0 5 fok radiánban. Miért volt szükség a szög új mértékegységének bevezetésére? Percek és másodpercek

Ebben a cikkben megállapítjuk a szögek alapvető mértékegységei - fok és radián - közötti kapcsolatot. Ez a kapcsolat végül lehetővé teszi számunkra, hogy megvalósítsuk fokok átváltása radiánra és vissza. Hogy ezek a folyamatok ne okozzanak nehézséget, megkapjuk a fokok radiánokká konvertálásának képletét, valamint a radiánokból fokokká konvertáló képletet, amely után részletesen elemezzük a példák megoldásait.

Oldalnavigáció.

A fokok és a radiánok kapcsolata

A fokok és a radiánok közötti kapcsolat akkor jön létre, ha egy szög fokszáma és radián mértéke is ismert (a szög fokszáma és radián mértéke a szakaszban található).

Vegyük a középponti szöget egy r sugarú kör átmérője alapján. Kiszámolhatjuk ennek a szögnek a mértékét radiánban: ehhez el kell osztanunk az ív hosszát a kör sugarának hosszával. Ez a szög megfelel az ív hosszának, felével egyenlő körméret, vagyis . Ezt a hosszúságot elosztva az r sugár hosszával, megkapjuk a bevett szög radián mértékét. Tehát a szögünk rad. Másrészt ez a szög kibővül, 180 fokkal egyenlő. Ezért a pi radián 180 fok.

Tehát a képlet fejezi ki π radián = 180 fok, vagyis .

Képletek a fokok radiánokká és a radiánok fokokká konvertálásához

A forma egyenlőségéből, amelyet az előző bekezdésben kaptunk, könnyen következtethetünk képletek radiánok fokokká és fokok radiánokká konvertálására.

Az egyenlőség mindkét oldalát elosztva pi-vel, egy radiánt fokokban kifejező képletet kapunk: . Ez a képlet azt jelenti, hogy egy radián szögének fokmértéke 180/π. Ha felcseréljük az egyenlőség bal és jobb oldalát, majd mindkét oldalt elosztjuk 180-zal, akkor egy képletet kapunk . Egy fokot fejez ki radiánban.

Kíváncsiságunk kielégítésére számítsuk ki egy radiános szög közelítő értékét fokban és egy fokos szög értékét radiánban. Ehhez vegye a pi értékét tízezred pontossággal, és helyettesítse be a képletekkel És , és végezze el a számításokat. Nekünk van És . Tehát egy radián megközelítőleg egyenlő 57 fokkal, egy fok pedig 0,0175 radiánnal.

Végül a kapott kapcsolatokból És Térjünk át a radiánok fokokká és fordítva konvertálására szolgáló képletekre, és vegyünk példákat e képletek alkalmazására.

Képlet a radiánok fokokká konvertálásához a következő formában van: . Ha tehát ismert a szög radiánban kifejezett értéke, akkor 180-zal megszorozva és pi-vel osztva megkapjuk ennek a szögnek az értékét fokban.

Példa.

Adott egy 3,2 radián szög. Mi ennek a szögnek a mértéke fokban?

Megoldás.

Használjuk a radiánok fokokká konvertálására szolgáló képletet

Válasz:

.

Képlet a fokok radiánra konvertálásáraúgy néz ki, mint a . Vagyis ha ismert a szög fokban kifejezett értéke, akkor pi-vel megszorozva és 180-zal osztva megkapjuk ennek a szögnek az értékét radiánban. Nézzük a példamegoldást.

A szögek mérésének igénye azóta jelent meg az emberekben, hogy a civilizáció elérte a minimumot technikai szinten. Mindenki ismeri a dőlés és a tájolás fenomenális pontosságát az építők által megadott sarkalatos pontok szerint egyiptomi piramisok. Modern fokmérő A szögeket ma úgy tartják, hogy az ókori akkádok találták fel.

Mik azok a diplomák?

A fok a szögek általánosan elfogadott mértékegysége. Egy teljes körben 360 fokban. Ennek a számnak az oka ismeretlen. Az akkádok valószínűleg a szög segítségével szektorokra osztották a kört egyenlő oldalú háromszög, majd a kapott szegmenseket számrendszerük szerint ismét 60 részre osztottuk. Egy fok is fel van osztva 60 percre, a perc pedig 60 másodpercre. Az általánosan elfogadott megnevezések a következők:

° - szögfok

' - percek,

'' - másodperc.

Az évezredek során a szögek fokmértéke sok területen szilárdan kialakult. emberi tevékenység. Továbbra is nélkülözhetetlen a tudomány és a technika minden területén – a térképészettől a pályaszámításokig mesterséges műholdak Föld.

Mik azok a radiánok?

Archimedes nevéhez fűződik a kör kerületének és átmérőjének állandó arányának felfedezése. Pi számnak hívjuk. Irracionális, vagyis nem fejezhető ki hétköznapi ill periodikus tört. A π szám leggyakrabban használt értéke 3,14, két tizedesjegy pontossággal. Az R sugarú L kör hossza könnyen kiszámítható a következő képlettel: L=2πR.

Az R=1 sugarú kör hossza 2π. Ezt az összefüggést a geometriában a radián szögmérték megfogalmazásaként használják.

Definíció szerint a radián egy olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontjában van, és amelyet a kör sugarával megegyező hosszúságú ív zár be. A radián nemzetközi megjelölése rad, a hazai jelölése rad. Nincs dimenziója.

R s sugarú körív szögnagyságα radián, hossza α * R.

Miért volt szükség a szög új mértékegységének bevezetésére?

A tudomány és a technika fejlődése a trigonometria és a matematikai elemzés megjelenéséhez vezetett, amelyek szükségesek a mechanikai és optikai eszközök pontos számításaihoz. Egyik feladata egy görbe vonal hosszának mérése. A leggyakoribb eset a körív hosszának meghatározása. A szögek fokmértékének használata erre a célra rendkívül kényelmetlen. Az ív hosszának a kör sugarával való összehasonlításának ötlete sok matematikusban merült fel, de magát a „radián” kifejezést csak a 19. század második felében vezették be a tudományos használatba. Most minden trigonometrikus függvény be van kapcsolva matematikai elemzés Alapértelmezés szerint a radiánszögmérés használatos.

Hogyan lehet átváltani a fokokat radiánra

A kör kerületének képletéből az következik, hogy 2π sugarak illeszkednek bele. Ebből következik, hogy: 1⁰=2π/360= π/180 rad.

ÉS egyszerű képletátváltás radiánból fokokra: 1 rad = 180/π.

Legyen N fokos szögünk. Ekkor a fokokról radiánra való átváltás képlete a következő lesz: α(radiánok) = N/(180/π) = N*π/180.

Van még kérdése?

A válaszok ezekre találhatók, ahol a kerület, radián szögmérték és a fogalmak konkrét példák a fokok radiánra való átváltását mutatja. A fentiek ismerete rendkívül fontos a matematika megértéséhez, amely nélkül a modern civilizáció léte lehetetlen.

Az emberek ősidők óta mérnek szögeket. De mi az a szög? A geometria megadja a választ: „Egy szög két sugár, amelyből húzunk adott pont» . Különböző szögek vannak: tompa, éles, egyenes, bővített, központi, szomszédos. Vegyük az O pontot, és rajzoljunk belőle egy O. A sugarat Most ugyanabból a pontból rajzolunk egy OB sugarat, párhuzamosan az OA sugárral, és ugyanabba az irányba. Az ilyen sugarak szöge 0° (nulla fok). Ha most az OB sugarat párhuzamosan irányítjuk az OA sugárral, de at az ellenkező oldalt, akkor 180°-os fordított szöget kapunk.

Mit jelentenek a fokok és a radiánok?

Tehát az egyik pontból húzott két sugár egymástól való eltérésének mértéke lesz fokos távolság . Mi az a diploma? A „fok” lefordítva „lépést” jelent. Ezeknek a „lépéseknek” összesen 360°-a lehet. Ezt a számot még régebben találták ki ősidők matematikusok és csillagászok, akik a hatszázalékos számrendszert használták. Vettek egy kört, amelynek középpontjából két sugarat húztak. E sugarak egymástól való eltérésének mértéke egy fok volt. Ha a sugarak közötti távolságot fokban az óramutató járásával ellentétes irányban számoltuk, az ilyen szöget pozitívnak, az óramutató járásával ellentétes irányban pedig negatívnak tekintettük.

Az egyik sugarat a másikhoz képest az óramutató járásával ellentétes irányba forgatva megkapjuk különböző szögekből. Ha ezek a szakaszok egybeesnek, akkor közöttük 0° lesz, de amikor a szakaszok a kör egy negyedével megegyező szektort vágnak le, akkor a köztük lévő szög 90° lesz. Így tovább forgatva a következő szögeket kapjuk: 180° - a sugarak a kör átmérőjén fekszenek és kettéosztják, 270° - a sugarak a kör háromnegyedét levágják, 360° - a sugarak egybeesnek. Így a teljes kör 360°. Van egy szögmérő a szögek mérésére..

A fokmérés mellett szögeket is mérnek radián mérték. A radián a középponti szög mértéke. A „radián” azt jelenti, hogy „a sugárhoz kapcsolódik”. Ha két sugarat húzunk egy R sugarú kör középpontjából, akkor azok egy l hosszúságú ívet vágnak le. Így, a jelzett sugarak közötti α szöget központinak nevezzük. Méréséhez el kell osztani a körív hosszát a sugarával: α=l/R. Az eredmény egy radiánban (rad) kifejezett érték. Mivel egy síkon bármely szög társítható ugyanahhoz a középponti szöghez, felmerül a kérdés, hogyan lehet egy közönséges fokmértékről radiánra lépni.

A fokok átváltása radiánra és fordítva

Tudjuk, hogy a 360°-os középponti szög megfelel a teljes körnek, amelynek hosszát a következőképpen számítjuk ki ismert képlet l=2 π R. Osszuk el ezt a kifejezést R-vel, és kapjuk: α= 2 π R/R=2 π rad≈6,28 rad. Ha valamilyen szögtávolságot A fokban veszünk, akkor annak α radiánmértékét az A/360°=α/(2 π) arányból kapjuk. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk képlet a fokok radiánra konvertálására- α=(π/180°) A, vagy képlet a radiánok fokokká konvertálására- A=(180°/π) α. Ezekből a képletekből a következő összefüggésekhez jutunk:

• 1 rad=180°/π≈57,2958°;
• 1°=π/180 rad≈0,01745 rad.

Mi a 180 fok radiánban és a 90 fok radiánban? A fenti képletek felhasználásával a következő összefüggéseket kapjuk:

• 90°=π/2 rad≈1,571 rad;
• 180°=π rad≈3,142 rad.

Szóval, hogyan lehet helyesen konvertálni a fokokat radiánra és fordítva? Ebben segíteni fog következő szabály:

A radiánok számának meghatározásához meg kell szorozni a fokmértéket π számmal, és el kell osztani 180-zal. A fokok számának meghatározásához meg kell szorozni a radián mértékét 180-zal, és el kell osztani a π számmal.

Példák problémamegoldásra

1. feladat Mekkora a körív, ha R=1 cm, α=1 rad?

Megoldás. Az ívhossz képlet segítségével a következőket kapjuk: l=R α=1 1=1 cm.

2. feladat Hány rad van a 45°-ban?

Megoldás. A szabályt felhasználva a következőt kapjuk: α=45 π/180=π/4 rad.

3. feladat Hány fok? π² rad-ban?

Megoldás. A szabály segítségével a következőt kapjuk: A=π² 180/π=180π fok ≈565,5°.

4. probléma. Mi az átlag szögletes méret holdkorong, ha a Hold átlagos távolsága R=384399 km, és magának a Holdnak az átmérője D=3476 km?

Megoldás. Ha gondolatban felhívsz két sugarat a Földről a Holdra, amelyek áthaladnak szélsőséges pontok korongjának átmérőjére, megkapjuk a megfigyelő szeméből kiinduló központi szöget. Mivel a Hold távolsága sokkal nagyobb, mint az átmérője, ez az átmérő egyenlő az R sugár által alkotott kör l ívének hosszával, azaz D≈l=α R. Ekkor a szükséges szögméret: α ≈D/R=3476/384399 =0,00904268742 rad=0,51810782462°≈31'05”≈0,5°. Annyira látható szög átmérője A hold egyenlő fél fokkal.

Percek és másodpercek

Ősidők óta az ún hathatós számrendszer. Ebben a rendszerben a teljes kör 360°-ra van felosztva. Ezután minden fokozat 60 percre, minden perc 60 másodpercre oszlik. A perceket a „” ikon jelzi, a másodperceket pedig a „” ikon központi szögek. Ezen mértékegységek átváltásához használja a következő arányokat:

• 1°=60’=3600”;
• 1’=(1/60)°=60”;
• 1”=(1/3600)°=(1/60)”;
• 1 rad≈3438′.

A RADIANS függvény (angolul RADIANS) az egyik matematikai és trigonometrikus függvények, amelyet gyakran használnak mérnöki számításokhoz. Ez a funkció Az Excel könnyen konvertálja a fokokat radiánokká - az ívnek megfelelő szöget, és ennek az ívnek a hossza megegyezik a sugarával.

Hogyan működik az indexfüggvény az Excelben?

1. PÉLDA A körmozgással kapcsolatos műszaki számításokhoz gyakran szükséges a számítás szögsebességekés átváltja a fokokat radiánokká és a radiánokat fokokká. Az Excel biztosítja ezt speciális funkciók. A matematikai számítások egyszerűsítése érdekében szükséges lehet egy és egy második mennyiségben kifejezni.

Meg kell találnunk, hogy mennyi a 180° radiánban. Nyomja meg a képletsor melletti fx gombot a „Funkció beszúrása” funkcióválasztó ablak megnyitásához (SHIFT+F3), és írja be a „RADIANS” funkciót a keresőablakba. Válassza ki a kiemeltet a kívánt funkciót, ahogy az alábbi ábrán is látható.

Megjelenik egy ablak, amelyben meg kell adnia a függvény argumentumait. Adjuk meg a 180 értéket, mivel meg kell találnunk, hogy hány radián van 180 fokban. Kattintson az OK gombra.

180 fok az 3,1415 radián.

Keressük a radiánokat 90°-os szög esetén. Nyissuk meg a függvényablakot, és írjuk be a kiszámítandó függvényt. Keresse meg a Funkcióvarázsló ablakban, és válassza ki a 90-es argumentumot.

RENDBEN. A 90 fok 1,5707 radián.

A következő példák azt mutatják be, hogyan lehet ezeket a szögegységeket mindkét irányban átváltani.

Hogyan konvertálhat radiánokat fokokká az Excel segítségével

2. PÉLDA Néha szükséges a rad szögek mértékegységét gradus° értékké konvertálni. A DEGREES funkció erre a célra szolgál. Lehetővé teszi, hogy a radiánban kifejezett értékeket fokokra konvertálja a decimális számítás során.

Meg kell találnunk, hogy mennyi 4,1 radián fokban. Nyomja meg az fx gombot a funkcióválasztó ablak megnyitásához, és lépjen be a keresőablakba megfelelő név funkciókat.

Megjelenik egy ablak, amelyben meg kell adnia a függvény argumentumait. Beírjuk a 4.1 értéket, mivel meg kell találnunk, hogy hány gradus° van 4.1 radban. Kattintson az OK gombra.

A 4,1-es kezdeti értékre pontosan 235 fokot kapunk.

Így konvertálhat radiánt fokokra az Excelben.

Hány radián van több fokban?

3. PÉLDA Néha meg kell határozni, hogy hány radián van több fokos értékben egyszerre, majd minden alkalommal nagyon hosszú ideig be kell írnia az argumentumot. Ebben az esetben a szögek mérésére egy kissé eltérő módszert használhat az értékek konvertálására.

Meg kell találnia, hogy mennyi a 45, 67, 23, 12, 57 fok radiánban. Nyomja meg az fx gombot (SHIFT+F3) a funkcióválasztó ablak megnyitásához, és a keresőablakban írja be a kívánt funkciót az alábbi ábra szerint. Rámutatunk a kiemelt funkcióra.

Az online számológép végrehajtja fokokat radiánra váltani, Konvertálja át a radiánt fokokra, tört fokok átváltása (képzett fokok decimális) fok, perc és másodperc formájábanés képleteket jelenít meg részletes megoldásokkal.

Konvertálja a fokokat radiánra: a fokokat meg kell szorozni π/180-zal. Ha a fokokat „fok, perc és másodperc” formában adjuk meg, akkor először decimális formára kell konvertálni a következő képlet segítségével: fok + perc/60 + másodperc/3600;

Képlet a radiánok fokokká konvertálásához: ha a szög egyenlő α rad radiánnal, akkor egyenlő képlet a radiánok fokokká konvertálására fok, ahol π ≈ 3,1415.

Konvertálja át a radiánt fokokra: a radiánokat meg kell szorozni 180/π-vel. Egész rész a kapott szorzat a fokszám. Fordítani törtrész percben, meg kell szorozni 60-nal. A kapott szorzat egész része a percek száma. A másodpercek kiszámításához ismét meg kell szoroznia az előző művelet tört részét 60-nal, a kapott szorzatot a legközelebbi egész számra kerekíteni - ez a másodpercek száma.

Képlet a fokok radiánra konvertálására: ha a szög egyenlő α deg radiánnal, akkor egyenlő képlet a fokok radiánra konvertálására radián, ahol π ≈ 3,1415.

Segítség a projekt weboldal fejlesztéséhez

Tisztelt Oldal Látogató.
Ha nem találtad, amit kerestél, mindenképpen írd meg kommentben, hogy mi hiányzik jelenleg az oldalról. Ez segít abban, hogy megértsük, melyik irányba kell továbblépnünk, és hamarosan a többi látogató is megkaphatja a szükséges anyagokat.
Ha az oldal hasznosnak bizonyult az Ön számára, adományozza a webhelyet a projektnek csak 2 ₽és tudni fogjuk, hogy jó irányba haladunk.

Köszönjük, hogy benéztél!

Jegyzetelek:

1. A számítási eredmények kerekítve vannak meghatározott mennyiség tizedesjegyek (alapértelmezés szerint kerekítés tízezrelékre).

II. Tájékoztatásul:

1. A szög mértéke - szögmérték, amelyben 1 fokos szöget vettünk egységnek, és megmutatja, hogy egy fok és részei (perc és másodperc) hányszor illeszkednek egy adott szögbe.
2. Radián szögmérték- egy szögmérték, amelyben 1 radián szöget veszünk egységnek, és megmutatja, hogy egy radián hányszor illeszkedik egy adott szögbe.
3. Fokok és radiánok- síkszögek mértékegységei a geometriában.
4. Egy fokozat egyenlő az elfordított szög 1/180-ával.
5. Radian- az ívnek megfelelő szög, amelynek hossza megegyezik a sugarával.

Nomogram a radiánok fokokká és fokok radiánokká konvertálásához.