Mekkora az egyenes lejtése? Hogyan lehet megtalálni a lejtőt

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy lépjen kapcsolatba vele.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és Közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra az általunk nyújtott szolgáltatások javítása és a szolgáltatásainkkal kapcsolatos ajánlások biztosítása érdekében.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresés vagy kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A függvény deriváltja az egyik nehéz témák V iskolai tananyag. Nem minden diplomás fog válaszolni arra a kérdésre, hogy mi a származék.

Ez a cikk egyszerűen és világosan elmagyarázza, mi az a származékos termék, és miért van rá szükség.. Az előadásban most nem törekszünk matematikai szigorra. A legfontosabb, hogy megértsük a jelentését.

Emlékezzünk a meghatározásra:

A derivált egy függvény változási sebessége.

Az ábrán három függvény grafikonja látható. Szerinted melyik nő gyorsabban?

A válasz nyilvánvaló - a harmadik. Neki van a legtöbb Magassebesség változásokat, vagyis a legnagyobb származékot.

Íme egy másik példa.

Kostya, Grisha és Matvey egyszerre kapott munkát. Nézzük meg, hogyan változott a bevételük az év során:

A grafikon mindent egyszerre mutat, nem? Kostya bevétele hat hónap alatt több mint kétszeresére nőtt. És Grisha bevétele is nőtt, de csak egy kicsit. És Matvey jövedelme nullára csökkent. A kiindulási feltételek ugyanazok, de a függvény változási sebessége, azaz derivált, - különböző. Ami Matveyt illeti, a származtatott jövedelme általában negatív.

Intuitív módon könnyen megbecsülhetjük egy függvény változási sebességét. De hogyan tegyük ezt?

Valójában azt nézzük, hogy egy függvény grafikonja milyen meredeken megy felfelé (vagy lefelé). Más szóval, milyen gyorsan változik y, amikor x változik? Nyilvánvalóan ugyanaz a funkció különböző pontokat lehet eltérő jelentése származéka – vagyis gyorsabban vagy lassabban változhat.

Egy függvény deriváltját jelöljük.

Megmutatjuk, hogyan találhatja meg grafikon segítségével.

Valamelyik függvény grafikonja készült. Vegyünk egy pontot, amelyen abszcissza van. Rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára ezen a ponton. Meg akarjuk becsülni, milyen meredeken emelkedik a függvénygrafikon. Ennek kényelmes értéke az az érintőszög érintője.

Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára ebben a pontban húzott érintőszög érintőjével.

Felhívjuk figyelmét - az érintő dőlésszögeként az érintő és az érintő közötti szöget vesszük pozitív irány tengelyek

Néha a tanulók megkérdezik, hogy mi az érintője egy függvény grafikonjának. Ez egy egyenes vonal ez a terület az egyetlen közös pont grafikonnal, és az ábránkon látható módon. Úgy néz ki, mint egy kör érintője.

Találjuk meg. Emlékszünk erre az érintőre hegyesszög V derékszögű háromszög egyenlő az aránnyal a szomszédos oldallal ellentétes oldalon. A háromszögből:

A deriváltot egy gráf segítségével találtuk meg anélkül, hogy a függvény képletét is ismertük volna. Ilyen problémák gyakran találhatók a matematika egységes államvizsgáján a szám alatt.

Van még egy fontos kapcsolat. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenest az egyenlet adja meg

Az ebben az egyenletben szereplő mennyiséget ún egy egyenes lejtése. Ez egyenlő az egyenes tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintőjével.

.

Ezt értjük

Emlékezzünk erre a képletre. Kifejezi geometriai jelentése derivált.

Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára az adott pontban húzott érintő meredekségével.

Más szóval, a derivált egyenlő az érintőszög érintőjével.

Már említettük, hogy ugyanannak a függvénynek különböző pontokon különböző deriváltjai lehetnek. Nézzük meg, hogyan kapcsolódik a derivált a függvény viselkedéséhez.

Rajzoljuk meg valamelyik függvény grafikonját. Hagyja, hogy ez a függvény egyes területeken növekedjen, másokon csökkenjen, és ezzel együtt különböző sebességgel. És legyen ennek a függvénynek maximum és minimum pontja.

Egy ponton a függvény növekszik. A pontban megrajzolt gráf érintője hegyesszöget alkot; pozitív tengelyiránnyal. Ez azt jelenti, hogy a pont deriváltja pozitív.

Ezen a ponton a funkciónk csökken. Az érintő ezen a ponton tompaszöget képez; pozitív tengelyiránnyal. Érintő óta tompaszög negatív, abban a pontban a derivált negatív.

Íme, mi történik:

Ha egy függvény növekszik, a deriváltja pozitív.

Ha csökken, a deriváltja negatív.

Mi fog történni a maximális és minimális pontoknál? Látjuk, hogy a pontokban (maximum pont) és (minimális pont) az érintő vízszintes. Ezért ezekben a pontokban az érintőszög érintője egyenlő nullával, és a derivált is nulla.

Pont - maximális pont. Ezen a ponton a függvény növekedését csökkenés váltja fel. Következésképpen a derivált előjele a ponton „pluszról” mínuszra változik.

A ponton - a minimum ponton - a derivált is nulla, de előjele „mínuszról” „pluszra” változik.

Következtetés: a derivált segítségével mindent megtudhatunk egy függvény viselkedéséről, ami érdekel.

Ha a derivált pozitív, akkor a függvény növekszik.

Ha a derivált negatív, akkor a függvény csökken.

A maximális ponton a derivált nulla, és az előjelet „plusz”-ról „mínuszra” változtatja.

A minimum ponton a derivált is nulla, és az előjelet „mínusz”-ról „pluszra” változtatja.

Írjuk le ezeket a következtetéseket táblázat formájában:

Tegyünk két apró pontosítást. A probléma megoldásához ezekre lesz szüksége. Egy másik - az első évben, a függvények és származékok komolyabb vizsgálatával.

Lehetséges, hogy egy függvény deriváltja egy ponton nullával egyenlő, de a függvénynek ezen a ponton nincs sem maximuma, sem minimuma. Ez az ún :

Egy ponton a gráf érintője vízszintes, a derivált pedig nulla. A pont előtt azonban a függvény nőtt - a pont után pedig tovább növekszik. A származék előjele nem változik - pozitív marad, ahogy volt.

Az is előfordul, hogy a maximum vagy minimum pontján a derivált nem létezik. A grafikonon ez egy éles törésnek felel meg, amikor egy adott pontban nem lehet érintőt rajzolni.

Hogyan találjuk meg a deriváltot, ha a függvényt nem gráf, hanem képlet adja meg? Ebben az esetben érvényes

A matematikában a vonal helyzetét leíró paraméterek egyike Descartes sík koordináták az lejtő ezt az egyenest. Ez a paraméter jellemzi az egyenes lejtését az abszcissza tengelyhez képest. Ahhoz, hogy megértsük, hogyan találjuk meg a lejtőt, először idézzük fel az egyenes egyenletének általános formáját az XY koordinátarendszerben.

BAN BEN Általános nézet bármely egyenes ábrázolható az ax+by=c kifejezéssel, ahol a, b és c tetszőlegesek valós számok, de szükségszerűen a 2 + b 2 ≠ 0.

Egyszerű transzformációkkal egy ilyen egyenlet y=kx+d alakba hozható, amelyben k és d valós számok. A k szám a meredekség, és az ilyen típusú egyenes egyenletét meredekségű egyenletnek nevezzük. Kiderült, hogy a lejtő megtalálásához csak hozni kell eredeti egyenlet a fenti típushoz. A teljesebb megértés érdekében vegyünk egy konkrét példát:

Feladat: Határozzuk meg a 36x - 18y = 108 egyenlet által megadott egyenes meredekségét

Megoldás: Alakítsuk át az eredeti egyenletet.

Válasz: Ennek az egyenesnek a szükséges meredeksége 2.

Ha az egyenlet transzformációja során olyan kifejezést kaptunk, hogy x = const, és ennek eredményeként y-t nem tudjuk x függvényében ábrázolni, akkor az X tengellyel párhuzamos egyenessel van dolgunk egy egyenes egyenlő a végtelennel.

Az olyan egyenlettel kifejezett egyeneseknél, mint az y = const, a meredekség nulla. Ez jellemző az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenesekre. Például:

Feladat: Határozzuk meg a 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 egyenlettel megadott egyenes meredekségét

Megoldás: Hozzuk az eredeti egyenletet általános alakjába

24x + 12 év - 12 év + 28 = 4

A kapott kifejezésből lehetetlen y-t kifejezni, ezért ennek az egyenesnek a szögegyütthatója egyenlő a végtelennel, és maga az egyenes párhuzamos lesz az Y tengellyel.

Geometriai jelentés

A jobb megértés érdekében nézzük meg a képet:

Az ábrán egy y = kx függvény grafikonját látjuk. Az egyszerűsítés kedvéért vegyük a c = 0 együtthatót. Az OAB háromszögben a BA oldal és az AO aránya egyenlő lesz a k szögegyütthatóval. Ugyanakkor a BA/AO arány az α hegyesszög érintője az OAB derékszögű háromszögben. Kiderült, hogy az egyenes szögegyütthatója egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet ez az egyenes a koordináta-rács abszcissza tengelyével bezár.

Megoldva azt a feladatot, hogy hogyan találjuk meg egy egyenes szögegyütthatóját, megkeressük az egyenes és a koordinátarács X tengelye közötti szög érintőjét. A határesetek, amikor a kérdéses egyenes párhuzamos a koordinátatengelyekkel, megerősítik a fentieket. Valójában az y=const egyenlettel leírt egyenes esetében a szög az abszcissza tengelye között nulla. A nulla szög érintője is nulla és a meredekség is nulla.

Az x tengelyre merőleges és az x=const egyenlettel leírt egyeneseknél a köztük és az X tengely között bezárt szög 90 fok. Tangens derékszög egyenlő a végtelennel, és a hasonló egyenesek szögegyütthatója is egyenlő a végtelennel, ami megerősíti a fent leírtakat.

Érintő lejtő

A gyakorlatban gyakran előforduló feladat az is, hogy egy függvény grafikonjához tartozó érintő meredekségét egy adott pontban megtaláljuk. Az érintő egy egyenes, ezért a meredekség fogalma rá is alkalmazható.

Ahhoz, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg az érintő meredekségét, fel kell idéznünk a derivált fogalmát. Bármely függvény deriváltja egy adott pontban egy konstans, amely számszerűen egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amely a függvény grafikonjának adott pontjában lévő érintője és az abszcissza tengelye között képződik. Kiderült, hogy az érintő szögegyütthatójának meghatározásához az x 0 pontban ki kell számítanunk a derivált értékét eredeti funkció ezen a ponton k = f"(x 0). Nézzük a példát:

Feladat: Határozzuk meg az y = 12x 2 + 2xe x függvényt érintő érintő egyenes meredekségét x = 0,1-nél.

Megoldás: Keresse meg az eredeti függvény deriváltját általános formában

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Válasz: A szükséges meredekség az x = 0,1 pontban 4,831

A lejtő egyenes. Ebben a cikkben a matematika egységes államvizsgájában szereplő koordinátasíkkal kapcsolatos problémákat nézzük meg. Ezek a feladatok:

— egy egyenes szögegyütthatójának meghatározása, ha ismert két olyan pont, amelyen áthalad;
— két egyenes metszéspontjának abszcissza vagy ordináta meghatározása egy síkon.

Ebben a részben leírtuk, hogy mi egy pont abszcissza és ordinátája. Ebben már több, a koordinátasíkkal kapcsolatos problémát is megvizsgáltunk. Mit kell értenie a vizsgált probléma típusához? Egy kis elmélet.

Egy egyenes egyenlete Koordináta sík a következő formában van:

Ahol k – ez a vonal meredeksége.

Következő pillanat! Közvetlen lejtő egyenlő az érintővel egyenes dőlésszöge. Ez egy adott egyenes és a tengely közötti szögÓ.

0 és 180 fok között mozog.

Vagyis ha az egyenes egyenletét a formára redukáljuk y = kx + b, akkor mindig meg tudjuk határozni a k ​​együtthatót (meredekségi együttható).

Továbbá, ha a feltétel alapján meg tudjuk határozni az egyenes dőlésszögének érintőjét, akkor ezáltal megtaláljuk a szögegyütthatóját.

Következő elméleti pont!Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete.A képlet így néz ki:

Tekintsük a problémákat (hasonló a problémákhoz nyitott bank feladatok):

Határozzuk meg a (–6;0) és (0;6) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Ebben a feladatban a legracionálisabb megoldás, ha megtaláljuk az x tengely és az adott egyenes közötti szög érintőjét. Ismeretes, hogy egyenlő a lejtővel. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelyet egy egyenes és az x és oy tengely alkot:

A derékszögű háromszög szögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya:

*Mindkét láb hat (ez a hosszuk).

Biztosan, ez a feladat két adott ponton átmenő egyenes egyenletének megtalálására szolgáló képlet segítségével oldható meg. De ez egy hosszabb megoldás lesz.

Válasz: 1

Határozzuk meg az (5;0) és (0;5) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Pontjaink (5;0) és (0;5) koordinátákkal rendelkeznek. Eszközök,

Hozzuk a képletet a formába y = kx + b

Azt találtuk, hogy a lejtő k = – 1.

Válasz: -1

Egyenes a(0;6) és (8;0) koordinátájú pontokon halad át. Egyenes báthalad a (0;10) koordinátájú ponton, és párhuzamos az egyenessel a b tengellyel ó.

Ebben a feladatban megtalálhatja az egyenes egyenletét a, határozza meg a lejtést. Az egyenes vonalon b a meredekség azonos lesz, mivel párhuzamosak. Ezután megtalálhatja az egyenes egyenletét b. Ezután az y = 0 értéket behelyettesítve keressük meg az abszcisszát. DE!

BAN BEN ebben az esetben, könnyebben használható a háromszögek hasonlóságának tulajdonsága.

Az ezen (párhuzamos) egyenesek és koordinátatengelyek által alkotott derékszögű háromszögek hasonlóak, ami azt jelenti, hogy a hozzájuk tartozó oldalak aránya egyenlő.

A szükséges abszcissza 40/3.

Válasz: 40/3

Egyenes a(0;8) és (–12;0) koordinátájú pontokon halad át. Egyenes báthalad a (0; –12) koordinátájú ponton, és párhuzamos az egyenessel a. Keresse meg az egyenes metszéspontjának abszcisszáját! b tengellyel ó.

Ennél a feladatnál a legracionálisabb megoldás a háromszögek hasonlóságának a tulajdonsága. De mi másképp fogjuk megoldani.

Ismerjük azokat a pontokat, amelyeken az egyenes áthalad A. Írhatunk egyenletet egy egyenesre. A két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének képlete a következő:

Feltétel szerint a pontok koordinátái (0;8) és (–12;0) vannak. Eszközök,

Juttassuk eszünkbe y = kx + b:

Megvan az a sarok k = 2/3.

*A szögegyütthatót a szög érintőjén keresztül lehetett megtalálni egy derékszögű háromszögben, amelynek szárai 8 és 12.

Ismeretes, hogy a párhuzamos egyeneseknek egyenlő szögegyütthatója van. Ez azt jelenti, hogy a (0;-12) ponton átmenő egyenes egyenlete a következő:

Keresse meg az értéket b behelyettesíthetjük az abszcisszát és ordinálhatjuk az egyenletbe:

Így az egyenes vonal így néz ki:

Most, hogy megtalálja az egyenes és az x tengellyel metszéspont kívánt abszcisszáját, be kell cserélnie y = 0-t:

Válasz: 18

Keresse meg a tengely metszéspontjának ordinátáját óés egy egyenes, amely átmegy a B(10;12) ponton, és párhuzamos az origón és az A(10;24) ponton átmenő egyenessel.

Határozzuk meg a (0;0) és (10;24) koordinátájú pontokon áthaladó egyenes egyenletét.

A két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének képlete a következő:

Pontjaink (0;0) és (10;24) koordinátákkal rendelkeznek. Eszközök,

Juttassuk eszünkbe y = kx + b

A párhuzamos egyenesek szögegyütthatói egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy a B(10;12) ponton átmenő egyenes egyenlete a következő:

Jelentése b Határozzuk meg úgy, hogy a B(10;12) pont koordinátáit behelyettesítjük ebbe az egyenletbe:

Megkaptuk az egyenes egyenletét:

Megtalálni ennek az egyenesnek a tengellyel való metszéspontjának ordinátáját OU be kell cserélni a talált egyenletbe x= 0:

*A legegyszerűbb megoldás. Segítségével párhuzamos átvitel mozgassa ezt a vonalat lefelé a tengely mentén OU ponthoz (10;12). Az eltolódás 12 egységgel történik, vagyis az A(10;24) pont a B(10;12) pontba, az O(0;0) pont a (0;–12) pontba „átkerült”. Ez azt jelenti, hogy a kapott egyenes metszi a tengelyt OU pontban (0;–12).

A szükséges ordináta –12.

Válasz: -12

Keresse meg az egyenes metszéspontjának ordinátáját, egyenlettel adott

3x + 2u = 6, tengellyel Oy.

Egy adott egyenes és egy tengellyel való metszéspont koordinátája OU alakja (0; nál nél). Helyettesítsük be az abszcisszát az egyenletbe x= 0, és keresse meg az ordinátát:

Az egyenes és a tengely metszéspontjának ordinátája OU egyenlő 3-mal.

*A rendszer megoldva:

Válasz: 3

Határozzuk meg az egyenletek által megadott egyenesek metszéspontjának ordinátáját!

3x + 2y = 6És y = – x.

Ha két egyenest adunk meg, és a kérdés ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megkeresése, akkor egy ilyen egyenletrendszert oldunk meg:

Az első egyenletben behelyettesítjük - x ahelyett nál nél:

Az ordináta egyenlő mínusz hattal.

Válasz: – 6

Határozzuk meg a (–2;0) és (0;2) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Határozzuk meg a (2;0) és (0;2) koordinátájú pontokon átmenő egyenes meredekségét!

Az a vonal (0;4) és (6;0) koordinátájú pontokon halad át. A b egyenes áthalad a (0;8) koordinátájú ponton, és párhuzamos az a egyenessel. Határozzuk meg a b egyenes és az Ox tengely metszéspontjának abszcisszáját.

Határozzuk meg az oy tengely és a B ponton átmenő egyenes metszéspontjának ordinátáját (6;4) és párhuzamosan az origón és A ponton átmenő egyenessel (6;8).

1. Világosan meg kell érteni, hogy az egyenes szögegyütthatója egyenlő az egyenes dőlésszögének érintőjével. Ez segít számos ilyen típusú probléma megoldásában.

2. Meg kell érteni a két adott ponton átmenő egyenes megtalálásának képletét. Segítségével mindig megtalálja egy egyenes egyenletét, ha a két pontjának koordinátái adottak.

3. Ne feledje, hogy a párhuzamos egyenesek meredeksége egyenlő.

4. Amint érti, bizonyos problémák esetén célszerű a háromszög hasonlósági funkciót használni. A problémákat gyakorlatilag szóban oldják meg.

5. Megoldhatók azok a feladatok, amelyekben két egyenes adott, és meg kell találni a metszéspontjuk abszcisszáját vagy ordinátáját grafikusan. Azaz építsd fel őket egy koordinátasíkra (egy négyzet alakú papírlapra), és határozd meg vizuálisan a metszéspontot. *Ez a módszer azonban nem mindig alkalmazható.

6. És végül. Ha egy egyenes és a koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátái adottak, akkor az ilyen feladatokban célszerű megtalálni a szögegyütthatót úgy, hogy megtaláljuk a szög érintőjét a kialakított derékszögű háromszögben. Az alábbiakban sematikusan bemutatjuk, hogyan lehet „látni” ezt a háromszöget a síkon különböző helyzetű egyenesekkel:

>> Egyenes szög 0 és 90 fok között<<

>> Egyenes szög 90-180 fok között<<

Ez minden. Sok szerencsét!

Üdvözlettel, Alexander.

P.S.: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Az y=f(x) egyenes akkor érinti az ábrán látható grafikont az x0 pontban, ha átmegy az (x0; f(x0)) koordinátájú ponton, és van egy f"(x0) szögegyütthatója. egy ilyen együttható, Ismerve az érintő jellemzőit, ez nem nehéz.

Szükséged lesz

• - matematikai kézikönyv;
• - egy egyszerű ceruza;
• - notebook;
• - szögmérő;
• - iránytű;
• - toll.

Utasítás

Ha az f‘(x0) érték nem létezik, akkor vagy nincs érintő, vagy függőlegesen fut. Ennek fényében a függvény deriváltjának jelenléte az x0 pontban abból adódik, hogy az (x0, f(x0) pontban a függvény grafikonjának nem függőleges érintője létezik). Ebben az esetben az érintő szögegyütthatója egyenlő lesz f "(x0). Így világossá válik a derivált geometriai jelentése - az érintő szögegyütthatójának kiszámítása.

Rajzoljon további érintőket, amelyek az x1, x2 és x3 pontokban érintkeznének a függvény grafikonjával, és jelölje meg az ezen érintők által alkotott szögeket is az x tengellyel (ezt a szöget a tengelytől a tangens vonal). Például a szög, azaz α1 hegyesszögű, a második (α2) tompaszögű, a harmadik (α3) pedig nulla, mivel az érintő egyenes párhuzamos az OX tengellyel. Ebben az esetben a tompaszög érintője negatív, a hegyesszög érintője pozitív, és tg0-nál az eredmény nulla.

jegyzet

Határozza meg helyesen az érintő által alkotott szöget. Ehhez használjon szögmérőt.

Hasznos tanács

Két ferde egyenes párhuzamos lesz, ha szögegyütthatójuk egyenlő egymással; merőleges, ha ezen érintők szögegyütthatóinak szorzata -1.

Források:

• Egy függvény grafikonjának érintője

A koszinusz, akárcsak a szinusz, a „közvetlen” trigonometrikus függvények közé tartozik. Az érintő (a kotangenssel együtt) egy másik, „származéknak” nevezett párnak minősül. Ezeknek a függvényeknek több definíciója is létezik, amelyek lehetővé teszik az azonos értékű ismert koszinuszérték által adott tangens megtalálását.

Utasítás

Vonjuk ki az egység hányadosát az adott szög koszinuszára emelt értékből, és az eredményből vonjuk ki a négyzetgyököt - ez lesz a szög érintőértéke, a koszinuszával kifejezve: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Vegye figyelembe, hogy a képletben a koszinusz a tört nevezőjében van. A nullával való osztás lehetetlensége kizárja ennek a kifejezésnek a használatát 90°-os szögeknél, valamint az ettől az értéktől a 180° többszörösei (270°, 450°, -90° stb.) számokkal eltérő szögeknél.

Van egy alternatív módszer az érintő kiszámítására ismert koszinusz értékből. Használható, ha nincs korlátozás mások használatára. Ennek a módszernek a megvalósításához először határozza meg a szögértéket egy ismert koszinusz értékből - ez megtehető az ív koszinusz függvény segítségével. Ezután egyszerűen számítsa ki a kapott érték szögének érintőjét. Általában ez az algoritmus a következőképpen írható fel: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Van egy egzotikus lehetőség is, amely a koszinusz és az érintő definícióját használja egy derékszögű háromszög hegyesszögein keresztül. Ebben a definícióban a koszinusz a szóban forgó szöggel szomszédos láb hosszának és a hipotenusz hosszának arányának felel meg. A koszinusz értékének ismeretében kiválaszthatja ennek a két oldalnak a megfelelő hosszát. Például, ha cos(α) = 0,5, akkor a szomszédos 10 cm-nek, az alsó rész pedig 20 cm-nek tekinthető. A konkrét számok itt nem számítanak - ugyanazokat és helyes számokat kapja minden azonos értékkel. Ezután a Pitagorasz-tétel segítségével határozza meg a hiányzó oldal hosszát - az ellenkező lábát. Ez egyenlő lesz a négyzetes hipotenusz és az ismert láb hossza közötti különbség négyzetgyökével: √(20²-10²)=√300. Definíció szerint az érintő megfelel az ellentétes és a szomszédos lábak hosszának arányának (√300/10) - számítsa ki, és kapja meg a talált érintő értéket a koszinusz klasszikus definíciójával.

Források:

• koszinusz az érintőképlet révén

Az egyik trigonometrikus függvény, amelyet leggyakrabban tg betűkkel jelölnek, bár a tan is használatos. Az érintőt a legegyszerűbben szinuszos arányban lehet ábrázolni szög koszinuszához. Ez egy páratlan periodikus és nem folytonos függvény, amelynek minden ciklusa egyenlő a Pi számmal, és a töréspont ennek a számnak a felének felel meg.