Mátrix algebra- Inverz mátrix

inverz mátrix

Inverz mátrix mátrixnak nevezzük, amelyet a jobb és a bal oldalon is megszorozva ezzel ezt a mátrixot ad identitásmátrix.
Jelöljük a mátrix inverz mátrixát A keresztül, akkor a definíció szerint a következőket kapjuk:

Ahol E– identitásmátrix.
Négyzetes mátrix hívott nem különleges (nem degenerált), ha a meghatározója nem egyenlő nullával. BAN BEN másképp ez az úgynevezett különleges (elfajzott) vagy egyedülálló.

A tétel így áll: Minden nem szinguláris mátrixnak van inverz mátrixa.

Az inverz mátrix megtalálásának műveletét nevezzük fellebbezés mátrixok. Tekintsük a mátrix inverziós algoritmust. Legyen adott egy nem szinguláris mátrix n- sorrend:

ahol Δ = det A ≠ 0.

Egy elem algebrai összeadása mátrixok n-edik sorrend A egy bizonyos előjellel vett mátrix determinánsának nevezzük ( n–1) törléssel kapott végzés én-edik sor és j mátrixoszlop A:

Alkossuk meg az ún csatolt mátrix:

ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementerei A.
Vegye figyelembe, hogy a mátrix sorelemeinek algebrai összeadása A a mátrix megfelelő oszlopaiba kerülnek à , vagyis a mátrix egyidejűleg transzponálódik.
A mátrix összes elemének elosztásával à Δ-vel – a mátrixdetermináns értéke A, az inverz mátrixot kapjuk eredményül:

Jegyezzük meg a sort speciális tulajdonságok inverz mátrix:
1) adott mátrixra A annak inverz mátrixa az egyetlen;
2) ha van inverz mátrix, akkor jobbra fordítottÉs bal fordított a mátrixok egybeesnek vele;
3) egy szinguláris (szinguláris) négyzetmátrixnak nincs inverz mátrixa.

Az inverz mátrix alapvető tulajdonságai:
1) az inverz mátrix determinánsa és az eredeti mátrix determinánsa reciprok;
2) inverz szorzatmátrix négyzetes mátrixok egyenlő a tényezők inverz mátrixainak szorzatával, fordított sorrendben:

3) a transzponált inverz mátrix egyenlő inverz mátrix egy adott transzponált mátrixból:

PÉLDA Számítsa ki az adott mátrix inverzét!

Állj meg! Próbáljuk megérteni ezt a nehézkes képletet.

A hatvány első változója valamilyen együtthatóval legyen előbb. A mi esetünkben az

A mi esetünkben az. Mint megtudtuk, ez azt jelenti, hogy az első változó fokszáma konvergál. A második változó pedig első fokig a helyén van. Együttható.

Nekünk megvan.

Az első változó egy hatvány, a második pedig négyzetes, együtthatóval. Ez az egyenlet utolsó tagja.

Amint látja, egyenletünk képlet formájában illeszkedik a definícióhoz.

Nézzük a definíció második (verbális) részét.

Van két ismeretlenünk és. Itt összefolyik.

Tekintsük az összes kifejezést. Ezekben az ismeretlenek fokszámainak összege azonos legyen.

A fokok összege egyenlő.

A hatványok összege egyenlő (at és at).

A fokok összege egyenlő.

Amint látod minden passzol!!!

Most gyakoroljuk a homogén egyenletek meghatározását.

Határozza meg, hogy az egyenletek közül melyik homogének:

Homogén egyenletek- számozott egyenletek:

Nézzük külön az egyenletet.

Ha minden tagot elosztunk az egyes tagok faktorálásával, azt kapjuk

És ez az egyenlet teljesen a homogén egyenletek definíciója alá esik.

Hogyan lehet homogén egyenleteket megoldani?

2. példa

Osszuk el az egyenletet.

Feltételünk szerint y nem lehet egyenlő. Ezért nyugodtan oszthatjuk vele

Csere elvégzésével egyszerűt kapunk másodfokú egyenlet:

Mivel ez egy redukált másodfokú egyenlet, a Vieta-tételt használjuk:

A fordított helyettesítés elvégzése után megkapjuk a választ

Válasz:

3. példa

Osszuk el az egyenletet (feltétel szerint).

Válasz:

4. példa

Keresse meg, ha.

Itt nem osztani kell, hanem szorozni. Szorozzuk meg a teljes egyenletet a következővel:

Cseréljük le és oldjuk meg a másodfokú egyenletet:

A fordított helyettesítés után a következő választ kapjuk:

Válasz:

Homogén trigonometrikus egyenletek megoldása.

A homogén trigonometrikus egyenletek megoldása nem különbözik a fent leírt megoldási módszerektől. Csak itt többek között tudnia kell egy kis trigonometriát. És tudjon dönteni trigonometrikus egyenletek(erről a részt olvashatja).

Nézzük meg az ilyen egyenleteket példákon keresztül.

5. példa

Oldja meg az egyenletet.

Tipikus homogén egyenletet látunk: és ismeretlenek, és az egyes tagokban lévő hatványaik összege egyenlő.

Az ilyen homogén egyenleteket nem nehéz megoldani, de mielőtt az egyenleteket felosztaná, gondolja át azt az esetet, amikor

Ebben az esetben az egyenlet a következő formában lesz: , tehát. De a szinusz és a koszinusz nem lehet egyenlő egyszerre, mert alapvetően trigonometrikus azonosság. Ezért nyugodtan feloszthatjuk:

Mivel az egyenlet adott, akkor Vieta tétele szerint:

Válasz:

6. példa.

Oldja meg az egyenletet.

Mint a példában, el kell osztania az egyenletet. Tekintsük azt az esetet, amikor:

De a szinusz és a koszinusz nem lehet egyszerre egyenlő, mert az alapvető trigonometrikus azonosság szerint. Ezért.

Cseréljük le és oldjuk meg a másodfokú egyenletet:

Végezzük el a fordított helyettesítést, és keressük meg és:

Válasz:

Homogén exponenciális egyenletek megoldása.

A homogén egyenleteket a fentebb tárgyalt módon oldjuk meg. Ha elfelejtetted dönteni exponenciális egyenletek- nézze meg a megfelelő részt ()!

Nézzünk néhány példát.

7. példa.

Oldja meg az egyenletet

Képzeljük el így:

Tipikus homogén egyenletet látunk, két változóval és egy hatványösszeggel. Osszuk fel az egyenletet:

Amint látja, a behelyettesítéssel az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk (nem kell félni a nullával való osztástól - ez mindig szigorúan nagyobb nullánál):

Vieta tétele szerint:

Válasz: .

8. példa.

Oldja meg az egyenletet

Képzeljük el így:

Osszuk fel az egyenletet:

Cseréljük le és oldjuk meg a másodfokú egyenletet:

A gyökér nem felel meg a feltételnek. Végezzük el a fordított helyettesítést, és keressük meg:

Válasz:

HOMOGÉN EGYENLETEK. ÁTLAGOS SZINT

Először is, egy probléma példáján, hadd emlékeztesselek mik a homogén egyenletek és mi a homogén egyenletek megoldása.

Megoldani a problémát:

Keresse meg, ha.

Itt észrevehet egy érdekességet: ha minden tagot elosztunk a következővel, akkor a következőt kapjuk:

Vagyis most nincs külön és, - most az egyenletben szereplő változó a kívánt érték. Ez pedig egy közönséges másodfokú egyenlet, amely könnyen megoldható Vieta tételével: a gyökök szorzata egyenlő, az összeg pedig a és a számok.

Válasz:

Az alak egyenletei

homogénnek nevezzük. Vagyis ez egy egyenlet két ismeretlennel, amelyek mindegyik tagjának az ismeretlenek hatványainak összege azonos. Például a fenti példában ez az összeg egyenlő. A homogén egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy elosztjuk az egyik ismeretlennel ilyen mértékben:

És a változók későbbi cseréje: . Így kapunk egy hatványegyenletet egy ismeretlennel:

Leggyakrabban másodfokú (vagyis másodfokú) egyenletekkel találkozunk, és tudjuk, hogyan kell megoldani őket:

Vegyük észre, hogy a teljes egyenletet csak akkor oszthatjuk (és szorozhatjuk) egy változóval, ha meg vagyunk győződve arról, hogy ez a változó nem lehet egyenlő nullával! Például, ha megkérnek minket, hogy találjunk, azonnal megértjük, hogy mivel nem lehet osztani. Azokban az esetekben, amikor ez nem annyira nyilvánvaló, külön ellenőrizni kell azt az esetet, amikor ez a változó nulla. Például:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Itt egy tipikus homogén egyenletet látunk: és ismeretlenek, és az egyes tagokban lévő hatványaik összege egyenlő.

Mielőtt azonban osztana másodfokú egyenletre, meg kell vizsgálnunk azt az esetet, amikor. Ebben az esetben az egyenlet a következő formában lesz: , ami azt jelenti. De a szinusz és a koszinusz nem lehet egyszerre egyenlő nullával, mert az alapvető trigonometrikus azonosság szerint: . Ezért nyugodtan feloszthatjuk:

Remélem ez a megoldás teljesen egyértelmű? Ha nem, olvassa el a részt. Ha nem világos, honnan származik, akkor még korábban kell visszatérnie - a szakaszhoz.

Döntsd el magad:

1. Keresse meg, ha.
2. Keresse meg, ha.
3. Oldja meg az egyenletet.

Itt röviden leírom közvetlenül a homogén egyenletek megoldását:

Megoldások:

Válasz: .

De itt inkább szorozni kell, mint osztani:

Válasz:

Ha még nem vett fel trigonometrikus egyenleteket, kihagyhatja ezt a példát.

Mivel itt osztanunk kell vele, először győződjön meg arról, hogy száz nem egyenlő nullával:

Ez pedig lehetetlen.

Válasz: .

HOMOGÉN EGYENLETEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Az összes homogén egyenlet megoldását az egyik ismeretlennel való osztásra redukáljuk a változók hatványára és további változására.

Algoritmus:

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikerességért letette az egységes államvizsgát, költségvetési keretből való felvételhez és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 499 dörzsölje.

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Homogén

Tovább ezt a leckét figyelembe vesszük az ún homogén differenciál egyenletek első rendelés. Együtt szétválasztható egyenletekÉs lineáris inhomogén egyenletek ez a fajta távirányító szinte bármelyikben megtalálható próba munka a diffúzorok témakörében. Ha egy keresőmotorból érkezett az oldalra, vagy nem nagyon magabiztos a differenciálegyenletek megértésében, akkor először azt javaslom, hogy dolgozzon át egy bevezető órát a témában - Elsőrendű differenciálegyenletek. A helyzet az, hogy a homogén egyenletek megoldásának sok elve és az alkalmazott technikák pontosan ugyanazok, mint a legegyszerűbb, elválasztható változókkal rendelkező egyenletek esetében.

Mi a különbség a homogén differenciálegyenletek és az egyéb típusú differenciálegyenletek között? Ezt a legegyszerűbben egy konkrét példával lehet azonnal megmagyarázni.

1. példa

Megoldás:
Mit Először döntéskor elemezni kell Bármi differenciálegyenlet első rendelés? Mindenekelőtt azt kell ellenőrizni, hogy lehetséges-e a változók azonnali elkülönítése „iskolai” műveletekkel? Ez az elemzés általában mentálisan történik, vagy úgy, hogy megpróbálják szétválasztani a változókat egy piszkozatban.

BAN BEN ebben a példában a változókat nem lehet szétválasztani(megpróbálhatod a kifejezéseket részről részre dobni, a tényezőket zárójelből kiemelni stb.). Egyébként ebben a példában az a tény, hogy a változók nem oszthatók, teljesen nyilvánvaló a szorzó jelenléte miatt.

Felmerül a kérdés: hogyan lehet megoldani ezt a diffúz problémát?

Ellenőrizni kell és Ez az egyenlet nem homogén?? Az ellenőrzés egyszerű, maga az ellenőrző algoritmus a következőképpen fogalmazható meg:

Az eredeti egyenlethez:

ahelyett helyettesítjük, ahelyett helyettesítjük, nem nyúlunk a származékhoz:

A lambda betű feltételes paraméter, és itt a következő szerepet tölti be: ha a transzformációk eredményeként az ÖSSZES lambdát „megsemmisíthetjük” és megkapjuk az eredeti egyenletet, akkor ez a differenciálegyenlet homogén.

Nyilvánvaló, hogy a lambdákat azonnal csökkenti a kitevő:

Most a jobb oldalon kivesszük a lambdát a zárójelekből:

és ossza el mindkét részt ugyanazzal a lambdával:

Ennek eredményeként Minden A lambdák eltűntek, mint egy álom, mint a reggeli köd, és megkaptuk az eredeti egyenletet.

Következtetés: Ez az egyenlet homogén

Hogyan lehet megoldani egy homogén differenciálegyenletet?

Én nagyon jó hírek. Abszolút minden homogén egyenlet megoldható egyetlen (!) standard behelyettesítéssel.

A „játék” funkciónak kell lennie cserélje ki munka valamilyen funkciót (az „x”-től is függ)és "x":

Szinte mindig röviden írják:

Megtudjuk, hogy egy ilyen helyettesítéssel mivé válik a származék, alkalmazzuk a szorzat differenciálási szabályát. Ha akkor:

Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

Mit ad egy ilyen csere? Ezt a cserét és az egyszerűsítéseket követően mi garantált elválasztható változókkal rendelkező egyenletet kapunk. EMLÉKEZIK mint az első szerelem :) és ennek megfelelően .

Csere után maximális egyszerűsítéseket hajtunk végre:

Mivel „x”-től függő függvény, származéka felírható standard törtként: .
És így:

Elválasztjuk a változókat, míg a bal oldalon csak a „te”-t, a jobb oldalon pedig csak az „x”-et kell gyűjteni:

A változók el vannak választva, integráljuk:


Az első technikai tippem szerint a cikkből Elsőrendű differenciálegyenletek sok esetben célszerű egy állandót logaritmus formájában „megfogalmazni”.

Miután az egyenletet integráltuk, végre kell hajtanunk fordított csere, szintén szabványos és egyedi:
Ha akkor
BAN BEN ebben az esetben:

20-ból 18-19 esetben a homogén egyenlet megoldását általános integrálként írjuk fel.

Válasz:általános integrál:

Miért adjuk meg a homogén egyenletre a választ szinte mindig általános integrál formájában?
A legtöbb esetben lehetetlen kifejezni "y"-t (get közös döntés), és még ha lehetséges is, az általános megoldás legtöbbször nehézkesnek és ügyetlennek bizonyul.

Így például a vizsgált példában általános megoldást kaphatunk, ha az általános integrál mindkét oldalán lemérjük a logaritmusokat:

- Nos, ez rendben van. Bár, el kell ismerni, még mindig egy kicsit ferde.

Egyébként ebben a példában nem egészen „tisztességesen” írtam le az általános integrált. Ez nem hiba, de „jó” stílusban emlékeztetem Önt, hogy az általános integrált általában a formában írják. Ehhez az egyenlet integrálása után azonnal fel kell írni az állandót logaritmus nélkül (itt a kivétel a szabály alól!):

És a fordított helyettesítés után kapja meg az általános integrált „klasszikus” formában:

A kapott válasz ellenőrizhető. Ehhez meg kell különböztetni az általános integrált, azaz meg kell találni egy implicit módon meghatározott függvény deriváltja:

Megszabadulunk a törtektől, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk:

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy a megoldást helyesen találtuk meg.

Célszerű mindig ellenőrizni. A homogén egyenletek azonban kellemetlenek abból a szempontból, hogy általában nehéz ellenőrizni általános integráljaikat - ehhez nagyon-nagyon tisztességes differenciálási technikát igényel. A vizsgált példában az ellenőrzés során már nem a legegyszerűbb származékokat kellett megtalálni (bár maga a példa meglehetősen egyszerű). Ha meg tudod nézni, nézd meg!

2. példa

Ellenőrizze az egyenlet homogenitását, és keresse meg az általános integrálját.

Írd be a választ az űrlapba!

Ez egy példa erre önálló döntés– hogy kényelmesebbé váljon magával a cselekvési algoritmussal. Az ellenőrzést tetszés szerint elvégezheti, mert... itt ez elég bonyolult, és nem is vettem a fáradságot, hogy bemutassam, különben nem jön még egyszer ilyen mániás :)

És most az ígért fontos pont, a nagyon a téma eleje,
Félkövér fekete betűkkel kiemelem:

Ha a transzformációk során „reseteljük” a szorzót (nem állandó)a nevezőbe, akkor a megoldások elvesztését VESZKEZZÜK!

És valójában ezzel találkoztunk az első példában bevezető óra a differenciálegyenletekről. Az egyenlet megoldása során kiderült, hogy az „y” a nevezőben van: , de nyilvánvalóan a DE megoldása, és egy egyenlőtlen transzformáció (osztás) eredményeként minden esély megvan annak elvesztésére! Másik dolog, hogy mikor került bele az általános megoldásba nulla értékállandók. Az „X” visszaállítása a nevezőben szintén figyelmen kívül hagyható, mert nem felel meg az eredeti diffúzornak.

Hasonló történet ugyanennek a leckének a harmadik egyenletével, aminek megoldása során „beleestünk” a nevezőbe. Szigorúan véve itt kellett ellenőrizni, hogy ez a diffúzor a megoldás? Végül is az! De még itt is „minden rendben volt”, mivel ez a funkció benne volt az általános integrálban nál nél .

És ha ez gyakran működik „elválasztható” egyenletekkel, akkor homogén és néhány más diffúzor esetén nem biztos, hogy működik. Több, mint valószínű.

Elemezzük az ebben a leckében már megoldott problémákat: in 1. példa volt X „reset”, de ez nem lehet megoldás az egyenletre. De 2. példa részre osztottunk , de ő is „megúszta”: hiszen , a megoldások nem veszhettek el, egyszerűen nincsenek itt. De természetesen szándékosan hoztam létre a „boldog alkalmakat”, és nem tény, hogy a gyakorlatban ezek jönnek be:

3. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Nem egyszerű példa? ;-)

Megoldás: ennek az egyenletnek a homogenitása nyilvánvaló, de mégis - az első lépésnél MINDIG ellenőrizzük, hogy lehetséges-e a változók szétválasztása. Ugyanis az egyenlet is homogén, de a benne lévő változók könnyen szétválaszthatók. Igen van néhány!

Az „elválaszthatóság” ellenőrzése után cserét végzünk, és amennyire csak lehetséges, egyszerűsítjük az egyenletet:

A változókat szétválasztjuk, a bal oldalra összegyűjtjük a „te”-t, jobbra az „x”-et:

És itt STOP. -vel való osztásakor azt kockáztatjuk, hogy egyszerre két funkciót veszítünk el. Mivel , ezek a funkciók:

Az első függvény nyilvánvalóan az egyenlet megoldása . Ellenőrizzük a másodikat - a származékát is behelyettesítjük a diffúzorunkba:

– kapott igazi egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a függvény megoldás.

ÉS kockáztatjuk, hogy elveszítjük ezeket a döntéseket.

Ezenkívül a nevező „X” lett, azonban a csere azt jelenti, hogy nem nulla. Emlékezz erre a tényre. De! Mindenképpen ellenőrizze, az EREDETI differenciálegyenlet megoldása. A nem az nem.

Vegyük mindezt tudomásul, és folytassuk:

Meg kell mondanom, szerencsém volt a bal oldal integráljával, sokkal rosszabb is lehet.

Egyetlen logaritmust gyűjtünk a jobb oldalon, és levesszük a bilincseket:

És most csak a fordított csere:

Szorozzuk meg az összes kifejezést a következővel:

Most ellenőriznie kell... hogy a „veszélyes” megoldások szerepeltek-e az általános integrálban. Igen, mindkét megoldás bekerült az általános integrálba a konstans nulla értékén: , így ezeket nem kell külön feltüntetni válasz:

általános integrál:

Vizsgálat. Nem is próba, hanem tiszta élvezet :)

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy a megoldást helyesen találtuk meg.

A megoldás saját kezűleg:

4. példa

Végezzen homogenitási tesztet és oldja meg a differenciálegyenletet

Ellenőrizze az általános integrált differenciálással.

Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Nézzünk meg néhány példát, amikor kész differenciálokkal adunk meg egy homogén egyenletet.

5. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Ez nagyon érdekes példa, csak egy egész thriller!

Megoldás Meg fogjuk szokni a kompaktabb tervezést. Először gondolatban vagy vázlaton megbizonyosodunk arról, hogy a változókat itt nem lehet szétválasztani, majd elvégzünk egy homogenitási tesztet - ezt általában nem végleges vázlaton végezzük el. (hacsak nincs külön igény). Így a megoldás szinte mindig a következő bejegyzéssel kezdődik: „ Ez az egyenlet homogén, cseréljük le: ...».

Ha egy homogén egyenlet kész differenciálokat tartalmaz, akkor az egy módosított helyettesítéssel megoldható:

De nem javaslom az ilyen helyettesítést, mivel az nagyszerűt eredményez Kínai fal differenciálművek, ahol szemre és szemre van szüksége. Technikai szempontból előnyösebb a derivált „szaggatott” megjelölésére váltani, ehhez az egyenlet összes tagját elosztjuk:

És itt már véghez is vittünk egy „veszélyes” átalakulást! A nulla differenciál a tengellyel párhuzamos egyenesek családjának felel meg. Ők a DU gyökerei? Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe:

Ez az egyenlőség akkor érvényes, ha, vagyis ha osztva kockáztattuk a megoldás elvesztését, és elvesztettük őt- mióta már nem elégít ki a kapott egyenlet .

Megjegyzendő, hogy ha mi alapvetően az egyenlet adott volt , akkor szó sem lenne a gyökérről. De megvan, és időben elkaptuk.

Folytatjuk a megoldást egy szabványos cserével:
:

A behelyettesítés után a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsítjük az egyenletet:

Különválasztjuk a változókat:

És itt megint STOP: ha osztunk vele, két funkció elvesztését kockáztatjuk. Mivel , ezek a funkciók:

Nyilvánvaló, hogy az első függvény az egyenlet megoldása . Ellenőrizzük a másodikat, és helyettesítsük a származékát:

– kapott igazi egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a függvény egyben a differenciálegyenlet megoldása is.

És ha osztunk vele, akkor kockáztatjuk, hogy elveszítjük ezeket a megoldásokat. Azonban beléphetnek az általános integrálba. De lehet, hogy nem lépnek be

Vegyük ezt tudomásul, és integráljuk mindkét részt:

A bal oldal integrálját szabványos módon oldjuk meg a segítségével egy teljes négyzet kiemelése, de sokkal kényelmesebb diffúzorokban használni bizonytalan együtthatók módszere:

A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust elemi törtek összegére bővítjük:


És így:

Az integrálok keresése:

– mivel csak logaritmusokat rajzoltunk, a konstanst is a logaritmus alá toljuk.

Csere előtt ismét leegyszerűsítve mindent, ami egyszerűsíthető:

A láncok visszaállítása:

És a fordított csere:

Most emlékezzünk az „elveszett dolgokra”: a megoldás az általános integrálba bekerült a -nál, de „elrepült a pénztárgép mellett”, mert kiderült a nevező. Ezért a válaszban külön kifejezést kap, és igen - ne feledkezzünk meg az elveszett megoldásról, amely mellesleg alább is kiderült.

Válasz:általános integrál: . További megoldások:

Nem olyan nehéz itt megfogalmazni az általános megoldást:
, de ez már egy mutogatás.

Ellenőrzésre azonban kényelmes. Keressük a származékot:

és helyettesíti V bal oldal egyenletek:

- ennek eredményeként kapott jobb rész egyenletek, amit ellenőrizni kellett.

A következő diffúzor önállóan működik:

6. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Próbáld itt egyúttal kifejezni az általános megoldást a gyakorláshoz.

A lecke utolsó részében megnézünk még néhányat jellemző feladatok ebben a témában:

7. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás: Menjünk végig a kitaposott úton. Ez az egyenlet homogén, cseréljük le:

Minden rendben van az „X”-szel, de itt van a baj másodfokú trinomikus? Mivel nem bontható faktorokra: , akkor biztosan nem veszítünk el megoldásokat. Ez mindig így lesz! Válassza ki a teljes négyzetet a bal oldalon, és integrálja:

Itt nincs mit leegyszerűsíteni, ezért a fordított csere:

Válasz:általános integrál:

8. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Így:

Az egyenlőtlen konverziók esetén MINDIG ellenőrizze (legalábbis szóban), Elveszted a megoldásaidat? Mik ezek az átalakulások? Jellemzően lerövidít vagy feloszt valamit. Így például az -el való osztásakor ellenőrizni kell, hogy a függvények megoldásai-e a differenciálegyenletre. Ugyanakkor a -val osztva már nincs szükség ilyen ellenőrzésre - mivel ez az osztó nem megy nullára.

Íme egy másik veszélyes helyzet:

Itt a -tól megszabadulva ellenőriznie kell, hogy a DE megoldás-e. Gyakran „x” és „y” ilyen szorzót használnak, és ezek csökkentésével olyan függvényeket veszítünk el, amelyek megoldásnak bizonyulhatnak.

Másrészt, ha valami KEZDETIBEN benne van a nevezőben, akkor nincs ok az aggodalomra. Így egy homogén egyenletben nem kell aggódnia a függvény miatt, mivel az a nevezőben van „deklarálva”.

A felsorolt ​​finomságok nem veszítik el relevanciájukat, még akkor sem, ha a probléma csak egy adott megoldást igényel. Van, bár kicsi az esélye, hogy pontosan a kívánt megoldást veszítjük el. Ez igaz Cauchy probléma V gyakorlati feladatokat homogén egyenletekkel elég ritkán kérik. A cikkben azonban vannak ilyen példák Homogénre redukáló egyenletek, melynek tanulmányozását javaslom „forrósan a sarkon” a megoldási készség erősítésére.

Vannak bonyolultabb homogén egyenletek is. A nehézség nem a változók megváltoztatásában vagy leegyszerűsítésében rejlik, hanem a változók szétválasztása következtében kialakuló meglehetősen nehéz vagy ritka integrálokban. Vannak példáim az ilyen homogén egyenletek megoldására – ijesztő integrálok és ijesztő válaszok. De nem beszélünk róluk, mert a következő leckékben (lásd alább) Még van időm megkínozni, frissen és optimistán akarlak látni!

Boldog promóciót!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás: Ellenőrizzük az egyenlet homogenitását, erre a célra az eredeti egyenletben ahelyett helyettesítsük, és ahelyett cseréljük ki:

Ennek eredményeként az eredeti egyenletet kapjuk, ami azt jelenti, hogy ez a DE homogén.

Meghívjuk az f(x,y) függvényt homogén funkció n dimenziójú argumentumaiból, ha az azonosság igaz f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Például az f(x,y)=x^2+y^2-xy függvény az homogén funkció második dimenzió, hiszen

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Ha n=0, akkor nulla dimenziójú függvényünk van. Például, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) egy nulla dimenziójú homogén függvény, mivel

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Az alak differenciálegyenlete \frac(dy)(dx)=f(x,y) homogénnek mondjuk x és y vonatkozásában, ha f(x,y) a nulldimenziós argumentumainak homogén függvénye. Egy homogén egyenlet mindig ábrázolható

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Az új, szükséges u=\frac(y)(x) függvény bevezetésével az (1) egyenlet egy elválasztó változókkal rendelkező egyenletté redukálható:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Ha u=u_0 a \varphi(u)-u=0 egyenlet gyöke, akkor a homogén egyenlet megoldása u=u_0 vagy y=u_0x (az origón áthaladó egyenes).

Megjegyzés. A homogén egyenletek megoldása során nem szükséges redukálni őket (1) formára. Azonnal elvégezheti az y=ux helyettesítést.

1. példa Homogén egyenlet megoldása xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Megoldás.Írjuk fel az egyenletet a formába y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}így ez az egyenlet homogénnek bizonyul x és y vonatkozásában. Tegyük fel u=\frac(y)(x) , vagy y=ux . Ezután y"=xu"+u . Ha y és y" kifejezéseket behelyettesítünk az egyenletbe, azt kapjuk x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Különválasztjuk a változókat: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Innentől integrálással találjuk meg

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), vagy \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Mivel C_1|x|=\pm(C_1x) , akkor a \pm(C_1)=C jelölésével kapjuk \arcsin(u)=\ln(Cx), Ahol |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) vagy e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Az u-t \frac(y)(x)-re cserélve megkapjuk az általános integrált \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Ezért az általános megoldás: y=x\sin\ln(Cx) .

A változók szétválasztásánál az egyenlet mindkét oldalát elosztottuk az x\sqrt(1-u^2) szorzattal, így elveszíthetjük a megoldást, amitől ez a szorzat eltűnik.

Most állítsuk be az x=0 és \sqrt(1-u^2)=0 értékeket. De x\ne0 az u=\frac(y)(x) behelyettesítés miatt, és a \sqrt(1-u^2)=0 relációból azt kapjuk, hogy 1-\frac(y^2)(x^2)=0, ahonnan y=\pm(x) . Közvetlen ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy az y=-x és y=x függvények is megoldások adott egyenlet.

2. példa Tekintsük egy homogén egyenlet C_\alpha integrálgörbéinek családját y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Mutassuk meg, hogy a homogén differenciálegyenlet által meghatározott görbék megfelelő pontjaiban lévő érintők párhuzamosak egymással.

Jegyzet: Majd hívjuk megfelelő a C_\alpha görbék azon pontjai, amelyek ugyanazon a sugáron fekszenek, amely az origóból származik.

Megoldás. A megfelelő pontok definíciója alapján rendelkezünk \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), tehát magának az egyenletnek köszönhetően y"=y"_1, ahol y" és y"_1 - lejtőkön a C_\alpha és C_(\alpha_1) integrálgörbék érintői az M és M_1 pontokban (12. ábra).

Homogénre redukáló egyenletek

A. Tekintsük az alak differenciálegyenletét

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

ahol a,b,c,a_1,b_1,c_1 konstansok, f(u) pedig folyamatos funkcióérve u.

Ha c=c_1=0, akkor a (3) egyenlet homogén, és a fentiek szerint integrálódik.

Ha a c,c_1 számok legalább egyike eltér nullától, akkor két esetet kell megkülönböztetni.

1) Meghatározó \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Új \xi és \eta változókat bevezetve az x=\xi+h,~y=\eta+k képletek szerint, ahol h és k még meghatározatlan állandók, a (3) egyenletet a következőre redukáljuk

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\jobb).

A h és k kiválasztása a rendszer megoldásaként lineáris egyenletek

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

homogén egyenletet kapunk \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Miután megtaláltuk az általános integrált, és lecseréltük benne a \xi-t x-h-ra, az \etát pedig az y-k-ra, megkapjuk a (3) egyenlet általános integrálját.

2) Meghatározó \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Rendszer (4) be általános eset nincs megoldása, és a fent vázolt módszer nem alkalmazható; ebben az esetben \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, ezért a (3) egyenlet alakja \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). A z=ax+by behelyettesítés elválasztható változókat tartalmazó egyenlethez vezet.

3. példa Oldja meg az egyenletet (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Megoldás. Tekintsünk egy lineáris rendszert algebrai egyenletek \begin(esetek)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(esetek)

Ennek a rendszernek a meghatározója \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

A rendszernek van egyetlen döntés x_0=-1, ~y_0=3 . Cseréljük az x=\xi-1,~y=\eta+3 . Ekkor az (5) egyenlet alakját veszi fel

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Ez az egyenlet egy homogén egyenlet. A \eta=u\xi beállítást kapjuk

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, ahol (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Változók elválasztása \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Integrálva találjuk \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) vagy \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Térjünk vissza az x,~y változókhoz:

(x+1)^2\left=C_1 vagy x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

4. példa Oldja meg az egyenletet (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Megoldás. Lineáris algebrai egyenletrendszer \begin(esetek)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(esetek)összeegyeztethetetlen. Ebben az esetben az előző példában használt módszer nem megfelelő. Az egyenlet integrálásához az x+y=z, dy=dz-dx helyettesítést használjuk. Az egyenlet a következő alakot veszi fel

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

A változókat szétválasztva azt kapjuk

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 ezért x-2z-3\ln|z-2|=C.

Visszatérve az x,~y változókra, megkapjuk ennek az egyenletnek az általános integrálját

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Néha az egyenlet homogénné tehető az y=z^\alpha változó lecserélésével. Ez akkor fordul elő, ha az egyenletben szereplő összes tag azonos dimenziójú, ha az x változóhoz az 1. dimenzió, az y változóhoz \alpha dimenzió és a \frac(dy)(dx) - dimenzió \alpha-1 deriváltja van hozzárendelve.

5. példa Oldja meg az egyenletet (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Megoldás. Csere elvégzése y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, ahol \alpha while tetszőleges szám, amelyet később választunk. Ha y és dy kifejezéseket behelyettesítünk az egyenletbe, azt kapjuk

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 vagy \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Vegye figyelembe, hogy az x^2z^(3\alpha-1) dimenzióval rendelkezik 2+3\alpha-1=3\alpha+1, A z^(\alpha-1) mérete \alpha-1 , az xz^(3\alpha) dimenziója 1+3\alpha . A kapott egyenlet akkor lesz homogén, ha az összes tag mérése azonos, pl. ha a feltétel teljesül 3\alpha+1=\alpha-1, vagy \alpha-1 .

Tegyük fel y=\frac(1)(z) ; az eredeti egyenlet felveszi a formát

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 vagy (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Tegyük most fel z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Ekkor ez az egyenlet felveszi a formát (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, ahol u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

A változók szétválasztása ebben az egyenletben \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrálva találjuk

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) vagy \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Ha u-t \frac(1)(xy) -re cserélünk, megkapjuk az 1+x^2y^2=Cy egyenlet általános integrálját.

Az egyenletnek van egy kézenfekvő megoldása is y=0, amit a C\to\infty általános integrálból kapunk, ha az integrált alakba írjuk y=\frac(1+x^2y^2)(C), majd lépjen a C\to\infty határértékre. Így az y=0 függvény egy konkrét megoldás eredeti egyenlet.

A Javascript le van tiltva a böngészőjében.
A számítások elvégzéséhez engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!

Egy I. rendű homogén differenciálegyenlet megoldásához használjuk az u=y/x behelyettesítést, vagyis u egy új, x-től függő ismeretlen függvény. Ezért y=ux. Az y’ deriváltot a szorzatdifferenciálási szabály segítségével találjuk meg: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (mivel x’=1). A jelölés másik formája: dy = udx + xdu A behelyettesítés után leegyszerűsítjük az egyenletet, és elválasztható változókkal rendelkező egyenlethez jutunk.

Példák I. rendű homogén differenciálegyenletek megoldására.

1) Oldja meg az egyenletet!

Ellenőrizzük, hogy ez az egyenlet homogén-e (lásd: Homogén egyenlet meghatározása). Miután meggyőződtünk, végrehajtjuk az u=y/x cserét, amelyből y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Helyettesítő: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Mivel a szorzat logaritmusa egyenlő az összeggel logaritmusok, ln(ux)=lnu+lnx. Innen

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Miután hozta hasonló kifejezések: u’x+u=u(1+lnu). Most nyissa ki a zárójeleket

u'x+u=u+u·lnu. Mindkét oldal u-t tartalmaz, ezért u’x=u·lnu. Mivel u x függvénye, u’=du/dx. Cseréljük

Kaptunk egy elválasztható változókkal rendelkező egyenletet. A változókat úgy választjuk el, hogy mindkét részt megszorozzuk dx-el és elosztjuk x·u·lnu-val, feltéve, hogy az x·u·lnu≠0 szorzat

Integráljunk:

A bal oldalon egy asztali integrál található. A jobb oldalon a t=lnu helyettesítést végezzük, ahonnan dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. De már megbeszéltük, hogy az ilyen egyenletekben kényelmesebb az ln│C│-t venni C helyett. Akkor

ln│t│=ln│x│+ln│C│. A logaritmusok tulajdonsága szerint: ln│t│=ln│Сx│. Ezért t=Cx. (feltétel szerint, x>0). Itt az ideje a fordított helyettesítésnek: lnu=Cx. És még egy fordított csere:

A logaritmus tulajdonságai szerint:

Ez az egyenlet általános integrálja.

Felidézzük az x·u·lnu≠0 szorzat feltételét (és ezért x≠0,u≠0, lnu≠0, ahonnan u≠1). De a feltételből x≠0 marad u≠1, tehát x≠y. Nyilvánvaló, hogy az y=x (x>0) szerepel az általános megoldásban.

2) Határozzuk meg az y’=x/y+y/x egyenlet parciális integrálját, amely teljesül az y(1)=2 kezdeti feltételeknek!

Először is ellenőrizzük, hogy ez az egyenlet homogén-e (bár az y/x és x/y tagok jelenléte már közvetve ezt jelzi). Ezután elvégezzük az u=y/x cserét, amiből y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az egyenletbe:

u'x+u=1/u+u. Egyszerűsítsünk:

u'x=1/u. Mivel u x függvénye, u’=du/dx:

Kaptunk egy elválasztható változókkal rendelkező egyenletet. A változók szétválasztásához mindkét oldalt megszorozzuk dx-szel és u-val, és elosztjuk x-szel (x≠0 feltétellel, tehát u≠0 is, ami azt jelenti, hogy nincs megoldásveszteség).

Integráljunk:

és mivel mindkét oldal táblázatos integrálokat tartalmaz, azonnal megkapjuk

A fordított cserét végezzük:

Ez az egyenlet általános integrálja. Használjuk az y(1)=2 kezdeti feltételt, azaz behelyettesítjük y=2, x=1 értékkel a kapott megoldásba:

3) Határozza meg a homogén egyenlet általános integrálját:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Csere u=y/x, innen y=ux, dy=xdu+udx. Cseréljük:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Kivesszük x²-et a zárójelekből, és elosztjuk vele mindkét részt (feltéve, hogy x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Nyissa ki a zárójeleket, és egyszerűsítse:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Csoportosítjuk a feltételeket du és dx karakterekkel:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Kivesszük közös tényezők zárójelen kívül:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Különválasztjuk a változókat:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Ehhez az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk xu(u²+1)≠0-val (ennek megfelelően összeadjuk az x≠0 (már megjegyezve), u≠0) követelményeket:

Integráljunk:

Az egyenlet jobb oldalán egy táblázatos integrál található, racionális tört a bal oldalon prímtényezőkké alakítjuk:

(vagy a második integrálban a differenciáljel helyettesítése helyett a t=1+u², dt=2udu cserét lehetett elvégezni - kinek melyik metódus tetszik jobban). Kapunk:

A logaritmus tulajdonságai szerint:

Fordított csere

Emlékezzünk az u≠0 feltételre. Ezért y≠0. Ha C=0 y=0, ez azt jelenti, hogy nincs megoldásveszteség, és y=0 benne van az általános integrálban.

Megjegyzés

Más formában írt megoldást kaphat, ha a kifejezést x-szel hagyja a bal oldalon:

Az integrálgörbe geometriai jelentése ebben az esetben egy olyan körcsalád, amelynek középpontja az Oy tengelyen van, és az origón halad át.

Önellenőrző feladatok:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenlet homogén-e, majd elvégezzük az u=y/x cserét, ahonnan y=ux, dy=xdu+udx. Helyettesítse be a következő feltételt: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk x²≠0-val, a következőt kapjuk: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Ezért dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Leegyszerűsítve a következőt kapjuk: dx-xudu=0. Ezért xudu=dx, udu=dx/x. Integráljuk mindkét részt:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete