Hogyan oszthatunk el egy közönséges számot tizedes törttel. Tizedesjegy elosztása természetes számmal

A tizedes törtek természetes számokkal való osztásának szabálya.

Négy egyforma játék összesen 921 rubel 20 kopejkába került. Mennyibe kerül egy játék (lásd 1. ábra)?

Rizs. 1. A probléma illusztrációja

Megoldás

Egy játék költségének meghatározásához fel kell osztani ezt az összeget négyre. Váltsuk át az összeget kopekkára:

Válasz: egy játék ára 23 030 kopejka, azaz 230 rubel 30 kopekka vagy 230,3 rubel.

Meg lehet oldani ezt a feladatot anélkül, hogy a rubelt kopejkává váltanánk, vagyis a tizedes törtet elosztjuk vele természetes szám: .

Egy tizedes tört természetes számmal való osztásához el kell osztania a törtet ezzel a számmal, mivel a természetes számok osztva vannak, és vesszőt kell tenni a hányadosba, amikor a teljes rész felosztása befejeződött.

Ugyanúgy osztunk egy oszlopba, mint a természetes számokat. Miután eltávolítottuk a 2-es számot (a tizedek száma a 921,20 osztalék tizedespontja utáni első számjegy), vesszőt teszünk a hányadosba, és folytatjuk az osztást:

Válasz: 230,3 rubel.

Ugyanúgy osztunk egy oszlopba, mint a természetes számokat. Miután eltávolítottuk a 6-os számot (a tizedek száma a tizedesvessző utáni szám az osztalék jelölésében 437,6), vesszőt teszünk a hányadosba, és folytatjuk az osztást:

Ha az osztalék kisebb, mint osztó, akkor a hányados nulláról indul.

Az 1 nem osztható 19-cel, ezért a hányadosba nullát teszünk. A teljes rész felosztása kész, a hányadosba vesszőt teszünk. Levesszük a 7-et. A 17 nem osztható 19-cel, a hányadosba nullát írunk. Levesszük a 6-ot, és folytatjuk a felosztást:

Úgy osztunk, ahogy a természetes számok osztva. A hányadosba vesszőt teszünk, amint eltávolítjuk a 8-at - a tizedesvessző utáni első számjegyet az osztalékban 74,8. Folytatjuk a felosztást. Kivonáskor 8-at kapunk, de az osztás nem fejeződött be. Tudjuk, hogy a tizedes tört végére nullákat is lehet adni – ez nem fogja megváltoztatni a tört értékét. Nullát rendelünk, és 80-at elosztunk 10-zel. 8-at kapunk - az osztásnak vége.

Egy tizedes tört 10-zel, 100-zal, 1000-zel stb. való osztásához a törtben lévő tizedespontot annyi számjeggyel kell balra mozgatnia, ahány nulla van az osztó egy után.

On ezt a leckét Megtanultuk, hogyan kell elosztani egy tizedes törtet természetes számmal. Megfontoltuk a közönséges természetes számmal rendelkező opciót, valamint azt az opciót, amelyben a számjegyegységgel való osztás történik (10, 100, 1000 stb.).

Oldja meg az egyenleteket:

Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal. Azaz .

Oszlopra osztjuk. Miután eltávolítottuk a 4-es számot (a tizedek száma a tizedesvessző utáni első számjegy a 134,4 osztalékban), vesszőt teszünk a hányadosba, és folytatjuk az osztást:

Keresse meg a hányados első számjegyét (az osztás eredménye). Ehhez az osztalék első számjegyét el kell osztani az osztóval. Az eredményt írd az osztó alá!

Példánkban az osztalék első számjegye 3. Osszuk el 3-at 12-vel. Mivel a 3 kisebb, mint 12, az osztás eredménye 0 lesz. Írjon 0-t az osztó alá - ez a hányados első számjegye.

Az eredményt szorozzuk meg az osztóval. A szorzás eredményét írd az osztalék első számjegye alá, mivel ez az a szám, amelyet most osztottál el az osztóval.

Példánkban 0 × 12 = 0, ezért írjon 0-t a 3 alá.

Vonjuk ki a szorzás eredményét az osztalék első számjegyéből.Írja a válaszát egy új sorba.

Példánkban: 3 - 0 = 3. Írjon 3-at közvetlenül a 0 alá.

Mozgassa lefelé az osztalék második számjegyét. Ehhez írja fel az osztalék következő számjegyét a kivonás eredménye mellé.

Példánkban az osztalék 30. Az osztalék második számjegye 0. Mozgassa lefelé úgy, hogy 0-t ír a 3 mellé (a kivonás eredménye). A 30-as számot kapod.

Az eredményt elosztjuk az osztóval. Megtalálja a hányados második számjegyét. Ehhez ossza el a legtöbben található számot alsó sor, az osztóhoz.

Példánkban ossza el 30-at 12-vel. 30 ÷ 12 = 2 plusz némi maradék (mivel 12 x 2 = 24). Írjon 2-t 0 után az osztó alá - ez a hányados második számjegye.
Ha nem talál megfelelő számjegyet, görgessen végig a számjegyeken, amíg egy számjegy osztóval való szorzata kisebb lesz, és a legközelebb áll az oszlop utolsó számához. Példánkban tekintsük a 3-as számot. Szorozzuk meg az osztóval: 12 x 3 = 36. Mivel a 36 nagyobb, mint 30, a 3-as szám nem megfelelő. Most vegyük a 2-es számot. 12 x 2 = 24. A 24 kisebb, mint 30, tehát a 2-es szám a helyes megoldás.

Ismételje meg a fenti lépéseket a következő szám megkereséséhez. A leírt algoritmus bármely hosszú osztási feladatban használható.

A hányados második számjegyét szorozzuk meg az osztóval: 2 x 12 = 24.
Írja a szorzás eredményét (24) a (30) oszlop utolsó szám alá!
Vonja ki a kisebb számot a nagyobbból. Példánkban: 30 - 24 = 6. Írja az eredményt (6) egy új sorba.

Ha az osztalékban maradtak lefelé mozgatható számjegyek, folytassa a számítási folyamatot. IN egyébként lépjen a következő lépésre.

Példánkban az osztalék utolsó számjegye (0) lejjebb került. Tehát folytassa a következő lépéssel.

Ha szükséges, használjon tizedesvesszőt az osztalék növeléséhez. Ha az osztó osztható az osztóval, akkor az utolsó sorban a 0 számot kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldódott, és a választ (egész szám formájában) az osztó alá írjuk. De ha az oszlop legalján a 0-tól eltérő szám van, akkor az osztalékot ki kell terjeszteni tizedespontés 0 hozzáadásával. Emlékezzünk vissza, hogy ez nem változtatja meg az osztalék értékét.

Példánkban az utolsó sor a 6-os számot tartalmazza. Ezért a 30-tól (az osztaléktól) jobbra írjon egy tizedesvesszőt, majd írjon 0-t. A hányados talált számjegyei után tegyen egy tizedesvesszőt is, amelyet írd az osztó alá (e vessző után még ne írj semmit!) .

A következő szám megkereséséhez ismételje meg a fent leírt lépéseket. A lényeg az, hogy ne felejtsünk el tizedesvesszőt tenni mind az osztalék, mind a hányados talált számjegyei után. A folyamat többi része hasonló a fent leírt folyamathoz.

Példánkban mozgassa lefelé a 0-t (amit a tizedesvessző után írt). A 60-as számot kapjuk. Most osszuk el ezt a számot az osztóval: 60 ÷ 12 = 5. Írjunk 5-öt a 2 után (és a tizedesvessző után) az osztó alá. Ez a hányados harmadik számjegye. Tehát a végső válasz 2,5 (a 2 előtti nulla figyelmen kívül hagyható).

ÉN. Egy tizedes tört természetes számmal való osztásához el kell osztania a törtet ezzel a számmal, mivel a természetes számok osztva vannak, és vesszőt kell tenni a hányadosba, amikor a teljes rész felosztása befejeződött.

Példák.

Hajtsa végre az osztást: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

Megoldás.

Példa 1) 96,25: 5.

A „sarokkal” ugyanúgy osztunk, mint a természetes számokat. Miután levesszük a számot 2 (a tizedek száma a tizedesvessző utáni első számjegy az osztalékban 96, 2 5), a hányadosba vesszőt teszünk, és folytatjuk az osztást.

Válasz: 19,25.

Példa 2) 4,78: 4.

Úgy osztunk, ahogy a természetes számok osztva. A hányadosba vesszőt teszünk, amint eltávolítjuk 7 — a tizedesvessző utáni első számjegy az osztalékban 4, 7 8. Folytatjuk a felosztást tovább. 38-36 kivonásakor 2-t kapunk, de az osztás nem fejeződik be. Hogyan tovább? Tudjuk, hogy a tizedes tört végére nullákat is lehet adni – ez nem fogja megváltoztatni a tört értékét. Hozzárendeljük a nullát, és a 20-at elosztjuk 4-gyel. 5-öt kapunk - az osztásnak vége.

Válasz: 1,195.

Példa 3) 183,06: 45.

Oszd el 18306-ként 45-tel. A hányadosba vesszőt teszünk, amint eltávolítjuk a számot 0 — a tizedesvessző utáni első számjegy az osztalékban 183, 0 6. A 2. példához hasonlóan a 36-os számhoz nullát kellett rendelnünk - a 306 és 270 számok közötti különbséget.

Válasz: 4,068.

Következtetés: tizedes tört természetes számmal való osztásakor magán vesszőt teszünk közvetlenül azután, hogy leszedjük az osztalék tizedes helyén lévő számot. Figyelem: minden kiemelve számok pirossal ebben a három példában a kategóriába tartozik az osztalék tizedét.

II. Egy tizedes tört 10, 100, 1000 stb. számmal való osztásához a tizedesvesszőt balra kell mozgatnia 1, 2, 3 stb. számjeggyel.

Példák.

Felosztás végrehajtása: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Megoldás.

A tizedesvessző balra mozgatása attól függ, hogy az egy után hány nulla van az osztóban. Tehát, amikor egy tizedes törtet osztunk vele 10 az osztalékban átvisszük vesszőt a bal oldali egy számjegyhez; amikor osztják 100 - mozgassa a vesszőt két számjegy maradt; amikor osztják 1000 konvertálni erre a tizedes törtre vessző három számjegy balra.

A tizedes törtek természetes számokkal való osztásának szabálya.

Négy egyforma játék összesen 921 rubel 20 kopejkába került. Mennyibe kerül egy játék (lásd 1. ábra)?

Rizs. 1. A probléma illusztrációja

Megoldás

Egy játék költségének meghatározásához ezt az összeget el kell osztani néggyel. Váltsuk át az összeget kopekkára:

Válasz: egy játék ára 23 030 kopejka, azaz 230 rubel 30 kopekka vagy 230,3 rubel.

Megoldhatja ezt a feladatot anélkül, hogy a rubelt kopekkára konvertálná, vagyis a tizedes törtet el kell osztani egy természetes számmal: .

Válasz: 230,3 rubel.

Ha az osztalék kisebb, mint az osztó, akkor a hányados nulláról indul.

Egy tizedes tört 10-zel, 100-zal, 1000-zel stb. való osztásához a törtben lévő tizedespontot annyi számjeggyel kell balra mozgatnia, ahány nulla van az osztó egy után.

Ebben a leckében megtanultuk, hogyan kell elosztani egy tizedes törtet természetes számmal. Megfontoltuk a közönséges természetes számmal rendelkező opciót, valamint azt az opciót, amelyben a számjegyegységgel való osztás történik (10, 100, 1000 stb.).

Oldja meg az egyenleteket:

Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal. Azaz .

Oszlopra osztjuk. Miután eltávolítottuk a 4-es számot (a tizedek száma a tizedesvessző utáni első számjegy a 134,4 osztalékban), vesszőt teszünk a hányadosba, és folytatjuk az osztást:

Nézzünk példákat a tizedesjegyek elosztására ennek fényében.

Példa.

Ossza el az 1,2 tizedes törtet a 0,48 tizedes törttel.

Megoldás.

Válasz:

1,2:0,48=2,5 .

Példa.

A 0.(504) periodikus tizedes törtet osszuk el a 0,56 tizedes törttel.

Megoldás.

A periodikus tizedes törtet alakítsuk át közönséges törtté: . A 0,56-os végső tizedes törtet is átváltjuk közönséges törtté, 0,56 = 56/100. Most áttérhetünk az eredeti tizedes törtek osztásáról a közönséges törtek osztására, és befejezhetjük a számításokat: .

A beérkezetteket lefordítjuk közönséges tört tizedes törtre úgy, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel egy oszloppal:

Válasz:

0,(504):0,56=0,(900) .

A végtelen nem periodikus tizedes törtek osztásának elve eltér a véges és periodikus tizedes törtek felosztásának elvétől, mivel a nem periodikus tizedes törtek nem konvertálhatók közönséges törtekké. A végtelen nem periodikus tizedes törtek osztása véges tizedes törtek osztására redukálódik, amelyre elvégezzük számok kerekítése egy bizonyos szintig. Ezen túlmenően, ha az egyik szám, amellyel az osztást végezzük, véges vagy periodikus tizedes tört, akkor azt is ugyanarra a számjegyre kell kerekíteni, mint a nem periodikus tizedes tört.

Példa.

Osszuk el a végtelen nem periodikus decimális 0,779-et a véges tizedes 1,5602-vel.

Megoldás.

Először kerekíteni kell a tizedesjegyeket, hogy a végtelen, nem periodikus tizedesjegyek osztásáról a véges tizedesjegyek osztására válthasson. Kerekíthetjük a legközelebbi századra: 0,779…≈0,78 és 1,5602≈1,56. Így 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Válasz:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Természetes szám elosztása tizedes törttel és fordítva

A természetes szám tizedes törttel való osztására és a tizedes tört természetes számmal való osztására vonatkozó megközelítés lényege nem különbözik a tizedes törtek osztásának lényegétől. Vagyis a véges és periodikus törtek helyébe közönséges törtek, és végtelen nem periodikus törtek fel vannak kerekítve.

Szemléltetésül nézzük meg a tizedes tört természetes számmal való osztásának példáját.

Példa.

A 25,5 tizedes törtet osszuk el a 45 természetes számmal.

Megoldás.

Ha a 25,5 tizedes törtet a 255/10=51/2 közönséges törtre cseréljük, az osztás a közönséges tört természetes számmal való osztására redukálódik:. A kapott tört in decimális jelölés 0,5(6) alakja van.

Válasz:

25,5:45=0,5(6) .

Tizedes tört elosztása természetes számmal oszloppal

Célszerű a véges tizedes törteket természetes számokra osztani egy oszloppal, a természetes számok oszlopával való osztással analóg módon. Mutassuk be az osztási szabályt.

To tizedes törtet osztunk el egy természetes számmal oszlop segítségével, szükséges:

adjon hozzá néhány 0 számjegyet az osztandó tizedes tört jobb oldalán (az osztás során, ha szükséges, tetszőleges számú nullát hozzáadhat, de előfordulhat, hogy ezekre a nullákra nincs szükség);
hajtson végre osztást egy tizedes tört oszlopával egy természetes számmal a természetes számok oszlopával való osztás összes szabálya szerint, de amikor a tizedes tört teljes részének osztása befejeződött, akkor a hányadosba kell tenni egy vesszőt, és folytassa a felosztást.

Tegyük fel rögtön, hogy egy véges tizedes tört természetes számmal való osztásakor vagy véges tizedes törtet vagy végtelen periodikus tizedes törtet kaphatunk. Valóban, miután az összes nem 0 tizedesjegy felosztása befejeződött osztható tört, vagy a maradék lehet 0, és egy végső tizedes törtet kapunk, vagy a maradékok periodikusan ismétlődnek, és kapunk egy periodikus tizedes törtet.

Példák megoldása során értsük meg a tizedes törtek természetes számokkal való osztásának bonyolultságát egy oszlopban.

Példa.

A 65,14 tizedes törtet oszd el 4-gyel.

Megoldás.

Osszunk el egy tizedes törtet egy természetes számmal oszlop segítségével. Adjunk hozzá pár nullát a jobb oldalra a 65,14 tört jelölésében, és egy egyenlő tizedestörtet kapunk 65,1400 (lásd egyenlő és egyenlőtlen tizedes törtek). Most elkezdheti osztani egy oszloppal a 65,1400 tizedes tört egész részét a 4-es természetes számmal:

Ezzel befejeződik a tizedes tört egész részének felosztása. Itt a hányadosban tizedesvesszőt kell tenni, és folytatni kell az osztást:

Elértük a 0 maradékot, ebben a szakaszban az oszlopokkal való osztás véget ér. Ennek eredményeként 65,14:4=16,285 áll rendelkezésünkre.

Válasz:

65,14:4=16,285 .

Példa.

Oszd el a 164,5-öt 27-tel.

Megoldás.

Osszuk el a tizedes törtet egy természetes számmal oszlop segítségével. A teljes rész felosztása után a következő képet kapjuk:

Most vesszőt teszünk a hányadosba, és folytatjuk az osztást egy oszloppal:

Most jól látható, hogy a 25-ös, 7-es és 16-os csoportok ismétlődnek, míg a hányadosban a 9-es, 2-es és 5-ös számok ismétlődnek. Így a 164,5 decimális számot elosztva 27-tel a periodikus decimális 6,0(925) értéket kapjuk.

Válasz:

164,5:27=6,0(925) .

Tizedes törtek oszlopos felosztása

A tizedes tört tizedes törttel való osztása visszavezethető a tizedes tört természetes számmal való osztására oszloppal. Ehhez az osztalékot és az osztót meg kell szorozni egy olyan számmal, mint 10, 100, 1000 stb., hogy az osztóból természetes szám legyen, majd el kell osztani egy természetes számmal egy oszloppal. Ezt az osztás és szorzás tulajdonságai miatt tehetjük meg, hiszen a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) és így tovább.

Más szóval, egy záró tizedesjegyet elosztani egy záró tizedessel, a következőkre van szükség:

az osztóban és az osztóban tegyük jobbra a vesszőt annyi hellyel, ahány tizedesvessző van az osztóban, ha nincs elég hely az osztóban a vessző mozgatásához, akkor hozzá kell adni szükséges mennyiség nullák a jobb oldalon;
Ezt követően tizedes oszloppal osszuk el természetes számmal.

Példa megoldása során vegyük figyelembe ennek a tizedes törttel való osztási szabálynak az alkalmazását.

Példa.

Oszd el a 7,287 oszlopot 2,1-gyel.

Megoldás.

Mozgassuk a vesszőt ezekben a tizedes törtekben egy számjeggyel jobbra, így a 7,287 tizedes tört elosztásáról a 2,1 tizedes törttel léphetünk át a 72,87 tizedes tört 21-es természetes számmal való osztására. Végezzük el az oszlop szerinti osztást:

Válasz:

7,287:2,1=3,47 .

Példa.

Ossza el a 16,3 tizedesjegyet a 0,021 tizedesvel.

Megoldás.

Mozgassa a vesszőt az osztó- és osztóhelyen a jobb három helyre. Nyilvánvaló, hogy az osztónak nincs elég számjegye a tizedesvessző mozgatásához, ezért a megfelelő számú nullát adjuk hozzá jobbra. Most osszuk el az 16300,0 tört oszlopát a 21-es természetes számmal:

Ettől a pillanattól kezdve a 4, 19, 1, 10, 16 és 13 maradékok ismétlődnek, ami azt jelenti, hogy a hányadosban szereplő 1, 9, 0, 4, 7 és 6 számok is ismétlődnek. Ennek eredményeként a 776,(190476) periodikus tizedes törtet kapjuk.

Válasz:

16,3:0,021=776,(190476) .

Ne feledje, hogy a bejelentett szabály lehetővé teszi, hogy egy természetes számot egy oszloppal egy utolsó tizedes törtre osztjon.

Példa.

Ossza el a 3-as természetes számot a tizedes törttel 5.4.

Megoldás.

A tizedesvesszőt egy számjeggyel jobbra mozgatva eljutunk a 30,0 szám elosztásához 54-gyel. Végezzük el az oszlop szerinti osztást:
.

Ez a szabály akkor is alkalmazható, ha végtelen tizedes törteket osztunk 10-zel, 100-zal, .... Például 3,(56):1,000=0,003(56) és 593,374…:100=5,93374….

A tizedesjegyek elosztása 0,1, 0,01, 0,001 stb.

Mivel 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 stb., akkor a közönséges törttel való osztás szabályából az következik, hogy a tizedes törtet el kell osztani 0,1, 0,01, 0,001 stb. ez ugyanaz, mintha egy adott tizedes számot megszoroznánk 10-zel, 100-zal, 1000-el stb. illetőleg.

Más szóval, egy tizedes tört 0,1, 0,01, ...-vel való osztásához a tizedesvesszőt jobbra kell mozgatni 1, 2, 3, ... számjeggyel, és ha a tizedes tört számjegyei nem elegendőek a tizedesvessző mozgatásához hozzá kell adni a szükséges számot a megfelelő nullákhoz.

Például 5,739:0,1=57,39 és 0,21:0,00001=21 000.

Ugyanez a szabály alkalmazható a végtelen tizedes törtek 0,1, 0,01, 0,001 stb. Ebben az esetben nagyon óvatosnak kell lennie az osztással periodikus törtek, hogy ne tévesszen el az osztás eredményeként kapott tört periódusával. Például 7.5(716):0.01=757,(167), mivel a tizedesvesszőt a 7.5716716716... két hellyel jobbra mozgatva a 757.167167 bejegyzést kapjuk.... Végtelen nem-periodikussal tizedesjegyek minden egyszerűbb: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Tört vagy vegyes szám elosztása tizedessel és fordítva

Tört vagy vegyes szám osztása véges vagy periodikus tizedessel, és véges vagy periodikus tizedes törttel, ill. vegyes szám közönséges törtek osztására vezet. Ehhez a tizedes törteket a megfelelő közönséges törtekre cseréljük, és a vegyes számot nem megfelelő törtként ábrázoljuk.

Ha végtelen nem periodikus tizedes törtet oszt el közönséges törttel vagy vegyes számmal, és fordítva, akkor folytassa a tizedes törtek elosztását, és a közönséges tört vagy vegyes számot a megfelelő tizedes törtre cserélje.

Hivatkozások.

Matematika: tankönyv 5. osztály számára. általános műveltség intézmények / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: tankönyv 8. osztály számára. általános műveltség intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete