Ekuacione homogjene të shkallës 1 dhe 2. Si të zgjidhen ekuacionet homogjene? Mbiemri, emri i mësuesit

Institucion arsimor profesional buxhetor shtetëror në fshatin Teeli të Republikës së Tyvës

Zhvillimi i një mësimi në matematikë

Tema e mësimit:

"Ekuacionet trigonometrike homogjene"

Mësuesi: Oorzhak

Ailana Mikhailovna

Tema e mësimit : "Ekuacionet trigonometrike homogjene"(sipas librit shkollor nga A.G. Mordkovich)

Grupi : Master i rritjes së bimëve, viti i 1-rë

Lloji i mësimit: Një mësim për të mësuar materiale të reja.

Objektivat e mësimit:

2. Zhvilloni të menduarit logjik, aftësinë për të nxjerrë përfundime, aftësinë për të vlerësuar rezultatet e veprimeve të kryera

3. Të rrënjos te nxënësit saktësinë, ndjenjën e përgjegjësisë dhe zhvillimin e motiveve pozitive për të mësuar

Pajisjet e mësimit: laptop, projektor, ekran, karta, postera mbi trigonometrinë: kuptimet e funksioneve trigonometrike, formulat bazë të trigonometrisë.

Kohëzgjatja e mësimit: 45 minuta.

Struktura e mësimit:

Gjatë orëve të mësimit.

1. Momenti organizativ (1 min)

Kontrolloni gatishmërinë e nxënësve për mësimin, dëgjoni grupin në detyrë.

2. Përditësimi i njohurive bazë (3 min)

2.1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

Tre nxënës zgjidhin në tabelën nr. 18.8 (c, d); nr 18.19. Pjesa tjetër e studentëve bëjnë një rishikim nga kolegët.

3. Mësimi i materialit të ri (13 min)

3.1. Motivimi i nxënësve.

U kërkohet nxënësve të emërtojnë ekuacione që dinë dhe mund t'i zgjidhin (rrëshqitja nr. 1)

1) 3 cos 2 x – 3 cos x = 0;

2) cos (x – 1) = ;

3) 2 mëkat 2 x + 3 mëkat x = 0;

4) 6 sin 2 x – 5 cos x + 5 = 0; 12

5) sin x cos x + cos²x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x – 3cos x = 0;

8) sin 2 x + cos 2 x = 0;

9) sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0.

Nxënësit nuk do të jenë në gjendje të emërtojnë zgjidhjen e ekuacioneve 7-9.

3.2. Shpjegimi i një teme të re.

Mësuesi: Ekuacionet që nuk mund t'i zgjidhnit janë mjaft të zakonshme në praktikë. Quhen ekuacione trigonometrike homogjene. Shkruani temën e mësimit: “Ekuacionet trigonometrike homogjene”. (rrëshqitje numër 2)

Përcaktimi i ekuacioneve homogjene në ekranin e projektorit. (rrëshqitje numër 3)

Shqyrtoni një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene (rrëshqitja nr. 4, 5)

Analizoni zgjidhjet e shembujve

Shembulli 1. Zgjidhja e ekuacionit 2sin x – 3cos x = 0; (rrëshqitje numër 6)

Ky është një ekuacion homogjen i shkallës së parë. Le të ndajmë të dy anët e termit të ekuacionit me cos x, marrim:

2tg x – 3 = 0

tg x =

x = arctan + πn, n Z.

Përgjigje: x = arctan + π n, n Z.

Shembulli 2 . Zgjidheni ekuacionin sin 2 x + cos 2 x = 0; (rrëshqitje numër 7)

Ky është një ekuacion homogjen i shkallës së parë. Le të ndajmë të dy anët e termit të ekuacionit me cos 2 x, marrim:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arktan (-1)+ πn, n Z.

2x = - + πn, n Z.

x = - +, n Z.

Përgjigje: x = - + , n Z.

Shembulli 3 . Zgjidheni ekuacionin sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0. (rrëshqitësi numër 8)

Çdo term në ekuacion ka të njëjtën shkallë. Ky është një ekuacion homogjen i shkallës së dytë. Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit term me term me cos 2 x ≠ 0, marrim:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. Le të prezantojmë një ndryshore të re z = tan x, marrim

z 2 – 3z + 2 =0

z 1 = 1, z 2 = 2

kjo do të thotë ose tg x = 1 ose tg x = 2

4. Konsolidimi i materialit të studiuar (10 min)

Mësuesi/ja analizon me detaje shembuj me nxënës të dobët në tabelë, nxënësit e fortë zgjidhin të pavarur në fletoret e tyre.

5. Punë e pavarur e diferencuar (15 min)

Mësuesi lëshon karta me detyra të tre niveleve: bazë (A), e mesme (B), e avancuar (C). Vetë nxënësit zgjedhin se cilin nivel shembujsh do të zgjidhin.

6. Përmbledhje. Reflektim mbi aktivitetet mësimore në klasë (2 min)

Përgjigju pyetjeve:

Cilat lloje të ekuacioneve trigonometrike kemi mësuar?

Si të zgjidhim një ekuacion homogjen të shkallës së parë?

Si të zgjidhim një ekuacion homogjen të shkallës së dytë?

E gjeta …

Une mesova …

Njihni punën e mirë të nxënësve individualë në mësim dhe jepni nota.

7. Detyrë shtëpie. (1 min)

Informoni nxënësit për detyrat e shtëpisë dhe jepni udhëzime të shkurtra se si t'i plotësojnë ato.

Nr. 18.12 (c, d), nr. 18.24 (c, d), nr. 18.27 (a)

Referencat:

Rrëshqitja 2

"Ekuacionet trigonometrike homogjene"

1. Një ekuacion i formës a sin x + b cos x = 0, ku a ≠0, b ≠0 quhet ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së parë. 2. Një ekuacion i formës a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0, ku a ≠0, b ≠0, c ≠0 quhet ekuacion trigonometrik homogjen i shkallës së dytë. Përkufizimi:

I shkallë a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit term me term me cosx ≠ 0. Marrim: a tanx + b = 0 tgx = -b /a ekuacioni më i thjeshtë trigonometrik Kur pjesëtojmë një ekuacion homogjen një sinx + b cosx = 0 me cos x ≠ 0, rrënjët e këtij ekuacioni nuk humbasin. Metoda për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) nëse a ≠ 0, ndani të dyja anët e termit të ekuacionit me cos ² x ≠0 Përftojmë: a tan ² x + b tgx + c = 0, zgjidheni duke futur një ndryshore e re z = tgx 2) nëse a = 0, atëherë marrim: b sinx cosx + c cos ² x = 0, zgjidheni me metodën e faktorizimit / Kur pjesëtoni ekuacionin homogjen një sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x = 0 me cos 2 x ≠ 0 rrënjët e këtij ekuacioni nuk humbasin. shkalla II

Ky është një ekuacion homogjen i shkallës së parë. Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit term me term me cos x, marrim: Shembulli 1. Zgjidhet ekuacioni 2 sin x – 3 cos x = 0

Ky është një ekuacion homogjen i shkallës së parë. Le të ndajmë të dy anët e termit të ekuacionit me cos 2 x, marrim: Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin sin 2 x + cos 2 x = 0

Çdo term në ekuacion ka të njëjtën shkallë. Ky është një ekuacion homogjen i shkallës së dytë. Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit term me term me os 2 x ≠ 0, marrim: Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin sin ² x – 3 sin x cos x+2 cos ² x = 0

Përgjigjuni pyetjeve: - Cilat lloje të ekuacioneve trigonometrike kemi studiuar? -Si zgjidhet një ekuacion homogjen i shkallës së parë? - Si zgjidhet një ekuacion homogjen i shkallës së dytë? Duke përmbledhur

Mësova... - Mësova... Reflektim

Nr 18.12 (c, d), Nr. 18.24 (c, d), Nr. 18.27 (a) Detyrë shtëpie.

Faleminderit për mësimin! Te lumte!

Pamja paraprake:

Vetë-analizë e një mësimi matematike nga mësuesi Oorzhak A.M.

Grupi : Master i rritjes së bimëve, viti i 1-rë.

Tema e mësimit : Ekuacionet trigonometrike homogjene.

Lloji i mësimit : Një mësim për të mësuar materiale të reja.

Objektivat e mësimit:

1. Të zhvillojë aftësitë e nxënësve në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene, të shqyrtojë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve homogjene të niveleve bazë dhe të avancuara të kompleksitetit.

2. Zhvilloni të menduarit logjik, aftësinë për të nxjerrë përfundime dhe aftësinë për të vlerësuar rezultatet e veprimeve të kryera.

3. Të rrënjos te nxënësit saktësinë, ndjenjën e përgjegjësisë dhe zhvillimin e motiveve pozitive për të mësuar.

Mësimi u zhvillua sipas planifikimit tematik. Tema e mësimit pasqyron pjesët teorike dhe praktike të mësimit dhe është e kuptueshme për studentët. Të gjitha fazat e mësimit kishin për qëllim arritjen e këtyre qëllimeve, duke marrë parasysh karakteristikat e grupit.

Struktura e mësimit.

1. Momenti organizativ përfshinte organizimin paraprak të grupit, fillimin mobilizues të orës së mësimit, krijimin e komoditetit psikologjik dhe përgatitjen e nxënësve për asimilimin aktiv dhe të ndërgjegjshëm të materialit të ri. Përgatitja e grupit dhe e secilit nxënës u kontrollua vizualisht nga unë. Detyra didaktike e skenës: Pqëndrim pozitiv ndaj mësimit.

2. Faza tjetër është përditësimi i njohurive bazë të nxënësve. Detyra kryesore e kësaj faze është: rivendosja në kujtesën e studentëve të njohurive të nevojshme për të mësuar materialin e ri. Përditësimi u krye në formën e kontrollit të detyrave të shtëpisë në bord.

3. (Faza kryesore e orës së mësimit) Formimi i njohurive të reja. Në këtë fazë u realizuan këto detyra didaktike: Sigurimi i perceptimit, të kuptuarit dhe memorizimit parësor të njohurive dhe metodave të veprimit, lidhjeve dhe marrëdhënieve në objektin e studimit.

Kjo u lehtësua nga: krijimi i një situate problemore, metoda e bisedës në kombinim me përdorimin e TIK-ut. Një tregues i efektivitetit të asimilimit të njohurive të reja nga studentët është korrektësia e përgjigjeve, puna e pavarur dhe pjesëmarrja aktive e studentëve në punë.

4. Faza tjetër është konsolidimi primar i materialit. Qëllimi i të cilit është të krijojë reagime për të marrë informacion në lidhje me shkallën e të kuptuarit të materialit të ri, plotësinë, korrektësinë e asimilimit të tij dhe korrigjimin në kohë të gabimeve të zbuluara. Për këtë kam përdorur: zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta homogjene trigonometrike. Këtu janë përdorur detyra nga teksti shkollor që përputhen me rezultatet e kërkuara të të nxënit. Konsolidimi fillestar i materialit u krye në një atmosferë vullneti të mirë dhe bashkëpunimi. Në këtë fazë punova me studentë të dobët, pjesa tjetër vendosi vetë, pasuar nga vetë-testimi nga bordi.

5. Momenti tjetër i orës së mësimit ishte kontrolli parësor i njohurive. Detyra didaktike e skenës: Identifikimi i cilësisë dhe nivelit të zotërimit të njohurive dhe metodave të veprimit, sigurimi i korrigjimit të tyre. Këtu, ajo zbatoi një qasje të diferencuar ndaj të mësuarit dhe u ofroi fëmijëve një zgjedhje të detyrave në tre nivele: bazë (A), e mesme (B) dhe e avancuar (C). Bëra një raund dhe shënova nxënësit që zgjodhën nivelin bazë. Këta nxënës e kryenin punën nën mbikëqyrjen e mësuesit.

6. Në fazën tjetër - përmbledhje, u zgjidhën detyrat e analizimit dhe vlerësimit të suksesit të arritjes së qëllimit. Duke përmbledhur mësimin, në të njëjtën kohë reflektova mbi veprimtarinë mësimore. Nxënësit mësuan mënyra për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene. U dhanë nota.

7. Faza e fundit është detyra e shtëpisë. Detyrë didaktike: Sigurimi i nxënësve të kuptojnë përmbajtjen dhe metodat e kryerjes së detyrave të shtëpisë. Ka dhënë udhëzime të shkurtra se si të bëhen detyrat e shtëpisë.

Gjatë orës së mësimit arrita të realizoj qëllime mësimore, zhvillimore dhe edukative. Mendoj se këtë e lehtësoi edhe fakti që që në minutat e para të orës së mësimit fëmijët treguan aktivitet. Ata ishin gati të pranonin një temë të re. Atmosfera në grup ishte e favorshme psikologjikisht.




Tema e mësimit: "Ekuacionet trigonometrike homogjene"

(klasa e 10-të)

Synimi: të prezantojë konceptin e ekuacioneve trigonometrike homogjene të shkallës I dhe II; të formulojë dhe të përpunojë një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene të shkallëve I dhe II; t'i mësojë nxënësit të zgjidhin ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallëve I dhe II; zhvillojnë aftësinë për të identifikuar modelet dhe për të përgjithësuar; nxisin interesin për këtë temë, zhvillojnë ndjenjën e solidaritetit dhe konkurrencës së shëndetshme.

Lloji i mësimit: mësim në formimin e njohurive të reja.

Forma: punojnë në grupe.

Pajisjet: kompjuter, instalim multimedial

Gjatë orëve të mësimit

Koha e organizimit

Duke përshëndetur studentët, duke mobilizuar vëmendjen.

Gjatë orës së mësimit, një sistem vlerësimi për vlerësimin e njohurive (mësuesi shpjegon sistemin e vlerësimit të njohurive, duke plotësuar fletën e vlerësimit nga një ekspert i pavarur i zgjedhur nga mësuesi nga radhët e studentëve). Mësimi shoqërohet me një prezantim. .

Përditësimi i njohurive bazë.

Detyrat e shtëpisë kontrollohen dhe vlerësohen nga një ekspert dhe konsulent i pavarur përpara orës së mësimit dhe plotësohet një fletë rezultatesh.

Mësuesi/ja përmbledh detyrat e shtëpisë.

Mësues: Ne vazhdojmë të studiojmë temën "Ekuacionet trigonometrike". Sot në mësim do t'ju njohim me një lloj tjetër të ekuacioneve trigonometrike dhe metodat për zgjidhjen e tyre, dhe për këtë arsye do të përsërisim atë që kemi mësuar. Kur zgjidhen të gjitha llojet e ekuacioneve trigonometrike, ato reduktohen në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike më të thjeshta.

Kontrollohen detyrat individuale të shtëpisë të kryera në grup. Mbrojtja e prezantimit “Zgjidhjet e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike”

(Puna e grupit vlerësohet nga një ekspert i pavarur)

Motivimi për të mësuar.

Mësues: Kemi punë për të bërë për të zgjidhur fjalëkryqin. Pasi ta zgjidhim atë, do të zbulojmë emrin e një lloji të ri ekuacionesh që do të mësojmë të zgjidhim sot në klasë.

Pyetjet janë projektuar në tabelë. Nxënësit hamendësojnë dhe një ekspert i pavarur fut pikët e studentëve që përgjigjen në fletën e rezultateve.

Pasi të zgjidhin fjalëkryqin, fëmijët do të lexojnë fjalën "homogjene".

Asimilimi i njohurive të reja.

Mësues: Tema e mësimit është "Ekuacionet trigonometrike homogjene".

Le të shkruajmë temën e mësimit në një fletore. Ekuacionet trigonometrike homogjene janë të shkallës së parë dhe të dytë.

Le të shkruajmë përkufizimin e një ekuacioni homogjen të shkallës së parë. Unë tregoj një shembull të zgjidhjes së këtij lloji të ekuacionit, ju krijoni një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni homogjen trigonometrik të shkallës së parë;

Ekuacioni i formës A sinx + b cosx = 0 quhet ekuacion trigonometrik homogjen i shkallës së parë.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacionit kur koeficientët A Dhe V janë të ndryshme nga 0.

Shembull: sinx + cosx = 0

R duke pjesëtuar të dyja anët e termit të ekuacionit me cosx, marrim

Kujdes! Ju mund të pjesëtoni me 0 vetëm nëse kjo shprehje nuk kthehet askund në 0. Nëse kosinusi është i barabartë me 0, atëherë edhe sinusi do të jetë i barabartë me 0, duke pasur parasysh se koeficientët janë të ndryshëm nga 0, por ne e dimë se sinusi dhe kosinusi shkojnë në zero në pika të ndryshme. Prandaj, ky operacion mund të kryhet kur zgjidhet ky lloj ekuacioni.

Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni trigonometrik homogjen të shkallës së parë: pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me cosx, cosx 0

Ekuacioni i formës A sin mx +b cos mx = 0 quhet edhe një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së parë dhe gjithashtu zgjidh ndarjen e të dy anëve të ekuacionit me kosinusin mx.

Ekuacioni i formës a mëkat 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 quhet ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë.

Shembull : mëkat 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Koeficienti a është i ndryshëm nga 0 dhe për këtë arsye, si ekuacioni i mëparshëm, cosx nuk është i barabartë me 0, dhe për këtë arsye mund të përdorni metodën e pjesëtimit të të dy anëve të ekuacionit me cos 2 x.

Ne marrim tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Ne e zgjidhim duke futur një ndryshore të re le tgx = a, pastaj marrim ekuacionin

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Kthehu te zëvendësimi



Përgjigje:

Nëse koeficienti a = 0, atëherë ekuacioni do të marrë formën 2sinx cosx – 3cos2x = 0, e zgjidhim duke nxjerrë nga kllapat faktorin e përbashkët cosx. Nëse koeficienti c = 0, atëherë ekuacioni merr formën sin2x +2sinx cosx = 0, e zgjidhim duke nxjerrë nga kllapat faktorin e përbashkët sinx. Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni trigonometrik homogjen të shkallës së parë:

Shihni nëse ekuacioni përmban termin asin2 x.

Nëse termi asin2 x përmbahet në ekuacion (d.m.th. a 0), atëherë ekuacioni zgjidhet duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me cos2x dhe më pas duke futur një ndryshore të re.

Nëse termi asin2 x nuk përmbahet në ekuacion (d.m.th. a = 0), atëherë ekuacioni zgjidhet me faktorizim: cosx nxirret nga kllapat. Ekuacionet homogjene të formës a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 zgjidhen në të njëjtën mënyrë

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene është shkruar në tekstin shkollor në faqen 102.

Minuta e edukimit fizik

Formimi i aftësive për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene

Hapja e librave me probleme, faqe 53

Grupet 1 dhe 2 vendosin nr 361-v

Grupi i 3-të dhe i 4-të vendosin nr.363-v

Trego zgjidhjen në tabelë, shpjegoni, plotësoni. Një ekspert i pavarur vlerëson.

Zgjidhja e shembujve nga libri me problematika nr.361-v
sinx – 3cosx = 0
pjesëtojmë të dyja anët e ekuacionit me cosx 0, marrim


Nr 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
ndani të dy anët e ekuacionit me cos2x, marrim tg2x + tanx - 2 = 0

zgjidheni duke futur një ndryshore të re
le tgx = a, atëherë marrim ekuacionin
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
kthehet në zëvendësim



Punë e pavarur.

Zgjidh ekuacionet.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Në fund të punës së pavarur, ata ndryshojnë punë dhe kontrollojnë reciprokisht. Përgjigjet e sakta janë projektuar në tabelë.

Më pas ia dorëzojnë një eksperti të pavarur.

Bëjeni vetë zgjidhje



Duke përmbledhur mësimin.

Për çfarë lloj ekuacionesh trigonometrike mësuam në klasë?

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike të shkallës së parë dhe të dytë.

Detyre shtepie: § 20.3 lexuar. Nr. 361 (d), 363 (b), vështirësi shtesë Nr. 380 (a).

Fjalëkryq.

Nëse futni fjalët e sakta, do të merrni emrin e njërit prej llojeve të ekuacioneve trigonometrike.



Vlera e variablit që e bën të vërtetë ekuacionin? (Rrënja)

Njësia matëse për këndet? (Radian)

Faktori numerik në një produkt? (Koeficient)

Degë e matematikës që studion funksionet trigonometrike? (Trigonometri)

Çfarë modeli matematikor nevojitet për të prezantuar funksionet trigonometrike? (Rrethoni)

Cili funksion trigonometrik është çift? (Kosinus)

Si quhet barazia e vërtetë? (Identiteti)

Barazia me një ndryshore? (Ekuacioni)

Ekuacione që kanë të njëjtat rrënjë? (ekuivalente)

Bashkësia e rrënjëve të një ekuacioni ? (Zgjidhja)

Letër vlerësimi

№
n\n

Mbiemri, emri i mësuesit

Detyre shtepie

Prezantimi

Aktiviteti njohës
duke studiuar

Zgjidhja e ekuacioneve

I pavarur
Punë

Detyrë shtëpie – 12 pikë (3 ekuacione 4 x 3 = 12 janë caktuar për detyrat e shtëpisë)

Prezantimi - 1 pikë

Veprimtaria e nxënësve – 1 përgjigje – 1 pikë (maksimumi 4 pikë)

Zgjidhja e ekuacioneve 1 pikë

Punë e pavarur - 4 pikë

Vlerësimi i grupit:

"5" - 22 pikë ose më shumë
“4” – 18 – 21 pikë
"3" - 12 - 17 pikë

Lloji i mësimit: shpjegim i materialit të ri. Puna zhvillohet në grupe. Çdo grup ka një ekspert që monitoron dhe drejton punën e nxënësve. Ndihmon nxënësit e dobët të besojnë në veten e tyre kur zgjidhin këto ekuacione.

Shkarko:




Pamja paraprake:

Mësimi mbi temën

" Ekuacionet trigonometrike homogjene"

(klasa e 10-të)

Synimi:

1. të prezantojë konceptin e ekuacioneve trigonometrike homogjene të shkallës I dhe II;
2. të formulojë dhe të përpunojë një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike homogjene të shkallëve I dhe II;
3. t'i mësojë nxënësit të zgjidhin ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallëve I dhe II;
4. të zhvillojë aftësinë për të identifikuar modelet dhe për të përgjithësuar;
5. nxisin interesin për këtë temë, zhvillojnë ndjenjën e solidaritetit dhe konkurrencës së shëndetshme.

Lloji i mësimit : një mësim në formimin e njohurive të reja.

Forma e sjelljes: punë në grupe.

Pajisjet: kompjuter, instalim multimedial

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ

Gjatë orës së mësimit, një sistem vlerësimi për vlerësimin e njohurive (mësuesi shpjegon sistemin e vlerësimit të njohurive, duke plotësuar fletën e vlerësimit nga një ekspert i pavarur i zgjedhur nga mësuesi nga radhët e studentëve). Mësimi shoqërohet me një prezantim. Shtojca 1.

Fleta e rezultateve Nr.

n\n	Mbiemri Emri	Detyre shtepie	Aktiviteti njohës	Zgjidhja e ekuacioneve	I pavarur Punë	Gradë

II. Përditësimi i njohurive bazë..

Ne vazhdojmë të studiojmë temën "Ekuacionet trigonometrike". Sot në mësim do t'ju njohim me një lloj tjetër të ekuacioneve trigonometrike dhe metodat për zgjidhjen e tyre, dhe për këtë arsye do të përsërisim atë që kemi mësuar. Kur zgjidhen të gjitha llojet e ekuacioneve trigonometrike, ato reduktohen në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike më të thjeshta. Le të kujtojmë llojet kryesore të ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike. Përdorni shigjetat për të përputhur shprehjet.

III. Motivimi për të mësuar.

Kemi punë për të bërë për të zgjidhur fjalëkryqin. Pasi ta zgjidhim atë, do të zbulojmë emrin e një lloji të ri ekuacionesh që do të mësojmë të zgjidhim sot në klasë.

Pyetjet janë projektuar në tabelë. Nxënësit hamendësojnë dhe një ekspert i pavarur fut pikët e studentëve që përgjigjen në fletën e rezultateve.

Pasi të zgjidhin fjalëkryqin, fëmijët do të lexojnë fjalën "homogjene".

Fjalëkryq.

Nëse futni fjalët e sakta, do të merrni emrin e njërit prej llojeve të ekuacioneve trigonometrike.

1.Vlera e variablit që e bën të vërtetë ekuacionin? (Rrënja)

2.Njësia e këndeve? (Radian)

3.Faktori numerik në produkt? (Koeficient)

4. Degë e matematikës që studion funksionet trigonometrike? (Trigonometri)

5.Çfarë modeli matematikor nevojitet për të prezantuar funksionet trigonometrike? (Rrethoni)

6.Cili funksion trigonometrik është çift? (Kosinus)

7. Si quhet barazia e vërtetë? (Identiteti)

8.Barazia me një ndryshore? (Ekuacioni)

9. Ekuacionet që kanë rrënjë të njëjta? (ekuivalente)

10. Sa rrënjë ka një ekuacion? (Zgjidhja)

IV. Shpjegimi i materialit të ri.

Tema e mësimit është "Ekuacionet trigonometrike homogjene". (Prezantimi)

Shembuj:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin 4x = cos 4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 mëkat 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 mëkat 2x
9. mëkat 2x + 2cos 2x = 1

V. Punë e pavarur

Objektivat: të testohen në mënyrë gjithëpërfshirëse njohuritë e nxënësve gjatë zgjidhjes së të gjitha llojeve të ekuacioneve trigonometrike, të stimulohen studentët për vetë-analizë dhe vetëkontroll.
Nxënësve u kërkohet të kryejnë punën me shkrim për 10 minuta.
Nxënësit punojnë në copa letre të zbrazëta për t'i kopjuar. Me kalimin e kohës mblidhen majat e punës së pavarur dhe zgjidhjet u mbeten nxënësve për t'i kopjuar.
Kontrollimi i punës së pavarur (3 min) kryhet me kontroll të ndërsjellë.
. Nxënësit përdorin një stilolaps me ngjyra për të kontrolluar punën me shkrim të fqinjit të tyre dhe shkruajnë emrin e personit që kontrollon. Pastaj i dorëzojnë letrat.

Më pas ia dorëzojnë një eksperti të pavarur.

Opsioni 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin 2x⁄sin x =0

Opsioni 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Duke përmbledhur mësimin

VII. Detyre shtepie:

Detyrë shtëpie – 12 pikë (3 ekuacione 4 x 3 = 12 janë caktuar për detyrat e shtëpisë)

Veprimtaria e nxënësve – 1 përgjigje – 1 pikë (maksimumi 4 pikë)

Zgjidhja e ekuacioneve 1 pikë

Punë e pavarur - 4 pikë




Detaji i fundit, si të zgjidhni detyrat C1 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë - zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike homogjene. Ne do t'ju tregojmë se si t'i zgjidhni ato në këtë mësim të fundit.

Cilat janë këto ekuacione? Le t'i shkruajmë ato në terma të përgjithshëm.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

ku `a` dhe `b` janë disa konstante. Ky ekuacion quhet ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së parë.

Ekuacioni trigonometrik homogjen i shkallës së parë

Për të zgjidhur një ekuacion të tillë, duhet ta pjesëtoni me `\cos x`. Pastaj do të marrë formën

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Përgjigja për një ekuacion të tillë shkruhet lehtësisht duke përdorur arktangjenten.

Vini re se `\cos x ≠0`. Për ta verifikuar këtë, ne zëvendësojmë zeron në ekuacion në vend të kosinusit dhe gjejmë se edhe sinusi duhet të jetë i barabartë me zero. Megjithatë, ato nuk mund të jenë të barabarta me zero në të njëjtën kohë, që do të thotë se kosinusi nuk është zero.

Disa nga pyetjet në provimin real të këtij viti përfshinin një ekuacion homogjen trigonometrik. Ndiqni lidhjen për. Ne do të marrim një version paksa të thjeshtuar të problemit.

Shembulli i parë. Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik homogjen të shkallës së parë

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Pjestojeni me `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

E përsëris, një detyrë e ngjashme ishte në Provimin e Unifikuar të Shtetit :) natyrisht, ju ende duhet të zgjidhni rrënjët, por kjo gjithashtu nuk duhet të shkaktojë ndonjë vështirësi të veçantë.

Tani le të kalojmë në llojin tjetër të ekuacionit.

Ekuacioni trigonometrik homogjen i shkallës së dytë

Në përgjithësi duket kështu:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

ku `a, b, c` janë disa konstante.

Ekuacione të tilla zgjidhen duke pjesëtuar me `\cos^2 x` (që përsëri nuk është zero). Le të shohim një shembull menjëherë.

Shembulli i dytë. Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik homogjen të shkallës së dytë

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Pjestojeni me `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Le të zëvendësojmë `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Zëvendësimi i kundërt

$$\tg x = 3, \text(ose ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \tekst(ose ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Përgjigja është marrë.

Shembulli i tretë. Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik homogjen të shkallës së dytë

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Gjithçka do të ishte mirë, por ky ekuacion nuk është homogjen - "-2" në anën e djathtë na ndërhyn. Çfarë duhet bërë? Le të përdorim identitetin bazë trigonometrik dhe të shkruajmë '-2' duke e përdorur atë.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ), $$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0, $$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Pjestojeni me `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Zëvendësimi `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Duke kryer zëvendësimin e kundërt, marrim:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(ose ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Ky është shembulli i fundit në këtë tutorial.

Si zakonisht, më lejoni t'ju kujtoj: trajnimi është gjithçka për ne. Pavarësisht se sa i shkëlqyer është një person, aftësitë nuk do të zhvillohen pa trajnim. Gjatë provimit, kjo është e mbushur me ankth, gabime dhe humbje kohe (vazhdoni vetë këtë listë). Sigurohuni që të studioni!

Detyrat e trajnimit

Zgjidh ekuacionet:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Kjo është një detyrë nga Provimi i vërtetë i Unifikuar i Shtetit 2013. Askush nuk ka anuluar njohuritë për vetitë e diplomave, por nëse keni harruar, hidhini një sy;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Formula nga mësimi i shtatë do të jetë e dobishme.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Kjo eshte e gjitha. Dhe si zakonisht, më në fund: bëni pyetje në komente, pëlqeni, shikoni video, mësoni se si të zgjidhni Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Me këtë video mësim nxënësit do të mund të studiojnë temën e ekuacioneve trigonometrike homogjene.

Le të japim përkufizime:

1) një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së parë duket si një sin x + b cos x = 0;

2) një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë duket si një sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Konsideroni ekuacionin a sin x + b cos x = 0. Nëse a është e barabartë me zero, atëherë ekuacioni do të duket si b cos x = 0; nëse b është e barabartë me zero, atëherë ekuacioni do të duket si një sin x = 0. Këto janë ekuacionet që i kemi quajtur më të thjeshtat dhe janë zgjidhur më herët në temat e mëparshme.

Tani merrni parasysh opsionin kur a dhe b nuk janë të barabarta me zero. Duke pjesëtuar pjesët e ekuacionit me kosinusin x, kryejmë transformimin. Marrim një tg x + b = 0, atëherë tg x do të jetë e barabartë me - b/a.

Nga sa më sipër rezulton se ekuacioni a sin mx + b cos mx = 0 është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së parë. Për të zgjidhur një ekuacion, pjesëtojini pjesët e tij me cos mx.

Le të shohim shembullin 1. Të zgjidhim 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Së pari, ndani pjesët e ekuacionit me kosinus (x/2). Duke ditur që sinusi i pjesëtuar me kosinus është tangjent, marrim 7 tan (x/2) - 5 = 0. Duke transformuar shprehjen, gjejmë se vlera e tan (x/2) është e barabartë me 5/7. Zgjidhja e këtij ekuacioni ka formën x = arctan a + πn, në rastin tonë x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Konsideroni ekuacionin a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) me një të barabartë me zero, ekuacioni do të duket si b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Duke transformuar, marrim shprehjen cos x (b sin x + c cos x) = 0 dhe vazhdojmë të zgjidhim dy ekuacionet. Pas pjesëtimit të pjesëve të ekuacionit me kosinusin x, fitojmë b tg x + c = 0, që do të thotë tg x = - c/b. Duke ditur se x = arctan a + πn, atëherë zgjidhja në këtë rast do të jetë x = arctan (- с/b) + πn.

2) nëse a nuk është e barabartë me zero, atëherë duke pjesëtuar pjesët e ekuacionit me kosinusin në katror, ​​fitojmë një ekuacion që përmban një tangjente, e cila do të jetë kuadratike. Ky ekuacion mund të zgjidhet duke futur një ndryshore të re.

3) kur c është i barabartë me zero, ekuacioni do të marrë formën a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Ky ekuacion mund të zgjidhet duke hequr sinusin x nga kllapa.

1. shikoni nëse ekuacioni përmban një sin 2 x;

2. Nëse ekuacioni përmban termin a sin 2 x, atëherë ekuacioni mund të zgjidhet duke pjesëtuar të dyja anët me kosinusin në katror dhe më pas duke prezantuar një ndryshore të re.

3. Nëse ekuacioni nuk përmban një sin 2 x, atëherë ekuacioni mund të zgjidhet duke nxjerrë cosx nga kllapat.

Le të shqyrtojmë shembullin 2. Le të nxjerrim kosinusin nga kllapat dhe të marrim dy ekuacione. Rrënja e ekuacionit të parë është x = π/2 + πn. Për të zgjidhur ekuacionin e dytë, pjesët e këtij ekuacioni i ndajmë me kosinusin x dhe me transformim fitojmë x = π/3 + πn. Përgjigje: x = π/2 + πn dhe x = π/3 + πn.

Le të zgjidhim shembullin 3, një ekuacion të formës 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 dhe të gjejmë rrënjët e tij, të cilat i përkasin segmentit nga - π në π. Sepse Ky ekuacion është johomogjen, është e nevojshme ta sjellim atë në një formë homogjene. Duke përdorur formulën sin 2 x + cos 2 x = 1, marrim ekuacionin sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Duke pjesëtuar të gjitha pjesët e ekuacionit me cos 2 x, marrim tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Duke përdorur hyrjen e një ndryshoreje të re z = tan 2x, zgjidhim ekuacionin rrënja e të cilit është z = 1. Pastaj tan 2x = 1, që nënkupton se x = π/8 + (πn)/2. . Sepse sipas kushteve të problemit, duhet të gjeni rrënjët që i përkasin segmentit nga - π në π, zgjidhja do të ketë formën - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

DEKODIMI I TEKSTIT:

Ekuacionet trigonometrike homogjene

Sot do të shohim se si zgjidhen "ekuacionet trigonometrike homogjene". Këto janë ekuacione të një lloji të veçantë.

Le të njihemi me përkufizimin.

Ekuacioni i formës dhe sin x+bcosx = 0 (dhe sinus x plus kosinus x është i barabartë me zero) quhet ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së parë;

ekuacioni i formës dhe mëkati 2 x+bmëkat xcosx+scos 2 x= 0 (dhe sinusi në katror x plus të jetë sinus x kosinus x plus se kosinusi në katror x është zero) quhet ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë.

Nëse a=0, atëherë ekuacioni merr formën bcosx = 0.

Nëse b = 0 , atëherë marrim dhe sin x= 0.

Këto ekuacione janë trigonometrike elementare, dhe ne diskutuam zgjidhjen e tyre në temat tona të mëparshme

Le të shqyrtojmë rastin kur të dy koeficientët nuk janë të barabartë me zero. Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit Amëkatx+ bcosx = 0 anëtar për anëtar cosx.

Ne mund ta bëjmë këtë pasi kosinusi i x është i ndryshëm nga zero. Në fund të fundit, nëse cosx = 0 , pastaj ekuacioni Amëkatx+ bcosx = 0 do të marrë formën Amëkatx = 0 , A≠ 0, pra mëkatx = 0 . E cila është e pamundur, sepse sipas identitetit bazë trigonometrik mëkat 2 x+cos 2 x=1 .

Pjestimi i të dy anëve të ekuacionit Amëkatx+ bcosx = 0 anëtar për anëtar cosx, marrim: + =0

Le të bëjmë transformimet:

1. Meqenëse = tg x, atëherë =dhe tg x

2 zvogëlohet me cosx, Pastaj

Kështu marrim shprehjen e mëposhtme dhe tg x + b =0.



Le të bëjmë transformimin:

1.lëvizni b në anën e djathtë të shprehjes me shenjën e kundërt

dhe tg x =- b

2. Le të heqim qafe shumëzuesin dhe pjesëtimi i të dyja anët e ekuacionit me a

tan x= -.

Përfundim: Ekuacioni i formës si nëmx+bcosmx = 0 (dhe sinus em x plus kosinus em x është zero) quhet gjithashtu një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së parë. Për ta zgjidhur atë, ndani të dyja anët me cosmx.

SHEMBULL 1. Zgjidhe ekuacionin 7 sin - 5 cos = 0 (shtatë sinus x mbi dy minus pesë kosinus x mbi dy barazohet me zero)

Zgjidhje. Duke pjesëtuar të dyja anët e termit të ekuacionit me cos, marrim

1. = 7 tan (pasi raporti i sinusit me kosinusin është një tangjente, atëherë shtatë sinus x me dy pjesëtuar me kosinus x me dy janë të barabarta me 7 tan x me dy)

2. -5 = -5 (me shkurtim cos)

Në këtë mënyrë kemi marrë ekuacionin

7tg - 5 = 0, Le të transformojmë shprehjen, lëvizim minus pesë në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën.

Ekuacionin e kemi reduktuar në formën tg t = a, ku t=, a =. Dhe meqenëse ky ekuacion ka një zgjidhje për çdo vlerë A dhe këto zgjidhje kanë formën

x = arctan a + πn, atëherë zgjidhja e ekuacionit tonë do të ketë formën:

Arctg + πn, gjeni x

x=2 arctan + 2πn.

Përgjigje: x=2 arctan + 2πn.

Le të kalojmë në ekuacionin homogjen trigonometrik të shkallës së dytë

Asin 2 x+b sin x cos x +Mecos 2 x= 0.

Le të shqyrtojmë disa raste.

I. Nëse a=0, atëherë ekuacioni merr formën bmëkatxcosx+scos 2 x= 0.

Gjatë zgjidhjes së e Më pas përdorim metodën e faktorizimit të ekuacioneve. Do ta nxjerrim cosx përtej kllapave marrim: cosx(bmëkatx+scosx)= 0 . Ku cosx= 0 ose

b sin x +Mecos x= 0. Dhe ne tashmë dimë se si t'i zgjidhim këto ekuacione.



Le t'i ndajmë të dyja anët e termit të ekuacionit me cosх, marrim

1 (pasi raporti i sinusit me kosinusin është një tangjente).

Kështu marrim ekuacionin: b tg x+c=0

Ekuacionin e kemi reduktuar në formën tg t = a, ku t= x, a =. Dhe meqenëse ky ekuacion ka një zgjidhje për çdo vlerë A dhe këto zgjidhje kanë formën

x = arctan a + πn, atëherë zgjidhja e ekuacionit tonë do të jetë:

x = arctan + πn, .

II. Nëse a≠0, atëherë i ndajmë të dyja anët e ekuacionit term për term në cos 2 x.

(Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, si në rastin e një ekuacioni trigonometrik homogjen të shkallës së parë, kosinusi x nuk mund të shkojë në zero).

III. Nëse c=0, atëherë ekuacioni merr formën Amëkat 2 x+ bmëkatxcosx= 0. Ky ekuacion mund të zgjidhet me metodën e faktorizimit (ne nxjerrim mëkatx përtej kllapave).

Kjo do të thotë se gjatë zgjidhjes së ekuacionit Amëkat 2 x+ bmëkatxcosx+scos 2 x= 0 mund të ndiqni algoritmin:

SHEMBULL 2. Zgjidheni ekuacionin sinxcosx - cos 2 x= 0 (sine x herë kosinus x minus rrënjën e trefishit të kosinusit në katror x është zero).

Zgjidhje. Le ta faktorizojmë (fusim cosx jashtë kllapave). marrim

cos x(sin x - cos x)= 0, d.m.th. cos x=0 ose sin x - cos x= 0.

Përgjigje: x =+ πn, x= + πn.

SHEMBULL 3. Zgjidheni ekuacionin 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (tre sinus në katror dy x minus dyfishi i prodhimit të sinusit dy x herë kosinusit dy x plus tre kosinusit në katror dy x) dhe gjeni rrënjët e tij që i përkasin intervali (- π;π).

Zgjidhje. Ky ekuacion nuk është homogjen, ndaj le të bëjmë disa transformime. Ne zëvendësojmë numrin 2 që gjendet në anën e djathtë të ekuacionit me produktin 2 1

Meqenëse sipas identitetit kryesor trigonometrik sin 2 x + cos 2 x =1, atëherë

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = duke hapur kllapat marrim: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Kjo do të thotë se ekuacioni 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 do të marrë formën:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Ne morëm një ekuacion homogjen trigonometrik të shkallës së dytë. Le të zbatojmë metodën e pjesëtimit term pas termi me cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Le të prezantojmë një variabël të ri z= tan2х.

Kemi z 2 - 2 z + 1 = 0. Ky është një ekuacion kuadratik. Duke vërejtur formulën e shkurtuar të shumëzimit në anën e majtë - katrorin e diferencës (), marrim (z - 1) 2 = 0, d.m.th. z = 1. Le të kthehemi te zëvendësimi i kundërt:



Ekuacionin e kemi reduktuar në formën tg t = a, ku t= 2x, a =1. Dhe meqenëse ky ekuacion ka një zgjidhje për çdo vlerë A dhe këto zgjidhje kanë formën

x = arctan x a + πn, atëherë zgjidhja e ekuacionit tonë do të jetë:

2х= arctan1 + πn,

x = + , (x është e barabartë me shumën e pi shumë tetë dhe pi en herë dy).

Gjithçka që duhet të bëjmë është të gjejmë vlerat e x që përmbahen në interval

(- π; π), d.m.th. plotësoni pabarazinë e dyfishtë - π x π. Sepse

x= +, pastaj - π + π. Ndani të gjitha pjesët e kësaj pabarazie me π dhe shumëzoni me 8, marrim

lëvizni një në të djathtë dhe në të majtë, duke ndryshuar shenjën në minus një

pjesëtojmë me katër marrim,

Për lehtësi, ne i ndajmë të gjitha pjesët në fraksione

-

Kjo pabarazi plotësohet nga numri i plotë n vijues: -2, -1, 0, 1



Artikulli i mëparshëm: Sa kohë duhet të gatuhen kërpudhat boletus? Artikulli vijues: Sa kohë duhet të gatuhen kërpudhat boletus?