Cosx 1 2 az egyenlet megoldása. Egyenlet cos x = a

Példák:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

A trigonometrikus egyenletek megoldása:

Minden trigonometrikus egyenletet a következő típusok egyikére kell redukálni:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

ahol \(t\) egy x-szel rendelkező kifejezés, \(a\) egy szám. Az ilyen trigonometrikus egyenleteket ún a legegyszerűbb. Könnyen megoldhatók () vagy speciális képletekkel:

Példa . Oldja meg a \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\ trigonometrikus egyenletet.
Megoldás:

Válasz: \(\left[ \begin(összegyűjtött)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(összegyűjtött)\jobbra.\) \(k,n∈Z\)

Mit jelentenek az egyes szimbólumok a gyökérképletben? trigonometrikus egyenletek benéz .

Figyelem! A \(\sin⁡x=a\) és \(\cos⁡x=a\) egyenleteknek nincs megoldása, ha \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Mivel bármely x szinusza és koszinusza nagyobb vagy egyenlő, mint \(-1\), és kisebb vagy egyenlő, mint \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Példa . Oldja meg a \(\cos⁡x=-1,1\) egyenletet!
Megoldás: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Válasz : nincs megoldás.

Példa . Oldja meg a tg\(⁡x=1\) trigonometrikus egyenletet!
Megoldás:

Oldjuk meg az egyenletet a segítségével számkör. Ezért: 1) Alkoss kört) 2) Szerkessze meg az \(x\) és \(y\) tengelyeket és az érintőtengelyt (az \((0;1)\) ponton halad át párhuzamosan az \(y\) tengellyel). 3) Az érintőtengelyen jelölje be a \(1\) pontot. 4) Csatlakoztassa ezt a pontot és a koordináták origóját - egy egyenest. 5) Jelölje be ennek az egyenesnek és a számkörnek a metszéspontjait! 6) Jelöljük a következő pontok értékeit: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Írja le ezeknek a pontoknak az összes értékét. Mivel egymástól pontosan \(π\) távolságra helyezkednek el, az összes érték egy képletbe írható:

Válasz: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Példa . Oldja meg a \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\ trigonometrikus egyenletet.
Megoldás:

Használjuk ismét a számkört. 1) Szerkesszünk kört \(x\) és \(y\) tengelyekkel. 2) A koszinusz tengelyen (\(x\) tengely) jelölje be a \(0\) értéket. 3) Rajzolj egy merőlegest a koszinusz tengelyre ezen a ponton keresztül. 4) Jelölje be a merőleges és a kör metszéspontjait! 5) Jelöljük ezeknek a pontoknak az értékeit: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Felírjuk ezeknek a pontoknak a teljes értékét, és egyenlővé tesszük őket a koszinuszhoz (a koszinuszban lévőhöz). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Szokás szerint \(x\)-t egyenletekben fejezzük ki. Ne felejtse el kezelni a számokat \(π\), valamint \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) stb. Ezek ugyanazok a számok, mint az összes többi. Nincs számbeli megkülönböztetés! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Válasz: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

A trigonometrikus egyenletek legegyszerűbbre redukálása kreatív feladat, ahol az egyenletek megoldásához speciális módszereket kell használni:
- Módszer (a legnépszerűbb az egységes államvizsgán).
- Módszer.
- Segédérvek módszere.

Nézzünk egy példát a másodfokú trigonometrikus egyenlet megoldására

Példa . Oldja meg a \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) trigonometrikus egyenletet
Megoldás:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Végezzük el a \(t=\cos⁡x\) cserét.
	Egyenletünk tipikussá vált. segítségével megoldhatod.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Fordított cserét végzünk.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Az első egyenletet a számkör segítségével oldjuk meg. A második egyenletnek nincs megoldása, mert \(\cos⁡x∈[-1;1]\), és egyetlen x esetén sem lehet egyenlő kettővel.
	Írjuk fel az összes ezeken a pontokon fekvő számokat.

Válasz: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Példa egy trigonometrikus egyenlet megoldására az ODZ tanulmányozásával:

Példa (USE) . Oldja meg a \(=0\) trigonometrikus egyenletet

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Van egy tört és van egy kotangens - ez azt jelenti, hogy fel kell írnunk. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a kotangens valójában egy tört: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Ezért a ctg\(x\) ODZ értéke: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Jelöljük a számkörön a „nem megoldásokat”.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Szabaduljunk meg az egyenletben szereplő nevezőtől úgy, hogy megszorozzuk ctg\(x\)-el. Ezt megtehetjük, hiszen fentebb írtuk, hogy ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Alkalmazzuk a kettős szögképletet a szinuszra: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ha kezeid kinyújtják a koszinuszos osztódást, húzd vissza! Oszthat egy változót tartalmazó kifejezéssel, ha az biztosan nem egyenlő nullával (például ezek: \(x^2+1,5^x\)). Ehelyett tegyük a \(\cos⁡x\) karaktert a zárójelek közé.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	„Vasszuk ketté” az egyenletet.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Oldjuk meg az első egyenletet a számkör segítségével. Osszuk el a második egyenletet \(2\)-vel, és mozgassuk a \(\sin⁡x\)-t a jobb oldalra.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	A kapott gyökerek nem szerepelnek az ODZ-ben. Ezért válaszként nem írjuk le őket. A második egyenlet jellemző. Osszuk el \(\sin⁡x\)-vel (\(\sin⁡x=0\) nem lehet megoldás az egyenletre, mert ebben az esetben \(\cos⁡x=1\) vagy \(\cos⁡ x=-1\)).
	Ismét egy kört használunk.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Ezeket a gyökereket az ODZ nem zárja ki, ezért beírhatja őket a válaszba.

Válasz: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Tudjuk, hogy a koszinusz értékek a [-1; 1], azaz -1 ≤ cos α ≤ 1. Ezért ha |a| > 1, akkor a cos x = a egyenletnek nincs gyöke. Például a cos x = -1,5 egyenletnek nincs gyöke.

Nézzünk meg több problémát.

Oldja meg a cos x = 1/2 egyenletet!

Megoldás.

Emlékezzünk vissza, hogy cos x egy 1-es sugarú kör pontjának abszcissza, amelyet a P (1; 0) pont origó körüli x szöggel történő elforgatásával kapunk.

Az 1/2 abszcissza az M 1 és M 2 kör két pontjában van. Mivel 1/2 = cos π/3, az M 1 pontot a P (1; 0) pontból kaphatjuk meg az x 1 = π/3 szöggel való elforgatással, valamint az x = π/3 + 2πk szögekkel, ahol k = +/-1, +/-2, …

Az M 2 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk x 2 = -π/3 szöggel, valamint -π/3 + 2πk szögekkel, ahol k = +/-1, +/-2 ,...

Tehát az összes gyökeret cos egyenletek x = 1/2 a képletekkel kereshető meg
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

A két bemutatott képlet egybe kombinálható:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Oldja meg a cos x = -1/2 egyenletet.

Megoldás.

Az M 1 és M 2 kör két pontjának abszcissza értéke – 1/2. Mivel -1/2 = cos 2π/3, akkor x 1 szög = 2π/3, tehát x 2 szög = -2π/3.

Következésképpen a cos x = -1/2 egyenlet minden gyöke megtalálható a következő képlettel: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Így a cos x = 1/2 és cos x = -1/2 egyenletek mindegyike rendelkezik végtelen halmaz gyökerei. A 0 ≤ x ≤ π intervallumon minden egyenletnek csak egy gyöke van: x 1 = π/3 a cos x = 1/2 egyenlet gyöke, x 1 = 2π/3 pedig a cos egyenlet gyöke. x = -1/2.

A π/3 számot az 1/2 arkkoszinuszának nevezzük, és így írjuk le: arccos 1/2 = π/3, a 2π/3 számot pedig a (-1/2) szám arkoszinuszának nevezzük, és felírjuk. : arccos (-1/2) = 2π/3 .

Általában a cos x = a egyenletnek, ahol -1 ≤ a ≤ 1, csak egy gyöke van a 0 ≤ x ≤ π intervallumon. Ha a ≥ 0, akkor a gyökér benne van az intervallumban; Ha egy< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Így az a szám arc koszinusza € [-1; 1 ] egy olyan € szám, amelynek koszinusza egyenlő a:

arccos а = α, ha cos α = а és 0 ≤ а ≤ π (1).

Például arccos √3/2 = π/6, mivel cos π/6 = √3/2 és 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, mivel cos 5π/6 = -√3/2 és 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Ugyanúgy, mint az 1. és 2. feladat megoldásánál, kimutatható, hogy a cos x = a egyenlet minden gyöke, ahol |a| ≤ 1, a képlettel kifejezve

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).

Oldja meg a cos x = -0,75 egyenletet!

Megoldás.

A (2) képlet segítségével x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Az arcos érték (-0,75) a szög szögmérővel történő megmérésével megközelítőleg megtalálható az ábrán. Az ív koszinusz hozzávetőleges értékei speciális táblázatok (Bradis táblázatok) vagy mikroszámítógép segítségével is megtalálhatók. Például, arccos érték(-0,75) egy mikrokalkulátor segítségével 2,4188583 hozzávetőleges értéket kaphatunk. Tehát arccos (-0,75) ≈ 2,42. Ezért az arccos (-0,75) ≈ 139°.

Válasz: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Oldja meg a (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0 egyenletet.

Megoldás.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

Válasz. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

Bizonyítható, hogy bármely € [-1; 1] érvényes az arccos (-а) = π – arccos а (3) képlet.

Ez a képlet lehetővé teszi az ív koszinusz értékeinek kifejezését negatív számok pozitív számok ív koszinuszain keresztül. Például:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

a (2) képletből az következik, hogy a cos x = a egyenlet gyökei a = 0, a = 1 és a = -1 esetén egyszerűbb képletekkel kereshetők meg:

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknős” apóriája. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ...a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről... részt vettek a kérdés vizsgálatában; matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó alkalmazás helyett alkalmazást jelent. Amennyire én értem, matematikai berendezés A változó mértékegységek használatát vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. VAL VEL fizikai pont Perspektívából úgy tűnik, hogy az idő lelassul, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz fut vele állandó sebesség. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradj bent állandó egységek időméréseket, és ne menjen reciprok mennyiségekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem komplett megoldás Problémák. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról szól:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában logikai paradoxon nagyon egyszerűen leküzdhető - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugszik a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szüksége különböző pontokat tér egy adott időpontban, de ezekből lehetetlen meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Amire szeretnék rámutatni Speciális figyelem, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más lehetőséget biztosítanak a kutatáshoz.

2018. július 4., szerda

A készlet és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk.

Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazható matematikai elmélet maguknak a matematikusoknak állítja be.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetési készletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: különböző érméken van különböző mennyiségben sár, kristályos szerkezetés az atomok elrendezése minden érmében egyedi...

És most nekem van a legtöbb érdeklődés Kérdezzen: hol van az a vonal, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.

Nézz ide. kiválasztunk futballstadionok azonos táblaterülettel. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Végül is a számok azok grafikus szimbólumok, melynek segítségével számokat írunk és a matematika nyelvén így hangzik a feladat: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk, hogy megtaláljuk a számok összegét adott szám. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok által tanított „szabás- és varrótanfolyamok”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.

Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Szóval, be különböző rendszerek A számításban ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. VAL VEL egy nagy szám 12345 Nem akarom becsapni a fejem, nézzük a 26-os számot a cikkből. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan lehet a matematikában kijelölni valamit, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ekkor az eredmény matematikai művelet nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki hajtja végre a műveletet.

Jel az ajtón Kinyitja az ajtót és azt mondja:

Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Nő... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.

Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakáló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem hülye, nem fizikában jártas. Csak van egy ősi sztereotípiája az észlelésről grafikus képek. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.

Példák:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Érv és jelentés

Hegyesszög koszinusza

Hegyesszög koszinusza derékszögű háromszög segítségével határozható meg - ez megegyezik a szomszédos láb és a hipotenuzus arányával.

Példa :

1) Legyen adott egy szög, és meg kell határoznunk ennek a szögnek a koszinuszát.

2) Egészítsünk ki tetszőleges derékszögű háromszöget ezen a szögön.

3) A szükséges oldalak mérése után kiszámolhatjuk a koszinuszát.

Egy szám koszinusza

A számkör lehetővé teszi bármely szám koszinuszának meghatározását, de általában a számok koszinuszát találja valamilyen módon: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Például a \(\frac(π)(6)\) szám koszinusza egyenlő lesz \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . És a \(-\)\(\frac(3π)(4)\) szám egyenlő lesz \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (körülbelül \ (-0 ,71\)).

A gyakorlatban gyakran előforduló számok koszinuszát lásd.

A koszinusz érték mindig a \(-1\) és \(1\) közötti tartományban van. Ebben az esetben a koszinusz bármilyen szögre és számra kiszámítható.

Tetszőleges szögű koszinusz

A számkörnek köszönhetően nemcsak a koszinusz határozható meg hegyesszög, hanem tompa, negatív és még nagyobb is, mint \(360°\) ( teljes fordulat). Ezt könnyebb egyszer látni, mint \(100\)-szor hallani, ezért nézze meg a képet.

Most egy magyarázat: tegyük fel, hogy meg kell határoznunk a szög koszinuszát KOA Val vel fokmérő in \(150°\). A lényeg egyesítése RÓL RŐL a kör középpontjával és oldalával rendben– a \(x\) tengellyel. Ezután tegye félre \(150°\) az óramutató járásával ellentétes irányba. Aztán a pont ordinátája A megmutatja nekünk ennek a szögnek a koszinuszát.

Ha egy fokos szögre vagyunk kíváncsiak, például \(-60°\) (szög KOV), ugyanezt tesszük, de a \(60°\) értéket az óramutató járásával megegyező irányban állítjuk be.

És végül a szög nagyobb, mint \(360°\) (szög CBS) - minden hasonló a hülyéhez, csak az óramutató járásával megegyező irányban egy teljes fordulat után megyünk a második körre, és „kapjuk a fokok hiányát”. Pontosabban, esetünkben a \(405°\) szög \(360° + 45°\) alakban van ábrázolva.

Könnyen kitalálható, hogy egy szög ábrázolásához például \(960°\-ban) két fordulatot kell tennie (\(360°+360°+240°\)), a szöghez pedig \(2640 °\) - egész hét.

Hogyan tudnád helyettesíteni egy szám koszinuszát és koszinuszát is tetszőleges szög szinte azonosan van meghatározva. Csak a pont megtalálásának módja változik a körön.

Koszinusz jelek negyedenként

A koszinusz tengely (azaz az ábrán pirossal kiemelt abszcissza tengely) segítségével könnyen meghatározható a koszinuszok előjele a numerikus (trigonometrikus) kör mentén:

Ahol az értékek a tengelyen \(0\) és \(1\) között vannak, a koszinusznak pluszjele lesz (I és IV negyed - zöldterület),
- ahol a tengely értékei \(0\) és \(-1\) között vannak, a koszinusznak mínusz jele lesz (II és III negyed - lila terület).

Más trigonometrikus függvényekkel való kapcsolat:

- ugyanaz a szög (vagy szám): fő trigonometrikus azonosság\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- ugyanaz a szög (vagy szám): képlet \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- és ugyanazon szög (vagy szám) szinusza: a képlet \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
A többi leggyakrabban használt képlethez lásd.

A \(\cos⁡x=a\) egyenlet megoldása

A \(\cos⁡x=a\) egyenlet megoldása, ahol \(a\) egy \(1\)-nél nem nagyobb és \(-1\)-nél nem kisebb szám, azaz. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Ha \(a>1\) vagy \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Példa . Oldja meg a \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\ trigonometrikus egyenletet.
Megoldás:

Oldjuk meg az egyenletet a számkör segítségével. Ezért:
1) Építsük meg a tengelyeket.
2) Alkossunk egy kört.
3) A koszinusz tengelyen (tengely \(y\)) jelölje be a \(\frac(1)(2)\) pontot.
4) Rajzoljon merőlegest a koszinusztengelyre ezen a ponton keresztül.
5) Jelölje be a merőleges és a kör metszéspontjait!
6) Jelöljük a következő pontok értékeit: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Írjuk fel az ezeknek a pontoknak megfelelő összes értéket a \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) képlettel:
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Válasz: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

\(y=\cos(x)\) függvény

Ha a szögeket radiánban ábrázoljuk az \(x\) tengely mentén, és az ezeknek a szögeknek megfelelő koszinusz értékeket az \(y\) tengely mentén, akkor a következő grafikont kapjuk:

Ezt a gráfot hívják, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

A definíciós tartomány az x tetszőleges értéke: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- értéktartomány – \(-1\) és \(1\) között, beleértve: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- páros: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodikus \(2π\) periódussal: \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- koordinátatengelyekkel való metszéspontok:
abszcissza tengely: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ahol \(n ϵ Z\)
Y tengely: \((0;1)\)
- az előjel állandóságának intervallumai:
a függvény pozitív a következő intervallumokon: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), ahol \(n ϵ Z\)
a függvény negatív a következő intervallumokon: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), ahol \(n ϵ Z\)
- növekedési és csökkenési időközök:
a függvény a következő intervallumokon növekszik: \((π+2πn;2π+2πn)\), ahol \(n ϵ Z\)
a függvény a következő intervallumokon csökken: \((2πn;π+2πn)\), ahol \(n ϵ Z\)
- a függvény maximumai és minimumai:
a függvény maximális értéke \(y=1\) az \(x=2πn\) pontokban, ahol \(n ϵ Z\)
a függvény minimális értéke \(y=-1\) a \(x=π+2πn\) pontokban, ahol \(n ϵ Z\).

A trigonometrikus egyenletek nem könnyű téma. Túl sokfélék.) Például ezek:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = kiságy (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Stb...

De ezeknek (és az összes többi) trigonometrikus szörnynek van két közös és kötelező jellemzője. Először – el sem hiszed – trigonometrikus függvények vannak az egyenletekben.) Másodszor: minden x-szel rendelkező kifejezés megtalálható ugyanezen funkciókon belül.És csak ott! Ha X megjelenik valahol kívül, Például, sin2x + 3x = 3, ez már vegyes típusú egyenlet lesz. Az ilyen egyenletek egyéni megközelítést igényelnek. Ezeket itt nem fogjuk figyelembe venni.

Ebben a leckében sem fogunk gonosz egyenleteket megoldani.) Itt azzal fogunk foglalkozni a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a megoldás Bármi A trigonometrikus egyenletek két szakaszból állnak. Az első szakaszban a gonosz egyenletet egyszerűvé redukálják különféle transzformációk révén. A másodiknál ​​ezt a legegyszerűbb egyenletet oldjuk meg. Nincs más mód.

Tehát, ha problémái vannak a második szakaszban, az első szakasznak nincs sok értelme.)

Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Itt A bármely számot jelöl. Bármi.

Egyébként egy függvényen belül lehet, hogy nem tiszta X, hanem valamilyen kifejezés, mint pl.

cos(3x+π /3) = 1/2

stb. Ez bonyolítja az életet, de nem befolyásolja a trigonometrikus egyenlet megoldásának módszerét.

Hogyan lehet trigonometrikus egyenleteket megoldani?

A trigonometrikus egyenletek kétféleképpen oldhatók meg. Az első módszer: a logika és a trigonometrikus kör használata. Itt megnézzük ezt az utat. A második módszerről - a memória és a képletek használatával - a következő leckében lesz szó.

Az első út világos, megbízható és nehezen felejthető.) Jó trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és mindenféle trükkös nem szabványos példa megoldására. A logika erősebb, mint a memória!)

Egyenletek megoldása trigonometrikus kör segítségével.

Beleértjük az elemi logikát és a trigonometrikus kör használatának képességét. Nem tudod hogyan? Azonban... Nehéz dolgod lesz a trigonometriában...) De nem számít. Vessen egy pillantást a "Trigonometrikus kör...... Mi ez?" és "Szögek mérése trigonometrikus körön". Ott minden egyszerű. A tankönyvekkel ellentétben...)

Ó, tudod!? És még elsajátította a „Gyakorlati munkát a trigonometrikus körrel”!? Gratulálunk. Ez a téma közel áll és érthető lesz számodra.) Ami különösen kellemes, hogy a trigonometrikus körnek nem mindegy, milyen egyenletet oldasz meg. Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens – nála minden ugyanaz. Csak egy megoldási elv létezik.

Tehát bármelyik elemi trigonometrikus egyenletet felvesszük. Legalább ezt:

cosx = 0,5

Meg kell találnunk X-et. Emberi nyelven szólva kell keressük meg azt a szöget (x), amelynek koszinusza 0,5.

Hogyan használtuk korábban a kört? Rajzoltunk rá egy szöget. Fokban vagy radiánban. És azonnal fűrész ennek a szögnek a trigonometrikus függvényei. Most tegyük az ellenkezőjét. Rajzoljunk egy koszinuszot a körre, amely egyenlő 0,5-tel, és azonnal meglátjuk sarok. Már csak a választ kell leírni.) Igen, igen!

Rajzolj egy kört, és jelöld meg a koszinusz 0,5-tel. Természetesen a koszinusz tengelyen. Mint ez:

Most rajzoljuk meg azt a szöget, amelyet ez a koszinusz ad nekünk. Vigye az egeret a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépén), és látni fogod pont ezt a sarkot X.

Melyik szög koszinusza 0,5?

x = π /3

kötözősaláta 60°= cos( π /3) = 0,5

Vannak, akik szkeptikusan röhögnek, igen... Például érdemes volt egy kört tenni, amikor már minden világos... Lehet persze röhögni...) De tény, hogy ez egy hibás válasz. Vagy inkább elégtelen. A kör ínyencei megértik, hogy van itt egy csomó más szög is, amelyek szintén 0,5-ös koszinuszot adnak.

Ha elfordítja a mozgó oldalt OA teljes fordulat, az A pont visszatér eredeti helyzetébe. Ugyanaz a koszinusz 0,5. Azok. a szög megváltozik 360°-kal vagy 2π radiánnal, és koszinusz - nem. Az új 60° + 360° = 420° szög egyenletünk megoldása is lesz, mert

Végtelen számú ilyen teljes fordulat tehető... És mindezek az új szögek a trigonometrikus egyenletünk megoldásai lesznek. És mindegyiket le kell írni valahogy válaszként. Minden. Egyébként a döntés nem számít, igen...)

A matematika ezt egyszerűen és elegánsan meg tudja csinálni. Írd le egy rövid válaszban végtelen halmaz döntéseket. Így néz ki az egyenletünkhöz:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

megfejtem. Még írj értelmesen Kellemesebb, mint bután rejtélyes betűket rajzolni, igaz?)

π /3 - ez ugyanaz a sarok, mint mi fűrész a körön és eltökélt a koszinusz táblázat szerint.

2π egy teljes forradalom radiánban.

n - ennyi a teljesek száma, i.e. egész fordulat Egyértelmű, hogy n egyenlő lehet 0, ±1, ±2, ±3.... és így tovább. Amint azt a rövid bejegyzés is jelzi:

n ∈ Z

n tartozik ( ∈ ) egész számok halmaza ( Z ). Egyébként a levél helyett n betűk jól használhatók k, m, t stb.

Ez a jelölés azt jelenti, hogy bármilyen egész számot vehet n . Legalább -3, legalább 0, legalább +55. Amit csak akarsz. Ha ezt a számot behelyettesíti a válaszba, akkor egy meghatározott szöget kap, amely minden bizonnyal megoldása lesz a kemény egyenletünkre.)

Vagy más szóval, x = π /3 a végtelen halmaz egyetlen gyöke. Az összes többi gyökér megszerzéséhez elegendő tetszőleges számú teljes fordulatot hozzáadni π /3-hoz ( n ) radiánban. Azok. 2π n radián.

Minden? Nem. Szándékosan meghosszabbítom az élvezetet. Hogy jobban emlékezzünk.) Az egyenletünkre adott válaszoknak csak egy részét kaptuk meg. A megoldás első részét így írom le:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nem csak egy gyökér, hanem egy egész sor gyökér, rövid formában leírva.

De vannak olyan szögek is, amelyek szintén 0,5-ös koszinust adnak!

Térjünk vissza a képünkhöz, amelyről felírtuk a választ. Itt is van:

Vigye az egeret a kép fölé, és látjuk egy másik szög az 0,5 koszinuszát is ad. Szerinted mivel egyenlő? A háromszögek ugyanazok... Igen! Ez egyenlő a szöggel x , csak negatív irányban késik. Ez itt a sarok -X. De már kiszámoltuk x-et. π /3 vagy 60°. Ezért nyugodtan írhatjuk:

x 2 = - π /3

Nos, természetesen hozzáadjuk a teljes fordulatszámon elért összes szöget:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Most ennyi.) A trigonometrikus körön mi fűrész(aki érti, persze)) Minden szögek, amelyek 0,5 koszinuszot adnak. És felírtuk ezeket a szögeket egy rövid matematikai formában. A válasz két végtelen gyökérsorozatot eredményezett:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ez a helyes válasz.

Remény, trigonometrikus egyenletek megoldásának általános elve kör használata egyértelmű. A megadott egyenletből egy körre jelöljük a koszinusz (szinusz, érintő, kotangens), megrajzoljuk a hozzá tartozó szögeket és felírjuk a választ. Természetesen rá kell jönnünk, milyen sarkok vagyunk fűrész a körön. Néha ez nem olyan nyilvánvaló. Nos, mondtam, hogy itt logika kell.)

Nézzünk például egy másik trigonometrikus egyenletet:

Kérem, vegye figyelembe, hogy a 0,5 nem az egyetlen lehetséges szám az egyenletekben!) Egyszerűen kényelmesebb ezt leírnom, mint a gyököket és a törteket.

Az általános elv szerint dolgozunk. Rajzolunk egy kört, jelöljük meg (természetesen a szinuszos tengelyen!) 0,5. Az ennek a szinusznak megfelelő összes szöget egyszerre rajzoljuk meg. Ezt a képet kapjuk:

Először foglalkozzunk a szöggel x az első negyedévben. Felidézzük a szinusztáblázatot, és meghatározzuk ennek a szögnek az értékét. Ez egy egyszerű dolog:

x = π /6

Emlékszünk a teljes fordulatokra, és tiszta lelkiismerettel írjuk le a válaszok első sorozatát:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

A munka fele kész. De most meg kell határoznunk második sarok... Bonyolultabb, mint koszinuszokat használni, igen... De a logika megment minket! Hogyan határozzuk meg a második szöget x-en keresztül? Igen Könnyű! A képen látható háromszögek ugyanazok, és a piros sarok x szöggel egyenlő x . Csak azt számoljuk a π szögből negatív irányba. Ezért piros.) A válaszhoz pedig szükségünk van egy helyesen mért szögre a pozitív féltengely OX-ból, azaz. 0 fokos szögből.

Vigyük a kurzort a rajz fölé, és mindent látunk. Az első sarkot eltávolítottam, hogy ne bonyolítsam a képet. A minket érdeklő szög (zöld színnel rajzolva) egyenlő lesz:

π - x

X ezt tudjuk π /6 . Ezért a második szög a következő lesz:

π - π /6 = 5π /6

Ismét emlékezünk a teljes fordulatok hozzáadására, és írjuk le a válaszok második sorozatát:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ez minden. A teljes válasz két gyökérsorozatból áll:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Az érintő- és kotangens egyenletek könnyen megoldhatók a trigonometrikus egyenletek megoldásának ugyanazon általános elvével. Ha persze tudja, hogyan rajzoljon érintőt és kotangenst egy trigonometrikus körre.

A fenti példákban a szinusz és a koszinusz táblázatértékét használtam: 0,5. Azok. azon jelentések egyike, amelyeket a tanuló ismer kell. Most bővítsük ki képességeinket minden más érték. Dönts, hát dönts!)

Tehát tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt a trigonometrikus egyenletet:

A rövid táblázatokban nincs ilyen koszinusz érték. Ezt a szörnyű tényt hidegen figyelmen kívül hagyjuk. Rajzolj egy kört, jelöld be a 2/3-ot a koszinusz tengelyen és rajzold meg a megfelelő szögeket. Ezt a képet kapjuk.

Nézzük először a szöget az első negyedévben. Ha tudnánk, hogy x mennyivel egyenlő, azonnal felírnánk a választ! Nem tudjuk... Kudarc!? Nyugodt! A matematika nem hagyja bajban a saját népét! Erre az esetre ív koszinuszokat talált ki. Nem tudom? Hiába. Tudja meg, ez sokkal könnyebb, mint gondolná. Ezen a linken egyetlen trükkös varázslat sincs az „inverz trigonometrikus függvényekről”... Ez ebben a témában felesleges.

Ha tisztában vagy vele, csak mondd magadnak: „X olyan szög, amelynek koszinusza 2/3.” És azonnal, pusztán az arc koszinusz definíciója alapján, írhatjuk:

Emlékezzünk a további fordulatokra, és nyugodtan írjuk le trigonometrikus egyenletünk gyökeinek első sorozatát:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A második szög gyökeinek második sorozata szinte automatikusan le van írva. Minden a régi, csak az X (arccos 2/3) lesz mínuszos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

És ez az! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint a táblázatos értékekkel. Nem kell semmire sem emlékezni.) Egyébként a legfigyelmesebbek észreveszik, hogy ezen a képen az ív koszinuszon keresztül látható a megoldás lényegében nem különbözik a cosx = 0,5 egyenlet képétől.

Pontosan! Az általános elv pont ez! Szándékosan rajzoltam két majdnem egyforma képet. A kör a szöget mutatja x koszinuszával. Hogy ez egy táblázatos koszinusz-e vagy sem, mindenki számára ismeretlen. Hogy ez milyen szög, π /3, vagy mekkora az ív koszinusz - ezt mi döntjük el.

Ugyanaz a dal a szinuszossal. Például:

Rajzolj újra egy kört, jelöld meg a szinust 1/3-al, rajzold meg a szögeket. Ezt a képet kapjuk:

És megint csaknem ugyanaz a kép, mint az egyenletnél sinx = 0,5. Ismét a sarokból indulunk az első negyedben. Mire egyenlő X, ha a szinusza 1/3? Nincs mit!

Most elkészült az első csomag gyökér:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Foglalkozzunk a második szöggel. A 0,5-ös táblázatértékkel rendelkező példában ez egyenlő volt:

π - x

Itt is pontosan így lesz! Csak x különbözik, arcsin 1/3. És akkor mi van!? Nyugodtan leírhatja a második gyökércsomagot:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ez egy teljesen helyes válasz. Bár nem tűnik túl ismerősnek. De remélem egyértelmű.)

Így oldják meg a trigonometrikus egyenleteket kör segítségével. Ez az út világos és érthető. Ő ment a trigonometrikus egyenletekben a gyökök kiválasztásával egy adott intervallumban, a trigonometrikus egyenlőtlenségekben - általában szinte mindig körben oldják meg. Röviden, minden olyan feladatban, amely egy kicsit nehezebb, mint a szokásos.

Alkalmazzuk a tudást a gyakorlatban?)

Oldja meg a trigonometrikus egyenleteket:

Először is egyszerűbben, egyenesen ebből a leckéből.

Most már bonyolultabb a helyzet.

Tipp: itt a körre kell gondolnia. Személyesen.)

És most már külsőleg egyszerűek... Különleges eseteknek is nevezik őket.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tipp: itt egy körben kell kitalálni, hogy hol van két válaszsorozat és hol egy... És hogyan írjunk egyet két válaszsorozat helyett. Igen, hogy végtelen számból egyetlen gyök se vesszen el!)

Nos, nagyon egyszerű):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tipp: itt tudnod kell, mi az az arcszinusz és az arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens? A legegyszerűbb meghatározások. De nem kell emlékeznie a táblázat értékeire!)

A válaszok Természetesen káosz):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nem minden sikerül? Megtörténik. Olvasd el újra a leckét. Csak elgondolkodva(van ilyen elavult szó...) És kövesd a linkeket. A fő linkek a körről szólnak. Enélkül a trigonometria olyan, mintha bekötött szemmel kelnénk át az úton. Néha működik.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete