Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása: alapvető módszerek. Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek

Többségi döntés matematikai problémák valamilyen módon kapcsolódik a numerikus, algebrai vagy funkcionális kifejezések transzformációjához. A fentiek különösen érvényesek a döntésre. A matematika egységes államvizsga változataiban ez a típusú feladat különösen a C3 feladatot tartalmazza. A C3-as feladatok megoldásának megtanulása nemcsak abból a célból fontos sikeres teljesítés Egységes államvizsga, hanem azért is, mert ez a készség hasznos lesz a felsőoktatási matematika kurzus tanulása során.

A C3 feladatok elvégzésekor dönteni kell különböző fajták egyenletek és egyenlőtlenségek. Ezek között vannak racionális, irracionális, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, modulokat tartalmazó ( abszolút értékeket), valamint a kombinált is. Ez a cikk az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek főbb típusait tárgyalja, valamint különféle módszerek döntéseiket. Olvasson más típusú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásáról a C3-as problémák megoldási módszereivel foglalkozó cikkek „” részében. Egységes államvizsga lehetőségek matematika.

Mielőtt elkezdenénk elemezni a konkrét exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, matematika oktatóként azt javaslom, hogy ecseteljen néhányat elméleti anyag, amire szükségünk lesz.

Exponenciális függvény

Mi az exponenciális függvény?

Az űrlap funkciója y = egy x, Ahol a> 0 és a≠ 1-et hívnak exponenciális függvény.

Alapvető az exponenciális függvény tulajdonságai y = egy x:

Egy exponenciális függvény grafikonja

Az exponenciális függvény grafikonja az kitevő:

Exponenciális függvények grafikonjai (kitevők)

Exponenciális egyenletek megoldása

Tájékoztató olyan egyenleteknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változó csak néhány hatvány kitevőjében található.

Megoldásokért exponenciális egyenletek ismernie kell és tudnia kell használni a következő egyszerű tételt:

1. tétel. Exponenciális egyenlet a f(x) = a g(x) (Ahol a > 0, a≠ 1) ekvivalens az egyenlettel f(x) = g(x).

Ezen kívül hasznos emlékezni alapképletekés műveletek fokozatokkal:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: A fenti képleteket és helyettesítéseket használjuk:

Ekkor az egyenlet a következőképpen alakul:

A kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ez azt jelenti adott egyenlet két gyökere van. Megtaláljuk őket:

Továbblépve a fordított helyettesítésre, a következőket kapjuk:

A második egyenletnek nincs gyökere, mivel exponenciális függvény szigorúan pozitív az egész definíciós területen. Oldjuk meg a másodikat:

Az 1. Tételben elmondottakat figyelembe véve áttérünk az ekvivalens egyenletre: x= 3. Ez lesz a válasz a feladatra.

Válasz: x = 3.

2. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: korlátozások a területen elfogadható értékeket nincs egyenlet, mert radikális kifejezés bármilyen értéknek van értelme x(exponenciális függvény y = 9 4 -x pozitív és nem egyenlő nullával).

Az egyenletet úgy oldjuk meg ekvivalens transzformációk a szorzás és a hatalommegosztás szabályait alkalmazva:

Az utolsó átmenetet az 1. Tétel szerint hajtottuk végre.

Válasz:x= 6.

3. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: mindkét részt eredeti egyenlet osztható 0,2-vel x . Ez az átmenet egyenértékű lesz, mivel ez a kifejezés Nulla felett bármilyen értékben x(az exponenciális függvény definíciós tartományában szigorúan pozitív). Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

Válasz: x = 0.

4. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: az egyenletet elemire egyszerűsítjük ekvivalens transzformációk segítségével a cikk elején megadott hatványosztási és szorzási szabályok segítségével:

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 4-gyel x, mint az előző példában, egy ekvivalens transzformáció, mivel ezt a kifejezést egyik értéknél sem egyenlő nullával x.

Válasz: x = 0.

5. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: funkció y = 3x, amely az egyenlet bal oldalán áll, növekszik. Funkció y = —x Az egyenlet jobb oldalán lévő -2/3 csökken. Ez azt jelenti, hogy ha ezen függvények grafikonjai metszik egymást, akkor legfeljebb egy pont. BAN BEN ebben az esetben nem nehéz kitalálni, hogy a grafikonok a pontban metszik egymást x= -1. Nem lesz más gyökere.

Válasz: x = -1.

6. példa. Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: ekvivalens transzformációkkal egyszerűsítjük az egyenletet, mindenhol szem előtt tartva, hogy az exponenciális függvény bármilyen érték esetén szigorúan nagyobb nullánál xés a cikk elején megadott hatványok szorzatának és hányadosának kiszámítási szabályait alkalmazva:

Válasz: x = 2.

Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Tájékoztató Egyenlőtlenségeknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változót csak bizonyos hatványok kitevői tartalmazzák.

Megoldásokért exponenciális egyenlőtlenségek a következő tétel ismerete szükséges:

2. tétel. Ha a> 1, akkor az egyenlőtlenség a f(x) > a g(x) egyenértékű egy azonos jelentésű egyenlőtlenséggel: f(x) > g(x). Ha 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) ekvivalens egy ellenkező értelmű egyenlőtlenséggel: f(x) < g(x).

7. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás: Mutassuk be az eredeti egyenlőtlenséget a következő formában:

Osszuk el ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát 3 2-vel x, ebben az esetben (a függvény pozitivitása miatt y= 3 2x) az egyenlőtlenség jele nem változik:

Használjuk a helyettesítést:

Ekkor az egyenlőtlenség a következő formában jelenik meg:

Tehát az egyenlőtlenség megoldása az intervallum:

a fordított helyettesítésre lépve a következőket kapjuk:

Az exponenciális függvény pozitivitása miatt a bal oldali egyenlőtlenség automatikusan teljesül. Kihasználva ismert ingatlan logaritmus esetén továbblépünk az ekvivalens egyenlőtlenséghez:

Mivel a fokszám alapja egynél nagyobb szám, ekvivalens (a 2. tétel szerint) a következő egyenlőtlenségre való átmenet:

Szóval végre megérkeztünk válasz:

8. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás: A szorzás és a hatványosztás tulajdonságait felhasználva átírjuk az egyenlőtlenséget a következő alakba:

Vezessünk be egy új változót:

Ezt a helyettesítést figyelembe véve az egyenlőtlenség a következőképpen alakul:

A tört számlálóját és nevezőjét 7-tel megszorozva a következő ekvivalens egyenlőtlenséget kapjuk:

Tehát a változó következő értékei kielégítik az egyenlőtlenséget t:

Ezután a fordított helyettesítésre áttérve a következőket kapjuk:

Mert itt van a diploma alapja több mint egy, ekvivalens (a 2. tétel szerint) az átmenet az egyenlőtlenségre:

Végre megkapjuk válasz:

9. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk a következő kifejezéssel:

Mindig nagyobb, mint nulla (az exponenciális függvény pozitivitása miatt), így az egyenlőtlenség jelét nem kell megváltoztatni. Kapunk:

t az intervallumban található:

Továbblépve a fordított helyettesítésre, azt találjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenség két esetre oszlik:

Az első egyenlőtlenségnek az exponenciális függvény pozitivitása miatt nincs megoldása. Oldjuk meg a másodikat:

10. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás:

Parabola ágak y = 2x+2-x 2 lefelé irányul, ezért felülről korlátozza az az érték, amelyet a csúcsánál elér:

Parabola ágak y = x 2 -2x Az indikátor +2-je felfelé irányul, ami azt jelenti, hogy alulról az az érték korlátozza, amelyet a csúcsánál elér:

Ugyanakkor a függvény alulról is korlátosnak bizonyul y = 3 x 2 -2x+2, ami az egyenlet jobb oldalán található. Célját eléri legalacsonyabb érték ugyanabban a pontban, mint a parabola a kitevőben, és ez az érték egyenlő 3 1 = 3. Tehát az eredeti egyenlőtlenség csak akkor lehet igaz, ha a bal oldali és a jobb oldali függvény 3-mal egyenlő értéket vesz fel. ugyanabban a pontban (a metszéspontnál ezeknek a függvényeknek az értéktartománya csak ez a szám). Ez a feltétel egyetlen ponton teljesül x = 1.

Válasz: x= 1.

Hogy megtanuljak dönteni exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, ezek megoldásában folyamatosan edzeni kell. Különféle dolgok segíthetnek ebben a nehéz feladatban. módszertani kézikönyvek, probléma könyvek on elemi matematika, versenyfeladatok gyűjteményei, matematika órák az iskolában, valamint egyéni foglalkozások Val vel szakmai oktató. Őszintén kívánok sok sikert a felkészüléshez és a vizsgán kiváló eredményeket.

Szergej Valerievich

P.S. Kedves Vendégeink! Kérjük, ne írjon kéréseket az egyenletek megoldására a megjegyzésekben. Sajnos erre végképp nincs időm. Az ilyen üzenetek törlődnek. Kérjük, olvassa el a cikket. Talán olyan kérdésekre talál választ, amelyek nem tették lehetővé, hogy önállóan megoldják a feladatot.

Sokan azt gondolják, hogy az exponenciális egyenlőtlenségek bonyolult és érthetetlen dolgok. És hogy ezek megoldásának megtanulása szinte nagy művészet, amit csak a Kiválasztottak képesek felfogni...

Teljes hülyeség! Az exponenciális egyenlőtlenségek egyszerűek. És mindig egyszerűen megoldódnak. Hát szinte mindig. :)

Ma ezt a témát kívül-belül megvizsgáljuk. Ez a lecke nagyon hasznos lesz azok számára, akik csak most kezdik megérteni ezt a részt. iskolai matematika. Kezdjük azzal egyszerű feladatokatés több felé haladunk összetett kérdések. Ma nem lesz nehéz munka, de amit most olvasni fog, az elegendő lesz a legtöbb egyenlőtlenség megoldásához mindenféle teszten és teszten. önálló munkavégzés. És ezen a vizsgádon is.

Mint mindig, kezdjük a meghatározással. Az exponenciális egyenlőtlenség minden olyan egyenlőtlenség, amely exponenciális függvényt tartalmaz. Más szóval, ez mindig a forma egyenlőtlenségére redukálható

\[((a)^(x)) \gt b\]

Hol lehet $b$ a szerepben? rendes szám, és talán valami keményebb. Példák? Igen, kérem:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\vége(igazítás)\]

Azt hiszem, a jelentés világos: van egy $((a)^(x))$ exponenciális függvény, amelyet összehasonlítanak valamivel, majd megkérik, hogy keresse meg a $x$-t. Különösen klinikai esetek a $x$ változó helyett valami $f\left(x \right)$ függvényt tehetnek, és ezzel egy kicsit bonyolítják az egyenlőtlenséget :)

Természetesen bizonyos esetekben az egyenlőtlenség súlyosabbnak tűnhet. Például:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Vagy akár ez:

Általánosságban elmondható, hogy az ilyen egyenlőtlenségek bonyolultsága nagyon eltérő lehet, de végül mégis az egyszerű $((a)^(x)) \gt b$ konstrukcióra redukálódnak. És valahogy kitaláljuk egy ilyen konstrukciót (különösen klinikai esetekben, amikor semmi sem jut eszünkbe, a logaritmusok segítenek nekünk). Ezért most megtanítjuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyszerű konstrukciókat.

Egyszerű exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Vegyünk egy nagyon egyszerű dolgot. Például ez:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Nyilvánvalóan a jobb oldali szám átírható kettő hatványaként: $4=((2)^(2))$. Így az eredeti egyenlőtlenség nagyon kényelmes formában átírható:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

És most viszket a kezem, hogy „áthúzzam” a hatványok alapjaiban szereplő ketteseket, hogy megkapjam a $x \gt 2$ választ. Mielőtt azonban bármit is áthúznánk, emlékezzünk a kettő erejére:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Mint látjuk, mint nagyobb számban a kitevőben van, annál nagyobb a kimeneti szám. – Köszönöm, Cap! - kiált fel az egyik diák. Ez másként? Sajnos előfordul. Például:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ jobb))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Itt is minden logikus: mi több fokozat, minél többször szorozzuk meg önmagával a 0,5-ös számot (vagyis osztjuk ketté). Így a kapott számsorozat csökken, és az első és a második sorozat közötti különbség csak az alapban van:

• Ha az $a \gt 1$ fok alapja, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám is növekedni fog;
• És fordítva, ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám csökkenni fog.

Ezeket a tényeket összegezve megkapjuk a legfontosabb állítást, amelyen az exponenciális egyenlőtlenségek teljes megoldása alapul:

Ha $a \gt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \gt n$ egyenlőtlenséggel. Ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \lt n$ egyenlőtlenséggel.

Más szóval, ha az alap egynél nagyobb, egyszerűen eltávolíthatja - az egyenlőtlenség jele nem változik. És ha az alap kisebb, mint egy, akkor azt is el lehet távolítani, de ugyanakkor meg kell változtatni az egyenlőtlenség jelét.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem vettük figyelembe az $a=1$ és $a\le 0$ opciókat. Mert ezekben az esetekben bizonytalanság merül fel. Tegyük fel, hogyan kell megoldani egy $((1)^(x)) \gt 3$ alakú egyenlőtlenséget? Egy minden hatalomnak megint ad egyet – soha nem kapunk hármat vagy többet. Azok. nincsenek megoldások.

VAL VEL negatív okok még érdekesebb. Vegyük például ezt az egyenlőtlenséget:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Első pillantásra minden egyszerű:

Jobb? De nem! Elég, ha $x$ helyett pár párost és párat helyettesítünk páratlan számok hogy megbizonyosodjon arról, hogy a megoldás helytelen. Nézd meg:

\[\begin(align) & x=4\Jobbra ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(igazítás)\]

Amint látja, a jelek váltakoznak. De van több is törthatványokés egyéb ón. Hogyan lehetne például kiszámítani a $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínusz kettő hét hatványa)? Semmiképpen!

Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy minden exponenciális egyenlőtlenségben (és mellesleg egyenletekben is) $1\ne a \gt 0$. És akkor minden nagyon egyszerűen megoldódik:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Jobbra \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \jobbra). \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Általánosságban emlékezzünk a fő szabályra: ha egy exponenciális egyenletben az alap nagyobb egynél, egyszerűen eltávolíthatja azt; és ha az alap egynél kisebb, akkor azt is el lehet távolítani, de az egyenlőtlenség jele megváltozik.

Példák megoldásokra

Tehát nézzünk meg néhány egyszerű exponenciális egyenlőtlenséget:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\vége(igazítás)\]

Az elsődleges feladat minden esetben ugyanaz: az egyenlőtlenségeket a legegyszerűbb $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakra redukálni. Pontosan ezt fogjuk most tenni az egyes egyenlőtlenségekkel, ugyanakkor megismételjük a fokok és az exponenciális függvények tulajdonságait. Akkor gyerünk!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Mit lehet itt csinálni? Nos, a bal oldalon már megvan exponenciális kifejezés- nem kell semmit változtatni. De a jobb oldalon van valami baromság: tört, és még gyök is a nevezőben!

Emlékezzünk azonban a törtekkel és hatványokkal való munka szabályaira:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\vége(igazítás)\]

Mit jelent? Először is könnyen megszabadulhatunk a törttől, ha hatványsá alakítjuk -val negatív mutató. Másodszor pedig, mivel a nevezőnek van gyöke, jó lenne hatványsá alakítani - ezúttal törtkitevővel.

Alkalmazzuk ezeket a műveleteket egymás után az egyenlőtlenség jobb oldalára, és nézzük meg, mi történik:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \jobbra))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne felejtsük el, hogy amikor egy fokot hatványra emelünk, ezeknek a fokoknak a kitevői összeadódnak. És általában, ha exponenciális egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel dolgozunk, feltétlenül ismerni kell a hatványokkal való munka legegyszerűbb szabályait:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\vége(igazítás)\]

Valójában csak az utolsó szabályt alkalmaztuk. Ezért az eredeti egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Jobbra ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Most megszabadulunk a kettőtől az alapnál. Mivel 2 > 1, az egyenlőtlenség jele változatlan marad:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Jobbra x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Ez a megoldás! A fő nehézség egyáltalán nem az exponenciális függvényben van, hanem az eredeti kifejezés megfelelő átalakításában: óvatosan és gyorsan kell a legegyszerűbb formájába hozni.

Tekintsük a második egyenlőtlenséget:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Is-is. Itt a tizedes törtek várnak ránk. Ahogy már sokszor mondtam, minden hatványos kifejezésben meg kell szabadulni a tizedesjegyektől – gyakran csak így lehet gyors és egyszerű megoldást találni. Itt megszabadulunk a következőktől:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Jobbra ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Itt is megvan a legegyszerűbb egyenlőtlenség, méghozzá 1/10-es alappal, azaz. egynél kevesebb. Nos, eltávolítjuk az alapokat, miközben a jelet „kevesebbről” „többre” változtatjuk, és megkapjuk:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Megkaptuk a végső választ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Figyelem: a válasz pontosan egy halmaz, és semmi esetre sem $x \lt -1$ alakú konstrukció. Mert formálisan egy ilyen konstrukció egyáltalán nem halmaz, hanem egyenlőtlenség a $x$ változóhoz képest. Igen, nagyon egyszerű, de nem ez a válasz!

Fontos jegyzet. Ezt az egyenlőtlenséget más módon is meg lehetne oldani – mindkét oldalt egynél nagyobb bázisú hatalommá redukálva. Nézd meg:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Jobbra ((\bal(((10)^(-1)) \jobbra))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \jobbra))^(2))\Jobbra ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Egy ilyen transzformáció után ismét egy exponenciális egyenlőtlenséget kapunk, de 10 > 1 alappal. Ez azt jelenti, hogy egyszerűen áthúzhatjuk a tízet - az egyenlőtlenség előjele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Amint látja, a válasz pontosan ugyanaz volt. Ugyanakkor megkíméltük magunkat a jel megváltoztatásának szükségességétől, és általában emlékezni kell minden szabályra :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Azonban ne hagyja, hogy ez megijessze. Nem számít, mi szerepel a mutatókban, maga az egyenlőtlenség megoldásának technológiája ugyanaz marad. Ezért először jegyezzük meg, hogy 16 = 2 4. Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget ennek a ténynek a figyelembevételével:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Hurrá! Megkaptuk a szokásosat másodfokú egyenlőtlenség! A jel nem változott sehol, mivel az alap kettő - egynél nagyobb szám.

Egy függvény nullai a számegyenesen

Elrendezzük a $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ függvény előjeleit - nyilván a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágakkal, tehát lesznek pluszok ” az oldalakon. Az a régió érdekel minket, ahol a függvény nullánál kisebb, pl. $x\in \left(2;5 \right)$ a válasz az eredeti problémára.

Végül vegyünk egy másik egyenlőtlenséget:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ismét egy exponenciális függvényt látunk, amelynek alapjában tizedes tört található. Alakítsuk át ezt a törtet közönséges törtté:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Jobbra \\ & \Jobbra ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\bal(((5)^(-1)) \jobbra))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Ebben az esetben a korábban megadott megjegyzéssel éltünk - a további megoldásunk egyszerűsítése érdekében az alapot 5 > 1-re csökkentettük. Tegyük ugyanezt a jobb oldallal is:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ jobb))^(2))=((5)^(-1\cpont 2))=((5)^(-2))\]

Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget mindkét transzformáció figyelembevételével:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Jobbra ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2))\jobbra)))\ge ((5)^(-2))\]

Az alap mindkét oldalon megegyezik, és meghaladja az egyet. Nincs más kifejezés a jobb és a bal oldalon, ezért egyszerűen „áthúzzuk” az ötösöket, és egy nagyon egyszerű kifejezést kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(igazítás)\]

Itt óvatosabbnak kell lenni. Sok diák szeret egyszerűen kivonatolni Négyzetgyök az egyenlőtlenség mindkét oldaláról, és írjon valami ilyesmit: $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Ezt semmi esetre sem szabad megtenni, mivel egy pontos négyzet gyöke modul, és semmi esetre sem az eredeti változó:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\jobbra|\]

A modulokkal való munka azonban nem a legjobb élvezetes tevékenység, Igazság? Szóval nem fogunk dolgozni. Ehelyett egyszerűen mozgassuk az összes tagot balra, és oldjuk meg a szokásos egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ismét megjelöljük a kapott pontokat a számegyenesen, és megnézzük a jeleket:

Figyelem: a pontok árnyékoltak

Mióta döntöttünk nem szigorú egyenlőtlenség, a grafikon minden pontja árnyékolt. Ezért a válasz a következő lesz: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nem intervallum, hanem szegmens.

Általánosságban szeretném megjegyezni, hogy az exponenciális egyenlőtlenségekben nincs semmi bonyolult. A ma végrehajtott összes átalakítás jelentése egy egyszerű algoritmuson alapul:

• Keressük meg az alapot, amelyre az összes fokot csökkentjük;
• Óvatosan hajtsa végre az átalakításokat, hogy megkapja a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakú egyenlőtlenséget. Természetesen a $x$ és $n$ változók helyett sokkal több is lehet összetett funkciók, de a jelentése nem változik;
• Húzd át a fokok alapjait. Ebben az esetben az egyenlőtlenség jele megváltozhat, ha az alap $a \lt 1$.

Valójában ez egy univerzális algoritmus minden ilyen egyenlőtlenség megoldására. És minden más, amit ebben a témában elmondanak, csak konkrét technikák és trükkök, amelyek leegyszerűsítik és felgyorsítják az átalakulást. Most egy ilyen technikáról beszélünk. :)

Racionalizálási módszer

Tekintsük az egyenlőtlenségek egy másik halmazát:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \jobbra))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(igazítás)\]

Szóval mi olyan különleges bennük? Könnyűek. Bár, állj meg! A π számot emeljük valamilyen hatványra? Miféle ostobaság?

Hogyan lehet a $2\sqrt(3)-3$ számot hatványra emelni? Vagy $3-2\sqrt(2)$? A problémás írók nyilvánvalóan túl sok Hawthornt ittak, mielőtt leültek dolgozni :)

Valójában semmi ijesztő ezekben a feladatokban. Hadd emlékeztesselek: az exponenciális függvény a $((a)^(x))$ formájú kifejezés, ahol az $a$ alap bármely pozitív szám egy kivételével. A π szám pozitív – ezt már tudjuk. A $2\sqrt(3)-3$ és a $3-2\sqrt(2)$ számok is pozitívak – ez könnyen belátható, ha nullával hasonlítja össze őket.

Kiderült, hogy mindezeket az „ijesztő” egyenlőtlenségeket nem oldják meg másként, mint a fent tárgyalt egyszerűek? És ugyanúgy megoldódnak? Igen, ez teljesen igaz. Példájuk alapján azonban egy olyan technikát szeretnék megfontolni, amely nagymértékben megtakarítja az önálló munkára és a vizsgákra fordított időt. Szó lesz a racionalizálás módszeréről. Szóval figyelem:

Bármely $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakú exponenciális egyenlőtlenség egyenértékű a $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) egyenlőtlenséggel jobbra) \gt 0 $.

Ez az egész módszer :) Gondoltad volna, hogy lesz valami más játék? Semmi ilyesmi! De ez az egyszerű tény, szó szerint egy sorban leírva, nagyban leegyszerűsíti a munkánkat. Nézd meg:

\[\begin(mátrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \jobbra) \jobbra)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(mátrix)\]

Tehát nincs több exponenciális függvény! És nem kell emlékeznie arra, hogy a jel megváltozik-e vagy sem. De felmerül új probléma: mit kell csinálni a \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] rohadt szorzóval? Nem tudjuk, miről van szó pontos érték számok π. A kapitány azonban a nyilvánvalóra utal:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\kb. 3,14... \gt 3\Jobbra \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Általánosságban elmondható, hogy a π pontos értéke nem igazán vonatkozik ránk - csak az a fontos, hogy megértsük, hogy minden esetben $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ez egy pozitív állandó, és ezzel oszthatjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Amint látja, be bizonyos pillanatban Osztanom kellett mínusz eggyel – és az egyenlőtlenség jele megváltozott. A végén kibővítettem a másodfokú trinomit Vieta tételével - nyilvánvaló, hogy a gyökök egyenlőek $((x)_(1))=5$ és $((x)_(2))=-1$ . Aztán minden eldől klasszikus módszer intervallumok:

Egyenlőtlenség megoldása intervallum módszerrel

Minden pontot eltávolítunk, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. Minket a negatív értékű régió érdekel, ezért a válasz $x\in \left(-1;5 \right)$. Ez a megoldás :)

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Itt általában minden egyszerű, mert a jobb oldalon van egy egység. És ne feledjük, hogy az egy tetszőleges szám, amelyet nulla hatványra emelünk. Még akkor is, ha ez a szám irracionális kifejezés, a tövében állva a bal oldalon:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \jobbra))^(0)); \\\vége(igazítás)\]

Nos, ésszerűsítsük:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Már csak a jelek kitalálása van hátra. A $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktor nem tartalmazza a $x$ változót - ez csak egy konstans, és meg kell találnunk az előjelét. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\[\begin(mátrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \jobbra)=0 \\\end(mátrix)\]

Kiderült, hogy a második tényező nem csak egy állandó, hanem egy negatív állandó! És ezzel osztva az eredeti egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Most minden teljesen nyilvánvalóvá válik. Gyökerek másodfokú trinomikus, jobb oldalon állva: $((x)_(1))=0$ és $((x)_(2))=2$. Jelöljük őket a számegyenesen, és megnézzük a $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ függvény előjeleit:

Az az eset, amikor oldalintervallumokra vagyunk kíváncsiak

A pluszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Nincs más hátra, mint leírni a választ:

Térjünk át a következő példára:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \) jobb))^(16-x))\]

Nos, itt minden teljesen nyilvánvaló: az alapok ugyanannyi hatványt tartalmaznak. Ezért mindent röviden leírok:

\[\begin(mátrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \jobbra))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Mint látható, az átalakulási folyamat során szoroznunk kellett negatív szám, tehát az egyenlőtlenség jele megváltozott. A legvégén ismét alkalmaztam Vieta tételét a másodfokú trinomiális faktorálására. Ennek eredményeként a válasz a következő lesz: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ezt bárki ellenőrizheti egy számegyenes rajzolásával, a pontok megjelölésével és a jelek megszámlálásával. Közben áttérünk a „halmazunk” utolsó egyenlőtlenségére:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Amint látja, a bázison ismét ott van irracionális szám, a jobb oldalon pedig ismét egy. Ezért az exponenciális egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) jobb))^(0))\]

Racionalizálást alkalmazunk:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \jobbra) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\ ]

Az azonban teljesen nyilvánvaló, hogy $1-\sqrt(2) \lt 0$, mivel $\sqrt(2)\kb 1,4... \gt 1$. Ezért a második tényező ismét egy negatív állandó, amellyel az egyenlőtlenség mindkét oldala felosztható:

\[\begin(mátrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Költözz másik bázisra

Külön probléma az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása során a „helyes” alap keresése. Sajnos egy feladatnál első pillantásra nem mindig egyértelmű, hogy mit vegyünk alapul, és ennek mértéke szerint mit kell tenni.

De ne aggódj: itt nincs varázslat vagy „titkos” technológia. A matematikában minden olyan készség, amely nem algoritmizálható, könnyen fejleszthető gyakorlással. De ehhez meg kell oldania a problémákat különböző szinteken nehézségek. Például így:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ vége(igazítás)\]

Nehéz? Ijedős? Könnyebb, mint egy csirkét az aszfalton ütni! Próbáljuk meg. Első egyenlőtlenség:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Nos, szerintem itt minden világos:

Átírjuk az eredeti egyenlőtlenséget, mindent kettes alapra redukálva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Jobbra \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Igen, igen, jól hallottad: csak a fent leírt racionalizálási módszert alkalmaztam. Most óvatosan kell dolgoznunk: sikerült töredékes racionális egyenlőtlenség(ennek van egy változó a nevezőjében), tehát mielőtt valamit nullával egyenlővé tesz, mindent a közös nevezőés megszabadulni az állandó tényezőtől.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Most a standard intervallum módszert használjuk. A számláló nullái: $x=\pm 4$. A nevező csak akkor megy nullára, ha $x=0$. Összesen három pontot kell bejelölni a számegyenesen (minden pont ki van tűzve, mert az egyenlőtlenség jele szigorú). Kapunk:

Több nehéz eset: három gyökér

Ahogy sejtheti, az árnyékolás azokat az intervallumokat jelöli, amelyeknél a bal oldali kifejezés negatív értékeket vesz fel. Ezért a végső válasz egyszerre két intervallumot fog tartalmazni:

Az intervallumok végeit nem tartalmazza a válasz, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú volt. A válasz további ellenőrzésére nincs szükség. Ebben a tekintetben az exponenciális egyenlőtlenségek sokkal egyszerűbbek, mint a logaritmikusok: nincs ODZ, nincsenek korlátozások stb.

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Itt sincs semmi probléma, hiszen már tudjuk, hogy $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, így az egész egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Jobbra ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Figyelem: a harmadik sorban úgy döntöttem, hogy nem vesztegetem az időt apróságokra, és azonnal mindent elosztok (-2)-vel. Minul került az első zárójelbe (most mindenhol pluszok vannak), kettőt pedig konstans tényezővel csökkentették. Pontosan ezt kell tennie, amikor valódi kijelzőket készít független és tesztek— nem kell minden cselekvést és átalakulást leírni.

Ezután az intervallumok ismert módszere lép működésbe. Számláló nullák: de nincsenek. Mert a diszkrimináns negatív lesz. A nevező viszont csak akkor áll vissza nullára, ha $x=0$ - ahogy itt utoljára. Nos, egyértelmű, hogy a $x=0$ jobb oldalán a tört lesz pozitív értékeket, a bal oldalon pedig negatív. Mivel minket a negatív értékek érdekelnek, a végső válasz: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Mit kell tenni a tizedes törtekkel az exponenciális egyenlőtlenségekben? Így van: szabaduljon meg tőlük, alakítsa át őket közönségessé. Itt fogjuk lefordítani:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\jobbra nyíl ((\bal(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Jobbra ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\jobbra)^(x)). \\\vége(igazítás)\]

Mit kaptunk tehát az exponenciális függvények alapjaiban? És kaptunk két kölcsönösen fordított számot:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Jobbra ((\left(\frac(25)(4) \ jobb))^(x))=((\bal(((\bal(\frac(4)(25) \jobb))^(-1)) \jobb))^(x))=((\ balra(\frac(4)(25) \jobbra))^(-x))\]

Így az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\vége(igazítás)\]

Természetesen a hatványok azonos bázisú szorzásakor a kitevőik összeadódnak, ami a második sorban történt. Ezen kívül a jobb oldali egységet képviseltük, hatalomként is a 4/25-ös alapban. Már csak az ésszerűsítés marad hátra:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Jegyezzük meg, hogy $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, azaz. a második tényező egy negatív állandó, és ezzel osztva az egyenlőtlenség előjele megváltozik:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Jobbra x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Végül az utolsó egyenlőtlenség a jelenlegi „halmazból”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Elvileg itt is egyértelmű a megoldás ötlete: az egyenlőtlenségben szereplő összes exponenciális függvényt a „3-as” bázisra kell redukálni. De ehhez egy kicsit trükköznie kell a gyökerekkel és az erőkkel:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\vége(igazítás)\]

Ezeket a tényeket figyelembe véve az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\jobbra))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\vége(igazítás)\]

Ügyeljen a számítások 2. és 3. sorára: mielőtt bármit is tenne az egyenlőtlenséggel, feltétlenül hozza azt a formába, amelyről az óra elején beszéltünk: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Mindaddig, amíg van néhány baloldali tényező, további állandók stb. a bal vagy a jobb oldalon, nem hajtható végre az indokok racionalizálása vagy „áthúzása”.! Számtalan feladatot végeztek el hibásan ennek meg nem értése miatt egyszerű tény. Magam is folyamatosan figyelem ezt a problémát tanítványaimmal, amikor éppen elkezdjük az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek elemzését.

De térjünk vissza a feladatunkhoz. Igyekezzünk ezúttal racionalizálás nélkül megtenni. Emlékezzünk: a fokszám alapja nagyobb, mint egy, így a hármasokat egyszerűen át lehet húzni - az egyenlőtlenség jele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(igazítás)\]

Ez minden. Végső válasz: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabil kifejezés elkülönítése és változó cseréje

Befejezésül négy további exponenciális egyenlőtlenség megoldását javaslom, ami a felkészületlen hallgatók számára már így is elég nehéz. Ahhoz, hogy megbirkózzon velük, emlékeznie kell a diplomákkal való munka szabályaira. Különösen a közös tényezők zárójelbe helyezése.

De a legfontosabb dolog az, hogy megtanuljuk megérteni, hogy pontosan mit lehet kivenni a zárójelekből. Az ilyen kifejezést stabilnak nevezik - új változóval jelölhető, és így megszabadulhat az exponenciális függvénytől. Tehát nézzük a feladatokat:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Kezdjük a legelső sorral. Írjuk ezt az egyenlőtlenséget külön:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Vegye figyelembe, hogy $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, ezért jobb oldalát lehet írni:

Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenségben nincs más exponenciális függvény, kivéve a $((5)^(x+1))$. És általában a $x$ változó sehol máshol nem jelenik meg, ezért vezessünk be egy új változót: $((5)^(x+1))=t$. A következő konstrukciót kapjuk:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(igazítás)\]

Visszatérünk az eredeti változóhoz ($t=((5)^(x+1))$), és ugyanakkor ne feledjük, hogy 1=5 0 . Nekünk van:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\vége(igazítás)\]

Ez a megoldás! Válasz: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Térjünk át a második egyenlőtlenségre:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Itt minden ugyanaz. Vegye figyelembe, hogy $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Akkor bal oldalát lehet írni:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \jobbra. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\vége(igazítás)\]

Körülbelül így kell megoldást készíteni a valódi tesztekhez és az önálló munkához.

Nos, próbáljunk meg valami bonyolultabbat. Például itt van az egyenlőtlenség:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Mi itt a probléma? Először is, a bal oldali exponenciális függvények alapjai különböznek: 5 és 25. Azonban 25 = 5 2, tehát az első tag átalakítható:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(igazítás) )\]

Amint látja, először mindent elhoztunk ugyanazon az alapon, majd észrevette, hogy az első tag könnyen redukálható a másodikra ​​– csak ki kell bővítenie a kitevőt. Most már nyugodtan bevezethet egy új változót: $((5)^(2x+2))=t$, és a teljes egyenlőtlenség a következőképpen lesz átírva:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(igazítás)\]

És még egyszer: semmi nehézség! Végső válasz: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Térjünk át a végső egyenlőtlenségre a mai leckében:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Természetesen az első dolog, amire figyelni kell, decimális az első fok tövében. Meg kell szabadulni tőle, és ugyanakkor az összes exponenciális függvényt ugyanarra az alapra kell vinni - a „2” számra:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Jobbra ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\jobbra nyíl ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \jobbra))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Remek, megtettük az első lépést – minden ugyanarra az alapra vezetett. Most ki kell választani stabil kifejezés. Vegye figyelembe, hogy $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ha bevezetünk egy új változót $((2)^(4x+6))=t$, akkor az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen felmerülhet a kérdés: hogyan fedeztük fel, hogy 256 = 2 8? Sajnos itt csak a kettő (és egyben a három és az öt) hatványait kell ismerni. Nos, vagy ossza el a 256-ot 2-vel (lehet osztani, mivel a 256 az páros szám), amíg meg nem kapjuk az eredményt. Valahogy így fog kinézni:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Ugyanez a helyzet hárommal (a 9, 27, 81 és 243 számok a fokszámai), és a héttel (a 49 és 343 számokat is jó lenne megjegyezni). Nos, az ötösnek is vannak „szép” diplomái, amelyeket tudnod kell:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen, ha kívánja, ezeket a számokat visszaállíthatja az elméjében, ha egyszerűen egymás után megszorozza őket. Ha azonban több exponenciális egyenlőtlenséget kell megoldania, és mindegyik következő nehezebb, mint az előző, akkor az utolsó dolog, amire gondolni kell, néhány szám hatványa. És ebben az értelemben ezek a problémák összetettebbek, mint a „klasszikus” egyenlőtlenségek, amelyeket az intervallum módszerrel oldanak meg.

Az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek azok, amelyekben az ismeretlen benne van a kitevőben.

Az exponenciális egyenletek megoldása gyakran az a x = a b egyenlet megoldását jelenti, ahol a > 0, a ≠ 1, x egy ismeretlen. Ennek az egyenletnek egyetlen gyöke van x = b, mivel a következő tétel igaz:

Tétel. Ha a > 0, a ≠ 1 és a x 1 = a x 2, akkor x 1 = x 2.

A megfontolt állítást igazoljuk.

Tegyük fel, hogy az x 1 = x 2 egyenlőség nem áll fenn, azaz. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, akkor az y = a x exponenciális függvény növekszik és ezért teljesülnie kell az a x 1 egyenlőtlenségnek< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >egy x 2. Mindkét esetben ellentmondást kaptunk az a x 1 = a x 2 feltételre.

Nézzünk meg több problémát.

Oldja meg a 4 ∙ 2 x = 1 egyenletet.

Megoldás.

Írjuk fel az egyenletet 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 alakban, amiből x + 2 = 0-t kapunk, azaz. x = -2.

Válasz. x = -2.

Oldja meg a 2 3x ∙ 3 x = 576 egyenletet.

Megoldás.

Mivel 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, az egyenlet felírható így: 8 x ∙ 3 x = 24 2 vagy 24 x = 24 2.

Innen kapjuk, hogy x = 2.

Válasz. x = 2.

Oldja meg a 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 egyenletet.

Megoldás.

Kivéve a bal oldali zárójelekből közös szorzó 3 x - 2, azt kapjuk, hogy 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

ahonnan 3 x - 2 = 1, azaz. x – 2 = 0, x = 2.

Válasz. x = 2.

Oldja meg a 3 x = 7 x egyenletet!

Megoldás.

Mivel 7 x ≠ 0, az egyenlet így írható fel: 3 x /7 x = 1, innen (3/7) x = 1, x = 0.

Válasz. x = 0.

Oldja meg a 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 egyenletet.

Megoldás.

3 x = a helyettesítésével ez az egyenlet redukálódik másodfokú egyenlet a 2 – 4a – 45 = 0.

Ezt az egyenletet megoldva megtaláljuk a gyökereit: a 1 = 9 és 2 = -5, ahonnan 3 x = 9, 3 x = -5.

A 3 x = 9 egyenlet gyöke 2, a 3 x = -5 egyenletnek nincs gyöke, mivel az exponenciális függvény nem vehet fel negatív értékeket.

Válasz. x = 2.

Az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása gyakran az a x > a b vagy a x egyenlőtlenségek megoldásán múlik.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Nézzünk néhány problémát.

Oldja meg az egyenlőtlenséget 3x< 81.

Megoldás.

Írjuk fel az egyenlőtlenséget 3 x alakba< 3 4 . Так как 3 >1, akkor az y = 3 x függvény növekszik.

Ezért x-re< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Így x-nél< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Válasz. x< 4.

Oldja meg a 16 x +4 x – 2 > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás.

Jelöljük 4 x = t, ekkor megkapjuk a t2 + t – 2 > 0 másodfokú egyenlőtlenséget.

Ez az egyenlőtlenség t< -2 и при t > 1.

Mivel t = 4 x, két 4 x egyenlőtlenséget kapunk< -2, 4 х > 1.

Az első egyenlőtlenségnek nincs megoldása, mivel 4 x > 0 minden x € R-re.

A második egyenlőtlenséget 4 x > 4 0 alakban írjuk, ahonnan x > 0.

Válasz. x > 0.

Grafikusan oldja meg az (1/3) x = x – 2/3 egyenletet.

Megoldás.

1) Készítsük el az y = (1/3) x és y = x – 2/3 függvények grafikonjait.

2) Ábránk alapján megállapíthatjuk, hogy a vizsgált függvények grafikonjai az x ≈ 1 abszcissza pontban metszik egymást. Az ellenőrzés bizonyítja, hogy

x = 1 ennek az egyenletnek a gyöke:

(1/3) 1 = 1/3 és 1 – 2/3 = 1/3.

Más szóval, megtaláltuk az egyenlet egyik gyökerét.

3) Keressünk más gyökereket, vagy bizonyítsuk be, hogy nincsenek. Az (1/3) x függvény csökken, az y = x – 2/3 függvény pedig növekszik. Ezért x > 1 esetén az első függvény értéke kisebb, mint 1/3, a második pedig több, mint 1/3; x-nél< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 és x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Válasz. x = 1.

Megjegyzendő, hogy különösen ennek a feladatnak a megoldásából következik, hogy az (1/3) x > x – 2/3 egyenlőtlenség teljesül x-re.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete