Érintőösszeg képlete. Szinuszok és koszinuszok összege és különbsége: képletek származtatása, példák

Adott online számológép részekre bontja a számokat elsődleges tényezők prímosztók felsorolásának módszerével. Ha a szám nagy, akkor az egyszerűbb megjelenítés érdekében használjon számelválasztót.

Az eredmény már meg is érkezett!

Számok faktorálása prímtényezőkké – elmélet, algoritmus, példák és megoldások

Az egyik legegyszerűbb módja annak, hogy egy számot a prímtényezőkbe beépítsünk, annak ellenőrzése, hogy vajon adott szám 2-vel, 3-mal, 5-tel,... stb., azaz. ellenőrizze, hogy egy szám osztható-e prímszámok sorozatával. Ha a szám n-ig nem osztható prímszámmal, akkor ez a szám prímszám, mert ha a szám összetett, akkor legalább két tényezője van, és mindkettő nem lehet nagyobb, mint .

Képzeljük el a számfelbontási algoritmust n elsődleges tényezőkké. Készítsünk előre egy prímszámtáblázatot s=. Jelöljük prímszámok sorozatát azzal p 1 , p 2 , p 3 , ...

Algoritmus egy szám prímtényezőkre bontására:

Példa 1. A 153-as számot prímtényezőkké alakítjuk.

Megoldás. Nekünk elég egy prímszámtáblázatunk ig , azaz 2, 3, 5, 7, 11.

Oszd 153-at 2-vel. 153 nem osztható 2-vel maradék nélkül. Ezután osszuk el a 153-at a prímszámtáblázat következő elemével, azaz. 3-nál 153:3=51. Töltse ki a táblázatot:

Ezután ellenőrizzük, hogy a 17 osztható-e 3-mal. A 17 nem osztható 3-mal. Nem osztható 5, 7, 11 számokkal. A következő osztó nagyobb . Ezért a 17 olyan prímszám, amely csak önmagával osztható: 17:17=1. Az eljárás leállt. töltsd ki a táblázatot:

Kiválasztjuk azokat az osztókat, amelyekkel a 153, 51, 17 számokat maradék nélkül osztjuk, azaz. minden szám innen jobb oldalon táblázatok. Ezek a 3, 3, 17 osztói. Most a 153-as szám prímszámok szorzataként ábrázolható: 153=3·3·17.

2. Példa. Tényezőszerezze a 137-es számot prímtényezőkké.

Megoldás. Kiszámoljuk . Ez azt jelenti, hogy ellenőriznünk kell a 137-es szám oszthatóságát prímszámokkal 11-ig: 2,3,5,7,11. Ha a 137-et elosztjuk ezekkel a számokkal, akkor azt kapjuk, hogy a 137-es szám nem osztható a 2,3,5,7,11 számok egyikével sem. Ezért a 137 prímszám.

Bármely összetett szám prímtényezőkké alakítható. A bontásnak többféle módja lehet. Mindkét módszer ugyanazt az eredményt adja.

Hogyan lehet egy számot leginkább prímtényezőkbe venni kényelmes módon? Nézzük meg, hogyan lehet ezt a legjobban megtenni konkrét példák segítségével.

Példák.

1400 osztható 2-vel. 2 prímszám, nem szükséges faktorozni. 700-at kapunk. Elosztjuk 2-vel. 350-et kapunk. 350-et is elosztunk 2-vel. A kapott 175-ös szám osztható 5-tel. Az eredmény 35 - elosztjuk 5-tel, összesen 7. Csak lehet osztva 7-tel. 1-et kapunk, osztás vége.

Ugyanaz a szám különbözőképpen faktorizálható:

1400 kényelmesen elosztható 10-zel. 10 nem prímszám, ezért egyszerű tényezőkké kell faktorozni: 10=2∙5. Az eredmény 140. Ismét elosztjuk 10=2∙5-tel. 14-et kapunk. Ha 14-et elosztjuk 14-gyel, akkor azt is fel kell bontani prímtényezők szorzatára: 14=2∙7.

Így ismét ugyanahhoz a bontáshoz jutottunk, mint az első esetben, de gyorsabban.

Következtetés: egy szám felbontásánál nem szükséges csak prímtényezőkre bontani. Osztunk azzal, ami kényelmesebb, például 10-zel. Csak ne feledje, hogy az összetett osztókat egyszerű tényezőkre kell bontani.

2) Tényezősítse az 1620-as számot prímtényezőkké.

Az 1620-as szám legkényelmesebb elosztása 10-zel. Mivel a 10 nem prímszám, ezért prímtényezők szorzataként ábrázoljuk: 10=2∙5. 162-t kaptunk. Kényelmes elosztani 2-vel. Az eredmény 81. A 81-es szám osztható 3-mal, de 9-cel kényelmesebb. Mivel a 9 nem prímszám, így 9=3∙3-ra bővítjük. 9-et kapunk. El is osztjuk 9-cel, és kibővítjük prímtényezők szorzatára.

Ebben a cikkben mindent megtalál szükséges információkat kérdésre válaszolva hogyan lehet egy számot prímtényezőkké alakítani. Először adott általános elképzelés egy szám prímtényezőkre való bontásáról adunk példákat a felbontásokra. Az alábbiakban egy szám prímtényezőkre bontásának kanonikus formáját mutatjuk be. Ezt követően adjuk meg a bontási algoritmust tetszőleges számok prímtényezőkké, és példákat adunk a számok ezzel az algoritmussal történő lebontására. Szintén figyelembe véve alternatív módokon, amelyek lehetővé teszik a kis egész számok gyors prímtényezőkké alakítását oszthatósági tesztek és szorzótáblák segítségével.

Oldalnavigáció.

Mit jelent egy számot prímtényezőkbe beépíteni?

Először is nézzük meg, melyek az elsődleges tényezők.

Nyilvánvaló, hogy mivel a „tényezők” szó szerepel ebben a kifejezésben, akkor van néhány szám szorzata, és az „egyszerű” minősítő szó azt jelenti, hogy minden tényező prímszám. Például egy 2·7·7·23 alakú szorzatban négy prímtényező van: 2, 7, 7 és 23.

Mit jelent egy számot prímtényezőkbe beépíteni?

Ez azt jelenti, hogy ezt a számot prímtényezők szorzataként kell ábrázolni, és a szorzat értékének meg kell egyeznie az eredeti számmal. Példaként vegyük három prímszám 2, 3 és 5 szorzatát, amely egyenlő 30-zal, így a 30-as szám prímtényezőkre bontása 2·3·5. Általában egy szám prímtényezőkre bontását egyenlőségként írjuk fel a példánkban: 30=2·3·5; Külön hangsúlyozzuk, hogy a bővítés prímtényezői megismételhetők. Ezt jól szemlélteti a következő példa: 144=2·2·2·2·3·3. De a 45=3·15 formátumú reprezentáció nem prímtényezőkre való bontás, mivel a 15-ös szám összetett szám.

Felmerül következő kérdés: "Milyen számokat lehet prímtényezőkké alakítani?"

A választ keresve a következő érvelést mutatjuk be. A prímszámok definíció szerint a következők: nagy egységek. Figyelembe véve ezt a tényt és , azt állíthatjuk, hogy több prímtényező szorzata egész szám pozitív szám, meghaladja az egyet. Ezért a prímtényezőkké való faktorizálás csak 1-nél nagyobb pozitív egész számok esetén történik.

De minden egynél nagyobb egész szám beszámítható-e prímtényezőkbe?

Nyilvánvaló, hogy egyszerű egész számokat nem lehet prímtényezőkké alakítani. Ez azzal magyarázható, hogy a prímszámoknak csak két pozitív osztójuk van - egy és önmaga, így nem ábrázolhatók kettő ill. több prímszámok. Ha a z egész szám az a és b prímszámok szorzataként ábrázolható, akkor az oszthatóság fogalma arra engedne következtetni, hogy z osztható a-val és b-vel is, ami a z szám egyszerűsége miatt lehetetlen. Azonban úgy gondolják, hogy bármely prímszám maga is egy dekompozíció.

Mi a helyzet az összetett számokkal? Kihajtogatják? összetett számok prímtényezőkké, és minden összetett szám ki van téve ilyen dekompozíciónak? Az aritmetika alaptétele számos kérdésre igenlő választ ad. Az aritmetika alaptétele kimondja, hogy minden 1-nél nagyobb a egész szám felbontható p 1, p 2, ..., p n prímtényezők szorzatára, és a felosztás a = p 1 · p 2 · formájú. … · p n, és ez a bővítés egyedi, ha nem vesszük figyelembe a tényezők sorrendjét

Egy szám kanonikus faktorizálása prímtényezőkké

Egy szám bővítésekor a prímtényezők ismétlődnek. Az ismétlődő prímtényezők tömörebben írhatók fel a használatával. Legyen egy szám dekompozíciójában a p 1 prímtényező s 1-szer, a p 2 – s prímtényező 2-szer, és így tovább, p n – s n-szer. Ekkor az a szám prímtényezőssége így írható fel a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Ez a rögzítési forma az ún kanonikus dekompozíció számokat prímtényezőkké.

Adjunk példát egy szám prímtényezőkre történő kanonikus felbontására. Ismertesse velünk a bomlást 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, kanonikus jelölése az alakja 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

A számok kanonikus faktorizálása prímtényezőkké lehetővé teszi, hogy megtalálja a szám összes osztóját és osztói számát.

Algoritmus számok prímtényezőkké alakítására

Ahhoz, hogy sikeresen megbirkózzon egy szám prímtényezőkre bontásának feladatával, nagyon jól kell ismernie a cikkben található prímszámok és összetett számok információit.

Az egyet meghaladó pozitív egész szám felbontásának folyamatának lényege az aritmetika alaptételének bizonyításából derül ki. A lényeg, hogy egymás után keressük meg az a, a 1, a 2, ..., a n-1 számok legkisebb p 1, p 2, ..., p n prímosztóit, amivel egyenlőségsorozatot kaphatunk. a=p 1 ·a 1, ahol a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, ahol a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , ahol a n =a n-1:p n . Ha kiderül, hogy a n =1, akkor az a=p 1 ·p 2 ·…·p n egyenlőség megadja az a szám kívánt prímtényezőkre való felosztását. Itt kell megjegyezni azt is p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.

Azt kell kitalálni, hogyan találjuk meg minden lépésben a legkisebb prímtényezőket, és lesz egy algoritmusunk egy szám prímtényezőkre bontására. A prímszámok táblázata segít megtalálni a prímtényezőket. Mutassuk meg, hogyan kapjuk meg a z szám legkisebb prímosztóját.

Sorrendben veszünk ki prímszámokat a prímszámtáblázatból (2, 3, 5, 7, 11 és így tovább), és elosztjuk velük a megadott z számot. Az első prímszám, amellyel z egyenlő arányban van osztva, lesz a legkisebb prímosztója. Ha a z szám prím, akkor a legkisebb prímosztója maga a z szám lesz. Emlékeztetni kell arra, hogy ha z nem prímszám, akkor a legkisebb prímosztója nem haladja meg a számot, ahol z-ből származik. Így ha a -t meg nem haladó prímszámok között egyetlen osztója sem volt a z számnak, akkor arra a következtetésre juthatunk, hogy z prímszám (erről bővebben az elmélet fejezetben található Ez a szám prím vagy összetett címszó alatt ).

Példaként bemutatjuk, hogyan találjuk meg a 87 szám legkisebb prímosztóját. Vegyük a 2-es számot. A 87-et elosztjuk 2-vel, 87:2=43-at kapunk (a maradék 1) (ha szükséges, lásd a cikket). Vagyis ha 87-et osztunk 2-vel, a maradék 1, tehát a 2 nem osztja a 87-et. A következő prímszámot vesszük a prímszámtáblázatból, ez a 3. A 87-et elosztjuk 3-mal, 87:3=29-et kapunk. Így a 87 osztható 3-mal, ezért a 3 a 87 szám legkisebb prímosztója.

Vegye figyelembe, hogy be általános eset Ahhoz, hogy az a számot prímtényezőkbe beszámíthassuk, szükségünk van egy prímszámtáblázatra, legfeljebb egy számig. Minden lépésnél hivatkoznunk kell erre a táblázatra, ezért kéznél kell tartanunk. Például ahhoz, hogy a 95-öt prímtényezőkké alakítsuk, csak egy prímszámtáblázatra lesz szükségünk 10-ig (mivel a 10 nagyobb, mint ). A 846 653 szám lebontásához pedig már szükség lesz egy prímszámtáblázatra 1000-ig (mivel az 1000 nagyobb, mint ).

Most már elég információnk van ahhoz, hogy leírjuk algoritmus számok prímtényezőkké alakítására. Az a szám bontásának algoritmusa a következő:

A prímszámtáblázatból sorba rendezve a számokat, megtaláljuk az a szám legkisebb p 1 prímosztóját, ami után kiszámítjuk az 1 =a:p 1-et. Ha a 1 =1, akkor az a szám prím, és maga is prímtényezőkre való felosztása. Ha egy 1 nem egyenlő 1-gyel, akkor a=p 1 ·a 1 lesz, és továbblépünk a következő lépésre.
Megkeressük az a 1 szám legkisebb p 2 prímosztóját, ehhez a prímszámtáblázatból p 1 -től kezdve sorba rendezzük a számokat, majd kiszámítjuk a 2 =a 1:p 2 -t. Ha a 2 =1, akkor az a szám szükséges prímtényezőkre bontása a=p 1 ·p 2 alakú. Ha a 2 nem egyenlő 1-gyel, akkor a=p 1 ·p 2 ·a 2 lesz, és továbblépünk a következő lépésre.
A prímszámok táblázatából a p 2-vel kezdődő számokat végigjárva megtaláljuk az a 2 szám legkisebb p 3 prímosztóját, ami után kiszámoljuk a 3 =a 2:p 3-at. Ha a 3 =1, akkor az a szám szükséges prímtényezőkre való felosztása a=p 1 ·p 2 ·p 3 alakú. Ha a 3 nem egyenlő 1-gyel, akkor a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 lesz, és továbblépünk a következő lépésre.
Az a n-1 szám legkisebb p n prímosztóját úgy találjuk meg, hogy a prímszámokat p n-1-től kezdve rendezzük, valamint a n =a n-1:p n, és egy n egyenlő 1-gyel. Ez a lépés az algoritmus utolsó lépése, itt megkapjuk az a szám szükséges prímtényezőkre történő felosztását: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Az érthetőség kedvéért a szám prímtényezőkre bontására szolgáló algoritmus minden lépésében kapott összes eredményt a következő táblázat formájában mutatjuk be, amelyben az a, a 1, a 2, ..., a n számok egymás után vannak felírva. egy oszlopban a függőleges vonaltól balra, és a sortól jobbra - a megfelelő legkisebb prímosztók p 1, p 2, ..., p n.

Már csak néhány példát kell figyelembe venni a számok prímtényezőkre bontására kapott algoritmus alkalmazására.

Példák prímfaktorizációra

Most részletesen megvizsgáljuk példák a számok prímtényezőkké alakítására. A felbontásnál az előző bekezdés algoritmusát fogjuk használni. Kezdjük azzal egyszerű esetek, és fokozatosan bonyolítjuk őket annak érdekében, hogy találkozzunk minden lehetséges árnyalattal, amely a számok egyszerű tényezőkre bontásakor felmerül.

Példa.

Szerezze be a 78-as számot prímtényezőibe.

Megoldás.

Elkezdjük keresni az a=78 szám első legkisebb p 1 prímosztóját. Ehhez elkezdjük a prímszámok szekvenciális rendezését a prímszámtáblázatból. Felvesszük a 2-es számot és elosztjuk vele a 78-at, így 78:2=39-et kapunk. A 78-as számot maradék nélkül osztjuk 2-vel, így p 1 =2 a 78-as szám első talált prímosztója. Ebben az esetben a 1 =a:p 1 =78:2=39. Így jutunk el az a=p 1 ·a 1 egyenlőséghez, amelynek alakja 78=2·39. Nyilvánvaló, hogy az 1 =39 különbözik az 1-től, így továbblépünk az algoritmus második lépésére.

Most az a 1 =39 szám legkisebb p 2 prímosztóját keressük. A számok felsorolását a prímszámok táblázatából kezdjük úgy, hogy p 1 =2. A 39-et elosztjuk 2-vel, 39:2=19-et kapunk (a maradék 1). Mivel a 39 nem osztható egyenlően 2-vel, ezért a 2 nem osztója. Ekkor kivesszük a prímszámok táblázatából a következő számot (3-as szám), és elosztjuk vele a 39-et, így 39:3=13-at kapunk. Ezért p 2 =3 a 39 szám legkisebb prímosztója, míg a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Az a=p 1 ·p 2 ·a 2 egyenlőség 78=2·3·13 formában van. Mivel a 2 =13 különbözik 1-től, továbblépünk az algoritmus következő lépésére.

Itt meg kell találnunk az a 2 =13 szám legkisebb prímosztóját. A 13-as szám legkisebb p 3 prímosztójának megkeresésére sorba rendezzük a prímszámok táblázatában szereplő számokat p 2 =3-tól kezdve. A 13-as szám nem osztható 3-mal, mivel 13:3=4 (többi 1), a 13 sem osztható 5-tel, 7-tel és 11-gyel, mivel 13:5=2 (többi 3), 13:7=1 (6. pihenő) és 13:11=1 (2. pihenő). A következő prímszám a 13, és a 13 maradék nélkül osztható vele, ezért a 13 legkisebb p 3 prímosztója maga a 13, a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Mivel a 3 =1, az algoritmusnak ez a lépése az utolsó, és a 78-as szám kívánt prímtényezőkre bontása 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) formában történik.

Válasz:

78=2·3·13.

Példa.

Fejezd ki a 83 006 számot prímtényezők szorzataként.

Megoldás.

A számokat prímtényezőkre bontó algoritmus első lépésében p 1 =2 és egy 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 értéket találunk, amelyből 83,006=2·41,503.

A második lépésben megtudjuk, hogy 2, 3 és 5 nem prímosztói az a 1 =41,503 számnak, hanem a 7-es szám igen, mivel 41,503:7=5,929. Van p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Így 83 006 = 2 7 5 929.

Az a 2 =5 929 szám legkisebb prímosztója a 7, mivel 5 929:7 = 847. Így p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, ebből 83 006 = 2·7·7·847.

Ezután azt találjuk, hogy az a 3 =847 szám legkisebb p 4 prímosztója egyenlő 7-tel. Ekkor egy 4 =a 3:p 4 =847:7=121, tehát 83 006=2·7·7·7·121.

Most megtaláljuk az a 4 =121 szám legkisebb prímosztóját, ez a p 5 =11 szám (mivel a 121 osztható 11-gyel és nem osztható 7-tel). Ekkor egy 5 =a 4:p 5 =121:11=11, és 83 006=2·7·7·7·11·11.

Végül az a 5 =11 szám legkisebb prímosztója a p 6 =11 szám. Ekkor egy 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Mivel a 6 =1, a szám prímtényezőkre bontására szolgáló algoritmusnak ez a lépése az utolsó, és a kívánt felosztás 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

A kapott eredményt a szám kanonikus felbontásaként írhatjuk fel prímtényezőkre 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Válasz:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 A 991 egy prímszám. Valójában nincs egyetlen prímosztója sem, amely ne haladja meg a ( durván becsülhető így, mivel nyilvánvaló, hogy 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Válasz:

897 924 289 = 937 967 991 .

Oszthatósági próbák használata prímtényezősítéshez

Egyszerű esetekben felbonthat egy számot prímtényezőkre anélkül, hogy a jelen cikk első bekezdésében található lebontási algoritmust használná. Ha a számok nem nagyok, akkor prímtényezőkre bontásukhoz gyakran elég ismerni az oszthatóság jeleit. A tisztázás kedvéért mondjunk példákat.

Például a 10-es számot prímtényezőkbe kell beszámítanunk. A szorzótáblából tudjuk, hogy 2·5=10, a 2-es és 5-ös számok pedig nyilvánvalóan prímek, így a 10-es szám prímtényezőssége így néz ki, hogy 10=2·5.

Egy másik példa. A szorzótábla segítségével a 48-as számot prímtényezőkbe vesszük. Tudjuk, hogy a hat az nyolc-negyvennyolc, azaz 48 = 6,8. Azonban sem a 6, sem a 8 nem prímszám. De tudjuk, hogy kétszer három hat, kétszer négy pedig nyolc, azaz 6=2·3 és 8=2·4. Ekkor 48=6·8=2·3·2·4. Nem szabad elfelejteni, hogy kétszer kettő négy, akkor megkapjuk a kívánt bontást 48 = 2·3·2·2·2 prímtényezőkre. Írjuk fel ezt a bővítést kanonikus formában: 48=2 4 ·3.

De amikor a 3400-as számot prímtényezőkbe veszi, használhatja az oszthatósági kritériumokat. A 10-zel, 100-zal való oszthatóság jelei alapján kijelenthetjük, hogy 3400 osztható 100-zal, 3400=34·100, 100 pedig 10-zel, 100=10·10, tehát 3400=34·10·10. A 2-vel való oszthatóság tesztje alapján pedig azt mondhatjuk, hogy a 34, 10 és 10 faktorok mindegyike osztható 2-vel, azt kapjuk 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Az így létrejövő bővítés minden tényezője egyszerű, ezért ez a bővítés a kívánt. Már csak a tényezőket kell átrendezni úgy, hogy azok növekvő sorrendben menjenek: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Írjuk fel ennek a számnak a kanonikus felosztását is prímtényezőkre: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Amikor egy adott számot prímtényezőkre bontunk, használhatjuk felváltva az oszthatósági előjeleket és a szorzótáblát is. Képzeljük el a 75-ös számot prímtényezők szorzataként. Az 5-tel való oszthatóság tesztje lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy 75 osztható 5-tel, és azt kapjuk, hogy 75 = 5·15. A szorzótáblából pedig tudjuk, hogy 15=3·5, tehát 75=5·3·5. Ez a 75-ös szám szükséges bontása prímtényezőkre.

Hivatkozások.

Vilenkin N.Ya. és mások. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
Kulikov L.Ya. és egyebek Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatóknak. pedagógiai intézetek szakterületei.

Mi történt faktorizáció?Így lehet egy kényelmetlen és összetett példát egyszerű és aranyos példává varázsolni.) Nagyon erős technika! Az elemi és a felsőbb matematika minden lépésében megtalálható.

Az ilyen transzformációkat a matematikai nyelvben kifejezések azonos transzformációinak nevezzük. Aki nem tud, az nézze meg a linket. Nagyon kevés van ott, egyszerű és hasznos.) Minden identitástranszformáció jelentése a kifejezés rögzítése más formában miközben megőrzi lényegét.

Jelentése faktorizáció rendkívül egyszerű és világos. Már a névből is. Lehet, hogy elfelejti (vagy nem tudja), hogy mi az a szorzó, de rájöhet, hogy ez a szó a „szorzás” szóból származik?) A faktorálás azt jelenti: kifejezést képviselnek valaminek valamivel való megszorzása formájában. Bocsásson meg nekem a matematika és az orosz nyelv...) Ennyi.

Például ki kell bővítenie a 12-es számot. Nyugodtan írhatja:

Tehát a 12-es számot 3-4-gyel szorozva mutattuk be. Felhívjuk figyelmét, hogy a jobb oldali számok (3 és 4) teljesen mások, mint a bal oldalon (1 és 2). De tökéletesen megértjük, hogy a 12 és a 3 4 egy és ugyanaz. A 12-es szám lényege az átalakulásból nem változott.

Lehetséges-e másképp bontani a 12-t? Könnyen!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=.......

A lebontási lehetőségek végtelenek.

A számok faktorálása hasznos dolog. Sokat segít például a gyökerekkel való munka során. De az algebrai kifejezések faktorálása nemcsak hasznos, hanem az is szükséges! Csak például:

Egyszerűsítés:

Azok, akik nem tudják, hogyan kell egy kifejezést figyelembe venni, a pálya szélén pihennek. Azok, akik tudják, hogyan egyszerűsítsék és kapják meg:

A hatás elképesztő, igaz?) A megoldás egyébként egészen egyszerű. Alább meglátod magad. Vagy például ezt a feladatot:

Oldja meg az egyenletet:

x 5 - x 4 = 0

A fejben dől el egyébként. A faktorizáció használata. Az alábbiakban ezt a példát fogjuk megoldani. Válasz: x 1 = 0; x 2 = 1.

Vagy ugyanez, de a régebbieknek):

Oldja meg az egyenletet:

Ezekben a példákban megmutattam fő célja faktorizálás: törtkifejezések egyszerűsítése és bizonyos típusú egyenletek megoldása. Íme egy ökölszabály, amit érdemes megjegyezni:

Ha van előttünk egy ijesztő törtkifejezés, megpróbálhatjuk a számláló és a nevező faktorálását. Nagyon gyakran a töredéket csökkentik és egyszerűsítik.

Ha van előttünk egy egyenlet, ahol a jobb oldalon nulla, a bal oldalon pedig - nem értem mi, akkor megpróbálhatjuk a bal oldalt faktorizálni. Néha segít).

A faktorizálás alapvető módszerei.

Íme, a legnépszerűbb módszerek:

4. Másodfokú trinom kiterjesztése.

Ezeket a módszereket emlékezni kell. Pontosan ebben a sorrendben. Az összetett példákat ellenőrzik minden lehetséges lebontási módszerre.És jobb sorrendben ellenőrizni, hogy ne keveredjen össze... Szóval kezdjük sorrendben.)

1. A közös tényező zárójelből való kivétele.

Egyszerű és megbízható módszer. Semmi rossz nem származik belőle! Ez vagy jó, vagy egyáltalán nem.) Ezért ő az első. Találjuk ki.

Mindenki ismeri (hiszem!) a szabályt:

a(b+c) = ab+ac

Vagy általánosabban:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Minden egyenlőség működik balról jobbra és fordítva, jobbról balra. Írhatod:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Ez az egész lényege annak, hogy a közös tényezőt kivesszük a zárójelekből.

A bal oldalon A - közös szorzó minden feltételre. Minden létezővel megszorozva). A jobb oldalon van a legtöbb A már található a zárójeleken kívül.

A módszer gyakorlati alkalmazását példákon keresztül vizsgáljuk meg. Eleinte egyszerű, sőt primitív az opció.) De ebben az opcióban (zöld színnel) megjelölök minden faktorizálásnál nagyon fontos pontokat.

Tényezőkre bont:

ah+9x

Melyik általános mindkét kifejezésben megjelenik a szorzó? X, természetesen! Zárójelben fogjuk kitenni. Tegyük ezt. Azonnal X-et írunk a zárójelbe:

ax+9x=x(

És zárójelbe írjuk az osztás eredményét minden kifejezést pont ezen az X-en. Sorrendben:

Ennyi. Persze nem kell ilyen részletesen leírni, ez fejben történik. De tanácsos megérteni, hogy mi az). A memóriába rögzítjük:

A közös tényezőt a zárójelen kívülre írjuk. Zárójelben az összes tag ezzel a közös tényezővel való elosztásának eredményét írjuk. Rendben.

Tehát kibővítettük a kifejezést ah+9x szorzókkal. Befordította x-et szorozva (a+9). Megjegyzem, az eredeti kifejezésben is volt szorzás, sőt kettő: a·x és 9·x. De azt nem faktorizált! Mert ez a kifejezés a szorzáson kívül összeadást, a „+” jelet is tartalmazott! És kifejezésben x(a+9) Nincs más, csak szorzás!

Hogy így!? - hallom az emberek felháborodott hangját - És zárójelben!?)

Igen, van kiegészítés a zárójelben. De a trükk az, hogy bár a zárójeleket nem nyitjuk ki, figyelembe vesszük őket mint egy levél.És az összes műveletet teljesen zárójelben végezzük, mint egy betűvel. Ebben az értelemben a kifejezésben x(a+9) A szorzáson kívül nincs más. Ez az egész faktorizáció lényege.

Egyébként meg lehet valahogy ellenőrizni, hogy mindent jól csináltunk-e? Könnyen! Elég, ha zárójelekkel visszaszorozod, amit kihelyeztél (x), és megnézed, hogy sikerült-e eredeti kifejezés? Ha működik, minden szuper!)

x(a+9)=ax+9x

Sikerült.)

Ebben a primitív példában nincs probléma. De ha több kifejezés van, és akár különböző előjelekkel is... Egyszóval minden harmadik diák elrontja). Ezért:

Ha szükséges, ellenőrizze a faktorizációt inverz szorzással.

Tényezőkre bont:

3ax+9x

Közös tényezőt keresünk. Na X-el minden világos, ki lehet venni. Van-e több általános tényező? Igen! Ez egy három. A kifejezést így írhatod:

3ax+3 3x

Itt rögtön látszik, hogy a közös tényező lesz 3x. Itt szedjük ki:

3x+3 3x=3x(a+3)

Terítsd ki.

Mi történik, ha kiveszed csak x? Semmi különös:

3ax+9x=x(3a+9)

Ez is faktorizáció lesz. De ebben a lenyűgöző folyamatban szokás mindent a végsőkig lefektetni, amíg van lehetőség. Itt zárójelben van lehetőség egy hármas kirakására. Ki fog derülni:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Ugyanaz, csak egyetlen extra művelettel.) Ne feledje:

Amikor a közös tényezőt zárójelből kivesszük, megpróbáljuk kivenni maximális közös szorzó.

Folytatjuk a mulatságot?)

Tényező a kifejezést:

3akh+9х-8а-24

Mit viszünk el? Három, X? Nem... Nem teheted. Emlékeztetlek, hogy csak kivenni lehet általános szorzó az mindenben kifejezés feltételeit. Ezért ő általános. Itt nincs ilyen szorzó... Mi van, nem kell bővíteni!? Hát igen, olyan boldogok voltunk... Ismerkedés:

2. Csoportosítás.

Valójában a csoportosítást aligha nevezhetjük független faktorizációs módszernek. Ez inkább egy módja annak, hogy kilépjünk egy összetett példából.) Csoportosítania kell a kifejezéseket, hogy minden sikerüljön. Ezt csak példával lehet kimutatni. Tehát megvan a következő kifejezés:

3akh+9х-8а-24

Látható, hogy vannak gyakori betűk és számok. De... Általános nincs szorzó minden tekintetben. Ne veszítsük el a szívünket és darabokra bontja a kifejezést. Csoportosítás. Hogy minden darabnak legyen közös tényezője, van mit elvinni. Hogyan törjük meg? Igen, csak zárójelet tettünk.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a zárójeleket bárhol és tetszés szerint elhelyezheti. Csak a példa lényege nem változott. Például ezt teheti:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Kérjük, figyeljen a második zárójelekre! Mínusz jel előzi meg őket, és 8aÉs 24 pozitív lett! Ha ellenőrzés céljából visszanyitjuk a zárójeleket, akkor a jelek megváltoznak, és megkapjuk eredeti kifejezés. Azok. a zárójelben szereplő kifejezés lényege nem változott.

De ha csak zárójeleket szúrt be anélkül, hogy figyelembe vette volna az előjel változását, például így:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

hiba lenne. A jobb oldalon – már más kifejezés. Nyissa ki a zárójeleket, és minden láthatóvá válik. Nem kell tovább döntened, igen...)

De térjünk vissza a faktorizációhoz. Nézzük az első zárójeleket (3ax+9x)és arra gondolunk, kivehetünk valamit? Nos, ezt a fenti példát megoldottuk, vállalhatjuk 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Tanulmányozzuk a második zárójeleket, ott adhatunk egy nyolcast:

(8a+24)=8(a+3)

A teljes kifejezésünk a következő lesz:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorizált? Nem. A bomlás eredménye legyen csak szorzás De nálunk a mínusz jel mindent elront. De... Mindkét kifejezésnek van egy közös tényezője! Ez (a+3). Nem hiába mondtam, hogy az egész zárójel egy betű. Ez azt jelenti, hogy ezek a konzolok kivehetők a zárójelekből. Igen, pontosan így hangzik.)

A fent leírtak szerint járunk el. A közös tényezőt írjuk (a+3), a második zárójelbe írjuk a kifejezések elosztásának eredményét (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Minden! A jobb oldalon nincs más, csak a szorzás! Ez azt jelenti, hogy a faktorizálás sikeresen befejeződött!) Íme:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Ismételjük meg röviden a csoport lényegét.

Ha a kifejezés nem általános szorzót mindenki kifejezések esetén a kifejezést zárójelekre bontjuk úgy, hogy a zárójelek belsejében legyen a közös tényező volt. Kivesszük, és meglátjuk, mi lesz. Ha szerencséd van, és teljesen azonos kifejezések maradtak a zárójelben, ezeket a zárójeleket kivesszük a zárójelekből.

Hozzáteszem, hogy a csoportosítás kreatív folyamat). Nem mindig sikerül elsőre. Rendben van. Időnként fel kell cserélnie a feltételeket, és különféle csoportosítási lehetőségeket kell mérlegelnie, amíg sikeres csoportosítást nem talál. Itt a legfontosabb, hogy ne veszítsd el a kedved!)

Példák.

Most tudással gazdagodva trükkös példákat tudtok megoldani.) Az óra elején három ilyen volt...

Egyszerűsítés:

Lényegében ezt a példát már megoldottuk. Magunk tudtán kívül.) Emlékeztetlek: ha szörnyű törtet kapunk, megpróbáljuk a számlálót és a nevezőt faktorba venni. Egyéb egyszerűsítési lehetőségek csak nem.

Nos, itt nem a nevező van bővítve, hanem a számláló... A számlálót már az órán bővítettük! így:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

A bővítés eredményét a tört számlálójába írjuk:

A törtek redukálásának szabálya szerint (a tört fő tulajdonsága) oszthatjuk (egyszerre!) a számlálót és a nevezőt azonos számmal, kifejezéssel. Ennek töredéke nem változik. Tehát a számlálót és a nevezőt elosztjuk a kifejezéssel (3x-8). És itt-ott kapunk egyet. Az egyszerűsítés végeredménye:

Külön szeretném hangsúlyozni: a tört csökkentése akkor és csak akkor lehetséges, ha a számlálóban és a nevezőben a kifejezések szorzása mellett nincs semmi.Éppen ezért az összeg (különbség) átalakulása a szorzás annyira fontos az egyszerűsítés szempontjából. Persze ha a kifejezések különböző, akkor nem csökken semmi. Meg fog történni. De a faktorizálás esélyt ad. Ez a bomlás nélküli esély egyszerűen nincs meg.

Példa egyenlettel:

Oldja meg az egyenletet:

x 5 - x 4 = 0

Kivesszük a közös tényezőt x 4 zárójelből. Kapunk:

x 4 (x-1)=0

Felismerjük, hogy a tényezők szorzata egyenlő nullával akkor és csak akkor, amikor bármelyik nulla. Ha kétségei vannak, keressenek pár nem nulla számot, amelyeket megszorozva nullát adunk.) Tehát először az első tényezőt írjuk:

Ilyen egyenlőség mellett a második tényező nem érint bennünket. Bárki lehet, de a végén még mindig nulla lesz. Milyen számot ad a nulla a negyedik hatványhoz? Csak nulla! És nem más... Ezért:

Kitaláltuk az első tényezőt, és találtunk egy gyökeret. Nézzük a második tényezőt. Most már nem foglalkozunk az első szorzóval.):

Itt találtunk megoldást: x 1 = 0; x 2 = 1. Ezen gyökök bármelyike megfelel az egyenletünknek.

Nagyon fontos megjegyzés. Felhívjuk figyelmét, hogy az egyenletet megoldottuk darabonként! Minden tényező nulla volt, egyéb tényezőktől függetlenül. Egyébként, ha egy ilyen egyenletben nem két tényező van, mint a miénk, hanem három, öt, amennyit csak akarsz, akkor megoldjuk pontosan ugyanaz. Darabról darabra. Például:

(x-1) (x+5) (x-3) (x+2)=0

Aki kinyitja a zárójeleket és mindent megszoroz, az örökre megragad ezen az egyenleten.) A helyes tanuló azonnal látni fogja, hogy a bal oldalon nincs más, csak a szorzás, a jobb oldalon pedig nulla. És elkezdi (gondolatában!) az összes zárójelet a nullával egyenlővé tenni. És megkapja (10 másodpercen belül!) a helyes megoldást: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Menő, ugye?) Ilyen elegáns megoldás lehetséges, ha az egyenlet bal oldala faktorizált. Megvan a tipp?)

Nos, egy utolsó példa a régebbieknek):

Oldja meg az egyenletet:

Valamennyire hasonlít az előzőhöz, nem gondolod?) Természetesen. Ideje emlékezni arra, hogy a hetedik osztályos algebrában a betűk alatt elrejthetők a szinuszok, logaritmusok és bármi más! A faktorálás az egész matematikában működik.

Kivesszük a közös tényezőt lg 4x zárójelből. Kapunk:

log 4 x=0

Ez egy gyökér. Nézzük a második tényezőt.

Íme a végső válasz: x 1 = 1; x 2 = 10.

Remélem, felismerte a faktorálás erejét a törtek egyszerűsítésében és az egyenletek megoldásában.)

Ebben a leckében a közös faktoringról és csoportosításról tanultunk. Marad a rövidített szorzás és a másodfokú trinomiális képletekkel foglalkozni.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A trigonometria, mint tudomány, az ókori Keletről származik. Az első trigonometrikus arányszámokat csillagászok határozták meg, hogy pontos naptárt és a csillagok tájolását hozzák létre. Ezek a számítások a gömbi trigonometriára vonatkoztak, míg az iskolai kurzusban egy sík háromszög oldalainak és szögeinek arányát vizsgálják.

A trigonometria a matematikának egy olyan ága, amely a trigonometrikus függvények tulajdonságaival, valamint a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatokkal foglalkozik.

A kultúra és a tudomány virágkorában, az i.sz. I. évezredben a tudás az ókori Keletről terjedt Görögországba. De a trigonometria fő felfedezései az arab kalifátus embereinek érdemei. Különösen a türkmén tudós, al-Marazwi olyan függvényeket vezetett be, mint az érintő és a kotangens, és összeállította az első értékek táblázatait a szinuszokhoz, érintőkhöz és kotangensekhez. A szinusz és koszinusz fogalmát indiai tudósok vezették be. A trigonometria nagy figyelmet kapott az ókor olyan nagy alakjainak munkáiban, mint Eukleidész, Arkhimédész és Eratoszthenész.

A trigonometria alapmennyiségei

A numerikus argumentumok alapvető trigonometrikus függvényei a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Mindegyiknek megvan a saját gráfja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Ezen mennyiségek értékének kiszámítására szolgáló képletek a Pitagorasz-tételen alapulnak. Az iskolások jobban ismerik a megfogalmazásban: „A pitagoraszi nadrág minden irányban egyenlő”, mivel a bizonyítást egy egyenlő szárú derékszögű háromszög példáján keresztül adjuk meg.

A szinusz, koszinusz és egyéb összefüggések bármely derékszögű háromszög hegyesszögei és oldalai közötti kapcsolatot teremtik meg. Mutassunk be képleteket ezeknek a mennyiségeknek az A szögre történő kiszámításához, és kövessük nyomon a trigonometrikus függvények közötti összefüggéseket:

Mint látható, a tg és a ctg inverz függvények. Ha az a lábat a sin A és a c hipotenusz szorzataként, a b lábat pedig cos A * cként képzeljük el, akkor a következő képleteket kapjuk az érintőre és a kotangensre:

Trigonometrikus kör

Grafikusan az említett mennyiségek közötti kapcsolat a következőképpen ábrázolható:

A kör ebben az esetben az α szög összes lehetséges értékét jelenti - 0° és 360° között. Amint az ábrán látható, minden függvény a szögtől függően negatív vagy pozitív értéket vesz fel. Például a sin α „+” jelű lesz, ha α a kör 1. és 2. negyedéhez tartozik, azaz 0° és 180° közötti tartományban van. 180° és 360° közötti α esetén (III. és IV. negyed) a sin α csak negatív érték lehet.

Próbáljunk meg trigonometrikus táblázatokat készíteni adott szögekhez, és megtudjuk a mennyiségek jelentését.

A 30°, 45°, 60°, 90°, 180° és így tovább α értékeit speciális eseteknek nevezzük. A trigonometrikus függvények értékeit kiszámítják és speciális táblázatok formájában mutatják be.

Ezeket a szögeket nem véletlenül választották ki. A táblázatokban a π jelölés a radiánokra vonatkozik. Rad az a szög, amelyben a körív hossza megfelel a sugarának. Ezt az értéket azért vezették be, hogy egy univerzális függést állapítsunk meg radiánban való számításkor, a sugár cm-ben megadott hossza nem számít.

A trigonometrikus függvények táblázatában szereplő szögek radiánértékeknek felelnek meg:

Tehát nem nehéz kitalálni, hogy 2π egy teljes kör vagy 360°.

A trigonometrikus függvények tulajdonságai: szinusz és koszinusz

A szinusz és koszinusz, érintő és kotangens alapvető tulajdonságainak figyelembe vételéhez és összehasonlításához szükséges ezek függvényeinek felrajzolása. Ezt egy kétdimenziós koordináta-rendszerben elhelyezett görbe formájában lehet megtenni.

Tekintsük a szinusz és koszinusz tulajdonságainak összehasonlító táblázatát:

Szinuszhullám	Koszinusz
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, ha x = πk, ahol k ϵ Z	cos x = 0, ha x = π/2 + πk, ahol k ϵ Z
sin x = 1, ha x = π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = 1, ahol x = 2πk, ahol k ϵ Z
sin x = - 1, ahol x = 3π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = - 1, ha x = π + 2πk, ahol k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, azaz a függvény páratlan	cos (-x) = cos x, azaz a függvény páros
	a függvény periodikus, a legkisebb periódus 2π
sin x › 0, ahol x az I. és II. negyedhez tartozik, vagy 0°-tól 180°-ig (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ahol x az I. és IV. negyedhez tartozik, vagy 270°-tól 90°-ig (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ahol x a harmadik és negyedik negyedhez tartozik, vagy 180°-tól 360°-ig (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ahol x a 2. és 3. negyedhez tartozik, vagy 90°-tól 270°-ig (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
növekszik a [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] intervallumban	növekszik a [-π + 2πk, 2πk] intervallumon
intervallumonként csökken [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	időközönként csökken
derivált (sin x)’ = cos x	derivált (cos x)’ = - sin x

Annak meghatározása, hogy egy függvény páros-e vagy sem, nagyon egyszerű. Elég elképzelni egy trigonometrikus kört a trigonometrikus mennyiségek előjeleivel, és gondolatban „hajtogatni” a grafikont az OX tengelyhez képest. Ha az előjelek egybeesnek, a függvény páros, egyébként páratlan.

A radiánok bevezetése, valamint a szinusz- és koszinuszhullámok alapvető tulajdonságainak felsorolása lehetővé teszi a következő minta bemutatását:

Nagyon könnyű ellenőrizni, hogy a képlet helyes-e. Például x = π/2 esetén a szinusz 1, csakúgy, mint az x = 0 koszinusza. Az ellenőrzés elvégezhető táblázatokból, vagy adott értékek függvénygörbéinek nyomon követésével.

Tangentsoidok és kotangenszoidok tulajdonságai

Az érintő és a kotangens függvények grafikonjai jelentősen eltérnek a szinusz- és koszinuszfüggvényektől. A tg és ctg értékek egymás reciprokjai.

Y = barna x.
Az érintő az x = π/2 + πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
A tangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
Tg (- x) = - tg x, azaz a függvény páratlan.
Tg x = 0, ha x = πk.
A funkció növekszik.
Tg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, x ϵ esetén (— π/2 + πk, πk).
Származék (tg x)’ = 1/cos 2⁡x.

Tekintsük a kotangentoid grafikus képét az alábbi szövegben.

A kotangentoidok fő tulajdonságai:

Y = kiságy x.
A szinusz- és koszinuszfüggvényekkel ellentétben a tangentoidban Y felveheti az összes valós szám halmazának értékét.
A kotangentoid az x = πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
A kotangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
Ctg (- x) = - ctg x, azaz a függvény páratlan.
Ctg x = 0, ha x = π/2 + πk.
A funkció csökken.
Ctg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, x ϵ esetén (π/2 + πk, πk).
Származék (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Helyes

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete