Építsd meg a komplex számok geometriai modelljét! Egy komplex szám fő argumentuma
Geometriai kép komplex számok. Trigonometrikus forma összetett szám.
2015-06-04
Valós és képzeletbeli tengely
Komplex szám argumentum
Fő érvösszetett szám
Komplex szám trigonometrikus alakja
Egy $z = a+bi$ komplex szám megadása megegyezik két valós szám megadásával, $a,b$ - ennek a komplex számnak a valós és imaginárius része. De egy $(a,b)$ rendezett számpár derékszögűen van ábrázolva téglalap alakú rendszer koordináták egy pont által $(a, b)$ koordinátákkal. Így ez a pont képként szolgálhat a $z$ komplex számhoz: komplex számok és pontok között Koordináta sík egy-egy levelezés jön létre.
Amikor a koordinátasíkot használjuk komplex számok ábrázolására, általában az $Ox$ tengelyt hívják valódi tengely(mert valódi rész számot vesszük a pont abszcisszaként), a $Oy$ tengelyt pedig képzeletbeli tengelynek (mivel a szám képzeletbeli részét veszik fel a pont ordinátájának).
Az $z$ komplex számot, amelyet az $M(a,b)$ pont képvisel, ennek a pontnak a toldalékának nevezzük. Ebben az esetben a valós számokat a valós tengelyen fekvő pontok ábrázolják, és minden tisztán képzeletbeli $bi$ számot ($a = 0$ esetén) a képzeletbeli tengelyen lévő pontok képviselnek. A nulla számot az O pont képviseli.
1. ábra
ábrán. 1, a $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2 számok képei, z_(6) = -3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.
Két összetett konjugált számot a $Ox$ tengelyre szimmetrikus pontok ábrázolnak (az 1. ábrán a $z_(1)$ és $z_(8)$ pontok).
Rizs. 2
Gyakran egy $z$ komplex számhoz nem csak az ezt a számot képviselő $M$ pontot társítják, hanem a $\vec(OM)$ vektort is, amely $O$-ból $M$-ba vezet; A $z$ szám vektorként való ábrázolása kényelmes a komplex számok összeadási és kivonási műveletének geometriai értelmezése szempontjából. ábrán. A 2. ábrán látható, hogy a $z_(1), z_(2)$ komplex számok összegét reprezentáló vektort a $\vec(OM_(1)), \vec vektorokra felépített paralelogramma átlójaként kapjuk meg. (OM_(2)) $ kifejezéseket képviselő. Ez a vektorok összeadási szabálya paralelogramma-szabályként ismert (például erők vagy sebességek összeadására egy fizika kurzusban). A kivonás összeadásra redukálható az ellenkező vektorral (2. ábra, b).
Rizs. 3
Mint ismeretes, egy pont helyzete egy síkon a $r, \phi$ polárkoordinátákkal is megadható. Így a komplex számot - egy pont toldalékát - szintén az $r$ és $\phi$ megadásával határozzuk meg. ábrából 3 jól látható, hogy $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ egyben a $z$ komplex szám modulusa: a számot reprezentáló pont poláris sugara $z$, egyenlő a modulussal ez a szám.
Egy $M$ pont poláris szögét az e pont által képviselt $z$ szám argumentumának nevezzük.
Egy komplex szám argumentuma (mint egy pont poláris szöge) nincs egyértelműen definiálva; ha $\phi_(0)$ az egyik értéke, akkor minden értékét a képlet fejezi ki
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$
Az argumentum összes értékét a $Arg \: z$ szimbólum együttesen jelöli.
Tehát minden komplex számhoz társítható egy valós számpár: modulus és argumentum adott szám, és az argumentum kétértelműen van definiálva. Éppen ellenkezőleg, a $|z| modul alapján = r$ és a $\phi$ argumentum megfelel egyedülálló$z$ a megadott modullal és argumentummal. Különleges tulajdonságok nulla számmal rendelkezik: modulusa egyenlő nullával, az argumentumnak nincs konkrét jelentése.
A komplex szám argumentumának egyértelmű meghatározása érdekében megállapodhatunk abban, hogy az argumentum egyik értékét a fő értéknek nevezzük. Ezt a $arg \: z$ szimbólum jelöli. Általában az érv fő értékét úgy választják meg, hogy az az egyenlőtlenségeket kielégítő érték legyen
$0 \leq arg \: z (más esetekben a $- \pi egyenlőtlenségek
Figyeljünk a valós és a tisztán képzeletbeli számok argumentumának értékeire is:
$arg \: a = \begin(cases) 0, & \text(if) a>0, \\
\pi, & \text(if) a $arg \: bi = \begin(esetek) \frac(\pi)(2), & \text(if) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(if) b
Egy komplex szám valós és képzeletbeli részei (pl Derékszögű koordináták pontok) modulusa és argumentuma ( poláris koordináták pont) a képlet szerint:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
és egy komplex szám a következő trigonometrikus formában írható fel:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(egy szám írását $z = a + bi$ formában algebrai rekordnak fogjuk nevezni).
Két trigonometrikus formában megadott szám egyenlőségének feltétele a következő: két szám $z_(1)$ és $z_(2)$ akkor és csak akkor egyenlő, ha a moduljaik egyenlőek, és az argumentumok egyenlőek vagy különböznek egymástól egy egész számú időszak $2 \pi $.
A szám algebrai formájú írásáról trigonometrikus formában történő írására és fordítva a (4) képlet szerint történik:
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(a)$ (3)
és képletek (1). Egy argumentum (főértéke) meghatározásakor használhatja az egyik értékét trigonometrikus függvények$\cos \phi$ vagy $\sin \phi$, és vegye figyelembe a másodperc előjelét.
Példa. Írja be trigonometrikus formában a következő számokat:
a)$6 + 6i$; b) $3i$; c) $-10 $.
Megoldás, a) Megvan
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
ahonnan $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, és ezért
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
-10 $ = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$
Egy komplex szám megadása megegyezik két valós szám megadásával: a, b - egy adott komplex szám valós és képzetes része. De egy rendezett számpárt a derékszögű koordinátarendszerben egy koordinátákkal rendelkező pont ábrázol, így ez a pont a z komplex szám képeként is szolgálhat: a komplex számok és a pontok között egy-egy megfeleltetés jön létre. a koordinátasík. Ha a koordinátasíkot komplex számok ábrázolására használjuk, az Ox tengelyt általában valós tengelynek nevezzük (mivel a szám valós részét tekintjük a pont abszcisszaként), az Oy tengelyt pedig a képzeletbeli tengelynek (mivel a képzeletbeli rész pont ordinátájának vesszük). Az (a, b) pont által képviselt z komplex számot ennek a pontnak a toldalékának nevezzük. Ebben az esetben a valós számokat a valós tengelyen elhelyezkedő pontok, és minden tisztán képzeletbeli számot (a = 0 esetén) a képzeletbeli tengelyen lévő pontok ábrázolnak. A nulla számot az O pont képviseli.
ábrán. 8 kép a számokból épül fel.
Két összetett konjugált számot az Ox tengelyre szimmetrikus pontok ábrázolnak (pontok a 8. ábrán).
Egy komplex számhoz gyakran nem csak az M pont kapcsolódik, amely ezt a számot képviseli, hanem az OM vektor is (lásd a 93. bekezdést), amely O-ból M-be vezet; A számok vektorként való ábrázolása kényelmes a komplex számok összeadása és kivonása műveletének geometriai értelmezése szempontjából.
ábrán. A 9. ábrán látható, hogy a komplex számok összegét reprezentáló vektort a tagokat reprezentáló vektorokból felépített paralelogramma átlójaként kapjuk meg.
Ez a vektorok összeadási szabálya paralelogramma-szabályként ismert (például erők vagy sebességek összeadására egy fizika kurzusban). A kivonás összeadásra redukálható az ellenkező vektorral (9. ábra, b).
Mint ismeretes (8. tétel), egy pont helyzete a síkon a poláris koordinátáival is megadható. Így a komplex számot - a pont toldalékát is a feladat határozza meg. 10 jól látható, hogy ugyanakkor egy komplex szám modulusa: a számot reprezentáló pont poláris sugara megegyezik ennek a számnak a modulusával.
Egy M pont poláris szögét a pont által képviselt szám argumentumának nevezzük. Egy komplex szám argumentuma (mint egy pont poláris szöge) nincs egyértelműen definiálva; ha az egyik értéke, akkor minden értékét a képlet fejezi ki
Az érv összes értékét a szimbólum együttesen jelöli.
Tehát bármely komplex számhoz társítható egy valós számpár: az adott szám modulusa és argumentuma, és az argumentum kétértelműen meghatározásra kerül. Éppen ellenkezőleg, egy adott modul és argumentum egyetlen számnak felel meg, amely az adott modult és argumentumot tartalmazza. A nulla számnak speciális tulajdonságai vannak: modulusa nullával egyenlő, argumentumához nincs konkrét érték rendelve.
A komplex szám argumentumának egyértelmű meghatározása érdekében megállapodhatunk abban, hogy az argumentum egyik értékét a fő értéknek nevezzük. A szimbólum jelöli. Általában az érv fő értékét úgy választják meg, hogy az az egyenlőtlenségeket kielégítő érték legyen
(más esetekben egyenlőtlenségek).
Figyeljünk a valós és a tisztán képzeletbeli számok argumentumának értékeire is:
Egy komplex szám valós és képzetes részeit (mint egy pont derékszögű koordinátáit) modulusán és argumentumán keresztül (a pont poláris koordinátái) fejezzük ki a (8.3) képletekkel:
és egy komplex szám a következő trigonometrikus formában írható fel.
Komplex számok
Alapfogalmak
A szám kezdeti adatai a kőkorszakból – paleomelitikus korból származnak. Ezek „egy”, „keves” és „sok”. Bevágások, csomók stb. formájában rögzítették őket. A munkafolyamatok fejlődése és a tulajdon megjelenése arra kényszerítette az embert, hogy kitalálja a számokat és azok nevét. Az első, aki megjelenik egész számok N tételek megszámlálásával kapott. Ezután a számolási igény mellett az embereknek szükségük volt hosszok, területek, térfogatok, idő és egyéb mennyiségek mérésére, ahol figyelembe kellett venniük a használt mérték egyes részeit. Így jöttek létre a törtek. A tört és a fogalmak formai indoklása negatív szám században hajtották végre. Egész számok halmaza Z– ezek természetes számok, természetes számok mínuszjellel és nullával. Egész és törtszámok halmazt alkotott racionális számok K, de a folyamatosan változó változók vizsgálatához is elégtelennek bizonyult. A Genesis ismét megmutatta a matematika tökéletlenségét: a formaegyenlet megoldásának lehetetlenségét. x 2 = 3, ezért jelentek meg az irracionális számok ÉN. A racionális számok halmazának uniója KÉs irracionális számok én– valós (vagy valós) számok halmaza R. Ennek eredményeként a számsor megtelt: minden valós szám egy pontnak felelt meg rajta. De sokakon R formaegyenletet nem lehet megoldani x 2 = – A 2. Következésképpen ismét felmerült az igény a számfogalom kiterjesztésére. Így jelentek meg a komplex számok 1545-ben. Alkotójuk, J. Cardano „tisztán negatívnak” nevezte őket. A „képzetes” nevet 1637-ben a francia R. Descartes vezette be, 1777-ben Euler javasolta a francia szám első betűjének használatát. én a képzeletbeli egység jelölésére. Ez a szimbólum K. Gaussnak köszönhetően került általános használatba.
A 17. és 18. század folyamán tovább folytatódott az imagináriumok aritmetikai természetének és geometriai értelmezésének tárgyalása. A dán G. Wessel, a francia J. Argan és a német K. Gauss egymástól függetlenül javasolta egy komplex szám ábrázolását a koordinátasíkon pontként. Később kiderült, hogy még kényelmesebb egy számot nem magával a ponttal ábrázolni, hanem egy vektorral, amely az origóból ebbe a pontba megy.
A komplex számok csak a 18. század vége felé – a 19. század elején foglalták el az őt megillető helyet. matematikai elemzés. Első használatuk elméleti differenciál egyenletekés a hidrodinamika elméletében.
1. definíció.Összetett szám az alak kifejezésének nevezzük, ahol xÉs y valós számok, és én– képzeletbeli egység, .
Két komplex szám és egyenlő ha, és csak akkor ha , .
Ha , akkor hívják a számot pusztán képzeletbeli; ha , akkor a szám valós szám, ez azt jelenti, hogy a halmaz R VAL VEL, Ahol VAL VEL– komplex számok halmaza.
Konjugált komplex számot komplex számnak nevezzük.
Komplex számok geometriai ábrázolása.
Bármely komplex szám ábrázolható egy ponttal M(x, y) repülőgép Oxy. Egy valós számpár a sugárvektor koordinátáit is jelöli 
, azaz a síkon lévő vektorok halmaza és a komplex számok halmaza között egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg: .
2. definíció.Valódi rész x.
Kijelölés: x= Re z(a latin Realis szóból).
3. definíció.Képzeletbeli rész a komplex szám valós szám y.
Kijelölés: y= Im z(a latin Imaginarius szóból).
Újra z lerakódik a tengelyre ( Ó)én vagyok z lerakódik a tengelyre ( Ó), akkor a komplex számnak megfelelő vektor a pont sugárvektora M(x, y), (vagy M(Újra zén vagyok z)) (1. ábra).
4. definíció. Olyan síkot nevezünk, amelynek pontjai komplex számok halmazához kapcsolódnak összetett sík . Az abszcissza tengelyt ún valódi tengely, mivel valós számokat tartalmaz. Az ordináta tengelyét ún képzeletbeli tengely, tisztán képzeletbeli komplex számokat tartalmaz. A komplex számok halmazát jelöljük VAL VEL.
5. definíció.Modulösszetett szám z = (x, y) a vektor hosszának nevezzük: , azaz. 
.
6. definíció.Érv a komplex szám az közötti szög pozitív irány tengelyek ( Ó) és vektor: 
.
3. megjegyzés. Ha a lényeg z a valós vagy képzeletbeli tengelyen fekszik, akkor közvetlenül megtalálhatja.
Komplex számok éskoordináta
repülőgép
A valós számok R halmazának geometriai modellje a számegyenes. Bármely valós szám egyetlen pontnak felel meg
továbbszámegyenes és a vonal bármely pontja
csak egy egyezik
valós szám!
Egy további dimenzió hozzáadásával az összes valós szám halmazának megfelelő számsorhoz - a tiszta számok halmazát tartalmazó sorhoz
A halmaznak megfelelő számsorhoz hozzáadvaaz összes valós szám közül még egy dimenzió -
egy egyenes, amely tisztán képzeletbeli számokat tartalmaz –
kapunk egy koordinátasíkot, amelyben mindegyik
az a+bi komplex szám társítható
a koordinátasík (a; b) pontja.
i=0+1i a (0;1) pontnak felel meg
2+3i a (2;3) pontnak felel meg
-i-4 a (-4;-1) pontnak felel meg
Az 5=5+1i a melankóliának felel meg (5;0)
A ragozási művelet geometriai jelentése
! A párosítási művelet axiálisszimmetria az abszcissza tengely körül.
!! Egymáshoz konjugálva
a komplex számok egyenlő távolságra vannak tőle
koordináták origója.
!!! Vektorok ábrázoló
konjugált számok, a tengelyhez képest
abszcissza ugyanabban a szögben, de
szerint található különböző oldalak tól től
ezt a tengelyt.
Valós számok képe
Komplex számok képe
Algebraiút
Képek:
Összetett szám
a+bi van ábrázolva
síkpont
koordinátákkal
(a;b)
Példák komplex számok koordinátasíkon való ábrázolására
(Érdekel minket
komplex számok
z=x+yi , amelyre
x=-4. Ez az egyenlet
egyenes,
párhuzamos tengely
ordináta)
nál nél
X = - 4
Érvényes
rész -4
0
x
Rajzolja fel a koordinátasíkra azon komplex számok halmazát, amelyekre:
Képzeletbeli részegyenlő
félreérthetetlen
természetes
szám
(Érdekel minket
komplex számok
z=x+yi, amelyre
y=2,4,6,8.
Geometriai kép
négyből áll
egyenes, párhuzamos
x-tengely)
nál nél
8
6
4
2
0
x
Komplex számok, ábrázolásuk síkon. Algebrai műveletek komplex számokkal. Komplex párosítás. Komplex szám modulusa és argumentuma. Algebrai és trigonometrikus formaösszetett szám. Komplex számok gyökerei. Exponenciális függvény összetett érvelés. Euler-képlet. Komplex szám exponenciális alakja.
Az integráció egyik alapvető módszerének tanulmányozásakor: az integráció racionális törtek– A szigorú bizonyítások elvégzéséhez a komplex tartományban lévő polinomokat figyelembe kell venni. Ezért először vizsgáljuk meg a komplex számok néhány tulajdonságát és a velük végzett műveleteket.
Meghatározás 7.1. A z komplex szám az (a,b) valós számok rendezett párja: z = (a,b) (a „rendezett” kifejezés azt jelenti, hogy egy komplex szám írásakor az a és b számok sorrendje fontos: (a ,b)≠(b,a )). Ebben az esetben az első a számot a z komplex szám valós részének nevezzük, és a = Re z-nek, a második b számot pedig z képzetes részének nevezzük: b = Im z.
Meghatározás 7.2. Két z 1 = (a 1, b 1) és z 2 = (a 2, b 2) komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlőek, azaz a 1 = a 2, b 1 = b 2.
Műveletek komplex számokkal.
1. Összeg komplex számok z 1 =(a 1, b 1) És z 2 =(a 2, b 2 z =(a,b) oly módon, hogy a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. A kiegészítés tulajdonságai: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) létezik egy 0 = (0,0) komplex szám: z + 0 =z bármely komplex számra z.
2. A munka komplex számok z 1 =(a 1, b 1) És z 2 =(a 2, b 2) komplex számnak nevezzük z =(a,b) oly módon, hogy a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. A szorzás tulajdonságai: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .
Megjegyzés. A komplex számok halmazának egy részhalmaza a valós számok halmaza, amelyet a ( A, 0). Látható, hogy a komplex számokkal végzett műveletek definíciója megőrzi a valós számokra vonatkozó megfelelő műveletekre vonatkozó ismert szabályokat. Ezenkívül az 1 = (1,0) valós szám megtartja a tulajdonságát, ha bármilyen komplex számmal megszorozzuk: 1∙ z = z.
Meghatározás 7.3. Komplex szám (0, b) nak, nek hívják pusztán képzeletbeli. Különösen a (0,1) számot hívják képzeletbeli egységés a szimbólum jelöli én.
A képzeletbeli egység tulajdonságai:
1) i∙i=i² = -1; 2) tiszta képzeletbeli szám (0,b) egy valós szám szorzataként ábrázolható ( b, 0) és én: (b, 0) = b∙i.
Ezért bármely z = (a,b) komplex szám ábrázolható: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.
Meghatározás 7.4. A z = a + ib alakú jelölést nevezzük algebrai forma komplex szám írása.
Megjegyzés. A komplex számok algebrai jelölése az algebra szokásos szabályai szerint teszi lehetővé rajtuk a műveleteket.
Meghatározás 7.5. Egy komplex számot z = a + ib komplex konjugátumának nevezünk.
3. Kivonás A komplex számokat az összeadás inverz műveleteként definiáljuk: z =(a,b) komplex számok különbségének nevezzük z 1 =(a 1, b 1) És z 2 =(a 2, b 2), Ha a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.
4. Osztály a komplex számokat a szorzás inverz műveleteként határozzuk meg: szám z = a + ib az osztás hányadosának nevezzük z 1 = a 1 + ib 1És z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), ha z 1 = z∙z 2 . Következésképpen a hányados valós és képzetes része az egyenletrendszer megoldásából megtalálható: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.
Komplex számok geometriai értelmezése.
Összetett szám z =(a,b) pontként ábrázolható egy síkon koordinátákkal ( a,b) vagy olyan vektor, amelynek origója az origóban van és vége a ( a,b).
Ebben az esetben a kapott vektor modulusát nevezzük modult komplex szám, és a vektor által az abszcissza tengely pozitív irányával bezárt szög érv számok. Tekintve, hogy a = ρ kötözősaláta φ, b = ρ bűn φ, Ahol ρ = |z| - modul z,és φ = arg z az argumentuma, akkor kaphat egy másik formát a komplex szám írására:
Meghatározás 7.6. Felvétel típusa
z = ρ(kötözősaláta φ + i bűn φ ) (7.1)
hívott trigonometrikus forma komplex szám írása.
Egy komplex szám modulusa és argumentuma viszont kifejezhető ezen keresztül AÉs b: 
. Következésképpen egy komplex szám argumentuma nem egyedileg meghatározott, hanem egy olyan tagig, amely 2π többszöröse.
Könnyen ellenőrizhető, hogy a komplex számok összeadásának művelete megfelel-e a vektorok összeadásának. Tekintsük a szorzás geometriai értelmezését. Akkor hagyd
Ezért két komplex szám szorzatának modulusa az egyenlő a termékkel moduljaik, az argumentum pedig érveik összege. Ennek megfelelően osztáskor a hányados modulja egyenlő az aránnyal az osztó és az osztó moduljait, és az argumentum argumentumaik különbsége.
A szorzási művelet speciális esete a hatványozás:
- Moivre képlete.
A kapott összefüggések felhasználásával listázzuk alapvető tulajdonságait komplex konjugált számok:
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete