Szinuszhullám monotónia. Az y=sin(x) függvény grafikonja

Lehetővé teszi számos jellemző eredmény megállapítását - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságai. Ebben a cikkben hármat fogunk megvizsgálni főbb tulajdonságait. Az első az α szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének előjelét jelzi attól függően, hogy melyik koordinátanegyed szöge α. Ezután megvizsgáljuk a periodicitás tulajdonságát, amely megállapítja az α szög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeinek invarianciáját, amikor ez a szög egész számú fordulattal változik. A harmadik tulajdonság a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékei közötti kapcsolatot fejezi ki ellentétes sarkokα és −α.

Ha érdekli a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvények tulajdonságai, tanulmányozhatja őket a cikk megfelelő részében.

Oldalnavigáció.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jelei negyedenként

Ebben a bekezdésben az „I, II, III és IV koordinátanegyed szöge” kifejezés jelenik meg. Magyarázzuk el, melyek ezek a szögek.

Vegyünk egy egységkört, jelöljük meg rajta az A(1, 0) kezdőpontot, és forgassuk el az O pont körül α szöggel, és feltesszük, hogy az A 1 (x, y) pontba jutunk.

Azt mondják α szög az I, II, III, IV koordinátanegyed szöge, ha az A 1 pont az I, II, III, IV negyedben van; ha az α szög olyan, hogy az A 1 pont az Ox vagy Oy koordinátaegyenesek bármelyikén fekszik, akkor ez a szög nem tartozik a négy negyed egyikéhez sem.

Az érthetőség kedvéért itt egy grafikus illusztráció. Az alábbi rajzokon 30, -210, 585 és -45 fokos elforgatási szögek láthatók, amelyek az I, II, III és IV koordinátanegyedek szögei.

Szögek 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … fokok nem tartoznak egyik koordinátanegyedhez sem.

Most nézzük meg, hogy milyen jeleknek van az α forgásszög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense értéke attól függően, hogy melyik negyedszög α.

Szinusz és koszinusz esetén ez könnyen megtehető.

Az α szög szinusza definíció szerint az A 1 pont ordinátája. Nyilvánvaló, hogy az I. és II koordináta negyedek pozitív, a harmadik és negyedik negyedévben pedig negatív. Így az α szög szinuszának az 1. és 2. negyedben plusz, a 3. és 6. negyedben mínusz jele van.

Az α szög koszinusza viszont az A 1 pont abszcissza. Az I. és IV. negyedévben pozitív, a II. és III. negyedévben negatív. Következésképpen az α szög koszinuszának értékei az I. és IV. negyedben pozitívak, a II. és III. negyedben pedig negatívak.

Az érintő és a kotangens negyedének előjeleinek meghatározásához emlékeznie kell a definíciókra: az érintő az A 1 pont ordinátájának az abszcisszahoz viszonyított aránya, a kotangens pedig az A 1 pont abszcisszának az ordinátához viszonyított aránya. Aztán től számosztás szabályai ugyanazzal és különböző jelek ebből következik, hogy az érintőnek és a kotangensnek plusz előjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele megegyezik, és mínuszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele eltérő. Következésképpen a szög érintőjének és kotangensének az I. és III. koordinátanegyedben +, a II. és IV. negyedben pedig mínuszjel van.

Valóban, például az első negyedben az A 1 pont x abszcissza és y ordinátája is pozitív, akkor az x/y hányados és az y/x hányados is pozitív, ezért az érintőnek és a kotangensnek + előjele van. A második negyedben pedig az x abszcissza negatív, az y ordináta pedig pozitív, ezért mind az x/y, mind az y/x negatív, ezért az érintőnek és a kotangensnek mínusz előjele van.

Menjünk tovább az alábbi ingatlanra szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Periodikus tulajdonság

Most megvizsgáljuk a szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének talán legnyilvánvalóbb tulajdonságát. Ez a következő: amikor a szög egész számmal változik teljes forradalmak ennek a szögnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke nem változik.

Ez érthető: ha a szög egész számú fordulattal változik, mi kiindulópontÉs mindig az A 1 pontot fogjuk elérni egységkör ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke változatlan marad, mivel az A 1 pont koordinátái változatlanok.

Képletekkel a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonsága a következőképpen írható fel: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, ahol α a forgásszög radiánban, z tetszőleges, amelynek abszolút értéke azt a teljes fordulatszámot jelzi, amellyel a α szög változik, a z szám előjele pedig a fordulás irányát jelzi.

Ha az α elforgatási szöget fokban adjuk meg, akkor a képleteket a következőképpen írjuk át: sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα.

Nézzünk példákat ennek a tulajdonságnak a használatára. Például, , mert , A . Íme egy másik példa: vagy .

Ezt a tulajdonságot a redukciós képletekkel együtt nagyon gyakran használják a „nagy” szögek szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonságát néha periodicitás tulajdonságnak is nevezik.

Ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságai

Legyen A 1 az A(1, 0) kezdőpont O pont körüli α szöggel történő elforgatásával kapott pont, A 2 pont pedig az A pont −α szöggel, α szöggel ellentétes elforgatásának eredménye.

Az ellentétes szögű szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek tulajdonsága egy meglehetősen nyilvánvaló tényen alapul: a fent említett A 1 és A 2 pontok vagy egybeesnek (at), vagy szimmetrikusan helyezkednek el az Ox tengelyhez képest. Vagyis ha az A 1 pontnak vannak (x, y) koordinátái, akkor az A 2 pontnak (x, −y) koordinátái lesznek. Innentől kezdve a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit használva felírjuk a és az egyenlőségeket.
Összehasonlítva az alak α és −α ellentétes szögeinek szinuszai, koszinuszai, érintői és kotangensei közötti összefüggésekre jutunk.
Ez a vizsgált tulajdonság képletek formájában.

Nézzünk példákat ennek a tulajdonságnak a használatára. Például az egyenlőségek ill .

Csak azt kell megjegyezni, hogy az ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságát az előző tulajdonsághoz hasonlóan gyakran használják a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor, és lehetővé teszi a negatívak teljes elkerülését. szögek.

Bibliográfia.

Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Ha olyan egységkört készítünk, amelynek középpontja az origóban van, és az argumentumnak tetszőleges értéket állítunk be x 0és számolja a tengelytől Ökör sarok x 0, akkor ez a szög az egységkörön egy bizonyos pontnak felel meg A(1. ábra) és a tengelyre való vetülete Ó lesz pont M. Szakasz hossza OM egyenlő abszolút érték abszcissza pontok A. Ezt az értéketérv x 0 függvény értéke leképezve y=cos x 0 mint az abszcissza pontok A. Ennek megfelelően pont BAN BEN(x 0 ;nál nél 0) a függvény grafikonjához tartozik nál nél=cos x(2. ábra). Ha a lényeg A a tengelytől jobbra van OU, Az aktuális szinusz pozitív lesz, de ha balra, akkor negatív lesz. De mindegy, pont A nem hagyhatja el a kört. Ezért a koszinusz –1 és 1 közötti tartományban van:

–1 = cos x = 1.

További elforgatás bármilyen szögben, 2 többszöröse p, visszaadja a pontot A ugyanoda. Ezért a funkció y = kötözősaláta xp:

kötözősaláta( x+ 2p) = cos x.

Ha az argumentum két értékét vesszük, abszolút értékben egyenlő, de előjelben ellentétes, xÉs - x, keresse meg a kör megfelelő pontjait Egy xÉs A -x. ábrán látható. 3 a tengelyre való vetületüket Ó ugyanaz a pont M. Ezért

kötözősaláta(- x) = cos ( x),

azok. koszinusz – páros funkció, f(–x) = f(x).

Ez azt jelenti, hogy feltárhatjuk a függvény tulajdonságait y=cos x a szegmensen , majd vegye figyelembe annak paritását és periodicitását.

Nál nél x= 0 pont A a tengelyen fekszik Ó, abszcisszán 1, ezért cos 0 = 1. Növekvéssel x pont A felfelé és balra mozog a kör körül, a vetülete természetesen csak balra van, és x = p/2 koszinusz egyenlővé válik 0-val. Pont A ebben a pillanatban felemelkedik maximális magasságára, majd tovább halad balra, de már lefelé halad. Abszcissza folyamatosan csökken, amíg el nem éri legalacsonyabb érték, egyenlő –1 at x= p. Így az intervallumon a függvény nál nél=cos x monoton 1-ről –1-re csökken (4., 5. ábra).

A koszinusz paritásából az következik, hogy a [– p, 0] a függvény monoton módon növekszik –1-ről 1-re, és nulla értéket vesz fel x =–p/2. Ha több időszakot vesz fel, hullámos görbét kap (6. ábra).

Tehát a funkció y=cos x elfogadja nulla értékek pontokon x= p/2 + kp, Ahol k – tetszőleges egész szám. A pontoknál az 1-gyel egyenlő maximumot érik el x= 2kp, azaz 2-es lépésekben p, és pontokban –1-gyel egyenlő minimumok x= p + 2kp.

Függvény y = sin x.

Az egységkör sarkán x A 0 egy pontnak felel meg A(7. ábra), és a tengelyre való vetülete OU lesz pont N.Z függvény értéke y 0 = bűn x 0 pont ordinátájaként határozzuk meg A. Pont BAN BEN(sarok x 0 ,nál nél 0) a függvény grafikonjához tartozik y= bűn x(8. ábra). Egyértelmű, hogy a funkció y = bűn x periodikus, periódusa 2 p:

bűn( x+ 2p) = bűn ( x).

Két argumentumérték esetén xÉs - , megfelelő pontjainak vetületei Egy xÉs A -x tengelyenként OU ponthoz képest szimmetrikusan helyezkedik el RÓL RŐL. Ezért

bűn(- x) = –sin ( x),

azok. a szinusz páratlan függvény, f(– x) = –f( x) (9. ábra).

Ha a lényeg A ponthoz képest elforgatni RÓL RŐL szögben p/2 az óramutató járásával ellentétes irányban (más szóval, ha a szög xértékkel növeljük p/2), akkor az új pozícióban lévő ordinátája egyenlő lesz a régi abszcisszával. Ami azt jelenti

bűn( x+ p/2) = cos x.

Ellenkező esetben a szinusz egy „késői” koszinusz p/2, mivel bármely koszinusz érték „megismétlődik” a szinuszban, amikor az argumentum ennyivel nő p/2. Egy szinuszgráf felépítéséhez pedig elegendő a koszinusz gráfot eltolni p/2 jobbra (10. kép). Rendkívül fontos tulajdon a szinust egyenlőség fejezi ki

Az egyenlőség geometriai jelentése az ábrán látható. 11. Itt X - ez egy fél ív AB, mint a X - a megfelelő akkord fele. Nyilvánvaló, hogy ahogy közelednek a pontok AÉs BAN BEN az akkord hossza egyre inkább megközelíti az ív hosszát. Ugyanebből az ábrából könnyen levezethető az egyenlőtlenség

|bűn x| x|, bármelyikre igaz x.

A matematikusok a képletet (*) figyelemre méltó határ. Ebből különösen az a bűn következik x» x kicsiben x.

Funkciók nál nél= tg x, y=ctg x. Két másik trigonometrikus függvények– az érintő és a kotangens legegyszerűbben a szinusz és koszinusz általunk már ismert arányaként határozható meg:

A szinuszhoz és a koszinuszhoz hasonlóan az érintő és a kotangens is periodikus függvények, de periódusuk egyenlő p, azaz feleakkorák a szinusz és a koszinusz. Ennek oka egyértelmű: ha a szinusz és a koszinusz egyaránt előjelet vált, akkor az arányuk nem változik.

Mivel az érintő nevezője koszinuszot tartalmaz, az érintő nincs meghatározva azokon a pontokon, ahol a koszinusz 0 - ha x= p/2 +kp. Minden más ponton monoton növekszik. Közvetlen x= p/2 + kp az érintő esetében függőleges aszimptoták. A pontokon kpérintő és lejtő 0, illetve 1 (12. ábra).

A kotangens nincs megadva ott, ahol a szinusz 0 (amikor x = kp). Más pontokon monoton csökken, és egyenes vonalak x = kp – vertikális aszimptotái. A pontokon x = p/2 +kp a kotangens 0 lesz, és ezekben a pontokban a meredekség –1 (13. ábra).

Paritás és periodicitás.

Egy függvényt akkor is hívunk, ha f(–x) = f(x). A koszinusz és a szekáns függvények párosak, a szinusz, az érintő, a kotangens és a koszekáns függvények pedig páratlanok:

sin (–α) = – sin α	tan (–α) = – cser α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α
sec (–α) = sec α	cosec (–α) = – cosec α

A pontok szimmetriájából a paritástulajdonságok következnek P a és R- a (14. ábra) a tengelyhez képest x. Ilyen szimmetria mellett a pont ordinátája előjelet vált (( x;nál nél) megy ( x; –у)). Minden függvény - periodikus, szinusz, koszinusz, szekáns és koszekáns - periódusa 2 p, és érintő és kotangens - p:

bűn (α + 2 kπ) = sinα	cos(α+2 kπ) = cos α
tg(α+ kπ) = tan α	kiságy(α+ kπ) = cotg α
mp (α + 2 kπ) = sec α	cosec(α+2 kπ) = cosec α

A szinusz és koszinusz periodicitása abból következik, hogy minden pont P a+2 kp, Ahol k= 0, ±1, ±2,…, egybeesik, az érintő és a kotangens periodicitása pedig abból adódik, hogy a pontok P egy + kp váltakozva essen a kör két, egymással átlósan ellentétes pontjába, és ugyanazt a pontot adja az érintőtengelyen.

A trigonometrikus függvények főbb tulajdonságait egy táblázatban foglalhatjuk össze:

Funkció	Tartomány	Többféle jelentés	Paritás	A monoton területek ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
bűn x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	páratlan	-vel növekszik x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), ponttal csökken x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
kötözősaláta x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	még	Növeli a x O((2 k – 1) p, 2kp), csökken a x O(2 kp, (2k + 1) p)
tg x	x № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	páratlan	-vel növekszik x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	páratlan	órakor csökken x RÓL RŐL ( kp, (k + 1) p)
mp x	x № p/2 + p k	(–Ґ , –1] ÉS [+1, +Ґ )	még	Növeli a x O(2 kp, (2k + 1) p), csökken a x O((2 k– 1) p , 2 kp)
cosec x	x № p k	(–Ґ , –1] ÉS [+1, +Ґ )	páratlan	-vel növekszik x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), ponttal csökken x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Redukciós képletek.

Ezen képletek szerint az a, ahol argumentum trigonometrikus függvényének értéke p/2 a p , az a argumentumfüggvény értékére redukálható, ahol 0 a p /2, akár azonos, akár kiegészítője.

Érv b	-a	+a	p-a	p+a	+a	+a	2p-a
bűn b	cos a	cos a	bűn a	–sin a	– mivel a	– mivel a	–sin a
cos b	bűn a	–sin a	– mivel a	– mivel a	–sin a	bűn a	cos a

Ezért a trigonometrikus függvények táblázataiban az értékek csak a következőre vannak megadva éles sarkok, és elég, ha korlátozzuk magunkat például a szinuszra és az érintőre. A táblázat csak a leggyakrabban használt szinusz- és koszinuszképleteket tartalmazza. Ezekből könnyen beszerezhető az érintő és a kotangens képlete. Amikor függvényt öntünk az űrlap argumentumából kp/2 ± a, ahol k– egy egész szám, az a argumentum függvényében:

1) a függvény neve mentésre kerül, ha k páros, és "kiegészítő"-re változik, ha k páratlan;

2) a jobb oldali előjel egybeesik a pontban lévő redukálható függvény előjelével kp/2 ± a ha az a szög hegyes.

Például ctg leadásakor (a – p/2) Gondoskodunk arról, hogy a – p/2 0-nál a p /2 a negyedik kvadránsban van, ahol a kotangens negatív, és az 1. szabály szerint megváltoztatjuk a függvény nevét: ctg (a – p/2) = –tg a .

Összeadási képletek.

Képletek több szöghez.

Ezek a képletek közvetlenül az összeadási képletekből származnak:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

A cos 3a képletét François Viète használta a megoldás során köbös egyenlet. Ő volt az első, aki kifejezéseket talált a cos-ra n a és bűn n a, amelyeket később egyszerűbb módon Moivre képletéből kaptunk.

Ha az a-t /2-re cseréli a kettős argumentumú képletekben, akkor azokat félszög képletekre lehet konvertálni:

Univerzális helyettesítési képletek.

Ezekkel a képletekkel egy kifejezés, amely ugyanazon argumentum különböző trigonometrikus függvényeit tartalmazza, átírható a következőre: racionális kifejezés egy tg (a /2) függvényből ez hasznos lehet néhány egyenlet megoldásánál:

Képletek összegek termékekké és termékek összegekké alakításához.

A számítógépek megjelenése előtt ezeket a képleteket a számítások egyszerűsítésére használták. A számításokat logaritmikus táblázatok segítségével végezték, majd később - egy diaszabályt, mert a logaritmusok a legalkalmasabbak a számok szorzására, ezért az összes eredeti kifejezést a logaritmizáláshoz kényelmes formába hoztuk, pl. munkákhoz, például:

2 bűn a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);

2cos a kötözősaláta b=cos( a–b) + cos ( a+b);

2 bűn a kötözősaláta b= bűn ( a–b) + bűn ( a+b).

Az érintő és a kotangens függvények képletei a fentiekből nyerhetők.

Fokozatcsökkentési képletek.

A többszörös argumentumképletekből a következő képletek származnak:

sin 2 a = (1 – cos 2a)/2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4;	cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4.

Ezekkel a képletekkel a trigonometrikus egyenletek alacsonyabb fokú egyenletekre redukálhatók. Ugyanígy többre is levezethetünk redukciós képleteket magas fokok szinusz és koszinusz.

Trigonometrikus függvények deriváltjai és integráljai
(bűn x)` = cos x;	(kötözősaláta x)` = –bűn x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
t bűn x dx= –cos x + C;	t cos x dx= bűn x + C;
t tg x dx= –ln\|cos x\| + C;	t ctg x dx = ln\|sin x\| + C;

Minden trigonometrikus függvény definíciós tartományának minden pontjában folytonos és végtelenül differenciálható. Ráadásul a trigonometrikus függvények deriváltjai trigonometrikus függvények, és integrálva trigonometrikus függvényeket vagy logaritmusaikat is megkapjuk. A trigonometrikus függvények racionális kombinációinak integráljai mindig elemi függvények.

Trigonometrikus függvények ábrázolása hatványsorok és végtelen szorzatok formájában.

Minden trigonometrikus függvény bővíthető teljesítmény sorozat. Ebben az esetben a függvények sin x bcos x sorokban jelennek meg. konvergens minden értékre x:

Ezek a sorozatok felhasználhatók a bűn közelítő kifejezéseinek megszerzésére xés cos x kis értékeknél x:

at | x| p/2;

0-nál x| p

(B n – Bernoulli-számok).

sin függvények xés cos x végtelen szorzat formájában ábrázolható:

Trigonometrikus rendszer 1, cos x,bűn x, cos 2 x, bűn 2 x,¼,cos nx,bűn nx, ¼, a [– p, p] egy ortogonális függvényrendszer, amely lehetővé teszi a függvények trigonometrikus sorozatok formájában történő ábrázolását.

a valós argumentum megfelelő trigonometrikus függvényeinek analitikus folytatásaiként definiálhatók összetett sík. Igen, bűn zés cos z sorozat segítségével határozható meg a bűn számára xés cos x, ha ahelyett x fel z:

Ezek a sorozatok az egész síkon összefolynak, tehát bűn zés cos z- teljes funkciók.

Az érintőt és a kotangenst a következő képletek határozzák meg:

tg függvények zés ctg z– meromorf függvények. tg oszlopok zés sec z– egyszerű (1. rendű) és pontokon elhelyezkedő z = p/2 + pn, CTG pólusok zés cosec z– szintén egyszerű és pontokon elhelyezkedő z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Valamennyi képlet, amely egy valós argumentum trigonometrikus függvényeire érvényes, az összetettre is érvényes. Különösen,

bűn(- z) = –bűn z,

kötözősaláta(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg(- z) = –ctg z,

azok. páros és páratlan paritás megmarad. A képletek is mentésre kerülnek

bűn( z + 2p) = bűn z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

azok. a periodicitás is megmarad, és a periódusok ugyanazok, mint a valódi argumentum függvényeinél.

A trigonometrikus függvények egy tisztán képzeletbeli argumentum exponenciális függvényében fejezhetők ki:

Vissza, e iz cos-ban kifejezve zés a bűn z képlet szerint:

e iz=cos z + én bűn z

Ezeket a képleteket Euler-képleteknek nevezzük. Leonhard Euler 1743-ban fejlesztette ki őket.

A trigonometrikus függvények kifejezésekkel is kifejezhetők hiperbolikus függvények:

z = –én SH iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

ahol sh, ch és th – hiperbolikus szinusz, koszinusz és tangens.

Komplex argumentum trigonometrikus függvényei z = x + iy, Ahol xÉs y– valós számok, valós argumentumok trigonometrikus és hiperbolikus függvényeivel fejezhetők ki, például:

bűn( x + iy) = bűn x ch y + én kötözősaláta x SH y;

kötözősaláta( x + iy) = cos x ch y + én bűn x SH y.

Egy összetett argumentum szinusza és koszinusza abszolút értékben 1-nél nagyobb valós értékeket vehet fel. Például:

Ha egy ismeretlen szög a trigonometrikus függvények argumentumaként lép be egy egyenletbe, akkor az egyenletet trigonometrikusnak nevezzük. Az ilyen egyenletek olyan gyakoriak, hogy módszereik a megoldások nagyon részletesek és gondosan megtervezettek. VAL VEL segítséggel különféle technikák a képletek pedig a trigonometrikus egyenleteket a forma egyenleteire redukálják f(x)=a, Ahol f– a legegyszerűbb trigonometrikus függvények bármelyike: szinusz, koszinusz, érintő vagy kotangens. Ezután fejezze ki az érvet x ezt a függvényt ismert értékén keresztül A.

Mivel a trigonometrikus függvények periodikusak, ugyanaz A az értéktartományból végtelen sok értéke van az argumentumnak, és az egyenlet megoldásai nem írhatók fel egyetlen függvényként A. Ezért a fő trigonometrikus függvények definíciójának tartományában kiválasztunk egy szakaszt, amelyben az összes értékét felveszi, mindegyik csak egyszer, és ebben a szakaszban a vele fordított függvény található. Az ilyen függvények kijelölése az ags (arc) előtag hozzáadásával történik a névhez eredeti funkció, és inverz trigonometrikusnak nevezzük függvények vagy egyszerűen ívfüggvények.

Inverz trigonometrikus függvények.

A bűnért x, kötözősaláta x, tg xés ctg x meg lehet határozni inverz függvények. Ennek megfelelően arcsinnel jelöljük x(olvasd el "arcsine" x"), arcos x, arctan xés arcctg x. Értelemszerűen arcsin x van ilyen szám y, Mit

bűn nál nél = x.

Hasonlóan más inverz trigonometrikus függvényekhez is. De ez a meghatározás némi pontatlanságtól szenved.

Ha a bűnt tükrözi x, kötözősaláta x, tg xés ctg x az első és a harmadik kvadráns felezőszögéhez viszonyítva Koordináta sík, akkor a függvények periodicitásuk miatt kétértelművé válnak: ugyanaz a szinusz (koszinusz, érintő, kotangens) felel meg végtelen szám sarkok

A kétértelműség elkerülése érdekében a görbe egy szakasza, amelynek szélessége p, ebben az esetben szükséges, hogy az argumentum és a függvény értéke között egy-egy megfeleltetés maradjon fenn. A koordináták origójához közeli területek kerülnek kiválasztásra. A sine in „Egy-egy intervallumnak” a [– p/2, p/2], amelyen a szinusz monoton –1-ről 1-re nő, a koszinusznál – a szakasz, az érintőnél és a kotangensnél az intervallumok (– p/2, p/2) és (0, p). Az intervallum minden görbéje a felezőszöghöz képest tükröződik, és most inverz trigonometrikus függvények határozhatók meg. Például legyen megadva az argumentum értéke x 0,úgy, hogy 0 Ј x 0 Ј 1. Ezután a függvény értéke y 0 = arcsin x 0 akarat egyetlen jelentése nál nél 0 , oly módon, hogy - p/2 Ј nál nél 0 Ј p/2 és x 0 = bűn y 0 .

Így az arcszinusz az arcsin függvénye A, a [–1, 1] intervallumon definiálva, és mindegyikre egyenlő A ilyen értékre, p/2 a p /2 hogy sin a = A. Nagyon kényelmes egy egységkörrel ábrázolni (15. ábra). Mikor | a| 1 egy körön két pont van ordinátával a, szimmetrikusan a tengelyre u. Az egyik megfelel a szögnek a= arcsin A, a másik pedig a sarok p - a. VAL VEL a szinusz periodicitásának figyelembe vétele, a sin egyenlet megoldása x= A a következőképpen van írva:

x =(–1)n arcsin a + 2p n,

Ahol n= 0, ±1, ±2,...

Más egyszerű trigonometrikus egyenletek is megoldhatók hasonló módon:

kötözősaláta x = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

Ahol P= 0, ±1, ±2,... (16. ábra);

tg x = a;

x= arctan a + p n,

Ahol n = 0, ±1, ±2,... (17. ábra);

ctg x= A;

x= arcctg a + p n,

Ahol n = 0, ±1, ±2,... (18. ábra).

Az inverz trigonometrikus függvények alapvető tulajdonságai:

arcsin x(19. ábra): definíciós tartomány – szegmens [–1, 1]; hatótávolság - [- p/2, p/2], monoton növekvő függvény;

arccos x(20. ábra): definíciós tartomány – szegmens [–1, 1]; értéktartomány – ; monoton csökkenő funkció;

arctg x(21. ábra): definíciós tartomány – minden valós szám; értéktartomány – intervallum (– p/2, p/2); monoton növekvő funkció; egyenes nál nél= –p/2 és y = p /2 – vízszintes aszimptoták;

arcctg x(22. ábra): definíciós tartomány – minden valós szám; értéktartomány – intervallum (0, p); monoton csökkenő funkció; egyenes y= 0 és y = p– vízszintes aszimptoták.

Bárkinek z = x + iy, Ahol xÉs y valós számok, egyenlőtlenségek érvényesek

½| e\e y–e y| ≤|bűn z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

ebből at y® Ґ aszimptotikus képletek következnek (egyenletesen a x)

|bűn z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

A trigonometrikus függvények először a csillagászati és geometriai kutatások kapcsán jelentek meg. A háromszög és a kör szakaszainak arányai, amelyek lényegében trigonometrikus függvények, már a 3. században megtalálhatók. időszámításunk előtt e. az ókori görög matematikusok munkáiban – Eukleidész, Arkhimédész, Pergai Apollóniosz és mások azonban ezek az összefüggések nem képezték önálló vizsgálati tárgyat, így nem vizsgálták a trigonometrikus függvényeket mint olyanokat. Kezdetben szegmenseknek tekintették, és ebben a formában Arisztarchosz (Kr. e. 4. század vége – 3. század második fele), Hipparkhosz (Kr. e. 2. század), Menelaus (Kr. u. 1. század) és Ptolemaiosz (Kr. u. 2. század) használta őket gömbháromszögek megoldása. Ptolemaiosz összeállította a hegyesszögek első húrtábláját 30"-ként 10-6 pontossággal. Ez volt az első szinusztáblázat. Arányként sin függvény a már Aryabhatában található (V. század vége). A tg a és ctg a függvények al-Battaniban (9. század 2. fele – 10. század eleje) és Abul-Wefben (10. század) találhatók, akik a sec a-t és a cosec a-t is használják. Aryabhata már ismerte a képletet (sin 2 a + cos 2 a) = 1, és azt is bűnképletekés cos félszög, melynek segítségével 3°45"-enként szögekre szinusztáblázatokat építettem; ismert értékek trigonometrikus függvények a legegyszerűbb argumentumokhoz. Bhaskara (XII. század) módszert adott az 1-es táblázatok összeadási képletekkel történő összeállítására. A különféle argumentumok trigonometrikus függvényeinek összegének és különbségének szorzattá alakítására szolgáló képleteket Regiomontanus (15. század) és J. Napier származtatta az utóbbi logaritmus-feltalálása (1614) kapcsán. Regiomontan egy táblázatban adta meg a szinuszértékeket 1". A trigonometrikus függvények hatványsorokká való kiterjesztését I. Newton (1669) kapta. modern forma a trigonometrikus függvények elméletét L. Euler vezette be (18. század). Ő birtokolja meghatározásukat az igazi és összetett érvek, jelenleg elfogadott szimbolikával, kapcsolatteremtéssel exponenciális függvény valamint a szinusz- és koszinuszrendszer ortogonalitása.

Megadjuk az alapvető trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti kapcsolatokat. trigonometrikus képletek. És mivel elég sok kapcsolat van a trigonometrikus függvények között, ez magyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek azonos szögű trigonometrikus függvényeket kapcsolnak össze, mások - többszögű függvényeket, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, negyedik - az összes függvényt a félszög érintőjén keresztül fejezik ki, stb.

Ebben a cikkben felsoroljuk az összes főbbet trigonometrikus képletek, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldására. A könnyebb memorizálás és használat érdekében cél szerint csoportosítjuk és táblázatokba foglaljuk őket.

Oldalnavigáció.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Alapvető trigonometrikus azonosságok Határozza meg a kapcsolatot egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másik függvényben.

Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példákat a cikkben talál.

Redukciós képletek

Redukciós képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az eltolódás tulajdonságát. adott szög. Ezekkel a trigonometrikus képletekkel dolgozhat tetszőleges szögek folytassa a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzéssel.

Ezeknek a képleteknek az indoklása az mnemonikus szabály emlékezni rájuk és a használatukra vonatkozó példákat lehet tanulmányozni a cikkben.

Összeadási képletek

Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.

Képletek dupla, hármas stb. szög

Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög

Félszög képletek

Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei a teljes szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.

Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.

Fokozatcsökkentési képletek

Trigonometrikus képletek a fokok csökkentésére célja, hogy megkönnyítse az átmenetet természetes fokok trigonometrikus függvények szinuszokhoz és koszinuszokhoz az első fokig, de több szögből. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A fő cél képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére a függvények szorzatára kell menni, ami nagyon hasznos az egyszerűsítésnél trigonometrikus kifejezések. Ezeket a képleteket széles körben használják a megoldásban is trigonometrikus egyenletek, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorizálását.

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszról koszinuszra vonatkozó képletekkel történik.

Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

A szerzői jog okosdiákok tulajdona

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. A www.webhely egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.

Trigonometrikus függvények ábrázolása 11. osztályban

Előbb matek tanár minősítési kategória MAOU "Gymnasium No. 37", Kazan

Spiridonova L.V.

Trigonometrikus függvények numerikus argumentum
y=sin(x)+m És y=cos(x)+m
Az űrlap függvényeinek grafikonjainak ábrázolása y=sin(x+t) És y=cos(x+t)
Az űrlap függvényeinek grafikonjainak ábrázolása y=A · bűn(x) És y=A · cos(x)
Példák

Trigonometrikus függvények numerikus argumentum.

y=sin(x)

y=cos(x)

Függvény ábrázolása y = sinx .

Az y = függvény tulajdonságai bűn ( x ) .

mindenki valós számok ( R )

2. Változások területe (Értékek területe) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. y = függvény bűn ( x) furcsa, mert sin(-x ) = - sin x

π .

sin(x+2 π ) = sin(x).

5. Folyamatos funkció

Csökkenő: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Növekvő: [ - π /2; π /2 ] .

Függvény ábrázolása y = cos x .

Az y = függvény grafikonja cos x átutalással szerezték meg

y = függvény grafikonja bűn x elhagyta π /2.

Az y = co függvény tulajdonságai s ( x ) .

1. Egy függvény definíciós tartománya a halmaz

minden valós szám ( R )

2. A változás területe (Area of Values), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. y = függvény kötözősaláta (X) sőt, mert kötözősaláta(- x ) = cos (X)

A függvény periodikus, 2. főperiódussal π .

kötözősaláta( x + 2 π ) = cos (X) .

5. Folyamatos funkció

Csökkenő: [ 0 ; π ] .

6. Növekvő: [ π ; 2 π ] .

Építkezés

grafikonok az űrlap funkciói

y = bűn ( x ) +m

És

y = kötözősaláta (X) + m.

0 , vagy le, ha m " width="640"

A gráf párhuzamos átvitele az Oy tengely mentén

Egy függvény grafikonja y=f(x) + m kiderül párhuzamos átvitel funkciógrafika y=f(x) , esetén m egységek ha m 0 ,

vagy lefelé, ha m .

0 é m 1 x" width="640"

Átalakítás: y= bűn ( x ) +m

Váltás y= bűn ( x ) a tengely mentén y fel ha m 0

0 é m 1 x" width="640"

Átalakítás: y= kötözősaláta ( x ) +m

Váltás y= kötözősaláta ( x ) a tengely mentén y fel , Ha m 0

Átalakítás: y=bűn ( x ) +m

Váltás y= bűn ( x ) a tengely mentén y le, Ha m 0

Átalakítás: y=cos ( x ) +m

Váltás y= kötözősaláta ( x ) a tengely mentén y le, ha m 0

Építkezés

grafikonok az űrlap funkciói

y = bűn ( x + t )

És

y = kötözősaláta ( x + t )

0 és jobbra, ha t 0." width="640"

A gráf párhuzamos átvitele az Ox tengely mentén

Egy függvény grafikonja y = f(x + t) a függvény grafikonjának párhuzamos átvitelével kapott y=f(x) a tengely mentén x tovább |t| mértékegységek bal, Ha t 0

És jobb , Ha t 0.

0 y 1 x t" width="640"

Átalakítás: y = sin(x + t)

váltás y= f(x) a tengely mentén x bal, Ha t 0

0 y 1 x t" width="640"

Átalakítás: y= cos(x + t)

váltás y= f(x) a tengely mentén x bal, Ha t 0

Átalakítás: y=sin(x+t)

váltás y= f(x) a tengely mentén x jobb, Ha t 0

Átalakítás: y= cos(x + t)

váltás y= f(x) a tengely mentén x jobb, Ha t 0

1 és 0 a 1" width="640"

Az űrlap függvényeinek grafikonjainak ábrázolása y = A · bűn ( x ) És y = A · kötözősaláta ( x ) , a 1 és 0 A 1

1 és az Ox tengelyre való tömörítés 0 A együtthatóval." width="640"

Kompresszió és nyújtás az Ox tengely mentén

Egy függvény grafikonja y=A · f(x ) a függvény grafikonjának nyújtásával kapjuk meg y= f(x) együtthatóval A az Ox tengely mentén, ha A 1 És kompresszió az Ox tengelyre 0 együtthatóval A .

1 legyen a=1,5 y 1 x -1" width="640"

Átalakítás: y = bűn ( x ), egy 1

legyen a=1,5

1 legyen a=1,5 y 1 x" width="640"

Átalakítás: y =a · kötözősaláta ( x ), egy 1

legyen a=1,5

Átalakítás: y = bűn ( x ) , 0

legyen a=0,5

Átalakítás: y = a cos ( x ), 0

legyen a=0,5



bűn (

y=sin(x) → y=sin(x- π )

bűn (



bűn (

- 1

y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3

bűn

- 1

y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2

- 1

y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1



 

kötözősaláta

kötözősaláta x+2

kötözősaláta x

- 1

y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2

- 1

y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →

Ebben a leckében megnézzük alapvető trigonometrikus függvények, tulajdonságaik és grafikonjai, és listázza is trigonometrikus egyenletek és rendszerek alaptípusai. Ezen kívül jelezzük a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek általános megoldásai és speciális eseteik.

Ez a lecke segít felkészülni valamelyik feladattípusra B5 és C1.

Felkészülés az egységes államvizsgára matematikából

Kísérlet

10. lecke. Trigonometrikus függvények. Trigonometrikus egyenletek és rendszereik.

Elmélet

Óra összefoglalója

Sokszor használtuk már a „trigonometrikus függvény” kifejezést. A téma első leckében a segítségével azonosítottuk őket derékszögű háromszögés az egységnyi trigonometrikus kör. A trigonometrikus függvények megadásának ezekkel a módszereivel már arra a következtetésre juthatunk, hogy számukra az argumentum (vagy szög) egy értéke pontosan a függvény egy értékének felel meg, azaz. jogunk van szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvények meghívására.

Ebben a leckében itt az ideje, hogy megpróbáljunk elvonatkoztatni a trigonometrikus függvények értékeinek kiszámításának korábban tárgyalt módszereitől. Ma áttérünk a függvényekkel való munka szokásos algebrai megközelítésére, megvizsgáljuk tulajdonságaikat és ábrázoljuk a grafikonokat.

Ami a trigonometrikus függvények tulajdonságait illeti, akkor Speciális figyelem meg kell jegyezni:

A definíciós tartomány és az értéktartomány, mert szinuszra és koszinuszra korlátozzák az értéktartományt, az érintőre és a kotangensre pedig a definíciós tartományra vonatkozó korlátozások;

Az összes trigonometrikus függvény periodicitása, mert Korábban már megjegyeztük a legkisebb nullától eltérő argumentum jelenlétét, amelynek hozzáadása nem változtatja meg a függvény értékét. Ezt az argumentumot a függvény periódusának nevezzük, és betűvel jelöljük. A szinusz/koszinusz és az érintő/kotangens esetében ezek a periódusok eltérőek.

Fontolja meg a funkciót:

1) A meghatározás hatálya;

2) Értéktartomány ;

3) A függvény páratlan ;

Készítsük el a függvény grafikonját. Ebben az esetben célszerű a konstrukciót annak a területnek a képével kezdeni, amely a grafikont felülről 1-gyel, alulról pedig számmal határolja, amely a függvény értéktartományához kapcsolódik. Ezenkívül a szerkesztéshez hasznos megjegyezni több fő táblázatszög szinuszának értékét, például, hogy ez lehetővé teszi a grafikon első teljes „hullámának” megszerkesztését, majd jobbra történő átrajzolását. balra, kihasználva, hogy a kép egy periódusos eltolással megismétlődik, pl. tovább .

Most nézzük a függvényt:

Ennek a funkciónak a fő tulajdonságai:

1) A meghatározás hatálya;

2) Értéktartomány ;

3) Páros funkció Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára;

4) A függvény nem monoton a teljes definíciós tartományában;

Készítsük el a függvény grafikonját. A szinusz összeállításához hasonlóan célszerű annak a területnek a képével kezdeni, amely a grafikont felül korlátozza az 1-es számmal, alul pedig a számmal, amely a függvény értéktartományához kapcsolódik. A grafikonon több pont koordinátáit is ábrázoljuk, amelyekhez emlékeznünk kell több fő táblázatszög koszinuszának értékére, például, hogy ezen pontok segítségével meg tudjuk építeni az első teljes "hullámot". ” című grafikont, majd rajzolja át jobbra és balra, kihasználva azt a lehetőséget, hogy a kép perióduseltolással ismétlődik, pl. tovább .

Térjünk át a függvényre:

Ennek a funkciónak a fő tulajdonságai:

1) Domain, kivéve , ahol . -ben már jeleztük korábbi leckéket, ami nem létezik. Ez az állítás általánosítható az érintő periódus figyelembevételével;

2) Értéktartomány, i.e. az érintőértékek nincsenek korlátozva;

3) A függvény páratlan ;

4) A függvény monoton növekszik az úgynevezett érintő ágain belül, amit most az ábrán látni fogunk;

5) A függvény periodikus egy ponttal

Készítsük el a függvény grafikonját. Ebben az esetben célszerű a konstrukciót úgy kezdeni, hogy a gráf függőleges aszimptotáit olyan pontokon ábrázoljuk, amelyek nem szerepelnek a definíciós tartományban, pl. stb. Ezután az aszimptoták által alkotott sávok mindegyikén belül ábrázoljuk az érintő ágait, a bal és a jobb oldali aszimptotához nyomva azokat. Ugyanakkor ne felejtse el, hogy minden ág monoton növekszik. Minden ágat ugyanúgy ábrázolunk, mert a függvény periódusa egyenlő . Ez abból látszik, hogy minden ágat úgy kapunk, hogy a szomszédosat eltoljuk az abszcissza tengelye mentén.

És befejezzük a funkció áttekintésével:

Ennek a funkciónak a fő tulajdonságai:

1) Domain, kivéve , ahol . A trigonometrikus függvények értéktáblázatából már tudjuk, hogy nem létezik. Ez az állítás általánosítható a kotangens periódus figyelembevételével;

2) Értéktartomány, i.e. a kotangens értékek nincsenek korlátozva;

3) A függvény páratlan ;

4) A függvény monoton csökken az ágain belül, amelyek hasonlóak az érintő ágakhoz;

5) A függvény periodikus egy ponttal

Készítsük el a függvény grafikonját. Ebben az esetben, ami az érintőt illeti, célszerű a szerkesztést úgy kezdeni, hogy a gráf függőleges aszimptotáit olyan pontokon ábrázoljuk, amelyek nem szerepelnek a definíciós területen, pl. stb. Ezután ábrázoljuk a kotangens ágait az egyes aszimptoták által alkotott csíkokon belül, a bal és a jobb oldali aszimptotákhoz nyomva. Ebben az esetben figyelembe vesszük, hogy minden ág monoton csökken. Minden ágat az érintőhöz hasonlóan ugyanúgy ábrázolunk, mert a függvény periódusa egyenlő .

Külön meg kell jegyezni, hogy az összetett argumentumokkal rendelkező trigonometrikus függvényeknek nem szabványos periódusuk lehet. Ez körülbelül az űrlap funkcióiról:

Időtartamuk egyenlő. És a funkciókról:

Időtartamuk egyenlő.

Amint láthatja, egy új periódus kiszámításához a standard periódust egyszerűen el kell osztani az argumentumban szereplő tényezővel. Nem függ a funkció egyéb módosításaitól.

A függvénygráfok szerkesztéséről és átalakításáról szóló leckében részletesebben megértheti és megértheti, honnan származnak ezek a képletek.

Elérkeztünk a „Trigonometria” témakör egyik legfontosabb részéhez, amelyet a trigonometrikus egyenletek megoldásának szentelünk. Az ilyen egyenletek megoldásának képessége fontos például a leírásnál oszcillációs folyamatok a fizikában. Képzeljük el, hogy futott néhány kört egy gokartban egy sportautóban, egy trigonometrikus egyenlet megoldása segít meghatározni, hogy mennyi ideig volt a versenyben az autó pályán elfoglalt helyzetétől függően.

Írjuk fel a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet:

Egy ilyen egyenlet megoldását azok az argumentumok jelentik, amelyek szinusza egyenlő -val. De már tudjuk, hogy az ilyen érvek szinuszának periodikussága miatt van végtelen halmaz. Így ennek az egyenletnek a megoldása lesz stb. Ugyanez vonatkozik bármely más egyszerű trigonometrikus egyenlet megoldására is, ezekből végtelen sok lesz.

A trigonometrikus egyenletek több fő típusra oszthatók. Külön-külön a legegyszerűbbeken kell foglalkoznunk, mert minden más rajtuk múlik. Négy ilyen egyenlet létezik (a trigonometrikus alapfüggvények száma szerint). Az általános megoldások ismertek számukra;

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek és általános megoldásaikígy néz ki:

Felhívjuk figyelmét, hogy a szinusz és a koszinusz értékének figyelembe kell vennie az általunk ismert korlátozásokat. Ha például az egyenletnek nincs megoldása, és a megadott képletet nem szabad alkalmazni.

Ezenkívül a megadott gyökérképletek egy paramétert tartalmaznak tetszőleges egész szám formájában. BAN BEN iskolai tananyag Ez az egyetlen eset, amikor egy paraméter nélküli egyenlet megoldása paramétert tartalmaz. Ez a tetszőleges egész szám azt mutatja, hogy bármelyiknek végtelen számú gyökét fel lehet írni a fenti egyenleteket egyszerűen behelyettesítjük az összes egész számot a helyükre.

Ezeknek a képleteknek a részletes levezetésével a 10. osztályos algebrai program „Trigonometriai egyenletek” című fejezetének megismétlésével ismerkedhet meg.

Külön figyelmet kell fordítani a legegyszerűbb, szinuszos és koszinuszos egyenletek speciális eseteinek megoldására. Ezek az egyenletek így néznek ki:

A képletek keresését nem szabad rájuk alkalmazni általános megoldások. Az ilyen egyenleteket a legkényelmesebben a trigonometrikus kör segítségével lehet megoldani, amely egyszerűbb eredményt ad, mint az általános megoldási képletek.

Például az egyenlet megoldása az . Próbálja meg saját maga megtalálni ezt a választ, és oldja meg a többi jelzett egyenletet.

A feltüntetett trigonometrikus egyenletek leggyakoribb típusain kívül számos szabványos egyenlet is létezik. Felsoroljuk őket, figyelembe véve azokat, amelyeket már jeleztünk:

1) Protozoa, Például, ;

2) A legegyszerűbb egyenletek speciális esetei, Például, ;

3) Egyenletek összetett argumentummal, Például, ;

4) Levezetéssel a legegyszerűbbre redukált egyenletek közös szorzó , Például, ;

5) Az egyenletek trigonometrikus függvények átalakításával a legegyszerűbbre redukálhatók, Például, ;

6) Az egyenletek behelyettesítéssel a legegyszerűbbre redukálhatók, Például, ;

7) Homogén egyenletek , Például, ;

8) Függvények tulajdonságainak felhasználásával megoldható egyenletek, Például, . Ne ijedjen meg attól a ténytől, hogy ebben az egyenletben két változót old meg;

Valamint a segítségével megoldható egyenletek különféle módszerek.

A trigonometrikus egyenletek megoldása mellett tudnia kell ezek rendszerét is.

A leggyakoribb rendszertípusok:

1) Amelyben az egyik egyenlet a hatalom, Például, ;

2) Egyszerű trigonometrikus egyenletrendszerek, Például, .

A mai órán az alapvető trigonometrikus függvényeket, azok tulajdonságait és grafikonjait néztük meg. mi is találkoztunk általános képletek a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásai, feltüntették az ilyen egyenletek fő típusait és rendszereiket.

Az óra gyakorlati részében trigonometrikus egyenletek megoldási módszereit és rendszereiket vizsgáljuk meg.

1. rovat.A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek speciális eseteinek megoldása.

Amint azt a lecke fő részében már elmondtuk, a trigonometrikus egyenletek speciális esetei az alak szinuszával és koszinuszával:

több legyen egyszerű megoldások, mit adnak az általános megoldások képletei.

Ehhez trigonometrikus kört használnak. Elemezzük a megoldási módot az egyenlet példáján keresztül.

Ábrázoljuk a trigonometrikus körön azt a pontot, ahol a koszinusz értéke nulla, ami egyben az abszcissza tengely menti koordinátája is. Amint látja, két ilyen pont van. A mi feladatunk az, hogy jelezzük, mit egyenlő a szöggel, amely a kör ezen pontjainak felel meg.

Kezdjük a számolást pozitív irány abszcissza tengelyek (koszinusz tengelyek) és a szög ábrázolásakor eljutunk az első ábrázolt ponthoz, azaz. az egyik megoldás ez a szögérték lenne. De továbbra is elégedettek vagyunk a második pontnak megfelelő szöggel. Hogyan lehet belemenni?

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete