Képes megtalálni a trigonometrikus kifejezések jelentését. lecke "Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése"

1. lecke

Tantárgy: 11. évfolyam (egységes államvizsgára felkészítés)

Egyszerűsítés trigonometrikus kifejezések.

Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. (2 óra)

Célok:

• Rendszerezni, általánosítani, bővíteni a tanulók trigonometriai képletek használatával és egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismereteit és készségeit.

Felszerelés a leckéhez:

Az óra felépítése:

1. Szervezési pillanat
2. Tesztelés laptopokon. Az eredmények megvitatása.
3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése
4. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Önálló munkavégzés.
6. Óra összefoglalója. Házi feladat magyarázata.

1. Szervezési mozzanat. (2 perc.)

A tanár üdvözli a hallgatóságot, bemondja az óra témáját, emlékezteti, hogy korábban trigonometriai képletek ismétlését kapták, és felkészíti a tanulókat a tesztelésre.

2. Tesztelés. (15 perc + 3 perc beszélgetés)

A cél a trigonometrikus képletek ismeretének és alkalmazási képességének tesztelése. Minden tanuló asztalán van egy laptop, amelyen a teszt egy változata található.

Számos lehetőség lehet, ezek közül mondok egy példát:

I lehetőség.

A kifejezések egyszerűsítése:

a) alapvető trigonometrikus azonosságok

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) összeadási képletek

3. sin5x - sin3x;

c) egy szorzat összeggé alakítása

6. 2sin8y cos3y;

d) kettősszög képletek

7. 2sin5x cos5x;

e) félszögek képletei

e) képletek hármasszögekre

g) univerzális helyettesítés

h) fokcsökkentés

16. cos 2 (3x/7);

A tanulók válaszaikat a laptopon minden képlet mellett látják.

A munkát a számítógép azonnal ellenőrzi. Az eredmények a következőn jelennek meg nagyképernyő hogy mindenki lássa.

Ezenkívül a munka befejezése után a helyes válaszok megjelennek a tanulók laptopján. Minden tanuló látja, hol követték el a hibát, és milyen képleteket kell megismételnie.

3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése. (25 perc)

A cél az alkalmazás megismétlése, gyakorlása és megerősítése. alapképletek trigonometria. B7 feladatok megoldása az egységes államvizsgáról.

Tovább ezen a ponton Az osztályt célszerű erős emberekből álló csoportokra osztani (utólagos teszteléssel önállóan dolgoznak), ill. gyenge tanulók akik a tanárral dolgoznak.

Feladat erős tanulók számára (előre felkészülve nyomtatott alapon). A fő hangsúly a redukciós képleteken és kettős szög, az Egységes Államvizsga 2011 szerint.

A kifejezések egyszerűsítése (erős tanulók számára):

Ugyanakkor a tanár gyenge tanulókkal dolgozik, a képernyőn megbeszéli és megoldja a feladatokat a tanulók diktálásával.

Kiszámítja:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Egyszerűsítés:

Ideje volt megvitatni az erős csoport munkájának eredményeit.

A képernyőn megjelennek a válaszok, és egy videokamera segítségével az 5. munkája is különböző diákok(mindegyiknek egy feladat).

A gyenge csoport látja a megoldás feltételét és módját. A vita és az elemzés folyamatban van. Használata technikai eszközökkel gyorsan megtörténik.

4. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. (30 perc.)

A cél a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának megismétlése, rendszerezése, általánosítása, gyökereinek feljegyzése. A B3 probléma megoldása.

Bármely trigonometrikus egyenlet, akárhogyan is oldjuk meg, a legegyszerűbbhez vezet.

A feladat elvégzése során a tanulók figyeljenek a speciális esetek egyenletek gyökereinek feljegyzésére és Általános nézetés a gyökök kiválasztásáról az utolsó egyenletben.

Egyenletek megoldása:

Válaszként írja le a legkisebb pozitív gyökeret.

5. Önálló munka (10 perc)

A cél az elsajátított készségek tesztelése, a problémák, hibák azonosítása és azok kiküszöbölésének módjai.

Többszintű munkát kínálnak a hallgató választása szerint.

"3" lehetőség

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Egyszerűsítse az 1 - sin 2 3α - cos 2 3α kifejezést

3) Oldja meg az egyenletet!

"4" opció

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Oldja meg az egyenletet! Írd le válaszodban a legkisebb pozitív gyökeret!

"5" lehetőség

1) Keresse meg a tanα-t, ha

2) Keresse meg az egyenlet gyökerét! Válaszként írja le a legkisebb pozitív gyökeret.

6. Óra összefoglalója (5 perc)

A tanár összefoglalja az órán megismételt és megerősített dolgokat trigonometrikus képletek, egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

A házi feladat kiosztása (előre nyomtatott alapon elkészítve), véletlenszerű ellenőrzéssel a következő órán.

Egyenletek megoldása:

9)

10) Válaszában adja meg a legkisebb pozitív gyöket!

2. lecke

Tantárgy: 11. évfolyam (egységes államvizsgára felkészítés)

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei. Gyökér kiválasztása. (2 óra)

Célok:

• A különböző típusú trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismeretek általánosítása és rendszerezése.
• Elősegíteni a tanulók matematikai gondolkodásának, megfigyelési, összehasonlítási, általánosítási és osztályozási képességének fejlődését.
• Bátorítsa a tanulókat a folyamat során felmerülő nehézségek leküzdésére mentális tevékenység, az önkontrollra, a tevékenységeibe való önvizsgálatra.

Felszerelés a leckéhez: KRMu, laptop minden diáknak.

Az óra felépítése:

1. Szervezési pillanat
2. A d/z és az én megbeszélése. munka az utolsó leckéből
3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek áttekintése.
4. Trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Gyökök kiválasztása trigonometrikus egyenletekben.
6. Önálló munkavégzés.
7. Óra összefoglalója. Házi feladat.

1. Szervezési pillanat (2 perc)

A tanár köszönti a hallgatóságot, bemondja az óra témáját és a munkatervet.

2. a) Elemzés házi feladat(5 perc.)

A cél a végrehajtás ellenőrzése. Az egyik munka egy videokamera segítségével jelenik meg a képernyőn, a többit szelektíven gyűjtik tanári ellenőrzésre.

b) Elemzés önálló munkavégzés(3 perc)

A cél a hibák elemzése és a kiküszöbölésük módjainak megjelölése.

A válaszok és a megoldások a képernyőn jelennek meg; Az elemzés gyorsan halad.

3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek áttekintése (5 perc)

A cél a trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek felidézése.

Kérdezd meg a tanulókat, hogy milyen módszereket ismernek a trigonometrikus egyenletek megoldására. Hangsúlyozzuk, hogy vannak úgynevezett alapvető (gyakran használt) módszerek:

• változó csere,
• faktorizáció,
• homogén egyenletek,

és van alkalmazott módszerek:

• az összeget szorzattá és a szorzatot összeggé alakító képleteket használva,
• képletek szerint fokozat csökkenése,
• egyetemes trigonometrikus helyettesítés
• bevezetés segédszög,
• szorzás néhány trigonometrikus függvény.

Emlékeztetni kell arra is, hogy egy egyenlet többféleképpen is megoldható.

4. Trigonometrikus egyenletek megoldása (30 perc)

A cél a témában szerzett ismeretek, készségek általánosítása, megszilárdítása, a C1 megoldásra való felkészülés az Egységes Államvizsgáról.

Célszerűnek tartom a tanulókkal közösen megoldani az egyenleteket az egyes módszerekhez.

A diák diktálja a megoldást, a tanár felírja a táblagépre, és a teljes folyamat megjelenik a képernyőn. Ez lehetővé teszi, hogy gyorsan és hatékonyan felidézze emlékezetében a korábban lefedett anyagokat.

Egyenletek megoldása:

1) a 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 változó cseréje

2) faktorizáció 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogén egyenletek sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) az összeget szorzattá alakítjuk cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) a szorzat átszámítása 2sinx sin2x + cos3x = 0 összegre

6) a sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5 fok csökkentése

7) univerzális trigonometrikus helyettesítés sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ennek az egyenletnek a megoldása során figyelembe kell venni, hogy a segítségével ez a módszer a definíciós tartomány szűküléséhez vezet, mivel a szinusz és a koszinusz helyére tg(x/2) lép. Ezért, mielőtt kiírná a választ, ellenőriznie kell, hogy a π + 2πn, n Z halmazból származó számok lovai-e ennek az egyenletnek.

8) √3sinx + cosx - √2 = 0 segédszög bevezetése

9) szorzás valamilyen trigonometriával cosx függvény cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrikus egyenletek gyökeinek kiválasztása (20 perc)

Mivel az egyetemekre való belépéskor kiélezett versenykörülmények között az első vizsgarész megoldása önmagában nem elegendő, a legtöbb hallgatónak a második rész (C1, C2, C3) feladataira kell figyelnie.

Ezért a lecke ezen szakaszának célja, hogy emlékezzen a korábban tanult anyagokra, és felkészüljön a 2011-es egységes államvizsga C1 feladatának megoldására.

Létezik trigonometrikus egyenletek, amelyben a válasz kiírásakor gyököket kell kiválasztani. Ennek oka néhány korlátozás, például: a tört nevezője nem egyenlő nullával, kifejezés a gyökér alatt páros fokozat nem negatív, a logaritmusjel alatti kifejezés pozitív stb.

Az ilyen egyenleteket egyenleteknek tekintjük fokozott komplexitásés be változata az egységes államvizsga a második részben találhatók, nevezetesen a C1.

Oldja meg az egyenletet:

Egy tört egyenlő nullával, ha akkor használva egységkör jelöljük ki a gyökereket (lásd 1. ábra)

1. kép

azt kapjuk, hogy x = π + 2πn, n Z

Válasz: π + 2πn, n Z

A képernyőn a gyökerek kiválasztása színes képen egy körön jelenik meg.

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla, és az ív nem veszíti el értelmét. Akkor

Az egységkör segítségével kiválasztjuk a gyökereket (lásd 2. ábra)

A „Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése” című videóóra célja a tanulók megoldási készségeinek fejlesztése trigonometrikus problémák alapvető trigonometrikus azonosságok segítségével. A videóóra során szóba kerül a trigonometrikus azonosságok típusai és példák a felhasználásukkal kapcsolatos problémák megoldására. Jelentkezés vizuális anyag, a tanár könnyebben éri el az óra céljait. Az anyag élénk bemutatása elősegíti a memorizálást fontos pontokat. Az animációs effektusok és a beszédhang használata lehetővé teszi a tanár teljes helyettesítését az anyag magyarázatának szakaszában. Így a matematika órákon a szemléltető eszköz használatával a tanár növelheti a tanítás hatékonyságát.

A videóóra elején ismertetjük a témáját. Ezután felidézzük a korábban vizsgált trigonometrikus azonosságokat. A képernyőn a sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t egyenlőségek jelennek meg, ahol t≠π/2+πk kϵZ esetén, ctg t=cos t/sin t, helyesen t≠πk, ahol kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2 esetén, ahol kϵZ, az úgynevezett alapvető trigonometrikus azonosságok. Meg kell jegyezni, hogy ezeket az azonosságokat gyakran használják olyan problémák megoldására, ahol az egyenlőség bizonyítására vagy egy kifejezés egyszerűsítésére van szükség.

Az alábbiakban ezeknek az identitásoknak a problémák megoldásában való alkalmazására tekintünk példákat. Először is javasolt a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos problémák megoldásának megfontolása. Az 1. példában le kell egyszerűsíteni a cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t kifejezést. A példa megoldásához először tegye zárójelbe közös szorzó mivel 2 t. A zárójelben lévő transzformáció eredményeként az 1- cos 2 t kifejezést kapjuk, amelynek értéke a trigonometria fő azonosságából egyenlő sin 2 t-val. A kifejezés átalakítása után nyilvánvaló, hogy a zárójelekből kivehető még egy sin 2 t gyakori tényező, amely után a kifejezés sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t) alakot ölt. Ugyanebből az alapazonosságból származtatjuk a zárójelben lévő kifejezés 1-gyel egyenlő értékét. Az egyszerűsítés eredményeként cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

A 2. példában a költség/(1- sint)+ költség/(1+ szint) kifejezést egyszerűsíteni kell. Mivel mindkét tört számlálója tartalmazza a kifejezési költséget, ez közös tényezőként kivehető a zárójelből. A zárójelben lévő törtek ezután a következőre redukálódnak közös nevező szorzás (1- sint)(1+ sint). Miután hozta hasonló kifejezések a számláló 2 marad, a nevező 1 - sin 2 t. A képernyő jobb oldalán található az alapvető trigonometria emlékeztetője azonosság bűn 2 t+cos 2 t=1. Használatával megtaláljuk a cos 2 t tört nevezőjét. A tört csökkentése után a költség/(1- sint)+ költség/(1+ sint)=2/költség kifejezés egyszerűsített alakját kapjuk.

Ezt követően példákat tekintünk az azonosságok bizonyítására, amelyek a trigonometria alapvető azonosságairól szerzett ismereteket használják fel. A 3. példában az azonosságot (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t kell igazolni. A képernyő jobb oldalán három azonosság jelenik meg, amelyekre a bizonyításhoz szükség lesz – tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t és tg t=sin t/cos t korlátozásokkal. Az azonosság igazolására először a zárójeleket nyitjuk meg, majd egy szorzatot képezünk, amely tükrözi a fő trigonometrikus azonosság tg t·ctg t=1 kifejezését. Ekkor a kotangens definíciójából származó azonosság szerint ctg 2 t átalakul. A transzformációk eredményeként az 1-cos 2 t kifejezést kapjuk. A fő identitás segítségével megtaláljuk a kifejezés jelentését. Így bebizonyosodott, hogy (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

A 4. példában meg kell találnia a tg 2 t+ctg 2 t kifejezés értékét, ha tg t+ctg t=6. A kifejezés kiszámításához először négyzetre kell emelni a (tg t+ctg t) egyenlőség jobb és bal oldalát 2 =6 2. A képernyő jobb oldalán megjelenik a rövidített szorzási képlet. A kifejezés bal oldalán lévő zárójelek megnyitása után a tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t összeg jön létre, melynek transzformációjához a tg t·ctg t=1 trigonometrikus azonosságok valamelyikét alkalmazhatjuk. , amelynek formáját a képernyő jobb oldalán idézzük fel. A transzformáció után a tg 2 t+ctg 2 t=34 egyenlőséget kapjuk. Az egyenlőség bal oldala egybeesik a feladat feltételével, így a válasz 34. A feladat megoldva.

A „Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése” című videólecke a hagyományos használatához ajánlott iskolai lecke matematika. Az anyag hasznos lesz a megvalósító tanár számára is távoktatás. A trigonometrikus feladatok megoldási készségeinek fejlesztése érdekében.

SZÖVEGDEKÓDOLÁS:

"Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése."

Egyenlőség

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (te szinusz négyzet plusz koszinusz négyzet te egyenlő eggyel)

2)tgt =, ha t ≠ + πk, kϵZ (te tangens egyenlő a te szinusz és a te koszinusz arányával, ahol te nem egyenlő pivel kettővel plusz pi ka, ka zet-hez tartozik)

3)ctgt = , ha t ≠ πk, kϵZ (te kotangens egyenlő a te koszinusz te és a te szinusz arányával, ahol te nem egyenlő a pi ka-val, ka zet-hez tartozik).

4) tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ esetén (a te érintő szorzata te kotangenssel egyenlő eggyel, ha te nem egyenlő a ka csúcsgal, osztva kettővel, ka zet-hez tartozik)

alapvető trigonometrikus azonosságnak nevezzük.

Gyakran használják a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésére és bizonyítására.

Nézzünk példákat ezeknek a képleteknek a használatára a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésére.

PÉLDA 1. Egyszerűsítse a kifejezést: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (a te koszinusz négyzetének te mínusz koszinusza a negyedik fokú te plusz a negyedik fokú te szinusz kifejezése).

Megoldás. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kivesszük a te közös tényező koszinusz négyzetet, zárójelben megkapjuk az egység és a te négyzetes koszinusz különbségét, amely egyenlő az első azonosság által megadott te négyzetes szinuszával. A te negyedik hatványszinuszának összegét kapjuk szorzat koszinusz négyzet te és te szinusz négyzet A zárójeleken kívül kivesszük a szinusz négyzet közös tényezőt, zárójelben megkapjuk a koszinusz és a szinusz négyzeteinek összegét, ami lényegében az. trigonometrikus azonosság egyenlő eggyel. Ennek eredményeként megkapjuk a te) szinusz négyzetét.

PÉLDA 2. Egyszerűsítse a kifejezést: + .

(kifejezésként a te első koszinusz számlálójában szereplő két tört összege a nevezőben egy mínusz te, a második te koszinusz számlálójában a második plusz te szinusz).

(Vegyük ki a koszinusz te közös tényezőt a zárójelekből, és zárójelben hozzuk egy közös nevezőre, amely egy mínusz te szorzata egy plusz szinusz te.

A számlálóban azt kapjuk, hogy egy plusz szinusz te plusz egy mínusz te, hasonlókat adunk meg, a számláló a hasonlók hozása után kettővel egyenlő.

A nevezőben alkalmazhatjuk a rövidített szorzási képletet (négyzetek különbsége), és megkaphatjuk az egység és a te szinusz négyzete közötti különbséget, amely a trigonometrikus alapazonosság szerint

egyenlő a te koszinusz négyzetével. A te koszinuszos redukálás után megkapjuk a végső választ: kettő osztva koszinusz te).

Nézzünk példákat ezeknek a képleteknek a használatára a trigonometrikus kifejezések bizonyításakor.

3. PÉLDA Bizonyítsuk be az azonosságot (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (a te és a te érintő négyzete közötti különbség szorzata a te kotangens négyzetével egyenlő sine te).

Bizonyíték.

Alakítsuk át bal oldal egyenlőség:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Nyissuk ki a zárójeleket; az előzőleg kapott összefüggésből ismert, hogy a te érintő négyzeteinek szorzata te kotangenssel egyenlő eggyel. Emlékezzünk vissza, hogy te kotangens egyenlő az aránnyal koszinusz te szinuszos te, ami azt jelenti, hogy a kotangens négyzete a te koszinusz négyzetének a te szinusz négyzetéhez viszonyított aránya.

A te szinusznégyzettel való redukció után megkapjuk az egység és a te koszinusznégyzet különbségét, amely egyenlő a te szinusznégyzetgel. Q.E.D.

4. PÉLDA Keresse meg a tg 2 t + ctg 2 t kifejezés értékét, ha tgt + ctgt = 6!

(a te és a kotangens te négyzeteinek összege, ha az érintő és a kotangens összege hat).

Megoldás. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Négyzetesítsük az eredeti egyenlőség mindkét oldalát:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (a te érintő és a te kotangens összegének négyzete hat négyzet). Emlékezzünk vissza a rövidített szorzás képletére: Két mennyiség összegének négyzete egyenlő a négyzettel első plusz dupla termék az elsőtől a másodikig plusz a második négyzete. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Azt kapjuk, hogy tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (te érintő négyzet plusz a te érintő kétszerese a te kotangens plusz a te kotangens négyzete egyenlő Harminchat) .

Mivel a te érintő és a te kotangens szorzata eggyel egyenlő, akkor tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (a te és a te kotangens és a kettő négyzetének összege harminchat).

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete