Tört gyökerének kinyerése. Gyökér kivonás

Amikor döntenek különféle feladatokat A matematika és a fizika kurzusokon a tanulók és hallgatók gyakran szembesülnek azzal, hogy ki kell bontani a második, harmadik vagy n-edik fokú gyökereket. Természetesen a században információs technológiák Nem lesz nehéz megoldani ezt a problémát egy számológép segítségével. Előfordulhatnak azonban olyan helyzetek, amikor az elektronikus asszisztens nem használható.

Például sok vizsga nem engedi, hogy elektronikát hozzon magával. Ezenkívül előfordulhat, hogy nincs kéznél számológép. Ilyen esetekben hasznos legalább néhány módszert ismerni a gyökök manuális kiszámítására.

A gyökerek kiszámításának egyik legegyszerűbb módja az, hogy speciális asztal segítségével. Mi ez és hogyan kell helyesen használni?

A táblázat segítségével 10-től 99-ig tetszőleges szám négyzetét megtalálhatja. A táblázat sorai a tízesek, az oszlopok pedig az egységek értékeit tartalmazzák. A sor és egy oszlop metszéspontjában lévő cella négyzetet tartalmaz kétjegyű szám. A 63-as négyzet kiszámításához meg kell találni egy 6-os értékű sort és egy 3-as oszlopot. A metszéspontban találunk egy 3969-es cellát.

Mivel a gyökér kinyerése a négyzetesítés fordított művelete, ennek a műveletnek az ellenkezőjét kell végrehajtania: először meg kell keresnie azt a cellát, amelynek a gyökjét ki szeretné számítani, majd az oszlop és a sor értékei alapján határozza meg a választ. . Példaként tekintsük a számítást négyzetgyök 169.

A táblázatban egy ilyen számú cellát találunk, vízszintesen tízeseket határozunk meg - 1, függőlegesen egységeket - 3. Válasz: √169 = 13.

Hasonlóképpen kiszámíthatja a kocka és az n-edik gyökereket a megfelelő táblázatok segítségével.

A módszer előnye az egyszerűsége és a további számítások hiánya. A hátrányok nyilvánvalóak: a módszer csak korlátozott számtartományra használható (a szám, amelyre a gyökér található, 100 és 9801 között kell, hogy legyen). Ráadásul nem lesz alkalmas, ha adott szám nincs a táblázatban.

Prímfaktorizálás

Ha nincs kéznél a négyzettáblázat, vagy lehetetlennek bizonyult a gyökér megtalálása a segítségével, megpróbálhatja a gyök alatti számot bontsa fel elsődleges tényezők . A prímtényezők azok, amelyek teljesen (maradék nélkül) csak önmagukkal vagy eggyel oszthatók. Példák lehetnek 2, 3, 5, 7, 11, 13 stb.

Nézzük meg a gyökér kiszámítását √576 példaként. Bontsuk fel elsődleges tényezőkre. A következő eredményt kapjuk: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². A gyökök √a² = a alapvető tulajdonságát felhasználva megszabadulunk a gyököktől és négyzetektől, majd kiszámítjuk a választ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Mi a teendő, ha valamelyik szorzónak nincs saját párja? Vegyük például a √54 kiszámítását. A faktorizálás után megkapjuk az eredményt a következő űrlapot: √54 = √(2∙3∙3∙3) = √3² ∙ √(2∙3) = 3√6. A nem eltávolítható rész a gyökér alatt hagyható. A legtöbb geometriai és algebrai probléma esetén ez a válasz a végső válasznak számít. De ha hozzávetőleges értékeket kell kiszámítani, használhat olyan módszereket, amelyeket az alábbiakban tárgyalunk.

Heron módszere

Mi a teendő, ha legalább megközelítőleg tudnia kell, hogy a kivont gyökér mennyivel egyenlő (ha lehetetlen egész számot kapni)? Gyors és csinos pontos eredmény Heron módszerének alkalmazását adja. Ennek lényege egy hozzávetőleges képlet használata:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

ahol R az a szám, amelynek gyökerét ki kell számítani, a az a legközelebbi szám, amelynek gyökérértéke ismert.

Nézzük meg, hogyan működik a módszer a gyakorlatban, és értékeljük, mennyire pontos. Számítsuk ki, hogy √111 mivel egyenlő. A 111-hez legközelebbi szám, melynek gyökere ismert, a 121. Így R = 111, a = 121. Helyettesítsd be az értékeket a képletbe:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Most nézzük meg a módszer pontosságát:

10,55² = 111,3025.

A módszer hibája körülbelül 0,3 volt. Ha a módszer pontosságát javítani kell, megismételheti a korábban leírt lépéseket:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Ellenőrizzük a számítás pontosságát:

10,536² = 111,0073.

A képlet újbóli alkalmazása után a hiba teljesen jelentéktelenné vált.

A gyökér kiszámítása hosszú osztással

A négyzetgyökérték megállapításának ez a módszere egy kicsit bonyolultabb, mint az előzőek. A számológép nélküli egyéb számítási módszerek közül azonban ez a legpontosabb.

Tegyük fel, hogy meg kell találnia a négyzetgyököt 4 tizedesjegy pontossággal. Nézzük meg a számítási algoritmust egy példa segítségével bármilyen szám 1308,1912.

1. A papírlapot függőleges vonallal osszuk 2 részre, majd húzzunk belőle még egy vonalat jobbra, valamivel a felső széle alá. Írjuk fel a számot a bal oldalra, 2 számjegyű csoportokra osztva, jobbra haladva és bal oldal vesszőből. A legelső számjegy a bal oldalon lehet pár nélkül. Ha hiányzik a jel a szám jobb oldalán, akkor 0-t kell hozzáadni. Esetünkben 13 08.19 12 lesz az eredmény.
2. Válasszuk ki azt a legnagyobb számot, amelynek négyzete kisebb vagy egyenlő, mint az első számjegycsoport. Esetünkben ez 3. Írjuk a jobb felső sarokra; A 3 az eredmény első számjegye. A jobb alsó sarokban 3×3 = 9-et jelölünk; erre szükség lesz a későbbi számításokhoz. Az oszlopban lévő 13-ból kivonjuk a 9-et, 4 maradékot kapunk.
3. Rendeljük a következő számpárt a maradék 4-hez; 408-at kapunk.
4. Szorozzuk meg a jobb felső sarokban lévő számot 2-vel, és írjuk le a jobb alsó sarokban, és adjunk hozzá _ x _ = értéket. 6_ x _ =-t kapunk.
5. A kötőjelek helyett ugyanazt a számot kell behelyettesíteni, legfeljebb 408-cal. 66 × 6 = 396-ot kapunk. A jobb felső sarokban 6-ot írunk, mivel ez az eredmény második számjegye. 408-ból kivonjuk a 396-ot, 12-t kapunk.
6. Ismételjük meg a 3-6. lépéseket. Mivel a lefelé mozgatott számjegyek a szám tört részében vannak, ezért fel kell tenni tizedesvessző a jobb felső sarokban a 6 után. Írjuk fel a kettős eredményt kötőjelekkel: 72_ x _ =. A megfelelő szám az 1: 721×1 = 721. Írjuk fel válaszként! Vonjunk ki 1219-ből 721 = 498.
7. Végezzük el még háromszor az előző bekezdésben megadott műveletsort, hogy megkapjuk szükséges mennyiség tizedes jel. Ha nincs elég karakter a további számításokhoz, két nullát kell hozzáadnia a bal oldali aktuális számhoz.

Ennek eredményeként megkapjuk a választ: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ha számológéppel ellenőrzi a műveletet, megbizonyosodhat arról, hogy az összes jelet helyesen azonosította.

Bitenkénti négyzetgyök számítás

A módszer rendkívül pontos. Ráadásul teljesen érthető és nem igényel képleteket, ill összetett algoritmus akciók, hiszen a módszer lényege a megfelelő eredmény kiválasztása.

Vegyük ki a 781-es szám gyökerét. Nézzük meg részletesen a műveletek sorrendjét.

1. Nézzük meg, hogy a négyzetgyök érték melyik számjegye lesz a legjelentősebb. Ehhez vegyük négyzetre 0, 10, 100, 1000 stb. gyökszám. Azt kapjuk, hogy 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Válasszuk ki a tízesek értékét. Ehhez felváltva emeljük a 10, 20, ..., 90 hatványait, amíg 781-nél nagyobb számot nem kapunk. Esetünkben 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. az n eredmény értéke 20-on belül lesz< n <30.
3. Az előző lépéshez hasonlóan az egységek számjegyének értéke kerül kiválasztásra. Nézzük négyzetre egyenként a 21,22, ..., 29 értéket: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Azt kapjuk, hogy 7824.< n < 28.
4. Minden további számjegyet (tizedek, századok stb.) a fenti módon számítanak ki. A számításokat a szükséges pontosság eléréséig végezzük.

Szokolov Lev Vladimirovich, a „Tugulymskaya V(S)OSH” Városi Oktatási Intézmény 8. osztályos tanulója

A munka célja: keresse meg és mutassa meg azokat a négyzetgyök-kivonási módszereket, amelyek számológép nélkül is használhatók.

Letöltés:

Előnézet:

Regionális tudományos és gyakorlati konferencia

Tugulym városrész diákjai

Nagy számok négyzetgyökeinek keresése számológép nélkül

Előadó: Lev Sokolov,

MCOU "Tugulymskaya V(S)OSH",

8. osztály

Vezetője: Sidorova Tatyana

Nikolaevna

r.p. Tugulym, 2016

Bevezetés 3

1. fejezet A faktorizálás módja 4

2. fejezet Négyzetgyökök kiemelése sarokkal 4

3. fejezet A kétjegyű számok négyzettáblázatának felhasználási módja 6

4. fejezet Képlet Ókori Babilon 6

6. fejezet Kanadai módszer 7

7. fejezet Kiválasztási módszer kitalálása 8

8. fejezet. A páratlan 8-as szám levonásának módja

10. következtetés

Hivatkozások 11

12. függelék

Bevezetés

A kutatás relevanciája,amikor a négyzetgyök témakört tanulmányoztam ebben tanév, akkor érdekelt az a kérdés, hogyan lehet számológép nélkül kivonni nagy számok négyzetgyökét.

Érdeklődni kezdtem, és úgy döntöttem, hogy mélyebben tanulmányozom ezt a kérdést, mint ahogy azt leírták iskolai tananyag, és minikönyvet is készítsen a legtöbb egyszerű módokon nagy számok négyzetgyökeinek kinyerése számológép nélkül.

A munka célja: keresse meg és mutassa meg azokat a négyzetgyök-kivonási módszereket, amelyek számológép nélkül is használhatók.

Feladatok:

1. Tanulmányirodalom a ez a probléma.
2. Vegye figyelembe az egyes talált módszerek jellemzőit és algoritmusait.
3. Előadás gyakorlati használat megszerzett tudást és értékelni

Használati nehézség különféle módokonés algoritmusok.

1. Készítsen mini-könyvet a legérdekesebb algoritmusokról.

Tanulmányi tárgy:a matematikai szimbólumok négyzetgyökök.

Tanulmányi tárgy:A négyzetgyökök számológép nélküli kinyerésére szolgáló módszerek jellemzői.

Kutatási módszerek:

1. Módszerek és algoritmusok keresése nagy számokból négyzetgyökök kinyerésére számológép nélkül.
2. A talált módszerek összehasonlítása.
3. A kapott módszerek elemzése.

Mindenki tudja, hogy számológép nélkül nagyon nehéz négyzetgyököt venni.

feladat. Ha nincs kéznél számológép, először a kiválasztási módszerrel próbáljuk megjegyezni az adatokat az egész számok négyzeteinek táblázatából, de ez nem mindig segít. Például egy egész számok négyzettáblázata nem ad választ az olyan kérdésekre, mint például a 75, 37,885,108,18061 és mások gyökének kinyerése, még csak megközelítőleg sem.

Ezenkívül a számológép használata gyakran tilos az OGE és az egységes államvizsgák során.

egész számok négyzettáblái, de ki kell bontani a 3136 vagy 7056 gyökét stb.

De miközben a témával kapcsolatos irodalmat tanulmányoztam, megtanultam, hogy az ilyen számokból gyökerezik

Talán asztal és számológép nélkül az emberek már jóval a mikroszámológép feltalálása előtt megtanulták. A téma kutatása során számos módszert találtam a probléma megoldására.

1. fejezet Prímtényezőkké történő faktorizálás módszere

A négyzetgyök kinyeréséhez a számot beleszámíthatja a prímtényezőibe, és felveszi a szorzat négyzetgyökét.

Ezt a módszert általában az iskolai gyökerekkel kapcsolatos problémák megoldására használják.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 8

Sokan sikeresen használják, és ezt tartják az egyetlennek. A gyökér faktorizálással történő kinyerése időigényes feladat, ami szintén nem mindig vezet a kívánt eredményhez. Próbálja kivenni a 209764 négyzetgyökét? A prímtényezőkbe való faktorálás a 2∙2∙52441 szorzatot adja. Mi legyen a következő? Mindenki szembesül ezzel a problémával, és válaszában nyugodtan leírja a bomlás maradékát a gyökér jele alá. Természetesen a lebontást próba-hibával és kiválasztással is megteheti, ha biztos abban, hogy szép választ kap, de a gyakorlat azt mutatja, hogy nagyon ritkán kínálnak fel teljes bontású feladatokat. Leggyakrabban azt látjuk, hogy a gyökeret nem lehet teljesen kivonni.

Ezért ez a módszer csak részben oldja meg a számológép nélküli extrakció problémáját.

2. fejezet Négyzetgyökök kivonása sarokkal

A négyzetgyök kinyeréséhez egy sarok ésNézzük az algoritmust:
1. lépés. A 8649-es szám jobbról balra oszlik; amelyek mindegyikének két számjegyet kell tartalmaznia. Két arcot kapunk:.
2. lépés. A 86 első lapjának négyzetgyökét véve azt kapjuk, hogyhátránnyal. A 9 a gyökér első számjegye.
3. lépés. A 9-es szám négyzetes (9 2 = 81) és az első lapból kivonva a 81-es számot, 86-81=5-öt kapunk. Az 5-ös szám az első maradék.
4. lépés. A maradék 5-höz hozzáadjuk a 49-es második oldalt, így az 549-es számot kapjuk.

5. lépés . A 9-es gyök első számjegyét megduplázzuk, és balról írva -18-at kapunk

A számhoz a következőket kell hozzáadni a legmagasabb adat, így az ezzel a számmal kapott szám szorzata vagy egyenlő lenne az 549 számmal, vagy kisebb, mint 549. Ez a 3. Kiválasztással találjuk meg: az 549-es szám tízeseinek száma, azaz az 54-es számot elosztjuk 18-cal, 3-at kapunk, mivel 183 ∙ 3 = 549. A 3 a gyökér második számjegye.

6. lépés. Megtaláljuk a maradékot 549 – 549 = 0. Mivel a maradék egyenlő nullával, akkor megkaptuk a gyökér pontos értékét - 93.

Hadd mondjak egy másik példát: kivonat √212521

3. fejezet A kétjegyű számok négyzettáblázatának használata

Ezt a módszert az internetről tanultam. A módszer nagyon egyszerű, és lehetővé teszi bármely egész szám négyzetgyökének azonnali kinyerését 1-től 100-ig tizedes pontossággal, számológép nélkül. Ennek a módszernek az egyik feltétele a 99-ig terjedő számok négyzeteinek táblázatának megléte.

(Minden 8. osztályos algebra tankönyvben benne van, és így tovább OGE vizsga referenciaként kínáljuk.)

Nyissa meg a táblázatot, és ellenőrizze a válasz megtalálásának sebességét. Először azonban néhány javaslat: a válasz bal szélső oszlopa egész számok, a legfelső sor pedig tizedek lesznek a válaszban. És akkor minden egyszerű: zárja be a szám utolsó két számjegyét a táblázatban, és keresse meg a szükséges számot, ne haladja meg a gyökszámot, majd kövesse a táblázat szabályait.

Nézzünk egy példát. Keressük meg a √87 értéket.

A táblázatban szereplő összes szám utolsó két számjegyét bezárjuk, és a 87-hez közelieket keresünk - csak kettő van belőle 86 49 és 88 37. De a 88 már sok.

Tehát már csak egy dolog van hátra - a 8649.

A bal oldali oszlop a 9-es választ adja (ezek egész számok), a felső sor pedig a 3-ast (ezek tizedek). Ez √87≈ 9,3-ot jelent. Nézzük az MK √87 ≈ 9,327379-et.

Gyors, egyszerű, elérhető a vizsga során. De azonnal világos, hogy 100-nál nagyobb gyökereket ezzel a módszerrel nem lehet kinyerni. A módszer kényelmes kis gyökerű feladatokhoz és asztal jelenlétében.

4. fejezet Az ókori Babilon képlete

Az ókori babilóniaiak használták a következő módon x számuk négyzetgyökének közelítő értékének megtalálása. Az x számot a összegeként ábrázolták 2 +b, ahol a 2 az x számhoz legközelebbi pontos négyzet természetes szám a (a 2 . (1)

Az (1) képlet segítségével kivonjuk a négyzetgyököt például a 28-as számból:

A 28-as gyökér MK-val történő kinyerésének eredménye 5.2915026.

Mint látjuk, a babiloni módszer jó közelítést ad pontos érték gyökér

5. fejezet: Leejtési módszer teljes négyzet

(csak négyjegyű számoknál)

Érdemes rögtön tisztázni, hogy ez a módszer csak egy pontos négyzet négyzetgyökének kinyerésére alkalmazható, és a keresési algoritmus a gyökszám méretétől függ.

1. Gyökerek kinyerése a 75-ös számig 2 = 5625

Például: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

A 3844-es számot összegként jelenítjük meg úgy, hogy ebből a számból kiválasztjuk a 144-es négyzetet, majd a kiválasztott négyzetet eldobjuk.az első tag több százas száma(37) mindig hozzáadunk 25-öt . Megkapjuk a választ 62.

Így csak 75-ig lehet négyzetgyököket kivonni 2 =5625!

2) Gyökerek kinyerése a 75. szám után 2 = 5625

Hogyan lehet szóban kivonni négyzetgyököt 75-nél nagyobb számokból 2 =5625?

Például: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Hadd magyarázzuk el, a 7225-öt 7000 és a kiválasztott négyzet 225 összegeként fogjuk bemutatni.adjuk hozzá a négyzetgyököt a százhoz 225-ből egyenlő 15-tel.

Megkapjuk a választ 85.

Ez a keresési módszer nagyon érdekes és bizonyos mértékig eredeti, de kutatásaim során egyetlen permi tanári munkában találkoztam vele.

Talán keveset tanulmányozták, vagy van néhány kivétel.

Meglehetősen nehéz megjegyezni az algoritmus kettőssége miatt, és csak négyjegyű, pontos gyökszámokra alkalmazható, de sok példát végigdolgoztam, és meggyőződtem a helyességéről. Ráadásul ez a módszer azok számára is elérhető, akik már megjegyezték a 11-től 29-ig terjedő számok négyzeteit, mert az ő tudta nélkül használhatatlan lesz.

6. fejezet Kanadai módszer

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), ahol X a négyzetgyökös szám, S pedig a legközelebbi pontos négyzet száma.

Próbáljuk meg felvenni a 75 négyzetgyökét

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Ennek a módszernek a részletes tanulmányozásával könnyen bizonyítható a babilonihoz való hasonlósága, és érvelhetünk e képlet szerzői joga mellett, ha a valóságban létezik. A módszer egyszerű és kényelmes.

7. fejezet Kiválasztási módszer kitalálása

Ez a módszer javasolt angol diákok Mathematical College of London, de életében mindenki legalább egyszer önkéntelenül használta ezt a módszert. Kiválasztáson alapul különböző jelentések hasonló számok négyzeteit a keresési terület szűkítésével. Bárki elsajátíthatja ezt a módszert, de nem valószínű, hogy alkalmazzák, mert megköveteli a nem mindig helyesen kitalált számok oszlopának szorzatának ismételt kiszámítását. Ez a módszer veszít mind a megoldás szépségében, mind az időben. Az algoritmus egyszerű:

Tegyük fel, hogy 75 négyzetgyökét szeretné felvenni.

Mivel 8 2 = 64 és 9 2 = 81, tudod, hogy a válasz valahol a kettő között van.

Próbáld meg megépíteni a 8.5-öt 2 és 72,25-öt kapsz (túl kevés)

Most próbáld ki a 8.6-ot 2 és 73,96-ot kapsz (túl kicsi, de egyre közelebb)

Most próbáld ki a 8.7-et 2 és 75,69-et kapsz (túl nagy)

Most már tudja, hogy a válasz 8,6 és 8,7 között van

Próbáld meg építeni a 8.65-öt 2 és 74,8225-öt kapsz (túl kicsi)

Most próbáld ki a 8.66-ot 2... és így tovább.

Addig folytassa, amíg olyan választ nem kap, amely elég pontos az Ön számára.

8. fejezet. Páratlan szám levonási módszer

Sokan ismerik a négyzetgyök kinyerésének módszerét úgy, hogy egy számot prímtényezőkké alakítanak. Munkámban bemutatok egy másik módszert, amellyel megtudhatja egy szám négyzetgyökének egész részét. A módszer nagyon egyszerű. Vegye figyelembe, hogy a következő egyenlőségek igazak számnégyzetekre:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 stb.

Szabály: megtudhatja egy szám négyzetgyökének egész részét, ha kivon belőle minden páratlan számot, amíg a maradék kisebb lesz, mint a következő kivont szám, vagy egyenlő nullával, és megszámolja a végrehajtott műveletek számát.

Például, hogy megkapjuk a 36 és 121 négyzetgyökét, ez a következő:

Teljes kivonás = 6, tehát 36 négyzetgyöke = 6.

A kivonások teljes száma = 11, tehát √121 = 11.

Egy másik példa: keressük √529-et

Megoldás: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Válasz: √529 = 23

A tudósok ezt a módszert aritmetikai négyzetgyök-kivonásnak nevezik, a színfalak mögött pedig lassúsága miatt „teknős módszernek”.
Ennek a módszernek az a hátránya, hogy ha a kinyert gyökér nem egész szám, akkor csak a teljes részét tudhatja meg, de pontosabban nem. Ugyanakkor ez a módszer meglehetősen hozzáférhető olyan gyermekek számára, akik egyszerű problémákat tudnak megoldani. matematikai feladatok, négyzetgyök kivonást igényel. Próbáld meg így kivonni egy szám négyzetgyökét, például az 5963364-et, és meg fogod érteni, hogy „működik”, természetesen hiba nélkül a pontos gyökökhöz, de nagyon-nagyon hosszú a megoldásban.

Következtetés

Az ebben a munkában leírt gyökérkivonási módszerek számos forrásban megtalálhatók. Nekem azonban kiderült, hogy kitaláljam őket nem könnyű feladat, amely jelentős érdeklődést váltott ki. A bemutatott algoritmusok lehetővé teszik, hogy mindenki, aki érdeklődik a téma iránt, gyorsan elsajátítsa a négyzetgyök kiszámításának készségeit, és felhasználható a megoldás ellenőrzéséhez, és nem függ a számológéptől.

A kutatás eredményeként arra a következtetésre jutottam: a négyzetgyök számológép nélküli kinyerésének különféle módszerei szükségesek iskolai tanfolyam matematika a számítási készségek fejlesztésére.

A tanulmány elméleti jelentősége - a négyzetgyökök kinyerésének fő módszereit rendszerezték.

Gyakorlati jelentősége: tartalmazó minikönyv elkészítésében referencia diagram négyzetgyökök kinyerése különféle módokon (1. melléklet).

Irodalom és internetes oldalak:

1. BAN BEN. Szergejev, S.N. Olehnik, S. B. Gashkov „A matematika alkalmazása”. – M.: Nauka, 1990
2. Kerimov Z.: „Hogyan találjuk meg egész gyökér? Népszerű tudományos és matematikai folyóirat „Kvant” 1980. 2. szám
3. Petrakov I.S. „matematika klubok 8-10. osztályban”; Könyv tanároknak.

–M.: Oktatás, 1987

1. Tikhonov A.N., Kosztomarov D.P. "Történetek az alkalmazott matematikáról." - M.: Nauka. Főszerkesztőség fizikai és matematikai irodalom, 1979
2. Tkacheva M.V. Otthoni matek. Könyv 8. osztályos tanulóknak oktatási intézmények. – Moszkva, Felvilágosodás, 1994.
3. Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Keresőtáblák matematikából.-M.: „ROSMEN-PRESS” LLC Kiadó, 2004.-120 p.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki/teorema/

Jó napot, kedves vendégeink!

Lev Sokolov vagyok, esti iskolában 8. osztályban tanulok.

Bemutatok figyelmükbe egy munkát a következő témában: "Nagy számok négyzetgyökeinek megtalálása számológép nélkül."

Egy téma tanulmányozásakorEbben a tanévben érdekelt az a kérdés, hogyan lehet számológép nélkül kivonni a nagy számok négyzetgyökét, és úgy döntöttem, hogy mélyebben tanulmányozom, mivel következő év Matematikából kell vizsgáznom.

Munkám célja:találja meg és mutassa meg a négyzetgyökök számológép nélküli kinyerésének módjait

A cél elérése érdekében a következőt választottam feladatok:

1. Tanulmányozza a témával kapcsolatos szakirodalmat.

2. Tekintsük az egyes talált módszerek jellemzőit és azok algoritmusát.

3. Mutassa be a megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazását, és értékelje a komplexitás mértékét a különféle módszerek és algoritmusok alkalmazásában.

4. Hozzon létre egy mini-könyvet a legérdekesebb algoritmusok szerint.

Kutatásom tárgya az voltnégyzetgyök.

Tanulmányi tárgy:A négyzetgyökök számológép nélküli kinyerésének módjai.

Kutatási módszerek:

1. Módszerek és algoritmusok keresése nagy számokból négyzetgyökök kinyerésére számológép nélkül.

2. A talált módszerek összehasonlítása és elemzése.

Találtam és tanulmányoztam 8 módszert a négyzetgyökök számológép nélküli megtalálására és a gyakorlatba való átültetésére. A talált metódusok nevei a dián láthatók.

Azokra koncentrálok, amelyek tetszettek.

Példával bemutatom, hogyan lehet a 3025 szám négyzetgyökét prímtényezősséggel kivonni.

Ennek a módszernek a fő hátránya- sok időbe telik.

Az ókori Babilon képletével kivonom a 3025-ös szám négyzetgyökét.

A módszer csak kis számok esetén kényelmes.

Ugyanabból a 3025 számból egy sarok segítségével kivonjuk a négyzetgyököt.

Véleményem szerint ez a legtöbb univerzális módszer, bármely számra vonatkozik.

BAN BEN modern tudomány A négyzetgyök számológép nélküli kinyerésére számos módszer létezik, de nem tanulmányoztam mindegyiket.

Munkám gyakorlati jelentősége:egy mini-könyv létrehozásában, amely referenciadiagramot tartalmaz a négyzetgyökök különféle módon történő kinyeréséhez.

Munkám eredményei sikeresen felhasználhatók matematikában, fizikában és más olyan tantárgyakban, ahol számológép nélküli gyökérkivonásra van szükség.

Köszönöm a figyelmet!

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Négyzetgyök kinyerése nagy számokból számológép nélkül Előadó: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V(S)OSH", 8. osztály Vezető: Sidorova Tatyana Nikolaevna I. kategória, matematika tanár r.p. Tugulym

A módszerek helyes alkalmazása az alkalmazáson és sokféle példán keresztül tanulható meg. G. Zeiten A munka célja: megtalálni és bemutatni azokat a négyzetgyök-kivonási módszereket, amelyek számológép nélkül is használhatók. Célok: - Tanulmányozza a témával kapcsolatos szakirodalmat. - Vegye figyelembe az egyes talált módszerek jellemzőit és algoritmusait. - Mutassa be a megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazását, és értékelje a komplexitás mértékét a különböző módszerek és algoritmusok alkalmazásában. - Készítsen mini-könyvet a legérdekesebb algoritmusokról.

Vizsgálat tárgya: négyzetgyök Tantárgyak: négyzetgyök kinyerésének módszerei számológép nélkül. Kutatási módszerek: Módszerek és algoritmusok keresése nagy számokból négyzetgyökök kinyerésére számológép nélkül. A talált módszerek összehasonlítása. A kapott módszerek elemzése.

A négyzetgyök kinyerésének módszerei: 1. A prímtényezőkbe való faktorálás módszere 2. A négyzetgyök kinyerése sarok segítségével 3. A kétjegyű számok négyzettáblázatának felhasználási módja 4. Az ókori Babilon képlete 5. A tökéletes négyzet eldobásának módja 6. Kanadai módszer 7. Találgatási módszer 8. Páratlan szám levonásának módja

A prímtényezőkbe való faktorálás módszere Négyzetgyök kinyeréséhez egy számot beszámíthat prímtényezőkbe, és kivonhatja a szorzat négyzetgyökét. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2229│292│228 41│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2 = 22∙2∙2 √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Nem mindig könnyű lebontani, gyakrabban nem távolítható el teljesen, sok időbe telik.

Az ókori Babilon képlete (babiloni módszer) Algoritmus négyzetgyök kinyerésére az óbabiloni módszerrel. 1 . Mutasd be a c számot a² + b összegként, ahol a² a c számhoz legközelebb eső a természetes szám pontos négyzete (a² ≈ c); 2. A gyökér hozzávetőleges értékét a következő képlet segítségével számítjuk ki: A gyökér számológéppel történő kinyerésének eredménye 5,292.

Négyzetgyök kivonása sarokkal A módszer szinte univerzális, hiszen bármilyen számra alkalmazható, de a rebusz összeállítása (a szám végén lévő szám kitalálása) logikát és jó oszlopos számítási készségeket igényel.

Algoritmus négyzetgyök kinyerésére sarok segítségével 1. Osszuk a számot (5963364) jobbról balra párokra (5`96`33`64) 2. Vegyük ki a négyzetgyököt a bal oldali első csoportból (- 2-es szám) . Így kapjuk meg a szám első számjegyét. 3. Határozzuk meg az első számjegy négyzetét (2 2 =4). 4. Határozza meg a különbséget az első csoport és az első számjegy négyzete között (5-4=1). 5. Levesszük a következő két számjegyet (a 196-os számot kapjuk). 6. Duplázzuk meg a talált első számjegyet, és írjuk a sor mögé balra (2*2=4). 7. Most meg kell találnunk a szám második számjegyét: a talált első számjegy duplája a szám tízes számjegye lesz, ha megszorozzuk az egységek számával, egy 196-nál kisebb számot kell kapnunk (ez a szám 4, 44*4=176). A 4 a & második számjegye. 8. Keresse meg a különbséget (196-176=20). 9. A következő csoportot lebontjuk (a 2033-as számot kapjuk). 10. A 24-es számot megduplázva 48-at kapunk. 11. 48 tízes számot kapunk, az egyesek számával szorozva 2033-nál kisebb számot kell kapnunk (484*4=1936). A talált egységszámjegy (4) a szám harmadik számjegye. Ezután a folyamat megismétlődik.

Páratlan szám levonási módszer ( aritmetikai módszer) Négyzetgyök algoritmus: A páratlan számokat addig vonja ki, amíg a maradék kisebb lesz, mint a következő kivonandó szám, vagy egyenlő nullával. Számolja meg a végrehajtott műveletek számát – ez a szám a kivont négyzetgyök számának egész része. 1. példa: számold ki 1. 9 − 1 = 8; 8-3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 művelet befejezve

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 a kivonások teljes száma = 6, tehát a 36 négyzetgyöke = 6. 121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 - 13 = 72 - 15 = 57 - 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 A kivonások teljes száma = 11, tehát a 121 négyzetgyöke = 11. 5963364 = ??? Az orosz tudósok a színfalak mögött „teknős módszernek” nevezik lassúsága miatt. Nagy számoknál kényelmetlen.

A tanulmány elméleti jelentősége - a négyzetgyökök kinyerésének fő módszereit rendszerezték. Gyakorlati jelentősége: egy referenciadiagramot tartalmazó minikönyv készítése a négyzetgyök különböző módokon történő kinyeréséhez.

Köszönöm a figyelmet!

Előnézet:

Néhány probléma megoldásához négyzetgyököt kell vennie nagyszámú. Hogyan kell csinálni?

Páratlan szám levonási módszer.

A módszer nagyon egyszerű. Vegye figyelembe, hogy a következő egyenlőségek igazak számnégyzetekre:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 stb.

Szabály: Megtudhatja egy szám négyzetgyökének egész részét, ha kivon belőle minden páratlan számot, amíg a maradék kisebb lesz, mint a következő kivont szám, vagy egyenlő nullával, és megszámolja a végrehajtott műveletek számát.

Például, hogy megkapjuk a 36 és 121 négyzetgyökét:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

A kivonások teljes száma = 6, tehát négyzetgyök 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

A kivonások teljes száma = 11, tehát√121 = 11.

Kanadai módszer.

Ezt a gyors módszert Kanada egyik vezető egyetemének fiatal tudósai fedezték fel a 20. században. Pontossága legfeljebb két-három tizedesjegy. Íme a képletük:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), ahol X a négyzetgyökös szám, S pedig a legközelebbi pontos négyzet száma.

Példa. Vegyük a 75 négyzetgyökét.

X = 75, S = 81. Ez azt jelenti, hogy √ S = 9.

Számítsuk ki a √75-öt a következő képlettel: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Módszer négyzetgyökök kinyerésére sarok segítségével.

1. Osszuk a számot (5963364) párokra jobbról balra (5`96`33`64)

2. Vegye ki a bal oldali első csoport négyzetgyökét (- 2. számú). Így kapjuk meg a szám első számjegyét.

3. Keresse meg az első számjegy négyzetét (2 2 =4).

4. Határozza meg a különbséget az első csoport és az első számjegy négyzete között (5-4=1).

5. Levesszük a következő két számjegyet (a 196-os számot kapjuk).

6. Duplázzuk meg a talált első számjegyet, és írjuk a sor mögé balra (2*2=4).

7. Most meg kell találnunk a szám második számjegyét: a talált első számjegy duplája a szám tízes számjegye lesz, ha megszorozzuk az egységek számával, egy 196-nál kisebb számot kell kapnunk (ez a szám 4, 44*4=176). A 4 a & második számjegye.

8. Keresse meg a különbséget (196-176=20).

9. A következő csoportot lebontjuk (a 2033-as számot kapjuk).

10. Megduplázzuk a 24-et, 48-at kapunk.

Egy számban 11,48 tízes van, az egyesek számával szorozva 2033-nál kisebb számot kell kapnunk (484*4=1936). A talált egységszámjegy (4) a szám harmadik számjegye.

Akció négyzetgyökfordítottja a négyzetesítés műveletének.

√81= 9 9 2 =81.

Kiválasztási módszer.

Példa: Vegyük ki a 676-os szám gyökerét.

Észrevesszük, hogy 20 2 = 400 és 30 2 = 900, ami 20

A természetes számok pontos négyzetei 0-ra végződnek; 1; 4; 5; 6; 9.
A 6-os szám 4-et ad 2 és 6 2 .
Ez azt jelenti, hogy ha a gyökér 676-ból származik, akkor az vagy 24, vagy 26.

Még ellenőrizni kell: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Válasz: √ 676 = 26.

Egy másik példa: √6889.

Mivel 80 2 = 6400 és 90 2 = 8100, majd 80 A 9-es szám 3-at ad 2 és 7 2 , akkor √6889 egyenlő 83-mal vagy 87-tel.

Ellenőrizzük: 83 2 = 6889.

Válasz: √6889 = 83.

Ha nehezen dönt a kiválasztási módszerrel, megteheti radikális kifejezés tényezőkre bont.

Például keresse meg a √893025 számot.

Vegyük figyelembe a 893025 számot, ne feledje, ezt a hatodik osztályban csinálta.

A következőt kapjuk: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babilóniai módszer.

1. lépés. Mutassa be az x számot összegként: x=a 2 + b, ahol a 2 az a természetes szám x számhoz legközelebbi pontos négyzete.

2. lépés. Képlet használata:

Példa. Kiszámítja.

Aritmetikai módszer.

Kivonjuk az összes páratlan számot a számból, amíg a maradék kisebb lesz, mint a következő kivonandó szám, vagy egyenlő nullával. Miután megszámoltuk a végrehajtott műveletek számát, meghatározzuk a szám négyzetgyökének egész részét.

Példa. Számítsa ki egy szám egész részét!.

Megoldás. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - egész rész számok. Így, .

Módszer (Newton-módszerként ismert)az alábbiak.

Legyen egy 1 - a szám első közelítése(mint 1 felveheti egy természetes szám négyzetgyökének értékét - a pontos négyzet nem haladja meg .

Ez a módszer lehetővé teszi nagy szám négyzetgyökének tetszőleges pontosságú kinyerését, bár jelentős hátránya van: a számítások nehézkessége.

Értékelési módszer.

1. lépés. Állapítsa meg, hogy az eredeti gyökér milyen tartományban van (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).

2. lépés. Az utolsó számjegy segítségével határozza meg, hogy melyik számjegyre végződik a kívánt szám.

3. lépés. Tegye négyzetre a várt számokat, és határozza meg belőlük a kívánt számot.

Példa 1. Számítsa ki .

Megoldás. 2500 50 2 2 50

= *2 vagy = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Ezért = 58.

A számológépek előtt a diákok és a tanárok kézzel számolták ki a négyzetgyököket. Számos módja van egy szám négyzetgyökének manuális kiszámítására. Némelyikük csak hozzávetőleges megoldást kínál, mások pontos választ adnak.

Lépések

Prímfaktorizálás

Tényezősítse a gyökszámot olyan tényezőkké, amelyek négyzetszámok. A gyökszámtól függően hozzávetőleges vagy pontos választ kap. A négyzetszámok olyan számok, amelyekből a teljes négyzetgyök kivehető. A faktorok olyan számok, amelyek szorozva az eredeti számot adják. Például a 8-as szám tényezői 2 és 4, mivel 2 x 4 = 8, a 25, 36, 49 számok négyzetszámok, mivel √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Négyzetes tényezők tényezők, amelyek négyzetszámok. Először próbálja meg a gyökszámot négyzetes tényezőkké alakítani.

• Például számítsa ki 400 négyzetgyökét (kézzel). Először próbálja meg 400-at beszámítani négyzetes tényezőkbe. A 400 a 100 többszöröse, azaz osztható 25-tel - ez egy négyzetszám. Ha 400-at elosztunk 25-tel, akkor 16-ot kapunk. A 16-os szám is négyzetszám. Így 400 beszámítható a 25 és 16 négyzettényezőjébe, azaz 25 x 16 = 400.
• Ez a következőképpen írható fel: √400 = √(25 x 16).

1. Néhány kifejezés szorzatának négyzetgyöke egyenlő a termékkel minden tag négyzetgyöke, azaz √(a x b) = √a x √b. Ezzel a szabállyal vegye ki az egyes négyzettényezők négyzetgyökét, és szorozza meg az eredményeket a válasz megtalálásához.

   • Példánkban vegyük a 25 és 16 gyökerét.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ha a gyökszám nem bomlik ketté négyzet tényező(és ez a legtöbb esetben megtörténik), nem fogja tudni megtalálni a pontos választ egész szám formájában. De leegyszerűsítheti a feladatot, ha a gyökszámot négyzettényezőre és közönséges tényezőre bontja (olyan számra, amelyből a teljes négyzetgyök nem vehető ki). Ezután veszi a négyzetgyökét és a közös tényező gyökét.

   • Például számítsa ki a 147-es szám négyzetgyökét. A 147-es szám nem számolható be két négyzettényezőbe, de a következő tényezőkbe: 49 és 3. Oldja meg a feladatot a következőképpen!
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ha szükséges, becsülje meg a gyökér értékét. Most megbecsülheti a gyök értékét (közelítő értéket találhat), ha összehasonlítja azokat a négyzetszámok gyökeinek értékeivel, amelyek a legközelebb vannak (a számegyenes mindkét oldalán) a gyökszámhoz. A gyökér értékét as decimális, amelyet meg kell szorozni a gyökérjel mögötti számmal.

   • Térjünk vissza példánkhoz. A gyökszám 3. A hozzá legközelebbi négyzetszámok az 1 (√1 = 1) és a 4 (√4 = 2) lesznek. Így a √3 értéke 1 és 2 között helyezkedik el. Mivel √3 értéke valószínűleg közelebb van a 2-hez, mint az 1-hez, becslésünk a következő: √3 = 1,7. Ezt az értéket megszorozzuk a gyökérjelben lévő számmal: 7 x 1,7 = 11,9. Ha számológéppel számol, 12,13-at kap, ami elég közel áll a válaszunkhoz.
     • Ez a módszer azzal is működik nagy számok. Vegyük például a √35 értéket. A gyökszám 35. A legközelebbi négyzetszámok a 25 (√25 = 5) és a 36 (√36 = 6) lesznek. Így a √35 értéke 5 és 6 között helyezkedik el. Mivel √35 értéke sokkal közelebb van a 6-hoz, mint az 5-höz (mivel a 35 csak 1-gyel kisebb, mint 36), azt mondhatjuk, hogy √35 valamivel kisebb, mint 6 A számológép ellenőrzése 5,92-es választ ad – igazunk volt.

4. Egy másik módszer a gyökszám prímtényezőkbe való beszámítása. A prímtényezők olyan számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Írja fel a prímtényezőket egy sorozatba, és keresse meg az azonos tényezők párjait! Az ilyen tényezőket ki lehet venni a gyökérjelből.

   • Például számítsuk ki 45 négyzetgyökét. A gyökszámot prímtényezőkbe vesszük: 45 = 9 x 5 és 9 = 3 x 3. Így √45 = √(3 x 3 x 5). A 3 gyökérjelként kivehető: √45 = 3√5. Most megbecsülhetjük √5-öt.
   • Nézzünk egy másik példát: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Három 2-es szorzót kapott; vegyen belőlük párat, és vigye túl a gyökérjelen.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Most kiértékelheti a √2 és √11 értékeket, és megtalálhatja a hozzávetőleges választ.

   Négyzetgyök manuális számítása

   Hosszú osztás használata

   1. Ez a módszer a hosszú osztáshoz hasonló folyamatot tartalmaz, és pontos választ ad. Először húzzon egy függőleges vonalat, amely kétfelé osztja a lapot, majd jobbra és kissé a lap felső széle alatt húzzon egy vízszintes vonalat a függőleges vonalhoz. Most osszuk fel a gyökszámot számpárokra, a tizedesvessző utáni tört résztől kezdve. Tehát a 79520789182.47897 szám „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Például számítsuk ki a 780,14 szám négyzetgyökét. Húzzon két vonalat (a képen látható módon), és írja be a megadott számot a bal felső sarokban található „7 80, 14” formában. Normális, hogy a bal első számjegy párosítatlan számjegy. A választ (a szám gyökerét) a jobb felső sarokban írja be.

   2. A bal oldali első számpárhoz (vagy egyetlen számhoz) keresse meg azt a legnagyobb n egész számot, amelynek négyzete kisebb vagy egyenlő, mint a kérdéses számpár (vagy egyetlen szám). Más szavakkal, keresse meg azt a négyzetszámot, amely a legközelebb van, de kisebb, mint a bal oldali első számpárhoz (vagy egyetlen számhoz), és vegye ennek a négyzetgyökét. négyzetszám; megkapja az n számot. Írja be az n-et a jobb felső sarokban, és írja be az n négyzetét a jobb alsó sarokban.

      • Esetünkben a bal oldali első szám 7 lesz. Következő, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Vonja ki az imént talált n szám négyzetét a bal oldali első számpárból (vagy egyetlen számból). A számítás eredményét írd a részfej (az n szám négyzete) alá!

      • Példánkban 7-ből vonjunk ki 4-et, és kapjunk 3-at.

   4. Vegye le a második számpárt, és írja le az előző lépésben kapott érték mellé. Ezután duplázza meg a számot a jobb felső sarokban, és írja be az eredményt a jobb alsó sarokban a "_×_=" hozzáadásával.

      • Példánkban a második számpár "80". Írjon "80"-at a 3 után. Ezután a jobb felső sarokban lévő szám duplája 4-et kap. Írja be a "4_×_="-t a jobb alsó sarokra.

   5. Töltse ki a jobb oldalon található üres helyeket.

      • Esetünkben, ha kötőjelek helyett 8-ast teszünk, akkor 48 x 8 = 384, ami több mint 380. Ezért a 8 túl nagy szám, de a 7 is megteszi. Írjon 7-et kötőjelek helyett, és kapja meg: 47 x 7 = 329. Írjon 7-et a jobb felső sarokban - ez a 780,14 szám kívánt négyzetgyökének második számjegye.

   6. Vonja ki a kapott számot a bal oldali aktuális számból.Írja be az előző lépés eredményét a bal oldali aktuális szám alá, keresse meg a különbséget, és írja be a részfej alá.

      • Példánkban 380-ból vonjuk ki a 329-et, ami 51-nek felel meg.

   7. Ismételje meg a 4. lépést. Ha a hordozandó számpár az eredeti szám tört része, akkor az elválasztót (vesszőt) egész számmal és törtrészek a kívánt négyzetgyökben a jobb felső sarokban. A bal oldalon hozza le a következő számpárt. Duplázza meg a számot a jobb felső sarokban, és írja be az eredményt a jobb alsó sarokban a "_×_=" hozzáadásával.

      • Példánkban a következő eltávolítandó számpár a 780,14 szám tört része lesz, ezért helyezzük az egész és a törtrészek elválasztóját a kívánt négyzetgyökbe a jobb felső sarokban. Vegye le a 14-et, és írja le a bal alsó sarokban. A jobb felső sarokban lévő dupla szám (27) 54, ezért írja be a jobb alsó sarokra: „54_×_=".

   8. Ismételje meg az 5. és 6. lépést. Találj egyet legnagyobb szám a jobb oldali kötőjelek helyére (a kötőjelek helyett ugyanazt a számot kell behelyettesítenie), hogy a szorzás eredménye kisebb vagy egyenlő legyen a bal oldali aktuális számmal.

      • Példánkban 549 x 9 = 4941, ami kisebb, mint a bal oldali aktuális szám (5114). Írjon 9-et a jobb felső sarokra, és vonja ki a szorzás eredményét a bal oldali aktuális számból: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ha több tizedesjegyet kell találnia a négyzetgyökhöz, írjon néhány nullát az aktuális szám bal oldalára, és ismételje meg a 4., 5. és 6. lépést. Ismételje a lépéseket, amíg meg nem kapja a válasz pontosságát (tizedesjegyek száma). szükség.

   A folyamat megértése

   Az asszimilációhoz ez a módszer gondolja azt a számot, amelynek négyzetgyökét szeretné megtalálni az S négyzet területeként. Ebben az esetben egy ilyen négyzet L oldalának hosszát kell keresnie. L értékét úgy számítjuk ki, hogy L² = S.

   A válaszban minden számhoz írjon egy betűt! Jelöljük A-val L értékének első számjegyét (a kívánt négyzetgyököt). B lesz a második számjegy, C a harmadik és így tovább.

   Adjon meg egy betűt az első számjegypárokhoz. Jelöljük S a-val az első számjegypárt S értékében, S b-vel a második számpárt, és így tovább.

   Értse meg a kapcsolatot e módszer és a hosszú osztás között. Csakúgy, mint az osztásnál, ahol minden alkalommal csak az osztandó szám következő számjegye érdekel minket, a négyzetgyök kiszámításakor egy számpárt sorban dolgozunk át (hogy a négyzetgyök értékben a következő számjegyet kapjuk ).

   1. Tekintsük az S szám első Sa számjegypárját (példánkban Sa = 7), és keressük meg a négyzetgyökét. Ebben az esetben a kívánt négyzetgyök érték első A számjegye olyan számjegy lesz, amelynek négyzete kisebb vagy egyenlő, mint S a (vagyis olyan A-t keresünk, hogy az A² egyenlőtlenség ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tegyük fel, hogy a 88962-t el kell osztanunk 7-tel; itt az első lépés hasonló lesz: figyelembe vesszük a 88962 (8) osztható szám első számjegyét, és kiválasztjuk a legnagyobb számot, amelyet 7-tel megszorozva 8-nál kisebb vagy azzal egyenlő értéket kapunk. egy d szám, amelyre az egyenlőtlenség igaz: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Gondolatban képzeljen el egy négyzetet, amelynek területét ki kell számítania. L-t keresel, vagyis annak a négyzetnek az oldalának a hosszát, amelynek területe egyenlő S-vel. A, B, C az L számban szereplő számok. Felírhatod másképp is: 10A + B = L (for kétjegyű szám) vagy 100A + 10B + C = L (for háromjegyű szám) stb.

      • Hadd (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Ne feledje, hogy a 10A+B egy olyan szám, amelyben a B számjegy az egységeket, az A szám pedig a tízeseket jelöli. Például, ha A=1 és B=2, akkor 10A+B egyenlő a 12-vel. (10A+B)² a teljes tér területe, 100A²- a nagy belső tér területe, B²- a kis belső tér területe, 10A×B- a két téglalap mindegyikének területe. A leírt ábrák területeinek összeadásával megtalálja az eredeti négyzet területét.

A matematika akkor keletkezett, amikor az ember tudatára ébredt önmagának, és a világ autonóm egységeként kezdte el pozicionálni magát. Az a vágy, hogy megmérjük, összehasonlítsuk, megszámoljuk azt, ami körülvesz – ez az alapja alaptudományok napjainkat. Eleinte részecskék voltak elemi matematika, amely lehetővé tette a számok összekapcsolását azokkal fizikai kifejezések, később a következtetéseket csak elméletileg kezdték bemutatni (az elvontságuk miatt), de egy idő után, ahogy egy tudós fogalmazott, „a matematika elérte a bonyolultság plafonját, amikor az összes szám eltűnt belőle”. A „négyzetgyök” fogalma akkor jelent meg, amikor empirikus adatokkal könnyen alátámasztható volt, túllépve a számítási síkon.

Ahol minden kezdődött

A gyökér első említése, amely az Ebben a pillanatban√-ként jelölve, a babiloni matematikusok munkáiban rögzítették, akik lefektették a modern aritmetika alapjait. Természetesen nem nagyon hasonlítottak a jelenlegi formájukra - az akkori évek tudósai először használtak terjedelmes tablettákat. De a Kr.e. második évezredben. e. Levezettek egy hozzávetőleges számítási képletet, amely megmutatta, hogyan kell kivonni a négyzetgyököt. Az alábbi képen egy kő látható, amelyre a babiloni tudósok a √2 levezetésének folyamatát faragták, és ez annyira helyesnek bizonyult, hogy a válasz eltérését csak a tizedik tizedesjegyben találták meg.

Ezenkívül a gyökéröt akkor használták, ha meg kellett találni egy háromszög oldalát, feltéve, hogy a másik kettő ismert. Nos, a másodfokú egyenletek megoldásánál nincs menekvés a gyökér kinyerése elől.

A babiloni munkákkal együtt a cikk tárgyát a „Mathematics in Nine Books” című kínai mű is tanulmányozta, és az ókori görögök arra a következtetésre jutottak, hogy minden olyan szám, amelyből a gyökér nem vonható ki maradék nélkül, irracionális eredményt ad. .

Eredet ezt a kifejezést a szám arab ábrázolásához kapcsolódik: az ókori tudósok úgy vélték, hogy egy tetszőleges szám négyzete egy gyökérből nő ki, mint egy növény. Latinul ez a szó úgy hangzik, mint a radix (nyomon követheti a mintát - mindent, aminek "gyökere" van szemantikai terhelés, mássalhangzó, legyen az retek vagy radikulitisz).

A következő generációk tudósai felvették ezt az ötletet, és Rx-nek nevezték el. Például a 15. században annak jelzésére, hogy egy tetszőleges a szám négyzetgyökét vették, R 2 a-t írtak. Szokásos modern nézet A "pipa" √ csak a 17. században jelent meg Rene Descartesnak köszönhetően.

A mi napjaink

Matematikai értelemben egy y szám négyzetgyöke az a z szám, amelynek négyzete egyenlő y-val. Más szavakkal, z 2 =y ekvivalens √y=z-vel. azonban ezt a meghatározást csak a számára releváns számtani gyök, mivel ez a kifejezés nem negatív értékét jelenti. Más szavakkal, √y=z, ahol z nagyobb vagy egyenlő, mint 0.

BAN BEN általános eset, amely meghatározza algebrai gyök, a kifejezés értéke lehet pozitív vagy negatív. Így annak következtében, hogy z 2 =y és (-z) 2 =y, a következőt kapjuk: √y=±z vagy √y=|z|.

Tekintettel arra, hogy a matematika iránti szeretet a tudomány fejlődésével csak nőtt, az iránta érzett vonzalom különféle megnyilvánulásai vannak, amelyek nem fejeződnek ki száraz számításokban. Például az olyan érdekes jelenségek mellett, mint a Pi-nap, a négyzetgyökér ünnepeket is ünneplik. Százévenként kilencszer ünneplik őket, és az határozza meg a következő elv szerint: azoknak a számoknak, amelyek sorrendben a napot és a hónapot jelzik, az év négyzetgyökének kell lennie. Tehát legközelebb 2016. április 4-én ünnepeljük ezt az ünnepet.

A négyzetgyök tulajdonságai az R mezőn

Majdnem minden matematikai kifejezések alattuk van geometriai alap, ez a sors nem kerülte el √y-t, amelyet egy négyzet y területű oldalaként definiálunk.

Hogyan lehet megtalálni egy szám gyökerét?

Számos számítási algoritmus létezik. A legegyszerűbb, de ugyanakkor meglehetősen körülményes a szokásos aritmetikai számítás, amely a következő:

1) abból a számból, amelynek gyökére szükségünk van, a páratlan számokat sorra kivonjuk - amíg a kimeneten a maradék kisebb lesz, mint a kivont egy, vagy akár nulla. A lépések száma végül a kívánt szám lesz. Például a 25 négyzetgyökének kiszámítása:

Következő Nem páros szám- ez 11, a maradék a következő: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Ilyen esetekre van egy Taylor sorozat bővítés:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , ahol n értéket vesz fel 0-tól

+∞, és |y|≤1.

A z=√y függvény grafikus ábrázolása

Tekintsük a z=√y elemi függvényt az R valós számok mezején, ahol y nullánál nagyobb vagy egyenlő. A menetrendje így néz ki:

A görbe az origótól növekszik, és szükségszerűen metszi az (1; 1) pontot.

A z=√y függvény tulajdonságai R valós számok mezején

1. A vizsgált függvény definíciós tartománya a nullától a plusz végtelenig terjedő intervallum (a nullát is beleértve).

2. A vizsgált függvény értéktartománya a nullától a plusz végtelenig terjedő intervallum (a nulla is benne van).

3. A függvény minimális értékét (0) csak a (0; 0) pontban veszi fel. Nincs maximális érték.

4. A z=√y függvény se nem páros, se nem páratlan.

5. A z=√y függvény nem periodikus.

6. A z=√y függvény grafikonjának csak egy metszéspontja van a koordinátatengelyekkel: (0; 0).

7. A z=√y függvény grafikonjának metszéspontja ennek a függvénynek a nullája is.

8. A z=√y függvény folyamatosan növekszik.

9. A z=√y függvény csak pozitív értékeket vesz fel, ezért grafikonja az első koordinátaszöget foglalja el.

A z=√y függvény megjelenítési lehetőségei

A matematikában az összetett kifejezések kiszámításának megkönnyítésére néha a négyzetgyök írásának hatványformáját használják: √y=y 1/2. Ez az opció kényelmes például egy függvény hatványra emelésekor: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Ez a módszer az integrációval való differenciálásra is jó reprezentáció, mivel ennek köszönhetően a négyzetgyök közönséges hatványfüggvényként jelenik meg.

A programozásban pedig a √ szimbólum helyettesítése sqrt betűkombináció.

Érdemes megjegyezni, hogy ezen a területen nagy a kereslet a négyzetgyökre, mivel ez a legtöbb számításhoz szükséges geometriai képlet része. Maga a számláló algoritmus meglehetősen összetett, és rekurzión (egy önmagát meghívó függvény) alapul.

Négyzetgyök a C komplex mezőben

Nagyjából ennek a cikknek a témája ösztönözte a C komplex számok mezőjének felfedezését, mivel a matematikusokat a gyök megszerzésének kérdése kísérte. páros fokozat negatív számtól. Így jelent meg az i képzeletbeli egység, amelyet egy nagyon érdekes tulajdonság jellemez: négyzete -1. Ennek köszönhetően a másodfokú egyenletek negatív diszkriminánssal is megoldódtak. C-ben ugyanazok a tulajdonságok érvényesek a négyzetgyökre, mint R-re, csak az a dolog, hogy a gyök kifejezésre vonatkozó korlátozások megszűnnek.