A világ legnehezebb egyenlete. Képletek és egyenletek, amelyek megváltoztatták a világot

Ian Stewart matematikus Az ismeretlen nyomában: 17 egyenlet, amely megváltoztatta a világot című új könyvében minden idők legfontosabb egyenleteit vizsgálja, és példákat mutat be gyakorlati alkalmazásukra.

A Pitagorasz-tétel szerint in derékszögű háromszög a hipotenusz hosszának négyzete egyenlő az összeggel lábhosszúságú négyzetek.

Fontosság: A Pitagorasz-tétel a geometria legfontosabb egyenlete, amely összekapcsolja az algebrával és a trigonometria alapja. Enélkül lehetetlen lenne pontos térképészetet és navigációt létrehozni.

Modern használat: A háromszögelést ma is használják a GPS-navigáció relatív helyeinek pontos meghatározására.

A logaritmus az a hatvány, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy argumentumot kapjunk.

Fontosság: A logaritmusok igazi forradalmat jelentettek, lehetővé téve a csillagászok és mérnökök számára, hogy gyorsabban és pontosabban végezzenek számításokat. A számítógépek megjelenésével nem veszítettek jelentőségükből, mivel továbbra is nélkülözhetetlenek a tudósok számára.

Modern használat: A logaritmusok fontos összetevői a radioaktív bomlás megértésének.

Az elemzés alaptétele ill Newton – Leibniz képlet két művelet kapcsolatát adja meg: vétel határozott integrálés az antiderivált kiszámítása.

Fontosság: A ténylegesen létrejött elemzési tétel modern világ. A Calculus rendelkezik fontos a szilárdtestek, görbék és területek mérésének megértésében. Sokaknak ez az alapja természeti törvényekés differenciálegyenletek forrása.

Modern használat: Bármilyen matematikai feladat ahol optimális megoldásra van szükség. Elengedhetetlen az orvostudomány, a közgazdaságtan és a számítástechnika számára.

Newton klasszikus gravitációs elmélete a gravitációs kölcsönhatást írja le.

Fontosság: Az elmélet lehetővé teszi két objektum közötti gravitációs erő kiszámítását. Bár később Einstein relativitáselmélete kiszorította, az elmélet még mindig szükséges ahhoz, hogy gyakorlatilag leírjuk, hogyan hatnak egymásra az objektumok. A mai napig használjuk műholdak és űrhajók pályájának tervezésére.

Modern használat: Lehetővé teszi, hogy megtalálja a legenergiatakarékosabb módokat a műholdak felbocsátására és űrszondák. Lehetővé teszi a műholdas TV-t is.

Komplex számok

A komplex számok a valós számok mezőjének kiterjesztései.

Fontosság: Sokan modern technológiák, beleértve a digitális fényképezőgépeket is, nélküle nem lehetett volna feltalálni komplex számok. Azt az elemzést is biztosítják, amelyet a mérnököknek meg kell oldaniuk gyakorlati problémák a repülésben.

Modern használat: Széles körben használják az elektrotechnikában és összetett matematikai elméletekben.

Fontosság: Hozzájárult a topológiai tér megértéséhez, amelyben csak a folytonosság tulajdonságait veszik figyelembe. Szükséges eszköz mérnököknek és biológusoknak.

Modern használat: A topológiát a DNS viselkedésének és működésének megértésére használják.

Fontosság: Az egyenlet az alap modern statisztika. Természetes és társadalomtudományok jelen formájukban nem létezhetnének nélküle.

Modern használat: Klinikai vizsgálatok során alkalmazzák a gyógyszerek hatékonyságának a negatív mellékhatásokkal szembeni meghatározására.

A hullámok viselkedését leíró differenciálegyenlet.

Fontosság: A hullámokat tanulmányozzák a földrengések idejének és helyének meghatározására, valamint az óceánok viselkedésének előrejelzésére.

Modern használat: Az olajtársaságok robbanóanyagokat használnak, majd adatokat olvasnak a későbbiekből hanghullámok geológiai képződmények azonosítására.

Fontosság: Az egyenlet lehetővé teszi összetett minták lebontását, finomítását és elemzését.

Modern használat: JPEG képinformációk tömörítésére, valamint molekulák szerkezetének kimutatására használják.

Navier-Stokes egyenletek

Navier-Stokes egyenletek

Az egyenlet bal oldalán a gyorsulás található kis mennyiségben folyadékok, jobb oldalon - a rá ható erők.

Fontosság: Miután a számítógépek elég erősek lettek ahhoz, hogy megoldják ezt az egyenletet, felfedeztek egy összetett és nagyon hasznos terület fizika. Különösen hasznos a járművek jobb aerodinamikájának megteremtéséhez.

Modern használat: Az egyenlet többek között a modern utasszállító repülőgépek fejlesztésében is segített.

Mutassa be az elektromágneses teret és annak kapcsolatát! elektromos töltések valamint áramok vákuumban és folyamatos közegben.

Fontosság: Segített megérteni elektromágneses hullámok, amely hozzájárult számos ma használt technológia létrehozásához.

Modern használat: Radar, televízió és modern eszközökkel kommunikáció.

Idővel minden energia és hő eltűnik.

Fontosság: Alapvető fontosságú az energiáról és a világegyetemről az entrópia fogalmán keresztül történő megértéséhez. A törvény felfedezése hozzájárult a gőzgép fejlesztéséhez.

Modern használat: Segített bebizonyítani, hogy az anyag atomokból áll, a fizikusok még mindig használják ezt a tudást.

Az energia egyenlő tömeggel és a fénysebesség négyzetével.

Fontosság: Valószínűleg a történelem leghíresebb egyenlete. Teljesen megváltoztatta az anyagról és a valóságról alkotott nézetünket.

Modern használat: Segített létrehozni nukleáris fegyverek. GPS-navigációban használatos.

Schrödinger egyenlet

Az anyagot inkább hullámként írja le, mint részecskeként.

Fontosság: Fenekestül felforgatta a fizikusok elképzeléseit – a részecskék számos lehetséges állapotban létezhetnek.

Modern használat: Jelentős hozzájárulás a félvezetők és tranzisztorok használatához, így a legtöbb modern számítástechnikához.

Megbecsüli egy kódrészletben lévő adatmennyiséget a szimbólumok valószínűségének kiszámításával.

Fontosság: Ez az egyenlet, amely megnyitotta az ajtót az információs korszak felé.

Modern használat: Nagyjából bármi köze van a kódolási (programozási) hibák megtalálásához.

A korlátozott erőforrásokkal rendelkező élőlények populációjának változásainak felmérése generációról generációra.

Fontosság: Segített a fejlesztésében, ami teljesen megváltoztatta a természetes rendszerek működésével kapcsolatos ismereteinket.

Modern használat: Földrengések modellezésére és időjárás előrejelzésére használják.

Black-Scholes modell

Az egyik opciós árképzési modell.

Fontosság: Segített létrehozni több billió dollárt. Egyes szakértők szerint visszaélés formula (és származékai) hozzájárultak a pénzügyi válsághoz. Az egyenlet több olyan feltételezést is megfogalmaz, amelyek a valós pénzügyi piacokon nem igazak.

Modern használat: Még a válság után is használják az árak meghatározására.

Konklúzió helyett

Számos más fontos egyenlet és képlet létezik a világon, amelyek megváltoztatták az emberiség egészének és a mi sorsunknak a sorsát. személyes élet különösen. Köztük a Hodgkin-Huxley modell, a Kalman-szűrő és természetesen az egyenlet keresőmotor Google. Reméljük, sikerült megmutatnunk, milyen fontos a matematika, és milyen felbecsülhetetlen értékű hozzájárulása minden ember számára.

A matematika, mint ismeretes, a „tudományok királynője”. Azok, akik ezt komolyan tanulmányozzák, különleges emberek – képletek és számok világában élnek. A matematika világának megértésének gyakorlati értelme is van: a Clay Institute kész egymillió dollárt adni számos probléma megoldásáért.

1. Riemann hipotézis

Mindannyian emlékszünk az iskolából számos ilyen számra, amelyek csak önmagukkal és eggyel oszthatók. Egyszerűnek nevezik őket (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...). Az eddig ismert legnagyobb prímszámok 2008 augusztusában találták, és 12 978 189 számjegyből áll. A matematikusok számára ezek a számok nagyon fontosak, de hogyan oszlanak el számsorozat még mindig nem teljesen világos.

1859-ben Bernhard Riemann német matematikus saját módszerét javasolta ezek felkutatására és tesztelésére, olyan módszert találva, amellyel meghatározható. maximális mennyiség bizonyost meg nem haladó prímszámok adott szám. A matematikusok már másfél billió prímszámon tesztelték ezt a módszert, de senki sem tudja bizonyítani, hogy a teszt továbbra is sikeres lesz.

Ezek nem egyszerű „elmejátékok”. A Riemann-hipotézist széles körben alkalmazzák adatátviteli biztonsági rendszerek számításánál, így bizonyításának nagy gyakorlati jelentősége van.

2. Navier-Stokes egyenletek

A Navier-Stokes egyenletek képezik a geofizikai hidrodinamikai számítások alapját, beleértve az áramlatok mozgásának leírását a Föld köpenyében. Ezeket az egyenleteket az aerodinamikában is használják.

Lényege, hogy minden mozgást a környezet változásai, turbulencia és áramlások kísérnek. Például, ha egy csónak egy tavon lebeg, akkor a hullámok eltérnek a mozgásától, és hullámok keletkeznek a sík mögött. turbulens áramlások. Ezeket a folyamatokat, ha leegyszerűsítjük, a 19. század első harmadában megalkotott Navier-Stokes egyenletek írják le.

Vannak egyenletek, de még mindig nem tudják megoldani őket. Ráadásul nem ismert, hogy léteznek-e megoldásaik. A matematikusok, fizikusok és tervezők sikeresen alkalmazzák ezeket az egyenleteket, már be is cserélték őket ismert értékek sebesség, nyomás, sűrűség, idő és így tovább.

Ha valakinek sikerül felhasználnia ezeket az egyenleteket fordított irány, azaz egyenlőségből számítva a paramétereket, vagy bebizonyítja, hogy nincs megoldási módszer, akkor ebből a „valakiből” dollármilliomos lesz.

3. Hodge-sejtés

1941-ben William Hodge cambridge-i professzor azt javasolta, hogy bármelyik geometrikus test algebrai egyenletként vizsgálható és összeállítható matematikai modell.

Ha a másik oldalról közelítjük meg ennek a hipotézisnek a leírását, akkor azt mondhatjuk, hogy kényelmesebb bármely objektumot tanulmányozni, ha az összetevőire bontható, és akkor ezek a részek megvizsgálhatók. Itt azonban egy problémával állunk szemben: egyetlen követ megvizsgálva gyakorlatilag semmit nem mondhatunk az ilyen kövekből épült erődítményről, hogy hány helyiségből áll, milyen alakúak. Ezenkívül a kezdeti objektum összeállítása során alkatrészek(amihez szétszedtük) lehet találni plusz alkatrészeket, vagy éppen ellenkezőleg, kihagyni.

Hodge vívmánya, hogy leírta azokat a feltételeket, amelyek mellett nem jelennek meg „extra” alkatrészek, és nem vesznek el a szükséges alkatrészek. És mindezt algebrai számítások segítségével. A matematikusok 70 éve nem tudták bizonyítani vagy megcáfolni feltételezését. Ha sikerül, milliomos leszel.

4. Birch és Swinerton-Dyer sejtés

Az xn + yn + zn + … = tn alakú egyenleteket az ókori matematikusok ismerték. A megoldás a legegyszerűbbre (" Egyiptomi háromszög"- 32 + 42 = 52) már Babilonban ismert volt. Az i.sz. 3. században teljesen feltárta Diophantus alexandriai matematikus, akinek aritmetikája margójára Pierre Fermat megfogalmazta híres tételét.

A számítógép előtti korszakban a legtöbbet több megoldás Ezt az egyenletet 1769-ben Leonhard Euler javasolta (26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734).

Általános, univerzális módszer ilyen egyenletekre nincs számítás, de ismert, hogy mindegyiknek lehet véges ill végtelen szám döntéseket.

1960-ban Birch és Swinerton-Dyer matematikusok számítógépen kísérleteztek néhány ismert görbével, és sikerült létrehozniuk egy olyan módszert, amely minden ilyen egyenletet egy egyszerűbbre, a zéta-függvényre redukált. Feltételezésük szerint, ha ez a függvény az 1. pontban egyenlő 0-val, akkor a kívánt egyenlet megoldásainak száma végtelen lesz. A matematikusok azt feltételezték, hogy ez a tulajdonság minden görbére megmarad, de ezt a feltevést még senki sem tudta bizonyítani vagy megcáfolni.

A hőn áhított millió megszerzéséhez olyan példát kell találni, amelyben a matematikusok feltételezése nem működik.

5. Cook-Lewin probléma

A Cook-Lewin megoldás-ellenőrzéssel az a probléma, hogy bármely megoldás ellenőrzése kevesebb időt vesz igénybe, mint magának a problémának a megoldása. Egyértelműen fogalmazva: tudjuk, hogy valahol az óceán fenekén van egy kincs, de nem tudjuk, hogy pontosan hol. A keresés ezért végtelenül hosszú ideig tarthat. Ha tudjuk, hogy a kincs ilyen és olyan téren található, definiálva adott koordináták, akkor jelentősen leegyszerűsödik a kincskeresés.

És ez mindig így van. Valószínűbb. Eddig a matematikusok és az egyszerű halandók egyike sem tudott olyan problémát találni, amelynek megoldása kevesebb időt vesz igénybe, mint a megoldás helyességének ellenőrzése. Ha hirtelen sikerül találnia egyet, sürgősen írjon az Agyag Intézetnek. Ha a matematikusok bizottsága jóváhagyja, egymillió dollár lesz a zsebében.

A Cook-Lewin problémát még 1971-ben fogalmazták meg, de még senki sem oldotta meg. Megoldása igazi forradalommá válhat a kriptográfiai és titkosítási rendszerekben, hiszen megjelennek az „ideális rejtjelek”, amelyeket gyakorlatilag lehetetlen lesz feltörni.

P.S. A nevem Alexander. Ez az én személyes, független projektem. Nagyon örülök, ha tetszett a cikk. Szeretnél segíteni az oldalnak? Csak nézze meg az alábbi hirdetést, hogy mit keresett nemrég.

Gyakran, amikor középiskolásokkal beszélünk arról kutatómunka a matematikában a következőt hallom: „Mi újat fedezhetünk fel a matematikában?” De tényleg: talán minden nagy felfedezés megtörtént, és a tételek bebizonyosodtak?

1900. augusztus 8-án a párizsi Nemzetközi Matematikai Kongresszuson David Hilbert matematikus felvázolta azon problémák listáját, amelyeket szerinte a XX. században meg kell majd oldani. 23 elem volt a listán. Közülük huszonegy pillanatnyilag megoldva. Hilbert listáján az utolsó megoldandó probléma Fermat híres tétele volt, amelyet a tudósok 358 évig nem tudtak megoldani. 1994-ben a brit Andrew Wiles javasolta a megoldását. Igaznak bizonyult.

Gilbert példáját követve a múlt század végén sok matematikus próbált hasonlót megfogalmazni stratégiai célok a 21. századra. Az egyik ilyen lista széles körben ismertté vált Landon T. Clay bostoni milliárdosnak köszönhetően. 1998-ban az ő pénzéből Cambridge-ben (Massachusetts, USA) megalapították a Clay Mathematics Institute-ot, és számos probléma megoldásáért díjakat alapítottak. a legfontosabb problémákat modern matematika. 2000. május 24-én az intézet szakemberei hét problémát választottak ki – a díjra szánt dollármilliók számának megfelelően. A lista neve Millennium Prize Problems:

1. Cook problémája (1971-ben megfogalmazva)

Tegyük fel, hogy te, mint egy nagy társaság, szeretnél megbizonyosodni arról, hogy a barátod is ott van. Ha azt mondják, hogy a sarokban ül, akkor egy másodperc töredéke elég lesz ahhoz, hogy egy pillantást vessen és meggyőződjön az információ igazságáról. Ezen információk nélkül kénytelen lesz körbejárni az egész helyiséget, és a vendégeket nézni. Ez arra utal, hogy egy probléma megoldása gyakran tovább tart, mint a megoldás helyességének ellenőrzése.

Stephen Cook megfogalmazta a problémát: a probléma megoldásának helyességének ellenőrzése tovább tarthat, mint magának a megoldásnak a megszerzése, függetlenül az ellenőrző algoritmustól. Ez a probléma a logika és a számítástechnika területén is a megoldatlan problémák közé tartozik. A döntése lehet forradalmi módon megváltoztatni az adatátvitelben és -tárolásban használt kriptográfia alapjait.

2. Riemann hipotézis (1859-ben megfogalmazva)

Egyes egész számokat nem lehet két kisebb egész szám szorzataként kifejezni, például 2, 3, 5, 7 és így tovább. Az ilyen számokat prímszámnak és játéknak nevezzük fontos szerepet a tiszta matematikában és alkalmazásaiban. A prímszámok eloszlása ​​az összes sorozat között természetes számok nem követ semmilyen mintát. Riemann német matematikus azonban sejtést tett a prímszámok sorozatának tulajdonságairól. Ha a Riemann-hipotézis bebizonyosodik, az ahhoz vezet forradalmi változás tudásunkat a titkosítás területén, és egy példátlan áttörést az internetbiztonság terén.

3. Birch és Swinnerton-Dyer hipotézis (1960-ban megfogalmazva)

Számos megoldás leírásához kapcsolódik egyesekhez algebrai egyenletek több egész együtthatós változóból. Ilyen egyenletre példa az x2 + y2 = z2 kifejezés. Eukleidész adta teljes leírás megoldások erre az egyenletre, de többre összetett egyenletek a megoldások megtalálása rendkívül nehézzé válik.

4. Hodge hipotézise (1941-ben megfogalmazva)

A huszadik században a matematikusok felfedezték erőteljes módszerösszetett tárgyak alakjának vizsgálata. A fő ötlet az, hogy az objektum helyett egyszerű „téglákat” használjunk, amelyeket összeragasztanak és kialakítják a hasonlatot. Hodge hipotéziséhez kapcsolódik néhány feltételezés az ilyen „téglák” és tárgyak tulajdonságaira vonatkozóan.

5. Navier – Stokes egyenletek (1822-ben megfogalmazva)

Ha csónakban vitorlázunk a tavon, hullámok támadnak, ha pedig repülőgépen repülünk, turbulens áramlatok támadnak a levegőben. Feltételezzük, hogy ezeket és más jelenségeket a Navier-Stokes egyenletekként ismert egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek a megoldásai ismeretlenek, és még azt sem tudni, hogyan kell megoldani őket. Meg kell mutatni, hogy létezik és elégséges megoldás sima funkció. A probléma megoldása jelentősen megváltoztatja a hidro- és aerodinamikai számítások elvégzésének módszereit.

6. Poincaré probléma (megfogalmazva 1904-ben)

Ha egy gumiszalagot húz egy almára, a szalag lassú mozgatásával anélkül, hogy felemelné a felületről, egy pontig összenyomhatja. Másrészt, ha ugyanazt a gumiszalagot megfelelően kifeszítik egy fánk köré, akkor nem lehet egy pontig összenyomni a szalagot anélkül, hogy a szalag elszakadna vagy a fánk eltörne. Azt mondják, hogy az alma felülete egyszerűen össze van kötve, de a fánk felülete nem. Olyan nehéznek bizonyult bebizonyítani, hogy egyszerűen csak a gömb kapcsolódik össze, hogy a matematikusok még mindig keresik a helyes választ.

7. Yang-Mills egyenletek (1954-ben megfogalmazva)

Egyenletek kvantumfizika leírni a világot elemi részecskék. Young és Mills fizikusok, miután felfedezték a geometria és a részecskefizika közötti kapcsolatot, megírták egyenleteiket. Így módot találtak arra, hogy egységesítsék az elméleteket az elektromágneses, gyenge és erős kölcsönhatások. A Yang-Mills egyenletek olyan részecskék létezését feltételezték, amelyeket valóban megfigyeltek laboratóriumokban szerte a világon, így a Yang-Mills elméletet a legtöbb fizikus elfogadja annak ellenére, hogy ezen elmélet keretein belül még mindig nem lehet megjósolni a elemi részecskék tömegei.

52. Több összetett példák egyenletek.
1. példa

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

A közös nevező x 2 – 1, mivel x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Szorozzuk meg ennek az egyenletnek mindkét oldalát x 2 – 1-gyel.

vagy csökkentése után

5 (x + 1) – 3 (x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 és x = 3½

Nézzünk egy másik egyenletet:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4 (x 2 – 1)

A fentiek szerint megoldva a következőket kapjuk:

5 (x + 1) – 3 (x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 vagy 2x = 2 és x = 1.

Nézzük meg, hogy igazoltak-e az egyenlőségeink, ha minden figyelembe vett egyenletben x-et helyettesítünk a talált számmal.

Az első példában ezt kapjuk:

Látjuk, hogy nincs helye kétségnek: olyan számot találtunk x-re, amely igazolja a szükséges egyenlőséget.

A második példában ezt kapjuk:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) vagy 5/0 – 3/2 = 15/0

Itt kétségek merülnek fel: nullával való osztással állunk szemben, ami lehetetlen. Ha a jövőben sikerül bizonyos, bár közvetett jelentést adni ennek a felosztásnak, akkor egyetérthetünk abban, hogy az x – 1 talált megoldás kielégíti az egyenletünket. Addig is el kell ismernünk, hogy egyenletünknek nincs közvetlen jelentéssel bíró megoldása.

Hasonló esetek fordulhatnak elő, amikor az ismeretlen valamilyen módon bekerül az egyenletben szereplő törtek nevezői közé, és e nevezők egy része a megoldás megtalálásakor nullára változik.

2. példa

Azonnal látható, hogy ennek az egyenletnek aránya van: az x + 3 szám és az x – 1 aránya egyenlő a 2x + 3 szám és a 2x – 2 szám arányával. e körülmény figyelembevételével döntsünk úgy, hogy itt alkalmazzuk, hogy az egyenletet megszabadítsuk a törtektől, az arány fő tulajdonságától (a szélső tagok szorzata egyenlő a középtagok szorzatával). Aztán megkapja:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Itt azt a félelmet keltheti, hogy nem fogunk megbirkózni ezzel az egyenlettel, mert az egyenlet x 2-vel rendelkező tagokat tartalmaz. Az egyenlet mindkét oldaláról azonban levonhatunk 2x 2-t – ez nem bontja meg az egyenletet; akkor az x 2-vel rendelkező kifejezések megsemmisülnek, és a következőt kapjuk:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Mozgassuk az ismeretlen kifejezéseket balra, az ismerteket pedig jobbra - kapjuk:

3x = 3 vagy x = 1

Emlékezzünk erre az egyenletre

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Azonnal észrevesszük, hogy az x-re talált érték (x = 1) minden tört nevezőit eltünteti; El kell hagynunk az ilyen megoldással mindaddig, amíg meg nem vizsgáltuk a nullával való osztás kérdését.

Ha azt is megjegyezzük, hogy az arányosság tulajdonságának alkalmazása bonyolította a dolgot, és egyszerűbb egyenletet kaphatunk, ha a megadott mindkét oldalát megszorozzuk egy közös nevezővel, mégpedig 2(x – 1) - elvégre 2x – 2 = 2 (x – 1) , akkor kapjuk:

2(x + 3) = 2x – 3 vagy 2x + 6 = 2x – 3 vagy 6 = –3,

ami lehetetlen.

Ez a körülmény azt jelzi, hogy ennek az egyenletnek nincsenek olyan megoldásai, amelyeknek közvetlen jelentése lenne, amely ne fordítaná meg a nevezőket adott egyenlet nullára.
Most oldjuk meg az egyenletet:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Szorozzuk meg a 2(x – 1) egyenlet mindkét oldalát, azaz a közös nevezővel, kapjuk:

6x + 10 = 2x + 18

A talált megoldás nem tünteti el a nevezőt, és közvetlen jelentése van:

vagy 11 = 11

Ha valaki ahelyett, hogy mindkét részt megszorozná 2-vel (x – 1), az arányosság tulajdonságot használná, akkor a következőt kapná:

(3x + 5) (2x - 2) = (2x + 18) (x - 1) vagy
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Itt az x 2-t tartalmazó kifejezések nem semmisülnek meg. Az összes ismeretlen tag áthelyezésével ide bal oldalt, és a jobboldalon ismertek kapnának

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Most nem fogjuk tudni megoldani ezt az egyenletet. A jövőben megtanuljuk az ilyen egyenletek megoldását, és két megoldást találunk rá: 1) veheti x = 2-t és 2) veheti x = 1-et. Mindkét megoldást egyszerű ellenőrizni:

1) 2 2 – 3 2 = –2 és 2) 1 2 – 3 1 = –2

Ha emlékszünk a kezdeti egyenletre

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

akkor látni fogjuk, hogy most megkapjuk mindkét megoldását: 1) x = 2 az a megoldás, amelynek közvetlen jelentése van, és nem fordítja nullára a nevezőt, 2) x = 1 az a megoldás, amelyik a nevezőt nullára fordítja és nincs közvetlen jelentése.

3. példa

meg fogjuk találni közös nevező az egyenletben szereplő törtek, amelyekhez az egyes nevezőket faktorizáljuk:

1) x 2 - 5x + 6 = x 2 - 3x - 2x + 6 = x (x - 3) - 2 (x - 3) = (x - 3) (x - 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2) (x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

A közös nevező: (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Szorozzuk meg ennek az egyenletnek mindkét oldalát (és most átírhatjuk így:

közös nevezővel (x – 3) (x – 2) (x + 1). Ezután minden tört csökkentése után a következőket kapjuk:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) vagy
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

Innen kapjuk:

–x = –13 és x = 13.

Ennek a megoldásnak közvetlen jelentése van: nem tünteti el egyik nevezőt sem.

Ha az egyenletet vesszük:

akkor pontosan ugyanazt csinálva, mint fent, azt kapnánk

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

honnan vennéd?

ami lehetetlen. Ez a körülmény azt mutatja, hogy az utolsó egyenletre lehetetlen olyan megoldást találni, amelynek közvetlen jelentése van.