Mi az arktangens 1. Az arcszinusz, arkkoszinusz, arctangens és arkkotangens értékeinek megkeresése

Meg van adva az arctangens és az arkkotangens összes tulajdonsága, grafikonjaik, képleteik, az arctangensek és az arkkotangensek táblázata. Kifejezések keresztül komplex számok, hiperbolikus függvények. Származékok, integrálok, kiterjesztések hatványsorokban.

Arctangens, arctg

Arktangens (y = arctan x) az érintő inverz függvénye (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctan(tg x) = x

Az arctangens jelölése a következő:
.

Az arctangens függvény grafikonja

Az y = függvény grafikonja arctan x

Az arktangens gráfot az érintőgráfból kapjuk, ha az abszcissza és az ordináta tengely felcserélődik. A kétértelműség kiküszöbölése érdekében az értékkészlet arra az intervallumra korlátozódik, amelyen keresztül a funkció monoton. Ezt a meghatározást az arctangens főértékének nevezzük.

Arccotangens, arcctg

Ívtangens (y = arcctg x) a kotangens inverz függvénye (x = ctg y). Meghatározási tartománya és jelentéskészlete van.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Az arccotangens jelölése a következő:
.

Az inverz érintőfüggvény grafikonja

Az y = függvény grafikonja arcctg x

Az ív kotangens gráfot a kotangens gráfból kapjuk, ha az abszcissza és az ordináta tengely felcserélődik. A kétértelműség kiküszöbölése érdekében az értékek tartománya arra az intervallumra korlátozódik, amelyen keresztül a funkció monoton. Ezt a meghatározást az ívkotangens főértékének nevezzük.

Paritás

Az arctangens függvény páratlan:
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x

Az inverz érintőfüggvény nem páros vagy páratlan:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Tulajdonságok - extrém, növekedés, csökkenés

Az arctangens és az arckotangens függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x-re. (lásd a folytonossági bizonyítást). Alaptulajdonságok

	arctangens és arckotangens a táblázatban láthatók. arctan x	arctangens és arckotangens a táblázatban láthatók. arcctg x
y=	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Hatály és folytonosság
Többféle jelentés	Növekvő csökkenő	monoton növekszik
monoton csökken	Magasságok, mélypontok	Magasságok, mélypontok
Nem 0	Nullák, y = 0	Magasságok, mélypontok
x = 0	arctangens és arckotangens a táblázatban láthatók. 0	Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 2
	-	π
		0

y = π/

Arktangensek és arctangensek táblázata

Ez a táblázat bemutatja az arktangensek és az arccotangensek értékeit fokokban és radiánokban az argumentum bizonyos értékeihez.	arctan x		arcctg x
	x	jégeső	x	jégeső
- ∞	boldog.	-	-90°	π
-	180°	-	-60°
- 1	150°	-	-45°
-	135°	-	-30°
0	0°	0	120°
	90°		30°
1	60°		60°
	30°		90°
+ ∞	120°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

45°

Képletek

Összeg és különbség képletek

Összeg és különbség képletek

nál nél

nál nél

Kifejezések logaritmussal, komplex számokkal

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

Lásd: Arktangens és arckotangens deriváltok származtatása > > >

Magasabb rendű származékok:
Hadd . Ekkor az arctangens n-edrendű deriváltja a következő módok egyikével ábrázolható:
;
.
A szimbólum a képzeletbeli részt jelenti mellette állva kifejezéseket.

Lásd: Arktangens és arckotangens magasabb rendű deriváltjainak származtatása > > >
Az első öt megbízás deriváltjainak képletei is ott vannak megadva.

Ugyanígy az ív érintő esetében is. Hadd . Akkor
;
.

Integrálok

Megtesszük az x = helyettesítést tg tés integrálja részenként:
;
;
;

Fejezzük ki az arc tangenst az arc érintőn keresztül:
.

Teljesítménysorozat bővítése

Amikor |x| ≤ 1 a következő bomlás megy végbe:
;
.

Inverz függvények

Az arctangens és az arckotangens inverze a tangens, illetve a kotangens.

A következő képletek a teljes definíciós tartományban érvényesek:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

A következő képletek csak az arctangens és az arccotangens értékek halmazára érvényesek:
arctan(tg x) = x nál nél
arcctg(ctg x) = x nál nél .

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens?

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

A fogalmakhoz arcszinusz, arccosinus, arctangens, arccotangens A diákság óvatos. Nem érti ezeket a kifejezéseket, és ezért nem bízik ebben a kedves családban.) De hiába. Ez nagyon egyszerű fogalmak. Amik mellesleg óriásit könnyítenek az életen. hozzáértő ember trigonometrikus egyenletek megoldásánál!

Kétségei vannak az egyszerűséggel kapcsolatban? Hiába.) Itt és most ezt fogod látni.

Természetesen a megértés érdekében jó lenne tudni, hogy mi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Igen, a táblázatos értékeik bizonyos szögeknél... Legalábbis a legtöbbben általános vázlat. Akkor itt sem lesz gond.

Szóval meglepődünk, de ne feledjük: arcszinusz, arccosine, arctangens és arccotangens csak néhány szög. Se több se kevesebb. Van egy szög, mondjuk 30°. És van egy sarok arcsin0.4. Vagy arctg(-1.3). Mindenféle szög létezik.) Egyszerűen felírhatod a szögeket különböző utak. A szöget felírhatja fokban vagy radiánban. Vagy megteheti - szinuszán, koszinuszán, érintőjén és kotangensén keresztül...

Mit jelent a kifejezés

arcsin 0,4?

Ez egy szög, amelynek szinusza 0,4! Igen igen. Ez az arcszinusz jelentése. Konkrétan megismétlem: az arcsin 0,4 olyan szög, amelynek szinusza 0,4.

Ez minden.

Úgy hogy ez egyszerű gondolat sokáig a fejemben maradt, még le is írom ezt a szörnyű kifejezést - arcsine:

ív bűn 0,4
sarok, melynek szinusza egyenlő 0,4

Ahogy meg van írva, úgy hallatszik.) Majdnem. Konzol ív eszközök ív(szó boltív tudod?), mert az ókori emberek íveket használtak szögek helyett, de ez nem változtat a dolog lényegén. Emlékezzen erre az elemi dekódolásra matematikai kifejezés! Ráadásul az arccosine, arctangens és arccotangens esetében a dekódolás csak a függvény nevében tér el.

Mi az az arccos 0.8?
Ez egy szög, amelynek koszinusza 0,8.

Mi az arctg(-1,3)?
Ez egy szög, amelynek érintője -1,3.

Mi az arcctg 12?
Ez egy szög, amelynek kotangense 12.

Egy ilyen elemi dekódolás egyébként lehetővé teszi az epikus baklövések elkerülését.) Például az arccos1,8 kifejezés elég szilárdnak tűnik. Kezdjük a dekódolást: Az arccos1.8 egy olyan szög, amelynek koszinusza 1,8... Ugrás-ugrás!? 1.8!? Nincs koszinusz több mint egy!!!

Jobb. Az arccos1,8 kifejezésnek nincs értelme. És ha egy ilyen kifejezést valamilyen válaszba ír, az nagyon szórakoztatja az ellenőrt.)

Elemi, mint látható.) Minden szögnek megvan a maga személyes szinuszés koszinusz. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense. Ezért tudván trigonometrikus függvény, magát a szöget is felírhatja. Erre szolgálnak az arcszinusok, arccosinesek, arctangensek és arckotangensek. Mostantól ezt az egész családot kicsinyítő néven fogom nevezni - ívek. Kevesebbet gépelni.)

Figyelem! Elemi verbális és tudatos az ívek megfejtése lehetővé teszi, hogy nyugodtan és magabiztosan oldja meg a legtöbbet különféle feladatokat. És be szokatlan Csak ő menti el a feladatokat.

Át lehet váltani az ívekről a közönséges fokokra vagy radiánokra?- Hallok egy óvatos kérdést.)

Miért ne!? Könnyen. Mehetsz oda és vissza. Sőt, ezt néha meg kell tenni. Az ívek egyszerű dolog, de valahogy nyugodtabb nélkülük, igaz?)

Például: mi az arcsin 0.5?

Emlékezzünk a dekódolásra: arcsin 0,5 az a szög, amelynek szinusza 0,5. Most fordítsa a fejét (vagy a Google-t)), és emlékezzen, melyik szög szinusza 0,5? A szinusz 0,5 y 30 fokos szögben. Ez az: arcsin 0,5 30°-os szög. Nyugodtan írhatod:

arcsin 0,5 = 30°

Vagy formálisabban, radiánban:

Ez az, elfelejtheti az arcszinust, és folytathatja a munkát a szokásos fokokkal vagy radiánokkal.

Ha rájöttél mi az arcszinusz, arkkoszinusz... Mi az arctangens, arckotangens... Könnyen megbirkózik például egy ilyen szörnyeteggel.)

A tudatlan ember rémülten hátrálni fog, igen...) De egy tájékozott ember emlékezz a dekódolásra: arcszinusz az a szög, amelynek szinusza... És így tovább. Ha egy hozzáértő ember a szinusztáblát is ismeri... A koszinusztáblázatot. Érintő- és kotangens táblázat, akkor egyáltalán nincs probléma!

Elég, ha ráébredünk, hogy:

Megfejtem, pl. Hadd fordítsam le a képletet szavakra: szög, amelynek érintője 1 (arctg1)- ez 45°-os szög. Vagy ami ugyanaz, a Pi/4. Hasonlóképpen:

és ennyi... Kicseréljük az összes ívet radiánban kifejezett értékre, minden lecsökken, csak ki kell számítani, hogy mennyi az 1+1. 2 lesz.) Melyik a helyes válasz.

Így lehet (és kell) áttérni az arcszinuszokról, arkoszinuszokról, arctangensekről és arccotangensekről a közönséges fokokra és radiánokra. Ez nagyban megkönnyíti ijesztő példák!

Gyakran be hasonló példák, a boltívek belsejében áll negatív jelentések. Például arctg(-1.3), vagy pl arccos(-0.8)... Ez nem probléma. Tessék egyszerű képletekátmenet negatív értékekről pozitívra:

Mondjuk meg kell határoznia a kifejezés értékét:

Ezt úgy is megteheti trigonometrikus kör döntsön, de nincs kedve megrajzolni. Hát rendben. elköltözünk negatívértékek a k arc koszinuszán belül pozitív a második képlet szerint:

A jobb oldali ív koszinusz belsejében már van pozitív jelentése. Mit

egyszerűen tudnod kell. Nincs más hátra, mint az arc koszinusz helyett radiánnal helyettesíteni, és kiszámítani a választ:

Ez minden.

Korlátozások az arcszinuszra, arccosinera, arctangensre, arccotangensre.

Van-e probléma a 7–9. példákkal? Nos, igen, van valami trükk.)

Mindezeket a példákat 1-től 9-ig gondosan elemzi az 555. szakasz. Mit, hogyan és miért. A titkos csapdákkal és trükkökkel együtt. Plusz módszerek a megoldás drámai egyszerűsítésére. Mellesleg, ebben a részben sok van hasznos információÉs gyakorlati tanácsokat a trigonometriáról általában. És nem csak a trigonometriában. Sokat segít.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Egy szám arktangense és arckotangense A

Egyenlőség

tg φ = A (1)

határozza meg a szöget φ kétértelmű. Sőt, ha φ 0 olyan szög, amely kielégíti az (1) egyenlőséget, akkor az érintő periodicitása miatt a szögek is kielégítik ezt az egyenlőséget

φ 0 + n π ,

Ahol n végigfut az összes egész számon (n = 0, ±1, ±2, ±3, . . .). Ez a kétértelműség elkerülhető, ha ezenkívül megkövetelik, hogy a szög φ belül volt -- π / 2 < φ < π / 2 . Valóban, az intervallumban

- π / 2 < x < π / 2

funkció y = tg x monoton növekszik - ∞-ről + ∞-re.

Következésképpen ebben az intervallumban az érintő szükségszerűen metszi az egyenest y =A és ráadásul csak egy ponton. Ennek a pontnak az abszcisszáját általában az a szám arktangensének nevezik, és jelölik arctga .

Arktangens A egy szög, amelyet a -tól intervallum tartalmazza π / 2-től +-ig π / 2 (vagy -90° és +90° között), amelynek érintője a A.

Példák.

1). arctan 1 = π / 4 vagy arctan 1 = 45°. Valóban, a szög π / 4 radián a (-) intervallumon belülre esik π / 2 , π / 2 ), érintője pedig 1.

2) arctg (- 1 / \/ 3 ) = - π / 6 , vagy arctg (- 1 / \/ 3 ) = -30°. Valójában a -30°-os szög a (-90°, 90°) intervallumba esik, érintője egyenlő - 1 / \/ 3

Vegyük észre, hogy az egyenlőségből

tg π = 0

nem lehet arra következtetni, hogy arctan 0 = π . Végül is a szög az π radián nem esik az intervallumba
(- π / 2 , π / 2 ) és ezért nem lehet nulla arctangense. Az olvasó nyilván már sejtette, hogy arctan 0 = 0.

Egyenlőség

ctg φ = A , (2)

csakúgy, mint az (1) egyenlőség, meghatározza a szöget φ kétértelmű. A kétértelműség elkerülése érdekében további korlátozásokat kell bevezetni a kívánt szögre. Ilyen korlátozásként a feltételt választjuk

0 < φ < π .

Ha az érvelés x folyamatosan növekszik a (0, π ), majd a függvényt y = ctg x monoton csökkenni fog + ∞-ről - ∞-ra. Ezért a vizsgált intervallumban a kotangentoid szükségszerűen metszi az egyenest y =A és ráadásul csak egy ponton.

Ennek a pontnak az abszcisszáját általában a szám inverz érintőjének nevezik A és kijelölni arcctga .

Arccotangens A egy szög, amely a 0 és a tartományban van π (vagy 0°-tól 180°-ig), amelynek kotangense a A.

Példák .

1) arcctg 0 = π / 2 , vagy arcctg 0 = 90°. Valóban, a szög π / 2 radián az intervallumon belülre esik" (0, π ) és kotangense 0.

2) arcctg (- 1 / \/ 3 ) = 2π / 3 , vagy arcctg (- 1 / \/ 3 ) =120°. Valójában egy 120°-os szög a (0°,180°) tartományba esik, és a kotangense egyenlő - 1 / \/ 3 .

Vegyük észre, hogy az egyenlőségből

ctg (-45°) = -1

nem lehet arra következtetni, hogy arcctg (-1) = -45°. Hiszen a -45°-os szög nem esik a (0°, 180°) intervallumba, ezért nem lehet a -1 szám inverz érintője. Ez nyilvánvaló

arcctg ( - 1) = 135°.

Feladatok

ÉN. Kiszámítja :

1). arctg0 + arctg 1 / \/ 3 + arctg \/ 3 + arctg 1.

2). arcctg0 + arcctg 1 / \/ 3 + arcctg \/ 3 + arcctg 1.

3). arcctg 0 + arcctg (- 1) -arcctg (- 1 / \/ 3 ) + arcctg(- \/ 3 ).

4). arctg (- 1) + arctg (- \/ 3 ) - arctg (- 1 / \/ 3 ) - arctg 0.

II. Milyen értékeket vehet fel a mennyiség? A És b , Ha b = arctan a ?

III. Milyen értékeket vehet fel a mennyiség? A És b , Ha b = arcctg A ?

IV. Milyen negyedekben végződnek a szögek?

a) arctg 5; c) arcctg 3; d) π / 2 - arcctg (- 4);

b) arctg (-7); d) arcctg (- 2); e) 3π / 2 + arctg 1 / 2 ?

V. Lehet kifejezések arctgA És arcctgA vegyünk értékeket: a) azonos előjelűek; b) különböző jelek?

VI. Keresse meg a következő szögek szinuszait, koszinuszait, érintőit és kotangenseit:

a) arctg 5 / 12 ; c) arcctg (- 5 / 12 );

b) arctg (-0,75); d) arcctg (0,75).

VII. Bizonyítsd be az azonosságokat :

1). arctg(- x ) = - arctan x .

2). arcctg(- x ) = π - arcctg x .

VIII. Kiszámítja :

1). arcctg (ctg 2).

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete