Mi a természetes logaritmus 6 hatványához A természetes logaritmusok tulajdonságai: gráf, bázis, függvények, határérték, képletek és definíciós tartomány?

gyakran vesz egy számot e = 2,718281828 . Az ezen az alapon alapuló logaritmusokat ún természetes. A természetes logaritmusokkal végzett számítások során gyakori az előjellel történő művelet ln, de nem log; míg a szám 2,718281828 , amelyek meghatározzák az alapot, nincsenek feltüntetve.

Más szavakkal, a megfogalmazás így fog kinézni: természetes logaritmus számok x- ez egy kitevő, amelyre egy számot kell emelni e, Megszerezni x.

Így, ln(7,389...)= 2, mivel e 2 =7,389... . Magának a számnak a természetes logaritmusa e= 1 mert e 1 =e, és az egység természetes logaritmusa egyenlő nullával, mert e 0 = 1.

Maga a szám e meghatározza a monoton korlátos sorozat határát

kiszámolta azt e = 2,7182818284... .

Elég gyakran, hogy egy számot rögzítsenek a memóriában, a kívánt szám számjegyei hozzá vannak rendelve néhányhoz kiemelkedő dátum. Egy szám első kilenc számjegyének memorizálásának sebessége e a tizedesvessző után növekszik, ha észreveszi, hogy 1828 Lev Tolsztoj születési éve!

Ma már van elég teli asztalok természetes logaritmusok.

Menetrend természetes logaritmus (függvények y =ln x) az exponenciális gráf következménye tükörkép viszonylag egyenes y = xés a következő formája van:

A természetes logaritmus minden pozitív valós számra megtalálható a mint a görbe alatti terület y = 1/x tól től 1 előtt a.

Ennek a megfogalmazásnak az elemi jellege, amely összhangban van sok más képlettel, amelyekben a természetes logaritmus szerepel, volt az oka a „természetes” elnevezés kialakulásának.

Ha elemzi természetes logaritmus, egy valós változó valós függvényeként, akkor hat inverz függvény Nak nek exponenciális függvény, ami az identitásokra vezethető vissza:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Az összes logaritmushoz hasonlóan a természetes logaritmus a szorzást összeadássá, az osztást pedig kivonássá alakítja:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

A logaritmus minden olyan pozitív bázisra megtalálható, amely nem egyenlő eggyel, nem csak a e, de a többi bázis logaritmusa csak konstans tényezővel tér el a természetes logaritmustól, és általában a természetes logaritmus alapján határozzák meg.

Miután elemezte természetes logaritmus gráf, azt találjuk, hogy létezik pozitív értékeket változó x. Meghatározási területén monoton módon növekszik.

Nál nél x → 0 a természetes logaritmus határa mínusz végtelen ( -∞ ).Nál nél x → +∞ a természetes logaritmus határa plusz a végtelen ( + ∞ ). Szabadságban x A logaritmus meglehetősen lassan növekszik. Bármilyen teljesítmény funkció xa pozitív kitevővel a gyorsabban növekszik, mint a logaritmus. A természetes logaritmus monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke.

Használat természetes logaritmusok nagyon racionális elhaladáskor felsőbb matematika. Így a logaritmus használata kényelmes az olyan egyenletekre való válasz megtalálásához, amelyekben az ismeretlenek kitevőként jelennek meg. A természetes logaritmusok használata a számításokban nagymértékben egyszerűsítést tesz lehetővé nagyszámú matematikai képletek. Logaritmus az alaphoz e jelentős szám megoldásánál jelen vannak fizikai problémákés természetesen belépnek matematikai leírás egyedi kémiai, biológiai és egyéb folyamatok. Tehát a számításhoz logaritmusokat használnak bomlási állandó ismert felezési időre, vagy a bomlási idők kiszámítására radioaktivitási problémák megoldásában. Benne lépnek fel vezető szerep a matematika számos ágában és gyakorlati tudományok, a pénzügyek területén folyamodnak megoldani nagyszámú feladatokat, beleértve a kamatos kamat számítását is.

A b szám logaritmusa a bázishoz az a kitevő, amelyre az a számot emelni kell, hogy megkapjuk a b számot.

Ha akkor.

Logaritmus - szélsőséges fontos matematikai mennyiség , hiszen a logaritmikus számítás lehetővé teszi nemcsak megoldani exponenciális egyenletek, hanem mutatókkal operál, exponenciális differenciálással és logaritmikus függvények, integrálja őket és hozza őket elfogadhatóbb formába a kiszámításhoz.

Kapcsolatban áll

A logaritmusok minden tulajdonsága közvetlenül kapcsolódik a tulajdonságokhoz exponenciális függvények. Például az a tény, hogy azt jelenti, hogy:

Meg kell jegyezni, hogy a megoldás során konkrét feladatokat, a logaritmusok tulajdonságai fontosabbak és hasznosabbak lehetnek, mint a hatványokkal való munka szabályai.

Mutassunk néhány identitást:

Íme az alapvető algebrai kifejezések:

;

.

Figyelem! csak x>0, x≠1, y>0 esetén létezhet.

Próbáljuk megérteni azt a kérdést, hogy mi a természetes logaritmus. Különös érdeklődés a matematika iránt két típust képviselnek- az első a „10” számmal van az alján, és a neve „ decimális logaritmus" A másodikat természetesnek nevezik. A természetes logaritmus alapja az „e” szám. Ebben a cikkben erről fogunk részletesen beszélni.

Megnevezések:

• lg x - decimális;
• ln x - természetes.

Az azonosságot felhasználva láthatjuk, hogy ln e = 1, valamint azt, hogy lg 10=1.

Természetes logaritmus gráf

Szerkesszük meg a természetes logaritmus gráfját a standard klasszikus módszerrel pontról pontra. Ha szeretné, a függvény vizsgálatával ellenőrizheti, hogy helyesen szerkesztjük-e meg a függvényt. Érdemes azonban megtanulni, hogyan kell „manuálisan” felépíteni, hogy megtudjuk, hogyan kell helyesen kiszámítani a logaritmust.

Függvény: y = ln x. Írjunk fel egy táblázatot azokról a pontokról, amelyeken a grafikon áthalad:

Magyarázzuk meg, miért választottuk az x argumentum ezen értékeit. Minden az identitásról szól: . A természetes logaritmus esetében ez az azonosság így fog kinézni:

A kényelem kedvéért öt referenciapontot vehetünk fel:

;

;

.

;

.

Így a természetes logaritmusok kiszámítása meglehetősen egyszerű feladat, ráadásul leegyszerűsíti a hatványokkal végzett műveletek számítását, átfordítva azokat közönséges szorzás.

Egy gráfot pontról pontra ábrázolva hozzávetőleges grafikont kapunk:

A természetes logaritmus definíciós tartománya (azaz minden érvényes értékek argumentum X) - minden szám nagyobb nullánál.

Figyelem! A természetes logaritmus definíciós tartománya csak pozitív számok! A definíció hatókörébe nem tartozik x=0. Ez a logaritmus létezésének feltételei alapján lehetetlen.

Az értéktartomány (azaz az y = ln x függvény összes érvényes értéke) az intervallumban lévő összes szám.

Természetes log határ

A grafikon tanulmányozása során felmerül a kérdés - hogyan viselkedik a függvény y-nál<0.

Nyilvánvaló, hogy a függvény grafikonja hajlamos keresztezni az y tengelyt, de erre nem lesz képes, mivel x természetes logaritmusa<0 не существует.

Természetes határ logígy írható:

A logaritmus alapjának helyettesítésére szolgáló képlet

A természetes logaritmus kezelése sokkal könnyebb, mint egy tetszőleges bázisú logaritmus. Ezért megpróbáljuk megtanulni, hogyan lehet bármilyen logaritmust természetesre redukálni, vagy természetes logaritmuson keresztül tetszőleges bázisra kifejezni.

Kezdjük a logaritmikus azonossággal:

Ekkor tetszőleges y szám vagy változó a következőképpen ábrázolható:

ahol x tetszőleges szám (a logaritmus tulajdonságainak megfelelően pozitív).

Ez a kifejezés logaritmikusan felvehető mindkét oldalon. Tegyük ezt egy tetszőleges z alap használatával:

Használjuk a tulajdonságot (csak a „c” helyett van a kifejezés):

Innen kapjuk az univerzális képletet:

.

Különösen, ha z=e, akkor:

.

Két természetes logaritmus arányán keresztül tudtunk egy logaritmust egy tetszőleges alapra ábrázolni.

Megoldjuk a problémákat

A természetes logaritmusok jobb megértése érdekében nézzünk meg néhány példát néhány problémára.

1. probléma. Meg kell oldani az ln x = 3 egyenletet.

Megoldás: A logaritmus definícióját használva: ha , akkor , kapjuk:

2. probléma. Oldja meg az (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 egyenletet.

Megoldás: A logaritmus definíciójával: ha , akkor , kapjuk:

.

Használjuk ismét a logaritmus definícióját:

.

És így:

.

A választ hozzávetőlegesen kiszámíthatja, vagy meg is hagyhatja ebben az űrlapban.

3. feladat. Oldja meg az egyenletet.

Megoldás: Végezzünk behelyettesítést: t = ln x. Ekkor az egyenlet a következő formában jelenik meg:

.

Van egy másodfokú egyenletünk. Keressük meg a megkülönböztetőjét:

Az egyenlet első gyöke:

.

Az egyenlet második gyöke:

.

Emlékezzünk arra, hogy végrehajtottuk a t = ln x helyettesítést, a következőt kapjuk:

A statisztikában és a valószínűségszámításban nagyon gyakran előfordulnak logaritmikus mennyiségek. Ez nem meglepő, mert az e szám gyakran az exponenciális mennyiségek növekedési ütemét tükrözi.

A számítástechnikában, a programozásban és a számítástechnikában meglehetősen gyakran találnak logaritmusokat, például azért, hogy N bitet tároljanak a memóriában.

A fraktálok és dimenziók elméletében folyamatosan alkalmazzák a logaritmusokat, mivel a fraktálok méreteit csak az ő segítségükkel határozzák meg.

A mechanikában és a fizikában Nincs olyan szakasz, ahol ne használtak volna logaritmust. A légköri eloszlás, a statisztikai termodinamika összes alapelve, a Ciolkovszkij-egyenlet stb. olyan folyamatok, amelyek matematikailag csak logaritmusokkal írhatók le.

A kémiában a logaritmusokat a Nernst-egyenletekben és a redox folyamatok leírásában használják.

Meglepő módon még a zenében is logaritmusokat használnak az oktáv részeinek számának megállapításához.

Természetes logaritmus Az y=ln x függvény tulajdonságai

A természetes logaritmus fő tulajdonságának bizonyítása

Egyáltalán nem rossz, igaz? Míg a matematikusok szavakat keresnek, hogy hosszú, zavaros meghatározást adjanak, nézzük meg közelebbről ezt az egyszerű és világos definíciót.

Az e szám növekedést jelent

Az e szám folyamatos növekedést jelent. Amint az előző példában láttuk, a példa lehetővé teszi a kamat és az idő összekapcsolását: 3 év 100%-os növekedés mellett megegyezik 1 év 300%-os növekedéssel, "kamatos kamatot" feltételezve.

Bármilyen százalék- és időértéket helyettesíthet (50% 4 évre), de a kényelem kedvéért jobb, ha a százalékot 100% -ra állítja be (2 évre 100%). A 100%-ra lépve kizárólag az időkomponensre koncentrálhatunk:

e x = e százalék * idő = e 1,0 * idő = e idő

Az e x természetesen azt jelenti:

• mennyivel nő a hozzájárulásom x időegység után (100%-os folyamatos növekedést feltételezve).
• például 3 időintervallum után e 3 = 20,08-szor több „dolgot” kapok.

e x egy skálázási tényező, amely megmutatja, hogy x idő alatt milyen szintre fogunk nőni.

A természetes logaritmus időt jelent

A természetes logaritmus az e inverze, az ellentét egy képzeletbeli kifejezése. Apropó furcsaságok; latinul logarithmus naturali-nak nevezik, innen ered az ln rövidítés.

És mit jelent ez az inverzió vagy az ellenkezője?

• Az e x lehetővé teszi számunkra, hogy helyettesítsük az időt és növekedést érjünk el.
• Az ln(x) lehetővé teszi számunkra, hogy figyelembe vegyük a növekedést vagy a bevételt, és megtudjuk, mennyi idő szükséges a generáláshoz.

Például:

• e 3 egyenlő 20,08-cal. Három idő után 20,08-szor több lesz, mint amennyivel kezdtük.
• Az ln(08/20) körülbelül 3 lenne. Ha 20,08-szoros növekedésre vágyik, akkor 3 időszakra lesz szüksége (ismét 100%-os folyamatos növekedést feltételezve).

Olvasol még? A természetes logaritmus a kívánt szint eléréséhez szükséges időt mutatja.

Ez a nem szabványos logaritmikus szám

Végigmentél már logaritmusokon – furcsa lények. Hogyan sikerült a szorzást összeadássá tenni? Mi a helyzet a kivonásra osztással? Nézzük meg.

Mi egyenlő ln(1)? Intuitív módon a kérdés az: mennyi ideig kell várnom, hogy 1x többet kapjak, mint amim van?

Nulla. Nulla. Egyáltalán nem. Egyszer már megvan. Nem tart sokáig az 1. szintről az 1. szintre jutni.

• ln(1) = 0

Oké, mi a helyzet a tört értékkel? Mennyi idő alatt marad a rendelkezésre álló mennyiség 1/2-e? Tudjuk, hogy 100%-os folyamatos növekedés mellett az ln(2) azt az időt jelenti, amely a megduplázódáshoz szükséges. Ha mi tekerjük vissza az időt(vagyis várjunk negatív ideig), akkor a felét megkapjuk annak, amink van.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logikus, nem? Ha visszamegyünk (time back) 0,693 másodpercre, akkor a rendelkezésre álló mennyiség felét találjuk. Általában megfordíthatja a törtet, és negatív értéket vehet fel: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Ez azt jelenti, hogy ha visszamegyünk az időben 1,09-szeresre, akkor a jelenlegi számnak csak a harmadát találjuk meg.

Oké, mi a helyzet egy negatív szám logaritmusával? Mennyi időbe telik egy baktériumkolónia 1-ről -3-ra való „növesztése”?

Ez lehetetlen! Nem lehet negatív baktériumszámot mérni, igaz? Maximum (ö...minimum) nullát kaphat, de semmiképpen nem kaphat negatív számot ezektől a kis lényektől. A negatív baktériumszámnak egyszerűen nincs értelme.

• ln(negatív szám) = meghatározatlan

A „meghatározatlan” azt jelenti, hogy nincs annyi idő, amennyit várni kellene a negatív érték eléréséhez.

A logaritmikus szorzás egyszerűen mulatságos

Mennyi idő alatt nő négyszeresére? Természetesen csak ln-t (4) vehet. De ez túl egyszerű, másfelé fogunk menni.

A négyszeres növekedést úgy képzelheti el, hogy megduplázódik (ln(2) időegységre van szükség), majd ismét megduplázódik (további ln(2) időegységre van szükség):

• Négyszeres növekedési idő = ln(4) = megduplázódási idő, majd ismét duplázni = ln(2) + ln(2)

Érdekes. Bármilyen növekedési ráta, mondjuk a 20, 10-szeres növekedés után rögtön megduplázódásnak tekinthető. Vagy 4-szeresére, majd ötszörösére nő. Vagy háromszoros, majd 6,666-szoros növekedés. Látod a mintát?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Az A és B logaritmusa log(A) + log(B). Ennek a kapcsolatnak azonnal van értelme, ha a növekedés szempontjából nézzük.

Ha érdekli a 30-szoros növekedés, akkor várhat ln(30) egy ülésben, vagy várhat ln(3) a triplázásra, majd egy másik ln(10) 10x. A végeredmény ugyanaz, így természetesen az időnek állandónak kell maradnia (és így is van).

Mi a helyzet a megosztással? Konkrétan az ln(5/3) azt jelenti: mennyi időbe telik, hogy 5-szörösére nőjön, és akkor kapja meg ennek az 1/3-át?

Remek, az 5-szörös növekedés ln(5). Az 1/3-szoros növekedés -ln(3) időegységet vesz igénybe. Így,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ez azt jelenti: hagyd 5-ször nőni, majd „menj vissza az időben” odáig, hogy ennek a mennyiségnek már csak a harmada marad, így 5/3 növekedést kapsz. Általában kiderül

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Remélem, hogy a logaritmusok furcsa aritmetikája kezd érteni számodra: a növekedési ráták szorzása növekedési időegységek hozzáadásával, az osztás pedig az időegységek kivonásával válik. Nem kell memorizálni a szabályokat, próbálja megérteni őket.

A természetes logaritmus használata tetszőleges növekedéshez

Hát persze – mondod –, ez mind jó, ha 100%-os a növekedés, de mi van azzal az 5%-kal, amit kapok?

Nincs mit. Az ln()-vel kiszámított "idő" valójában a kamatláb és az idő kombinációja, ugyanaz az X az e x egyenletből. Most úgy döntöttünk, hogy az egyszerűség kedvéért 100%-ra állítjuk a százalékot, de szabadon használhatunk bármilyen számot.

Tegyük fel, hogy 30-szoros növekedést akarunk elérni: vegyük ln(30)-t és kapjunk 3,4-et. Ez azt jelenti:

• e x = magasság
• e 3,4 = 30

Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlet azt jelenti, hogy "100%-os hozam 3,4 év alatt 30-szoros növekedést eredményez". Ezt az egyenletet a következőképpen írhatjuk fel:

• e x = e sebesség*idő
• e 100% * 3,4 év = 30

Módosíthatjuk a „tét” és az „idő” értékeit, amíg a tét * idő 3,4 marad. Például, ha 30-szoros növekedésben vagyunk érdekeltek, mennyi ideig kell várnunk 5%-os kamat mellett?

• ln(30) = 3,4
• arány * idő = 3,4
• 0,05 * idő = 3,4
• idő = 3,4 / 0,05 = 68 év

Én így érvelek: "ln(30) = 3,4, tehát 100%-os növekedésnél 3,4 év kell. Ha megduplázom a növekedési ütemet, a szükséges idő a felére csökken."

• 100% 3,4 évre = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% 1,7 év alatt = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% 6,8 évre = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% 68 év felett = ,05 * 68 = 3,4.

Remek, igaz? A természetes logaritmus bármilyen kamattal és idővel használható, mert szorzata állandó marad. A változó értékeket tetszés szerint mozgathatja.

Menő példa: A hetvenkettő szabálya

A hetvenkettő szabálya egy matematikai technika, amely lehetővé teszi, hogy megbecsüld, mennyi idő alatt duplázódik meg a pénzed. Most következtetni fogunk rá (igen!), sőt, megpróbáljuk megérteni a lényegét.

Mennyi időbe telik, hogy megduplázza a pénzét éves 100%-os kamattal?

Hoppá. Folyamatos növekedés esetén a természetes logaritmust használtuk, és most éves kompaundálásról beszélünk? Nem válna alkalmatlanná ez a képlet ilyen esetre? Igen, lesz, de az olyan reálkamatoknál, mint az 5%, 6% vagy akár 15%, az éves kamatozás és a folyamatos növekedés közötti különbség kicsi lesz. Tehát a durva becslés működik, hm, nagyjából, tehát úgy teszünk, mintha teljesen folyamatos elhatárolásunk lenne.

A kérdés egyszerű: milyen gyorsan duplázható meg 100%-os növekedéssel? ln(2) = 0,693. 0,693 időegység (esetünkben év) szükséges ahhoz, hogy mennyiségünket folyamatos, 100%-os növekedéssel megduplázzuk.

Tehát mi van akkor, ha a kamatláb nem 100%, hanem mondjuk 5% vagy 10%?

Könnyen! Mivel tét * idő = 0,693, megduplázzuk az összeget:

• arány * idő = 0,693
• idő = 0,693 / tét

Kiderült, hogy ha a növekedés 10%, akkor 0,693 / 0,10 = 6,93 év kell a duplájára.

A számítások leegyszerűsítése érdekében szorozzuk meg mindkét oldalt 100-zal, akkor 0,10 helyett inkább 10-et mondhatunk:

• duplázási idő = 69,3 / tét, ahol a tét százalékban van kifejezve.

Most itt az ideje, hogy megduplázódjon 5%-os kamattal, 69,3 / 5 = 13,86 év. A 69,3 azonban nem a legkényelmesebb osztalék. Válasszunk egy közeli számot, a 72-t, amelyet kényelmesen oszthatunk 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-mal, 8-cal és más számokkal.

• duplázási idő = 72 / fogadás

ami a hetvenkettő szabálya. Minden le van fedve.

Ha időt kell találnia a triplázásra, használhatja az ln(3) ~ 109.8-at, és megkapja

• triplázási idő = 110/tét

Ami egy másik hasznos szabály. A "72-es szabály" vonatkozik a kamatlábak növekedésére, a populáció növekedésére, a baktériumtenyészetekre és mindenre, ami exponenciálisan növekszik.

Mi a következő lépés?

Remélhetőleg a természetes logaritmus most már értelmes az Ön számára – megmutatja, hogy mennyi időbe telik bármely szám exponenciális növekedéséhez. Azt hiszem, természetesnek nevezik, mert az e a növekedés univerzális mértéke, tehát egyetemes módszernek tekinthető annak meghatározására, hogy mennyi ideig tart a növekedés.

Minden alkalommal, amikor az ln(x) látja, emlékezzen "az X-szeres növekedéshez szükséges időre". Egy következő cikkben az e-t és az ln-t együtt írom le, hogy a matematika friss illata töltse be a levegőt.

Kiegészítés: e természetes logaritmusa

Gyors kvíz: mi az ln(e)?

• egy matematikai robot azt mondja: mivel ezek egymás inverzeként vannak definiálva, nyilvánvaló, hogy ln(e) = 1.
• megértő személy: ln(e) az "e"-szeres növekedéshez szükséges alkalom (kb. 2,718). Maga az e szám azonban az 1-szeres növekedés mértéke, tehát ln(e) = 1.

Gondolkodj tisztán.

Tehát kettős hatalmunk van. Ha az alsó sorból veszi ki a számot, könnyen megtalálhatja azt a teljesítményt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapj, kettőt kell emelned a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most - tulajdonképpen a logaritmus meghatározása:

Az x logaritmusának alapja az a hatvány, amelyre a-t fel kell emelni, hogy x-et kapjunk.

Megnevezés: log a x = b, ahol a az alap, x az argumentum, b az, amivel a logaritmus valójában egyenlő.

Például 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Ugyanolyan sikerrel napló 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám egy adott bázishoz való logaritmusának megtalálását logaritmizálásnak nevezzük. Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

Sajnos nem minden logaritmus számítható ki ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a 2 5. naplót. Az 5-ös szám nem szerepel a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol a szakaszon fog feküdni. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok a végtelenségig írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (az alap és az argumentum). Eleinte sokan összekeverik, hol az alap és hol az érv. A bosszantó félreértések elkerülése érdekében csak nézze meg a képet:

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Emlékezik: a logaritmus egy hatvány, amelybe a bázist be kell építeni, hogy argumentumot kapjunk. Ez az alapot, amely hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Már az első órán elmondom a tanítványaimnak ezt a csodálatos szabályt – és nem keletkezik zavar.

Kitaláltuk a definíciót – már csak meg kell tanulnunk számolni a logaritmusokat, pl. megszabadulni a „napló” jelzéstől. Először is megjegyezzük, hogy a meghatározásból két fontos tény következik:

1. Az argumentumnak és az alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez a fok racionális kitevővel történő meghatározásából következik, amelyre a logaritmus definíciója redukálódik.
2. Az alapnak másnak kell lennie, mint az egyiknek, mivel az egyik bármilyen mértékben is az marad. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Az ilyen korlátozásokat hívják elfogadható értékek tartománya(ODZ). Kiderül, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vegye figyelembe, hogy a b számra (a logaritmus értékére) nincs korlátozás. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0.5 = −1, mert 0,5 = 2 -1.

Most azonban csak numerikus kifejezésekkel foglalkozunk, ahol nem szükséges ismerni a logaritmus VA értékét. A problémák szerzői már minden korlátozást figyelembe vettek. De amikor a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek lépnek életbe, a DL követelmények kötelezővé válnak. Hiszen az alap és az érv nagyon erős konstrukciókat tartalmazhat, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most nézzük meg a logaritmusszámítás általános sémáját. Három lépésből áll:

1. Fejezzük ki az a bázist és az x argumentumot olyan hatványként, amelynek minimális lehetséges bázisa nagyobb egynél. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedesjegyektől;
2. Oldja meg a b változó egyenletét: x = a b ;
3. A kapott b szám lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésben látható lesz. Nagyon fontos az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél: ez csökkenti a hiba valószínűségét és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Ugyanez a helyzet a tizedes törtekkel: ha azonnal átalakítja őket közönséges törtekre, sokkal kevesebb hiba lesz.

Nézzük meg, hogyan működik ez a séma konkrét példák segítségével:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Megkaptuk a választ: 2.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. A választ kaptuk: 3.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. A választ kaptuk: 0.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot hét hatványaként: 7 = 7 1 ; A 14 nem ábrázolható hét hatványaként, mivel a 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Az előző bekezdésből az következik, hogy a logaritmus nem számít;
3. A válasz nem változik: napló 7 14.

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet biztos abban, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű – csak vegye figyelembe az elsődleges tényezőkben. Ha a bővítésnek legalább két különböző tényezője van, a szám nem pontos hatvány.

Feladat. Nézze meg, hogy a számok pontos hatványok-e: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - pontos fok, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nem pontos hatvány, mivel két tényező van: 3 és 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - pontos fok;
35 = 7 · 5 - ismét nem pontos hatvány;
14 = 7 · 2 - ismét nem pontos fok;

Vegye figyelembe azt is, hogy maguk a prímszámok mindig önmaguk pontos hatványai.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok olyan gyakoriak, hogy különleges nevük és szimbólumuk van.

Az x decimális logaritmusa a 10-es alapú logaritmus, azaz. Az a hatvány, amelyre a 10-et fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: lg x.

Például log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg egy tankönyvben, mint a „Find lg 0.01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez egy decimális logaritmus. Ha azonban nem ismeri ezt a jelölést, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a decimális logaritmusokra is.

Természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek megvan a maga jelölése. Bizonyos szempontból ez még a decimálisnál is fontosabb. A természetes logaritmusról beszélünk.

Az x természetes logaritmusa az e bázis logaritmusa, azaz. az a hatvány, amelyre az e számot fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: ln x .

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám, pontos értéke nem található meg és nem írható le. Csak az első számokat közlöm:
e = 2,718281828459...

Nem részletezzük, mi ez a szám, és miért van rá szükség. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x

így ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában bármely racionális szám természetes logaritmusa irracionális. Kivéve persze egyet: ln 1 = 0.

A természetes logaritmusokra a közönséges logaritmusokra érvényes összes szabály érvényes.

Ez lehet például egy számológép a Windows operációs rendszer alapprogramjaiból. Az elindítására szolgáló hivatkozás meglehetősen el van rejtve az operációs rendszer főmenüjében - nyissa meg a „Start” gombra kattintva, majd nyissa meg a „Programok” részt, lépjen a „Standard” alszakaszba, majd a „Segédprogramok” elemre. szakaszban, és végül kattintson a „Számológép” elemre. Az egér használata és a menük közötti navigáció helyett használhatja a billentyűzetet és a programindító párbeszédablakot - nyomja meg a WIN + R billentyűkombinációt, írja be a calc parancsot (ez a számológép futtatható fájljának neve), és nyomja meg az Enter billentyűt.

Kapcsolja át a számológép felületét speciális módba, amely lehetővé teszi, hogy... Alapértelmezés szerint „normál” nézetben nyílik meg, de ehhez „mérnöki” vagy „ ” szükséges (a használt operációs rendszer verziójától függően). Bontsa ki a „Nézet” részt a menüben, és válassza ki a megfelelő sort.

Adja meg azt az argumentumot, amelynek természetes értékét ki szeretné értékelni. Ez megtehető a billentyűzetről vagy a képernyőn lévő számológép felület megfelelő gombjaira kattintva.

Kattintson az ln feliratú gombra - a program kiszámítja a logaritmust e bázisra, és megjeleníti az eredményt.

Használja a -kalkulátorok egyikét a természetes logaritmus értékének kiszámítása helyett. Például a címen található http://calc.org.ua. Felülete rendkívül egyszerű - egyetlen beviteli mező van, ahová be kell írni a szám értékét, amelynek logaritmusát ki kell számítani. A gombok között keresse meg az ln feliratot, és kattintson rá. Ennek a számológépnek a szkriptje nem igényel adatküldést a szervernek és válaszadást, így szinte azonnal megkapja a számítási eredményt. Az egyetlen jellemző, amit figyelembe kell venni, hogy a beírt szám tört- és egész része közötti elválasztójelnek pontnak kell lennie, és nem.

A " kifejezés logaritmus A " két görög szóból származik, az egyik jelentése "szám", a másik jelentése "arány". Egy változó mennyiség (kitevő) kiszámításának matematikai műveletét jelöli, amelyre egy állandó értéket (bázist) kell emelni, hogy megkapjuk az előjel alatt jelzett számot. logaritmus A. Ha az alap egyenlő az "e" számnak nevezett matematikai állandóval, akkor logaritmus"természetesnek" nevezik.

Szükséged lesz

• Internet hozzáférés, Microsoft Office Excel vagy számológép.

Utasítás

Használja az interneten elérhető számos számológépet – ez talán egy egyszerű módja a természetes a. Nem kell keresnie a megfelelő szolgáltatást, mivel sok keresőmotor maga is rendelkezik beépített számológépekkel, amelyek megfelelőek logaritmus ami. Például menjen a legnagyobb online kereső - a Google főoldalára. Itt nincs szükség gombokra az értékek megadásához vagy a funkciók kiválasztásához, csak írja be a kívánt matematikai műveletet a lekérdezés beviteli mezőjébe. Mondjuk kiszámolni logaritmusés a 457-es számot az „e” bázisba, írja be az ln 457-et – ez elég lesz ahhoz, hogy a Google nyolc tizedesjegy pontossággal (6,12468339) jelenítse meg a gombot, még akkor is, ha nem nyomja meg a gombot, és kérést küld a szervernek.

Használja a megfelelő beépített függvényt, ha ki kell számítania egy természetes értékét logaritmusés akkor fordul elő, amikor az adatokkal dolgozik a népszerű Microsoft Office Excel táblázatkezelőben. Ezt a függvényt itt a közös jelöléssel hívjuk meg logaritmusés nagybetűvel - LN. Válassza ki azt a cellát, amelyben a számítási eredményt meg kívánja jeleníteni, és írjon be egy egyenlőségjelet - ebben a táblázatszerkesztőben a rekordoknak így kell kezdődniük a főmenü „Minden program” szakaszának „Normál” alszakaszában található cellákban. Az Alt + 2 billentyűkombináció megnyomásával kapcsolja a számológépet funkcionálisabb üzemmódba. Ezután adja meg az értéket, természetes logaritmus amelyet ki szeretne számítani, és kattintson a program felületén az ln szimbólumokkal jelzett gombra. Az alkalmazás elvégzi a számítást és megjeleníti az eredményt.

Videó a témáról