Mi történik, ha a 0-t elosztjuk 0-val. Miért nem lehet nullával osztani? El lehet osztani a nullát egy számmal? Mi a helyzet a felsőbb matematikával?

Azt mondják, akkor lehet nullával osztani, ha meghatározzuk a nullával való osztás eredményét. Csak ki kell bővítenie az algebrát. Furcsa egybeesés folytán nem lehet legalább néhány, vagy jobban érthető és egyszerű példát találni egy ilyen kiterjesztésre. Az internet javításához vagy egy ilyen kiterjesztési módszer bemutatására van szüksége, vagy annak leírására, hogy ez miért nem lehetséges.

A cikk a trend folytatásaként készült:

Jogi nyilatkozat

Ennek a cikknek az a célja, hogy elmagyarázza " emberi nyelv"hogyan működnek alapok a matematika, az ismeretek strukturálása és a matematika ágai közötti kihagyott ok-okozati összefüggések helyreállítása. Minden érvelés filozófiai, bizonyos ítéletekben eltérnek az általánosan elfogadottaktól (ezért nem adják elő, hogy matematikailag szigorúak lennének). A cikk azoknak az olvasóknak készült, akik „sok évvel ezelőtt elhaladtak a tornyon”.

A számtan alapelveinek megértése, elemi, általános és lineáris algebra, matematikai és nem szabványos elemzés, halmazelmélet, általános topológia, projektív és affin geometria - kívánatos, de nem kötelező.

A kísérletek során a végtelenség sem sérült meg.

Prológus

A „határokon túlra jutás” az új ismeretek keresésének természetes folyamata. De nem minden keresés hoz új tudást, és ezért hasznot.

1. Tulajdonképpen már minden fel van osztva előttünk!

1.1 A számegyenes affin kiterjesztése

Kezdjük ott, ahol valószínűleg minden kalandozó kezdi, amikor nullával osztjuk. Emlékezzünk a függvény grafikonjára .

A nullától balra és jobbra a függvény megy különböző oldalak"nemlétezés". Nulla helyen van egy általános „medence”, és nem látsz semmit.

Ahelyett, hogy hanyatt-homlok rohannánk a medencébe, nézzük meg, mi folyik bele és mi jön ki belőle. Ehhez a határértéket fogjuk használni - a matematikai elemzés fő eszközét. A fő „trükk” az, hogy a korlát lehetővé teszi, hogy elérje adott pont a lehető legközelebb anélkül, hogy „rálépnénk”. Ilyen „kerítés” a „medence” előtt.

Eredeti

Oké, a „kerítést” felhúzták. Már nem olyan ijesztő. Két utunk van a medencéhez. Menjünk balra - meredek ereszkedés, jobb oldalon - meredek emelkedő. Hiába sétálsz a „kerítés” felé, az nem kerül közelebb. Nincs mód az alsó és felső „semmiség” átlépésére. Felmerül a gyanú: talán körbe járunk? Bár nem, a számok változnak, ami azt jelenti, hogy nincsenek körben. Turkáljunk a szerszámosládában matematikai elemzés több. A „kerítéssel” ellátott korlátok mellett a készlet pozitív és negatív végtelenségeket is tartalmaz. A mennyiségek teljesen absztraktak (nem számok), jól formalizáltak és használatra készek! Ez megfelel nekünk. Egészítsük ki „lényünket” (a valós számok halmazát) két előjeles végtelennel.

Matematikai nyelven:

Ez a kiterjesztés teszi lehetővé, hogy határt vegyél fel, amikor az érvelés a végtelenbe hajlik, és a határ felvétele következtében végtelent kap.

A matematikának két ága van, amelyek ugyanazt a dolgot különböző terminológiával írják le.

Összefoglaljuk:

A lényeg az. A régi megközelítések már nem működnek. A rendszer összetettsége, egy csomó „ha”, „mindenkire, de” stb. formájában, megnőtt. Csak két bizonytalanságunk volt 1/0 és 0/0 (nem vettük figyelembe a hatványtörvényes műveleteket), így öt volt. Egy bizonytalanság feltárása még több bizonytalanságot szült.

1.2 kerék

Nem állt meg az előjel nélküli végtelen bevezetésével. A bizonytalanságból való kilábaláshoz második szélre van szükség.

Tehát van egy valós számkészletünk és két bizonytalanságunk: 1/0 és 0/0. Az első kiküszöbölésére végrehajtottuk a számegyenes projektív kiterjesztését (azaz előjel nélküli végtelent vezettünk be). Próbáljuk meg kezelni a 0/0 forma második bizonytalanságát. Tegyük ugyanezt. Adjunk hozzá egy új elemet a számkészlethez, amely a második bizonytalanságot jelenti.

Az osztási művelet meghatározása a szorzáson alapul. Ez nekünk nem jön be. Kössük le a műveleteket egymástól, de tartsuk meg őket megszokott viselkedés valós számokhoz. Definiáljunk egy unáris osztási műveletet, amelyet "/" jellel jelölünk.

Határozzuk meg a műveleteket.

Ezt a szerkezetet „keréknek” nevezik. A kifejezést a számegyenes projektív kiterjesztésének topológiai képével és a 0/0 ponttal való hasonlósága miatt vettük fel.

Úgy tűnik, minden jól néz ki, de az ördög a részletekben rejlik:

Az összes jellemző megállapításához az elemkészlet bővítése mellett egy bónuszt is csatolunk nem egy, hanem két identitás formájában, amelyek leírják az elosztási törvényt.

Matematikai nyelven:

Az általános algebra szempontjából a mezővel operáltunk. És a mezőben, mint tudod, csak két művelet van meghatározva (összeadás és szorzás). Az osztás fogalma inverz, sőt még mélyebb egységelemekből származik. Az elvégzett változtatások átalakítják a mieinket algebrai rendszer monoidba az összeadási művelettel (nulla semleges elemmel) és a szorzási művelettel (egy semleges elemmel).

Az úttörők művei nem mindig használják a ∞ és ⊥ szimbólumokat. Ehelyett a /0 és 0/0 formátumú bejegyzések találhatók.

A világ már nem olyan csodálatos, igaz? Ennek ellenére nem kell sietni. Vizsgáljuk meg, hogy az elosztási törvény új identitásai megbirkóznak-e kiterjesztett halmazunkkal .

Ezúttal sokkal jobb az eredmény.

Összefoglaljuk:

A lényeg az. Az algebra remekül működik. Azonban a „definiálatlan” fogalmát vették alapul, amit elkezdtek létezőnek tekinteni és azzal operálni. Egy napon valaki azt mondja, hogy minden rossz, és ezt a „definiálatlant” több „definiálatlanra” kell bontani, de az általános algebra azt mondja: „Semmi baj, tesó!”
Kb

Az óra a tanulók önálló cselekvésén alapult minden szakaszban, teljes elmélyülésen tanulási feladat. Ezt elősegítették olyan technikák, mint a csoportos munka, az ön- és kölcsönös tesztelés, a sikerhelyzet kialakítása, a differenciált feladatok, az önreflexió.

Letöltés:

Előnézet:

Tankönyv: "Matematika" 3. osztály M.I. Moro

Az óra céljai:

Az óra céljai:

A cél elérése érdekében a leckét figyelembe véve terveztüktevékenységi megközelítés.

Az óra szerkezete a következőket tartalmazza:

1. Org. pillanat , melynek célja a gyerekek pozitív tanulási ösztönzése volt.
2. Motiváció lehetővé tette az ismeretek frissítését és az óra céljainak és célkitűzéseinek megfogalmazását. Erre a célra feladatokat javasoltakplusz szám keresése, példák csoportokba sorolása, hiányzó számok hozzáadása. E feladatok megoldása során a gyerekek szembesültek probléma : olyan példa került elő, amelynek megoldására a meglévő tudás nem elegendő. Ebben a tekintetben a gyerekekönállóan fogalmazott meg egy céltés kitűzték maguknak az óra tanulási céljait.
3. Új ismeretek keresése és felfedezéselehetőséget adott a gyerekeknekajánlat különféle lehetőségeket feladatmegoldások.A korábban tanulmányozott anyagok alapjánmeg tudták találni helyes döntésés gyere oda következtetés , amelyben új szabályt fogalmaztak meg.
4. Alatt elsődleges konszolidáció a tanulók kommentálták cselekedeteiket, szabály szerint dolgozik, szintén kiválasztásra került példáit erre a szabályra.
5. Mert a műveletek automatizálásaÉs szabályok használatának képessége nem szabványos környezetbenA feladatokban a gyerekek több lépésben egyenleteket, kifejezéseket oldottak meg.
6. Önálló munkavégzésés kölcsönös ellenőrzést végeznek megmutatta, hogy a legtöbb gyerek érti a témát.
7. Reflexió közben A gyerekek arra a következtetésre jutottak, hogy az óra célját elérték, és a kártyák segítségével értékelték magukat.

Az óra a tanulók önálló cselekvésén alapult minden szakaszban, a tanulási feladatban való teljes elmélyülésen. Ezt elősegítették olyan technikák, mint a csoportos munka, az ön- és kölcsönös tesztelés, a sikerhelyzet kialakítása, a differenciált feladatok, az önreflexió.

Matematika óra 3. osztályban.

Óra témája: „0 elosztása számmal. Lehetetlen 0-val osztani

Az óra céljai: teremtsen feltételeket a 0 számmal való osztásának képességének fejlesztéséhez.

Az óra céljai:

• feltárja a 0 számmal való osztásának jelentését a szorzás és az osztás közötti kapcsolaton keresztül;
• az önállóság, a figyelem, a gondolkodás fejlesztése;
• fejlessze a táblázatos szorzási és osztási példák megoldási készségeit.

A lecke előrehaladása.

1. Szervezési szakasz.

Ellenőrizze a leckére való felkészültségét úgy, hogy egyenesen ül.
Dörzsölje a fülét, hogy a vér aktívabban áramoljon az agyba. Ma sok lesz érdekes munka, ami biztos vagyok benne, hogy remekül fog sikerülni.

1. (1.; 2.; 3. dia)

Megszólalt a vidám csengő,

Megkezdjük a leckét.

Mindenki rendesen ül?

Mindenki nagyon figyel?

Mindenki kapni akar

Csak ötös értékelés!

Nyissa ki a füzeteit, és írja le a mai dátumot.(4. dia) Mit tud mondani a 20-as számról? (Kétjegyű; páros; egy tízes helyből és egy egységhelyből áll).

Hány tízes és hány egyes van? (2 tízes és 0 egység.).

1. Szóbeli számolás.

1. Játék "Találd meg az extra számot"(5. dia)

Minden oszlopból válassza ki az „extra számot”

2. Keresse meg az ábrák területét:(6. dia)

3. Aritmetikai diktálás:

1. Milyen számot kell 7-tel megszorozni, hogy 42-t kapjunk?
2. Nevezzen meg egy számot, amely 24x6-nál kisebb?
3. Melyik számból kell kivonni a 18-at, hogy 3-at kapjunk?
4. Hányszor nagyobb a 4 tízes az 5-nél?
5. Keresse meg 9 és 3 szorzatát.
6. 36. osztalék, 6. hányados. Mi az osztó?
7. Növelje 8-szor 6-szor.
8. Milyen számmal kell elosztani a 28-at, hogy 7-et kapjunk?

Csak a válaszokat írd le.

(Peer check: 6, 18, 21, 8, 27, 6, 48, 4.) – (7. dia)

4.Egyéni munka(munka kártyákkal, lásd a mellékleteket)

5. Problémás helyzet kialakítása
Feladatok párban:
- rendezd a példákat 2 csoportba:

Miért így terjesztették?(4-es és 5-ös válasszal)

Példák megoldása:
8·7-6+30:6=
28:(16:4) 6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10 2):5=

mit vettél észre? Vannak itt extra példák?
- Meg tudtad oldani az összes példát?
- Kinek vannak nehézségei?
- Miben különbözik ez a példa a többitől?
- Ha valaki úgy döntött, jól tette. De miért nem tudott mindenki megbirkózni ezzel a példával?

6. A nevelési feladat kimutatása.
Itt van egy példa 0-val. A 0-tól pedig különböző trükkökre számíthatunk. Ez szokatlan szám.
Emlékszel, mit tudsz a 0-ról?(a 0=0, 0 a=0, 0+a=a)
Mondjon példákat.
Nézzétek milyen alattomos: összeadáskor nem változtat a számon, szorozva viszont 0-ra.
Ezek a szabályok érvényesek a mi példánkra (nem)
Hogyan fog viselkedni a felosztás során?

1. Az óra témájának és célkitűzéseinek kommunikálása (8. dia)

- Mi tehát a célunk? Oldja meg helyesen ezt a példát.

cél

Asztal a táblán.

Mi kell ehhez? Tanuld meg a 0 egy számmal való osztásának szabályát.

feladat

Leckénk témája: „Nulla elosztása számmal, nullával való osztás lehetetlensége.”

Megvizsgáljuk a nulla számmal való elosztásának technikáit, megszilárdítjuk a szorzótábla ismereteit és az összetett feladatok megoldásának képességét.

1. Új ismeretek és cselekvési módszerek asszimilációja.

Hogyan lehet megtalálni a megfelelő megoldást?
Milyen művelettel jár a szorzás?(osztással)
Mondj egy példát
2 3 = 6
6: 2 = 3

Tudunk most 0:5?
Ez azt jelenti, hogy meg kell találnia egy számot, amely 5-tel szorozva 0-val egyenlő.
x 5=0
Ez a szám 0. Tehát 0:5=0.

Mondjon saját példákat.

1. Képernyőn: 0:6 (9. dia)

Válasszon egy számot, amellyel szorozva 6 lenne 0? (Ez 0).

Tehát 0:6=0

Hasonlóan kezelik a felosztás esetét is 0:9.

Következtetés: Ha a nullát elosztjuk bármely másik számmal, az eredmény nulla.

EMLÉKEZD Nem lehet nullával osztani!

Miért nem lehet nullával osztani? Válaszát indokolja.

(Ha például 6-ot vagy nullától eltérő számot osztunk 0-val, lehetetlen olyan számot találni, amelyet nullával szorozva 6-ot vagy más számot kapunk).

2.Figyelj a nulla meséje. (10-16. dia)

Messze, messze, a tengereken és hegyeken túl ott volt Cifria országa. Nagyon őszinte számok éltek benne. Csak Nullt jellemezte lustaság és becstelenség.

Egy napon mindenki megtudta, hogy Aritmetika királyné messze a sivatagon túl megjelent, és szolgálatára hívta Cythria lakóit. Mindenki a királynőt akarta szolgálni. Cyphria és az aritmetika királysága között egy sivatag terült el, amelyet négy folyó szelt át: Összeadás, Kivonás, Szorzás és Osztás. Hogyan jutok el az aritmetikához? A számok úgy döntöttek, hogy egyesülnek (elvégre az elvtársakkal könnyebb leküzdeni a nehézségeket), és megpróbálják átkelni a sivatagon.

Kora reggel, amint a nap a földet érintette sugaraival, elindultak a számok. Sokáig sétáltak a tűző nap alatt, és végül elérték a Slozhenie folyót. A számok a folyóhoz rohantak inni, de a folyó azt mondta: Álljatok párba, és egyesítsétek erőiteket, akkor adok egy italt. Mindenki teljesítette a folyó parancsát, és a lusta Null is teljesítette kívánságát. De a szám, amivel hozzáadták, elégedetlen volt: végül is a folyó annyi vizet adott, amennyi egység volt az összegben, és az összeg nem különbözött a számtól.

A nap egyre melegebb. Elértük a Kivonás folyót. Fizetést is követelt a vízért: álljanak párban, és vonják ki a kisebb számot a nagyobbból, az kap több vizet. És ismét a szám. A Zero-val párosított végül vereséget szenvedett és ideges lett.

A River Divisionnél pedig egyik szám sem akart Zero-val párosítani. Azóta egyetlen szám sem osztható nullával.

Igaz, az aritmetikai királynő minden számot egyeztetett ezzel a lustával: egyszerűen nullát kezdett hozzárendelni a szám mellé, ami ettől a tízszeresére nőtt. És a számok élni és élni kezdtek, és jó pénzt kerestek.

Ma újabb „nulla” trükköt fedeztünk fel. Miféle "trükk" ez? Emlékeznünk kell erre, hogy elkerüljük a számítási hibákat.

1. A tanultak megértésének kezdeti ellenőrzése. Dolgozzon a tankönyv szerint.

1.Olvassa el a szabályt a tankönyvben, és hasonlítsa össze a sajátjával.

Próbáljunk meg egy tetszőleges számot elosztani 0-val.
Például 5:0. Mennyi lesz?
Lehetetlen olyan számot választani, amely 0-val szorozva 5-tel egyenlő.
Következtetés: NEM OSZTHAT 0-VAL.

Milyen egyéb feladatok igényelhetik ennek a szabálynak a ismeretét?(példák, egyenletek megoldásában)

1. Kivégzések 1. sz 75. o láncos megjegyzésekkel.

Testnevelés és szemgyakorlat (17-18. dia)

Reggel a szitakötő felébredt,

A nő nyújtózkodott és elmosolyodott.

Egyszer megmosta magát harmattal,

Kettő – kecsesen megpördült

Három - lehajolt és leült,

Négykor elrepült.

Megállt a folyó mellett

Megpördült a víz felett.

1. Munka a lefedett anyagon.

1) 2. számú végrehajtás (szóban)

2) Kifejezések értékeinek megtalálása 6. szám (1) 85. oldal

3) A probléma megoldása5. sz. 85. oldal (19. dia)

Gondolja, hogy a 0-t gyakran használják problémákban?
(Nem, nem gyakran, mert a 0 semmi, és a feladatoknak tartalmazniuk kell valamit.)
Aztán megoldjuk azokat a feladatokat, ahol más számok is vannak.
Táblázat rajzolása az interaktív táblára.

Olvassa el a problémafelvetést, és gondolja át, hogyan lehet a legjobban rövid feljegyzést készíteni. (A táblázatban).

Milyen oszlopok legyenek a táblázatban?

Mi az a 8 kg? (1 doboz súlya szilvával)

Mit lehet még tudni a problémáról? (1 doboz körte súlya. Az összes doboz szilva súlya.)

Mit mondanak a körtedobozok számáról? (Ugyanannyi van belőlük). Vagy a mennyiség ugyanaz.

Hozzon létre egy megoldási programot, és írja le saját maga a megoldást.

B) A megoldás ellenőrzése.

1) 48:8=6 (doboz)

2) 9,6 = 54 (kg)

Válasz: 54 kg körte került a piacra.

4) Egyenletek megoldása szóbeli magyarázattal.

8. szám 85. o

5) Keresse meg a mintát (feladat a dián)(20. dia)

6 )Önálló munkavégzés. (21. dia)

(Próbamunka. 42., 43. o.)

1. Óra összefoglalója

• Milyen újdonságokat tanultunk a leckében?
• Mi történik, ha a nullát elosztod tetszőleges számmal?
• Melyik fontos szabály emlékeznie kell?

1. Információk a házi feladat(22. dia)

4. szám, 6. szám (2) 85. o.

Reflexió (lásd a függeléket; 23-24. dia)

Milyen témán dolgoztál ma? Mit nem tudtál az óra elején?
- Milyen célt tűztél ki magad elé?
- Elérted? Milyen szabállyal találkoztál?
- Srácok! Tetszett a lecke?

Nézd meg a "bolyhokat". Különböző hangulataik vannak. Színezd ki azt a "bolyhost", aki ugyanolyan hangulatban van, mint te. Mutasd meg a "bolyhokat" (elégedett vagyok magammal, mindent megtettem; minden jó, de dolgozhattam volna jobban is; a lecke átlagos, semmi érdekes; semmi sem működött) Jól sikerült! Köszönöm a leckét! Viszontlátásra!

Újra bevezették a nullával való osztás szigorú tilalmát junior osztályok iskolák. A gyerekek általában nem gondolnak az okaira, de valójában érdekes és hasznos tudni, hogy miért tilos valami.

Aritmetikai műveletek

Az iskolában tanult aritmetikai műveletek a matematikusok szemszögéből nem egyenértékűek. Ezek közül csak kettőt ismernek el érvényesnek – az összeadást és a szorzást. Magában a számfogalomban benne vannak, és minden más, számokkal végzett művelet így vagy úgy erre a kettőre épül. Vagyis nemcsak nullával való osztás lehetetlen, hanem általában is lehetetlen.

Kivonás és osztás

Mi hiányzik a többi akcióból? Megint az iskolából tudjuk, hogy például hétből négyet levonni azt jelenti, hogy veszünk hét édességet, ebből négyet megeszünk, és megszámoljuk a megmaradókat. De a matematikusok, amikor édességet esznek, és általában, teljesen másképp érzékelik őket. Számukra csak összeadás létezik, vagyis a 7-4 jelölés egy olyan számot jelent, amelyet a 4-hez hozzáadva 7 lesz. Vagyis a matematikusok számára a 7-4 rövid megjegyzés egyenlet: x + 4 = 7. Ez nem kivonás, hanem az a feladat, hogy megtaláljuk azt a számot, amelyet x helyére kell tenni.

Ugyanez vonatkozik az osztásra és szorzásra is. Tízet kettővel elosztva egy kisdiák tíz cukorkát tesz két egyforma kupacba. A matematikus itt is látja az egyenletet: 2 x = 10.

Ez megmagyarázza, miért tilos a nullával való osztás: egyszerűen lehetetlen. A 6: 0 bejegyzésnek a 0 · x = 6 egyenletté kell alakulnia. Vagyis meg kell találni egy számot, amelyet meg lehet szorozni nullával, és 6-ot kapni. De köztudott, hogy a nullával való szorzás mindig nullát ad. Ez a nulla lényeges tulajdonsága.

Így nincs olyan szám, amely nullával szorozva a nullától eltérő számot adna. Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, nincs olyan szám, amely a 6:0 jelöléssel korrelálna, vagyis nincs értelme. Értelmetlenségéről beszélnek, amikor a nullával való osztás tilos.

A nulla osztható nullával?

Lehetséges a nullát nullával osztani? A 0 · x = 0 egyenlet nem okoz nehézséget, és ezt a nullát veheti x-re, és 0 · 0 = 0. Ekkor 0: 0 = 0? De ha például x-et egynek vesszük, akkor azt is kapjuk, hogy 0 1 = 0. Felveheted x-et tetszőleges számnak, és eloszthatod nullával, és az eredmény ugyanaz marad: 0: 0 = 9 , 0: 0 = 51, és így tovább.

Így teljesen bármilyen szám beilleszthető ebbe az egyenletbe, és nem lehet konkrétat választani, nem lehet meghatározni, hogy melyik számot jelöljük a 0: 0 jelöléssel. Vagyis ennek a jelölésnek sincs értelme, és az osztás nullával még mindig lehetetlen: még önmagával sem osztható.

Ez van fontos jellemzője az osztás műveletei, azaz a szorzás és a hozzá tartozó nulla szám.

A kérdés továbbra is fennáll: ki lehet-e vonni? Elmondhatjuk, hogy az igazi matematika ezzel kezdődik érdekes kérdés. Ahhoz, hogy megtalálja a választ, ismernie kell a formális matematikai definíciók számkészletekés ismerkedjen meg a rajtuk végzett műveletekkel. Például nem csak egyszerűek vannak, hanem amelyek felosztása is eltér a hétköznapiak felosztásától. Ez nincs benne iskolai tananyag, De egyetemi előadások a matematikában itt kezdődnek.

Evgeniy Shiryaev, tanár és a Politechnikai Múzeum Matematikai Laboratóriumának vezetője, elmondta az AiF.ru-nak a nullával való osztásról:

1. A kérdés illetékessége

Egyetértek, ami a szabályt különösen provokatívvá teszi, az a tilalom. Hogy nem lehet ezt megtenni? Ki tiltott? Mi a helyzet az állampolgári jogainkkal?

Sem az Orosz Föderáció alkotmánya, sem a Büntető Törvénykönyv, de még az Ön iskolájának alapszabálya sem tiltja a minket érdeklő szellemi tevékenységet. Ez azt jelenti, hogy a tiltásnak nincs jogi ereje, és semmi sem akadályozza meg, hogy itt, az AiF.ru oldalain megpróbáljon valamit nullával elosztani. Például ezer.

2. Osszuk a tanítás szerint

Ne feledje, amikor először megtanulta az osztást, az első példákat a szorzás ellenőrzésével oldották meg: az osztóval szorzott eredménynek meg kellett egyeznie az oszthatóval. Ha nem egyezik, nem döntöttek.

1. példa 1000: 0 =...

Felejtsük el egy pillanatra a tiltott szabályt, és próbáljuk meg többször kitalálni a választ.

A hibásakat a csekk levágja. Próbálja ki a következő opciókat: 100, 1, -23, 17, 0, 10 000, mindegyiknél ugyanazt az eredményt adja az ellenőrzés:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

A nullát megszorozva minden önmagába fordul, és soha nem ezerbe. A következtetést könnyű megfogalmazni: nincs szám tesztelni fogják. Azaz egyetlen szám sem lehet nullától eltérő szám nullával való osztásának eredménye. Az ilyen felosztás nem tilos, de egyszerűen nincs eredménye.

3. Árnyékolás

Majdnem elszalasztottunk egy lehetőséget, hogy megcáfoljuk a tiltást. Igen ezt elismerjük nem nulla szám nem oszt 0-val. De lehet, hogy maga a 0 is megteheti?

2. példa 0: 0 = ...

Mik a javaslataid a privátban? 100? Kérem: a 100-nak a 0 osztóval való hányadosa egyenlő a 0 osztalékkal.

További lehetőségek! 1? Illik is. És −23, és 17, és ennyi. Ebben a példában az eredményellenőrzés bármely számra pozitív lesz. És hogy őszinte legyek, ebben a példában a megoldást nem számnak, hanem számkészletnek kell nevezni. Mindenki. És nem tart sokáig, hogy egyetértsünk abban, hogy Alice nem Alice, hanem Mary Ann, és mindketten egy nyúl álma.

4. Mi a helyzet a felsőbb matematikával?

A probléma megoldódott, az árnyalatokat figyelembe vették, a pontokat elhelyezték, minden világossá vált - a nullával való osztás példájára a válasz nem lehet egyetlen szám. Az ilyen problémák megoldása reménytelen és lehetetlen. Ami azt jelenti... érdekes! Vegyél kettőt.

3. példa Képzeld el, hogyan kell elosztani 1000-et 0-val.

De sehogy. De az 1000 könnyen osztható más számokkal. Nos, legalább tegyük meg, amit tudunk, még akkor is, ha változtatunk a feladaton. És akkor látod, elragadunk, és a válasz magától megjelenik. Egy percre felejtsük el a nullát, és osszuk el százzal:

A száz messze van a nullától. Tegyünk egy lépést felé az osztó csökkentésével:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

A dinamika nyilvánvaló: minél közelebb van az osztó a nullához, annál nagyobb a hányados. A tendencia tovább figyelhető, ha törtekre váltunk, és folytatjuk a számláló csökkentését:

Továbbra is meg kell jegyeznünk, hogy olyan közel kerülhetünk a nullához, amennyit csak akarunk, így a hányados olyan nagy lesz, amennyit csak akarunk.

Ebben a folyamatban nincs nulla és nincs utolsó hányados. A feléjük irányuló mozgást úgy jeleztük, hogy a számot a minket érdeklő számhoz konvergáló sorozattal helyettesítettük:

Ez az osztalék hasonló helyettesítését jelenti:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Nem véletlen, hogy a nyilak kétoldalasak: egyes sorozatok számokká konvergálhatnak. Ekkor a sorozatot a numerikus határértékéhez rendelhetjük.

Nézzük a hányadosok sorrendjét:

Korlátlanul növekszik, nem törekszik semmilyen számra és felülmúlja bármelyiket. A matematikusok szimbólumokat adnak a számokhoz ∞ hogy egy kétoldalas nyilat tudjunk tenni egy ilyen sorozat mellé:

A határértékkel rendelkező sorozatok számával való összehasonlítás lehetővé teszi számunkra, hogy megoldást javasoljunk a harmadik példára:

Amikor egy 1000-hez konvergáló sorozatot elemenként osztunk fel egy sorozatra pozitív számok, 0-hoz konvergálva ∞-hez konvergáló sorozatot kapunk.

5. És itt van az árnyalat két nullával

Mi lesz az eredménye, ha elosztunk két pozitív számsorozatot, amelyek nullához konvergálnak? Ha azonosak, akkor az egység azonos. Ha az osztaléksorozat gyorsabban konvergál a nullához, akkor a hányadosban a sorozatnak nulla határértéke van. És amikor az osztó elemei sokkal gyorsabban csökkennek, mint az osztaléké, a hányados sorozata nagymértékben megnő:

Bizonytalan helyzet. És így hívják: típusbizonytalanság 0/0 . Amikor a matematikusok olyan sorozatokat látnak, amelyek ilyen bizonytalanságba illeszkednek, nem rohannak elosztani a kettőt azonos számok egymással, de kitalálni, hogy a sorozatok közül melyik fut gyorsabban nullára, és hogyan pontosan. És minden példának megvan a saját konkrét válasza!

6. Az életben

Ohm törvénye az áramkörben lévő áramot, feszültséget és ellenállást kapcsolja össze. Gyakran így írják:

Engedjük meg magunknak, hogy figyelmen kívül hagyjuk a gondos fizikai megértést, és formálisan tekintsünk rá jobb oldalon mint két szám hányadosa. Képzeljük el, hogy mi döntünk iskolai feladat az elektromosságon. A feltétel a feszültséget voltban és az ellenállást ohmban adja meg. A kérdés nyilvánvaló, a megoldás egy lépésben van.

Most nézzük meg a szupravezetés definícióját: ez egyes fémek azon tulajdonsága, hogy elektromos ellenállásuk nulla.

Nos, oldjuk meg a szupravezető áramkör problémáját? Csak állítsd be így R= 0 nem fog menni, dobja fel a fizika érdekes feladat, ami nyilvánvalóan mögötte áll tudományos felfedezés. És azok kaptak, akiknek sikerült nullával osztani ebben a helyzetben Nobel-díj. Hasznos, ha képes megkerülni minden tilalmat!

Milyen kérdéseket tesznek fel gyermekeink!... De a „Miért nem lehet nullával osztani?” kérdés? ne kérdezz. Miért? Mert még az iskolában azt mondta a tanár, hogy NEM lehet. Lehetetlen, ez azt jelenti, hogy lehetetlen! Sokkal később, már az intézetekben megtudtuk, hogy még mindig lehet osztani, és az eredmény az lesz - végtelenség. De valljuk be, az elménk ezt a tényt egyfajta feltételezésként, konvencióként fogadta el, gyermekkorunkból emlékszünk - ez lehetetlen. És valójában miért is?

Először is nézzük meg, honnan ered a végtelenség, amelynek fogalmát az egyetem első éveiben bizonyos fokú bizalmatlansággal kezeltük. Minden meglepően egyszerű: ha bármelyik számot elosztod egyre kevesebbel, egyre többet kapsz magasabb értéket. Minél kisebb az osztó, annál nagyobb lesz a hányados. Így jelenik meg a végtelen.

De a fizikusok és a matematikusok nem szeretik a végtelent, mert Hagyományosan elfogadott, hogy nem lehet nullával osztani. Kiderült, hogy az a feltételezés, hogy lehetetlen nullával osztani.

Térjünk rá a matematika alapjaira. Az aritmetikában négy művelet van: összeadás, kivonás, szorzás és osztás. De nincsenek egyenlő jogaik. A matematikusok közülük csak kettőt tekintenek alapműveletnek: az összeadást és a szorzást, a többi fordított cselekvés, a főbbek következményei.

Nézzük a „kivonás” fogalmát. Az „5 - 3 = …” példa megoldásához öt objektumból hármat el kell távolítania, a fennmaradó mennyiség lesz a válasz a példánkra. De mivel a fő művelet az összeadás, változtassuk meg kissé a példánkat úgy, hogy összeadás formájában írjuk: „x + 3 = 5”. Vagyis milyen számhoz kell hozzáadnunk hármat, hogy öt legyen?

Ugyanez a helyzet a felosztással is. A "8: 4 = ..." kifejezés a "4 x = 8" kifejezésből következik. Hányszor kell négyet venni, hogy nyolc legyen?

És itt a válasz! Ha az 5:0 a 0 x = 5 írásának egy változata, akkor kiderül, hogy meg kell találni egy számot, amelyet 0-val megszorozva 5-öt kapunk. Hányszor kell nullát venni, hogy valami többet kapjon, mint semmi?! De ha 0-val szorozzuk, az eredmény mindig 0, ez a tény a nulla definíciójában rejlik! Nem létezik olyan szám, amelyet 0-val megszorozva mást adunk, mint nullát. Kiderült, hogy a problémának nincs megoldása, és az 5:0 kifejezésnek nincs értelme. Az értelmetlen problémák számának csökkentése érdekében úgy döntöttek, hogy lehetetlen nullával osztani.

A legaprólékosabb olvasók minden bizonnyal megkérdezik: De mi van a nulla nullával való osztásával?

Találjuk ki. Kiderül, hogy a 0 x = 0 egyenletnek van megoldása? Vagy végtelen szám megoldások? Az „X” lehet egy, kettő vagy millió. Tehát ha x=0, akkor 0 0 = 0, akkor 0: 0=0? És ha x=1, 0 1 =0, az azt jelenti, hogy 0: 0 = 1?! Vagy 0:0 = 1000000?!

Kiderült, hogy nem találunk megoldást a „0:0” kifejezésre, ami azt jelenti, hogy ennek a kifejezésnek nincs megoldása. Kiderült, hogy a nullát nullával sem lehet osztani.

Ilyen érdekes következtetésekre juthat, ha a jól ismertekre gondol általános osztályok tény: nullával nem lehet osztani.

Érdekelt? Végig olvastad? Ez azt jelenti, hogy a hozzád hasonló emberek miatt jelent meg a következő életanekdota.

- Miért nem lehet nullával osztani? Lehet szorozni, és az is nullának bizonyul.

- Miért nem? Lehetséges, de az ilyen felosztás eredménye a végtelenség

- Miért nem nulla?

- Nos, nézd: 2*0 kettő nullaszor vett, nullává válik. A 2/0 pedig „hányszor fér bele egy nulla kettőbe”, végtelen.

— Ha 2/0=x, akkor 2=x*0, azaz 2=0. És ha 2=0, akkor 2/0=0!

- Nos, hogy ne foglalkozzanak ilyen hülyeségekkel, a matematikusok elfogadtak egy kimondatlan megállapodást: nullával nem lehet osztani!

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete