Irracionális egyenlőtlenségek a dumák számára. Irracionális egyenlőtlenségek
És minden esetre emlékeztetünk arra, hogy weboldalunkon megteheti. Épp most ... Hirtelen nem tudod.
Fontos jegyzet!Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja meg a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a billentyűkombinációt Cmd+R (Mac rendszeren).
ODZ
Emlékszel, mi az ODZ?
Például az egyenletben ott van Négyzetgyök. A négyzetgyöknek pedig nincs értelme, ha radikális kifejezés negatív. Vagyis be ebben az esetben A DLZ megoldások az egyenlőtlenségekre.
Nem kell ODZ-t keresni minden gyökérrel rendelkező problémában.
Vegyük például ezt a feladatot:
Négyzetesítéskor azt kapjuk, hogy a radikális kifejezés automatikusan nemnegatív! Akkor minek az extra írás?
De bizonyos esetekben nagyon hasznos lehet. Sőt, néha meg lehet oldani egy példát egyszerűen az ODZ megtalálásával. Például:
De ne felejtsük el, hogy a négyzetgyök mindig nem negatív. Ezért lesz mindig nagyobb. Ez azt jelenti, hogy a probléma megoldása az ODZ lesz:
A forma egyenlőtlenségei.
Természetesen az egyenlőtlenség jele nem feltétlenül szigorú.
Hogyan lehet ezt az egyenlőtlenséget feloldani?
Először is ne feledjük, hogy a függvény monoton, vagyis minél nagyobb a gyök kifejezés, annál nagyobb maga a gyök. Ezért két gyök közül a nagyobb gyök kifejezéssel rendelkező a nagyobb.
De nem véletlenül emlékeztünk nemrég az ODZ-ről. Vannak-e határai ennek az egyenlőtlenségnek?
Valójában ahhoz, hogy az egyenlőtlenségnek értelme legyen, mindkét radikális kifejezésnek nem negatívnak kell lennie:
De az első kifejezés óta több mint a második, elég csak a másodikat megkövetelni, hogy ne legyen negatív:
Hogyan fog kinézni ez a szabály, ha az egyenlőtlenség nem szigorú? Mint ez:
Gondold át magad, miért van ez így.
Most az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ami azt jelenti, hogy négyzetre emelhetjük őket:
Most a sablon segítségével oldjuk meg:
Most össze kell hasonlítania a számokat, és. Emlékezzünk a témára:
Ezután a rendszer a következőre változik:
A forma egyenlőtlenségei.
Itt minden egy kicsit egyszerűbb: mivel a gyökér nem negatív, akkor jobb rész ennek az egyenlőtlenségnek nem negatívnak kell lennie:
A fokozat gyökerei nagyobbak
Ha az egyenlőtlenség gyöke nem négyzet, akkor fontos a fokának paritása.
I. Páros fokozatú gyökerek.
Gyökerek stb. fokok nagyon hasonlóak egymáshoz, és a velük való egyenletmegoldás elve teljesen azonos. A helyzet az, hogy a páros gyök mindig négyzetgyökre redukálható (emlékezzen a témára!):
Például:
II. Páratlan fokú gyökerek.
Páratlan erőkkel (,…) minden sokkal egyszerűbb!
A helyzet az, hogy páratlan gyök bármilyen számból kivehető! (Ha ezt nem tudtad, emlékezz a témára!)
Mit jelent?
Most nincsenek további feltételek, nincsenek korlátozások - csak mindent a szükséges szintre emelünk, és döntünk:
IRRÁCIÓS EGYENLŐTLENSÉGEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL
Irracionális egyenlőtlenség egy olyan egyenlőtlenség, amely a gyökérben változót tartalmaz
1. A forma egyenlőtlenségei.
2. A formai egyenlőtlenségek ill.
3. A forma egyenlőtlenségei.
4. A forma egyenlőtlenségei.
5. A forma egyenlőtlenségei.
6. Páros fokú gyökerek.
Például:
7. Páratlan fokú gyökerek.
A páratlan gyök bármilyen számból felvehető!
Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.
Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!
Most a legfontosabb.
Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.
Az a baj, hogy ez nem elég...
Miért?
A sikerességért az egységes államvizsga letétele, költségvetési keretből való felvételhez és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.
Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...
Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.
