të mpirë midis diagonales së trapezit dhe anës anësore.
4. Këndi i formuar nga diagonalja dhe baza e madhe e trapezit ACME (këndi i brendashkruar) është gjysma e këndit qendror që i korrespondon: MAE = ½ IM.
5. Shkurtimisht rreth dy mënyrave për të gjetur rrezen e rrethit të rrethuar. Metoda e parë: shikoni me kujdes vizatimin tuaj - çfarë shihni? Do të vini re lehtësisht se diagonalja e ndan trapezin në dy trekëndësha. Rrezja mund të gjendet përmes raportit të brinjës së trekëndëshit me sinusin e këndit të kundërt, shumëzuar me dy. Për shembull, R \u003d AE / 2 * sinAME. Në mënyrë të ngjashme, formula mund të shkruhet për secilën nga anët e të dy trekëndëshave.
6. Metoda e dytë: gjejmë rrezen e rrethit të rrethuar përmes zonës së trekëndëshit të formuar nga diagonalja, ana dhe baza e trapezit: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Vetitë e një trapezi të rrethuar rreth një rrethi

Mund të futni një rreth në një trapez nëse plotësohet një kusht. Më shumë rreth tij më poshtë. Dhe së bashku ky kombinim i figurave ka një numër karakteristikash interesante.

1. Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez, gjatësia e vijës së mesit të tij mund të gjendet lehtësisht duke shtuar gjatësitë e anëve dhe duke e ndarë shumën që rezulton në gjysmë: m = (c + d)/2.
2. Për një ACME trapezoid, të rrethuar rreth një rrethi, shuma e gjatësive të bazave është e barabartë me shumën e gjatësive të anëve: AK + ME = KM + AE.
3. Nga kjo veti e bazave të një trapezi rrjedh pohimi i kundërt: në atë trapez mund të brendashkruhet një rreth, shuma e bazave të të cilit është e barabartë me shumën e brinjëve.
4. Pika tangjente e një rrethi me rreze r të brendashkruar në një trapez e ndan anën anësore në dy segmente, le t'i quajmë a dhe b. Rrezja e një rrethi mund të llogaritet duke përdorur formulën: r = √ab.
5. Dhe një pronë më shumë. Për të mos u ngatërruar, vizatoni vetë këtë shembull. Ne kemi trapezin e vjetër të mirë ACME, të rrethuar rreth një rrethi. Në të vizatohen diagonalet, që ndërpriten në pikën O. Trekëndëshat AOK dhe EOM të formuar nga segmentet e diagonaleve dhe brinjëve janë drejtkëndëshe.
   Lartësitë e këtyre trekëndëshave, të ulura në hipotenus (d.m.th., anët e trapezit), përkojnë me rrezet e rrethit të brendashkruar. Dhe lartësia e trapezit është e njëjtë me diametrin e rrethit të brendashkruar.

Vetitë e një trapezi drejtkëndor

Një trapezoid quhet drejtkëndor, një nga qoshet e të cilit është i drejtë. Dhe vetitë e tij burojnë nga kjo rrethanë.

1. Një trapez drejtkëndor ka njërën nga anët pingul me bazat.
2. Lartësia dhe anët e trapezit ngjitur me këndin e duhur janë të barabarta. Kjo ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trapezi drejtkëndor (formula e përgjithshme S = (a + b) * h/2) jo vetëm përmes lartësisë, por edhe përmes anës ngjitur me këndin e duhur.
3. Për një trapezoid drejtkëndor, vetitë e përgjithshme të diagonaleve trapezoide të përshkruara më sipër janë të rëndësishme.

Provat e disa vetive të një trapezi

Barazia e këndeve në bazën e një trapezi izoscelular:

• Ju ndoshta keni marrë me mend tashmë se këtu na duhet përsëri trapezi ACME - vizatoni një trapezoid isosceles. Vizatoni një drejtëz MT nga kulmi M paralel me anën e AK (MT || AK).

Katërkëndëshi AKMT që rezulton është një paralelogram (AK || MT, KM || AT). Meqenëse ME = KA = MT, ∆ MTE është dykëndësh dhe MET = MTE.

AK || MT, pra MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Ku AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tani, bazuar në vetinë e një trapezi izoscelor (barazia e diagonaleve), vërtetojmë se trapeziumi ACME është dykëndor:

• Për të filluar, le të vizatojmë një vijë të drejtë MH – MH || KE. Marrim një paralelogram KMHE (baza - MX || KE dhe KM || EX).

∆AMH është izoscelular, pasi AM = KE = MX, dhe MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, pra MAE = MXE.

Doli që trekëndëshat AKE dhe EMA janë të barabartë me njëri-tjetrin, sepse AM \u003d KE dhe AE është ana e përbashkët e dy trekëndëshave. Dhe gjithashtu MAE \u003d MXE. Mund të konkludojmë se AK = ME, dhe prej këtej rrjedh se trapezi AKME është dykëndor.

Detyrë për të përsëritur

Bazat e trapezit ACME janë 9 cm dhe 21 cm, brinja e KA, e barabartë me 8 cm, formon një kënd prej 150 0 me një bazë më të vogël. Ju duhet të gjeni zonën e trapezoidit.

Zgjidhje: Nga kulmi K e ulim lartësinë në bazën më të madhe të trapezit. Dhe le të fillojmë të shikojmë këndet e trapezit.

Këndet AEM dhe KAN janë të njëanshme. Që do të thotë se ato shtohen deri në 1800. Prandaj, KAN = 30 0 (bazuar në vetinë e këndeve të trapezit).

Konsideroni tani ΔANK drejtkëndëshe (mendoj se kjo pikë është e qartë për lexuesit pa prova të mëtejshme). Prej saj gjejmë lartësinë e trapezit KH - në një trekëndësh është një këmbë, e cila shtrihet përballë këndit 30 0. Prandaj, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Zona e trapezit gjendet me formulën: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pasthënie

Nëse e keni studiuar me kujdes dhe me kujdes këtë artikull, nuk keni qenë shumë dembel të vizatoni trapezoide për të gjitha vetitë e mësipërme me një laps në duar dhe t'i analizoni ato në praktikë, duhet ta kishit zotëruar mirë materialin.

Sigurisht, këtu ka shumë informacione, të larmishme dhe ndonjëherë edhe konfuze: nuk është aq e vështirë të ngatërrosh vetitë e trapezit të përshkruar me vetitë e atij të mbishkruar. Por ju vetë e keni parë që ndryshimi është i madh.

Tani keni një përmbledhje të detajuar të të gjitha vetive të përgjithshme të një trapezi. Si dhe vetitë dhe veçoritë specifike të trapezoideve izosceles dhe drejtkëndëshe. Është shumë i përshtatshëm për t'u përdorur për t'u përgatitur për teste dhe provime. Provojeni vetë dhe ndajeni lidhjen me miqtë tuaj!

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Koncepti i vijës së mesme të trapezit

Së pari, le të kujtojmë se cila figurë quhet një trapezoid.

Përkufizimi 1

Një trapez është një katërkëndësh në të cilin dy anët janë paralele dhe dy të tjerat nuk janë paralele.

Në këtë rast, anët paralele quhen bazat e trapezit, dhe jo paralele - anët e trapezit.

Përkufizimi 2

Vija e mesme e një trapezi është një segment vije që lidh mesin e anëve të trapezit.

Teorema e vijës së mesme të trapezit

Tani prezantojmë teoremën në vijën e mesme të një trapezi dhe e vërtetojmë atë me metodën vektoriale.

Teorema 1

Vija mesatare e trapezit është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.

Dëshmi.

Le të na jepet një trapez $ABCD$ me baza $AD\ dhe\ BC$. Dhe le të jetë $MN$ vija e mesme e këtij trapezi (Fig. 1).

Figura 1. Vija e mesme e trapezit

Le të vërtetojmë se $MN||AD\ dhe\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Merrni parasysh vektorin $\overrightarrow(MN)$. Më pas, ne përdorim rregullin e shumëkëndëshit për mbledhjen e vektorit. Nga njëra anë, ne e kuptojmë atë

Ne anen tjeter

Duke shtuar dy barazitë e fundit, marrim

Meqenëse $M$ dhe $N$ janë pikat e mesit të anëve të trapezit, ne kemi

Ne marrim:

Rrjedhimisht

Nga e njëjta barazi (pasi $\overrightarrow(BC)$ dhe $\overrightarrow(AD)$ janë me drejtim të përbashkët dhe, për rrjedhojë, kolinear), marrim atë $MN||AD$.

Teorema është vërtetuar.

Shembuj detyrash mbi konceptin e vijës së mesme të një trapezi

Shembulli 1

Anët e trapezit janë përkatësisht $15\cm$ dhe $17\cm$. Perimetri i trapezit është 52$\cm$. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të trapezit.

Zgjidhje.

Shënoni vijën e mesit të trapezit me $n$.

Shuma e anëve është

Prandaj, meqenëse perimetri është $52\ cm$, shuma e bazave është

Kështu, nga teorema 1, ne marrim

Përgjigje:$10\cm$.

Shembulli 2

Skajet e diametrit të rrethit janë përkatësisht $9$cm dhe $5$cm nga tangjentja e tij.Gjeni diametrin e këtij rrethi.

Zgjidhje.

Le të na jepet një rreth me qendër $O$ dhe diametër $AB$. Vizatoni tangjenten $l$ dhe ndërtoni distancat $AD=9\ cm$ dhe $BC=5\ cm$. Le të vizatojmë rrezen $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Meqenëse $AD$ dhe $BC$ janë distancat me tangjenten, atëherë $AD\bot l$ dhe $BC\bot l$ dhe meqenëse $OH$ është rrezja, atëherë $OH\bot l$, pra $OH | \majtas|AD\djathtas||BC$. Nga e gjithë kjo marrim se $ABCD$ është një trapezoid, dhe $OH$ është vija e mesme e tij. Nga teorema 1, marrim

1. Segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi është i barabartë me gjysmën e diferencës së bazave
2. Trekëndëshat e formuar nga bazat e trapezit dhe segmentet e diagonaleve deri në pikën e kryqëzimit të tyre janë të ngjashëm
3. Trekëndëshat e formuar nga segmente të diagonaleve të një trapezi, anët e të cilave shtrihen në anët e trapezit - zonë e barabartë (kanë të njëjtën zonë)
4. Nëse anët e trapezit i zgjerojmë drejt bazës më të vogël, atëherë ato do të kryqëzohen në një pikë me vijën e drejtë që lidh mesin e bazave.
5. Segmenti që lidh bazat e trapezit dhe kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit, ndahet me këtë pikë në një proporcion të barabartë me raportin e gjatësive të bazave të trapezit.
6. Një segment paralel me bazat e trapezit dhe i tërhequr përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve është përgjysmuar nga kjo pikë, dhe gjatësia e tij është e barabartë me 2ab / (a ​​+ b), ku a dhe b janë bazat e trapezit.

Vetitë e një segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi

Lidhni pikat e mesit të diagonaleve të trapezit ABCD, si rezultat i të cilit do të kemi një segment LM.
Një segment vije që bashkon mesin e diagonaleve të një trapezi shtrihet në vijën e mesme të trapezit.

Ky segment paralel me bazat e trapezit.

Gjatësia e segmentit që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi është e barabartë me gjysmëdiferencën e bazave të tij.

LM = (Pas Krishtit - Para Krishtit)/2
ose
LM = (a-b)/2

Vetitë e trekëndëshave të formuar nga diagonalet e një trapezi

Trekëndëshat që formohen nga bazat e trapezit dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit - janë të ngjashme.
Trekëndëshat BOC dhe AOD janë të ngjashëm. Për shkak se këndet BOC dhe AOD janë vertikale, ato janë të barabarta.
Këndet OCB dhe OAD janë të brendshme tërthore të shtrira në drejtëzat paralele AD dhe BC (bazat e trapezit janë paralele me njëra-tjetrën) dhe linja sekante AC, prandaj, ato janë të barabarta.
Këndet OBC dhe ODA janë të barabarta për të njëjtën arsye (gënjeshtra e brendshme).

Meqenëse të tre këndet e një trekëndëshi janë të barabartë me këndet përkatëse të një trekëndëshi tjetër, këta trekëndësha janë të ngjashëm.

Çfarë rrjedh nga kjo?

Për të zgjidhur problemet në gjeometri, ngjashmëria e trekëndëshave përdoret si më poshtë. Nëse i dimë gjatësitë e dy elementeve përkatës të trekëndëshave të ngjashëm, atëherë gjejmë koeficientin e ngjashmërisë (ndajmë njërin me tjetrin). Nga ku gjatësitë e të gjithë elementëve të tjerë janë të lidhura me njëra-tjetrën me saktësisht të njëjtën vlerë.

Vetitë e trekëndëshave të shtrirë në anën anësore dhe diagonaleve të një trapezi

Konsideroni dy trekëndësha të shtrirë në anët e trapezit AB dhe CD. Këta janë trekëndëshat AOB dhe COD. Përkundër faktit se madhësitë e anëve individuale të këtyre trekëndëshave mund të jenë krejtësisht të ndryshme, por zonat e trekëndëshave të formuar nga brinjët dhe pika e prerjes së diagonaleve të trapezit janë, pra trekëndëshat janë të barabartë.

Nëse anët e trapezit shtrihen drejt bazës më të vogël, atëherë pika e kryqëzimit të anëve do të jetë përkojnë me një vijë të drejtë që kalon nga mesi i bazave.

Kështu, çdo trapezoid mund të shtrihet në një trekëndësh. ku:

• Trekëndëshat e formuar nga bazat e një trapezi me një kulm të përbashkët në pikën e kryqëzimit të anëve të zgjatura janë të ngjashëm
• Vija e drejtë që lidh mesin e bazave të trapezit është, në të njëjtën kohë, mediana e trekëndëshit të ndërtuar

Vetitë e një segmenti që lidh bazat e një trapezi

Nëse vizatoni një segment, skajet e të cilit shtrihen në bazat e trapezit, i cili shtrihet në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit (KN), atëherë raporti i segmenteve përbërës të tij nga ana e bazës me pikën e kryqëzimit të diagonalet (KO / ON) do të jetë i barabartë me raportin e bazave të trapezit(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Kjo veti rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave përkatës (shih më lart).

Vetitë e një segmenti paralel me bazat e një trapezi

Nëse vizatoni një segment paralel me bazat e trapezit dhe kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit, atëherë ai do të ketë vetitë e mëposhtme:

• Distanca e paracaktuar (KM) përgjysmon pikën e prerjes së diagonaleve të trapezit
• Gjatësia e prerjes, duke kaluar nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit dhe paralel me bazat, është e barabartë me KM = 2ab/(a + b)

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi

a, b- bazat e një trapezi

c, d- faqet e trapezit

d1 d2- diagonalet e një trapezi

α β - kënde me bazë më të madhe të trapezit

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi përmes bazave, brinjëve dhe këndeve në bazë

Grupi i parë i formulave (1-3) pasqyron një nga vetitë kryesore të diagonaleve trapezoide:

1. Shuma e katrorëve të diagonaleve të një trapezi është e barabartë me shumën e katrorëve të brinjëve plus dyfishin e produktit të bazave të tij. Kjo veti e diagonaleve të një trapezi mund të vërtetohet si një teoremë më vete

2 . Kjo formulë fitohet duke transformuar formulën e mëparshme. Sheshi i diagonales së dytë hidhet mbi shenjën e barabartë, pas së cilës rrënja katrore nxirret nga ana e majtë dhe e djathtë e shprehjes.

3 . Kjo formulë për gjetjen e gjatësisë së diagonales së një trapezi është e ngjashme me atë të mëparshme, me ndryshimin se një diagonale tjetër lihet në anën e majtë të shprehjes.

Grupi tjetër i formulave (4-5) është i ngjashëm në kuptim dhe shpreh një marrëdhënie të ngjashme.

Grupi i formulave (6-7) ju lejon të gjeni diagonalen e një trapezi nëse dini bazën më të madhe të trapezit, njërën anë dhe këndin në bazë.

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi për nga lartësia

Një detyrë.
Diagonalet e trapezit ABCD (AD | | BC) priten në pikën O. Gjeni gjatësinë e bazës BC të trapezit nëse baza AD = 24 cm, gjatësia AO = 9 cm, gjatësia OS = 6 cm.

Zgjidhje.
Zgjidhja e kësaj detyre është absolutisht identike me detyrat e mëparshme në aspektin ideologjik.

Trekëndëshat AOD dhe BOC janë të ngjashëm në tre kënde - AOD dhe BOC janë vertikale, dhe këndet e mbetura janë të barabarta në çift, pasi ato formohen nga kryqëzimi i një drejtëze dhe dy drejtëzave paralele.

Meqenëse trekëndëshat janë të ngjashëm, atëherë të gjitha dimensionet e tyre gjeometrike janë të lidhura me njëra-tjetrën, pasi përmasat gjeometrike të segmenteve AO dhe OC të njohura për ne nga kushti i problemit. Kjo eshte

AO/OC=AD/BC
9/6 = 24 / p.e.s.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Përgjigju: 16 cm

Një detyrë.
Në trapezin ABCD dihet se AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Gjeni zonën e trapezit.

Zgjidhje .
Për të gjetur lartësinë e një trapezi nga kulmet e bazës më të vogël B dhe C, ne ulim dy lartësi mbi bazën më të madhe. Meqenëse trapezi është i pabarabartë, shënojmë gjatësinë AM = a, gjatësinë KD = b ( të mos ngatërrohet me simbolet në formulë gjetja e zonës së një trapezi). Meqenëse bazat e trapezit janë paralele dhe kemi hequr dy lartësi pingul me bazën më të madhe, atëherë MBCK është një drejtkëndësh.

Do të thotë
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trekëndëshat DBM dhe ACK janë kënddrejtë, kështu që këndet e tyre të drejta formohen nga lartësitë e trapezit. Le ta shënojmë lartësinë e trapezit si h. Pastaj nga teorema e Pitagorës

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
dhe
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Konsideroni se a \u003d 16 - b, pastaj në ekuacionin e parë
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Zëvendësoni vlerën e katrorit të lartësisë në ekuacionin e dytë, të marrë nga teorema e Pitagorës. Ne marrim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Kështu, KD = 12
Ku
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Gjeni sipërfaqen e një trapezi duke përdorur lartësinë e tij dhe gjysmën e shumës së bazave
, ku a b - bazat e trapezit, h - lartësia e trapezit
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Përgjigju: sipërfaqja e një trapezi është 80 cm2.