Trigonometrikus egyenletek megoldása képletek segítségével. Trigonometrikus egyenletek megoldása
A trigonometrikus egyenletek nem könnyű téma. Túl sokfélék.) Például ezek:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = kiságy (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Stb...
De ezekben (és az összes többi) trigonometrikus szörnyben két közös dolog van: kötelező jellemzők. Először – el sem hiszed – trigonometrikus függvények vannak az egyenletekben.) Másodszor: minden x-szel rendelkező kifejezés megtalálható ugyanezen funkciókon belül.És csak ott! Ha X megjelenik valahol kívül, Például, sin2x + 3x = 3, ez már egyenlet lesz vegyes típusú. Az ilyen egyenletek megkövetelik egyéni megközelítés. Ezeket itt nem fogjuk figyelembe venni.
Ebben a leckében sem fogunk gonosz egyenleteket megoldani.) Itt azzal fogunk foglalkozni a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a megoldás Bármi A trigonometrikus egyenletek két szakaszból állnak. Az első szakaszban a gonosz egyenletet egyszerűvé redukálják különféle transzformációk révén. A másodiknál ezt a legegyszerűbb egyenletet oldjuk meg. Nincs más mód.
Tehát, ha problémái vannak a második szakaszban, az első szakasznak nincs sok értelme.)
Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Itt A bármely számot jelöl. Bármi.
Egyébként egy függvényen belül lehet, hogy nem tiszta X, hanem valamilyen kifejezés, mint pl.
cos(3x+π /3) = 1/2
stb. Ez bonyolítja az életet, de nem befolyásolja a trigonometrikus egyenlet megoldásának módszerét.
Hogyan lehet trigonometrikus egyenleteket megoldani?
A trigonometrikus egyenletek kétféleképpen oldhatók meg. Az első módszer: a logika és a trigonometrikus kör használata. Itt megnézzük ezt az utat. A második módszerről - a memória és a képletek használatával - a következő leckében lesz szó.
Az első út világos, megbízható és nehezen felejthető.) Jó trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és mindenféle trükkös megoldásra. nem szabványos példák. Logikák erősebb az emlékezetnél!)
Egyenletek megoldása trigonometrikus kör segítségével.
Beleértjük az elemi logikát és a trigonometrikus kör használatának képességét. Nem tudod hogyan? Azonban... Nehéz dolgod lesz a trigonometriában...) De nem számít. Vessen egy pillantást a "Trigonometrikus kör...... Mi ez?" és "Szögek mérése trigonometrikus körön". Ott minden egyszerű. A tankönyvekkel ellentétben...)
Ó, tudod!? És még elsajátította a „Gyakorlati munkát a trigonometrikus körrel”!? Gratulálunk. Ez a téma közel és érthető lesz számodra.) Ami különösen tetszetős, az az trigonometrikus kör nem mindegy, milyen egyenletet oldasz meg. Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens – nála minden ugyanaz. Csak egy megoldási elv létezik.
Tehát bármilyen elemi trigonometrikus egyenletet felveszünk. Legalább ezt:
cosx = 0,5
Meg kell találnunk X-et. Ha beszélünk emberi nyelv, kell keressük meg azt a szöget (x), amelynek koszinusza 0,5.
Hogyan használtuk korábban a kört? Rajzoltunk rá egy szöget. Fokban vagy radiánban. És azonnal fűrész ennek a szögnek a trigonometrikus függvényei. Most tegyük az ellenkezőjét. Rajzoljunk egy koszinuszot a körre, amely egyenlő 0,5-tel, és azonnal meglátjuk sarok. Már csak a választ kell leírni.) Igen, igen!
Rajzolj egy kört, és jelöld meg a koszinusz 0,5-tel. Természetesen a koszinusz tengelyen. Mint ez:
Most rajzoljuk meg azt a szöget, amelyet ez a koszinusz ad nekünk. Vigye az egeret a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépén), és látni fogod pont ezt a sarkot X.
Melyik szög koszinusza 0,5?
x = π /3
kötözősaláta 60°= cos( π /3) = 0,5
Vannak, akik szkeptikusan röhögnek, igen... Például érdemes volt egy kört tenni, amikor már minden világos... Lehet persze röhögni...) De tény, hogy ez egy hibás válasz. Vagy inkább elégtelen. A kör ínyencei megértik, hogy van itt egy csomó más szög is, amelyek szintén 0,5-ös koszinuszot adnak.
Ha elfordítja a mozgó oldalt OA teljes fordulat, az A pont visszatér eredeti helyzetébe. Ugyanaz a koszinusz 0,5. Azok. a szög megváltozik 360°-kal vagy 2π radiánnal, és koszinusz - nem. Új szög 60° + 360° = 420° is megoldás lesz az egyenletünkre, mert
Ilyen teljes forradalmak el tudod csavarni végtelen halmaz... És mindezek az új szögek a trigonometrikus egyenletünk megoldásai lesznek. És mindegyiket le kell írni valahogy válaszként. Minden. Egyébként a döntés nem számít, igen...)
A matematika ezt egyszerűen és elegánsan meg tudja csinálni. Írd le egy rövid válaszban végtelen halmaz döntéseket. Így néz ki az egyenletünkhöz:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
megfejtem. Még írj értelmesen Kellemesebb, mint bután rejtélyes betűket rajzolni, igaz?)
π /3 - ez ugyanaz a sarok, mint mi fűrész a körön és eltökélt a koszinusz táblázat szerint.
2π egy teljes forradalom radiánban.
n - ennyi a teljesek száma, i.e. egész fordulat Egyértelmű, hogy n egyenlő lehet 0, ±1, ±2, ±3.... és így tovább. Ahogy elhangzott rövid megjegyzés:
n ∈ Z
n tartozik ( ∈ ) egész számok halmaza ( Z ). Egyébként a levél helyett n betűk jól használhatók k, m, t stb.
Ez a jelölés azt jelenti, hogy bármilyen egész számot vehet n . Legalább -3, legalább 0, legalább +55. Amit csak akarsz. Ha ezt a számot behelyettesíti a válaszba, akkor egy meghatározott szöget kap, amely minden bizonnyal megoldása lesz a kemény egyenletünkre.)
Vagy más szóval, x = π /3 a végtelen halmaz egyetlen gyöke. Az összes többi gyökér megszerzéséhez elegendő tetszőleges számú teljes fordulatot hozzáadni π /3-hoz ( n ) radiánban. Azok. 2πn radián.
Minden? Nem. Szándékosan meghosszabbítom az élvezetet. Hogy jobban emlékezzünk.) Az egyenletünkre adott válaszoknak csak egy részét kaptuk meg. A megoldás első részét így írom le:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nem csak egy gyökér, hanem egy egész sor gyökér, rövid formában leírva.
De vannak olyan szögek is, amelyek szintén 0,5-ös koszinust adnak!
Térjünk vissza a képünkhöz, amelyről felírtuk a választ. Itt is van:
Vigye az egeret a kép fölé, és látjuk egy másik szög az 0,5 koszinuszát is ad. Szerinted mivel egyenlő? A háromszögek ugyanazok... Igen! Ő szöggel egyenlő x , csak elhalasztották negatív irány. Ez itt a sarok -X. De már kiszámoltuk x-et. π /3 vagy 60°. Ezért nyugodtan írhatjuk:
x 2 = - π /3
Nos, természetesen hozzáadjuk a teljes fordulatszámon elért összes szöget:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Most ennyi.) A trigonometrikus körön mi fűrész(aki érti, persze)) Minden szögek, amelyek 0,5 koszinuszot adnak. És röviden leírta ezeket a szögeket matematikai forma. A válasz két végtelen gyökérsorozatot eredményezett:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ez a helyes válasz.
Remény, trigonometrikus egyenletek megoldásának általános elve kör használata egyértelmű. Jelöljük a körön a koszinuszát (szinusz, érintő, kotangens). adott egyenlet, rajzolja meg a megfelelő szögeket, és írja le a választ. Természetesen rá kell jönnünk, milyen sarkok vagyunk fűrész a körön. Néha ez nem olyan nyilvánvaló. Nos, mondtam, hogy itt logika kell.)
Nézzünk például egy másik trigonometrikus egyenletet:
Felhívjuk figyelmét, hogy a 0,5 nem az egyetlen szám lehetséges szám egyenletekben!) Egyszerűen kényelmesebb leírnom, mint a gyököket és a törteket.
Az általános elv szerint dolgozunk. Rajzolunk egy kört, jelöljük meg (természetesen a szinuszos tengelyen!) 0,5. Az ennek a szinusznak megfelelő összes szöget egyszerre rajzoljuk meg. Ezt a képet kapjuk:
Először foglalkozzunk a szöggel x az első negyedévben. Felidézzük a szinusztáblázatot, és meghatározzuk ennek a szögnek az értékét. Ez egy egyszerű dolog:
x = π /6
Emlékszünk a teljes forradalmakra és azzal tiszta lelkiismeret, leírjuk a válaszok első sorozatát:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
A munka fele kész. De most meg kell határoznunk második sarok... Bonyolultabb, mint koszinuszokat használni, igen... De a logika megment minket! Hogyan határozzuk meg a második szöget x-en keresztül? Igen Könnyű! A képen látható háromszögek ugyanazok, és a piros sarok x szöggel egyenlő x . Csak azt számoljuk a π szögből negatív irányba. Ezért piros.) A válaszhoz pedig szükségünk van egy helyesen mért szögre a pozitív féltengely OX-ból, azaz. 0 fokos szögből.
Vigyük a kurzort a rajz fölé, és mindent látunk. Az első sarkot eltávolítottam, hogy ne bonyolítsam a képet. A minket érdeklő szög (zöld színnel rajzolva) egyenlő lesz:
π - x
X ezt tudjuk π /6 . Ezért a második szög a következő lesz:
π - π /6 = 5π /6
Ismét emlékezünk a teljes fordulatok hozzáadására, és írjuk le a válaszok második sorozatát:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ez minden. A teljes válasz két gyökérsorozatból áll:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Az érintő- és kotangens egyenletek könnyen megoldhatók a trigonometrikus egyenletek megoldásának ugyanazon általános elvével. Ha persze tudja, hogyan rajzoljon érintőt és kotangenst egy trigonometrikus körre.
A fenti példákban a szinusz és a koszinusz táblázatértékét használtam: 0,5. Azok. azon jelentések egyike, amelyeket a tanuló ismer kell. Most bővítsük ki képességeinket minden más érték. Dönts, hát dönts!)
Tehát tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt a trigonometrikus egyenletet:
Ilyen koszinusz érték ben rövid táblázatok Nem. Ezt a szörnyű tényt hidegen figyelmen kívül hagyjuk. Rajzolj egy kört, jelöld be a 2/3-ot a koszinusz tengelyen és rajzold meg a megfelelő szögeket. Ezt a képet kapjuk.
Nézzük először a szöget az első negyedévben. Bárcsak tudnám, miért egyenlő x-szel, rögtön le is írták volna a választ! Nem tudjuk... Kudarc!? Nyugodt! A matematika nem hagyja bajban a saját népét! Erre az esetre ív koszinuszokat talált ki. Nem tudom? Hiába. Tudja meg, ez sokkal könnyebb, mint gondolná. Ezen a linken egyetlen trükkös varázslat sincs az „inverz trigonometrikus függvényekről”... Ez ebben a témában felesleges.
Ha tisztában vagy vele, csak mondd magadnak: „X olyan szög, amelynek koszinusza 2/3.” És azonnal, pusztán az arc koszinusz definíciója alapján írhatjuk:
Emlékezzünk a további fordulatokra, és nyugodtan írjuk le trigonometrikus egyenletünk gyökeinek első sorozatát:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
A második szög gyökeinek második sorozata szinte automatikusan le van írva. Minden a régi, csak az X (arccos 2/3) lesz mínuszos:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
És ez az! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint a táblázatos értékekkel. Nem kell semmire sem emlékezni.) Egyébként a legfigyelmesebbek észreveszik, hogy ez a kép az ív koszinuszon keresztül mutatja a megoldást lényegében nem különbözik a képen láthatótól cosx egyenletek = 0,5.
Pontosan! Általános elv Ezért általános! Szándékosan rajzoltam két majdnem egyforma képet. A kör a szöget mutatja x koszinuszával. Hogy ez egy táblázatos koszinusz-e vagy sem, mindenki számára ismeretlen. Hogy ez milyen szög, π /3, vagy mekkora az arc koszinusz - ezt mi döntjük el.
Ugyanaz a dal a szinuszossal. Például:
Rajzolj újra egy kört, jelöld meg a szinust 1/3-al, rajzold meg a szögeket. Ezt a képet kapjuk:
És megint csaknem ugyanaz a kép, mint az egyenletnél sinx = 0,5. Ismét a sarokból indulunk az első negyedben. Mire egyenlő X, ha a szinusza 1/3? Nincs mit!
Most elkészült az első csomag gyökér:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Foglalkozzunk a második szöggel. A 0,5-ös táblázatértékkel rendelkező példában ez egyenlő volt:
π - x
Itt is pontosan így lesz! Csak x különbözik, arcsin 1/3. És akkor mi van!? Nyugodtan leírhatja a második gyökércsomagot:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ez egy teljesen helyes válasz. Bár nem tűnik túl ismerősnek. De remélem egyértelmű.)
Így döntenek trigonometrikus egyenletek kör segítségével. Ez az út világos és érthető. Ő az, aki elment trigonometrikus egyenletekben a gyökök kiválasztásával egy adott intervallumon, in trigonometrikus egyenlőtlenségek- ezeket általában szinte mindig körben oldják meg. Röviden, minden olyan feladatban, amely egy kicsit nehezebb, mint a szokásos.
Alkalmazzuk a tudást a gyakorlatban?)
Oldja meg a trigonometrikus egyenleteket:
Először is egyszerűbb, egyenesen ebből a leckéből.
Most már bonyolultabb a helyzet.
Tipp: itt a körre kell gondolnia. Személyesen.)
És most már külsőleg egyszerűek... Különleges eseteknek is nevezik őket.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Tipp: itt egy körben kell kitalálni, hogy hol van két válaszsorozat és hol egy... És hogyan írjunk egyet két válaszsorozat helyett. Igen, hogy egy gyökér se legyen belőle végtelen szám nem veszett el!)
Nos, nagyon egyszerű):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Tipp: itt tudnod kell, mi az az arcszinusz és az arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens? A legtöbb egyszerű meghatározások. De ne feledd, nem táblázat értékeit Nincs szükség!)
A válaszok Természetesen káosz):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nem minden sikerül? Megtörténik. Olvasd el újra a leckét. Csak elgondolkodva(van ilyen elavult szó...) És kövesse a linkeket. A fő linkek a körről szólnak. Enélkül a trigonometria olyan, mintha bekötött szemmel kelnénk át az úton. Néha működik.)
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Egyszer tanúja voltam egy beszélgetésnek két jelentkező között:
– Mikor adjunk hozzá 2πn-t, és mikor adjunk hozzá πn-t? Egyszerűen nem emlékszem!
- És nekem is ugyanez a problémám.
Csak azt akartam mondani nekik: "Nem kell memorizálni, hanem megérteni!"
Ez a cikk elsősorban középiskolásoknak szól, és remélem, segít nekik a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek „megértése” megoldásában:
Számkör
A számegyenes fogalma mellett ott van a fogalom is számkör. Mint tudjuk, V téglalap alakú rendszer a kör koordinátái, s a (0;0) pontban lévő középpontot és az 1 sugarat egységnek nevezzük. Képzeljük el a számegyenest vékony szálként, és tekerjük körbe: az origó (0. pont), tegyük a „helyes” pontba. egységkör, a pozitív féltengelyt az óramutató járásával ellentétes irányba, a negatívat pedig az óramutató járásával ellentétes irányba tekerjük (1. ábra). Az ilyen egységkört numerikus körnek nevezzük.
A számkör tulajdonságai
- Minden valós szám a számkör egy pontján található.
- A számkör minden pontjában végtelenül sok van valós számok. Mivel az egységkör hossza 2π, a kör egy pontjában lévő bármely két szám különbsége egyenlő a ±2π számok egyikével; ±4π ; ±6π ; ...
Következzünk: Az A pont egyik számának ismeretében megtalálhatjuk az A pont összes számát.
Rajzoljuk meg az AC átmérőjét (2. ábra). Mivel x_0 az A pont egyik száma, ezért az x_0±π számok; x_0±3π; x_0±5π; ... és csak ezek lesznek a C pont számai. Válasszunk ezek közül egyet, mondjuk x_0+π, és írjuk fel vele a C pont összes számát: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Vegyük észre, hogy az A és C pontokban lévő számok egy képletbe összevonhatók: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (ha k = 0; ±2; ±4; ... megkapjuk a az A pont, k = ±3 esetén pedig a C pont számai;
Következzünk: ismerve az AC átmérő valamelyik A vagy C pontjában lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.
- Kettő ellentétes számok A kör azon pontjain helyezkednek el, amelyek szimmetrikusak az abszcissza tengelyéhez képest.
Rajzoljunk egy AB függőleges húrt (2. ábra). Mivel az A és B pont szimmetrikus az Ox tengelyre, az -x_0 szám a B pontban található, és ezért a B pont összes számát a következő képlet adja meg: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Az A és B pontban lévő számokat egy képlettel írjuk fel: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Következtetés: ismerve az AB függőleges húr egyik A vagy B pontjában lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot. Tekintsük az AD vízszintes húrt és keressük a számokat D pont (2. ábra). Mivel BD egy átmérő, és az -x_0 szám a B ponthoz tartozik, akkor -x_0 + π a D pont egyik száma, ezért ennek a pontnak az összes számát az x_D=-x_0+π+ képlet adja meg. 2πk ,k∈Z. Az A és D pontokban lévő számok egy képlettel írhatók fel: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … esetén az A pont számait kapjuk, k esetén pedig = ±1; ±3; ±5; … – a D pont számait).
Következzünk: ismerve az AD vízszintes húr egyik A vagy D pontjában található számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.
A számkör tizenhat fő pontja
A gyakorlatban a legtöbb legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldása egy kör tizenhat pontját foglalja magában (3. ábra). Mik ezek a pontok? Piros, kék és zöld pontok osztják a kört 12-re egyenlő részek. Mivel a félkör hossza π, akkor az A1A2 ív hossza π/2, az A1B1 ívé π/6, az A1C1 ívé pedig π/3.
Most egyszerre csak egy számot jelezhetünk: 
π/3 a C1 és
A narancssárga négyzet csúcsai az egyes negyedek íveinek felezőpontjai, ezért az A1D1 ív hossza egyenlő π/4-gyel, és ezért π/4 a D1 pont egyik száma. A számkör tulajdonságait felhasználva képletekkel felírhatjuk körünk összes megjelölt pontjára az összes számot. Ezen pontok koordinátáit is jelöljük az ábrán (elsajátításuk leírását mellőzzük).
A fentiek megtanulása után most már kellő felkészültséggel rendelkezünk speciális esetek megoldására (a szám kilenc értékére a) legegyszerűbb egyenletek.
Egyenletek megoldása
1)sinx=1⁄(2).
- Mit követelnek tőlünk?
– Keresse meg azokat az x számokat, amelyek szinusza 1/2.
Emlékezzünk a szinusz definíciójára: sinx – a számkör azon pontjának ordinátája, amelyen az x szám található. Két olyan pont van a körön, amelyek ordinátája 1/2. Ezek a B1B2 vízszintes húr végei. Ez azt jelenti, hogy a „oldja meg a sinx=1⁄2 egyenletet” követelmény egyenértékű a „keresse meg az összes számot a B1 pontban és az összes számot a B2 pontban” követelménnyel.
2)sinx=-√3⁄2 .
Meg kell találnunk az összes számot a C4 és C3 pontokban.
3) sinx=1. A körön csak egy pontunk van 1 ordinátával - A2 pont, és ezért csak ennek a pontnak az összes számát kell megtalálnunk.
Válasz: x=π/2+2πk , k∈Z .
4)sinx=-1 .
Csak az A_4 pont ordinátája -1. Ennek a pontnak az összes száma az egyenlet lovai lesz.
Válasz: x=-π/2+2πk, k∈Z.
5) sinx=0 .
A körön van két 0 ordinátájú pont - A1 és A3 pont. A számokat mindegyik pontnál külön-külön is feltüntetheti, de mivel ezek a pontok átlósan ellentétesek, jobb, ha összevonjuk őket egy képlettel: x=πk,k∈Z.
Válasz: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
Emlékezzünk a koszinusz definíciójára: cosx a számkör azon pontjának abszcisszán, amelyen az x szám található. A körön van két pontunk √2⁄2 abszcisszával - a D1D4 vízszintes húr végei. Meg kell találnunk az összes számot ezeken a pontokon. Írjuk fel őket egy képletbe egyesítve.
Válasz: x=±π/4+2πk, k∈Z.
7) cosx=-1⁄2 .
Meg kell találnunk a számokat a C_2 és C_3 pontokban.
Válasz: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Csak az A2 és A4 pontok abszcissza 0, ami azt jelenti, hogy ezekben a pontokban az összes szám megoldása lesz az egyenletnek. 
.
A rendszer egyenletének megoldásai a cosx egyenlőtlenség B_3 és B_4 pontjaiban található számok<0 удовлетворяют только числа b_3
Válasz: x=-5π/6+2πk, k∈Z.
Vegye figyelembe, hogy x bármely megengedett értékénél a második tényező pozitív, ezért az egyenlet ekvivalens a rendszerrel
A rendszeregyenlet megoldásai a D_2 és D_3 pontok száma. A D_2 pont számai nem elégítik ki a sinx≤0,5 egyenlőtlenséget, a D_3 pont számai viszont igen.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Példák:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
A trigonometrikus egyenletek megoldása:
Minden trigonometrikus egyenletet a következő típusok egyikére kell redukálni:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
ahol \(t\) egy x-szel rendelkező kifejezés, \(a\) egy szám. Az ilyen trigonometrikus egyenleteket ún a legegyszerűbb. Könnyen megoldhatók () vagy speciális képletekkel:
Példa . Oldja meg a \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\ trigonometrikus egyenletet.
Megoldás:
Válasz: \(\left[ \begin(összegyűjtött)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(összegyűjtött)\jobbra.\) \(k,n∈Z\)
Hogy mit jelentenek az egyes szimbólumok a trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletében, lásd.
Figyelem! A \(\sinx=a\) és \(\cosx=a\) egyenleteknek nincs megoldása, ha \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Mivel bármely x szinusza és koszinusza nagyobb vagy egyenlő, mint \(-1\), és kisebb vagy egyenlő, mint \(1\):
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Példa
. Oldja meg a \(\cosx=-1,1\) egyenletet!
Megoldás:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Válasz
: nincs megoldás.
Példa . Oldja meg a tg\(x=1\) trigonometrikus egyenletet!
Megoldás:
|
|
Oldjuk meg az egyenletet a számkör segítségével. Ezért: |
Példa
. Oldja meg a \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\ trigonometrikus egyenletet.
Megoldás:
|
|
Használjuk ismét a számkört. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Szokás szerint \(x\)-t egyenletekben fejezzük ki. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
A trigonometrikus egyenletek legegyszerűbbre redukálása kreatív feladat, ahol az egyenletek megoldásához speciális módszereket kell használni:
- Módszer (a legnépszerűbb az egységes államvizsgán).
- Módszer.
- Segédérvek módszere.
Nézzünk egy példát a másodfokú trigonometrikus egyenlet megoldására
Példa . Oldja meg a \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) trigonometrikus egyenletetMegoldás:
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Végezzük el a \(t=\cosx\) cserét. |
|
Egyenletünk tipikussá vált. segítségével megoldhatod. |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Fordított cserét végzünk. |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Az első egyenletet a számkör segítségével oldjuk meg. |
 |
Írjuk fel az összes ezeken a pontokon fekvő számokat. |
Példa egy trigonometrikus egyenlet megoldására az ODZ tanulmányozásával:
Példa (USE) . Oldja meg a \(=0\) trigonometrikus egyenletet|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Van egy tört és van egy kotangens - ez azt jelenti, hogy fel kell írnunk. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a kotangens valójában egy tört: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Ezért a ctg\(x\) ODZ értéke: \(\sinx≠0\). |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Jelöljük a számkörön a „nem megoldásokat”. |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Szabaduljunk meg az egyenletben szereplő nevezőtől úgy, hogy megszorozzuk ctg\(x\)-el. Ezt megtehetjük, hiszen fentebb írtuk, hogy ctg\(x ≠0\). |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Alkalmazzuk a képletet kettős szög szinusz esetén: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Ha kezeid kinyújtják a koszinuszos osztódást, húzd vissza! Oszthat egy változót tartalmazó kifejezéssel, ha az biztosan nem egyenlő nullával (például ezek: \(x^2+1,5^x\)). Ehelyett tegyük a \(\cosx\) karaktert a zárójelek közé. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
„Vasszuk ketté” az egyenletet. |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Oldjuk meg az első egyenletet a számkör segítségével. Osszuk el a második egyenletet \(2\)-vel, és mozgassuk a \(\sinx\)-t ide jobb oldal. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
A kapott gyökerek nem szerepelnek az ODZ-ben. Ezért válaszként nem írjuk le őket. |
|
Ismét egy kört használunk. |
|
|
|
Ezeket a gyökereket az ODZ nem zárja ki, ezért beírhatja őket a válaszba. |
Problémájára részletes megoldást rendelhet!!!
A trigonometrikus függvény (`sin x, cos x, tan x` vagy `ctg x`) előjele alatt ismeretlent tartalmazó egyenlőséget trigonometrikus egyenletnek nevezzük, és ezek képleteit vizsgáljuk meg a továbbiakban.
A legegyszerűbb egyenletek a `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ahol `x` a keresendő szög, `a` tetszőleges szám. Írjuk fel mindegyikhez a gyökképleteket.
1. `sin x=a` egyenlet.
Az `|a|>1` esetén nincs megoldás.
Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.
Gyökképlet: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. "cos x=a" egyenlet
Az `|a|>1` - mint a szinusz esetében - nincs megoldása valós számok között.
Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.
Gyökképlet: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Szinusz és koszinusz speciális esetei grafikonokban. 
3. "tg x=a" egyenlet
Végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.
Gyökérképlet: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. `ctg x=a` egyenlet
Ezenkívül végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.
Gyökérképlet: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
A táblázatban szereplő trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletei
A szinuszhoz: 
A koszinuszhoz: 
Érintő és kotangens esetén: 
Képletek inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldására:
Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei
Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésből áll:
- a legegyszerűbbre való átalakítás segítségével;
- oldja meg a fent leírt gyökképletek és táblázatok segítségével kapott legegyszerűbb egyenletet.
Nézzük meg a fő megoldási módszereket példák segítségével.
Algebrai módszer.
Ez a módszer magában foglalja egy változó lecserélését és egyenlőségbe való behelyettesítését.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
cserélje ki: `cos(x+\frac \pi 6)=y, majd `2y^2-3y+1=0`,
megtaláljuk a gyökereket: `y_1=1, y_2=1/2`, amiből két eset következik:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Válasz: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizáció.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `sin x+cos x=1`.
Megoldás. Mozgassuk az egyenlőség összes tagját balra: `sin x+cos x-1=0`. A segítségével átalakítjuk és faktorizáljuk bal oldal:
"sin x - 2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Válasz: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukálás homogén egyenletre
Először is le kell redukálnia ezt a trigonometrikus egyenletet a két alak egyikére:
"a sin x+b cos x=0" ( homogén egyenlet elsőfokú) vagy `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (másodfokú homogén egyenlet).
Ezután ossza el mindkét részt `cos x \ne 0` -val - az első esetben, és "cos^2 x \ne 0" - a második esetben. Egyenleteket kapunk a `tg x`-re: `a tg x+b=0` és `a tg^2 x + b tg x +c =0`, amelyeket ismert módszerekkel kell megoldani.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Megoldás. Írjuk a jobb oldalt a következőképpen: `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ez egy homogén másodfokú trigonometrikus egyenlet, bal és jobb oldalát elosztjuk `cos^2 x \ne 0`-val, így kapjuk:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Vezessük be a `tg x=t` helyettesítést, ami `t^2 + t - 2=0`-t eredményez. Ennek az egyenletnek a gyöke: `t_1=-2` és `t_2=1`. Akkor:
- „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Válasz. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Áttérés félszögre
Példa. Oldja meg az egyenletet: "11 sin x - 2 cos x = 10".
Megoldás. Alkalmazzuk a kettős szögképleteket, aminek eredménye: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
"4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0".
A fentiek alkalmazása algebrai módszer, kapunk:
- „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
- „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.
Válasz. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Segédszög bevezetése
Az „a sin x + b cos x =c” trigonometrikus egyenletben, ahol a,b,c együtthatók, x pedig egy változó, mindkét oldalt ossza el „sqrt (a^2+b^2)”-vel:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".
A bal oldali együtthatók szinusz és koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, vagyis négyzeteinek összege 1, moduljaik pedig nem nagyobbak 1-nél. Jelöljük őket a következő módon: `\frac a(sqrt (a^2+b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c( sqrt (a^2+b^2))=C`, majd:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Nézzük meg közelebbről a következő példát:
Példa. Oldja meg az egyenletet: `3 sin x+4 cos x=2`.
Megoldás. Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk `sqrt (3^2+4^2)-vel, így kapjuk:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".
Jelöljük `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Mivel a `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, majd as segédszög vegyük `\varphi=arcsin 4/5`. Ezután az egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
A szinusz szögösszegének képletét alkalmazva egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:
"sin (x+\varphi)=2/5",
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Válasz. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Törtracionális trigonometrikus egyenletek
Ezek olyan tört egyenlőségek, amelyek számlálói és nevezői trigonometrikus függvényeket tartalmaznak.
Példa. Oldja meg az egyenletet. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.
Megoldás. Szorozd meg és oszd el az egyenlőség jobb oldalát "(1+cos x)"-vel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Figyelembe véve, hogy a nevező nem lehet egyenlő nullával, a következőt kapjuk: `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Tegyük egyenlővé a tört számlálóját nullával: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Ezután `sin x=0` vagy `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Tekintettel arra, hogy ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, a megoldások: `x=2\pi n, n \in Z` és `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Válasz. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
A trigonometriát és különösen a trigonometrikus egyenleteket a geometria, a fizika és a mérnöki tudomány szinte minden területén használják. A tanulás a 10. osztályban kezdődik, az egységes államvizsgához mindig vannak feladatok, ezért próbálja meg emlékezni a trigonometrikus egyenletek összes képletére - ezek biztosan hasznosak lesznek az Ön számára!
Azonban még csak memorizálni sem kell őket, a lényeg az, hogy megértsük a lényeget és le tudjuk vezetni. Nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Győződjön meg Ön is a videó megtekintésével.
Sok megoldásánál matematikai problémákat , különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen problémák például a lineáris ill másodfokú egyenletek, lineáris és másodfokú egyenlőtlenségek, törtegyenletekés másodfokúvá redukáló egyenletek. Az egyes említett problémák sikeres megoldásának elve a következő: meg kell állapítani, hogy milyen típusú problémát kell megoldani, emlékezni kell a szükséges műveletsorra, amely a kívánt eredményt, azaz válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.
Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás összes szakaszának sorrendjét. Természetesen a teljesítményhez szükséges készség identitás-transzformációkés a számítástechnika.
Más a helyzet vele trigonometrikus egyenletek. Egyáltalán nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.
Által kinézet egyenlet alapján néha nehéz meghatározni a típusát. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.
A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnia:
1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt „azonos szögekbe”;
2. hozza az egyenletet „azonos függvényekre”;
3. faktorozza az egyenlet bal oldalát stb.
Mérlegeljük trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.
I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre
Megoldási diagram
1. lépés. Expressz trigonometrikus függvény ismert komponenseken keresztül.
2. lépés. Keresse meg a függvény argumentumát a képletekkel:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
3. lépés Keresse meg az ismeretlen változót.
Példa.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Megoldás.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Változó csere
Megoldási diagram
1. lépés. Csökkentse az egyenletet erre algebrai forma az egyik trigonometrikus függvényhez képest.
2. lépés. Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).
3. lépésÍrja fel és oldja meg a kapott algebrai egyenletet!
4. lépés. Végezzen fordított cserét.
5. lépés. Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!
Példa.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Megoldás.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vagy e = -3/2, nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Egyenletsorredukciós módszer
Megoldási diagram
1. lépés. Cserélje ki adott egyenlet lineáris, a fokcsökkentési képletekkel:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. lépés. Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!
Példa.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Megoldás.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogén egyenletek
Megoldási diagram
1. lépés. Csökkentse ezt az egyenletet a formára
a) a sin x + b cos x = 0 (elsőfokú homogén egyenlet)
vagy a kilátáshoz
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).
2. lépés. Oszd el az egyenlet mindkét oldalát
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
és kapjuk meg a tan x egyenletet:
a) a cser x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Megoldás.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Legyen tg x = t, akkor
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 vagy t = -4, ami azt jelenti
tg x = 1 vagy tg x = -4.
Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel
Megoldási diagram
1. lépés. Mindenféle felhasználásával trigonometrikus képletek, redukáljuk ezt az egyenletet az I., II., III., IV. módszerrel megoldott egyenletre.
2. lépés. Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Megoldás.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;
Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.
Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ennek eredményeként x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Válasz: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon 
Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel, mind a tanuló, mind a tanár részéről.
A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik. Az ilyen feladatok megoldásának folyamata számos olyan tudást és készséget testesít meg, amelyet a trigonometria elemeinek tanulmányozása során sajátítanak el.
A trigonometrikus egyenletek úgy fontos hely a matematika és általában a személyiségfejlesztés folyamatában.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete