Az alábbi kifejezések közül melyik. lecke „Algebrai törtek, racionális és tört kifejezések

« Algebrai törtek, racionális és tört kifejezések."

Az óra céljai:

Oktatási: algebrai tört fogalmának bemutatása, racionális és tört kifejezések, elfogadható értékek köre,

Fejlesztő: készségek kialakítása kritikus gondolkodás, független keresés információk, kutatási készségek.

Nevelés: tudatos munkához való hozzáállás elősegítése, kommunikációs készségek fejlesztése, önbecsülés fejlesztése.

Az óra előrehaladása

1. Szervezési pillanat:

Üdvözlet. Az óra témájának meghirdetése.

2. Óramotiváció.

A németeknek van egy mondása: „Lövésbe kerülni”, ami azt jelenti, hogy zsákutcába, nehéz helyzetbe kerülünk. Ez azzal magyarázható, hogy hosszú ideig műveletek törtszámok, amelyeket néha „töröttnek” neveztek, jogosan nagyon összetettnek számítottak.

De ma már nem csak a numerikus, hanem az algebrai törteket is szokás figyelembe venni, amit ma meg fogunk tenni.

• Legyenek mai óránk mottója a következő szavak:

A siker nem cél. Ez a mozgás

T. Gyorsabban.

3. Alapvető ismeretek felfrissítése.

Frontális felmérés.

Mik azok az egész kifejezések? miből vannak? Az egész kifejezésnek van értelme a benne szereplő változók bármely értékére.

Mondjon példákat.

Mi az a tört?

Mit jelent a töredék csökkentése?

Mit jelent a faktoring?

Milyen bontási módszereket ismer?

Miért egyenlő a négyzettelösszegek (különbségek)?

Mi a különbség a négyzetek között?

4. Új anyag tanulmányozása.

8. osztályban a törtkifejezéseket is megismerjük.

Abban különböznek az egész számoktól, hogy osztási műveletet tartalmaznak egy változós kifejezésen.

Ha egy algebrai kifejezés számokból és változókból áll összeadás, kivonás, szorzás, hatványozás természetes mutatóés osztás, valamint változós kifejezésekre osztást használva törtkifejezésnek nevezzük.

A törtkifejezéseknek nincs értelme a változók azon értékei esetében, amelyek a nevezőt nullává teszik.

Megengedett értékek területe (APV) algebrai kifejezés nevezze meg a kifejezésben szereplő összes megengedett betűkészletet.

Az egész és a tört kifejezéseket racionális kifejezéseknek nevezzük

külön faj racionális kifejezés az racionális tört. Ez egy olyan tört, amelynek a számlálója és a nevezője polinomok.

Mely kifejezések egészek és melyek törtek? (vagy 1. sz.)

5. Fizikai gyakorlat

6. Új anyag konszolidációja.

2., 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1) megoldás.

7. Önálló munkavégzés tanulók (csoportokban).

Oldja meg a 3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2) sz.

8. Visszaverődés.

Nehéz volt számodra az óra anyaga?

A lecke melyik szakaszában volt a legnehezebb vagy legkönnyebb?

Milyen újdonságokat tanultál az órán? mit tanultál?

Olyan keményen dolgoztál, amennyire csak lehetett az órán?

Mennyire érezted magad érzelmesnek az óra alatt?

D/w: tanuld meg az 1. tételt, kérdések 7. o., oldd meg a 4., 6., 8. sz.

Sinkwine.

Minden csoport egy szinkront alkot a „tört” szóhoz.

Ha ismeri a törteket

Pontosan megérteni őket,

Még egy nehéz feladat is könnyűvé válik.

Az egész kifejezés egy matematikai kifejezés, amely számokból és literális változókból áll összeadás, kivonás és szorzás műveleteket használva. Az egész számok olyan kifejezéseket is tartalmaznak, amelyek nullától eltérő számmal osztanak.

Egész kifejezési példák

Az alábbiakban néhány példa az egész kifejezésekre:

1. 12*a^3 + 5*(2*a-1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Törtkifejezések

Ha egy kifejezés változóval vagy egy másik változót tartalmazó kifejezéssel osztást tartalmaz, akkor az ilyen kifejezés nem egész szám. Ezt a kifejezést törtkifejezésnek nevezzük. Adjunk teljes definíció tört kifejezés.

A törtkifejezés olyan matematikai kifejezés, amely a számokkal és betűváltozókkal végzett összeadás, kivonás és szorzás, valamint a nullával nem egyenlő számmal való osztás műveletein kívül betűváltozós kifejezésekre osztást is tartalmaz.

Példák törtkifejezésekre:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

A tört és egész kifejezések két nagy halmazt alkotnak matematikai kifejezések. Ha ezeket a halmazokat kombináljuk, egy új halmazt kapunk, amelyet racionális kifejezéseknek nevezünk. Vagyis a racionális kifejezések mind egész és tört kifejezések.

Tudjuk, hogy a teljes kifejezéseknek van értelme a benne szereplő változók bármely értékéhez. Ez abból a tényből következik, hogy egy teljes kifejezés értékének megtalálásához olyan műveleteket kell végrehajtani, amelyek mindig lehetségesek: összeadás, kivonás, szorzás, osztás nullától eltérő számmal.

A törtkifejezéseknek az egészekkel ellentétben előfordulhat, hogy nincs értelme. Mivel létezik egy változóval való osztás művelete vagy egy változókat tartalmazó kifejezés, és ez a kifejezés nullává válhat, de nullával osztani lehetetlen. Meghívják azoknak a változóknak az értékeit, amelyeknél a törtkifejezésnek értelme lesz elfogadható értékeket változók.

Racionális tört

Az egyik különleges eset racionális kifejezések olyan tört lesz, amelynek a számlálója és a nevezője polinomok. A matematikában egy ilyen törthez van egy név - racionális tört.

A racionális törtnek akkor lesz értelme, ha a nevezője nem egyenlő nullával. Vagyis azoknak a változóknak minden értéke elfogadható, amelyeknél a tört nevezője eltér nullától.

Az algebra tanfolyamnak köszönhetően ismert, hogy minden kifejezés transzformációt igényel a kényelmesebb megoldás érdekében. Az egész kifejezések meghatározása segít abban, hogy a identitás-transzformációk. A kifejezést polinommá alakítjuk. Befejezésül néhány példát tekintünk meg.

Definíció és példák egész kifejezésekre

Egész kifejezések olyan számok, változók vagy kifejezések összeadással vagy kivonással, amelyek természetes kitevővel rendelkező hatványként vannak felírva, és amelyek nullától eltérő zárójeleket vagy osztásokat is tartalmaznak.

A definíció alapján vannak példáink az egész kifejezésekre: 7, 0, − 12, 7 11, 2, 73, - 3 5 6 és így tovább, és az űrlap változói a, b, p, q, x, z egész kifejezések. Az összegek, különbségek és szorzatok átalakítása után a kifejezések formát öltenek

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 - 2 y - 3 , 3 - x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 - - ( 1 - x) · (1 + x) · ( 1 + x 2)

Ha egy kifejezés x: 5 + 8: 2: 4 vagy (x + y) : 6 alakú, nullától eltérő számmal való osztást tartalmaz, akkor az osztást a következővel jelezhetjük: tizedespont, mint x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . Ha figyelembe vesszük az x formájú kifejezéseket: 5 + 5: x vagy 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c, világos, hogy az ilyen kifejezések nem lehetnek egészek, mivel az elsőben van egy osztás az x változóval, a másodikban pedig egy változós kifejezéssel.

A polinom és a monomiális egész kifejezések, amelyekkel az iskolában találkozunk, amikor velük dolgozunk racionális számok. Más szóval, az egész kifejezések nem tartalmaznak bejegyzéseket irracionális törtek. Egy másik név egész irracionális kifejezések.

Milyen transzformációk lehetségesek az egész kifejezéseknek?

Megoldáskor az egész kifejezéseket alapvető identitástranszformációnak, zárójelet nyitónak, csoportosításnak, hasonlók hozásának tekintjük.

1. példa

Nyissa ki a zárójeleket, és hozzon hasonló kifejezéseket 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Megoldás

Először is alkalmaznia kell a zárójel-nyitó szabályt. Megkapjuk a forma kifejezését 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a · b + 6 · a − b

Ezután bemutathatunk hasonló kifejezéseket:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 · a · b) + (− 4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b.

Ezek redukálása után a · b + 2 · a − b alakú polinomot kapunk.

Válasz: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

2. példa

Átalakítás (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Megoldás

A meglévő osztás helyettesíthető szorzással, de inverz számmal. Ezután transzformációkat kell végrehajtani, amelyek után a kifejezés az (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 alakot veszi fel. Most el kellene kezdenünk csökkenteni a hasonló feltételeket. Ezt értjük

(x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · (x - 1) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Válasz: (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

3. példa

Fejezzük ki a 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) kifejezést szorzatként!

Megoldás

A kifejezés vizsgálata után egyértelmű, hogy az első három kifejezés rendelkezik közös szorzó 6 · y alakú, amelyet az átalakítás során ki kell venni a zárójelből. Akkor azt kapjuk 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x)

Látható, hogy megkaptuk két 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) és (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) kifejezés különbségét. x 2 + 3 · x − 1 közös tényezővel, amelyet ki kell venni a zárójelből. Ezt értjük

6 év (x 2 + 3 x - 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x - 1) (6 év - (x 3 + 4 x) )

A zárójeleket kinyitva kapunk egy (x 2 + 3 x − 1) (6 · y − x 3 − 4 · x) alakú kifejezést, amelyet a feltételnek megfelelően kellett megtalálni.

Válasz:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 év − x 3 − 4 x)

Az azonos átalakításokhoz a műveletek sorrendjének szigorú végrehajtása szükséges.

4. példa

Kifejezés konvertálása (3 2 - 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Megoldás

Először hajtsa végre a zárójelben szereplő műveleteket. Akkor ez megvan 3 2 - 6 2: 9 = 3 2 - 3 6: 9 = 6 - 4 = 2. A transzformációk után a kifejezés 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 alakot ölt. Köztudott, hogy 2 3 = 8 És (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, akkor a 8 x 8 + 4 x: 8 alakú kifejezéshez juthatunk. A második tag megköveteli, hogy az osztást szorzással helyettesítsük 4x: 8. A tényezőket csoportosítva azt kapjuk

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Válasz:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x.

Konvertálás polinommá

Az egész kifejezések konverziójának legtöbb esetét polinomként ábrázolják. Bármely kifejezés ábrázolható polinomként számtani jelek. A polinomokon végzett bármely művelet végül polinomot eredményez.

Ahhoz, hogy egy kifejezést polinomként ábrázolhassunk, minden műveletet polinomokkal kell végrehajtani az algoritmus szerint.

5. példa

Polinomként ábrázolja a 2 · (2 ​​· x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Megoldás

IN adott kifejezés a transzformációkat 4 x − x (15 x + 1) alakú kifejezéssel kezdjük, és a szabály szerint először hajtsuk végre a szorzást vagy osztást, majd az összeadást vagy kivonást. Szorozzuk meg – x-et 15 x + 1-gyel, akkor kapjuk 4 x − x (15 x + 1) = 4 x − 15 x 2 − x = (4 x − x) − 15 x 2 = 3 x − 15 x 2. A megadott kifejezés 2 · (2 ​​· · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) formában lesz.

Ezután a polinomot a 2. hatványra kell emelni 2x-1, megkapjuk az alak kifejezését (2 x - 1) 2 = (2 x - 1) (2 x - 1) = 4 x 2 + 2 x (- 1) - 1 2 x - 1 (- 1 ) = = 4 x 2 - 4 x + 1

Most már mehet a nézetre 2 (2 x 3 - 1) + (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Nézzük a szorzást. Látható, hogy 2 (2 x 3 - 1) = 4 x 3 - 2 és (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) = 12 x 2 - 4 x 3 - 12 x + 4 x 2 + 3 − x = = 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3

akkor áttérhetünk a forma kifejezésére (4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2).

Összeadást hajtunk végre, ami után a következő kifejezéshez jutunk:

(4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2) = = 4 x 3 - 2 + 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 - 10 x + 1 = x 2 - 10 x + 1 .

Ebből következik, hogy az eredeti kifejezésnek van formája x 2 – 10 x + 1.

Válasz: 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)) = x 2 - 10 x + 1.

A polinomok szorzása és hatványozása azt jelzi, hogy az átalakítási folyamat felgyorsításához rövidített szorzóképleteket kell használnia. Ez segít abban, hogy a műveleteket racionálisan és helyesen hajtsák végre.

6. példa

Átalakítás 4 · (2 ​​· m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Megoldás

A négyzetes képletből azt kapjuk (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, akkor az (m − 2 n) (m + 2 n) szorzat egyenlő m és 2 n négyzeteinek különbségével, tehát egyenlő m 2 − 4 n 2. Azt találjuk, hogy az eredeti kifejezés a formát ölti 4 (2 m + n) 2 + (m - 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 - 4 n 2) = = 16 m 2 + 16 m n + 4 n 2 + m 2 - 4 n 2 = 17 m 2 + 16 m n

Válasz: 4 (2 m + n) 2 + (m - 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Ahhoz, hogy az átalakítás ne legyen túl hosszú, szükséges az adott kifejezést szabványos formára konvertálni.

7. példa

Az űrlap kifejezésének egyszerűsítése (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Megoldás

Leggyakrabban a polinomok és monomiumok nem szabványos formában vannak megadva, ezért transzformációkat kell végrehajtani. Átalakítani kell, hogy hasonló kifejezést kapjon − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Ahhoz, hogy hasonlókat hozzunk, először szorozni kell az átalakítási szabályok szerint összetett kifejezés. A forma kifejezését kapjuk

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 a b 3 − 15 a b 3 = = (− 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 a b 3) = 6 a 2 b

Válasz: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 a b (− 3) b 2) = 6 a 2 b

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

„Lecke polinom” - És ellenőrizze: 2. Polinomok szorzása: 4. Ossza el az A(x) polinomot B(x)-szel. 3. Tényező a polinom. 1. Végezze el a polinomok összeadását és kivonását: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 és Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Műveletek polinomokkal. 15. lecke.

„Egy teljes kifejezés átalakítása polinommá” – A tanulók számítási készségeinek fejlesztése. Mutassa be a teljes kifejezés fogalmát. Egész kifejezések konvertálása. A polinomok és különösen a monomiumok egész kifejezések. Gyakorold a tanulókat hasonló kifejezések hozzáadására. Példák az egész kifejezésekre a következő kifejezések: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+) 2c) )/5+2,5ac.

„Polinomok szorzása” - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Előadás. Egy polinom pozíciószáma. Polinomok szorzása helyzetszámokkal. Rjabov Pavel Jurijevics. Vezető: Kaleturina A.S.

"Szabvány formájú polinom" - Normál nézet polinom. Példák. 3x4 + 2x3 – x2 + 5. Polinomok összeadása. 6. sz. sz. előkészítése. Szótár. 2. fejezet, 1b. Az egybetűs polinomok esetében a vezető tag egyedileg meghatározott. Teszteld magad. 6x4 – x3y + x2y2 + 2y4.

„Polinomok” – A monomiumot egy tagból álló polinomnak tekintjük. A közös tényezőt zárójelből kivéve. Algebra. Polinomok. Szorozzuk meg az a+b polinomot a c+d polinommal. Egy monom és egy polinom szorzata Egy monom szorzata egy polinommal. Hasonló kifejezések a 2 és -7 kifejezés is, amelyeknek nincs betűrésze. A 4xz-5xy+3x-1 polinom tagjai: 4xz, -5xy, 3x és -1.

„Lecke faktorizálás” – FSU alkalmazása. Rövidített szorzóképletek. Óra témája: Válaszok: var 1: b, d, b, g, c; var 2: a, d, c, b, a; var 3: c, c, c, a, b; 4. variáció: g, g, c, b, d Hogyan? A közös tényezőt zárójelből kivéve. 3. Fejezze be a faktorizálást: Csoportos munka: Tegye zárójelbe a közös tényezőt. 1.Fejezze be a faktorizálást: a).