Gyökerei azonos fokokkal. Miért kell a radikális kifejezéseknek nem negatívnak lenniük? Külön radikális kifejezések

Üdv, macskák! BAN BEN utoljára Részletesen megbeszéltük, hogy mik a gyökerek (ha nem emlékszik, javaslom, hogy olvassa el). Fő következtetés hogy tanulság: csak egy van univerzális meghatározás gyökerei, amit tudnia kell. A többi hülyeség és időpocsékolás.

Ma tovább megyünk. Megtanulunk gyökérszorozni, áttanulmányozunk néhány szorzással kapcsolatos feladatot (ha ezek a feladatok nem oldódnak meg, végzetessé válhatnak a vizsgán), és megfelelően gyakorolunk. Tehát tölts fel pattogatott kukoricát, helyezkedj el kényelmesen, és kezdjük is :)

Te sem szívtad még el, ugye?

A lecke elég hosszúra sikerült, így két részre osztottam:

1. Először nézzük meg a szorzás szabályait. A sapka sejteni látszik: ilyenkor két gyökér van, közöttük egy „szorzás” jel – és ezzel akarunk valamit kezdeni.
2. Akkor nézzük a fordított helyzetet: van egy nagy gyökér, hanem két gyökér egyszerűbb szorzata formájában szerettük volna bemutatni. Hogy miért van erre szükség, az egy külön kérdés. Csak az algoritmust elemezzük.

Aki alig várja, hogy azonnal rátérjen a második részre, szeretettel várjuk. Kezdjük sorrendben a többivel.

A szorzás alapszabálya

Kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a klasszikus négyzetgyökerekkel. Ugyanazok, amelyeket $\sqrt(a)$ és $\sqrt(b)$ jelöl. Minden nyilvánvaló számukra:

Szorzási szabály. Egy négyzetgyök egy másikkal való szorzásához egyszerűen meg kell szorozni a gyök kifejezéseit, és az eredményt a közös gyök alá kell írni:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

A jobb vagy bal oldali számokra nincs további korlátozás: ha a gyökértényezők léteznek, akkor a szorzat is létezik.

Példák. Nézzünk egyszerre négy példát számokkal:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(igazítás)\]

Amint láthatja, ennek a szabálynak a fő jelentése az irracionális kifejezések egyszerűsítése. És ha az első példában mi magunk bontottuk volna ki a 25 és 4 gyökereit minden új szabály nélkül, akkor a helyzet kemény lesz: a $\sqrt(32)$ és a $\sqrt(2)$ nem számít önmagának, hanem szorzatuk tökéletes négyzetnek bizonyul, így gyöke egy racionális számmal egyenlő.

Különösen az utolsó sort szeretném kiemelni. Ott mindkét gyök kifejezés tört. A terméknek köszönhetően sok tényező törlődik, és a teljes kifejezés megfelelő számmá alakul.

Persze a dolgok nem mindig lesznek ilyen szépek. Néha teljes szar lesz a gyökerek alatt - nem világos, hogy mit kell vele csinálni, és hogyan kell átalakítani a szorzás után. Kicsit később, amikor elkezdi a tanulást irracionális egyenletekés egyenlőtlenségek, általában mindenféle változó és függvény lesz. És nagyon gyakran a probléma írói számolnak azzal a ténnyel, hogy felfedeznek néhány érvénytelenítő kifejezést vagy tényezőt, amelyek után a probléma sokszorosára egyszerűsödik.

Ezenkívül egyáltalán nem szükséges pontosan két gyökeret szaporítani. Egyszerre szorozhat hármat, négyet vagy akár tízet is! Ez nem változtat a szabályon. Nézd meg:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(igazítás)\]

És ismét egy kis megjegyzés a második példához. Amint láthatja, a gyökér alatti harmadik tényezőben egy tizedes tört található - a számítások során lecseréljük egy normálra, amely után minden könnyen csökkenthető. Tehát: Erősen javaslom, hogy a tizedes törtektől megszabaduljon bármelyikben irracionális kifejezések(azaz legalább egy gyök szimbólumot tartalmaz). Ezzel sok időt és ideget takarít meg a jövőben.

De az volt lírai kitérő. Most nézzünk többet általános eset- amikor a gyökérjelző az tetszőleges szám$n$, és nem csak a „klasszikus” kettő.

Egy tetszőleges indikátor esete

Tehát rendeztük a négyzetgyököket. Mit kell csinálni a köbösekkel? Vagy akár tetszőleges $n$ fokú gyökökkel? Igen, minden ugyanaz. A szabály ugyanaz marad:

Két $n$ fokú gyök szorzásához elég megszorozni a gyökkifejezéseiket, majd az eredményt egy gyök alá írjuk.

Általában semmi bonyolult. Kivéve, hogy a számítások mennyisége nagyobb lehet. Nézzünk pár példát:

Példák. Termékszámítás:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(igazítás)\]

És ismét figyelem a második kifejezésre. Kockagyökereket szaporítunk, megszabadulunk decimálisés ennek eredményeként a 625 és 25 számok szorzatát kapjuk a nevezőben nagy szám- Én személy szerint nem tudom rögtön kiszámolni, hogy ez mivel egyenlő.

Tehát egyszerűen elkülönítettük a pontos kockát a számlálóban és a nevezőben, majd az egyiket használtuk kulcstulajdonságok(vagy, ha úgy tetszik, a definíció) az $n$-edik gyökér:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\jobbra|. \\ \end(igazítás)\]

Az ilyen „machinációk” sok időt takaríthatnak meg a vizsgán ill próba munka, szóval ne feledd:

Ne rohanjon a számok szorzásával radikális kifejezésekkel. Először ellenőrizze: mi van akkor, ha bármely kifejezés pontos mértéke „titkosított” ott?

Ennek a megjegyzésnek a nyilvánvalósága ellenére el kell ismernem, hogy a legtöbb felkészületlen hallgató nem látja a pontos fokozatokat pontban. Ehelyett direkt mindent megszoroznak, aztán csodálkoznak: miért kaptak ilyen brutális számokat?

Mindezt azonban baba beszéd ahhoz képest, amit most tanulmányozni fogunk.

Gyökök szorzása különböző kitevőkkel

Oké, most megszorozhatjuk a gyökereket ugyanazok a mutatók. Mi van, ha a mutatók eltérőek? Tegyük fel, hogyan lehet megszorozni egy közönséges $\sqrt(2)$-t valami olyan baromsággal, mint a $\sqrt(23)$? Egyáltalán lehetséges ez?

Igen persze lehet. Minden a következő képlet szerint történik:

Szabály a gyökerek szaporítására. A $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$-ral való megszorzásához elegendő a következő átalakítást végrehajtani:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ez a képlet azonban csak akkor működik, ha a radikális kifejezések nem negatívak. Ez egy nagyon fontos megjegyzés, amelyre egy kicsit később visszatérünk.

Most nézzünk néhány példát:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(igazítás)\]

Mint látható, semmi bonyolult. Most nézzük meg, honnan jött a negativitás követelménye, és mi lesz, ha megszegjük :)

Miért kell a radikális kifejezéseknek nem negatívnak lenniük?

Persze lehetsz ilyen iskolai tanárokés okosan idézzük a tankönyvet:

A negativitás követelménye összefügg azzal különböző definíciók akár gyökerek páratlan fokozat(Ennek megfelelően a definíciós köreik is eltérőek).

Nos, világosabb lett? Személy szerint, amikor 8. osztályban olvastam ezt a hülyeséget, valahogy így értettem: „A negativitás követelménye a *#&^@(*#@^#)~%-hoz kapcsolódik” – egyszóval én nem. akkoriban semmit sem értek. :)

Szóval most mindent normális módon elmagyarázok.

Először is nézzük meg, honnan származik a fenti szorzási képlet. Ehhez hadd emlékeztesselek egy dologra fontos tulajdon gyökér:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Más szóval, a radikális kifejezést könnyen bármelyikre emelhetjük természetes fok$k$ - ebben az esetben a gyökérkitevőt meg kell szorozni ugyanazzal a hatványsal. Ezért könnyen redukálhatunk bármilyen gyökeret általános mutató, majd szorozd meg. Innen származik a szorzási képlet:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

De van egy probléma, amely élesen korlátozza mindezen képletek használatát. Vegye figyelembe ezt a számot:

Az imént megadott képlet szerint tetszőleges fokozatot adhatunk hozzá. Próbáljuk meg hozzáadni a $k=2$ értéket:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Pontosan azért távolítottuk el a mínuszt, mert a négyzet a mínuszt égeti (mint minden más páros fokozat). Most pedig tegyük meg inverz konverzió: „csökkentse” a kettőt kitevőben és hatványban. Végül is minden egyenlőség balról jobbra és jobbról balra is olvasható:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Jobbra \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Jobbra \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(igazítás)\]

De aztán kiderül, hogy ez valami baromság:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ez nem történhet meg, mert $\sqrt(-5) \lt 0$ és $\sqrt(5) \gt 0$. Így akár fokokÉs negatív számok képletünk már nem működik. Ezt követően két lehetőségünk van:

1. Falnak ütni és kijelenteni, hogy a matematika hülye tudomány, ahol „vannak szabályok, de ezek pontatlanok”;
2. További korlátozások bevezetése, amelyek mellett a képlet 100%-ban működik.

Az első lehetőségben folyamatosan „nem működő” eseteket kell elkapnunk - ez nehéz, időigényes és általában csúnya. Ezért a matematikusok inkább a második lehetőséget választották :)

De ne aggódj! A gyakorlatban ez a korlátozás semmilyen módon nem befolyásolja a számításokat, mert az összes leírt probléma csak páratlan fokú gyököket érint, és mínuszokat lehet venni belőlük.

Ezért fogalmazzunk meg még egy szabályt, amely általában minden gyökeres cselekvésre vonatkozik:

A gyökök szorzása előtt győződjön meg arról, hogy a gyök kifejezések nem negatívak.

Példa. A $\sqrt(-5)$ számban eltávolíthatja a mínuszt a gyökérjel alól - akkor minden normális lesz:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Jobbra \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Érzi a különbséget? Ha hagysz egy mínuszt a gyökér alatt, akkor a gyök kifejezés négyzetbe kerülésekor eltűnik, és elkezdődik a szar. És ha először kiveszed a mínuszt, akkor négyzetre húzhatod/eltávolíthatod, amíg kék nem leszel - a szám negatív marad :)

Így a gyökerek szaporításának leghelyesebb és legmegbízhatóbb módja a következő:

1. Távolítson el minden negatívumot a gyökökről. A mínuszok csak a páratlan sokaságú gyökökben léteznek - a gyökér elé helyezhetők, és szükség esetén csökkenthetők (például ha kettő van ebből a mínuszból).
2. Hajtsa végre a szorzást a mai leckében fentebb tárgyalt szabályok szerint. Ha a gyökök mutatói megegyeznek, egyszerűen megszorozzuk a gyök kifejezéseket. És ha különböznek, akkor a gonosz képletet használjuk: \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Élvezze az eredményt és a jó osztályzatokat. :)

Jól? Gyakoroljunk?

1. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(igazítás)\]

Ez a legegyszerűbb lehetőség: a gyökerek azonosak és páratlanok, csak az a probléma, hogy a második tényező negatív. Ezt a mínuszt kivesszük a képből, ami után könnyen kiszámolható minden.

2. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \jobbra))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \jobbra))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( igazítsa)\]

Itt sokan összezavarodnának attól, ami a végén történt irracionális szám. Igen, előfordul: nem tudtunk teljesen megszabadulni a gyökértől, de legalább jelentősen leegyszerűsítettük a kifejezést.

3. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \jobbra))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Erre a feladatra szeretném felhívni a figyelmet. Itt két pont van:

1. A gyökér nem egy adott szám vagy hatvány, hanem az $a$ változó. Első pillantásra ez kicsit szokatlan, de a valóságban megoldáskor matematikai problémák Leggyakrabban változókkal kell foglalkoznia.
2. Végül sikerült „csökkenteni” a radikális mutatót és a radikális kifejezés mértékét. Ez elég gyakran megtörténik. Ez pedig azt jelenti, hogy jelentősen le lehetett egyszerűsíteni a számításokat, ha nem az alapképletet használta.

Például megteheti ezt:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \jobbra))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\vége(igazítás)\]

Valójában minden transzformációt csak a második gyökkel hajtottak végre. És ha nem írja le részletesen az összes közbenső lépést, akkor a végén a számítások mennyisége jelentősen csökken.

Valójában fentebb már találkoztunk hasonló feladattal, amikor megoldottuk a $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ példát. Most sokkal egyszerűbben is leírható:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(igazítás)\]

Nos, megoldottuk a gyökerek szorzását. Most nézzük meg a fordított műveletet: mi a teendő, ha a gyökér alatt van egy termék?

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy kapcsolat vele.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és Közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Fokozatképletek a csökkentés és az egyszerűsítés folyamatában összetett kifejezések, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. C hatványainak szorzása ugyanaz az alap mutatóik összeadódnak:

a m·a n = a m + n .

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:

3. A szorzat teljesítménye 2 ill több szorzók egyenlő a következő tényezők hatványainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Fokozat törtek egyenlő az osztalék és az osztó hatványainak arányával:

(a/b) n = a n /b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(a m) n = a m n .

Mindegyik fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyöke egyenlő munka ezeknek a tényezőknek a gyökerei:

2. A hozzáállás gyökere egyenlő az aránnyal a gyökér osztója és osztója:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n a th hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyidejűleg vonjuk ki a gyökeret n fokozata gyökszám, akkor a gyökér értéke nem változik:

Egy fok negatív kitevővel. Egy nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával egyenlő kitevővel abszolút érték nem pozitív indikátor:

Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely szám hatványa, nem egyenlő nullával, nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel.Építeni valós szám A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.