Tetraéder három pontban lévő sík metszete. Szerkesszünk metszetet a tetraédersík MNP.2 módszerrel

Tetraéder és paralelepipedon metszeteinek felépítése. Tartalom: 1. Célok és célkitűzések. 2. Bevezetés. 3. A vágósík fogalma. 4. A szakasz meghatározása. 5. Szakaszépítés szabályai. 6. A tetraéderszelvények típusai. 7. A paralelepipedon metszettípusai. 8. Tetraéder keresztmetszete megalkotásának feladata magyarázattal. 9. Tetraéder keresztmetszete megalkotásának feladata magyarázattal. 10. Tetraéder szakasz megszerkesztésének feladata irányító kérdések segítségével. 11. Második lehetőség az előző probléma megoldására. 12. Paralleepipedon metszetének megszerkesztésének feladata. 13. Paralleepipedon metszetének megszerkesztésének feladata. 14. Kívánság a tanulóknak. Munka célja: Fejlesztés térbeli ábrázolások tanulókban. Célok: A szakaszok építési szabályainak megismertetése. Fejleszteni kell a tetraéder és a paralelepipedon metszeteinek felépítésében a vágási sík meghatározásának különböző eseteiben. Fejleszteni kell a szakaszok felépítésére vonatkozó szabályok alkalmazásának képességét a „Poliéderek” témájú problémák megoldása során. Sok megoldására geometriai problémák metszeteiket különböző síkok segítségével kell megszerkeszteni. A paralelepipedon (tetraéder) vágási síkja bármely olyan sík, amelynek mindkét oldalán egy adott paralelepipedon (tetraéder) pontjai találhatók. L A vágási sík szegmensek mentén metszi a tetraéder (párhuzamos cső) lapjait. L Azt a sokszöget, amelynek oldalai ezek a szakaszok, egy tetraéder (paralleleppiped) szakaszának nevezzük. Metszet készítéséhez meg kell alkotnia a vágási sík metszéspontjait az élekkel, és szegmensekkel kell összekötnie azokat. Ebben az esetben a következőket kell figyelembe venni: 1. Csak két, egy lap síkjában fekvő pontot köthet össze. 2. Egy vágási sík párhuzamos lapokat metsz párhuzamos szakaszok mentén. 3. Ha a homloksíkban csak egy, a metszetsíkhoz tartozó pontot jelölünk ki, akkor egy további pontot kell építeni. Ehhez meg kell találni a már megszerkesztett egyenesek metszéspontjait más, ugyanazon a lapokon fekvő egyenesekkel. Milyen sokszögeket kaphatunk egy szakaszon? Egy tetraédernek 4 lapja van A metszetekben a következőket kaphatja: Háromszögek Négyszögek A paralelepipedonnak 6 lapja van Háromszögek Ötszögek A metszeteiben a következők érhetők el: Négyszögek Hatszögek Szerkesszük meg a DABC tetraéder M,N,K D M AA 1 pontokon átmenő síkját. Húzzon egyenest az M és K pontokon, mert ugyanazon az arcon fekszenek (ADC). N K BB C C 2. Rajzoljunk egyenest a K és N pontokon, mert ugyanazon az arcon fekszenek (CDB). 3. Hasonló érveléssel húzzuk meg az MN egyenest. 4. MNK – kötelező szakasz. Szerkesszük meg a tetraéder E, F, K pontokon átmenő síkszeletét. 1. Rajzoljuk fel KF-et! 2. FE-t végzünk. 3. Folytassa az EF-vel, folytassa az AC-vel. D F 4. EF AC =M 5. Végezze el az MK-t. E M C 6. MK AB=L A L K Szabályok B 7. Rajzolja meg EL EFKL – a szükséges metszetet Szerkessze meg a tetraédernek az E, F, K pontokon átmenő síkú metszetét. Melyik egyenessel egy ponton fekvő pont Melyik kötheti össze a eredő Mely határok hosszabbíthatók meg egyszerre úgy, hogy olyan pontokat kapjunk, amelyek ugyanabban az összeköttetésben vannak? összeköti a kapott további pontot? arcokat, nevezze el a szakaszt. plusz pont? D és E AC ELFK FSEK és K pont, és FK F L C M A E K B Szabályok Második módszer Szerkesszünk meg egy tetraéder metszetét E, F, K pontokon átmenő síkkal. D F L C A E K B Szabályok Első módszer O 1. módszer. 2. számú módszer. Következtetés: az építési módtól függetlenül a szakaszok azonosak. Szerkesszük meg a B1, M, N pontokon átmenő síkú paralelepipedon metszeteit B1 D1 C1 A1 P K B D A E N C O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2. Folytassuk 4. B1O MN, BA 5. B1O ∩ A1A=K 6. KM 7. Folytassa az MN-nel és BD-vel. 8. MN ∩ BD=E 9. B1E 10. B1E ∩ D1D=P, PN Párhuzamos és tetraéder, szakaszok Diktálás a „Tetraéder, paralelcső” témában I. lehetőség II. lehetőség 1. Milyen felületet nevezünk tetraédernek? paralelepipedon? 2. Melyek a paralelepipedon lapjai, élei és csúcsai? tetraéder? 3. Adja meg a paralelepipedon tulajdonságát az átlók körül! a szélekről. Diktálás a „Tetraéder, paralelepipedon” témában I. lehetőség 4. A tetraéder mely éleit nevezzük ellentétesnek? II. lehetőség 4. A paralelepipedon mely lapjait nevezzük szomszédosnak? 5. Rajzolj egy paralelepipedon képét! tetraéder. Sorolja fel az összes elemet, és adja meg mennyiségüket. Szerkesszünk olyan paralelepipedon szakaszt, amelynek síkja átmegy M, A, D pontokon. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, mert (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – szakasz. Tetraéder metszeteinek szerkesztése Oldjuk meg a D M B A C feladatot Oldjuk meg a K M L A N feladatot Oldjuk meg a D AC BD B A M C feladatot Oldjuk meg a D M K ABC B A K N feladatot Milyen más megoldás lehetséges? C Feladat megoldása D M B A K N C feladat megoldása D M ABC K N ACD B N A M C feladat megoldása D M ABC K N ACD N B A M C Házi feladat ismételje meg az 1-14. lépéseket, készüljön fel a 74., 75(b), 107., 79. számú tesztre. B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Feladat megoldása C1 B1 A1 D1 B A C D Feladat megoldása B1 A1 C1 D1 B A C D B1 A1 C1 D1 M B N A C K ​​D Feladat megoldása B1 A1 C1 D1 M ​​B N A probléma megoldása C1 D1 M B N A C K ​​​​D B1 feladat megoldása C1 A1 D1 M B N A C K ​​​​D 1. A metszet minden csúcsa a poliéder élén fekszik. 2. A metszet minden oldala a poliéder lapjain fekszik. 3. Az egyes lapok a szakasznak legfeljebb egy oldalát tartalmazzák. 10 10 10 10 SOKAT TANULT ÉS SOKAT LÁTT! SZÓVAL HAJRJÁK SZÁMOK: LÉGY JÓ ÉS ALKOZZ! KÖSZÖNÖM A FIGYELMÜKET.

Az óra típusa:

Leckét az új anyagok tanulásáról.

Az óra típusa:

lecke az IKT használatával.

Geometria: tankönyv 10-11. / L.S. Atanasyan. – M.: Oktatás, 2010;

Kiosztóanyag: kártyák feladatokkal.

Interaktív tábla;

Laptop;

PowerPointban készült prezentáció;

A Paint programban készült rajzok;

Tetraéder modellek, paralelepipedon, téglalap alakú paralelepipedon, kocka.

Letöltés:

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Klassz munka. Óra témája: Tetraéder metszeteinek szerkesztése. 29.10.

A B C D TETRAHEDRON - DAVS Tetraéder „tetra” - négy, „hedra” - arc.

Az óra célja: Az óra céljai: A tetraéder három síkon átmenő metszeteinek kialakításának képességének fejlesztése. adott pontokat. Oktatási: - ismertesse meg a vágási sík és a tetraéder síkmetszete meghatározását; - algoritmust megfogalmazni egyenes és sík metszéspontjának megalkotására; - algoritmust megfogalmazni egy tetraéder sík keresztmetszetének megszerkesztésére. Fejlesztő: - továbbképzés térbeli képzeletés a matematikai beszéd; - fejleszteni elemző gondolkodás egy egyenes és egy sík metszéspontjának és poliéderszakasznak a megszerkesztésére szolgáló algoritmus kidolgozásakor. Pedagógusok: - fejlesztik a cél érdekében való tudatos munka képességét; - a kommunikációs kultúra előmozdítása.

A sztereometria axiómái és tételei. 1. Ha két párhuzamos síkot egy harmadik metszi, akkor a metszésvonalak párhuzamosak. 2. Egy sík, és csak egy, átmegy egy egyenesen és egy azon nem fekvő ponton. 3. Ha két különböző síkon van közös pont, akkor ezen a ponton áthaladó egyenes mentén metszik egymást. 4. Ha egy egyenes két pontja egy síkban fekszik, akkor az egyenes minden pontja ebben a síkban fekszik. 5. Egy sík két egymást metsző egyenesen halad át, és csak egy. A B C D E

Feladat: Keresse meg az AB egyenes és az M NK sík metszéspontját!

2. Feladat: Építsünk M, N, K pontokon átmenő egyeneseket!

A B C D M N K szakasz

A B C D M N K α

A B C D M N K A nyomvonal a metszéssík és a poliéder bármely lapjának síkjának metszésvonala. MK – az MNK gép nyoma ABC repülőgép MN - … NK - …

Milyen sokszögeket kaphatunk egy szakaszon? A tetraédernek 4 lapja van

Szerkesszük meg a tetraédernek E, F, K pontokon átmenő síkszeletét! E F K L A B C D M 1. Hajtsa végre a K F . 2. FE-t végzünk. 3. Folytassa az EF-vel, folytassa az AC-vel. 5. MK-t végzünk. 7. Elvégezzük az EL EFKL-t – a szükséges szakasz 6. szabály. MK AB=L 4. EF AC = M

Ebben az esetben a következőket kell figyelembe venni: 1. Csak két, egy lap síkjában fekvő pontot köthet össze. Metszet készítéséhez meg kell alkotnia a vágási sík metszéspontjait az élekkel, és szegmensekkel kell összekötnie azokat. 2. Ha a homloksíkban csak egy, a metszetsíkhoz tartozó pontot jelölünk ki, akkor egy további pontot kell építeni. Ehhez meg kell találni a már megszerkesztett egyenesek metszéspontjait más, ugyanazon a lapokon fekvő egyenesekkel.

Szerkesszük meg a tetraédernek E, F, K pontokon átmenő síkú szakaszát. 1 út 2 út

Következtetés: az építési módtól függetlenül a szakaszok azonosak. 1. számú módszer. 2. számú módszer.

Ellenőrizze, hogy a szakasz megfelelően van-e megépítve. Magyarázza meg a hibát.

A B C D N K M X P T Próbálja ki magát.

Az M pont belső pont a DABC tetraéder BC D felé néz. Szerkesszük meg ennek a tetraédernek az AB D síkkal párhuzamos, M ponton átmenő síkját. C D A B M K L N

Feladat Szerkesszük meg az ABCD tetraéder R ponton áthaladó szakaszát párhuzamosan a BCD lappal. 2. Szerkesszük meg az ABCD tetraéder S ponton átmenő szakaszát az ABC lappal párhuzamosan. 3. Szerkesszük meg az ABCD tetraéder T ponton átmenő szakaszát az ACD lappal párhuzamosan. 4. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek az M ponton átmenő, a BC D lappal párhuzamos síkját.

A D B C  S 2 . A D B C  R 1 . A D B C T  3 . 4.

Házi feladat Tanulmány 14. bekezdés 2. 73. szám (29. o.) 3. Kreatív feladat(nem kötelező): készíts egy tetraéder papírmodelljét.

Előnézet:

MBOU "Kimovskaya középiskola"

Szpasszkij önkormányzati kerület

Tatár Köztársaság"

Az óra témája:

„Tetraéder szakaszok építése”

10. évfolyam

Fejlett

Mamonova Evgenia Gennadievna,

I. minősítési kategóriájú matematikatanár

2013. október

Oktatási célok:

• a tanóra során biztosítsa a tetraéder szakaszok megalkotásával kapcsolatos feladatok megoldási algoritmusának elsajátítását.
• biztosítsa a tetraéder fogalmak asszimilációját, rendszerezze a sztereometria axiómáival kapcsolatos ismereteket, definíciókat, tulajdonságokat, fogalmakat relatív helyzete pontok, vonalak és síkok a térben.
• a szóban forgó tárgyak síkbeli ábrázolásának és a javasolt képek „olvasásának” készségeinek fejlesztése, grafikai műveltség;
• az összehasonlítás, az általánosítás és a következtetés technikáinak használatának képességének fejlesztése.

Fejlesztési feladatok:

• a sztereometriában megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazásának képességének fejlesztése,
• az ismeretek elemzésének és általánosításának képességének fejlesztése a tetraéder metszeteinek felépítése során felmerülő problémák megoldása során.
• teljesíteni tudjanak különféle számítások a keresztmetszeti terület meghatározásával kapcsolatos.

Oktatási feladatok:

• tudatos tudásigény előmozdítása,
• javulás tudományos készségekés készségek
• felnevel kognitív érdeklődés térbeli képzelet elsajátítása és a környező világ szépségének meglátása révén a témához.

Az óra típusa:

Leckét az új anyagok tanulásáról.

Az óra típusa:

lecke az IKT használatával.

Oktatási módszerek:

Beszélgetés;

Frontális felmérés;

Szemléltető és vizuális;

Gyakorlati;

Összehasonlítás módszere, általánosítás.

Oktatási és módszertani eszközök:

Geometria: tankönyv 10-11. / L.S. Atanasyan. – M.: Oktatás, 2010;

Kiosztóanyag: kártyák feladatokkal.

Anyagi és technikai felszereltség:

Interaktív tábla;

Laptop;

PowerPointban készült prezentáció;

A Paint programban készült rajzok;

Tetraéder, paralelcső, téglatest, kocka modelljei.

Az óra felépítése:

1. Org. pillanat (1 perc).
2. Korábban megszerzett ismeretek frissítése (3 perc).
3. Felkészülés az új anyag érzékelésére (3 perc).
4. Teremtés problémás helyzet(3 perc).
5. Magyarázatúj anyag (10 perc).
6. A vizsgált anyag összevonása (5 perc).
7. Önálló munkavégzés ezt követi az ellenőrzés (3 perc).
8. Workshop (5 perc).
9. A probléma megoldása (8 perc)
10. Ez érdekes (1 perc).
11. Színreállítás házi feladat(1 perc).
12. Az óra összegzése, elmélkedés (2 perc).

Az óra előrehaladása:

megtanulják alkalmazni a sztereometria axiómáit a feladatok megoldása során;

megtanulják megtalálni a vágási sík metszéspontjainak helyzetét a tetraéder éleivel;

elsajátítani ezeket a szakaszokat

forma kognitív tevékenység, logikus gondolkodás képessége;

megteremteni a tudás és a készségek elsajátításának önkontrollának feltételeit.

Az óra típusa: Új ismeretek formálása.

Az óra előrehaladása

ÉN. Szervezési pillanat

II. A tanulók tudásának frissítése

Frontális felmérés. (Sztereometria axiómái, párhuzamos síkok tulajdonságai)

Tanár szava

A tetraéderrel kapcsolatos számos geometriai probléma megoldásához hasznos, ha meg tudjuk őket rajzolniszakaszok különböző síkok. (3. dia). Hívjukvágósík tetraéder bármely olyan sík, amelynek mindkét oldalán az adott tetraéder pontjai vannak. A vágási sík szegmensek mentén metszi a tetraéder lapjait. Olyan sokszöget nevezünk, amelynek oldalai ezek a szakaszoktetraéder keresztmetszete . Mivel a tetraédernek négy lapja van, szakaszai csak háromszögek és négyszögek lehetnek. Vegye figyelembe azt is, hogy egy metszet elkészítéséhez elegendő a vágási sík és a tetraéder éleinek metszéspontjait megszerkeszteni, majd meg kell rajzolni az ugyanazon az oldalon fekvő két szerkesztett pontot összekötő szakaszokat.

Ebben a leckében részletesen tanulmányozhatja a tetraéder metszeteit, és elsajátíthatja ezen szakaszok felépítésének módszereit. Megtanulhat öt szabályt a poliéder szakaszok megszerkesztésére, megtanulhatja, hogyan találja meg a vágási sík és a tetraéder élei metszéspontjainak helyzetét.

Frissítés alapfogalmak

Első szabály. Ha két pont a poliéder vágási síkjához és valamely lapjának síkjához is tartozik, akkor az ezen a két ponton áthaladó egyenes a vágási sík metszésvonala ennek a lapnak a síkjával (az axióma következménye a síkok metszéspontja).

Második szabály . Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkkal, akkor ez a két sík párhuzamos vonalak mentén metszi egymást bármely lappal (két párhuzamos sík tulajdonsága, amelyeket egy harmadik metsz).

Harmadik szabály. Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkban fekvő egyenessel (például egy lap síkjával), akkor a vágási sík metszésvonala ezzel a síkkal (lappal) párhuzamos ezzel az egyenessel (egy egyenes tulajdonsága). vonal, párhuzamos a síkkal).

Negyedik szabály. Egy vágósík párhuzamos lapokat párhuzamos egyenesek mentén metszi (a harmaddal metszett párhuzamos síkok tulajdonsága).

Ötödik szabály . Legyen két A és B pont a vágási síkhoz tartozik, az A pont 1 és B 1 ezek a pontok párhuzamos vetületei valamilyen lapra. Ha az AB és A egyenesek 1 B 1 párhuzamosak, akkor a vágási sík ezt az oldalt A-val párhuzamos egyenes mentén metszi 1 B 1 . Ha az AB és A egyenesek 1 B 1 metszi egymást egy bizonyos pontban, akkor ez a pont a vágási síkhoz és ennek a lapnak a síkjához is tartozik (ennek a tételnek az első része a síkkal párhuzamos egyenes tulajdonságából következik, a második pedig további tulajdonságok párhuzamos vetítés).

III. Új anyagok elsajátítása (ismeretek, készségek formálása)

Kollektív problémamegoldás magyarázattal (4. dia)

1. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraéder egy szakaszát a K є AD, M є DS, E є BC pontokon átmenő síkkal.

Nézzük meg figyelmesen a rajzot. Mivel a K és M pont ugyanahhoz a síkhoz tartozik, ezért megtaláljuk a vágási sík metszéspontját az ADS lappal - ez a KM szakasz. Az M és E pontok is ugyanabban a síkban helyezkednek el, ami azt jelenti, hogy a vágósík és a VDS lapjának metszéspontja az ME szakasz. Megtaláljuk a KM és AC egyenesek metszéspontját, amelyek ugyanabban a síkban vannak ADS. Most az X pont az ABC lapban fekszik, majd összeköthető az E ponttal. Rajzolunk egy XE egyenest, amely a P pontban metszi az AB-t. A PE szakasz a vágási sík metszéspontja az ABC lappal, és a A KP szegmens a vágási sík metszéspontja az ABC felülettel. Ezért a KMER négyszög a kívánt szakaszunk. Jegyezze fel a megoldást a füzetébe:

Megoldás.

KM = α ∩ ADS

ME = α ∩ VDS

X = KM ∩ AC

P = XE ∩ AB

PE = α ∩ ABC

KR = α ∩ ADV

KMER – szükséges keresztmetszet

2. feladat. (5. dia)

Szerkesszük meg a DABC tetraéder egy szakaszát egy olyan síkkal, amely átmegy a K = ABC, M = VDS, N = AD pontokon

Tekintsük néhány két pont vetületét. Egy tetraéderben a pontok vetületei a csúcstól az alapsíkig találhatók, azaz. M→M 1 , N→A. Az NM és AM egyenesek metszéspontjának megtalálása 1 X pont. Ez a pont a vágási síkhoz tartozik, mivel az NM egyenesen fekszik, az ABC síkhoz tartozik, mivel az AM egyenesen fekszik 1 . Ez azt jelenti, hogy most az ABC síkban van két összekapcsolható pontunk, megkapjuk a KX egyenest. Az egyenes metszi a BC oldalt az L pontban, és az AB oldalt a H pontban. Az ABC oldalon találjuk a metszésvonalat, amely áthalad a H és K pontokon - ez NL. Az ABP lapon a metszésvonal НN, a VDS lapon az L és M pontokon keresztül húzzuk a metszésvonalat - ez LQ, az ADS lapon pedig az NQ szakaszt kapjuk. A HNQL négyszög a szükséges szakasz.

Megoldás

M → M 1 N → A

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ BC

H = KX ∩ AB

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ VDS, М є LQ

NQ = α ∩ ADS

HNQL – kötelező szakasz

IV. A tudás megszilárdítása

A probléma megoldása utólagos ellenőrzéssel

3. feladat. (6. dia)

Szerkesszük meg a DAWS tetraéder egy szakaszát a K є BC, M є ADV, N є VDS pontokon átmenő síkkal.

Megoldás

1. M → M 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 M 1

R = KX ∩ AB

RL = α ∩ АВД, М є RL

KR = α ∩ VDS, N є KR

LP = α ∩ ADS

RLPK – kötelező szakasz

V. Önálló munkavégzés (lehetőségek szerint)

(7. dia)

4. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek az M = AB, N = AC, K = AD pontokon átmenő síkját.

Megoldás

KM = α ∩ AVD,

МN = α ∩ АВС,

KN = α ∩ ADS

KMN – kötelező szakasz

5. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek az M = AB, K = DS, N = DV pontokon átmenő síkját.

Megoldás

MN = α ∩ AVD

NK = α ∩ VDS

X = NK ∩ BC

P = AC ∩ MX

RK = α ∩ ADS

MNKP – kötelező szakasz

6. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraéder metszetét egy olyan síkkal, amely átmegy az M = ABC, K = VD, N = DS pontokon

Megoldás

KN = α ∩ ICE

Х = КN ∩ ВС

T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC

RT = α ∩ ABC, M є RT

PN = α ∩ ADS

TP N K – kötelező szakasz

VI. Óra összefoglalója.

(8. dia)

Tehát ma megtanultuk, hogyan kell megszerkeszteni a legegyszerűbb feladatokat tetraédermetszeteken. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a poliéder szakasza egy poliéder és egy bizonyos sík metszéspontja eredményeként kapott sokszög. Magát a síkot vágósíknak nevezzük. A metszet megalkotása azt jelenti, hogy meg kell határozni, hogy a vágási sík mely élei metszik egymást, a keletkező szakasz típusát, valamint a vágási sík és az élekkel való metszéspontok pontos helyzetét. Vagyis a leckében kitűzött célok megvalósultak.

VII. Házi feladat.

(9. dia)

Gyakorlati munka"Tetraéder szakaszainak megépítése" in elektronikus formában vagy papír változatban. (Mindegyik egyéni feladatot kapott

Ma újra megnézzük, hogyan megszerkeszteni egy tetraéder metszetét síkkal.
Nézzük a legegyszerűbb esetet ( kötelező szint), amikor a vágási sík 2 pontja az egyik laphoz, a harmadik pont pedig egy másik laphoz tartozik.

Hadd emlékeztessük algoritmus szakaszok felépítéséhez ilyen típusú (eset: 2 pont ugyanahhoz az archoz tartozik).

1. Olyan arcot keresünk, amely a metszősík 2 pontját tartalmazza. Húzzon egyenes vonalat két, ugyanazon az arcon fekvő ponton. Megtaláljuk a metszéspontjait a tetraéder éleivel. Az egyenes vonalnak az arcon végződő része a szakasz oldala.

2. Ha a sokszög lezárható, akkor a szakasz megépült. Ha nem zárható, akkor megkeressük a megszerkesztett egyenes és a harmadik pontot tartalmazó sík metszéspontját.

1. Látjuk, hogy az E és F pont ugyanazon a lapon (BCD) fekszenek, húzunk egy EF egyenest a síkban (BCD).
2. Találjunk egy pontot az EF egyenes metszéspontja a BD tetraéder élével, ez a H pont.
3. Most meg kell találni az EF egyenes és a harmadik G pontot tartalmazó sík metszéspontját, azaz. sík (ADC).
A CD egyenes az (ADC) és (BDC) síkban fekszik, ami azt jelenti, hogy metszi az EF egyenest, a K pont pedig az EF egyenes és a sík (ADC) metszéspontja.
4. Ezután találunk még két pontot, amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el. Ezek a G és K pontok, mindkettő a bal oldallap síkjában található. Rajzolunk egy GK egyenest, és megjelöljük azokat a pontokat, ahol ez az egyenes metszi a tetraéder éleit. Ezek az M és L pontok.
4. Marad a szakasz „bezárása”, azaz az ugyanazon az arcon fekvő pontok összekapcsolása. Ezek M és H pontok, valamint L és F. Mindkét szakasz láthatatlan, szaggatott vonallal rajzoljuk meg.

A keresztmetszet négyszögletes MHFL-nek bizonyult. Minden csúcsa a tetraéder szélein fekszik. Válasszuk ki az eredményül kapott részt.

Most fogalmazzuk meg a helyesen megszerkesztett szakasz "tulajdonságai":

1. Egy metszetnek számító sokszög minden csúcsa egy tetraéder (parallelelepiped, poligon) élén fekszik.

2. A metszet minden oldala a poliéder lapjain fekszik.
3. Egy sokszög minden lapja legfeljebb egy (egy vagy egy sem!) oldalt tartalmazhat a szakasznak

• megtanulják alkalmazni a sztereometria axiómáit a feladatok megoldása során;
• megtanulják megtalálni a vágási sík metszéspontjainak helyzetét a tetraéder éleivel;
• elsajátítani ezeket a szakaszokat
• a kognitív tevékenység kialakítása, a logikus gondolkodás képessége;
• megteremteni a tudás és a készségek elsajátításának önkontrollának feltételeit.

Az óra típusa:Új ismeretek formálása.

Az óra előrehaladása

I. Szervezési mozzanat

II. A tanulók tudásának frissítése

Frontális felmérés. (Sztereometria axiómái, párhuzamos síkok tulajdonságai)

Tanár szava

A tetraéderrel kapcsolatos számos geometriai probléma megoldásához hasznos, ha meg tudjuk őket rajzolni szakaszok különböző síkok. ( 3. dia). Hívjuk vágósík tetraéder bármely olyan sík, amelynek mindkét oldalán az adott tetraéder pontjai vannak. A vágási sík szegmensek mentén metszi a tetraéder lapjait. Olyan sokszöget nevezünk, amelynek oldalai ezek a szakaszok tetraéder keresztmetszete. Mivel a tetraédernek négy lapja van, szakaszai csak háromszögek és négyszögek lehetnek. Vegye figyelembe azt is, hogy egy metszet elkészítéséhez elegendő a vágási sík és a tetraéder éleinek metszéspontjait megszerkeszteni, majd meg kell rajzolni az ugyanazon az oldalon fekvő két szerkesztett pontot összekötő szakaszokat.

Ebben a leckében részletesen tanulmányozhatja a tetraéder metszeteit, és elsajátíthatja ezen szakaszok felépítésének módszereit. Megtanulhat öt szabályt a poliéder szakaszok megszerkesztésére, megtanulhatja, hogyan találja meg a vágási sík és a tetraéder élei metszéspontjainak helyzetét.

Támogató koncepciók aktualizálása

• Első szabály. Ha két pont a poliéder vágási síkjához és valamely lapjának síkjához is tartozik, akkor az ezen a két ponton áthaladó egyenes a vágási sík metszésvonala ennek a lapnak a síkjával (az axióma következménye a síkok metszéspontja).
• Második szabály. Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkkal, akkor ez a két sík párhuzamos vonalak mentén metszi egymást bármely lappal (két párhuzamos sík tulajdonsága, amelyeket egy harmadik metsz).
• Harmadik szabály. Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkban fekvő egyenessel (például valamelyik lap síkjával), akkor a vágási sík metszésvonala ezzel a síkkal (lappal) párhuzamos ezzel az egyenessel (egy a síkkal párhuzamos egyenes).
• Negyedik szabály. Egy vágósík párhuzamos lapokat párhuzamos egyenesek mentén metszi (a harmaddal metszett párhuzamos síkok tulajdonsága).
• Ötödik szabály. Legyen két A és B pont a vágási síkhoz tartozik, és az A 1 és B 1 pontok párhuzamos vetületei egy bizonyos lapra. Ha az AB és A 1 B 1 egyenesek párhuzamosak, akkor a vágási sík ezt az oldalt egy A 1 B 1-gyel párhuzamos egyenes mentén metszi. Ha az AB és A 1 B 1 egyenesek egy ponton metszik egymást, akkor ez a pont a vágási síkhoz és ennek a lapnak a síkjához is tartozik (a tétel első része a síkkal párhuzamos egyenes tulajdonságából következik, és a második párhuzamos vetület további tulajdonságaiból következik).

III. Új anyagok elsajátítása (ismeretek, készségek formálása)

Kollektív problémamegoldás magyarázattal(4. dia)

1. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek a K є AD pontokon átmenő síkját,M = DS, E = BC.

Nézzük meg figyelmesen a rajzot. Mivel a K és M pont ugyanahhoz a síkhoz tartozik, ezért megtaláljuk a vágási sík metszéspontját az ADS lappal - ez a KM szakasz. Az M és E pontok is ugyanabban a síkban helyezkednek el, ami azt jelenti, hogy a vágósík és a VDS lapjának metszéspontja az ME szakasz. Megtaláljuk a KM és AC egyenesek metszéspontját, amelyek ugyanabban a síkban vannak ADS. Most az X pont az ABC lapban fekszik, majd összeköthető az E ponttal. Rajzolunk egy XE egyenest, amely a P pontban metszi az AB-t. A PE szakasz a vágási sík metszéspontja az ABC lappal, és a A KP szegmens a vágási sík metszéspontja az ABC felülettel. Ezért a KMER négyszög a kívánt szakaszunk. Jegyezze fel a megoldást a füzetébe:

Megoldás.

1. KM = α ∩ ADS
2. ME = α ∩ VDS
3. X = KM ∩ AC
4. P = XE ∩ AB
5. PE = α ∩ ABC
6. KR = α ∩ ADV
7. KMER – szükséges keresztmetszet

2. feladat.(5. dia)

Szerkesszük meg a DABC tetraéder egy szakaszát egy olyan síkkal, amely átmegy a K = ABC, M = VDS, N = AD pontokon

Elemezzük ezt a rajzot. Nincsenek pontok ugyanazon az arcon. Ebben az esetben az 5. szabályt használjuk. Tekintsük néhány két pont vetületét. Egy tetraéderben a pontok vetületei a csúcstól az alapsíkig találhatók, azaz. M→M1, N→A. Megtaláljuk az NM és AM 1 egyenesek metszéspontját az X pontban. Ez a pont a vágási síkhoz tartozik, mivel az NM egyenesen fekszik, és az ABC síkhoz tartozik, mivel az AM 1 egyenesen fekszik. Ez azt jelenti, hogy most az ABC síkban van két összekapcsolható pontunk, megkapjuk a KX egyenest. Az egyenes metszi a BC oldalt az L pontban, és az AB oldalt a H pontban. Az ABC oldalon találjuk a metszésvonalat, amely áthalad a H és K pontokon - ez NL. Az ABP lapon a metszésvonal НN, a VDS lapon az L és M pontokon keresztül húzzuk a metszésvonalat - ez LQ, az ADS lapon pedig az NQ szakaszt kapjuk. A HNQL négyszög a szükséges szakasz.

Megoldás

1. M → M 1 N → A
2. X = NM ∩ AM 1
3. L = KX ∩ BC
4. H = KX ∩ AB
5. НL = α ∩ АВС, К є НL
6. НN = α ∩ АВД,
7. LQ = α ∩ VDS, М є LQ
8. NQ = α ∩ ADS
9. HNQL – kötelező szakasz

IV. A tudás megszilárdítása

Munka a „Tetraéder metszetének felépítése síkkal” animációs objektummal (lemez „Geometria órák a 10. osztályban”, 16. lecke)

A probléma megoldása utólagos ellenőrzéssel

3. feladat. (6. dia)

Szerkesszük meg a DAWS tetraéder egy szakaszát a K є BC, M є ADV, N є VDS pontokon átmenő síkkal.

Megoldás

1. 1. M → M 1, N → N 1
2. Х = NM ∩ N 1 М 1
3. R = KX ∩ AB
4. RL = α ∩ АВД, М є RL
5. KR = α ∩ VDS, N є KR
6. LP = α ∩ ADS
7. RLPK – kötelező szakasz

V.Önálló munkavégzés (lehetőség szerint)

(7. dia)

4. feladat.N = AC, K = AD.

Megoldás

1. KM = α ∩ AVD,
2. МN = α ∩ АВС,
3. KN = α ∩ ADS
4. KMN – kötelező szakasz

5. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraéder metszetét az M є AB pontokon átmenő síkkal,K є DS, N є DV.

Megoldás

1. MN = α ∩ AVD
2. NK = α ∩ VDS
3. X = NK ∩ BC
4. P = AC ∩ MX
5. RK = α ∩ ADS
6. MNKP – kötelező szakasz

6. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraéder metszetét egy olyan síkkal, amely átmegy az M = ABC, K = VD, N = DS pontokon

Megoldás

1. KN = α ∩ ICE
2. Х = КN ∩ ВС
3. T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC
4. RT = α ∩ ABC, M є RT
5. PN = α ∩ ADS
6. TP N K – kötelező szakasz

VI. Óra összefoglalója.

(8. dia)

Tehát ma megtanultuk, hogyan kell megszerkeszteni a legegyszerűbb feladatokat tetraédermetszeteken. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a poliéder szakasza egy poliéder és egy bizonyos sík metszéspontja eredményeként kapott sokszög. Magát a síkot vágósíknak nevezzük. A metszet megalkotása azt jelenti, hogy meg kell határozni, hogy a vágási sík mely élei metszik egymást, a keletkező szakasz típusát, valamint a vágási sík és az élekkel való metszéspontok pontos helyzetét. Vagyis a leckében kitűzött célok megvalósultak.

VII. Házi feladat.

(9. dia)

Gyakorlati munka „Tetraéder metszeteinek megalkotása” elektronikus vagy papíralapú változatban. (Mindegyik egyéni feladatot kapott).