De nem ez a fő.
A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...
De gondold meg magad...
Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?
NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.
A vizsga során nem kérnek elméletet.
Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.
És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.
Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.
Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!
Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.
Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.
Hogyan? Két lehetőség van:
- Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
- Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.
Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.
A második esetben adunk neked szimulátor "6000 probléma megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinten." Ez minden bizonnyal elég lesz bármilyen témában a problémák megoldására.
Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor – egy egész képzési program. Szükség esetén INGYENESEN is használhatod.
Az oldal fennállásának TELJES időszakára minden szöveghez és programhoz hozzáférés biztosított.
Következtetésképpen...
Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.
Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.
Találd meg a problémákat és oldd meg őket!
T.D. Ivanova
IRRACIÓS EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSÁNAK MÓDSZEREI
CDO és NIT SRPTL
UDC 511 (O75.3)
BBK 22. 1Y72
Összeállította: T.D. Ivanova
Lektor: Baisheva M.I.– a pedagógiatudományok kandidátusa, a tanszék docense
Matematikai Kar matematikai elemzése
Jakutszki Matematikai és Informatikai Intézet
állami Egyetem
Irracionális egyenlőtlenségek megoldási módszerei: Módszertani kézikönyv
M 34 9-11 évfolyamos tanulóknak / ösz. Ivanova T.D. a Suntar Suntarsky ulustól
RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 p.
A kézikönyv a középiskolás középiskolásoknak, valamint az egyetemre jelentkezőknek szól, mint módszertani útmutatót az irracionális egyenlőtlenségek megoldásához. A kézikönyv részletesen megvizsgálja az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának főbb módszereit, példákat ad az irracionális egyenlőtlenségek megoldására paraméterekkel, és példákat kínál ezek saját megoldására is. A tanárok az útmutatót mint didaktikai anyag számára önálló munkavégzés, az „Irracionális egyenlőtlenségek” témakör áttekintésével.
A kézikönyv tükrözi a tanárnak a téma tanulmányozása során szerzett tapasztalatait " Irracionális egyenlőtlenségek».
Anyagokból vett problémák belépő vizsgák, módszertani újságok és folyóiratok, oktatási segédletek, melyek listája a kézikönyv végén található
UDC 511 (O75.3)
BBK 22. 1Y72
T.D. Ivanova, összeáll., 2006.
CDO NIT SRPTL, 2007.
Előszó 5
Bevezetés 6
I. rész Példák a legegyszerűbb irracionális egyenlőtlenségek megoldására 7
II. szakasz A forma egyenlőtlenségei 
>g(x), 
g(x), 
g(x) 9
szakasz III. A forma egyenlőtlenségei 
;
;
;
13
szakasz IV. Több páros fokú gyököt tartalmazó egyenlőtlenségek 16
V. szakasz. Cseremódszer (új változó bevezetése) 20
szakasz VI. Az f(x) alakú egyenlőtlenségek 
0; f(x)0;
szakasz VII. A forma egyenlőtlenségei 
25
VIII. Radikális kifejezés transzformációk használata
az irracionális egyenlőtlenségekben 26
szakasz IX. Irracionális egyenlőtlenségek grafikus megoldása 27
X. szakasz: Egyenlőtlenségek vegyes típusú 31
szakasz XI. Egy függvény monotonitási tulajdonságának felhasználása 41
XII. szakasz. Funkcióhelyettesítési módszer 43
szakasz XIII. Példák az egyenlőtlenségek közvetlen megoldására
intervallum módszer 45
szakasz XIV. Példák irracionális egyenlőtlenségek megoldására 46-os paraméterekkel
Irodalom 56
FELÜLVIZSGÁLAT
Ez az oktatási segédlet a 10-11. évfolyamos tanulók számára készült. Amint a gyakorlat azt mutatja, az iskolás diákok és a jelentkezők különös nehézségekkel küzdenek az irracionális egyenlőtlenségek megoldása során. Ez annak köszönhető, hogy in iskolai matematika Ezt a részt nem tekintjük elégségesnek az ilyen egyenlőtlenségek megoldására szolgáló különféle módszereket nem vizsgáljuk meg részletesebben. Az iskolai tanárok is hiányt éreznek a módszertani szakirodalomban, ami korlátozott mennyiségű, különböző megközelítéseket és megoldási módokat jelző problémaanyagban nyilvánul meg.
A kézikönyv az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának módszereit tárgyalja. Ivanova T.D. minden szakasz elején bevezeti a tanulókat a módszer fő gondolatába, majd példákat mutat be magyarázatokkal, és önálló megoldásra is kínál problémákat.
A fordító a leglátványosabb módszereket alkalmazza a felsőoktatásba való belépéskor fellépő irracionális egyenlőtlenségek megoldására oktatási intézményekben a tanulók tudásával szembeni fokozott követelményekkel.
A kézikönyv elolvasása után a tanulók felbecsülhetetlen értékű tapasztalatot és készségeket szerezhetnek az összetett irracionális egyenlőtlenségek megoldásában. Úgy gondolom, hogy ez a kézikönyv hasznos lesz a szakos osztályokban dolgozó matematikatanárok, valamint a választható kurzusok fejlesztői számára is.
a pedagógiai tudományok kandidátusa, a Yakut Állami Egyetem Matematikai Analízis Tanszékének docense, Matematikai Kar, Matematikai és Informatikai Intézet
Baisheva M.I.
ELŐSZÓ
A kézikönyv a középiskolás középiskolásoknak, valamint az egyetemre jelentkezőknek szól, mint módszertani útmutatót az irracionális egyenlőtlenségek megoldásához. A kézikönyv részletesen megvizsgálja az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának főbb módszereit, hozzávetőleges példákat ad az irracionális egyenlőtlenségek megoldására, példákat ad az irracionális egyenlőtlenségek megoldására paraméterekkel, és ezek egy részéhez példákat is kínál ezek sajátos megoldására, rövid válaszokat és utasításokat adottak.
A példák elemzésekor és az egyenlőtlenségek önálló megoldása során feltételezzük, hogy a hallgató ismeri a lineáris, másodfokú és egyéb egyenlőtlenségek megoldását, és ismeri az egyenlőtlenségek megoldásának különféle módszereit, különösen az intervallumok módszerét. Az egyenlőtlenség megoldását többféleképpen javasolják.
A tanárok a kézikönyvet didaktikai anyagként használhatják önálló munkához, miközben áttekintik az „Irracionális egyenlőtlenségek” témát.
A kézikönyv tükrözi a tanár tapasztalatait az „Irracionális egyenlőtlenségek” témakör tanulókkal való tanulmányozása során.
A feladatokat a felsőoktatási intézmények felvételi vizsgáinak anyagaiból, „Szeptember elseje”, „Matematika az iskolában”, „Kvantum” matematikával foglalkozó módszertani újságok és folyóiratok, tankönyvek, tankönyvek közül választottuk ki, amelyek listája a kézikönyv végén található. .
BEVEZETÉS
Az irracionális egyenlőtlenségek azok, amelyekben a változók vagy egy változó függvénye a gyökérjel alá kerül.
Az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának fő standard módszere az, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldalát egymás után hatványra emeljük, hogy megszabaduljunk a gyökértől. De ez a művelet gyakran idegen gyökerek megjelenéséhez vagy akár a gyökerek elvesztéséhez vezet, pl. egyenlőtlenséghez vezet, amely nem egyenlő az eredetivel. Ezért nagyon gondosan figyelnünk kell a transzformációk ekvivalenciáját, és a változónak csak azokat az értékeit kell figyelembe venni, amelyeknél az egyenlőtlenségnek van értelme:
ha a gyök páros fokú, akkor a gyök kifejezésnek nem negatívnak kell lennie, és a gyök értékének szintén nemnegatív számnak kell lennie.
ha a fok gyöke az páratlan szám, akkor a gyök kifejezés tetszőleges valós számot vehet fel, és a gyök előjele egybeesik a gyök kifejezés előjelével.
az egyenlőtlenség mindkét oldalát csak akkor lehet egyenletes hatványra emelni, ha először megbizonyosodtunk arról, hogy nem negatívak;
Ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanarra a páratlan hatványra emeljük, az mindig egyenértékű transzformáció.
Fejezetén. Példák egyszerű irracionális egyenlőtlenségek megoldására
Példák 1- 6:
Megoldás:
1. a) 
.
b) 
.
2. a) 
b) 
3. a) 
.
b) 
.
4. a) 
b) 
5. a) 
.
b) 
6. a) 
.
b) 
.
7.
8. a) 
.
b) 
9. a) 
.
b) 
11.
12. Keresse meg a legkisebb egész számot! pozitív érték x kielégíti az egyenlőtlenséget 
13. a) Határozza meg az egyenlőtlenség megoldási intervallumának felezőpontját! 
b) Határozza meg az x összes olyan egész értékének számtani átlagát, amelyre az egyenlőtlenségnek van megoldása 4 
14. Keresse meg a legkisebbet negatív döntés egyenlőtlenségek 
15. a) 
;
b) 
II. >g(x), g(x) alakú egyenlőtlenségek,g(x)
Ugyanúgy, mint az 1-4. példák megoldásánál, a jelzett típusú egyenlőtlenségek megoldásánál is okoskodunk.
7. példa
:
Oldja meg az egyenlőtlenséget 
>
x + 1
Megoldás: DZ egyenlőtlenség: x-3. A jobb oldalon két eset lehetséges:
A) x+ 10 (a jobb oldal nem negatív) vagy b) x + 1
Tekintsük a) Ha x+10, azaz x- 1, akkor az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív. Mindkét oldalt négyzetre vágjuk: x
+ 3 >x
+
2x+ 1. Megkapjuk másodfokú egyenlőtlenség x+
x – 2
x x - 1, kapunk -1 
Tekintsük b) Ha x+1 x x -3
Az a) -1 és b) eset megoldásainak kombinálása x-3, írjuk le a választ: x
.
A 7. példa megoldása során célszerű az összes argumentumot a következőképpen írni:
Az eredeti egyenlőtlenség egyenlőtlenségrendszerek halmazával ekvivalens
.
x 
Válasz: .
A formai egyenlőtlenségek megoldásának indoklása
1.> g(x); 2. g(x); 3. g(x); 4. g(x) röviden a következő diagramok formájában írható fel:
ÉN.
>
g(x)
2.
g(x)
3.
g(x)
4.
g(x)
.
8. példa
:
X.
Megoldás:
Az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens a rendszerrel 
x>0
Válasz:
x
.
Feladatok az önálló megoldáshoz:
b) 
b) 
.
b) 
b) 
20. a) 
x
b) 
21. a) 
BAN BEN ezt a leckét megfontoljuk az irracionális egyenlőtlenségek megoldását, megadjuk különféle példák.
Téma: Egyenletek és egyenlőtlenségek. Egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek
Lecke:Irracionális egyenlőtlenségek
Az irracionális egyenlőtlenségek megoldása során gyakran az egyenlőtlenség mindkét oldalát kell valamilyen mértékben emelni, ez meglehetősen felelősségteljes művelet. Emlékezzünk a jellemzőkre.
Az egyenlőtlenség mindkét oldala négyzetbe helyezhető, ha mindkettő nem negatív, csak akkor kapjuk valódi egyenlőtlenség helyes egyenlőtlenség.
Az egyenlőtlenség mindkét oldala kockára vágható, ha az eredeti egyenlőtlenség igaz volt, akkor kockára téve a megfelelő egyenlőtlenséget kapjuk.
Tekintsük a forma egyenlőtlenségét:
A gyök kifejezésnek nem negatívnak kell lennie. A függvény bármilyen értéket felvehet, két esetet kell figyelembe venni.
Az első esetben az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, jogunk van négyzetre emelni. A második esetben a jobb oldal negatív, és nincs jogunk négyzetre emelni. Ebben az esetben meg kell nézni az egyenlőtlenség jelentését: itt a pozitív kifejezés (négyzetgyök) nagyobb negatív kifejezés, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség mindig teljesül.
Tehát a következő megoldási sémánk van:
Az első rendszerben nem védjük külön a gyökkifejezést, mivel ha a rendszer második egyenlőtlensége teljesül, a gyökkifejezésnek automatikusan pozitívnak kell lennie.
1. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget:
A diagram szerint továbblépünk két egyenlőtlenségi rendszer egyenértékű halmazára:
Illusztráljuk:
Rizs. 1 - az 1. példa megoldásának illusztrációja
Amint látjuk, amikor megszabadulunk az irracionalitástól, például négyzetesítéskor, rendszerhalmazt kapunk. Néha ezt összetett kialakítás leegyszerűsíthető. Az így kapott halmazban jogunk van az első rendszert egyszerűsíteni, és ezzel egyenértékű halmazt kapni:
Önálló gyakorlatként szükséges bizonyítani ezen halmazok egyenértékűségét.
Tekintsük a forma egyenlőtlenségét:
Az előző egyenlőtlenséghez hasonlóan két esetet vizsgálunk:
Az első esetben az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, jogunk van négyzetre emelni. A második esetben a jobb oldal negatív, és nincs jogunk négyzetre emelni. Ebben az esetben meg kell nézni az egyenlőtlenség jelentését: itt a pozitív kifejezés (négyzetgyök) kisebb, mint a negatív kifejezés, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség ellentmondásos. Nem kell figyelembe venni a második rendszert.
Nekünk van egyenértékű rendszer:
Néha az irracionális egyenlőtlenségeket meg lehet oldani grafikus módszer. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha a megfelelő gráfok meglehetősen könnyen megszerkeszthetők, és metszéspontjaik megtalálhatók.
2. példa - megoldja az egyenlőtlenségeket grafikusan:
A) 
b) 
Az első egyenlőtlenséget már megoldottuk, és tudjuk a választ.
Az egyenlőtlenségek grafikus megoldásához meg kell alkotnia a függvény grafikonját a bal oldalon, és a függvény grafikonját a jobb oldalon.
Rizs. 2. Függvénygrafikonok és
Egy függvény grafikonjának ábrázolásához a parabolát parabolává kell alakítani (az y tengelyhez képest tükrözni), és a kapott görbét 7 egységgel jobbra kell tolni. A grafikon ezt igazolja ezt a funkciót monoton csökken a definíciós tartományában.
Egy függvény grafikonja egyenes, és könnyen megszerkeszthető. Az y tengellyel való metszéspont (0;-1).
Az első függvény monoton csökken, a második monoton növekszik. Ha az egyenletnek van gyöke, akkor ez az egyetlen, amely könnyen kitalálható a grafikonból: .
Amikor az argumentum értéke kevesebb gyökér, a parabola az egyenes felett van. Ha az argumentum értéke három és hét között van, az egyenes a parabola felett halad át.
Megvan a válasz:
Hatékony módszer Az intervallumok módszere az irracionális egyenlőtlenségek megoldására szolgál.
3. példa - Oldja meg az egyenlőtlenségeket az intervallum módszerrel:
A)
b)
Az intervallummódszer szerint átmenetileg el kell távolodni az egyenlőtlenségtől. Ehhez az adott egyenlőtlenségben mindent át kell vinni ide bal oldal(a jobb oldalon kap nullát), és írjon be egy függvényt, amely megegyezik a bal oldallal:
Most meg kell vizsgálnunk a kapott függvényt.
ODZ: 
Ezt az egyenletet már grafikusan megoldottuk, ezért nem foglalkozunk a gyökér meghatározásával.
Most ki kell választani az állandó előjelű intervallumokat, és meg kell határozni a függvény előjelét minden intervallumon:
Rizs. 3. Előjelállandóság intervallumai például 3
Emlékezzünk vissza, hogy egy intervallumon az előjelek meghatározásához egy próbapontot kell venni, és be kell cserélni a függvénybe a kapott előjelet a függvény a teljes intervallumon keresztül megtartja.
Ellenőrizzük az értéket a határponton:
A válasz egyértelmű:
Tekintsük a következő típusú egyenlőtlenségeket:
Először is írjuk le az ODZ-t:
A gyökök léteznek, nem negatívak, mindkét oldalt négyzetre tehetjük. Kapunk:
Kaptunk egy egyenértékű rendszert:
Az így kapott rendszer leegyszerűsíthető. Ha a második és a harmadik egyenlőtlenség teljesül, az első automatikusan igaz. Nekünk van:: 
4. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget:
A séma szerint járunk el - egyenértékű rendszert kapunk.
Ebben a leckében az irracionális egyenlőtlenségek megoldásával foglalkozunk, és különféle példákat mutatunk be.
Téma: Egyenletek és egyenlőtlenségek. Egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek
Lecke:Irracionális egyenlőtlenségek
Az irracionális egyenlőtlenségek megoldása során gyakran az egyenlőtlenség mindkét oldalát kell valamilyen mértékben emelni, ez meglehetősen felelősségteljes művelet. Emlékezzünk a jellemzőkre.
Az egyenlőtlenség mindkét oldala négyzetre emelhető, ha mindkettő nem negatív, csak akkor kapunk valódi egyenlőtlenséget egy valódi egyenlőtlenségből.
Az egyenlőtlenség mindkét oldala kockára vágható, ha az eredeti egyenlőtlenség igaz volt, akkor kockára téve a megfelelő egyenlőtlenséget kapjuk.
Tekintsük a forma egyenlőtlenségét:
A gyök kifejezésnek nem negatívnak kell lennie. A függvény bármilyen értéket felvehet, két esetet kell figyelembe venni.
Az első esetben az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, jogunk van négyzetre emelni. A második esetben a jobb oldal negatív, és nincs jogunk négyzetre emelni. Ebben az esetben meg kell nézni az egyenlőtlenség jelentését: itt a pozitív kifejezés (négyzetgyök) nagyobb, mint a negatív kifejezés, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség mindig teljesül.
Tehát a következő megoldási sémánk van:
Az első rendszerben nem védjük külön a gyökkifejezést, mivel ha a rendszer második egyenlőtlensége teljesül, a gyökkifejezésnek automatikusan pozitívnak kell lennie.
1. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget:
A diagram szerint továbblépünk két egyenlőtlenségi rendszer egyenértékű halmazára:
Illusztráljuk:
Rizs. 1 - az 1. példa megoldásának illusztrációja
Amint látjuk, amikor megszabadulunk az irracionalitástól, például négyzetesítéskor, rendszerhalmazt kapunk. Néha ez a bonyolult kialakítás egyszerűsíthető. Az így kapott halmazban jogunk van az első rendszert egyszerűsíteni, és ezzel egyenértékű halmazt kapni:
Önálló gyakorlatként szükséges bizonyítani ezen halmazok egyenértékűségét.
Tekintsük a forma egyenlőtlenségét:
Az előző egyenlőtlenséghez hasonlóan két esetet vizsgálunk:
Az első esetben az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, jogunk van négyzetre emelni. A második esetben a jobb oldal negatív, és nincs jogunk négyzetre emelni. Ebben az esetben meg kell nézni az egyenlőtlenség jelentését: itt a pozitív kifejezés (négyzetgyök) kisebb, mint a negatív kifejezés, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség ellentmondásos. Nem kell figyelembe venni a második rendszert.
Egyenértékű rendszerünk van:
Néha az irracionális egyenlőtlenségek grafikusan is megoldhatók. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha a megfelelő gráfok meglehetősen könnyen megszerkeszthetők, és metszéspontjaik megtalálhatók.
2. példa - megoldja az egyenlőtlenségeket grafikusan:
A)
b)
Az első egyenlőtlenséget már megoldottuk, és tudjuk a választ.
Az egyenlőtlenségek grafikus megoldásához meg kell alkotnia a függvény grafikonját a bal oldalon, és a függvény grafikonját a jobb oldalon.
Rizs. 2. Függvénygrafikonok és
Egy függvény grafikonjának ábrázolásához a parabolát parabolává kell alakítani (az y tengelyhez képest tükrözni), és a kapott görbét 7 egységgel jobbra kell tolni. A grafikon megerősíti, hogy ez a függvény definíciós tartományában monoton csökken.
Egy függvény grafikonja egyenes, és könnyen megszerkeszthető. Az y tengellyel való metszéspont (0;-1).
Az első függvény monoton csökken, a második monoton növekszik. Ha az egyenletnek van gyöke, akkor ez az egyetlen, amely könnyen kitalálható a grafikonból: .
Ha az argumentum értéke kisebb, mint a gyök, a parabola az egyenes felett van. Ha az argumentum értéke három és hét között van, az egyenes a parabola felett halad át.
Megvan a válasz:
Az irracionális egyenlőtlenségek megoldásának hatékony módszere az intervallum módszer.
3. példa - Oldja meg az egyenlőtlenségeket az intervallum módszerrel:
A)
b)
Az intervallummódszer szerint átmenetileg el kell távolodni az egyenlőtlenségtől. Ehhez mozgassunk mindent az adott egyenlőtlenségben a bal oldalra (a jobb oldalon kapjunk nullát), és vezessünk be egy, a bal oldallal egyenlő függvényt:
Most meg kell vizsgálnunk a kapott függvényt.
ODZ:
Ezt az egyenletet már grafikusan megoldottuk, ezért nem foglalkozunk a gyökér meghatározásával.
Most ki kell választani az állandó előjelű intervallumokat, és meg kell határozni a függvény előjelét minden intervallumon:
Rizs. 3. Előjelállandóság intervallumai például 3
Emlékezzünk vissza, hogy egy intervallumon az előjelek meghatározásához egy próbapontot kell venni, és be kell cserélni a függvénybe a kapott előjelet a függvény a teljes intervallumon keresztül megtartja.
Ellenőrizzük az értéket a határponton:
A válasz egyértelmű:
Tekintsük a következő típusú egyenlőtlenségeket:
Először is írjuk le az ODZ-t:
A gyökök léteznek, nem negatívak, mindkét oldalt négyzetre tehetjük. Kapunk:
Kaptunk egy egyenértékű rendszert:
Az így kapott rendszer leegyszerűsíthető. Ha a második és a harmadik egyenlőtlenség teljesül, az első automatikusan igaz. Nekünk van::
4. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget:
A séma szerint járunk el - egyenértékű rendszert kapunk.
Minden olyan egyenlőtlenséget hívunk, amelynek gyökér alatt van függvény irracionális. Az ilyen egyenlőtlenségeknek két típusa van:
Az első esetben a gyökér kevesebb funkció g (x), a másodikban - több. Ha g(x) - állandó, az egyenlőtlenség nagymértékben leegyszerűsödik. Figyelem: külsőleg ezek az egyenlőtlenségek nagyon hasonlóak, de megoldási sémáik alapvetően különböznek egymástól.
Ma megtanuljuk, hogyan kell megoldani az első típusú irracionális egyenlőtlenségeket - ezek a legegyszerűbbek és legérthetőbbek. Az egyenlőtlenség jele lehet szigorú vagy nem szigorú. A következő állítás igaz rájuk:
Tétel. A forma bármely irracionális egyenlőtlensége
Egyenértékű az egyenlőtlenségek rendszerével:
Nem gyenge? Nézzük meg, honnan származik ez a rendszer:
- f (x) ≤ g 2 (x) - itt minden világos. Ez az eredeti egyenlőtlenség négyzete;
- f (x) ≥ 0 a gyökér ODZ-je. Hadd emlékeztesselek: az aritmetikai négyzetgyök csak abból létezik nem negatív számok;
- g(x) ≥ 0 a gyökér tartománya. Az egyenlőtlenség négyzetre emelésével elégetjük a negatívumokat. Ennek eredményeként további gyökerek jelenhetnek meg. A g(x) ≥ 0 egyenlőtlenség levágja őket.
Sok diák „kiakad” a rendszer első egyenlőtlenségén: f (x) ≤ g 2 (x) – és teljesen elfelejti a másik kettőt. Az eredmény előre látható: rossz döntés, elvesztett pontokat.
Mivel elég az irracionális egyenlőtlenségek összetett téma, nézzünk egyszerre 4 példát. Az alapvetőtől az igazán összetettig. Minden probléma a Moszkvai Állami Egyetem felvételi vizsgáiból származik. M. V. Lomonoszov.
Példák problémamegoldásra
Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
Előttünk egy klasszikus irracionális egyenlőtlenség: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 állandó. Nekünk van:
A három egyenlőtlenségből csak kettő maradt a megoldás végén. Mert a 2 ≥ 0 egyenlőtlenség mindig fennáll. Vessük át a fennmaradó egyenlőtlenségeket:
Tehát x ∈ [−1,5; 0,5]. Minden pont árnyékolt, mert az egyenlőtlenségek nem szigorúak.
Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
Alkalmazzuk a tételt:
Oldjuk meg az első egyenlőtlenséget. Ehhez feltárjuk a különbség négyzetét. Nekünk van:
2x 2 - 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Most oldjuk meg a második egyenlőtlenséget. Ott is másodfokú trinomikus:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség
Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete