Számok összehasonlítása azonos mutatókkal. Számok összehasonlítása
Számok összehasonlítása. Átfogó útmutató (2019)
Egyenletek és egyenlőtlenségek, valamint modulokkal kapcsolatos feladatok megoldásánál a talált gyököket a számegyenesen kell elhelyezni. Mint tudják, a talált gyökerek eltérőek lehetnek. Lehetnek így: , vagy lehetnek ilyenek: , .
Ennek megfelelően, ha a számok nem racionálisak, hanem irracionálisak (ha elfelejtette, hogy mik azok, nézze meg a témában), vagy összetettek matematikai kifejezések, akkor a számegyenesen való elhelyezésük nagyon problematikus. Ráadásul a vizsga során nem használhat számológépet, és a hozzávetőleges számítások sem adnak 100%-os garanciát arra, hogy az egyik szám kisebb, mint a másik (mi van, ha különbség van az összehasonlított számok között?).
Természetesen tudja, hogy a pozitív számok mindig nagyobbak, mint a negatívak, és ha elképzelünk egy számtengelyt, akkor összehasonlításkor legnagyobb számok jobbra fognak elhelyezkedni, mint a legkisebbek: ; ; stb.
De vajon mindig minden ilyen egyszerű? Hol számtengely megjegyezzük.
Hogyan lehet őket összehasonlítani például egy számmal? Ez a dörzsölés...)
Először is beszéljünk általános vázlat hogyan és mit kell összehasonlítani.
Fontos: célszerű olyan átalakításokat végezni, hogy az egyenlőtlenség jele ne változzon! Vagyis a transzformációk során nem kívánatos negatív számmal szorozni, és ez tiltott négyzet, ha az egyik rész negatív.
A törtek összehasonlítása
Tehát két törtet kell összehasonlítanunk: és.
Ennek több lehetősége is van.
1. lehetőség. Csökkentse a törteket közös nevezőre.
Írjuk fel közönséges tört formájában:
- (amint látod, a számlálót és a nevezőt is csökkentettem).
Most össze kell hasonlítanunk a törteket:
Most kétféleképpen folytathatjuk az összehasonlítást. Tudunk:
- csak vigyél el mindent közös nevező, mindkét törtet helytelenként jeleníti meg (a számláló nagyobb, mint a nevező):
Melyik szám nagyobb? Így van, a nagyobb számlálóval rendelkező, vagyis az első.
- „eldobjuk” (vegyük figyelembe, hogy minden törtből kivontunk egyet, és ennek megfelelően a törtek egymáshoz viszonyított aránya nem változott), és hasonlítsa össze a törteket:
Ezeket is közös nevezőre hozzuk:
Pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az előző esetben - az első szám nagyobb, mint a második:
Nézzük meg azt is, hogy helyesen vontunk-e ki egyet? Számítsuk ki a számláló különbségét az első és a második számításban:
1)
2)
Tehát megvizsgáltuk, hogyan lehet a törteket összehasonlítani, és közös nevezőre hozni őket. Térjünk át egy másik módszerre - a törtek összehasonlítása, közös... számlálóhoz hozása.
2. lehetőség. Törtek összehasonlítása közös számlálóra való redukálással.
Igen igen. Ez nem elírás. Ezt a módszert ritkán tanítják senkinek az iskolában, de nagyon gyakran nagyon kényelmes. Annak érdekében, hogy gyorsan megértse a lényegét, csak egy kérdést teszek fel Önnek: „milyen esetekben a legnagyobb egy töredék értéke?” Természetesen azt fogja mondani, hogy „amikor a számláló a lehető legnagyobb, a nevező pedig a lehető legkisebb”.
Például határozottan állíthatja, hogy ez igaz? Mi van, ha a következő törteket kell összehasonlítani: ? Szerintem a jelet is azonnal helyesen tedd fel, mert az első esetben részekre, a másodikban pedig egészekre vannak felosztva, ami azt jelenti, hogy a második esetben a darabok nagyon kicsinek bizonyulnak, és ennek megfelelően: . Mint látható, a nevezők itt különböznek, de a számlálók ugyanazok. A két tört összehasonlításához azonban nem kell közös nevezőt keresni. Bár... keresse meg és nézze meg, hogy az összehasonlító jel még mindig rossz-e?
De a jel ugyanaz.
Térjünk vissza eredeti feladatunkhoz - hasonlítsa össze és... Összehasonlítjuk és... Ezeket a törteket ne közös nevezőre, hanem közös számlálóra redukáljuk. Ehhez egyszerűen számláló és nevező az első törtet megszorozzuk ezzel. Kapunk:
És. Melyik töredék nagyobb? Így van, az első.
3. lehetőség: Törtek összehasonlítása kivonással.
Hogyan hasonlítsuk össze a törteket kivonással? Igen, nagyon egyszerű. Egy törtből kivonunk egy másikat. Ha az eredmény pozitív, akkor az első tört (minuend) nagyobb, mint a második (részrész), és ha negatív, akkor fordítva.
Esetünkben próbáljuk meg kivonni az első törtet a másodikból: .
Amint már megérti, közönséges törtre is konvertáljuk, és ugyanazt az eredményt kapjuk - . Kifejezésünk a következő formát ölti:
Ezután továbbra is a közös nevezőre való redukcióhoz kell folyamodnunk. A kérdés a következő: az első módon a törteket nem megfelelővé alakítjuk, vagy a második módon, mintha „eltávolítanák” az egységet? Ennek a cselekvésnek egyébként teljesen matematikai indoka van. Néz:
A második lehetőség jobban tetszik, mivel a számláló szorzása közös nevezőre redukálva sokkal könnyebbé válik.
Hozzuk egy közös nevezőre:
Itt az a lényeg, hogy ne keverjük össze, hogy melyik számból és honnan vontuk ki. Óvatosan nézze meg a megoldás előrehaladását, és ne keverje össze véletlenül a jeleket. Kivontuk az első számot a másodikból, és nemleges választ kaptunk, tehát?.. Így van, az első szám nagyobb, mint a második.
Megvan? Próbálja meg összehasonlítani a törteket:
Állj Állj. Ne rohanjon közös nevezőre hozni vagy kivonni. Nézd: könnyen átválthatod tizedes törtre. Mennyi idő lesz? Jobb. Mi több a végén?
Ez egy másik lehetőség - a törtek összehasonlítása tizedesjegyre konvertálással.
4. lehetőség: Törtek összehasonlítása osztás segítségével.
Igen igen. És ez is lehetséges. A logika egyszerű: amikor osztunk nagyobb szám kevesebbért a választ kapjuk a szám több mint egy, és ha a kisebb számot elosztjuk a nagyobbal, akkor a válasz a -tól intervallumra esik.
Ahhoz, hogy emlékezzen erre a szabályra, hasonlítsa össze bármelyik kettőt prímszámok például és. Tudod mi több? Most osszuk el. A válaszunk az. Ennek megfelelően az elmélet helyes. Ha osztunk eggyel, amit kapunk, kevesebb egynél, ami viszont megerősíti, hogy valójában kevesebb.
Próbáljuk meg alkalmazni ezt a szabályt közönséges törtek. Hasonlítsuk össze:
Ossza el az első törtet a másodikkal:
Rövidítsük le fokozatosan.
A kapott eredmény kevesebb, ami osztalékot jelent kisebb, mint osztó, vagyis:
Mindent elintéztünk lehetséges opciók törtek összehasonlítása. Hogyan látod őket 5:
- közös nevezőre redukálás;
- csökkentés közös számlálóra;
- tizedes tört formájú csökkentés;
- kivonás;
- osztály.
Készen állsz az edzésre? Hasonlítsa össze a törteket az optimális módon:
Hasonlítsuk össze a válaszokat:
- (- konvertálás decimálisra)
- (egy tört elosztása egy másikkal, és számlálóval és nevezővel csökkenteni kell)
- (Válassza ki a teljes részt, és hasonlítsa össze a törteket az azonos számláló elve alapján)
- (egy tört elosztása egy másikkal, és számlálóval és nevezővel csökkenteni kell).
2. A fokozatok összehasonlítása
Most képzeljük el, hogy nemcsak számokat kell összehasonlítanunk, hanem olyan kifejezéseket is, ahol van fokozat ().
Természetesen könnyen kihelyezhetsz egy táblát:
Hiszen ha a fokszámot szorzással helyettesítjük, azt kapjuk:
Ebből a kicsi és primitív példából a következő szabály következik:
Most próbálja meg összehasonlítani a következőket: . Könnyen elhelyezhet egy táblát is:
Mert ha a hatványozást szorzással helyettesítjük...
Általában mindent értesz, és egyáltalán nem nehéz.
Nehézségek csak akkor merülnek fel, ha összehasonlítva a fokozatoknak eltérő alapja és mutatója van. Ebben az esetben meg kell próbálnia vezetni közös alap. Például:
Természetesen tudja, hogy ennek megfelelően a kifejezés a következőképpen alakul:
Nyissuk ki a zárójeleket, és hasonlítsuk össze, mit kapunk:
Néhány speciális eset, ha a () fok alapja kisebb egynél.
Ha, akkor két fokkal és annál nagyobb az, amelynek indexe kisebb.
Próbáljuk bebizonyítani ezt a szabályt. Legyen.
Vezessünk be néhány természetes számot a és közötti különbségként.
Logikus, nem?
És most ismét figyeljünk a feltételre - .
Illetve: . Ennélfogva, .
Például:
Amint érti, azt az esetet vettük figyelembe, amikor a fokok alapjai egyenlőek. Most nézzük meg, hogy az alap mikor van a -tól intervallumban, de a kitevők egyenlők. Itt minden nagyon egyszerű.
Emlékezzünk arra, hogyan hasonlítsuk össze ezt egy példa segítségével:
Természetesen gyorsan kiszámoltad:
Ezért, ha összehasonlítás céljából hasonló problémákkal találkozik, tartson szem előtt néhány egyszerű hasonló példát, amelyet gyorsan ki tud számítani, és e példa alapján tegyen jeleket egy összetettebbbe.
A transzformációk végrehajtásakor ne feledje, hogy ha szoroz, összead, kivon vagy oszt, akkor minden műveletet a bal és a jobb oldallal is meg kell tenni. jobb oldal(ha szorozod, akkor mindkettőt meg kell szorozni).
Ezenkívül vannak olyan esetek, amikor egyszerűen veszteséges bármilyen manipuláció elvégzése. Például össze kell hasonlítani. BAN BEN ebben az esetben, nem olyan nehéz hatványra emelni, és ez alapján rendezni a jelet:
Gyakoroljunk. Hasonlítsa össze a diplomákat:
Készen áll a válaszok összehasonlítására? Íme, amit kaptam:
- - ugyanaz, mint a
- - ugyanaz, mint a
- - ugyanaz, mint a
- - ugyanaz, mint a
3. Számok összehasonlítása a gyökökkel
Először is emlékezzünk arra, mik a gyökerek? Emlékszel erre a felvételre?
Valós szám hatványának gyöke az a szám, amelyre az egyenlőség érvényes.
Gyökerek Nem páros fokozat léteznek negatív és pozitív számok, A akár gyökerek- csak a pozitívaknak.
A gyökér értéke gyakran végtelen decimális, ami megnehezíti a pontos számítást, ezért fontos a gyökerek összehasonlítása.
Ha elfelejtette, mi az, és mivel eszik - . Ha mindenre emlékszel, tanuljuk meg lépésről lépésre összehasonlítani a gyökereket.
Tegyük fel, hogy össze kell hasonlítanunk:
A két gyökér összehasonlításához nem kell számításokat végeznie, csak magát a „gyökér” fogalmát kell elemeznie. Érted, miről beszélek? Igen, erről: egyébként felírható valamilyen szám harmadik hatványaként, egyenlő a gyök kifejezéssel.
Mi több? vagy? Természetesen ezt minden nehézség nélkül össze lehet hasonlítani. Minél nagyobb számot emelünk hatványra, annál nagyobb lesz az érték.
Így. Vezessünk le egy szabályt.
Ha a gyökök kitevői megegyeznek (esetünkben ez), akkor össze kell hasonlítani radikális kifejezések(i) - annál több gyökszám, azok több értéket egyenlő arányban gyökerezik.
Nehéz megjegyezni? Akkor tarts egy példát a fejedben, és... Hogy több?
A gyökök kitevője megegyezik, mivel a gyök négyzet. Egy szám () radikális kifejezése nagyobb, mint egy másik (), ami azt jelenti, hogy a szabály valóban igaz.
Mi van akkor, ha a radikális kifejezések azonosak, de a gyökök fokozatai eltérőek? Például: .
Az is teljesen világos, hogy a gyökér kinyerésekor nagyobb mértékben kisebb számot kapsz. Vegyük például:
Jelöljük az első gyök értékét as, a második - as értékét, akkor:
Könnyen beláthatja, hogy ezekben az egyenletekben többnek kell lennie, ezért:
Ha a radikális kifejezések megegyeznek(a mi esetünkben), és a gyökök kitevői különbözőek(esetünkben ez és), akkor össze kell hasonlítani a kitevőket(És) - minél magasabb a mutató, annál kevesebb ezt a kifejezést .
Próbálja meg összehasonlítani a következő gyökereket:
Hasonlítsuk össze az eredményeket?
Sikeresen megoldottuk :). Felmerül egy másik kérdés: mi van, ha mindannyian mások vagyunk? Mind a fok, mind a radikális kifejezés? Nem minden olyan bonyolult, csak meg kell... „megszabadulnunk” a gyökértől. Igen igen. Csak szabadulj meg tőle)
Ha különböző fokszámúak és gyökös kifejezéseink vannak, meg kell találnunk a legkisebb közös többszöröst (olvassuk el a róla szóló részt) a gyökök kitevőjére, és mindkét kifejezést a legkisebb közös többszörössel egyenlő hatványra kell emelnünk.
Hogy mindannyian szavakban és szavakban vagyunk. Íme egy példa:
- Megnézzük a gyökerek mutatóit - és. Legkisebb közös többszörösük a .
- Emeljük mindkét kifejezést hatványra:
- Alakítsuk át a kifejezést és nyissuk meg a zárójeleket (további részletek a fejezetben):
- Számoljuk meg, mit csináltunk, és tegyünk egy jelet:
4. A logaritmusok összehasonlítása
Így lassan, de biztosan eljutottunk a logaritmusok összehasonlításának kérdéséhez. Ha nem emlékszik, milyen állatról van szó, azt tanácsolom, hogy először olvassa el a szakasz elméletét. Olvastad? Ezután válaszoljon néhány fontos kérdésre:
- Mi a logaritmus argumentuma és mi az alapja?
- Mi határozza meg, hogy egy függvény növekszik vagy csökken?
Ha mindenre emlékszel, és tökéletesen elsajátítottad, kezdjük!
A logaritmusok egymással való összehasonlításához csak 3 technikát kell ismernie:
- ugyanazon az alapon;
- redukálás ugyanarra az érvre;
- összehasonlítás a harmadik számmal.
Kezdetben ügyeljen a logaritmus alapjára. Emlékszel arra, hogy ha kevesebb, akkor a függvény csökken, és ha több, akkor nő. Ezen fognak alapulni ítéleteink.
Tekintsük a már ugyanarra a bázisra vagy argumentumra redukált logaritmusok összehasonlítását.
Kezdésként egyszerűsítsük a feladatot: engedjük be az összehasonlított logaritmusokat egyenlő alapon . Akkor:
- A for függvény a from intervallumon növekszik, ami definíció szerint azt jelenti, hogy akkor (“ közvetlen összehasonlítás»).
- Példa:- az indokok megegyeznek, ennek megfelelően hasonlítjuk össze az érveket: , ezért:
- Az at függvény a from intervallumon csökken, ami definíció szerint akkor („fordított összehasonlítás”). - az alapok megegyeznek, ennek megfelelően hasonlítjuk össze az argumentumokat: a logaritmusok előjele azonban „fordított” lesz, mivel a függvény csökken: .
Most vegyük figyelembe azokat az eseteket, amikor az okok eltérőek, de az érvek ugyanazok.
- Az alap nagyobb.
- . Ebben az esetben a „fordított összehasonlítást” használjuk. Például: - az argumentumok megegyeznek, és. Hasonlítsuk össze az alapokat: a logaritmusok előjele viszont „fordított” lesz:
- Az a alap a résben van.
- . Ebben az esetben a „közvetlen összehasonlítást” használjuk. Például:
- . Ebben az esetben a „fordított összehasonlítást” használjuk. Például:
Írjunk le mindent általánosságban táblázatos formában:
| , ahol | , ahol | |
Ennek megfelelően, amint azt már megértette, a logaritmusok összehasonlításakor ugyanarra a bázisra vagy argumentumra kell vezetnünk, az egyik bázisról a másikra való átlépés képletével.
Összehasonlíthatja a logaritmusokat a harmadik számmal is, és ez alapján következtetést vonhat le arról, hogy mi kevesebb és mi több. Például gondolkodjon el azon, hogyan hasonlítsa össze ezt a két logaritmust?
Egy kis tipp - összehasonlításképpen a logaritmus sokat segít, amelynek érve megegyezik.
Gondolat? Döntsünk együtt.
Könnyen összehasonlíthatjuk Önnel ezt a két logaritmust:
Nem tudom hogyan? Lásd fent. Ezt most elintéztük. Milyen jel lesz? Jobb:
Egyetért?
Hasonlítsuk össze egymással:
A következőket kell beszerezned:
Most egyesítsük az összes következtetésünket egybe. Megtörtént?
5. Trigonometrikus kifejezések összehasonlítása.
Mi a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens? Mire való az egységkör és hogyan lehet megtalálni rajta az értéket trigonometrikus függvények? Ha nem tudja a választ ezekre a kérdésekre, erősen ajánlom, hogy olvassa el az elméletet ebben a témában. És ha tudod, akkor a trigonometrikus kifejezések egymással való összehasonlítása nem nehéz számodra!
Frissítsük fel egy kicsit az emlékezetünket. Rajzoljunk egy egységnyi trigonometrikus kört és egy abba írt háromszöget. Sikerült? Most jelölje meg, hogy melyik oldalon ábrázoljuk a koszinust és melyik oldalon a szinust, a háromszög oldalai segítségével. (Te persze emlékezz arra, hogy a szinusz az ellenkező oldal és a hipotenusz aránya, a koszinusz pedig a szomszédos oldal?). Te rajzoltad? Nagy! Befejező simítás- tedd le hol lesz, hol és így tovább. Letetted? Fú) Hasonlítsuk össze, mi történt veled és velem.
Fú! Most kezdjük az összehasonlítást!
Mondjuk össze kell hasonlítani és. Rajzolja meg ezeket a szögeket a négyzetekbe (ahol hol jelöltük) promptok segítségével, és helyezze el a pontokat az egységkörre. Sikerült? Íme, amit kaptam.
Most a körön megjelölt pontokból ejtsünk egy merőlegest a tengelyre... Melyik? Melyik tengely mutatja a szinuszok értékét? Jobb, . Ezt kell beszerezned:
Ezt a képet nézve melyik a nagyobb: vagy? Persze, mert a lényeg a lényeg felett áll.
Hasonló módon hasonlítjuk össze a koszinuszok értékét. Csak a tengelyre merőlegest engedjük le... Így van, . Ennek megfelelően azt nézzük, hogy melyik pont van jobbra (vagy magasabbra, mint a szinuszoknál), akkor az érték nagyobb.
Valószínűleg már tudja, hogyan kell összehasonlítani az érintőket, igaz? Csak azt kell tudni, hogy mi az érintő. Tehát mi az érintő?) Így van, a szinusz és a koszinusz aránya.
Az érintők összehasonlításához ugyanúgy szöget rajzolunk, mint az előző esetben. Tegyük fel, hogy össze kell hasonlítanunk:
Te rajzoltad? Most a szinusz értékeit is bejelöljük koordináta tengely. Észrevetted? Most jelölje meg a koszinusz értékeit a koordinátavonalon. Megtörtént? Hasonlítsuk össze:
Most pedig elemezze, amit írt. - egy nagy szegmenst egy kicsire osztunk. A válasz olyan értéket fog tartalmazni, amely határozottan nagyobb egynél. Jobb?
És amikor elosztjuk a kicsiket a nagyokkal. A válasz egy olyan szám lesz, amely pontosan kisebb egynél.
Tehát mi az értelme trigonometrikus kifejezés több?
Jobb:
Amint most már érti, a kotangensek összehasonlítása ugyanaz, csak fordítva: megnézzük, hogyan viszonyulnak egymáshoz a koszinust és a szinust meghatározó szegmensek.
Próbálja meg saját maga összehasonlítani a következő trigonometrikus kifejezéseket:
Példák.
Válaszok.
SZÁMOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. ÁTLAGOS SZINT.
Melyik szám nagyobb: vagy? A válasz nyilvánvaló. És most: vagy? Már nem olyan nyilvánvaló, igaz? Szóval: vagy?
Gyakran tudnia kell, hogy melyik numerikus kifejezés nagyobb. Például azért, hogy a pontokat a tengelyen a megfelelő sorrendben helyezzük el egy egyenlőtlenség megoldásánál.
Most megtanítom, hogyan kell összehasonlítani az ilyen számokat.
Ha össze kell hasonlítani a számokat és, akkor közéjük teszünk egy jelet (az Latin szó Ellenben vagy rövidítve vs. - ellen): . Ez a jel helyettesíti az ismeretlen egyenlőtlenség jelet (). Ezután azonos transzformációkat hajtunk végre, amíg világossá nem válik, hogy melyik jelet kell a számok közé helyezni.
A számok összehasonlításának lényege: az előjelet úgy kezeljük, mintha valami egyenlőtlenségjel lenne. És a kifejezéssel mindent megtehetünk, amit általában az egyenlőtlenségekkel:
- adjunk hozzá tetszőleges számot mindkét oldalhoz (és természetesen ki is vonhatjuk)
- „vigyünk mindent egy oldalra”, azaz vonjunk ki egyet az összehasonlított kifejezések közül mindkét részből. A kivont kifejezés helyén marad: .
- szorozni vagy osztani ugyanazzal a számmal. Ha ez a szám negatív, az egyenlőtlenség előjele megfordul: .
- mindkét oldalt ugyanarra a hatalomra emelje. Ha ez a fokozat páros, akkor meg kell győződnie arról, hogy mindkét oldal rendelkezik ugyanaz a jel; ha mindkét rész pozitív, akkor az előjel nem változik hatványra emelve, de ha negatív, akkor az ellenkezőjére változik.
- kivonjuk a gyökeret ugyanolyan mértékben mindkét részről. Ha páros fok gyökét vonjuk ki, először meg kell győződnünk arról, hogy mindkét kifejezés nem negatív.
- bármely más egyenértékű transzformáció.
Fontos: célszerű olyan átalakításokat végezni, hogy az egyenlőtlenség jele ne változzon! Azaz a transzformációk során nem kívánatos negatív számmal szorozni, és nem lehet négyzetre emelni, ha az egyik rész negatív.
Nézzünk néhány tipikus helyzetet.
1. Hatványozás.
Példa.
Melyik a több: vagy?
Megoldás.
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, négyzetre emelhetjük, hogy megszabaduljunk a gyöktől:
Példa.
Melyik a több: vagy?
Megoldás.
Itt négyzetre is tehetjük, de ez csak segít megszabadulni tőle négyzetgyök. Itt olyan mértékben kell emelni, hogy mindkét gyökér eltűnjön. Ez azt jelenti, hogy ennek a foknak a kitevőjének oszthatónak kell lennie mind (az első gyök fokával), mind -vel. Ezért ezt a számot a th hatványra emeljük:
2. Szorzás konjugáltjával.
Példa.
Melyik a több: vagy?
Megoldás.
Szorozzuk meg és osszuk el az egyes különbségeket a konjugált összeggel:
Nyilvánvaló, hogy a jobb oldali nevező nagyobb, mint a bal oldali. Ezért a jobb oldali tört kisebb, mint a bal:
3. Kivonás
Emlékezzünk arra.
Példa.
Melyik a több: vagy?
Megoldás.
Természetesen mindent négyzetre emelhetnénk, átcsoportosíthatnánk, és újra négyzetbe rendezhetnénk. De tehetsz valami okosabbat is:
Látható, hogy a bal oldalon minden tag kisebb, mint a jobb oldalon.
Ennek megfelelően a bal oldalon lévő összes tag összege kisebb, mint a jobb oldalon lévő összes tag összege.
De légy óvatos! Megkérdeztük, mi van még...
A jobb oldal nagyobb.
Példa.
Hasonlítsa össze a számokat és...
Megoldás.
Emlékezzünk a trigonometriai képletekre:
Nézzük meg, melyik negyed van trigonometrikus kör vannak pontok és.
4. Osztály.
Itt is használunk egy egyszerű szabályt: .
A vagy, azaz.
Amikor a jel megváltozik: .
Példa.
Hasonlítsa össze: .
Megoldás.
5. Hasonlítsa össze a számokat a harmadik számmal!
Ha és, akkor (tranzitivitás törvénye).
Példa.
Hasonlítsa össze.
Megoldás.
Hasonlítsuk össze a számokat ne egymással, hanem a számmal.
Ez nyilvánvaló.
A másik oldalon, .
Példa.
Melyik a több: vagy?
Megoldás.
Mindkét szám nagyobb, de kisebb. Válasszunk ki olyan számot, amely nagyobb az egyiknél, de kisebb a másiknál. Például, . Ellenőrizzük:
6. Mi a teendő a logaritmusokkal?
Semmi különös. A logaritmusoktól való megszabadulás részletes leírása a témában található. Az alapszabályok a következők:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \balra nyíl (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Hozzáadhatunk egy szabályt a logaritmusokkal kapcsolatban is különböző okokbólés ugyanaz az érv:
Ez így magyarázható: minél nagyobb az alap, annál több kisebb fokú meg kell építeni, hogy ugyanaz legyen. Ha a bázis kisebb, akkor az ellenkezője igaz, mivel a megfelelő függvény monoton csökkenő.
Példa.
Hasonlítsa össze a számokat: és.
Megoldás.
A fenti szabályok szerint:
És most a képlet a haladók számára.
A logaritmusok összehasonlításának szabálya rövidebben is leírható:
Példa.
Melyik a több: vagy?
Megoldás.
Példa.
Hasonlítsa össze, melyik szám nagyobb: .
Megoldás.
SZÁMOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL
1. Hatványozás
Ha az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, akkor négyzetre emelhetjük, hogy megszabaduljunk a gyöktől
2. Szorzás konjugáltjával
A konjugátum egy olyan tényező, amely kiegészíti a kifejezést a négyzetek különbségének képletével: - konjugált for és fordítva, mert .
3. Kivonás
4. Osztály
Mikor vagy az
Amikor a jel megváltozik:
5. Összehasonlítás a harmadik számmal
Ha és akkor
6. A logaritmusok összehasonlítása
Alapszabályok.
Kifejezések, kifejezéskonverzió
Hatványkifejezések (hatványos kifejezések) és átalakításuk
Ebben a cikkben a kifejezések hatványokkal való konvertálásáról fogunk beszélni. Először is azokra az átalakításokra összpontosítunk, amelyeket bármilyen kifejezéssel hajtanak végre, beleértve hatalmi kifejezések, mint például a zárójelek megnyitása és a hasonló kifejezések hozása. Ezután elemezzük a kifejezetten a fokszámú kifejezésekben rejlő transzformációkat: az alappal és a kitevővel való munka, a fokok tulajdonságainak felhasználása stb.
Oldalnavigáció.
Mik azok a hatalom kifejezései?
A „hatalmi kifejezések” kifejezést szinte soha nem használják iskolai tankönyvek matematika, de elég gyakran megjelenik a feladatgyűjteményekben, különösen azokban, amelyek például az egységes államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészülést szolgálják. Azokat a feladatokat elemezve, amelyekben erőkifejezésekkel kell műveleteket végrehajtani, világossá válik, hogy a hatalomkifejezések olyan kifejezések alatt értendők, amelyek bejegyzéseikben hatalmat tartalmaznak. Ezért elfogadhatja magának a következő definíciót:
Meghatározás.
Hatalom kifejezések fokokat tartalmazó kifejezések.
Adjunk példák a hatalom kifejezéseire. Sőt, aszerint mutatjuk be őket, hogy hogyan történik a nézetek fokozatról fokozatra történő fejlődése. természetes mutató mértékig valós kitevővel.
Mint ismeretes, először ebben a szakaszban ismerkedünk meg egy természetes kitevővel rendelkező szám hatványával, a 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) típusú hatványkifejezésekkel; 4, 3 a 2 jelenik meg −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 stb.
Kicsit később egy egész kitevővel rendelkező szám hatványát tanulmányozzuk, ami egész számokkal rendelkező hatványkifejezések megjelenéséhez vezet negatív erők, mint a következő: 3 -2 , 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
A középiskolában visszatérnek a diplomához. Ott bevezetik a diplomát racionális mutató, ami a megfelelő hatványkifejezések megjelenését vonja maga után: 
, , 
stb. Végül az irracionális kitevővel rendelkező fokokat és az ezeket tartalmazó kifejezéseket tekintjük: , .
A dolog nem korlátozódik a felsorolt hatványkifejezésekre: tovább hatol a változó a kitevőbe, és például a következő kifejezések keletkeznek: 2 x 2 +1 ill. 
. És miután megismerkedtünk a -val, megjelennek a hatványokkal és logaritmusokkal rendelkező kifejezések, például x 2·lgx −5·x lgx.
Tehát foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mit jelentenek a hatalom kifejezései. Ezután megtanuljuk átalakítani őket.
A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai
A hatványkifejezésekkel elvégezheti a kifejezések bármely alapvető azonosság-transzformációját. Például bővítheti a zárójeleket, cserélheti numerikus kifejezések jelentésüket, adja hasonló kifejezések stb. Természetesen ebben az esetben a műveletek végrehajtására vonatkozó elfogadott eljárást kell követni. Mondjunk példákat.
Példa.
Számítsa ki a 2 3 ·(4 2 −12) hatványkifejezés értékét!
Megoldás.
A műveletek végrehajtási sorrendjének megfelelően először hajtsa végre a zárójelben lévő műveleteket. Ott először a 4 2 hatványt 16-os értékére cseréljük (ha szükséges, lásd), másodszor pedig kiszámítjuk a 16−12=4 különbséget. Nekünk van 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.
A kapott kifejezésben a 2 3 hatványt 8-as értékére cseréljük, ami után kiszámítjuk a 8·4=32 szorzatot. Ez a kívánt érték.
Így, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.
Válasz:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Példa.
Egyszerűsítse a kifejezéseket képességekkel 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Megoldás.
Nyilvánvaló, hogy ez a kifejezés hasonló 3·a 4 ·b −7 és 2·a 4 ·b −7 kifejezéseket tartalmaz, és bemutathatjuk őket: .
Válasz:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Példa.
Fejezzen ki egy kifejezést hatványokkal szorzatként.
Megoldás.
Megbirkózhat a feladattal, ha a 9-et 3 2 hatványaként ábrázolja, majd a négyzetek különbségének rövidített szorzóképletét használja: 
Válasz:
Van egy szám is identitás-transzformációk, amely kifejezetten az erőkifejezésekben rejlik. Ezeket tovább elemezzük.
Munka bázissal és kitevővel
Vannak fokok, amelyek bázisa és/vagy kitevője nem csak számok vagy változók, hanem bizonyos kifejezések. Példaként adjuk meg a (2+0.3·7) 5−3.7 és az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bejegyzéseket.
Ha hasonló kifejezésekkel dolgozik, a fok alapjában lévő kifejezést és a kitevőben lévő kifejezést is azonos módon helyettesítheti egyenlő kifejezés változóinak ODZ-jén. Vagyis az általunk ismert szabályok szerint külön transzformálhatjuk a fokszám alapját és külön a kitevőt. Nyilvánvaló, hogy ennek az átalakításnak az eredményeként egy olyan kifejezést kapunk, amely megegyezik az eredetivel.
Az ilyen átalakítások lehetővé teszik számunkra, hogy egyszerűsítsük a kifejezéseket, vagy más célokat érjünk el, amelyekre szükségünk van. Például a fent említett hatványkifejezésben (2+0,3 7) 5-3,7 az alapban és a kitevőben lévő számokkal hajthatunk végre műveleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy a 4,1 1,3 hatványra lépjünk. És miután kinyitjuk a zárójeleket és hasonló tagokat hozunk az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) fok alapjába, egy hatványkifejezést kapunk tovább egyszerű típus a 2·(x+1) .
Fokozattulajdonságok használata
A kifejezések hatványokkal való átalakításának egyik fő eszköze a tükröző egyenlőségek. Emlékezzünk a főbbekre. Bármilyen pozitív számra a és b és tetszőleges valós számok r és s tisztességes következő tulajdonságokat fokok:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a · b) r =a r · b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Vegye figyelembe, hogy természetes, egész és pozitív kitevők esetén az a és b számokra vonatkozó korlátozások nem feltétlenül olyan szigorúak. Például azért természetes számok m és n az a m ·a n =a m+n egyenlőség nemcsak pozitív a-ra, hanem negatív a-ra is igaz, és a=0-ra is.
Az iskolában az erőkifejezések átalakításakor a fő hangsúly a megfelelő tulajdonság kiválasztásának és helyes alkalmazásának képességén van. Ebben az esetben a fokok alapjai általában pozitívak, ami lehetővé teszi a fokok tulajdonságainak korlátozás nélküli használatát. Ugyanez vonatkozik a hatványok alapjaiban változókat tartalmazó kifejezések transzformációjára is elfogadható értékeket változók általában olyanok, hogy a rajta lévő alap csak elfogadja pozitív értékeket, amely lehetővé teszi a fokok tulajdonságainak szabad használatát. Általában állandóan fel kell kérdezni magától, hogy ebben az esetben használható-e a fokozatok bármely tulajdonsága, mert a tulajdonságok pontatlan használata az oktatási érték beszűküléséhez és egyéb problémákhoz vezethet. Ezeket a pontokat részletesen és példákkal tárgyaljuk a kifejezések transzformációja a fokok tulajdonságaival című cikkben. Itt néhány egyszerű példára szorítkozunk.
Példa.
Fejezzük ki az a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kifejezést a bázisú hatványként.
Megoldás.
Először a második tényezőt (a 2) −3 alakítjuk át a hatvány hatványra emelésének tulajdonságával: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Az eredeti hatványkifejezés a 2.5 ·a −6:a −5.5 formában lesz. Nyilvánvaló, hogy a szorzás és a hatalommegosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk, mint nálunk
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Válasz:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
A hatványok tulajdonságai a hatványkifejezések átalakításakor balról jobbra és jobbról balra egyaránt használatosak.
Példa.
Keresse meg a hatványkifejezés értékét!
Megoldás.
Az (a·b) r =a r ·b r egyenlőség jobbról balra alkalmazva lehetővé teszi, hogy az eredeti kifejezésről a forma szorzatára és tovább lépjünk. És amikor megszorozzuk a képességeket ugyanazon az alapon a mutatók összeadódnak: 
.
Az eredeti kifejezést más módon is át lehetett alakítani: 
Válasz:
.
Példa.
Adott az a 1,5 −a 0,5 −6 hatványkifejezés, vezessen be egy új változót, t=a 0,5.
Megoldás.
Az a 1,5 fokot 0,5 3-ként ábrázolhatjuk, majd a fok (a r) s =a r s fokra vonatkozó tulajdonsága alapján, jobbról balra alkalmazva, transzformáljuk (a 0,5) 3 alakra. És így, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Most már könnyű bevezetni egy új változót, t=a 0,5, így kapjuk a t 3 −t−6.
Válasz:
t 3 −t−6 .
Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása
A hatványkifejezések tartalmazhatnak vagy képviselhetnek hatványokkal rendelkező törteket. A törtek bármely alapvető transzformációja, amely bármilyen típusú törtben rejlik, teljes mértékben alkalmazható az ilyen törtekre. Vagyis a hatványokat tartalmazó törtek redukálhatók, új nevezőre redukálhatók, a számlálójukkal külön-külön, a nevezővel külön dolgozhatók stb. Ezeknek a szavaknak a szemléltetésére vegye figyelembe a megoldásokat több példára.
Példa.
Egyszerűsítse a hatalom kifejezését 
.
Megoldás.
Ez a hatványkifejezés egy töredék. Dolgozzunk a számlálójával és a nevezőjével. A számlálóban megnyitjuk a zárójeleket, és a hatványok tulajdonságaival egyszerűsítjük a kapott kifejezést, a nevezőben pedig hasonló kifejezéseket adunk meg: 
És változtassuk meg a nevező előjelét is úgy, hogy a tört elé mínuszt teszünk: 
.
Válasz:
.
A hatványokat tartalmazó törtek új nevezőre redukálása ugyanúgy történik, mint egy új nevezőre racionális törtek. Ugyanakkor van olyan is további szorzó a tört számlálóját és nevezőjét pedig megszorozzuk vele. Ennek a műveletnek a végrehajtásakor érdemes megjegyezni, hogy az új nevezőre való redukálás a VA szűküléséhez vezethet. Ennek elkerülése érdekében szükséges, hogy a kiegészítő tényező ne menjen nullára az eredeti kifejezés ODZ-változóiból származó változók egyetlen értékénél sem.
Példa.
Csökkentse a törteket új nevezőre: a) a nevezőre, b) 
a nevezőhöz.
Megoldás.
a) Ebben az esetben meglehetősen könnyű kitalálni, hogy milyen további szorzó segít elérni kívánt eredményt. Ez egy 0,3 szorzója, mivel a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Vegye figyelembe, hogy az a változó megengedett értékeinek tartományában (ez az összes pozitív valós szám halmaza) a 0,3 hatványa nem tűnik el, ezért jogunk van egy adott számlálóját és nevezőjét megszorozni. töredék ezzel a kiegészítő tényezővel: 
b) Ha közelebbről megvizsgáljuk a nevezőt, akkor azt találjuk 
és ezt a kifejezést megszorozva a kocka és , azaz . És ez az új nevező, amelyre csökkentenünk kell az eredeti törtet.
Így találtunk egy további tényezőt. Az x és y változók megengedett értékeinek tartományában a kifejezés nem tűnik el, ezért a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele: 
Válasz:
A) 
, b) 
.
A hatványokat tartalmazó törtek redukálásában sincs semmi újdonság: a számlálót és a nevezőt több tényezőként ábrázoljuk, a számláló és a nevező azonos tényezőit pedig redukáljuk.
Példa.
Csökkentse a törtet: a) 
, b) .
Megoldás.
a) Először is, a számláló és a nevező csökkenthető a 30 és 45 számokkal, ami egyenlő 15-tel. Nyilvánvalóan lehetséges az x 0,5 +1-gyel és -kal való kicsinyítés is 
. Íme, amink van: 
b) Ebben az esetben a számlálóban és a nevezőben azonos tényezők nem láthatók azonnal. Megszerzésükhöz előzetes átalakításokat kell végrehajtania. Ebben az esetben a nevező faktorálásából áll a négyzetek különbségi képletével: 
Válasz:
A) 
b) 
.
A törtek új nevezőre való konvertálása és a törtek redukálása főként törtekkel való műveletekre szolgál. A műveleteket az ismert szabályok szerint hajtják végre. A törtek összeadásánál (kivonásánál) közös nevezőre redukálódnak, majd a számlálókat összeadják (kivonják), de a nevező változatlan marad. Az eredmény egy tört, amelynek a számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig a nevezők szorzata. A törttel való osztás az inverzével való szorzás.
Példa.
Kövesd a lépéseket 
.
Megoldás.
Először kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Ehhez közös nevezőre hozzuk őket, ami az 
, ami után kivonjuk a számlálókat: 
Most megszorozzuk a törteket: 
Nyilvánvalóan lehetséges x 1/2 hatványával csökkenteni, ami után megvan 
.
A nevezőben a hatványkifejezést is egyszerűsítheti a négyzetek különbségi képletével: 
.
Válasz:
Példa.
Egyszerűsítse az erőkifejezést 
.
Megoldás.
Magától értetődően, adott tört csökkenthető (x 2,7 +1) 2-vel, ez adja a törtet 
. Nyilvánvaló, hogy valami mást kell tenni X hatalmával. Ehhez a kapott frakciót szorzattá alakítjuk. Ez lehetőséget ad arra, hogy kihasználjuk a hatalmak azonos alapokon történő megosztásának tulajdonságát: 
. És a folyamat végén elmozdulunk utolsó munka töredékéig.
Válasz:
.
És tegyük hozzá azt is, hogy lehetséges és sok esetben kívánatos is a szorzók használata negatív mutatók A fokok a számlálóból a nevezőbe, vagy a nevezőből a számlálóba kerülnek, megváltoztatva a kitevő előjelét. Az ilyen átalakítások gyakran leegyszerűsítik a további műveleteket. Például egy hatványkifejezés helyettesíthető a következővel.
Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal
Azokban a kifejezésekben, amelyekben bizonyos átalakításokra van szükség, gyakran a törtkitevővel rendelkező gyökök is jelen vannak a hatványokkal együtt. Átalakít hasonló kifejezés Nak nek a megfelelő típus, a legtöbb esetben elég csak a gyökerekhez vagy csak a hatalomhoz menni. De mivel kényelmesebb az erőkkel dolgozni, általában a gyökerektől a hatalmak felé haladnak. Célszerű azonban egy ilyen átmenetet végrehajtani, ha az eredeti kifejezés változóinak ODZ-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy a modulra kellene hivatkozni, vagy az ODZ-t több intervallumra fel kellene osztani (ezt részletesen tárgyaltuk a szócikk átmenet a gyökökről a hatványokra és vissza A racionális kitevővel rendelkező fokszám megismerése után c fok kerül bemutatásra irracionális mutató, ami lehetővé teszi, hogy tetszőleges valós kitevővel beszéljünk fokról. Ebben a szakaszban az iskola megkezdi a tanulást exponenciális függvény , amelyet analitikusan egy hatvány ad meg, amelynek alapja egy szám, kitevője pedig változó. Tehát olyan hatványkifejezésekkel állunk szemben, amelyek a hatványalapban számokat, a kitevőben pedig változókat tartalmazó kifejezéseket tartalmaznak, és természetesen felmerül az igény az ilyen kifejezések transzformációinak végrehajtására.
Azt kell mondani, hogy a kifejezések átalakítása meghatározott típus megoldása során általában meg kell tenni exponenciális egyenletekÉs exponenciális egyenlőtlenségek , és ezek az átalakítások meglehetősen egyszerűek. Az esetek túlnyomó többségében a fokozat tulajdonságain alapulnak, és többnyire egy új változó jövőbeni bevezetésére irányulnak. Az egyenlet lehetővé teszi ezek bemutatását 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Először is, a hatványokat, amelyek kitevőjében egy bizonyos változó (vagy változókkal rendelkező kifejezés) és egy szám összege szerepel, szorzatokkal helyettesítjük. Ez a bal oldalon lévő kifejezés első és utolsó tagjára vonatkozik:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Ezután az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk a 7 2 x kifejezéssel, amely az x változó ODZ-je eredeti egyenlet csak pozitív értékeket vesz fel (ez egy szabványos technika az ilyen típusú egyenletek megoldására, most nem beszélünk róla, ezért összpontosítson a kifejezések következő transzformációira erővel): 
Most törölhetjük a törteket hatványokkal, ami megadja 
.
Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát relációk hatványai váltják fel, így az egyenlet 
, ami egyenértékű 
. Az elvégzett átalakítások lehetővé teszik egy új változó bevezetését, amely a megoldást az eredetire redukálja exponenciális egyenlet másodfokú egyenlet megoldásához
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Mekkora a fénysebesség