Időpont: 2015.10.05

Hogyan lehet megtalálni a származékot?

A megkülönböztetés szabályai.

Bármely függvény származékának megtalálásához mindössze három fogalmat kell elsajátítania:

2. A megkülönböztetés szabályai.

3. Komplex függvény deriváltja.

Pontosan ebben a sorrendben. Ez egy tipp.)

Természetesen jó lenne, ha lenne elképzelésünk a származékokról általában). Az előző leckében világosan elmagyarázzuk, hogy mi az a származék, és hogyan kell dolgozni a származékok táblázatával. Itt a megkülönböztetés szabályaival fogunk foglalkozni.

A differenciálás a derivált megtalálásának művelete. Nincs több rejtve e kifejezés mögött. Azok. kifejezéseket "keresse meg egy függvény deriváltját"És "megkülönböztet egy függvényt"- Ez ugyanaz.

Kifejezés "a megkülönböztetés szabályai" a származék megtalálására utal aritmetikai műveletekből. Ez a megértés sokat segít abban, hogy elkerülje a fejedben a zavart.

Koncentráljunk és emlékezzünk minden, minden, minden számtani műveletre. Négy van belőlük). Összeadás (összeg), kivonás (különbség), szorzás (szorzat) és osztás (hányados). Íme, a megkülönböztetés szabályai:

A tányér mutatja öt szabályait négy aritmetikai műveletek. Nem lettem lerövidítve.) Csak a 4. szabály a 3. szabály elemi következménye. De annyira népszerű, hogy van értelme önálló képletként írni (és emlékezni!).

A megnevezések alatt UÉs V néhány (abszolút bármilyen!) függvény beletartozik U(x)És V(x).

Nézzünk néhány példát. Először is - a legegyszerűbbek.

Keresse meg az y=sinx - x 2 függvény deriváltját

Itt van különbség két elemi függvény. Alkalmazzuk a 2. szabályt. Feltételezzük, hogy a sinx függvény U, és x 2 a függvény V. Nekünk van minden jogotír:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Ez jobb, igaz?) Csak meg kell keresni x szinuszának és négyzetének deriváltját. Ehhez van egy derivatív táblázat. Csak a táblázatban keressük meg a szükséges függvényeket ( sinxÉs x 2), nézd meg, milyen származékai vannak, és írd le a választ:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Ez minden. Az összegdifferenciálás 1. szabálya pontosan ugyanígy működik.

Mi van, ha több kifejezésünk van? Nem nagy ügy.) A függvényt tagokra bontjuk, és minden tag származékát a többitől függetlenül keressük. Például:

Keresse meg az y=sinx - x 2 +cosx - x +3 függvény deriváltját

Bátran írjuk:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

A lecke végén tippeket adok az élet megkönnyítésére a megkülönböztetés során.)

Gyakorlati tanácsok:

1. A megkülönböztetés előtt nézze meg, hogy lehetséges-e az eredeti függvény egyszerűsítése.

2. Bonyolult példákban részletesen leírjuk a megoldást, minden zárójellel és kötőjellel.

3. A nevezőben állandó számmal rendelkező törtek megkülönböztetésekor az osztást szorzássá alakítjuk és a 4. szabályt használjuk.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálási problémáinak megoldása eredményeként úgy, hogy a deriváltot a növekmény és az argumentum növekmény arányának határaként határoztuk meg, megjelent egy derivált táblázat, és pontosan. bizonyos szabályokat különbségtétel. A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg származékaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője kivehető a derivált előjelből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. Származék négyzetgyök
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Arccosine származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Exponenciális függvény deriváltja

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő algebrai összeg ezeknek a függvényeknek a származékai.

Következmény. Ha két differenciálható függvény egy állandó taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Amikor egy szorzat származékát és hányadosát találjuk meg valódi problémákat Mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa található ezekre a származékokra"A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez tipikus hiba, amely a kezdeti szakaszban származékokat tanulmányozva, hanem ahogy több egy- és kétrészes példát is megoldunk átlagos tanuló már nem követi el ezt a hibát.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egyéb gyakori hiba - mechanikus megoldás komplex függvény deriváltja egyszerű függvény deriváltjaként. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk a származékokat találni egyszerű funkciók.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A származékok következő értékeit kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és mások származékairól trigonometrikus függvények, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A termék megkülönböztetésének szabálya szerint és táblázat értéke a négyzetgyök származékát kapjuk:

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva megkapjuk.

A származékának megtalálásának problémája adott funkciót a matematika egyik fő kurzusa Gimnáziumés magasabban oktatási intézmények. Lehetetlen teljesen feltárni egy függvényt és megszerkeszteni a gráfját a deriváltja nélkül. Egy függvény deriváltja könnyen megtalálható, ha ismeri a differenciálás alapvető szabályait, valamint az alapfüggvények deriváltjainak táblázatát. Nézzük meg, hogyan találjuk meg egy függvény deriváltját.

A függvény deriváltja a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik.

Ennek a definíciónak a megértése meglehetősen nehéz, mivel a határ fogalmát az iskolában nem tanulják teljesen. De ahhoz, hogy különféle függvények deriváltjait megtaláljuk, nem szükséges megérteni a definíciót, hagyjuk a matematikusokra, és folytassuk a derivált megtalálását.

A derivált megtalálásának folyamatát differenciálásnak nevezzük. Amikor megkülönböztetünk egy függvényt, új függvényt kapunk.

Jelölésükre fogjuk használni leveleket f, g stb.

A származékokra sokféle jelölés létezik. A stroke-ot fogjuk használni. Például a g" írás azt jelenti, hogy megtaláljuk a g függvény deriváltját.

Származékos táblázat

Annak érdekében, hogy megválaszoljuk a derivált megtalálásának kérdését, szükség van a fő függvények deriváltjainak táblázatára. Az elemi függvények deriváltjainak kiszámításához nem szükséges végrehajtani összetett számítások. Elég csak megnézni az értékét a származékos táblázatban.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

1. példa Keresse meg az y=500 függvény deriváltját.

Látjuk, hogy ez állandó. A derivált táblázatból ismert, hogy egy állandó deriváltja nullával egyenlő (1. képlet).

2. példa Keresse meg az y=x 100 függvény deriváltját.

Ez teljesítmény funkció amelynek kitevője 100, és a deriváltjának megtalálásához meg kell szorozni a függvényt a kitevővel és csökkenteni kell 1-gyel (3. képlet).

(x 100)"=100 x 99

3. példa Keresse meg az y=5 x függvény deriváltját

Ez exponenciális függvény, számítsuk ki a származékát a 4-es képlet segítségével.

4. példa Keresse meg az y= log 4 x függvény deriváltját

A logaritmus deriváltját a 7-es képlet segítségével találjuk meg.

(log 4 x)"=1/x ln 4

A megkülönböztetés szabályai

Most nézzük meg, hogyan találjuk meg egy függvény deriváltját, ha nem szerepel a táblázatban. A legtöbb vizsgált függvény nem elemi, hanem elemi függvények kombinációja egyszerű műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás és számmal való szorzás) segítségével. A származékaik megtalálásához ismerni kell a differenciálás szabályait. Az alábbiakban az f és g betűk függvényeket jelölnek, a C pedig egy állandót.

1. A konstans együttható kivehető a derivált előjeléből

5. példa Keresse meg az y= 6*x 8 függvény deriváltját!

Kiveszünk egy állandó 6-os tényezőt, és csak x 4-et különböztetünk meg. Ez egy hatványfüggvény, amelynek deriváltját a deriválttáblázat 3. képletével találjuk meg.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48*x7

2. Egy összeg deriváltja egyenlő a származékok összegével

(f + g)"=f" + g"

6. példa Keresse meg az y= x 100 +sin x függvény deriváltját

Egy függvény két függvény összege, amelyek származékait a táblázatból megtaláljuk. Mivel (x 100)"=100 x 99 és (sin x)"=cos x. Az összeg deriváltja egyenlő lesz a következő származékok összegével:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. A különbség deriváltja egyenlő a deriváltak különbségével

(f – g)"=f" – g"

7. példa Keresse meg az y= x 100 – cos x függvény deriváltját

Ez a függvény két függvény különbsége, amelyek származékait szintén megtaláljuk a táblázatban. Ekkor a különbség deriváltja egyenlő a deriváltak különbségével, és ne felejtsük el megváltoztatni az előjelet, mivel (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

8. példa Keresse meg az y=e x +tg x– x 2 függvény deriváltját!

Ennek a függvénynek van összege és különbsége is, keressük meg az egyes tagok származékait:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Ezután a derivált eredeti funkció egyenlő:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. A termék származéka

(f * g)"=f" * g + f * g"

9. példa Keresse meg az y= cos x *e x függvény deriváltját

Ehhez először meg kell keresni az egyes tényezők deriváltját (cos x)"=–sin x és (e x)"=e x. Most pótoljunk mindent a termékképletbe. Az első függvény deriváltját megszorozzuk a másodikkal, és összeadjuk az első függvény szorzatát a második deriváltjával.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. A hányados származéka

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

10. példa Keresse meg az y= x 50 /sin x függvény deriváltját

A hányados deriváltjának megtalálásához először külön keressük meg a számláló és a nevező deriváltját: (x 50)"=50 x 49 és (sin x)"= cos x. A hányados deriváltját behelyettesítve a képletbe, a következőt kapjuk:

(x 50 /sin x)"= 50x49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Komplex függvény származéka

Az összetett függvény olyan függvény, amelyet több függvény összetétele képvisel. Van egy szabály az összetett függvény deriváltjának megtalálására is:

(u (v))"=u"(v)*v"

Nézzük meg, hogyan találjuk meg egy ilyen függvény deriváltját. Legyen y= u(v(x)) komplex függvény. Nevezzük az u függvényt külsőnek, v - belsőnek.

Például:

y=sin (x 3) egy összetett függvény.

Ekkor y=sin(t) egy külső függvény

t=x 3 - belső.

Próbáljuk meg kiszámítani ennek a függvénynek a deriváltját. A képlet szerint meg kell szorozni a belső és a külső függvények deriváltjait.

(sin t)"=cos (t) - a külső függvény deriváltja (ahol t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - a belső függvény deriváltja

Ekkor (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 egy komplex függvény deriváltja.

Alkalmazás

A származék megoldása az oldalon a diákok és iskolások által lefedett anyag konszolidálására. Egy függvény deriváltjának néhány másodperc alatti kiszámítása nem tűnik nehéznek, ha online problémamegoldó szolgáltatásunkat használja. Vezet részletes elemzés alapos tanulmányozása gyakorlati óra minden harmadik diák képes lesz rá. Az ország oktatási intézményeiben a matematika népszerűsítésével kapcsolatban gyakran keresnek meg minket az illetékes osztály osztálya. Ebben az esetben hogyan nem említhetjük a derivált online megoldását zárt térre? számsorozatok. Sok gazdag egyén kifejezheti zavarodottságát. De eközben a matematikusok nem ülnek egy helyben, és nem dolgoznak sokat. A derivált számológép a bemeneti paraméterek változásait lineáris karakterisztikák alapján fogadja el, elsősorban a kockák csökkenő pozícióinak felsőbbsége miatt. Az eredmény olyan elkerülhetetlen, mint a felszín. Kiindulási adatként az online származékos ügylet kiküszöböli a szükségtelen lépések megtételét. Kivéve a kitalált házimunkát. Amellett, hogy a derivatívák online megoldása szükséges és fontos szempont A matematikát tanulva a tanulók gyakran nem emlékeznek a múltbeli problémákra. A tanuló lusta teremtmény lévén ezt megérti. De a diákok - vicces emberek! Vagy csináld a szabályok szerint, vagy deriváld le a függvényt ferde sík gyorsulást tud adni egy anyagi pontnak. Irányítsuk valahova a lefelé irányuló térbeli sugár vektorát. A kért válaszban a derivált megtalálása az instabilitás miatt absztrakt elméleti iránynak tűnik matematikai rendszer. Tekintsünk egy számrelációt nem használt opciók sorozatának. A kommunikációs csatorna a kocka zárt bifurkációjának pontjától csökkenő vektor mentén egy ötödik vonallal bővült. A görbült terek síkján a derivált online megoldása olyan következtetéshez vezet, amely elgondolkodtatott a múlt században legnagyobb elmék bolygók. A matematika területén az események során alapvetően öt fontos tényezők, segít a változó kiválasztási pozíció javításában. A ponttörvény tehát kimondja, hogy az online derivatívát nem minden esetben számítják ki részletesen, az egyetlen kivétel a lojálisan progresszív pillanat. Az előrejelzés arra vezetett bennünket új kör fejlesztés. Eredményekre van szükségünk. A felület alatt áthaladó matematikai lejtő vonalában a módus-derivatív kalkulátor a hajlítókészleten lévő termékek metszéspontjában található. Továbbra is elemezni kell a függvény differenciálódását az epszilon szomszédságához közeli független pontjában. Ezt a gyakorlatban mindenki ellenőrizheti. A végén lesz mit dönteni következő szint programozás. A hallgatónak, mint mindig, szüksége van az online származékra, függetlenül attól, hogy milyen képzeletbeli kutatást végez. Kiderül, hogy egy konstanssal megszorzott függvény nem változtatja meg online a derivált megoldását Általános irány mozgalom anyagi pont, hanem az egyenes vonalú sebességnövekedést jellemzi. Ebben az értelemben hasznos lesz a derivált számológépünk használata, és a függvény összes értékének kiszámítása a definíció teljes halmazán. Nincs szükség a gravitációs tér erőhullámainak tanulmányozására. A származékok online megoldása semmi esetre sem mutatja meg a kimenő sugár dőlését, hanem csak befelé ritka esetekben, amikor valóban szükséges, az egyetemisták el tudják képzelni. Vizsgáljuk meg az igazgatót. A legkisebb rotor értéke megjósolható. Alkalmazza a labdát leíró, jobbra néző sorok eredményére, de online számológép deriváltak, ez az alapja a különleges erősségű és nemlineáris függőségű számadatoknak. Elkészült a matematikai projekt beszámolója. Személyi jellemzők különbsége legkisebb számokés a függvény deriváltja az ordináta tengely mentén ugyanazon függvény homorúságát a magasságba hozza. Van irány - van következtetés. Könnyebb átültetni a gyakorlatba az elméletet. A hallgatóknak javaslatuk van a tanulmányok megkezdésének időpontjára vonatkozóan. Tanári válasz kell. Ugyanúgy, mint az előző álláspontnál, a matematikai rendszert nem olyan művelet alapján szabályozzák, amely segít megtalálni a deriváltot Az alsó féllineáris változathoz hasonlóan az online derivált is részletesen jelzi a megoldás azonosítását degenerált feltételes törvény. A képletek kiszámításának ötlete most vetődött fel. Egy függvény lineáris differenciálása a megoldás igazságát az irreleváns pozitív variációk egyszerű lefektetésére tereli. Az összehasonlító jelek fontosságát a funkció folyamatos megszakításának tekintjük a tengely mentén. Ez a hallgató szerint a legtudatosabb következtetés fontossága, amelyben az online derivált más, mint a matematikai elemzés hű példája. A görbe kör sugarát az euklideszi térben a derivált számológép adta meg. természetes ábrázolás a döntő kihívásokat a fenntarthatóság felé cserélni. A legjobb módszer megtalált. Könnyebb volt egy szinttel feljebb léptetni a feladatot. Vezessen a független különbségarány alkalmazhatósága a deriváltak online megoldásához. A megoldás az abszcissza tengelye körül forog, leírva a kör alakját. Van kiút, és ez az egyetemisták elméletileg alátámasztott kutatásain alapszik, amelyekből mindenki tanul, és az időpillanatokban is van a függvény származéka. Megtaláltuk az előrelépés módját, és ezt a diákok megerősítették. Megengedhetjük magunknak, hogy megtaláljuk a deriváltot anélkül, hogy túllépnénk a matematikai rendszer átalakításának természetellenes megközelítésén. A bal oldali arányossági jel ezzel növekszik geometriai sorozat Hogyan matematikai ábrázolás online származékkalkulátor ismeretlen körülmény miatt lineáris szorzók a végtelen ordinátatengelyen. A matematikusok világszerte bebizonyították a gyártási folyamat kivételes természetét. Eszik legkisebb négyzet a körön belül az elmélet leírása szerint. Az online származék ismét részletesen kifejezi azt a feltételezésünket, hogy mi befolyásolhatja az elméletileg kifinomult véleményt. Az általunk közölt elemzett jelentéstől eltérő jellegű vélemények születtek. Különös figyelem nem fordulhat elő karaink hallgatóira, de nem okos és technológiailag fejlett matematikusokra, akiknek a függvények megkülönböztetése csak ürügy. A származék mechanikai jelentése nagyon egyszerű. Az emelőerőt az időben felfelé csökkenő állandó terek online deriváltjaként számítjuk ki. Egy nyilvánvalóan derivált számológép egy szigorú folyamat egy mesterséges transzformáció degenerációjának problémájának leírására, mint pl. amorf test. Az első derivált egy anyagi pont mozgásának változását jelzi. háromdimenziós tér nyilvánvalóan megfigyelhető a származékok online megoldására szolgáló speciálisan kiképzett technológiákkal összefüggésben, valójában minden kollokviumban egy matematikai tudományágról van szó. A második derivált egy anyagi pont sebességének változását jellemzi, és meghatározza a gyorsulást. Meridián megközelítés a felhasználás alapjaiban affin transzformáció be van kapcsolva új szint függvény deriváltja egy pontban ennek a függvénynek a definíciós tartományából. Egy online származékos számológép nem létezhet számok és bizonyos esetekben szimbolikus jelölések nélkül a megfelelő végrehajtási pillanatnak megfelelően, a dolgok átalakítható elrendezése mellett a feladatban. Meglepő módon az anyagi pont második gyorsulása jellemzi a gyorsulás változását. Rövid időn belül elkezdjük a származékos megoldás online tanulmányozását, de amint elérünk egy bizonyos mérföldkövet a tudásban, hallgatónk leállítja ezt a folyamatot. A legjobb orvosság kapcsolatokat teremteni annyi, mint élőben kommunikálni matematikai téma. Vannak alapelvek, amelyeket semmilyen körülmények között nem lehet megsérteni, bármilyen nehéz is a feladat. Hasznos időben és hibamentesen megtalálni a származékot az interneten. Ez új helyzethez vezet matematikai kifejezés. A rendszer stabil. Fizikai jelentés a származék nem olyan népszerű, mint a mechanikus. Nem valószínű, hogy valaki emlékszik arra, hogy az online derivált hogyan jelenítette meg részletesen a síkon a függvény vonalainak körvonalát a normálban az abszcissza tengelyével szomszédos háromszögből. Nagy szerep a múlt század kutatásában az ember megérdemli. Három alatt megcsináljuk elemi szakasz függvény differenciálása a definíciós tartomány és a végtelen pontjaiban. Benne lesz írás csak a kutatás területén, de átveheti a fővektor helyét a matematikában és a számelméletben, amint a történések összekapcsolják az online derivált számológépet a problémával. Ha volt oka, akkor lenne oka egyenlet létrehozására. Nagyon fontos minden bemeneti paramétert szem előtt tartani. A legjobbat nem mindig fogadják el, e mögött óriási kemény munka áll a legjobb elmék, aki tudta, hogyan számítják ki az online származékot a térben. Azóta a konvexitást tulajdonságnak tekintik folyamatos funkció. Mégis jobb, ha először beállítja a származékos ügyletek online megoldásának problémáját a lehető leghamarabb. Így a megoldás teljes lesz. A teljesítetlen normáktól eltekintve ez nem tekinthető elegendőnek. Kezdetben szinte minden diák javasol egy egyszerű módszert arra vonatkozóan, hogy egy függvény deriváltja hogyan idéz elő ellentmondásos kiterjesztési algoritmust. A felszálló sugár irányába. Ennek van értelme pl általános helyzet. Korábban egy adott befejezésének kezdete matematikai művelet, de ma ez fordítva lesz. Talán a derivált online megoldása újra felvetheti a kérdést, és ennek megőrzésére közös véleményt fogadunk el a tanári értekezleten zajló vita során. A találkozó résztvevőinek megértését reméljük. A logikai értelme a derivált számológép leírásában rejlik a számok rezonanciájában a probléma gondolatának bemutatási sorrendjéről, amelyre a múlt században a világ nagy tudósai válaszoltak. Segít egy összetett változó kinyerésében a transzformált kifejezésből, és online megtalálhatja a származékot egy ugyanolyan típusú hatalmas művelet végrehajtásához. Az igazság sokszor jobb, mint a találgatás. Legalacsonyabb érték trendben. Az eredmény nem fog sokáig várni, ha egy egyedi szolgáltatást használunk a precíz meghatározáshoz, amelyhez részletesen a származékos online lényege van. Közvetetten, de lényegre törően, ahogy egy bölcs ember mondta, sok diák kérésére készítettek egy online származékkalkulátort. különböző városok unió. Ha van különbség, akkor minek dönteni kétszer. Az adott vektor ugyanazon az oldalon van, mint a normál. A múlt század közepén a funkciódifferenciálást egyáltalán nem úgy érzékelték, mint manapság. A folyamatban lévő fejlesztéseknek köszönhetően megjelent az online matematika. Az idő múlásával a diákok elfelejtik a matematika tantárgyakat kellően elismerni. A derivált online megoldása az általunk támogatott elméletalkalmazás alapján joggal támadja meg tézisünket gyakorlati tudás. Ez túllép a megjelenítési tényező meglévő értékén, és a képletet explicit formában írjuk a függvényhez. Előfordul, hogy azonnal meg kell találnia egy származékot az interneten anélkül, hogy bármilyen számológépet használna, azonban bármikor igénybe veheti egy diák trükkjét, és továbbra is használhat egy szolgáltatást, például egy webhelyet. Így a tanuló sok időt takarít meg a példák másolásával a durva jegyzetfüzetből a végső formába. Ha nincs ellentmondás, akkor használja a szolgáltatást lépésről lépésre megoldás ilyen összetett példák.

Ha követi a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményének a határa. y a Δ argumentumnövekményhez x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbálja meg ezzel a képlettel kiszámítani, mondjuk, a függvény deriváltját f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor néhány oldalas számítás után egyszerűen elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy a függvények teljes választékából megkülönböztethetjük az úgynevezett elemi függvényeket. Ez relatív egyszerű kifejezések, amelynek származékait régóta számítják és felsorolják a táblázatban. Az ilyen függvényeket nagyon könnyű megjegyezni – származékaikkal együtt.

Elemi függvények származékai

Az elemi függvények az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Sőt, egyáltalán nem nehéz megjegyezni őket - ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Derivált
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Hatvány racionális kitevővel	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	−sin x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = log x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(nem változott semmi)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában az állandók kivehetők a derivált előjeléből. Például:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvalóan az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók – és még sok más. Így jelennek meg az új funkciók, amelyek már nem különösebben elemiek, de a tekintetben is megkülönböztethetők bizonyos szabályokat. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Legyenek adottak a függvények f(x) És g(x), amelynek származékait ismerjük. Például vehetjük a fentebb tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a „kivonás” fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) két elemi függvény összege, ezért:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2)’ + (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan indokoljuk a funkciót g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

A termék származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan úgy gondolják, hogy ha egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk">egyenlő a származékok szorzatával. De bassza meg! Egy szorzat deriváltját egy teljesen más képlettel számítják ki.

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

Funkció g(x) az első tényező egy kicsit bonyolultabb, de általános séma ez nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első tényezője g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nekünk van:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)” · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a derivált faktorizálásra kerül. Formálisan ezt nem kell megtenni, de a legtöbb derivált nem önmagában számít, hanem a függvény vizsgálatára. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával lesz egyenlő, előjelei meghatározásra kerülnek, és így tovább. Ilyen esetben jobb, ha egy kifejezést faktorizált.

Ha két funkció van f(x) És g(x), és g(x) ≠ 0 azon a halmazon, amelyre kíváncsiak vagyunk, új függvényt definiálhatunk h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez a derivált is megtalálható:

Nem gyenge, mi? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? És így! Ez az egyik legtöbb összetett képletek- Palack nélkül nem tudod kitalálni. Ezért jobb, ha tanulmányozzuk a konkrét példák.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait:

Minden tört számlálója és nevezője elemi függvényeket tartalmaz, így csak a hányados derivált képletére van szükségünk:

A hagyomány szerint tizedeljük a számlálót – ez nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül egy fél kilométer hosszú képlet. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x, mondjuk, be x 2 + ln x. Meg fog menni f(x) = bűn ( x 2 + ln x) - ez egy összetett függvény. Ennek is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok alapján nem lehet megtalálni.

Mit kellene tennem? Ilyen esetekben egy összetett függvény deriváltjának változó és képlet lecserélése segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ha x helyettesíti t(x).

A képlet megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért is célszerű konkrét példákkal magyarázni, azzal Részletes leírás minden lépés.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2. kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor menni fog elemi funkció f(x) = e x. Ezért cserét végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Egy komplex függvény deriváltját a következő képlettel keressük:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! A fordított cserét végezzük: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell x 2 + ln x = t. Nekünk van:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2 + ln x. Akkor:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ez minden! Amint az abból látható utolsó kifejezés, az egész probléma a derivált összeg kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Az órákon nagyon gyakran a „származék” kifejezés helyett a „prím” szót használom. Például egy prím az összegből egyenlő az összeggelütések. Így világosabb? Hát az jó.

Így a derivált kiszámítása az ugyanazon ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Mint utolsó példa Térjünk vissza a derivált hatványhoz racionális kitevővel:

(x n)’ = n · x n − 1

Ezt kevesen tudják a szerepben n jól cselekedhet törtszám. Például a gyökér az x 0.5. Mi van, ha valami díszes van a gyökér alatt? Az eredmény ismét egy összetett funkció lesz – szeretnek ilyen konstrukciókat adni tesztekés vizsgák.

Feladat. Keresse meg a függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most csinálunk egy cserét: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t. A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)” · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Végezzük el a fordított cserét: t = x 2 + 8x− 7. Van:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete