Вычисление определенных интегралов по формуле прямоугольников. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников и трапеций

Не всегда имеется возможность вычисления интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Не все подынтегральные функции имеют первообразные элементарных функций, поэтому нахождение точного числа становится нереальным. При решении таких задач не всегда необходимо получать на выходе точные ответы. Существует понятие приближенного значения интеграла, которое задается методом числового интегрирования типа метода прямоугольников, трапеций, Симпсона и другие.

Данная статья посвящена именно этому разделу с получением приближенных значений.

Будет определена суть метода Симпсона, получим формулу прямоугольников и оценки абсолютной погрешности, метод правых и левых треугольников. На заключительном этапе закрепим знания при помощи решения задач с подробным объяснением.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Суть метода прямоугольников

Если функция y = f (x) имеет непрерывность на отрезке [ a ; b ] и необходимо вычислить значение интеграла ∫ a b f (x) d x .

Необходимо воспользоваться понятием не определенного интеграла. Тогда следует разбить отрезок [ a ; b ] на количество n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . . , n , где a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . В промежутке отрезка x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n выберем точку со значением ζ i . Из определения имеем, что существует определенный тип интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка, который уже разбили. Это выражается формулой λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 , тогда получаем, что любая из таких интегральных сумм – приближенное значение интеграла ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) .

Суть метода прямоугольниковвыражается в том, что приближенное значение считается интегральной суммой.

Если разбить интегрируемый отрезок [ a ; b ] на одинаковые части точкой h , то получим a = x 0 , x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , . . . , x - 1 = x 0 + (n - 1) h , x n = x 0 + n h = b , то есть h = x i - x i - 1 = b - a n , i = 1 , 2 , . . . , n . Серединами точек ζ i выбираются элементарные отрезки x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , значит ζ i = x i - 1 + h 2 , i = 1 , 2 , . . . , n .

Определение 1

Тогда приближенное значение ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) записывается таким образом ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 . Данная формула называется формулой метода прямоугольников.

Такое название метод получает из-за характера выбора точек ζ i , где гаг разбиения отрезка берется за h = b - a n .

Рассмотрим на приведенном ниже рисунке данный метод.

Чертеж явно показывает, что приближение к кусочной ступенчатой функции

y = f x 0 + h 2 , x ∈ [ x 0 ; x 1) f x 1 + h 2 , x ∈ [ x 1 ; x 2) . . . f x n - 1 + h 2 , x ∈ [ x n - 1 ; x n ] происходит на всем пределе интегрирования.

С геометрической стороны мы имеем, что неотрицательная функция y = f (x) на имеющемся отрезке [ a ; b ] имеет точное значение определенного интеграла и выглядит как криволинейная трапеция, площадь которой необходимо найти. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников

Для оценки абсолютной погрешности необходимо выполнить ее оценку на заданном интервале. То есть следует найти сумму абсолютных погрешностей каждого интервала. Каждый отрезок x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n имеет приближенное равенство ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f x i - 1 + h 2 · h = f x i - 1 + h 2 · (x i - x i - 1) . Абсолютная погрешность данного метода треугольников δ i , принадлежащей отрезку i , вычисляется как разность точного и приближенного определения интеграла. Имеем, что δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 . Получаем, что f x i - 1 + h 2 является некоторым числом, а x i - x i - 1 = ∫ x i - 1 x i d x , тогда выражение f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 по 4 свойству определения интегралов записывается в форме f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = ∫ x - 1 x f x i - 1 + h 2 d x . Отсюда получаем, что отрезок i имеет абсолютную погрешность вида

δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - ∫ x i - 1 x i x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f (x) = - f x i - 1 + h 2 d x

Если взять, что функция y = f (x) имеет производные второго порядка в точке x i - 1 + h 2 и ее окрестностях, тогда y = f (x) раскладывается в ряд Тейлора по степеням x - x i - 1 + h 2 с остаточным членом в форме разложения по Лагранжу. Получаем, что

f (x) = f x i - 1 + h 2 + f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2 ⇔ ⇔ f (x) = f (x i - 1 + h 2) = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2

Исходя из свойства определенного интеграла, равенство может интегрироваться почленно. Тогда получим, что

∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 d x + + ∫ x i - 1 x i f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 2 2 d x = = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 2 2 x i - 1 x i + f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 3 6 x i - 1 x i = = f " x i - 1 + h 2 · x i - h 2 2 2 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 2 2 + + f "" ε i · x i - h 2 3 6 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 3 6 = = f " x i - 1 + h 2 · h 2 8 - h 2 8 + f "" (ε i) · h 3 48 + h 3 48 = f "" ε i · h 3 24

где имеем ε i ∈ x i - 1 ; x i .

Отсюда получаем, что δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = f "" ε i · h 3 24 .

Абсолютная погрешность формулы прямоугольников отрезка [ a ; b ] равняется сумме погрешностей каждого элементарного интервала. Имеем, что

δ n = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x и δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = b - a 3 24 n 2 .

Неравенство является оценкой абсолютной погрешности метода прямоугольников.

Для модификации метода рассмотрим формулы.

Определение 2

∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) является формулой левых треугольников.

∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) является формулой правых треугольников.

Рассмотрим на примере рисунка, приведенного ниже.

Отличием метода средних прямоугольников считается выбор точек не по центру, а на левой и правой границах данных элементарных отрезков.

Такая абсолютная погрешность методов левых и правых треугольников можно записать в виде

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n

Необходимо рассмотреть решение примеров, где нужно вычислять примерное значение имеющегося определенного интеграла при помощи метода прямоугольников. Рассматривают два типа решения заданий. Суть первого случая – задание количества интервалов для разбивания отрезка интегрирования. Суть второго заключается в наличии допустимой абсолютной погрешности.

Формулировки задач выглядят следующим образом:

произвести приближенное вычисление определенного интеграла при помощи метода прямоугольников, разбивая на nколичество отрезков интегрирования;
найти приближенное значение определенного интеграла методом прямоугольников с точностью до одной сотой.

Рассмотрим решения в обоих случаях.

В качестве примера выбрали задания, которые поддаются преобразованию для нахождения их первообразных. Тогда появляется возможность вычисления точного значения определенного интеграла и сравнения с приближенным значением при помощи метода прямоугольников.

Пример 1

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x при помощи метода прямоугольников, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей.

Решение

Из условия имеем, что a = 4 , b = 9 , n = 10 , f (x) = x 2 sin x 10 . Для применения ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 необходимо вычислить размерность шага h и значение функции f (x) = x 2 sin x 10 в точках x i - 1 + h 2 , i = 1 , 2 , . . . , 10 .

Вычисляем значение шага и получаем, что

h = b - a n = 9 - 4 10 = 0 . 5 .

Потому как x i - 1 = a + (i - 1) · h , i = 1 , . . . , 10 , тогда x i - 1 + h 2 = a + (i - 1) · h + h 2 = a + i - 0 . 5 · h , i = 1 , . . . , 10 .

Так как i = 1 , то получаем x i - 1 + h 2 = x 0 + h 2 = a + (i - 0 . 5) · h = 4 + (1 - 0 . 5) · 0 . 5 = 4 . 25 .

После чего необходимо найти значение функции

f x i - 1 + h 2 = f x 0 + h 2 = f (4 . 25) = 4 . 25 2 sin (4 . 25) 10 ≈ - 1 . 616574

При i = 2 получаем x i - 1 + h 2 = x 1 + h 2 = a + i - 0 . 5 · h = 4 + (2 - 0 . 5) · 0 . 5 = 4 . 75 .

Нахождение соответствующего значения функции получает вид

f x i - 1 + h 2 = f x 1 + h 2 = f (4 . 75) = 4 . 75 2 sin (4 . 75) 10 ≈ - 2 . 254654

Представим эти данные в таблице, приведенной ниже.

i	1	2	3	4	5
x i - 1 + h 2	4 . 25	4 . 75	5 . 25	5 . 75	6 . 25
f x i - 1 + h 2	- 1 . 616574	- 2 . 254654	- 2 . 367438	- 1 . 680497	- 0 . 129606

i	6	7	8	9	10
x i - 1 + h 2	6 . 75	7 . 25	7 . 75	8 . 25	8 . 75
f x i - 1 + h 2	2 . 050513	4 . 326318	5 . 973808	6 . 279474	4 . 783042

Значения функции необходимо подставить в формулу прямоугольников. Тогда получаем, что

∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 = = 0 . 5 · - 1 . 616574 - 2 . 25654 - 2 . 367438 - 1 . 680497 - 0 . 129606 + + 2 . 050513 + 4 . 326318 + 5 . 973808 + 6 . 279474 + 4 . 783042 = = 7 . 682193

Исходный интеграл можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Получаем, что

∫ 4 9 x 2 · sin x 10 d x = - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x 4 9 = = 7 5 cos 4 - 4 5 sin 4 - 79 10 cos 9 + 9 5 sin 9 ≈ 7 . 630083

Находим первообразную выражения - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x соответствующую функции f (x) = x 2 sin x 10 . Нахождение производится методом интегрирования по частям.

Отсюда видно, что определенный интеграл отличается от значения, полученном при решении методом прямоугольников, где n = 10 , на 6 долей единицы. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Пример 2

Вычислить приближенного значение определенного интеграла ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x при помощи метода левых и правых прямоугольников с точностью до одной сотой.

Решение

Из условия мы имеем, что a = 1 , b = 2 и f (x) = - 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26 .

Для применения формулы правых и левых прямоугольников нужно знать размерность шага h , а для его вычисления разбиваем отрезок интегрирования на n отрезков. По условию имеем, что точность должна быть до 0 , 01 , тогда нахождение n возможно при помощи оценки абсолютной погрешности методов левых и правых прямоугольников.

Известно, что δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n . Для достижения необходимой степени точности необходимо найти такое значение n , для которого неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0 . 01 будет выполнено.

Найдем наибольшее значение модуля первой производной, то есть значение m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) подынтегральной функции f (x) = - 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26 , определенной на отрезке [ 1 ; 2 ] . В нашем случае необходимо выполнить вычисления:

f " (x) = - 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26 " = - 0 . 09 x 2 + 0 . 26

Парабола является графиком подынтегральной функции с ветвями, направленными вниз, определенная на отрезке [ 1 ; 2 ] , причем с монотонно убывающим графиком. Необходимо произвести вычисление модулей значений производных на концах отрезков, а из них выбрать наибольшее значение. Получаем, что

f " (1) = - 0 . 09 · 1 2 + 0 . 26 = 0 . 17 f " (2) = - 0 . 09 · 2 2 + 0 . 26 = 0 . 1 → m a x x ∈ [ 1 ; 2 ] f " (x) = 0 . 17

Решение сложных подынтегральных функций подразумевает обращение к разделу наибольше и наименьшее значение функции.

Тогда получаем, что наибольшее значение функции имеет вид:

m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0 . 01 ⇔ ⇔ 0 . 17 · (2 - 1) 2 2 n ≤ 0 . 01 ⇔ 0 . 085 n ≤ 0 . 01 ⇔ n ≥ 8 . 5

Дробность числа n исключается, так как n является натуральным числом. Чтобы прийти к точности 0 . 01 , используя метод правых и левых прямоугольников, не обходимо выбирать любое значение n . Для четкости расчетов возьмем n = 10 .

Тогда формула левых прямоугольников примет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) , а правых - ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . Для применения их на практике необходимо найти значение размерности шага h и f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , n , где n = 10 .

Получим, что

h = b - a n = 2 - 1 10 = 0 . 1

Определение точек отрезка [ a ; b ] производится с помощью x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .

При i = 0 , получаем x i = x 0 = a + i · h = 1 + 0 · 0 . 1 = 1 и f (x i) = f (x 0) = f (1) = - 0 . 03 · 1 3 + 0 . 26 · 1 - 0 . 26 = - 0 . 03 .

При i = 1 , получаем x i = x 1 = a + i · h = 1 + 1 · 0 . 1 = 1 . 1 и f (x i) = f (x 1) = f (1 . 1) = - 0 . 03 · (1 . 1) 3 + 0 . 26 · (1 . 1) - 0 . 26 = - 0 . 01393 .

Вычисления производятся до i = 10 .

Вычисления необходимо представить в таблице, приведенной ниже.

i	0	1	2	3	4	5
x i	1	1 . 1	1 . 2	1 . 3	1 . 4	1 . 5
f (x i)	- 0 . 03	- 0 . 01393	0 . 00016	0 . 01209	0 . 02168	0 . 02875

i	6	7	8	9	10
x i	1 . 6	1 . 7	1 . 8	1 . 9	2
f (x i)	0 . 03312	0 . 03461	0 . 03304	0 . 02823	0 . 02

Подставим формулу левых треугольников

∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) = = 0 . 1 · - 0 . 03 - 0 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + + 0 . 02875 + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 = = 0 . 014775

Подставляем в формулу правых треугольников

∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) = = 0 . 1 · - 0 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + 0 . 02875 + + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 + 0 . 02 = 0 . 019775

Произведем вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:

∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x = = - 0 . 03 x 4 4 + 0 . 13 x 2 - 0 . 26 x 1 2 = 0 . 0175

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание

Нахождение наибольшего значения модуля первой производной является трудоемкой работой, поэтому можно исключить использование неравенства для оценивания абсолютной погрешности и методов численного интегрирования. Разрешено применять схему.

Берем значение n = 5 для вычисления приближенного значения интеграла. Необходимо удвоить количество отрезков интегрирования, тогда n = 10 , после чего производится вычисление примерного значения. необходимо найти разность этих значений при n = 5 и n = 10 . Когда разность не соответствует требуемой точности, то приближенным значением считается n = 10 с округлением до десятка.

Когда погрешность превышает необходимую точность, то производится удваивание n и сравнивание приближенных значений. Вычисления производятся до тех пор, пока необходимая точность не будет достигнута.

Для средних прямоугольников выполняются аналогичные действия, но вычисления на каждом шаге требуют разности полученных приближенных значений интеграла для n и 2 n . Такой способ вычисления называется правилом Рунге.

Произведем вычисление интегралов с точностью до одной тысячной при помощи метода левых прямоугольников.

При n = 5 получаем, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 0116 , а при n = 10 - ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 014775 . Так как имеем, что 0 . 0116 - 0 . 014775 = 0 . 003175 > 0 . 001 , возьмем n = 20 . Получаем, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 01619375 . Имеем 0 . 014775 - 0 . 01619375 = 0 . 00141875 > 0 . 001 , возьмем значение n = 40 , тогда получим ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 01686093 . Имеем, что 0 . 1619375 - 0 . 01686093 = 0 . 00066718 < 0 . 001 , тогда после округления значения проверим, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x равняется значению 0 , 017 с погрешностью 0 , 001 . Из оценок абсолютных погрешностей видно, что данный метод дает максимальную точность в отличие от метода левых и правых координат для заданного n . Отдается предпочтение методу средних прямоугольников.

Непрерывные подынтегральные функции при бесконечном разделении на отрезки данное приближенно число стремится к точному. Чаще всего такой метод выполняется при помощи специальных программ на компьютере. Поэтому чем больше значение n , тем больше вычислительная погрешность.

Для наиболее точного вычисления необходимо выполнять точные промежуточные действия, желательно с точностью до 0 , 0001 .

Итоги

Для вычисления неопределенного интеграла методом прямоугольников следует применять формулу такого вида ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 и оценивается абсолютная погрешность с помощью δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · b - a 3 24 n 2 .

Для решения с помощью методов правых и левых прямоугольников применяют формулы, имеющие вид, ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) и ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . Абсолютная погрешность оценивается при помощи формулы вида δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · b - a 2 2 n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Графическое изображение:

Вычислим приближенное значение интеграла. Для оценки точности используем просчет методом левых и правых прямоугольников.

Рассчитаем шаг при разбиении на 10 частей:

Точки разбиения отрезка определяются как.

Вычислим приближенное значение интеграла по формулам левых прямоугольников:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Вычислим приближенное значение интеграла по формулам правых прямоугольников:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом прогонки.

Для приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения можно использовать метод прогонки.

Рассмотрим линейное д.у.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

c двухточечными линейными краевыми условиями

Введём обозначения:

Метод прогонки состоит из «прямого хода», в котором определяются коэффициенты:

После выполнения «прямого хода», переходят к выполнению «обратного хода», который заключается в определении значений искомой функции по формулам:

Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью; Шаг h=0.05

2; A=1; =0; B=1.2;

Задача Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Найти непрерывную функцию и (х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной области уравнению Лапласа

и принимающую на границе области заданные значения, т. е.

где f l , f 2 , f 3 , f 4 -- заданные функции.

Вводя обозначения, аппроксимируем частные производные и в каждом внутреннем узле сетки центральными разностными производными второго порядка

и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением

Погрешность замены дифференциального уравнения разностным составляет величину.

Уравнения (1) вместе со значениями в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений функции и (х, у) в узлах сетки. Наиболее простой вид имеет эта система при:

При получении сеточных уравнений (2) была использована схема узлов, изображенная на рис. 1. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном.

Рисунок 1

Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике состоит в нахождении приближенных значений искомой функции и(х, у) во внутренних узлах сетки. Для определения величин требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (2).

В данной работе она решается методом Гаусса--Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида

(верхним индексом s обозначен номер итерации). При последовательность сходится к точному решению системы (2). В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять

Таким образом, погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностными; погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (2).

Известно, что описанная здесь разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы имеет смысл применять в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага сетки к нулю () решение разностной задачи стремится в некотором смысле к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h, можно как угодно точно решить исходную задачу.

Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле, для уравнения Лапласа в квадрате ABCD c вершинами A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); шаг h=0.02. При решении задачи использовать итерационный процесс усреднения Либмана до получения ответа с точностью до 0,01.

1) Вычислим значения функции на сторонах:

1. На стороне AB: по формуле. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
2. На стороне ВС=0
3. На стороне CD=0

4. На стороне AD: по формуле u(0;0)=0 u(0.2;0)=29,376 u(0.4;0)=47,542 u(0.6;0)=47,567 u(0.8;0)=29,44 u(1;0)=0
2) Для определения значений функции во внутренних точках области методом сеток заданное уравнение Лапласа в каждой точке заменим конечно-разностным уравнением по формуле

Используя эту формулу, составим уравнение для каждой внутренней точки. В результате получаем систему уравнений.

Решение этой системы выполним итерационным способом типа Либмана. Для каждого значения составим последовательность которую строим до сходимости в сотых долях. Запишем соотношения, с помощью которых будем находить элементы всех последовательностей:

Для вычислений по этим формулам нужно определить начальные значения которые могут быть найдены каким-либо способом.

3) Чтобы получить начальное приближенное решение задачи, будем считать, что функция u(x,y) по горизонталям области распределена равномерно.

Сначала рассмотрим горизонталь с граничными точками (0;0.2) и (1;0.2).

Обозначим искомые значения функции во внутренних точках через.

Так как отрезок разбит на 5 частей, то шаг измерения функции

Тогда получим:

Аналогично найдём значения функции во внутренних точках других горизонталей. Для горизонтали, с граничными точками (0;0.4) и (1;0.4) имеем

Для горизонтали с граничными точками (0;0.6) и (1;0.6) имеем

Наконец, найдем значения для горизонтали с граничными точками (0;0.8) и(1;0.8).

Все полученные значения представим в следующей таблице, которая называется нулевым шаблоном:

1. Введение. Постановка задачи……..…………………………2стр.

2. Вывод формулы……………………………………………….3стр.

3. Дополнительный член в формуле прямоугольников……….5стр.

4. Примеры………………………………………………………..7стр.

5. Заключение……………………………………………………..9стр.

6. Список литературы…………………………………………...10стр.

Постановка задачи.

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

Вывод формулы прямоугольников.

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:

З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте , а

Некоторые точки сегмента . Тогда на этом сегменте найдётся точка такая, что среднее арифметическое .

В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на сегменте . Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам и поделив результат на n, получим

Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на сегменте найдётся точка такая, что

Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.

Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

где , а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

На практике обычно берут ; если соответствующую среднюю ординату обозначить через , то формула перепишется в виде

Дополнительный член в формуле прямоугольников.

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

Что дополнительный член R в формуле (1) равен

(2)

Доказательство.

Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

Для первого из этих интегралов получим

Для второго из интегралов аналогично получим

Полусумма полученных для и выражений приводит к следующей формуле:

(3)

Оценим величину , применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций и . Мы получим, что найдутся точка на сегменте [-h, 0] и точка на сегменте

Такие, что

В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка такая, что

Поэтому для полусуммы мы получим следующее выражение:

Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что

(4)

. (5)

Так как величина представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене указанной площадью, имеет порядок

Таким образом, формула тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой

Здесь . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции

Примеры вычисления определённых интегралов

по формуле прямоугольников.

Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.

П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл .

По формуле Ньютона-Лейбница, получим

Теперь применим формулу прямоугольников

Таким образом, .

В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.

П р и м е р 2. Вычислим интеграл с точностью до 0,001.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим .

Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.

Так как для имеем (если ), то

Если взять n=10, то дополнительный член нашей формулы будет Нам придётся внести ещё погрешность, округляя значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на С этой целью достаточно вычислять значение функции с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:

Сумма 6,9284.

Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно и к их среднему арифметическому) содержится между , а также принимая во внимание оценку дополнительного члена , найдём, что содержится между границами и , а следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, .

Заключение.

Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.

Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x)

мы исходили из разбиения основного сегмента на достаточно большое число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из последующей замены функции f(x) на каждом частичном сегменте многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.

Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного сегмента на n, вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.

Список литературы.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II. (§§ 332, 335).

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).

Формула левых прямоугольников:

Метод средних прямоугольников

Разделим отрезок на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка. Точки деления будут: x 0 =a; x 1 =a+h; x 2 =a+2Ч h,., x n-1 =a+ (n-1) Ч h; x n =b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (x) в узлах, обозначим их y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Cталобыть, y 0 =f (a), y 1 =f (x 1),y 2 =f (x 2),., y n =f (b). Числа y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула средних прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Метод Симпсона

Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.

Разобьем отрезок интегрирования на 2Ч n равных частей длины. Обозначим точки разбиения x 0 =a; x 1 =x 0 +h,., x i =x 0 +iЧ h,., x 2n =b. Значения функции f в точках x i обозначим y i , т.е. y i =f (x i). Тогда согласно методу Симпсона

Метод трапеций

Формула трапеций:

Формула означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис.5); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно. Многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. С другой стороны, точное значение не всегда и нужно. На практике нам часто достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с некоторой заданной степенью точности (например, с точностью до одной тысячной). В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций , метод Симпсона (парабол) и т.п.

В этой статье подробно разберем для приближенного вычисления определенного интеграла.

Сначала остановимся на сути этого метода численного интегрирования, выведем формулу прямоугольников и получим формулу для оценки абсолютной погрешности метода. Далее по такой же схеме рассмотрим модификации метода прямоугольников, такие как метод правых прямоугольников и метод левых прямоугольников. В заключении рассмотрим подробное решение характерных примеров и задач с необходимыми пояснениями.

Навигация по странице.

Суть метода прямоугольников.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Нам требуется вычислить определенный интеграл .

Как видите, точное значение определенного интеграла отличается от значения, полученного по методу прямоугольников для n = 10 , менее чем на шесть сотых долей единицы.

Графическая иллюстрация.

Пример.

Вычислите приближенное значение определенного интеграла методами левых и правых прямоугольников с точностью до одной сотой.

Решение.

По условию имеем a = 1, b = 2 , .

Чтобы применить формулы правых и левых прямоугольников нам необходимо знать шаг h , а чтобы вычислить шаг h необходимо знать на какое число отрезков n разбивать отрезок интегрирования. Так как в условии задачи нам указана точность вычисления 0.01 , то число n мы можем найти из оценки абсолютной погрешности методов левых и правых прямоугольников.

Нам известно, что . Следовательно, если найти n , для которого будет выполняться неравенство , то будет достигнута требуемая степень точности.

Найдем - наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции на отрезке . В нашем примере это сделать достаточно просто.

Графиком функции производной подынтегральной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, на отрезке ее график монотонно убывает. Поэтому достаточно вычислить модули значения производной на концах отрезка и выбрать наибольшее:

В примерах со сложными подынтегральными функциями Вам может потребоваться теория раздела .

Таким образом:

Число n не может быть дробным (так как n – натуральное число – количество отрезков разбиения интервала интегрирования). Поэтому, для достижения точности 0.01 по методу правых или левых прямоугольников, мы можем брать любое n = 9, 10, 11, … Для удобства расчетов возьмем n = 10 .

Формула левых прямоугольников имеет вид , а правых прямоугольников . Для их применения нам требуется найти h и для n = 10 .

Итак,

Точки разбиения отрезка определяются как .

Для i = 0 имеем и .

Для i = 1 имеем и .

Полученные результаты удобно представлять в виде таблицы:

Подставляем в формулу левых прямоугольников:

Подставляем в формулу правых прямоугольников:

Вычислим точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Очевидно, точность в одну сотую соблюдена.

Графическая иллюстрация.

Замечание.

Во многих случаях нахождение наибольшего значения модуля первой производной (или второй производной для метода средних прямоугольников) подынтегральной функции на отрезке интегрирования является очень трудоемкой процедурой.

Поэтому можно действовать без использования неравенства для оценки абсолютной погрешности методов численного интегрирования. Хотя оценки предпочтительнее.

Для методов правых и левых прямоугольников можно использовать следующую схему.

Берем произвольное n (например, n = 5 ) и вычисляем приближенное значение интеграла. Далее удваиваем количество отрезков разбиения интервала интегрирования, то есть, берем n = 10 , и вновь вычисляем приближенное значение определенного интеграла. Находим разность полученных приближенных значений для n = 5 и n = 10 . Если абсолютная величина этой разности не превышает требуемой точности, то в качестве приближенного значения определенного интеграла берем значение при n = 10 , предварительно округлив его до порядка точности. Если же абсолютная величина разности превышает требуемую точность, то вновь удваиваем n и сравниваем приближенные значения интегралов для n = 10 и n = 20 . И так продолжаем до достижения требуемой точности.

Для метода средних прямоугольников действуем аналогично, но на каждом шаге вычисляем треть модуля разности полученных приближенных значений интеграла для n и 2n . Этот способ называют правилом Рунге.

Вычислим определенный интеграл из предыдущего примера с точностью до одной тысячной по методу левых прямоугольников.

Не будем подробно останавливаться на вычислениях.

Для n = 5 имеем , для n = 10 имеем .

Так как , тогда берем n = 20 . В этом случае .

Так как , тогда берем n = 40 . В этом случае .

Так как , то, округлив 0.01686093 до тысячных, утверждаем, что значение определенного интеграла равно 0.017 с абсолютной погрешностью 0.001 .

В заключении остановимся на погрешности методов левых, правых и средних прямоугольников более детально.

Из оценок абсолютных погрешностей видно, что метод средних прямоугольников даст большую точность, чем методы левых и правых прямоугольников для заданного n . В то же время, объем вычислений одинаков, так что использование метода средних прямоугольников предпочтительнее.

Если говорить о непрерывных подынтегральных функциях, то при бесконечном увеличении числа точек разбиения отрезка интегрирования приближенное значение определенного интеграла теоретически стремиться к точному. Использование методов численного интегрирования подразумевает использование вычислительной техники. Поэтому следует иметь в виду, что при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Еще заметим, если Вам требуется вычислить определенный интеграл с некоторой точностью, то промежуточные вычисления проводите с более высокой точностью. Например, Вам требуется вычислить определенный интеграл с точностью до одной сотой, тогда промежуточные вычисления проводите с точностью как минимум до 0.0001 .

Подведем итог.

При вычислении определенного интеграла методом прямоугольников (методом средних прямоугольников) пользуемся формулой и оцениваем абсолютную погрешность как .

Для метода левых и правых прямоугольников пользуемся формулами и соответственно. Абсолютную погрешность оцениваем как .

Предыдущая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства Следующая статья: Чему равна скорость света