Чему равен модуль 2 8. Модуль числа (абсолютная величина числа), определения, примеры, свойства

Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?

Рассмотрим пример:

Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.

А потом в обратном направлении прошли 200м. Математически обратный путь мы можем записать как -200. Но мы не говорим так “мы прошли минус двести метров”, хотя мы вернулись, потому что расстояние как величина остается положительной. Для этого в математике ввели понятие модуля. Записать расстояние или модуль числа -200 можно так: |-200|=200.

Свойства модуля.

Определение:
Модуль числа или абсолютная величина числа – это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.

Записывается модуль так:

1. Модуль положительного числа равно самому числу.
| a|= a

2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.
|- a|= a

3. Модуль нуля, равен нулю.
|0|=0

4. Модули противоположных чисел равны.
| a|=|- a|= a

Вопросы по теме:
Что такое модуль числа?
Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Если перед целым числом поставить знак “+” , что произойдет?
Ответ: число не поменяет свой смысл, например, 4=+4.

Если перед целым числом поставить знак “-” , что произойдет?
Ответ: число изменится на , например, 4 и -4.

У каких чисел одинаковый модуль?
Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же. Например, 15=|15|.

У каких чисел модуль – противоположное число?
Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.

Пример №1:
Найдите модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Пример №2:
Существуют ли два различных числа, модули которых равны?

Решение:
|10|=10
|-10|=10

Модули противоположных чисел равны.

Пример №3:
Какие два противоположных числа, имеют модуль 9?

Решение:
|9|=9
|-9|=9

Ответ: 9 и -9.

Пример №4:
Выполните действия: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Пример №5:
Найдите: а) модуль числа 2 б) модуль числа 6 в) модуль числа 8 г) модуль числа 1 д) модуль числа 0.
Решение:

а) модуль числа 2 обозначается как |2| или |+2| это одно и тоже.
|2|=2

б) модуль числа 6 обозначается как |6| или |+6| это одно и тоже.
|6|=6

в) модуль числа 8 обозначается как |8| или |+8| это одно и тоже.
|8|=8

г) модуль числа 1 обозначается как |1| или |+1| это одно и тоже.
|1|=1

д) модуль числа 0 обозначается как |0|, |+0| или |-0| это одно и тоже.
|0|=0

Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой.

Модуль обозначается с помощью символа: | |.

• Запись |6| читается как «модуль числа 6», или «модуль шести».
• Запись |8| читается как «модуль 8-ми».

Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |2| = 2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу <=> |-3| = 3. Модуль нуля равен нулю, то есть |0| = 0. Модули противоположных чисел равны, то есть |-a| = |a|.

Для лучшего понимания темы: «модуль числа» предлагаем воспользоваться методом ассоциаций.

Представим, что модуль числа - это баня , а знак «минус» - грязь .

Оказываясь под знаком модуля (то есть в «бане») отрицательное число «моется» , и выходит без знака «минус» - чистым .

В бане могут «мыться» (то есть стоять под знаком модуля) и отрицательные , и положительные числа , и число ноль . Однако будучи «чистым» положительные числа , и ноль свой знак при выходе из «бани» (то есть из под знака модуля) не меняют !

История модуля числа или 6 интересных фактов о модуле числа

1. Слово «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера».
2. Ввел в обращение этот термин ученик Исаака Ньютона — английский математик и философ Роджер Котс (1682 – 1716).
3. Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mod x .
4. Обозначение модуля было введено в 1841 году немецким математиком
Карлом Вейерштрассом (1815 — 1897).
5. При написании модуль обозначается с помощью символа: | |.
6. Еще одной версии термин «модуль» был введен в 1806 году французским
математиком по имени Жан Робер Аргáн (1768 — 1822). Но это не совсем так.
В начале девятнадцатого века математики Жан Робер Аргáн (1768 — 1822)
и Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) ввели понятие «модуль комплексного числа»,
который изучается в курсе высшей математики.

Решение задач на тему «Модуль числа»

Задача №1. Расположи выражения: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 в порядке возрастания.

— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2

17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Ответ: -17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Задача№2. Нужно расположить выражения: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
в порядке убывания.

Для начала раскроем скобки и модули:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

16 > 9 > -14 > — 21 > — 30 что будет равносильно:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Ответ: |-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.

Навигация по странице.

Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .

Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .

Определение.

Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0 , , если a=0 , и , если a<0 .

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0 ), и , если a<0 .

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0 . В этом случае имеем , но −0=0 , так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .

Определение.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9 , так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25 , поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

Определение.

Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0 , то .

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b , то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a , b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника . Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a) , B(b) , C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС , у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ , - длине отрезка АС , а - длине отрезка СВ . Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел ». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b , и принять c=0 .

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства