Hogyan oldjuk meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket. Trigonometrikus egyenletek

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fogalma.

• Egy trigonometrikus egyenlet megoldásához alakítsa át egy vagy több alapvető trigonometrikus egyenletté. Egy trigonometrikus egyenlet megoldása végül a négy alapvető trigonometrikus egyenlet megoldásához vezet.

Trigonometrikus alapegyenletek megoldása.

• Négyféle alapvető trigonometrikus egyenlet létezik:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Az alapvető trigonometrikus egyenletek megoldása magában foglalja a különböző "x" pozíciók figyelembevételét egységkör, és konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével.
• 1. példa sin x = 0,866. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = π/3. Az egységkör másik választ ad: 2π/3. Mindenre emlékszik trigonometrikus függvények periodikusak, azaz értékeik ismétlődnek. Például a sin x és cos x periodicitása 2πn, a tg x és ctg x periodicitása pedig πn. Ezért a válasz a következőképpen van leírva:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• 2. példa cos x = -1/2. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = 2π/3. Az egységkör másik választ ad: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• 3. példa tg (x - π/4) = 0.
• Válasz: x = π/4 + πn.
• 4. példa ctg 2x = 1,732.
• Válasz: x = π/12 + πn.

A trigonometrikus egyenletek megoldásában használt transzformációk.

• A trigonometrikus egyenletek átalakításához használja a algebrai transzformációk(faktorizálás, redukció homogén tagok stb.) és trigonometrikus azonosságok.
• 5. példa: Trigonometrikus azonosságok felhasználásával a sin x + sin 2x + sin 3x = 0 egyenletet a 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 egyenletté alakítjuk. Így a következő alapkérdésekre van szükség megoldandó trigonometrikus egyenletek: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Szögek keresése által ismert értékek funkciókat.

  • Mielőtt megtanulná a trigonometrikus egyenletek megoldását, meg kell tanulnia, hogyan találhat szögeket ismert függvényértékek segítségével. Ez megtehető egy konverziós táblázat vagy számológép segítségével.
  • Példa: cos x = 0,732. A számológép azt a választ adja, hogy x = 42,95 fok. Az egységkör további szögeket ad, amelyek koszinusza szintén 0,732.

• Tegye félre az oldatot az egységkörön.

  • Az egységkörön egy trigonometrikus egyenlet megoldásait ábrázolhatja. Az egységkörön lévő trigonometrikus egyenlet megoldásai egy szabályos sokszög csúcsai.
  • Példa: Az egységkörön lévő x = π/3 + πn/2 megoldások a négyzet csúcsait jelentik.
  • Példa: Az egységkörön lévő x = π/4 + πn/3 megoldások egy szabályos hatszög csúcsait jelentik.

• Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.

  • Ha egy adott trigonometrikus egyenlet csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz, oldja meg ezt az egyenletet trigonometrikus alapegyenletként. Ha adott egyenlet két vagy több trigonometrikus függvényt tartalmaz, akkor 2 módszer létezik egy ilyen egyenlet megoldására (a transzformáció lehetőségétől függően).
    • 1. módszer.
  • Alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: f(x)*g(x)*h(x) = 0, ahol f(x), g(x), h(x) a trigonometrikus alapegyenletek.
  • 6. példa 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Megoldás. Képlet segítségével kettős szög sin 2x = 2*sin x*cos x, cserélje ki a sin 2x-et.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Most oldjuk meg a két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.
  • 7. példa cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsuk át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Most oldjuk meg a két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2cos x + 1) = 0.
  • 8. példa sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Most oldja meg a két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2sin x + 1) = 0 .
    • 2. módszer.
  • Alakítsa át a megadott trigonometrikus egyenletet olyan egyenletté, amely csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz. Ezután cserélje ki ezt a trigonometrikus függvényt egy ismeretlenre, például t-re (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t stb.).
  • 9. példa 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Megoldás. Ebben az egyenletben a (cos^2 x) helyére (1 - sin^2 x) lép (az azonosságnak megfelelően). A transzformált egyenlet a következő:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Cserélje le a sin x-et t-re. Most az egyenlet így néz ki: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ez egy másodfokú egyenlet, amelynek két gyökere van: t1 = -1 és t2 = 9/5. A második t2 gyök nem elégíti ki a függvénytartományt (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10. példa tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Megoldás. Cserélje ki tg x-et t-re. Újraírni eredeti egyenlet V a következő űrlapot: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Most keresse meg t-t, majd keresse meg x-et, ha t = tan x.

A trigonometrikus egyenletek nem könnyű téma. Túl sokfélék.) Például ezek:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = kiságy (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Stb...

De ezekben (és az összes többi) trigonometrikus szörnyben két közös dolog van: kötelező jellemzők. Először is – el sem hiszed – trigonometrikus függvények vannak az egyenletekben.) Másodszor: minden x-szel rendelkező kifejezés megtalálható ugyanezen funkciókon belül.És csak ott! Ha X megjelenik valahol kívül, Például, sin2x + 3x = 3, ez már egyenlet lesz vegyes típusú. Az ilyen egyenletek megkövetelik egyéni megközelítés. Ezeket itt nem fogjuk figyelembe venni.

Ebben a leckében sem fogunk gonosz egyenleteket megoldani.) Itt azzal fogunk foglalkozni a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a megoldás Bármi A trigonometrikus egyenletek két szakaszból állnak. Az első szakaszban a gonosz egyenletet egyszerűvé redukálják különféle transzformációk révén. A másodiknál ​​ezt a legegyszerűbb egyenletet oldjuk meg. Nincs más mód.

Tehát, ha problémái vannak a második szakaszban, az első szakasznak nincs sok értelme.)

Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Itt A bármely számot jelöl. Bármi.

Egyébként egy függvényen belül lehet, hogy nem tiszta X, hanem valamilyen kifejezés, mint pl.

cos(3x+π /3) = 1/2

stb. Ez bonyolítja az életet, de nem befolyásolja a trigonometrikus egyenlet megoldásának módszerét.

Hogyan lehet trigonometrikus egyenleteket megoldani?

A trigonometrikus egyenletek kétféleképpen oldhatók meg. Az első módszer: a logika és a trigonometrikus kör használata. Itt megnézzük ezt az utat. A második módszerről - a memória és a képletek használatával - a következő leckében lesz szó.

Az első út világos, megbízható és nehezen felejthető.) Jó trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és mindenféle trükkös megoldásra. nem szabványos példák. Logikák erősebb az emlékezetnél!)

Egyenletek megoldása trigonometrikus kör segítségével.

Beleértjük az elemi logikát és a trigonometrikus kör használatának képességét. Nem tudod hogyan? Azonban... Nehéz dolgod lesz a trigonometriában...) De nem számít. Vessen egy pillantást a "Trigonometrikus kör...... Mi ez?" és "Szögek mérése trigonometrikus körön". Ott minden egyszerű. A tankönyvekkel ellentétben...)

Ó, tudod!? És még elsajátította a „Gyakorlati munkát a trigonometrikus körrel”!? Gratulálunk. Ez a téma közeli és érthető lesz számodra.) Ami különösen tetszetős, az az trigonometrikus kör nem mindegy, milyen egyenletet oldasz meg. Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens – nála minden ugyanaz. Csak egy megoldási elv létezik.

Tehát bármelyik elemi trigonometrikus egyenletet felvesszük. Legalább ezt:

cosx = 0,5

Meg kell találnunk X-et. Ha beszélünk emberi nyelv, kell keressük meg azt a szöget (x), amelynek koszinusza 0,5.

Hogyan használtuk korábban a kört? Rajzoltunk rá egy szöget. Fokban vagy radiánban. És azonnal fűrész ennek a szögnek a trigonometrikus függvényei. Most tegyük az ellenkezőjét. Rajzoljunk a 0,5-tel egyenlő koszinuszot a körre és azonnal meglátjuk sarok. Már csak a választ kell leírni.) Igen, igen!

Rajzolj egy kört, és jelöld meg a koszinusz 0,5-tel. Természetesen a koszinusz tengelyen. Mint ez:

Most rajzoljuk meg azt a szöget, amelyet ez a koszinusz ad nekünk. Vigye az egeret a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépén), és látni fogod pont ezt a sarkot X.

Melyik szög koszinusza 0,5?

x = π /3

kötözősaláta 60°= cos( π /3) = 0,5

Vannak, akik szkeptikusan röhögnek, igen... Például érdemes volt egy kört tenni, amikor már minden világos... Lehet persze röhögni...) De tény, hogy ez egy hibás válasz. Vagy inkább elégtelen. A kör ínyencei megértik, hogy van itt egy csomó más szög is, amelyek szintén 0,5 koszinuszot adnak.

Ha elfordítja a mozgó oldalt OA teljes fordulat, az A pont visszatér eredeti helyzetébe. Ugyanaz a koszinusz 0,5. Azok. a szög megváltozik 360°-kal vagy 2π radiánnal, és koszinusz - nem. Új szög 60° + 360° = 420° is megoldás lesz az egyenletünkre, mert

Ilyen teljes forradalmak végtelen számot tekerhetsz fel... És ezek az új szögek a trigonometrikus egyenletünk megoldásai lesznek. És mindegyiket le kell írni valahogy válaszként. Minden. Egyébként a döntés nem számít, igen...)

A matematika ezt egyszerűen és elegánsan meg tudja csinálni. Írd le egy rövid válaszban végtelen halmaz döntéseket. Így néz ki az egyenletünkhöz:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

megfejtem. Még írj értelmesen Kellemesebb, mint bután rejtélyes betűket rajzolni, igaz?)

π /3 - ez ugyanaz a sarok, mint mi fűrész a körön és eltökélt a koszinusz táblázat szerint.

2π egy teljes forradalom radiánban.

n - ennyi a teljesek száma, i.e. egész fordulat Egyértelmű, hogy n egyenlő lehet 0, ±1, ±2, ±3.... és így tovább. Ahogy elhangzott rövid jegyzet:

n ∈ Z

n tartozik ( ∈ ) egész számok halmaza ( Z ). Egyébként a levél helyett n betűk jól használhatók k, m, t stb.

Ez a jelölés azt jelenti, hogy bármilyen egész számot vehet n . Legalább -3, legalább 0, legalább +55. Amit csak akarsz. Ha ezt a számot behelyettesíti a válaszba, akkor egy meghatározott szöget kap, amely minden bizonnyal megoldása lesz a kemény egyenletünkre.)

Vagy más szóval, x = π /3 az egyetlen gyökere végtelen szám. Az összes többi gyökér megszerzéséhez elegendő tetszőleges számú teljes fordulatot hozzáadni π /3-hoz ( n ) radiánban. Azok. 2πn radián.

Minden? Nem. Szándékosan meghosszabbítom az élvezetet. Hogy jobban emlékezzünk.) Az egyenletünkre adott válaszoknak csak egy részét kaptuk meg. A megoldás első részét így írom le:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nem csak egy gyökér, hanem egy egész sor gyökér, rövid formában leírva.

De vannak olyan szögek is, amelyek szintén 0,5-ös koszinust adnak!

Térjünk vissza a képünkhöz, amelyről felírtuk a választ. Itt is van:

Vigye az egeret a kép fölé, és látjuk egy másik szög az 0,5 koszinuszát is ad. Szerinted mivel egyenlő? A háromszögek ugyanazok... Igen! Ő szöggel egyenlő x , csak elhalasztották negatív irány. Ez itt a sarok -X. De már kiszámoltuk x-et. π /3 vagy 60°. Ezért nyugodtan írhatjuk:

x 2 = - π /3

Nos, természetesen hozzáadjuk a teljes fordulatszámon elért összes szöget:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Most ennyi.) A trigonometrikus körön mi fűrész(aki érti, persze)) Minden szögek, amelyek 0,5 koszinuszot adnak. És röviden leírta ezeket a szögeket matematikai forma. A válasz két végtelen gyökérsorozatot eredményezett:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ez a helyes válasz.

Remény, trigonometrikus egyenletek megoldásának általános elve kör használata egyértelmű. Jelöljük a körön a koszinuszát (szinusz, érintő, kotangens). adott egyenlet, rajzolja meg a megfelelő szögeket, és írja le a választ. Természetesen rá kell jönnünk, milyen sarkok vagyunk fűrész a körön. Néha ez nem olyan nyilvánvaló. Nos, mondtam, hogy itt logika kell.)

Nézzünk például egy másik trigonometrikus egyenletet:

Felhívjuk figyelmét, hogy a 0,5 nem az egyetlen szám lehetséges szám egyenletekben!) Egyszerűen kényelmesebb leírnom, mint a gyököket és a törteket.

Az általános elv szerint dolgozunk. Rajzolunk egy kört, jelöljük meg (természetesen a szinuszos tengelyen!) 0,5. Az ennek a szinusznak megfelelő összes szöget egyszerre rajzoljuk meg. Ezt a képet kapjuk:

Először foglalkozzunk a szöggel x az első negyedévben. Felidézzük a szinusztáblázatot, és meghatározzuk ennek a szögnek az értékét. Ez egy egyszerű dolog:

x = π /6

Emlékszünk a teljes forradalmakra és azzal tiszta lelkiismeret, leírjuk a válaszok első sorozatát:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

A munka fele kész. De most meg kell határoznunk második sarok... Bonyolultabb, mint koszinuszokat használni, igen... De a logika megment minket! Hogyan határozzuk meg a második szöget x-en keresztül? Igen Könnyű! A képen látható háromszögek ugyanazok, és a piros sarok x szöggel egyenlő x . Csak azt számoljuk a π szögből negatív irányba. Ezért piros.) A válaszhoz pedig szükségünk van egy helyesen mért szögre a pozitív féltengely OX-ból, azaz. 0 fokos szögből.

Vigyük a kurzort a rajz fölé, és mindent látunk. Az első sarkot eltávolítottam, hogy ne bonyolítsam a képet. A minket érdeklő szög (zöld színnel rajzolva) egyenlő lesz:

π - x

X ezt tudjuk π /6 . Ezért a második szög a következő lesz:

π - π /6 = 5π /6

Ismét emlékezünk a teljes fordulatok hozzáadására, és írjuk le a válaszok második sorozatát:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ez minden. A teljes válasz két gyökérsorozatból áll:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Az érintő- és kotangens egyenletek könnyen megoldhatók a trigonometrikus egyenletek megoldásának ugyanazon általános elvével. Ha természetesen tudja, hogyan kell érintőt és kotangenst rajzolni egy trigonometrikus körre.

A fenti példákban a szinusz és a koszinusz táblázatértékét használtam: 0,5. Azok. azon jelentések egyike, amelyeket a tanuló ismer kell. Most bővítsük ki képességeinket minden más érték. Dönts, hát dönts!)

Tehát tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt a trigonometrikus egyenletet:

Ilyen koszinusz érték ben rövid táblázatok Nem. Ezt a szörnyű tényt hidegen figyelmen kívül hagyjuk. Rajzolj egy kört, jelöld be a 2/3-ot a koszinusz tengelyen és rajzold meg a megfelelő szögeket. Ezt a képet kapjuk.

Nézzük először a szöget az első negyedévben. Bárcsak tudnám, miért egyenlő x-szel, rögtön le is írták volna a választ! Nem tudjuk... Kudarc!? Nyugodt! A matematika nem hagyja bajban a saját népét! Erre az esetre ív koszinuszokat talált ki. Nem tudom? Hiába. Tudja meg, ez sokkal könnyebb, mint gondolná. Ezen a linken egyetlen trükkös varázslat sincs az „inverz trigonometrikus függvényekről”... Ez ebben a témában felesleges.

Ha tisztában vagy vele, csak mondd magadnak: „X olyan szög, amelynek koszinusza 2/3.” És azonnal, pusztán az arc koszinusz definíciója alapján írhatjuk:

Emlékezzünk a további fordulatokra, és nyugodtan írjuk le trigonometrikus egyenletünk gyökeinek első sorozatát:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A második szög gyökeinek második sorozata szinte automatikusan le van írva. Minden a régi, csak az X (arccos 2/3) lesz mínuszos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

És ez az! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint a táblázatos értékekkel. Nem kell semmire sem emlékezni.) Egyébként a legfigyelmesebbek észreveszik, hogy ez a kép az ív koszinuszon keresztül mutatja a megoldást lényegében nem különbözik a képen láthatótól cosx egyenletek = 0,5.

Pontosan! Általános elv Ezért általános! Szándékosan rajzoltam két majdnem egyforma képet. A kör a szöget mutatja x koszinuszával. Hogy ez egy táblázatos koszinusz-e vagy sem, mindenki számára ismeretlen. Hogy ez milyen szög, π /3, vagy mekkora az arc koszinusz - ezt mi döntjük el.

Ugyanaz a dal a szinuszossal. Például:

Rajzolj újra egy kört, jelöld meg a szinust 1/3-dal, rajzold meg a szögeket. Ezt a képet kapjuk:

És megint csaknem ugyanaz a kép, mint az egyenletnél sinx = 0,5. Ismét a sarokból indulunk az első negyedben. Mire egyenlő X, ha a szinusza 1/3? Nincs mit!

Most elkészült az első csomag gyökér:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Foglalkozzunk a második szöggel. A 0,5-ös táblázatértékkel rendelkező példában ez egyenlő volt:

π - x

Itt is pontosan így lesz! Csak x különbözik, arcsin 1/3. És akkor mi van!? Nyugodtan leírhatja a második gyökércsomagot:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ez egy teljesen helyes válasz. Bár nem tűnik túl ismerősnek. De remélem egyértelmű.)

Így oldják meg a trigonometrikus egyenleteket kör segítségével. Ez az út világos és érthető. Ő ment trigonometrikus egyenletekben a gyökök kiválasztásával egy adott intervallumon, in trigonometrikus egyenlőtlenségek- ezeket általában szinte mindig körben oldják meg. Röviden, minden olyan feladatban, amely egy kicsit nehezebb, mint a szokásos.

Alkalmazzuk a tudást a gyakorlatban?)

Oldja meg a trigonometrikus egyenleteket:

Először is egyszerűbb, egyenesen ebből a leckéből.

Most már bonyolultabb a helyzet.

Tipp: itt a körre kell gondolnia. Személyesen.)

És most már külsőleg egyszerűek... Különleges eseteknek is nevezik őket.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tipp: itt egy körben kell kitalálni, hogy hol van két válaszsorozat és hol egy... És hogyan írjunk egyet két válaszsorozat helyett. Igen, hogy egy gyökér se legyen belőle végtelen szám nem veszett el!)

Nos, nagyon egyszerű):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tipp: itt tudnod kell, mi az az arcszinusz és az arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens? A legtöbb egyszerű meghatározások. De ne feledd, nem táblázat értékeit Nincs szükség!)

A válaszok Természetesen káosz):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nem minden sikerül? Megtörténik. Olvasd el újra a leckét. Csak elgondolkodva(van ilyen elavult szó...) És kövesse a linkeket. A fő linkek a körről szólnak. Enélkül a trigonometria olyan, mintha bekötött szemmel kelnénk át az úton. Néha működik.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Sok megoldásánál matematikai problémák , különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen problémák például a lineáris ill másodfokú egyenletek, lineáris és másodfokú egyenlőtlenségek, törtegyenletekés másodfokúvá redukáló egyenletek. Az említett problémák mindegyikének sikeres megoldásának elve a következő: meg kell állapítani, hogy milyen típusú problémát kell megoldani, emlékezni kell a szükséges műveletsorra, amely a kívánt eredményt, azaz válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.

Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca főként attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás valamennyi szakaszának sorrendjét. Természetesen a teljesítményhez szükséges készség identitás-transzformációkés a számítástechnika.

Más a helyzet vele trigonometrikus egyenletek. Egyáltalán nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.

Által kinézet egyenlet, néha nehéz meghatározni a típusát. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.

A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnia:

1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt „azonos szögekbe”;
2. hozza az egyenletet „azonos függvényekre”;
3. kibontakozni bal oldal faktoring egyenletek stb.

Mérlegeljük trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.

I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre

Megoldási diagram

1. lépés. Fejezzen ki egy trigonometrikus függvényt ismert komponensekkel.

2. lépés. Keresse meg a függvény argumentumát a képletekkel:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3. lépés Keresse meg az ismeretlen változót.

Példa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Megoldás.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Változó csere

Megoldási diagram

1. lépés. Csökkentse az egyenletet erre algebrai forma az egyik trigonometrikus függvényhez képest.

2. lépés. Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).

3. lépésÍrja fel és oldja meg a kapott algebrai egyenletet!

4. lépés. Végezzen fordított cserét.

5. lépés. Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!

Példa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Megoldás.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vagy e = -3/2, nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Egyenletsorredukciós módszer

Megoldási diagram

1. lépés. Cserélje le ezt az egyenletet egy lineárisra, a fokcsökkentés képletével:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. lépés. Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!

Példa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Megoldás.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogén egyenletek

Megoldási diagram

1. lépés. Csökkentse ezt az egyenletet a formára

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogén egyenlet első fokozat)

vagy a kilátáshoz

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).

2. lépés. Oszd el az egyenlet mindkét oldalát

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

és kapjuk meg a tan x egyenletet:

a) a cser x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Megoldás.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Legyen tg x = t, akkor

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 vagy t = -4, ami azt jelenti

tg x = 1 vagy tg x = -4.

Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel

Megoldási diagram

1. lépés. Az összes lehetséges trigonometrikus képlet felhasználásával redukálja le ezt az egyenletet az I., II., III., IV. módszerrel megoldott egyenletre.

2. lépés. Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Megoldás.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;

Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.

Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ennek eredményeként x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Válasz: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel, mind a tanuló, mind a tanár részéről.

A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik. Az ilyen feladatok megoldásának folyamata számos olyan tudást és készséget testesít meg, amelyet a trigonometria elemeinek tanulmányozása során sajátítanak el.

A trigonometrikus egyenletek úgy fontos hely a matematika és általában a személyiségfejlesztés folyamatában.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Óra a tudás integrált alkalmazásából.

Az óra céljai.

1. Fontolgat különféle módszerek trigonometrikus egyenletek megoldása.
2. Fejlesztés kreativitás tanulók egyenletek megoldásával.
3. A tanulók ösztönzése oktatási tevékenységeik önkontrollára, kölcsönös ellenőrzésére és önelemzésére.

Felszerelés: vászon, projektor, referenciaanyag.

Az órák alatt

Bemutatkozó beszélgetés.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fő módszere a legegyszerűbb formájukra való redukálás. Ebben az esetben a szokásos módszereket alkalmazzuk, például a faktorizálást, valamint a csak trigonometrikus egyenletek megoldására használt technikákat. Elég sok ilyen technika létezik, például különféle trigonometrikus helyettesítések, szögek transzformációi, trigonometrikus függvények transzformációi. A trigonometrikus transzformációk válogatás nélküli alkalmazása általában nem egyszerűsíti az egyenletet, hanem katasztrofálisan bonyolítja. Bent edzeni általános vázlat Tervezze meg az egyenlet megoldását, vázolja fel az egyenlet legegyszerűbbre csökkentésének módját, először elemeznie kell a szögeket - az egyenletben szereplő trigonometrikus függvények argumentumait.

Ma a trigonometrikus egyenletek megoldási módszereiről fogunk beszélni. A helyesen megválasztott módszer sokszor jelentősen leegyszerűsítheti a megoldást, ezért minden általunk vizsgált módszert mindig szem előtt kell tartani, hogy a trigonometrikus egyenleteket a legmegfelelőbb módszerrel oldhassuk meg.

II. (Projektor segítségével megismételjük az egyenletek megoldásának módszereit.)

1. Trigonometrikus egyenlet algebraivá redukálásának módszere.

Minden trigonometrikus függvényt egyen keresztül, ugyanazzal az argumentummal kell kifejezni. Ez megtehető az alapvető trigonometrikus azonosság és annak következményei segítségével. Egy egyenletet kapunk egy trigonometrikus függvénnyel. Új ismeretlennek tekintve algebrai egyenletet kapunk. Megtaláljuk a gyökereit, és visszatérünk a régi ismeretlenhez, megoldva a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket.

2. Faktorizációs módszer.

A szögek megváltoztatásához gyakran hasznosak az argumentumok redukciójára, összegére és különbségére vonatkozó képletek, valamint olyan képletek, amelyek a trigonometrikus függvények összegét (különbségét) szorzattá konvertálják, és fordítva.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Az adagolás módja további szög.

4. Az univerzális helyettesítés alkalmazásának módja.

Az F(sinx, cosx, tanx) = 0 formájú egyenletek univerzális trigonometrikus behelyettesítéssel algebraivá redukálódnak

Szinusz, koszinusz és tangens kifejezése érintővel félszög. Ez a technika az egyenlethez vezethet magasrendű. Amire nehéz a megoldás.

Tudást igényel alapképletek trigonometria - a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege, a tangens kifejezése a szinuszon és koszinuszon keresztül és mások. Azok számára, akik elfelejtették vagy nem ismerik őket, javasoljuk, hogy olvassák el a "" cikket.
Tehát ismerjük az alapvető trigonometrikus képleteket, ideje alkalmazni őket a gyakorlatban. Trigonometrikus egyenletek megoldása nál nél a helyes megközelítés- elég izgalmas tevékenység, mint például a Rubik-kocka megoldása.

Maga a név alapján egyértelmű, hogy a trigonometrikus egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen a trigonometrikus függvény előjele alatt áll.
Léteznek úgynevezett legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Így néznek ki: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mérlegeljük hogyan kell megoldani az ilyen trigonometrikus egyenleteket, az áttekinthetőség kedvéért a már ismert trigonometrikus kört fogjuk használni.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

kiságy x = a

Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésben történik: az egyenletet a legegyszerűbb formájára redukáljuk, majd egyszerű trigonometrikus egyenletként oldjuk meg.
7 fő módszer létezik a trigonometrikus egyenletek megoldására.

1. Változóhelyettesítés és helyettesítési módszer

Oldja meg a 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 egyenletet

A redukciós képletek segítségével a következőket kapjuk:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Cserélje le a cos(x + /6)-t y-ra, hogy egyszerűsítse és megkapja a szokásos másodfokú egyenletet:

2 év 2 – 3 év + 1 + 0

Melynek a gyöke y 1 = 1, y 2 = 1/2

Most menjünk fordított sorrendben

Az y talált értékeit behelyettesítjük, és két válaszlehetőséget kapunk:

2. Trigonometrikus egyenletek megoldása faktorizálással

Hogyan oldjuk meg a sin x + cos x = 1 egyenletet?

Mozgassunk mindent balra, hogy a 0 a jobb oldalon maradjon:

sin x + cos x – 1 = 0

Használjuk a fent tárgyalt azonosságokat az egyenlet egyszerűsítésére:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Tényezőzzük:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Két egyenletet kapunk

3. Redukálás homogén egyenletre

Egy egyenlet homogén a szinusz és a koszinusz tekintetében, ha minden tagja ugyanazon szög azonos hatványának szinuszára és koszinuszára vonatkozik. Egy homogén egyenlet megoldásához járjon el a következőképpen:

a) helyezze át az összes tagját a bal oldalra;

b) vegyen ki mindent közös tényezők zárójelen túl;

c) minden tényezőt és zárójelet 0-val egyenlővé tesz;

d) zárójelben egy homogén egyenletet kapunk kisebb mértékben, azt viszont szinuszos vagy koszinuszos osztja a legmagasabb fokig;

e) oldja meg a kapott egyenletet tg-re!

Oldja meg a 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 egyenletet

Használjuk ki képlet bűn 2 x + cos 2 x = 1, és szabadulj meg a jobb oldali nyitott kettőtől:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Oszd el cos x-szel:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Cserélje le tan x-et y-ra, és kapjon egy másodfokú egyenletet:

y 2 + 4y +3 = 0, melynek gyökerei y 1 =1, y 2 = 3

Innen két megoldást találunk az eredeti egyenletre:

x 2 = arctan 3 + k

4. Egyenletek megoldása a félszögre való átmeneten keresztül

Oldja meg a 3sin x – 5cos x = 7 egyenletet

Térjünk át az x/2-re:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Tegyünk mindent balra:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Osztás cos(x/2)-vel:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Segédszög bevezetése

Megfontolásra vegyünk egy egyenletet a következő alakú: a sin x + b cos x = c,

ahol a, b, c néhány tetszőleges együttható, és x egy ismeretlen.

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát:



Most a szerinti egyenlet együtthatói trigonometrikus képletek van tulajdonságok sinés cos, nevezetesen: modulusuk nem nagyobb 1-nél, négyzetösszege pedig = 1. Jelöljük őket rendre cos-nak és sin-nek, ahol - ez az ún. segédszög. Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

cos * sin x + sin * cos x = C

vagy sin(x + ) = C

Ennek a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletnek a megoldása az

x = (-1) k * arcsin C - + k, ahol



Meg kell jegyezni, hogy a cos és a sin jelölések felcserélhetők.

Oldja meg a sin 3x – cos 3x = 1 egyenletet

Az együtthatók ebben az egyenletben a következők:

a = , b = -1, tehát mindkét oldalt osszuk el = 2-vel

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete