Eltérõ nevezõjû törtek osztása 6. Eltérõ nevezõvel rendelkezõ törtek kivonása

Előbb vagy utóbb az iskolában minden gyerek elkezdi megtanulni a törteket: összeadásukat, osztásukat, szorzásukat és a törtekkel végrehajtható összes műveletet. Annak érdekében, hogy megfelelő segítséget nyújtsanak a gyermeknek, maguknak a szülőknek sem szabad elfelejteniük, hogyan kell az egész számokat törtekre osztani, különben semmilyen módon nem tud segíteni neki, hanem csak összezavarja. Ha emlékeznie kell erre a műveletre, de egyszerűen nem tudja egyetlen szabályba foglalni a fejében lévő összes információt, akkor ez a cikk segít: megtanulja, hogyan kell elosztani egy számot törttel, és világos példákat láthat.

Hogyan oszthatunk egy számot törtre

Írja le a példáját durva piszkozatként, hogy feljegyzéseket és törléseket készíthessen. Ne feledje, hogy az egész számot a cellák közé írjuk, közvetlenül a metszéspontjukba, a törtszámokat pedig mindegyik a saját cellájába.

• BAN BEN ez a módszer a törtet fejjel lefelé kell fordítani, vagyis a nevezőt a számlálóba, a számlálót a nevezőbe kell írni.
• Az osztásjelet szorzásra kell módosítani.
• Most már csak a szorzást kell végrehajtani a már megtanult szabályok szerint: a számlálót megszorozzuk egy egész számmal, de a nevezőhöz nem nyúlunk.

Természetesen egy ilyen akció eredményeként nagyon fog kapni nagy szám a számlálóban. Ebben az állapotban nem hagyhat egy töredéket - a tanár egyszerűen nem fogadja el ezt a választ. Csökkentse a törtet úgy, hogy a számlálót elosztja a nevezővel. Írja a kapott egész számot a cellák közepén lévő tört bal oldalára, és a maradék lesz az új számláló. A nevező változatlan marad.

Ez az algoritmus meglehetősen egyszerű, még egy gyermek számára is. Öt-hatszori elvégzése után a gyermek emlékezni fog az eljárásra, és bármilyen töredékre alkalmazni tudja.

Hogyan oszthatunk el egy számot tizedessel

Vannak más típusú törtek - tizedesjegyek. A rájuk való felosztás egészen más algoritmus szerint történik. Ha ilyen példával találkozik, kövesse az utasításokat:

• Először konvertálja mindkét számot tizedesjegyekké. Ezt könnyű megtenni: az osztója már törtként van ábrázolva, és az osztalék természetes szám vesszővel választod el, hogy tizedesvesszőt kapj. Azaz, ha az osztalék 5 volt, akkor az 5,0 törtet kapja. A számokat annyi számjeggyel kell elválasztani, amennyi a tizedesvessző és az osztó után van.
• Ezután mindkét tizedes törtből természetes számot kell készítenie. Elsőre kissé zavarónak tűnhet, de ez a leginkább gyors út osztás, ami néhány gyakorlat után másodperceket vesz igénybe. Az 5.0 törtből 50, a 6.23-ból 623 lesz.
• Végezze el a felosztást. Ha a számok nagyok, vagy az osztás maradékkal történik, akkor ezt egy oszlopban végezze el. Így tisztán láthatja az összes műveletet ezt a példát. Nem kell szándékosan vesszőt tenni, mert a hosszú osztás során automatikusan megjelenik.

Ez a fajta osztás kezdetben túlságosan zavarónak tűnik, mivel az osztót és az osztót törtté, majd vissza természetes számokká kell alakítani. De egy rövid gyakorlat után azonnal látni fogja azokat a számokat, amelyeket egyszerűen el kell osztania egymással.

Ne feledje, hogy a törtek és az egész számok helyes osztásának képessége sokszor hasznos lehet az életben, ezért ismerje meg ezeket a szabályokat és egyszerű elvek a gyereknek ideálisan szüksége van arra, hogy felsőbb évfolyamon ne váljanak olyan buktatóvá, ami miatt a gyermek nem tud bonyolultabb problémákat megoldani.

87. § Törtek összeadása.

A törtek összeadása sok hasonlóságot mutat az egész számok összeadásával. A törtek összeadása olyan művelet, amely abból áll, hogy több megadott számot (tagot) egy számmá (összeggé) vonunk össze, amely tartalmazza a kifejezések egységeinek összes egységét és törtrészét.

Három esetet vizsgálunk meg egymás után:

1. Frakciók összeadása -val ugyanazok a nevezők.
2. Frakciók összeadása -val különböző nevezők.
3. Vegyes számok összeadása.

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.

Vegyünk egy példát: 1/5 + 2/5.

Vegyük az AB szakaszt (17. ábra), vegyük egynek, és osszuk el 5-tel egyenlő részek, akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB szegmens 1/5-ével, a CD szegmens egy része pedig az AB 2/5-ével lesz egyenlő.

A rajzból jól látható, hogy ha vesszük az AD szakaszt, akkor az egyenlő lesz 3/5 AB-vel; de az AD szegmens pontosan az AC és CD szegmensek összege. Tehát írhatjuk:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ezeket a tagokat és a kapott összeget figyelembe véve azt látjuk, hogy az összeg számlálóját a tagok számlálóinak összeadásával kaptuk meg, és a nevező változatlan maradt.

Innen kapunk következő szabály: Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt.

Nézzünk egy példát:

2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.

Adjuk össze a törteket: 3 / 4 + 3 / 8 Először csökkenteni kell őket a legkisebbre közös nevező:

Közbülső Lehet, hogy 6/8 + 3/8 nem íródott; az érthetőség kedvéért ide írtuk.

Így a különböző nevezőjű törtek összeadásához először a legkisebb közös nevezőre kell csökkenteni őket, hozzá kell adni a számlálóikat, és fel kell címkézni a közös nevezőt.

Nézzünk egy példát ( további szorzók a megfelelő törtek fölé írjuk):

3. Vegyes számok összeadása.

Adjuk össze a számokat: 2 3/8 + 3 5/6.

Először hozzuk közös nevezőre a számaink tört részeit, és írjuk át újra:

Most egymás után összeadjuk az egész és a tört részeket:

88. § Törtek kivonása.

A törtek kivonása ugyanúgy definiálható, mint az egész számok kivonása. Ez egy olyan művelet, amelynek segítségével két tag és az egyik tag összegéből egy másik tagot találunk. Nézzünk meg három esetet egymás után:

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
3. Vegyes számok kivonása.

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.

Nézzünk egy példát:

13 / 15 - 4 / 15

Vegyük az AB szakaszt (18. ábra), vegyük egységnek, és osszuk fel 15 egyenlő részre; akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB 1/15-ét, és ugyanennek a szakasznak az AD része az AB 13/15-ének felel meg. Tegyünk félre egy másik ED szakaszt, amely egyenlő 4/15 AB-vel.

A 13/15-ből ki kell vonnunk a 4/15 törtet. A rajzon ez azt jelenti, hogy az ED szakaszt ki kell vonni az AD szegmensből. Ennek eredményeként az AE szegmens megmarad, ami az AB szegmens 9/15-e. Tehát írhatjuk:

Az általunk készített példa azt mutatja, hogy a különbség számlálóját a számlálók kivonásával kaptuk meg, de a nevező változatlan maradt.

Ezért a hasonló nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a részrész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt.

2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.

Példa. 3/4 - 5/8

Először is csökkentsük ezeket a törteket a legkisebb közös nevezőre:

A köztes 6 / 8 - 5 / 8 ide van írva az érthetőség kedvéért, de később átugorható.

Így ahhoz, hogy törtből törtet lehessen levonni, először le kell redukálni a legkisebb közös nevezőre, majd ki kell vonni a minuend számlálóját a tört számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni.

Nézzünk egy példát:

3. Vegyes számok kivonása.

Példa. 10 3/4 - 7 2/3.

Csökkentsük a minuend és a részfej tört részeit a legkisebb közös nevezőre:

Az egészből kivontunk egy egészet, a töredékből pedig egy törtet. De vannak esetek, amikor a kivonandónak a töredéke nagyobb, mint a redukáltnak a töredéke. Ilyen esetekben ki kell venni egy egységet a minuend teljes részéből, fel kell osztani azokra a részekre, amelyekben a törtrész kifejeződik, és hozzá kell adni a minuend tört részéhez. Ezután a kivonás ugyanúgy történik, mint az előző példában:

89. § Törtek szorzása.

A tört szorzás tanulmányozásakor figyelembe vesszük következő kérdésekre:

1. Tört szorzása egész számmal.
2. Adott szám törtrészének megkeresése.
3. Egész szám szorzása törttel.
4. Tört szorzása törttel.
5. Vegyes számok szorzása.
6. Az érdeklődés fogalma.
7. Adott szám százalékos arányának meghatározása. Tekintsük őket egymás után.

1. Tört szorzása egész számmal.

Egy tört egész számmal való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám egész számmal való szorzata. Egy tört (szorzó) egész számmal (tényezővel) való szorzása azt jelenti, hogy azonos tagok összegét hozzuk létre, amelyben minden tag egyenlő a szorzóval, a tagok száma pedig a szorzóval.

Ez azt jelenti, hogy ha meg kell szoroznia 1/9-et 7-tel, akkor ezt a következőképpen teheti meg:

Könnyen megkaptuk az eredményt, mivel a műveletet az azonos nevezőjű törtek összeadására redukáltuk. Ennélfogva,

Ennek a műveletnek a figyelembevétele azt mutatja, hogy egy tört egész számmal való szorzata megegyezik a tört annyiszoros növelésével, ahány egység van az egész számban. És mivel a tört növelése vagy a számlálójának növelésével érhető el

vagy nevezőjének csökkentésével , akkor vagy megszorozhatjuk a számlálót egy egész számmal, vagy eloszthatjuk vele a nevezőt, ha ez lehetséges.

Innen kapjuk a szabályt:

Egy tört egész számmal való szorzásához meg kell szorozni a számlálót az egész számmal, és a nevezőt meg kell hagyni, vagy ha lehetséges, el kell osztani a nevezőt ezzel a számmal, a számlálót változatlanul hagyva.

Szorzáskor rövidítések is lehetségesek, például:

2. Adott szám törtrészének megkeresése. Sok olyan probléma van, amelyben meg kell találni vagy ki kell számítani egy adott szám egy részét. E problémák és a többi között az a különbség, hogy bizonyos objektumok vagy mértékegységek számát adják meg, és ennek a számnak egy részét meg kell találni, amit itt is egy bizonyos tört jelzi. A megértés megkönnyítése érdekében először példákat adunk az ilyen problémákra, majd bemutatunk egy módszert a megoldásukra.

1. feladat. 60 rubelem volt; Ennek a pénznek az 1/3-át könyvvásárlásra költöttem. Mennyibe kerültek a könyvek?

2. feladat. A vonatnak 300 km-es távolságot kell megtennie A és B városok között. Ennek a távnak a 2/3-át már megtette. Hány kilométer ez?

3. feladat. A faluban 400 ház található, 3/4-e tégla, a többi fa. Hány téglaház van összesen?

Ez néhány a sok probléma közül, amelyekkel egy adott szám egy részének megtalálása során találkozunk. Ezeket általában feladatnak nevezik, hogy megtalálják egy adott szám törtrészét.

Az 1. probléma megoldása. 60 dörzsöléstől. 1/3-át költöttem könyvekre; Ez azt jelenti, hogy a könyvek árának meghatározásához el kell osztani a 60-as számot 3-mal:

2. feladat megoldása. A probléma lényege, hogy meg kell találni a 300 km 2/3-át. Először számoljuk ki 300 1/3-át; ezt úgy érjük el, hogy 300 km-t elosztunk 3-mal:

300: 3 = 100 (ez a 300 1/3-a).

A 300 kétharmadának meghatározásához meg kell dupláznia a kapott hányadost, azaz meg kell szoroznia 2-vel:

100 x 2 = 200 (ez a 300 2/3-a).

3. feladat megoldása. Itt meg kell határoznia azoknak a téglaházaknak a számát, amelyek a 400 3/4-ét teszik ki. Először keressük meg a 400 1/4-ét,

400: 4 = 100 (ez a 400 1/4-e).

A 400 háromnegyedének kiszámításához a kapott hányadost meg kell háromszorozni, azaz meg kell szorozni 3-mal:

100 x 3 = 300 (ez a 400 3/4-e).

A problémák megoldása alapján a következő szabályt vezethetjük le:

Ahhoz, hogy egy adott számból megtudja egy tört értékét, el kell osztania ezt a számot a tört nevezőjével, és meg kell szoroznia a kapott hányadost a számlálójával.

3. Egész szám szorzása törttel.

Korábban (26. §) megállapították, hogy az egész számok szorzása alatt azonos tagok összeadását kell érteni (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Ebben a bekezdésben (1. pont) megállapították, hogy egy tört egész számmal való szorzata azt jelenti, hogy azonos tagok összegét találjuk meg ezzel a törttel.

A szorzás mindkét esetben az azonos tagok összegének megállapításából állt.

Most továbblépünk egy egész szám törttel való szorzására. Itt találkozunk például a szorzással: 9 2/3. Nyilvánvaló, hogy a szorzás előző definíciója erre az esetre nem vonatkozik. Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az ilyen szorzást nem helyettesíthetjük egyenlő számok összeadásával.

Emiatt új definíciót kell adnunk a szorzásnak, vagyis meg kell válaszolnunk azt a kérdést, hogy mit kell érteni törttel való szorzás alatt, hogyan kell érteni ezt a cselekvést.

Az egész szám törttel való szorzásának jelentését tisztázzuk következő definíciót: egy egész szám (szorzó) szorzata törttel (multiplicand) azt jelenti, hogy megtaláljuk a szorzószámnak ezt a törtrészét.

Ugyanis a 9-et 2/3-mal megszorozni azt jelenti, hogy a kilenc egység 2/3-át megtaláljuk. Az előző bekezdésben az ilyen problémákat megoldottuk; így könnyű kitalálni, hogy végül 6 lesz.

De most egy érdekes és fontos kérdés merül fel: miért ilyenek különféle akciók hogyan találja meg az összeget egyenlő számokés a számok törteinek megtalálását az aritmetikában ugyanazt a szót nevezik „szorzásnak”?

Ez azért van így, mert az előző művelet (egy szám többszöri megismétlése kifejezésekkel) és az új művelet (a szám törtrészének megtalálása) homogén kérdésekre ad választ. Ez azt jelenti, hogy itt abból a megfontolásból indulunk ki, hogy homogén kérdéseket vagy feladatokat ugyanaz a cselekvés old meg.

Ennek megértéséhez vegye figyelembe a következő problémát: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 4 m ilyen ruha?

Ezt a problémát úgy oldjuk meg, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (4), azaz 50 x 4 = 200 (rubel).

Vegyük ugyanazt a problémát, de benne a ruha mennyisége törtrészben lesz kifejezve: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 3/4 m ilyen ruha?”

Ezt a problémát úgy is meg kell oldani, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (3/4).

A benne lévő számokat még többször megváltoztathatja anélkül, hogy a feladat jelentését megváltoztatná, például vegyen 9/10 m-t vagy 2 3/10 m-t stb.

Mivel ezek a feladatok azonos tartalmúak és csak számokban térnek el egymástól, a megoldásukhoz használt cselekvéseket ugyanazzal a szóval - szorzásnak nevezzük.

Hogyan szorozunk meg egy egész számot törttel?

Vegyük az utolsó feladatban talált számokat:

A definíció szerint az 50-nek 3/4-ét kell megtalálnunk. Keressük először az 50-ből az 1/4-ét, majd a 3/4-ét.

50-ből 1/4 az 50/4;

Az 50-es szám 3/4-e .

Ennélfogva.

Nézzünk egy másik példát: 12 5 / 8 =?

a 12-es szám 1/8-a 12/8,

A 12-es szám 5/8-a .

Ennélfogva,

Innen kapjuk a szabályt:

Egy egész szám törttel való szorzásához meg kell szoroznia az egész számot a tört számlálójával, és ezt a szorzatot kell számlálóvá tennie, és ennek a törtnek a nevezőjét kell aláírnia nevezőként.

Írjuk fel ezt a szabályt betűkkel:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való szorzásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek.

Fontos megjegyezni, hogy a szorzás végrehajtása előtt meg kell tennie (ha lehetséges) csökkentések, Például:

4. Tört szorzása törttel. A tört törttel való szorzása ugyanazt jelenti, mint az egész szám törttel való szorzása, vagyis ha tört törttel szorozunk, meg kell találni azt a törtet, amely az első tört faktorában van (a szorzót).

Ugyanis a 3/4-et 1/2-vel (fele) megszorozni azt jelenti, hogy megtaláljuk a 3/4 felét.

Hogyan szorozunk meg egy törtet törttel?

Vegyünk egy példát: 3/4 szorozva 5/7-tel. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnia a 3/4 5/7-ét. Először keressük meg a 3/4 1/7-ét, majd az 5/7-et

A 3/4 szám 1/7-e a következőképpen lesz kifejezve:

Az 5/7 számok 3/4 a következőképpen lesz kifejezve:

És így,

Egy másik példa: 5/8 szorozva 4/9-cel.

5/8 1/9 része ,

Az 5/8-as szám 4/9-e .

És így,

Ezekből a példákból a következő szabály vezethető le:

A tört törttel való szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel, és az első szorzatot kell számlálónak, a második szorzatot pedig a szorzat nevezőjévé tenni.

Ez a szabály benne Általános nézetígy írható:

A szorzásnál (ha lehetséges) csökkentéseket kell végezni. Nézzünk példákat:

5. Vegyes számok szorzása. Mivel a vegyes számok könnyen helyettesíthetők helytelen törtekkel, ezt a körülményt általában vegyes számok szorzásakor alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy azokban az esetekben, amikor a szorzót, vagy a szorzót, vagy mindkét tényezőt kifejezik vegyes számok, akkor helyükön nem megfelelő törtek lépnek. Szorozzuk meg például a vegyes számokat: 2 1/2 és 3 1/5. Alakítsuk át mindegyiket helytelen tört majd megszorozzuk a kapott törteket a tört törttel való szorzásának szabálya szerint:

Szabály. A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekké, majd meg kell szorozni őket a törtek törtekkel való szorzására vonatkozó szabály szerint.

Jegyzet. Ha az egyik tényező egész szám, akkor a szorzás az eloszlási törvény alapján a következőképpen hajtható végre:

6. Az érdeklődés fogalma. Feladatok megoldásakor, különféle gyakorlati számítások végzésekor mindenféle törtet használunk. De szem előtt kell tartani, hogy sok mennyiség nem enged semmilyen felosztást, hanem a számára természetes felosztást. Például vehet egy rubel egy századrészét (1/100), ez egy kopeck lesz, két század 2 kopecka, három század 3 kopecka. Vehetsz 1/10 rubelt, ez lesz "10 kopejk, vagy egy tízkopejkás darab. Vehetsz negyed rubelt, azaz 25 kopecket, fél rubelt, azaz 50 kopeket (ötven kopecket). De gyakorlatilag nem veszik fel például a rubel 2/7-ét, mert a rubel nincs hetedrészekre osztva.

A súlyegység, azaz a kilogramm elsősorban tizedes osztást tesz lehetővé, például 1/10 kg vagy 100 g, és a kilogramm olyan töredékei, mint az 1/6, 1/11, 1/13, nem általánosak.

Általánosságban elmondható, hogy (metrikus) mértékegységeink decimálisak, és lehetővé teszik a decimális osztást.

Meg kell azonban jegyezni, hogy rendkívül hasznos és kényelmes a legkülönbözőbb esetekben ugyanazt az (egységes) módszert alkalmazni a mennyiségek felosztására. Sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy egy ilyen jól indokolt felosztás a „századik” felosztás. Lássunk néhány példát az emberi gyakorlat legkülönfélébb területeire vonatkozóan.

1. A könyvek ára a korábbi ár 12/100-ával csökkent.

Példa. A könyv korábbi ára 10 rubel volt. 1 rubellel csökkent. 20 kopejkát

2. A takarékpénztárak az év közben megtakarításra elhelyezett összeg 2/100-át fizetik ki a betéteseknek.

Példa. 500 rubelt helyeznek el a pénztárgépben, ebből az összegből az év bevétele 10 rubel.

3. Az egy iskolát végzettek száma az összes tanulólétszám 5/100-a volt.

PÉLDA Az iskolában mindössze 1200 diák tanult, ebből 60 végzett.

A szám századik részét százaléknak nevezzük.

A "százalék" szó innen származik latin nyelv a "cent" gyöke pedig százat jelent. Az elöljárószóval (pro centum) együtt ez a szó azt jelenti, hogy „százért”. Egy ilyen kifejezés jelentése abból következik, hogy kezdetben in az ókori Róma A kamat az a pénz volt, amelyet az adós „minden száz után” fizetett a hitelezőnek. A „cent” szót ilyen ismerős szavakkal hallják: centner (száz kilogramm), centiméter (mondjuk centiméter).

Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az elmúlt hónapban az üzem az általa gyártott összes termék 1/100-át hibás volt, inkább ezt mondjuk: az elmúlt hónapban az üzem a hibák egy százalékát produkálta. Ahelyett, hogy azt mondanánk: az üzem 4/100-zal több terméket állított elő, mint a megállapított terv, azt mondjuk: az üzem 4 százalékkal haladta meg a tervet.

A fenti példák különbözőképpen fejezhetők ki:

1. A könyvek ára a korábbi árhoz képest 12 százalékkal csökkent.

2. A takarékpénztárak a betéteseknek évente 2 százalékot fizetnek a megtakarításban elhelyezett összeg után.

3. Az egy iskolát végzettek száma az összes iskolai tanuló 5 százaléka volt.

A betű rövidítéséhez a „százalék” szó helyett a % szimbólumot szokás írni.

Ne feledje azonban, hogy a számításoknál a % jel általában nem írható be a problémafelvetésbe és a végeredménybe. Számítások végzésekor ezzel a szimbólummal egész szám helyett 100-as nevezőjű törtet kell írni.

Le kell tudnia cserélni egy egész számot a jelzett ikonnal egy 100-as nevezőjű törtre:

Ezzel szemben meg kell szoknia, hogy a 100-as nevezőjű tört helyett egész számot írjon a jelzett szimbólummal:

7. Adott szám százalékos arányának meghatározása.

1. feladat. Az iskola 200 köbmétert kapott. m tűzifa, 30%-a nyírfa tűzifa. Mennyi nyír tűzifa volt?

Ennek a problémának az a jelentése, hogy a nyírfa tűzifa az iskolába szállított tűzifának csak egy részét tette ki, és ez a rész a 30/100 törtrészben van kifejezve. Ez azt jelenti, hogy feladatunk van megkeresni egy szám törtrészét. A megoldáshoz meg kell szoroznunk a 200-at 30/100-zal (a szám törtjének megtalálásának problémáit úgy oldjuk meg, hogy a számot megszorozzuk a törttel.).

Ez azt jelenti, hogy 200 30%-a 60-nak felel meg.

A 30/100-as töredék ebben a problémában 10-zel csökkenthető. Ezt a csökkentést már a kezdetektől meg lehetne tenni; a probléma megoldása nem változott volna.

2. feladat. 300 gyerek volt a táborban különböző korúak. A 11 évesek 21%-ot, a 12 évesek 61%-ot, végül a 13 évesek 18%-ot tettek ki. Hány gyerek volt minden korosztályból a táborban?

Ebben a feladatban három számítást kell végrehajtania, azaz egymás után meg kell keresnie a 11 éves, majd a 12 éves és végül a 13 éves gyermekek számát.

Ez azt jelenti, hogy itt háromszor kell megtalálnia a szám törtrészét. Csináljuk:

1) Hány 11 éves gyerek volt?

2) Hány 12 éves gyerek volt?

3) Hány 13 éves gyerek volt?

A feladat megoldása után célszerű összeadni a talált számokat; az összegük 300 legyen:

63 + 183 + 54 = 300

Azt is meg kell jegyezni, hogy a problémafelvetésben megadott százalékok összege 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ez arra utal teljes szám a táborban lévő gyerekeket 100%-nak vették.

3 a d a h a 3. A munkás havi 1200 rubelt kapott. Ennek 65%-át élelmiszerre, 6%-át lakásra és fűtésre, 4%-át gázra, villanyra és rádióra, 10%-át kulturális szükségletekre, 15%-át megtakarításra fordította. Mennyi pénzt költöttek a feladatban megjelölt igényekre?

A probléma megoldásához meg kell találni az 1200-nak a töredékét 5-ször.

1) Mennyi pénzt költöttek élelmiszerre? A probléma azt mondja, hogy ez a kiadás a teljes kereset 65%-a, azaz az 1200-as szám 65/100-a.

2) Mennyi pénzt fizetett egy fűtéses lakásért? Az előzőhöz hasonlóan okoskodva a következő számításhoz jutunk:

3) Mennyi pénzt fizetett a gázért, villanyért és rádióért?

4) Mennyi pénzt költöttek kulturális szükségletekre?

5) Mennyi pénzt takarított meg a dolgozó?

Az ellenőrzéshez hasznos összeadni az ebben az 5 kérdésben található számokat. Az összegnek 1200 rubelnek kell lennie. Minden bevétel 100%-nak számít, ami könnyen ellenőrizhető a problémafelvetésben megadott százalékos számok összeadásával.

Három problémát oldottunk meg. Annak ellenére, hogy ezek a problémák különböző dolgokkal foglalkoztak (az iskolai tűzifa szállítása, a különböző korú gyerekek száma, a dolgozói kiadások), ugyanúgy megoldódtak. Ez azért történt, mert minden feladatban a megadott számok több százalékát kellett megtalálni.

90. § Törtosztás.

A törtek felosztásának tanulmányozása során a következő kérdéseket vizsgáljuk meg:

1. Egy egész számot ossz el egy egész számmal.
2. Tört elosztása egész számmal
3. Egész szám elosztása törttel.
4. Tört elosztása törttel.
5. Vegyes számok felosztása.
6. Szám keresése adott törtéből.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Tekintsük őket egymás után.

1. Egy egész számot ossz el egy egész számmal.

Ahogy az egész számok osztályában jeleztük, az osztás az a művelet, amely abból áll, hogy két tényező (osztalék) és ezen tényezők egyikének (osztó) szorzata esetén egy másik tényezőt találunk.

Az egész számokról szóló részben megvizsgáltuk egy egész szám egész számmal való osztását. Az osztásnak két esetével találkoztunk ott: maradék nélkül, vagy „egészen” (150: 10 = 15), illetve maradékkal (100: 9 = 11 és 1 maradék). Azt mondhatjuk tehát, hogy az egész számok területén a pontos osztás nem mindig lehetséges, mivel az osztó nem mindig az osztó egész számmal való szorzata. A törttel való szorzás bevezetése után az egész számok osztásának bármely esetét lehetségesnek tekinthetjük (csak a nullával való osztás kizárt).

Például 7 elosztása 12-vel azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelynek 12-vel való szorzata 7 lenne. Ilyen szám a 7/12 tört, mert 7/12 12 = 7. Egy másik példa: 14: 25 = 14 / 25, mert 14 / 25 25 = 14.

Így egy egész szám egész számmal való osztásához létre kell hozni egy törtet, amelynek számlálója egyenlő az osztóval, a nevező pedig az osztóval.

2. Tört elosztása egész számmal.

A 6/7 törtet osszuk el 3-mal. A fenti osztásdefiníció szerint itt van a szorzat (6/7) és az egyik tényező (3); meg kell találnia egy második tényezőt, amelyet 3-mal megszorozva adna ez a munka 6/7. Nyilvánvalóan háromszor kisebbnek kell lennie, mint ez a termék. Ez azt jelenti, hogy az előttünk álló feladat az volt, hogy a tört 6/7-ét 3-szorosára csökkentsük.

Azt már tudjuk, hogy egy tört csökkentése történhet a számláló csökkentésével vagy a nevező növelésével. Ezért írhatod:

BAN BEN ebben az esetben A 6-os számláló osztható 3-mal, ezért a számlálót felezni kell.

Vegyünk egy másik példát: 5 / 8 osztva 2-vel. Itt az 5 számláló nem osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a nevezőt meg kell szorozni ezzel a számmal:

Ez alapján egy szabályt lehet alkotni: Egy tört egész számmal való osztásához el kell osztani a tört számlálóját az egész számmal.(ha lehetséges), ugyanazt a nevezőt hagyja meg, vagy szorozza meg a tört nevezőjét ezzel a számmal, és hagyja meg ugyanazt a számlálót.

3. Egész szám elosztása törttel.

Legyen szükséges az 5-öt elosztani 1/2-vel, azaz találni egy olyan számot, amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Nyilván ennek a számnak nagyobbnak kell lennie 5-nél, mivel az 1/2 megfelelő tört , és egy szám szorzásakor a megfelelő tört szorzatának kisebbnek kell lennie a szorzandó szorzatnál. Hogy ez világosabb legyen, írjuk le a tetteinket a következő módon: 5: 1 / 2 = x , ami azt jelenti, hogy x 1/2 = 5.

Meg kell találnunk egy ilyen számot x , amit 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Mivel egy bizonyos szám 1/2-vel való szorzata azt jelenti, hogy ennek a számnak az 1/2-ét találjuk meg, ezért 1/2 ismeretlen dátum x egyenlő 5-tel és az egész számmal x kétszer annyi, azaz 5 2 = 10.

Tehát 5: 1/2 = 5 2 = 10

Ellenőrizzük:

Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy 6-ot el kell osztanunk 2/3-dal. Először próbáljuk meg megtalálni a kívánt eredményt a rajz segítségével (19. ábra).

19. ábra

Rajzoljunk egy 6 egységnek megfelelő AB szakaszt, és osszuk fel az egységeket 3 egyenlő részre. Mindegyik egységben a teljes AB szegmens háromharmada (3/3) hatszor nagyobb, azaz. e. 18/3. Kis zárójelekkel összekötjük a 18 kapott szegmenst, mindegyik 2-t; Csak 9 szegmens lesz. Ez azt jelenti, hogy a 2/3-as tört 9-szer 6 egységben található, vagy más szóval a 2/3-os tört 9-szer kisebb, mint 6 egész egység. Ennélfogva,

Hogyan lehet elérni ezt az eredményt rajz nélkül, pusztán számításokkal? Indokoljunk így: el kell osztanunk 6-ot 2/3-mal, azaz arra a kérdésre kell válaszolnunk, hogy a 6 hányszor tartalmazza a 2/3-ot. Először nézzük meg: hányszor van 6-ban 1/3? Egy egész egységben 3 harmada van, 6 egységben pedig 6-szor több, azaz 18 harmad; ennek a számnak a meghatározásához meg kell szorozni a 6-ot 3-mal. Ez azt jelenti, hogy az 1/3 b egységben 18-szor, a 2/3-ban pedig nem 18-szor, hanem feleannyiszor van benne, azaz 18: 2 = 9 Ezért a 6-ot 2/3-mal osztva a következőket tettük:

Innen kapjuk meg az egész szám törttel való osztásának szabályát. Egy egész szám törttel való osztásához ezt az egész számot meg kell szorozni az adott tört nevezőjével, és ezt a szorzatot számlálóvá téve elosztani az adott tört számlálójával.

Írjuk fel a szabályt betűkkel:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való osztásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ott ugyanazt a képletet kapták.

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

4. Tört elosztása törttel.

Tegyük fel, hogy el kell osztani a 3/4-et 3/8-cal. Mit jelent az osztásból származó szám? Megválaszolja a kérdést, hogy a 3/8-as tört hányszor szerepel a 3/4-ben. A probléma megértéséhez készítsünk rajzot (20. ábra).

Vegyünk egy AB szakaszt, vegyük egynek, osszuk 4 egyenlő részre, és jelöljünk be 3 ilyen részt. Az AC szegmens az AB szegmens 3/4-e lesz. Osszuk most fel mind a négy eredeti szakaszt, ekkor az AB szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik ilyen rész egyenlő lesz az AB szakasz 1/8-ával. Kössünk össze 3 ilyen szakaszt ívekkel, akkor az AD és a DC szegmensek mindegyike egyenlő lesz az AB szakasz 3/8-ával. A rajz azt mutatja, hogy egy 3/8-al egyenlő szegmens pontosan 2-szer szerepel egy 3/4-nek megfelelő szegmensben; Ez azt jelenti, hogy az osztás eredménye a következőképpen írható fel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 15/16-ot 3/32-vel:

Így érvelhetünk: meg kell találnunk egy számot, amely 3/32-vel való szorzás után 15/16 szorzatot ad. Írjuk fel a számításokat így:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 ismeretlen szám x a 15/16

1/32 egy ismeretlen szám x van,

32/32 számok x smink .

Ennélfogva,

Így egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második számlálójával, és az első szorzatot kell számlálóvá tenni, a második pedig a nevezőt.

Írjuk fel a szabályt betűkkel:

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

5. Vegyes számok felosztása.

Vegyes számok felosztásánál először át kell alakítani őket helytelen törtek és majd a kapott törteket a törtszámok osztására vonatkozó szabályok szerint osszuk el. Nézzünk egy példát:

Váltsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:

Most osszuk el:

Így a vegyes számok felosztásához hibás törtekké kell konvertálnia őket, majd osztani kell a törtosztás szabályával.

6. Szám keresése adott törtéből.

Között különféle feladatokat a törteken néha vannak olyanok, amelyekben egy ismeretlen szám törtrészének értéke van megadva, és meg kell találnia ezt a számot. Ez a fajta probléma az adott szám törtrészének meghatározására vonatkozó probléma fordítottja lesz; ott egy számot adtak, és meg kellett találni ennek a számnak egy töredékét, itt egy szám törtrészét és magát ezt a számot kellett megtalálni. Ez a gondolat még világosabbá válik, ha az ilyen típusú problémák megoldása felé fordulunk.

1. feladat. Az első napon 50 ablakot üvegeztek be az üvegezők, ami az épített ház összes ablakának 1/3-a. Hány ablak van a házban?

Megoldás. A probléma azt mondja, hogy 50 üvegezett ablak teszi ki a ház összes ablakának 1/3-át, ami azt jelenti, hogy összesen 3-szor több ablak van, pl.

A háznak 150 ablaka volt.

2. feladat. Az üzlet 1500 kg lisztet adott el, ami az üzlet teljes lisztkészletének 3/8-a. Mennyi volt a bolt kezdeti lisztkészlete?

Megoldás. A probléma körülményeiből kitűnik, hogy 1500 kg eladott liszt a teljes készlet 3/8-át teszi ki; Ez azt jelenti, hogy ennek a tartaléknak az 1/8-a 3-szor kevesebb lesz, azaz kiszámításához 1500-at kell háromszorosára csökkenteni:

1500: 3 = 500 (ez a tartalék 1/8-a).

Nyilvánvalóan a teljes kínálat nyolcszor nagyobb lesz. Ennélfogva,

500 8 = 4000 (kg).

A kezdeti lisztkészlet a boltban 4000 kg volt.

Ennek a problémának a figyelembevételével a következő szabályra lehet következtetni.

Ahhoz, hogy a tört adott értékéből számot találjunk, elegendő ezt az értéket elosztani a tört számlálójával, és az eredményt megszorozni a tört nevezőjével.

Két feladatot oldottunk meg a törtszám alapján. Az ilyen problémákat, amint az az utolsóból különösen jól látható, két művelettel oldják meg: osztással (amikor egy részt találunk) és szorzással (ha az egész számot megtaláljuk).

Miután azonban megtanultuk a törtek osztását, a fenti problémák egy művelettel megoldhatók, nevezetesen: törtosztással.

Például az utolsó feladat egy művelettel megoldható:

A jövőben egy művelettel - osztással - megoldjuk a szám törtéből való megtalálásának problémáit.

7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Ezekben a feladatokban meg kell találnia egy számot, amely ismeri ennek a számnak néhány százalékát.

1. feladat. Először jelen év 60 rubelt kaptam a takarékpénztártól. bevétel abból az összegből, amit egy éve megtakarításba tettem. Mennyi pénzt tettem a takarékpénztárba? (A pénztárak évi 2%-os hozamot adnak a betéteseknek.)

A probléma lényege, hogy betettem egy bizonyos összeget egy takarékpénztárba, és ott maradtam egy évig. Egy év után 60 rubelt kaptam tőle. bevétel, ami az általam elhelyezett pénz 2/100-a. Mennyi pénzt tettem bele?

Következésképpen ennek a pénznek egy részét ismerve, kétféleképpen (rubelben és töredékben) kifejezve, meg kell találnunk a teljes, még ismeretlen összeget. Ez hétköznapi feladat hogy megtaláljuk a törtszámát. A következő problémákat osztással oldjuk meg:

Ez azt jelenti, hogy 3000 rubelt helyeztek el a takarékpénztárban.

2. feladat. A halászok két hét alatt 64%-kal teljesítették a havi tervet, 512 tonna halat zsákmányoltak ki. Mi volt a tervük?

A probléma körülményeiből ismert, hogy a halászok befejezték a terv egy részét. Ez a rész 512 tonnának felel meg, ami a terv 64%-a. Nem tudjuk, hány tonna halat kell elkészíteni a terv szerint. Ennek a számnak a megtalálása lesz a megoldás a problémára.

Az ilyen problémákat felosztással oldják meg:

Ez azt jelenti, hogy a terv szerint 800 tonna halat kell előkészíteni.

3. feladat. A vonat Rigából Moszkvába ment. Amikor áthaladt a 276. kilométeren, az egyik utas megkérdezte egy arra haladó kalauztól, hogy mennyit tettek meg már az útból. A karmester erre azt válaszolta: „A teljes út 30%-át már megtettük.” Mi a távolság Riga és Moszkva között?

A problémakörülményekből egyértelműen kiderül, hogy a Riga és Moszkva közötti útvonal 30%-a 276 km. Meg kell találnunk a városok közötti teljes távolságot, azaz ehhez a részhez meg kell találnunk az egészet:

91. § Kölcsönös számok. Az osztás helyettesítése szorzással.

Vegyük a 2/3 törtet, és cseréljük ki a számlálót a nevező helyére, 3/2-t kapunk. Ennek a törtnek az inverzét kaptuk.

Egy adott tört inverzének kiszámításához a nevező helyére a számlálót, a számláló helyére pedig a nevezőt kell tenni. Ily módon bármely tört reciprokát megkaphatjuk. Például:

3/4, fordított 4/3; 5/6, fordított 6/5

Két olyan törtet nevezünk, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az első számlálója a második nevezője, az elsőé pedig a másodiké. kölcsönösen inverz.

Most gondoljuk át, hogy melyik tört lesz az 1/2 reciprokja. Nyilvánvalóan 2/1 lesz, vagy csak 2. Az adott inverz törtét keresve egész számot kaptunk. És ez az eset nem elszigetelt; ellenkezőleg, minden 1 (egy) számlálóval rendelkező tört esetén a reciprok egész számok lesznek, például:

1/3, fordított 3; 1/5, fordított 5

Mivel a reciprok törtek keresésekor egész számokkal is találkoztunk, a következőkben nem reciprok törtekről, hanem reciprok számokról lesz szó.

Találjuk ki, hogyan írjuk fel egy egész szám inverzét. A törtek esetében ez egyszerűen megoldható: a számláló helyére a nevezőt kell tenni. Ugyanígy megkaphatjuk egy egész szám inverzét is, mivel bármely egész szám nevezője lehet 1. Ez azt jelenti, hogy a 7 inverze 1/7 lesz, mert 7 = 7/1; a 10-es szám inverze 1/10 lesz, mivel 10 = 10/1

Ezt a gondolatot többféleképpen is megfogalmazhatjuk: adott szám reciprokát egyet osztva kapunk adott szám . Ez az állítás nemcsak egész számokra igaz, hanem törtekre is. Valójában, ha az 5/9 tört inverzét kell felírnunk, akkor vehetünk 1-et és oszthatjuk 5/9-cel, azaz.

Most emeljünk ki egy dolgot ingatlan reciprok számok, amelyek hasznosak lesznek számunkra: a reciprok számok szorzata eggyel egyenlő. Valóban:

Ezt a tulajdonságot felhasználva a következő módon találhatunk reciprok számokat. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 8 inverzét.

Jelöljük betűvel x , majd 8 x = 1, tehát x = 1/8. Keressünk egy másik számot, amely a 7/12 inverze, és jelöljük betűvel x , majd 7/12 x = 1, tehát x = 1:7/12 vagy x = 12 / 7 .

Itt vezettük be a reciprok számok fogalmát, hogy némileg kiegészítsük a törtosztással kapcsolatos információkat.

Ha a 6-ot elosztjuk 3/5-tel, a következőket tesszük:

Kérlek fizess Speciális figyelem kifejezésre, és hasonlítsa össze a megadottal: .

Ha a kifejezést külön vesszük, anélkül, hogy az előzőhöz kapcsolódnánk, akkor lehetetlen megoldani azt a kérdést, hogy honnan jött: a 6-ot 3/5-tel osztva, vagy a 6-ot 5/3-dal megszorozva. Mindkét esetben ugyanaz történik. Ezért mondhatjuk hogy az egyik szám elosztása a másikkal helyettesíthető az osztalék szorzásával az osztó inverzével.

Az alábbiakban bemutatott példák teljes mértékben megerősítik ezt a következtetést.

A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket életükön keresztül, hiszen a mindennapi életben gyakran nem egészben, hanem külön-külön kell egy tárgyat figyelembe venni vagy használni. Kezdje el tanulmányozni ezt a témát - megosztások. A részvények egyenlő részek, amelybe ez vagy az a tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet egy termék hosszát vagy árát egész számként kifejezni, figyelembe kell venni valamilyen mértékegységet. A „hasadás” - részekre osztás igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, maga a „töredék” szó a 8. században jelent meg az orosz nyelvben.

Törtkifejezések hosszú idő a matematika legnehezebb ágának tartják. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megérteni az emberek számára.

Modern megjelenés az egyszerű töredékmaradványokat, amelyek részeit vízszintes vonal választja el, először Fibonacci – pisai Leonardo hirdette. Művei 1202-re datálhatók. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan történik a szorzás vegyes frakciók különböző nevezőkkel.

Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása

Kezdetben érdemes meghatározni törtek fajtái:

• helyes;
• helytelen;
• vegyes.

Ezután emlékeznie kell arra, hogy az azonos nevezővel rendelkező törtszámok hogyan szorozódnak. Ennek a folyamatnak a szabályát nem nehéz önállóan megfogalmazni: az azonos nevezővel rendelkező egyszerű törtek szorzatának eredménye egy törtkifejezés, amelynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. . Vagyis az új nevező az eredetileg meglévők valamelyikének négyzete.

A szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Az egyetlen különbség az alakult szám alatt vágás különböző számok szorzata lesz, és természetesen az egy négyzete numerikus kifejezés lehetetlen megnevezni.

Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

A példák a törtkifejezések csökkentésére szolgáló módszereket alkalmaznak. A számláló számokat csak akkor lehet kicsinyíteni, ha a nevező számok egymás mellett vannak szorzókat ér Nem lehet rövidíteni a törtvonal felett vagy alatt.

Az egyszerűvel együtt törtszámok, létezik a vegyes törtek fogalma. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hogyan működik a szorzás?

Több példa is megfontolandó.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

A példa egy szám szorzását használja közönséges tört rész, a művelet szabálya a következőképpen írható fel:

a* b/c = a*b /c.

Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a tagok száma ezt a természetes számot jelzi. Különleges eset:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Van egy másik megoldás is egy szám tört maradékkal való szorzására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:

d* e/f = e/f: d.

Ez a technika akkor hasznos, ha a nevezőt elosztjuk egy maradék nélküli természetes számmal, vagy ahogy mondják, egész számmal.

Váltsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ez a példa egy vegyes tört helytelen törtként való ábrázolásának módját tartalmazza, de úgy is ábrázolható, mint általános képlet:

a bc = a*b+ c/c, ahol a nevező új frakcióúgy keletkezik, hogy az egész részt megszorozzuk a nevezővel és összeadjuk az eredeti tört maradék számlálójával, és a nevező változatlan marad.

Ez a folyamat is működik hátoldal. A teljes rész és a tört maradék szétválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarok” segítségével.

Nem megfelelő törtek szorzásaáltalánosan elfogadott módon állítják elő. Ha egyetlen törtsor alá ír, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és megkönnyítse az eredmény kiszámítását.

Az interneten sok segítő található még bonyolult problémák megoldására is. matematikai feladatok különféle programváltozatokban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a törtek szorzásának megszámlálásához különböző számok nevezőkben - úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Képesek nemcsak szorozni, hanem minden más egyszerű aritmetikai műveletet is végrehajtani közönséges törtekkel és vegyes számokkal. Könnyű vele dolgozni, töltse ki a megfelelő mezőket a webhely oldalán, és válassza ki a jelet matematikai műveletés kattintson a „számítás” gombra. A program automatikusan számol.

Tantárgy aritmetikai műveletek a törtszámokkal a közép- és középiskolások oktatása során végig releváns. Középiskolában már nem a legegyszerűbb fajt tartják, hanem egész törtkifejezések , de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. Jól tanult Alap tudás teljes bizalmat adni sikeres döntést a legtöbb összetett feladatok.

Befejezésül érdemes idézni Lev Nyikolajevics Tolsztoj szavait, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nincs hatalmában a számlálóját - érdemeit - növelni, de nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét - bárki csökkentheti, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.

) és nevezőről nevezőt (a szorzat nevezőjét kapjuk).

A törtek szorzásának képlete:

Például:

Mielőtt elkezdené a számlálók és nevezők szorzását, ellenőriznie kell, hogy a tört csökkenthető-e. Ha csökkenteni tudja a törtet, akkor könnyebb lesz további számításokat végeznie.

Közönséges tört elosztása törttel.

Természetes számokat tartalmazó törtek osztása.

Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Az összeadáshoz hasonlóan az egész számot olyan törtté alakítjuk, amelynek nevezője egy. Például:

Vegyes törtek szorzása.

A törtek szorzásának szabályai (vegyes):

• a kevert frakciókat nem megfelelő frakciókká alakítja át;
• a törtek számlálóinak és nevezőinek szorzása;
• csökkentse a frakciót;
• Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.

Jegyzet! Egy vegyes tört egy másik vegyes törttel való szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtek formájába, majd meg kell szorozni a közönséges törtek szorzására vonatkozó szabály szerint.

A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.

Kényelmesebb lehet a második szorzási módszer alkalmazása közönséges tört számonként.

Jegyzet! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztania a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagynia.

A fenti példából jól látható, hogy ezt a lehetőséget kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.

Többemeletes törtek.

A középiskolában gyakran találkoznak háromemeletes (vagy több) törtekkel. Példa:

Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, használjon 2 pontra osztást:

Jegyzet! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.

Jegyzet, Például:

Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:

Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha írsz néhány plusz sort a piszkozatodba, mint eltévedni a gondolati számításokban.

2. Feladatokban a különböző típusok törtek - lépjen a közönséges törtek formájába.

3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.

4. A többszintű törtkifejezéseket 2 ponton keresztüli osztás segítségével közönségessé alakítjuk.

5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.

Megoldásokért különféle feladatokat matematika-fizika tantárgyból törteket kell osztani. Nagyon könnyű megtenni, ha tudod bizonyos szabályokat hajtsa végre ezt a matematikai műveletet.

Mielőtt rátérnénk a törtek osztására vonatkozó szabály megfogalmazására, emlékezzünk néhány matematikai kifejezésre:

1. A tört felső részét számlálónak, az alsó részét nevezőnek nevezzük.
2. Osztáskor a számokat a következőképpen hívjuk: osztó: osztó = hányados

Törtosztás: egyszerű törtek

Két egyszerű tört osztásához szorozzuk meg az osztalékot az osztó reciprokával. Ezt a törtet fordítottnak is nevezik, mert a számláló és a nevező felcserélésével kapjuk. Például:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

A törtek felosztása: vegyes törtek

Ha vegyes törteket kell osztanunk, akkor itt is minden elég egyszerű és világos. Először a kevert törtet alakítjuk át szabályos nem megfelelő törtté. Ehhez szorozzuk meg egy ilyen tört nevezőjét egy egész számmal, és adjuk hozzá a számlálót a kapott szorzathoz. Ennek eredményeként a vegyes tört új számlálóját kaptuk, de a nevezője változatlan marad. Továbbá a törtek felosztása pontosan ugyanúgy történik, mint az egyszerű törtek felosztása. Például:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Hogyan kell elosztani egy törtet egy számmal

A megosztás érdekében egyszerű tört számra, az utóbbit törtként (szabálytalanul) kell írni. Ez nagyon egyszerű: a számláló helyére ez a szám van írva, és egy ilyen tört nevezője egyenlő eggyel. A további felosztás a szokásos módon történik. Nézzük ezt egy példával:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Hogyan kell osztani a tizedesjegyeket

Gyakran egy felnőttnek nehézséget okoz egy egész szám vagy egy tizedes tört elosztása tizedes törttel számológép segítsége nélkül.

Tehát az osztás elvégzéséhez tizedesjegyek, csak át kell húzni a vesszőt az osztóban, és nem kell figyelni rá. Az osztalékban a vesszőt pontosan annyi helyen kell jobbra mozgatni, amennyi az osztó törtrészében volt, szükség esetén nullákat hozzáadva. És folytatják a termelést szabályos felosztás egész számmal. Ennek egyértelműbbé tétele érdekében vegye figyelembe a következő példát.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete